山东省济宁市第一中学2020届高三数学下学期一轮质量检测试题(含解析)

山东省济宁市2024届高三下学期三模数学试题注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据分式不等式解集合B ，结合交集的概念与运算即可求解.【详解】由，得且，解得，即，所以，有2个元素.故选：B2. 的展开式中的系数为（ ）A. B. C. 120 D. 160【答案】A 【解析】【分析】求出二项式展开式的通项公式，再由给定幂指数求解即得.【详解】二项式展开式的通项为，由，得，所以的展开式中的系数为.故选：A{}22,1,1,2,01x A B x x ⎧⎫+=--=≤⎨⎬-⎩⎭A B ⋂201x x +≤-(2)(1)0≤x x +-10x -≠21x -£<{21}B x x =-≤<{2,}1A B ⋂=--262()x x-3x 160-120-262(x x-261231662C ()()(2)C ,N,6r rr r r r r T x x r r x--+=-=-∈≤1233r -=3r =262()x x-3x 336(2)C 160-=-3. 若随机变量，随机变量，则（ ）A. 0 B.C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即，就可以求出结果.【详解】由可知：，又因为，所以，，则，故选：B.4. 已知数列中，，则（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用数列的递推公式求出数列的周期，即可求解.【详解】由，得，，，，，，()2~32X N ，1(3)2Y X =-()1()1E Y D Y +=+1245()()(),E Y E kX b kE X b =+=+()2()()D Y D kX b k D X =+=()2~32X N ，()3,()4E X D X ==1(3)2Y X =-()131333()(0222222E Y E X E X =-=-=-=()131()(1224D Y D X D X =-==()1011()1112E Y D Y ++==++{}n a ()*1211212n n n a a a a a n n +-===-≥∈N ，，，2024a=2-1-()*12112,1,2,n n n a a a a a n n +-===-≥∈N3211a a a =-=-4322a a a =-=-4531a a a ==--6541a a a =-=7652a a a =-=8761a a a ==-则是以6为周期的周期数列，所以.故选：C5. 已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（ ）A.B. 1C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】设，，，联立抛物线方程，利用韦达定理和抛物线的定义建立关于的方程，解之即可求解.【详解】由题意知，，设，联立直线与抛物线得，消去，得，所以.由抛物线的定义知.而，故，解得.故选：D.{}n a 20243376221a a a ⨯+===2:2(0)C y px p =>F F 2l C A B ||5AB =p =1232:22p l y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()11,A x y ()22,B x y p ,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭()()1122:2(),,,,2p l y x A x y B x y =-22()22p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩y 22460x px p -+=1232x x p +=1212352222p p AB AF BF x x x x p p p p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5AB =552p =2p =6. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数，当时，，显然，且正弦函数在上单调递减，由在区间上的值域为，得，解得，所以实数的取值范围是.故选：D7. 已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】利用偶函数的性质求出的解析式，再利用导数的几何意义求出切线方程.【详解】函数为偶函数，当时，，则当时，，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程是，即.故选：A1()cos )cos 2f x x x x =+-()f x π[,]4m -[m ππ[,62ππ[,62π7π[,612π7π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 211π()cos cos 2cos 2sin(2226f x x x x x x x =+-=+=+π[,]4x m ∈-πππ2[,2]636x m +∈-+π4ππsin(sin 1332-===sin y x =π4π[,]23()f x π[,]4m -[ππ4π2263m ≤+≤π7π612m ≤≤m π7π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 0x <2()ln()f x x x =-+()y f x =(1,(1))f 320x y --=320x y +-=320x y ++=320x y -+=0x >()f x 0x <2()ln()f x x x =-+0x >2()()ln f x f x x x =-=+1()2f x x x'=+(1)3f '=(1)1f =()y f x =(1,(1))f 13(1)y x -=-320x y --=8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，根据双曲线的光学性质可知，过双曲线上任意一点的切线平分.直线过交双曲线的右支于A ，B 两点，设的内心分别为，若与的面积之比为，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D..【答案】C【解析】【分析】利用切线长定理求得直线的方程，再借助双曲线的切线方程求出点的横坐标，结合面积关系求解即得.【详解】令圆切分别为点，则，，令点，而，因此，解得，又，则点横坐标为，同理点横坐标为，即直线方程为，设，依题意，直线的方程分别为：，，联立消去得：，整理得，令直线的方程为，于是，即点的横坐标为，因此，所以双曲线的离心率.故选：C的2222:1(00)x y C a b a b-=>>，12,F F C ()00,P x y 0022:1(0,0)x x y yl a b a b-=>>12F PF ∠1l 2F C 12121,,AF F BF F ABF 12,,I I I 12II I 212F I I 35C 325312I I I 1I 1212,,AF AF F F ,,P Q T 1122||||,||||,||||AP AQ F P FT F Q F T ===121212||||||||||||2FT F T F P F Q AF AF a -=-=-=0(,0)T x 12(,0),(,0)F c F c -00()()2x c c x a ----=0x a =112I T F F ⊥1I a 2I a 12I I x a =1122(,),(,)A x y B x y ,AI BI 11221x x y y a b -=22221x x y y a b -=y 122122(1)(1)x x x x y y a a -=-2211221()a y y x x y x y -=-AB x my c =+22211221()()()a y y a x my c y my c y c -==+-+I 2a c12212235II I F I I a a S a c S c a c -===- C 53c e a ==【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率定义求解离心率；②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数，则下列说法中正确的是（ ）A. B. C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件【答案】AC 【解析】【分析】根据复数加法、乘法、乘方运算，结合复数的几何意义计算，依次判断选项即可.【详解】A ：设，则，所以，则，故A 正确；B ：设，则，所以，，则，故B 错误；C ：由选项A 知，，，又，所以，不一定有，即推不出；的,a c e ,a c e 12,z z 1212z z z z =⋅1212z z z z +=+12z z ∈R 12z z =12=z z 2212z z =12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R 12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++12z z ===1212z z z z =12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R 12()()i z z a c b d +=+++1z +=12z z +=1212z z z z +≠+12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++2i z c d =-12z z ∈R 0ad bc +=a cb d =⎧⎨=-⎩12z z =由，得，则，则，即，所以“”是“”的必要不充分条件，故C 正确；D ：设，则，若，则，即，若，则，得，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D 错误.故选：AC10. 已知数列的前项和为，且满足，数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（ ）A. B. 数列是等比数列C. 数列是等差数列 D. 若，则【答案】BC 【解析】【分析】由数列的前项和为求出判断B ；由递推公式探讨数列的特性判断C ；求出判断A ；由求出，再利用裂求和法求解即得.【详解】由，得，，当时，，满足上式，因此，数列是等比数列，B 正确；由，得，，解得，，A 错误；当时，，两式相减得，于是，两式相加得，整理得，因此数列是等差数列，C 正确；12z z =i i a b c d +=-a cb d=⎧⎨=-⎩0ad bc +=12z z ∈R 12z z ∈R 12z z =12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R 22222212()2i,()2i z a b ab z c d cd =-+=-+12=z z =2222+=+a b c d 2212z z=2222()2i ()2i a b ab c d cd -+=-+222222a b c d ab cd⎧-=-⎨=⎩12=z z 2212z z ={}n a n n S 1233n nS +=-{}n b n n T 112n n T b n =+113=a b {}n a {}n b 23b =101319log 10na n nb ==∑{}n a n n S n a {}n b 1b 23b =n b 1233n nS +=-113322n n S +=⋅-113a S ==2n ≥111(33)32n nn n n n a S S +-=-=-=13a =3n n a ={}n a 112n n T b n =+2n n n T b n =+111112b T b ==+12b =113a b ≠2n ≥11112n n n T b n ---=+-121122n n n n b b ---+=11122n n n n b b +-=+112211222n n n n n n b b b -+---=+112n n n b b b -+=+{}n b当时，等差数列的公差为1，通项，，所以，D 错误.故选：BC11. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，上的动点（异于顶点），，为的中点，则下列说法中正确的是（ ）A. 直三棱柱体积的最大值为B. 三棱锥与三棱锥的体积相等C. 当，且时，三棱锥外接球的表面积为D. 设直线，与平面分别相交于点，，若，则的最小值为【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项：根据三棱柱体积公式，结合三角函数值域可得最值；B 选项：根据等体积转化可判断；C 选项：结合正弦定理确定正三角形外心，进而确定球心及半径；D选项：根据相似及基本不等式可得最值.【详解】A 选项：由已知可得，又，所以，即体积的最大值为，A 选项错误；B 选项：如图所示，23b ={}n b 1n b n =+31111log (1)1n a n b n n n n ==-++10131111111111011log 22391010111111na n nb ==-+-++-+-=-=∑ 111ABC A B C -2AB BC ==13AA =D E 1AA 1CC 1AD C E =F 11B C 111ABC A B C -1B DEF -A DEF -60ABC ∠=︒123AD AA =D ABC -28π3DF EF ABC P Q 1cos 4ABC ∠=AP CQ +111111sin 6sin 2ABC A B C ABC V S AA BA BC ABC AA ABC -=×=××Ð×=Ð()0,ABC π∠∈(]sin 0,1ABC ∠∈6由点为的中点，则，设点到平面的距离为，则，，又，所以，所以，B 选项正确；C 选项：如图所示，由已知为正三角形，设外接球球心为，中心为，中点为，则平面，且，，即，所以外接球半径为，外接球表面积为，C 选项正确；D 选项：如图所示，取中点，可知在的延长线上，在的延长线上，F 11B C 111B DEF C DEF F C DE V V V ---==F 11AA C C h 11113B DEF F C DE C DE V V S h --==×13B DEF F ADE ADE V V S h --==×1ADC E =1ADE C DE S S = 1F C DE F ADE V V --=ABC O ABC 1O AD M 1OO ⊥ABC 1111123OO AD AA ===12sin AB O A ACB ==∠1O A =R ==228π4π3R =BC N P NA Q BC则，即，设，，易知，，则，，则，,，所以，当且仅当，即时取等号，故D 选项正确；故选：BCD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数则____________.【解析】【分析】利用已知分段函数，可先求，再求.【详解】因为，所以.所以..13. 甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白球，乙箱子中有2个红球、4个白球，现随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出的球是白球的概率为____________.【答案】##05的.22212coc 4122144AN BA BN BA BN ABC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=2AN =11AD C E AA λ==()0,1λ∈PAD PNF 1QCE FC E PA AD PN NF =11QC CEFC C E=()()2PA PN PA AN PA λλλ==+=+21PA λλ=-111QC FC λλλλ--==211AP CQ λλλλ-+=+≥-211λλλλ-=-1λ=410()2log 0xx f x x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，…12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(22f =-1122f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭410()2log 0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，44111log =log 2222f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭11221112222f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12【解析】【分析】把所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求解即得.【详解】依题意，取出的球是白球的事件是取甲箱并取白球的事件与取乙箱并取白球的事件的和，显然事件与互斥，，，所以.故答案为：14. 已知，则的最小值为____________.【解析】【分析】根据平面向量的模求出数量积，利用向量的几何意义和运算律计算可得与点的距离之和，作出图形，确定的最小值，结合图形即可求解.【详解】由，得，即，解得.，与点的距离之和.如图，点关于x轴的对称点为，连接，A1A2A 1A2A1121()266P A=⨯=2141()263P A=⨯=121()()()2P A P A P A=+=126a a b=-=11()()23f x xa b xa b x=-+-∈Ra b⋅()f x=(,0)P x1111(,(,)2233A B----PA PB+6,a a b=-=222218a b a a b b-=-⋅+=1823618a b-⋅+=18a b⋅=-11()23f x ax b ax b=-+-=====(,0)P x1111(,(,)2233A B----A11(,)22A'-A B'则，当且仅当三点共线时等号成立，所以的最小值为与点的距离之和，结合图形，确定（当且仅当三点共线时等号成立）.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 产品重量误差是检测产品包装线效能的重要指标.某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的20件产品作为样本，并检测出样本中产品的重量（单位:克），重量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图（如图），已知该产品标准重量为500克.（1）求直方图中的值；（2）若产品重量与标准重量之差的绝对值大于或等于5，即判定该产品包装不合格，在上述抽取的20件PA PB PA PB A B +=+≥=='',,A P B '()f x (,0)P x 1111(,(,)2233A B ----PA PB PA PB A B ++'=≥',,A P B '(485,490],(490,495],,(505,510] a产品中任取2件，求恰有一件合格产品的概率；（3）以样本的频率估计概率，若从该包装线上任取4件产品，设为重量超过500克的产品数量，求的数学期望和方差.【答案】（1）0.05； （2）； （3），.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中小矩形面积和为1求出的值.（2）求出抽取的20件产品中的不合格件数，再利用古典概率计算即得.（3）求出样本中，重量超过500克的产品数量及对应概率，利用二项分布的期望、方差公式计算得解.【小问1详解】依题意，，解得，所以直方图中的值是0.05.【小问2详解】样本中不合格产品数量为，记事件表示“在上述抽取的20件产品中任取2件，恰有一件合格产品”则，所以在上述抽取的20件产品中任取2件，恰有一件合格产品的概率为.小问3详解】根据该样本频率分布直方图，重量超过500克的产品数量为，则从包装线上任取一件产品，其重量超过500克的概率为所以，随机变量，因此，.16. 图1是由正方形ABCD 和两个正三角形组成的一个平面图形，其中，现将沿AD 折起使得平面平面，将沿CD 折起使得平面平面，连接EF ，BE ，BF ，如图2.【Y Y 4895652125a (0.010.060.070.01)51a ++++⨯=0.05a =a 20(0.010.060.01)58⨯++⨯=A 11812220C C 48()C 95P A ==489520(0.050.01)56⨯+⨯=632010=3~(4,)10Y B 36()4105E Y =⨯=3321()4(1)101025D Y =⨯⨯-=,ADE CDF △△2AB =ADE V ADE ⊥ABCD CDF CDF ⊥ABCD（1）求证:平面；（2）求平面与平面夹角的大小.【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）取的中点，利用面面垂直的性质，结合平行四边形的性质、线面平行的判定推理即得.（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】分别取棱的中点，连接，由是边长为2正三角形，得，又平面平面，平面平面，平面，则平面，同理平面，于是，即四边形为平行四边形，，而平面平面，所以平面.【小问2详解】//EF ABCD ADE BCF π6,CD AD ,O P O BCF ,CD AD ,O P ,,OF PE OP CDF ,OF CD OF ⊥=CDF ⊥ABCD CDF ⋂ABCD DC =OF ⊂CDF OF ⊥ABCD PE ⊥,ABCD PE =//,OF PE OF PE =OPEF //OP EF OP ⊂,ABCD EF ⊄ABCD //EF ABCD取棱的中点，连接，由四边形为正方形，得，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则，令，得，由，平面平面，平面平面平面，得平面，则为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为则，解得，所以平面与平面的夹角为.17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为，已知.（1）求证:；（2）若，求面积的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据两角和差的正弦公式、二倍角的余弦公式化简计算可得，结合诱导公式计算即可证明；（2）由（1）得且，根据正弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换化简可得，结合正切函数的性质即可求解.【小问1详解】，，，又，则，，AB Q OQ ABCD OQ CD ⊥O ,,OQ OC OF,,x y z (2,1,0),(0,1,0),(0,1,0)B C F D -(2,0,0),(0,CB CF ==-BCF (,,)n x y z = 200n CB x n CF y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩1z =n =CD AD ⊥ADE ⊥ABCD ADE ,ABCD AD CD =⊂ABCD CD ⊥ADE (0,2,0)DC =ADE ADE BCF θ||cos |cos ,|||||DC n DC n DC n θ⋅=〈〉===π(0,]2θ∈π6θ=ADE BCF π6a b c ，，(1cos 2)(sin 1)cos sin 20C A A C -+-=π2B C =+ππ4,,86a C ⎛⎫=∈⎪⎝⎭ABC (4,2sin (sin cos )0C C B +=π22A C =-ππ64A <<4tan 2ABC S C = (1cos 2)(sin 1)cos sin 20C A A C -+-=sin 1cos 2sin cos 2cos sin 20A C A C A C +---=sin cos 21sin(2)0A C A C -+-+=πA CB +=-sin()cos 21sin()0BC C B C +-+--=2sin cos sin cos 12sin 1sin cos sin cos 0B C C B C B C C B +-++-+=，即，又，所以，即，又，所以；【小问2详解】由（1）知，，得，由，得，由正弦定理得，得，所以，又，所以，又在上单调递增，则，所以，即的面积我取值范围为.18. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率，直线FB 过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆相交于M ，N 两点（M 、N 都不在坐标轴上），若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程.（2）根据给定条件，借助倾斜角的关系可得，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率的坐标公式求解即得.【小问1详解】22sin 2sin cos 0C C B +=2sin (sin cos )0C C B +=sin 0C >sin cos 0C B +=πcos sin cos()2B C C =-=+0π,0πB C <<<<π2B C =+π2B C =+πA B C ++=π22A C =-ππ86C <<ππ64A <<sin sin a c A C=sin sin 4sin πsin cos 2sin(2)2a C a C Cc A C C ===-2211sin π1sin 4sin 2sin 4sin()4cos 4tan 222cos 222cos 2cos 2ABC C C CS ac B C C C C C C==⨯⨯+=⨯⨯== ππ86C <<ππ243C <<tan y x =ππ(,22-tan 2C ∈4tan 2C ∈ABC (4,2222:1(0)x y E a b a b +=>>F B e =(1,2)P E F l E MPF NPF =∠∠l 2212x y +=550x y ++=,,a b c E 1MP NP k k ⋅=l令，由，得，则直线的斜率，由直线过点，得直线的方程为，因此所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由直线的斜率知直线的倾斜角为，于是，即有，显然均不等于，则，即直线的斜率满足，由题设知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，由，消去x 并整理得，，显然，设，则，由，得，即，则，整理得，即，于是，而，解得，，所以直线的方程为，即.【点睛】关键点点睛：本题第2问，由，结合直线倾斜角及斜率的意义求得(,0)F c -c e a ==,a b c ==FB 1k =FB (1,2)P FB 1y x =+1,b c a ===C 2212x y +=MPF NPF θ∠=∠=MP βNP αFP 1k =FP π4ππ,44αθβθ=+=+π2αβ+=,αβπ2πsin()sin 2tan tan 1πcos cos()2αααβαα-=⋅=-,MP NP 1MP NP k k ⋅=l l 1,1x my m =-≠22122x my x y =-⎧⎨+=⎩22(2)210m y my +--=0∆>1122(,),(,)M x y N x y 12122221,22m y y y y m m +==-++1MP NP k k ⋅=121222111y y x x --⋅=--1212(1)(1)(2)(2)0x x y y -----=1212(2)(2)(2)(2)0my my y y -----=21212(1)(22)(0)m y y m y y ---+=2221(22)2022m m m m m --⋅--=++25410m m --=1m ≠15m =-l 115x y =--550x y ++=MPF NPF =∠∠是解题之关键.19. 已知.（1）判断在上的单调性；（2）已知正项数列满足.（i ）证明:；（ii ）若的前项和为，证明:.【答案】（1）单调递减；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再判断时，导数值的正负即可得解.（2）（i ）利用（1）的结论，结合分析法可得，再利用分析法推理，构造函数借助导数确定单调性即可得；（ii ）利用（i ）的结论，借助放缩法及等比数列求和即得.【小问1详解】函数的定义域为，求导得，令，求导得，当时，，函数在上单调递减，则，即所以在上单调递减.【小问2详解】（i ）首先证明:，即证明，即证明，即证明，由及（1）知，，所以；要证明，即证，只需证，而，则只需证，，令，则，由，知，则，1MP NP k k ⋅=()(2)e x f x x x =--()f x (0,)+∞{}n a 1*1)1,e e 1(n n a a n a a n +=⋅=-∈N *112()n n n a a a n ++<<∈N {}n a n n S *112()2n n S n -≥-∈N ()f x 0x >1n n a a +<12n n a a +<()f x R ()(1)e 1x f x x '=--()(1)e 1x g x x =--()e x g x x '=-,()0x ∈+∞()0g x '<()g x (0,)+∞()(0)g x g <()0f x '<()f x (0,)+∞1n n a a +<1ee n na a +<e 1e n na a na -<(1e 10)n a n a --<0n a >((1)e 0)1n an n g a a =--<1n n a a +<12n n a a +<112n n a a +<112e e n n a a n n a a +<1*e e 1()n n a a n a n +⋅=-∈N 12e e 1n n aa na ⋅<-12e n a t =2ln n a t =111,n n a a a +=<01n a <≤t ∈只需证，即证，令，求导得，于是函数在上单调递减，，即，因此，所以.（ii ）由（i ）可知，，则当且时，，当时，，所以.【点睛】思路点睛：数列是一类特殊的函数某些数列问题，，准确构造相应的函数，借助函数导数研究其单调性是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.22ln 1t t t ⋅<-12ln ,t t t t<-∈1()2ln (),h t t t t t =--∈222222121(1)()10t t t h t t t t t-+--'=--==-<()ht t ∈()(1)0h t h <=12ln t t t<-12n n a a +<112n n n a a a ++<<1213243231111111,,,222222a a a a a a a =>=>>>>541411111,,2222n n n a a a a -->>>> 2n ≥*n ∈N 1232111111112*********n n nn n S a a a a ---=++++>++++==-- 1n =11S =*112()2n n S n -≥-∈N。

山东省济南第一中学2020届高三下-期中考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =I ，求实数a 组成的集合的子集个数有A ．2B ．3C ．4D ．82．已知()0,απ∈，且15cos 17α=-，则()sin tan 2ααπ⎛⎫+⋅π+= ⎪⎝⎭( ) A ．1517-B ．1517 C ．817-D ．8173．在△ABC 中，,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ， M 是AB 的中点，N 是CM 的中点，则AN =u u u r ( ) A ．1233a b+r r ,B ．1132a b +r rC ．1124a b+r r D ．1142a b+r r4．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0)2(=f ,当0>x 时，有2()()xf x f x x '-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是（ ） A ．(2,0)-∪(2,)+∞ B ．(,2)-∞-∪(0,2) C ．(,2)-∞-∪(2,)+∞ D ．(2,0)-∪(0,2)5．函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，为了得到sin2y x =的图象，只需将()f x 的图象( )A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位6．动直线l ：220x my m ++-=（m R ∈）与圆C ：222440x y x y +-+-=交于点A ，B ，则弦AB 最短为（ ）A ．2B ．25C ．6D ．427．若函数()423x x f x m m =-⋅++有两个不同的零点12,x x ，且1(0,1)x ∈，2(2,)x ∈+∞,则实数m 的取值范围为( )A ．(,2)-∞-B ．(,2)(6,)-∞-⋃+∞C ．(7,)+∞D ．(,3)-∞-8．下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递减的是（ ）A ．()xf x e= B ．()1f x x x =+C ．()lg f x x =D ．()2f x x =-9．已知i 为虚数单位，且复数z 满足1z 2i 1i-=- ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为（ ） A ．132 B ．26 C ．10 D ．5210．下列说法错误的是( )A ．“若2x ≠，则2560x x -+≠”的逆否命题是“若2560x x -+=，则2x =”B ．“3x >”是“2560x x -+>”的充分不必要条件C ．“2x R,560x x ∀∈-+≠”的否定是“2000,560x R x x ∃∈-+=”D ．命题：“在锐角ABC V中，sin cos A B <”为真命题 11．若满足约束条件，则的最小值为 （ ）A ．-2B ．C ．D ．12．已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点，点P 在C 上，直线PF 与l 交于点T ．若23PFO ∠=π，则PF PT = A ．14 B ．13 C ．12 D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年山东省济宁市第一中学高三下学期二轮质量检测数学试题一、选择题1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则MN ⋂=（ ）A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为（x ，y ），则（ ）A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3.若a >b ，则（ ）A ．ln （a −b ）>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │4.已知(cos ,sin )a αα=，()cos(),sin()b αα=--，那么0a b =是()4k k παπ=+∈Z 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO的面积为（ ）A ．4B ．2C ．D ．6.已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32=，则14m n+的最小值为（ ） A ．34B ．910C ．32D ．957.已知四棱锥M ABCD -，MA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，180BCD BAD ∠+∠=︒，2MA =，BC =30ABM ∠=︒.若四面体MACD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．20πB ．22πC ．40πD ．44π8.如图，在ABC ∆中，3BAC π∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若ABC ∆的面积为23，则AP 的最小值为（ ）A 2B ．43C ．3D 3二、填空题9.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为_____．10.已知23(2)(1)x ax -+的展开式的所有项系数之和为27，则实数a =______，展开式中含2x 的项的系数是______.11.“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream ”，其中China 又可以简写为CN ，从“CNDream 中取6个不同的字母排成一排，含有“ea ”字母组合（顺序不变）的不同排列共有______种.12.若函数ln )(),(f x a x a =∈R 与函数()g x x =a 的值为______．三、解答题13.已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .14.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22233423b c bc a +-=.（1）求sin A ； （2）若3sin 2sin c A a B =，ABC ∆2，求ABC ∆的周长15.已知如图1直角梯形ABCD ，//AB CD ，90DAB ∠=︒，4AB =，2AD CD ==，E 为AB 的中点，沿EC 将梯形ABCD 折起（如图2），使平面BED ⊥平面AECD .（1）证明：BE ⊥平面AECD ；（2）在线段CD 上是否存在点F ，使得平面FAB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23，若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由.16.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且椭圆C 过点32,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且与圆：222x y +=交于E 、F 两点，求2AB EF ⋅的取值范围．17.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[]0,30内，按[]0,5，(]5,10，(]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30分成6组，其频率分布直方图如图所示.（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的22⨯列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”； 男 女 合计 网购迷 20 非网购迷45合计 100（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不．影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望.附：观测值公式：()()()()()()22a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++ 临界值表：()20P K k ≥ 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82818.已知函数()1e x f x x a =-+（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =-时，设1210,0x x -<<>且()()125f x f x +=-，证明：12e124x x ->-+． 四、不定项选择题19.如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是（ ）A ．B ．C ．D ．20.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007~2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示.根据折线图和条形图，下列结论正确的有（ ）A ．2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年研发投入占营收比增量大B ．2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年研发投入增量小C ．该企业连续12年来研发投入逐年增加D ．该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加21.将函数()3213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ） A 3，图象关于直线12x π=对称B ．图象关于y 轴对称C ．最小正周期为πD ．图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 22.已知函数()y f x =的导函数()f x '的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．函数()y f x =在区间13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递增B ．当2x =-时，函数()y f x =取得极小值C ．函数()y f x =在区间()2,2-内单调递增D ．当3x =时，函数()y f x =有极小值参考答案1.【解析】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【答案】C2.【解析】,(1)i i i,z x y z x y =+-=+-1,i z -==则22(1)1y x +-=．故选C ．【答案】C3.【解析】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ． 【答案】C4.【解析】因为(cos ,sin )a αα=，()cos(),sin()b αα=--且0a b =22cos cos()sin sin()cos sin cos20ααααααα∴-+-=-==． 222k παπ∴=±，解得()4k k παπ=±∈Z ．∴0a b =是()4k k παπ=+∈Z 的必要不充分条件．故选：B ． 【答案】B5.【解析】由2,a b c ====．,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y x =上，112224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 【答案】A6.【解析】因为数列{}n a 是正项等比数列，28516a a a ，3520a a +=，所以2285516a a a a ，516a =，34a =，所以253a a q =，2q ，451a a q ，11a =，1112n n n a a q --==，因为32m n a a =，所以1110222m n，12m n +=，1411414()()(5)1212n m m n m n m n m n+=++=++ 143(52)124n m m n ≥+⋅= ，当且仅当2n m =时，等号成立，所以14m n +的最小值为34. 故选：A ． 【答案】A7.【解析】因为180BCD BAD ∠+∠=︒，所以A ，B ，C ，D 四点共圆，90ADC ABC ∠=∠=︒. 由2tan30AB︒=，得23AB =()()2223266AC =+=.设AC 的中点为E ，MC 的中点为O ，因为MA ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD .易知点O 为四面体MACD 外接球的球心，所以22621022OC ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2=4=40S OC ππ⋅球.故选C 【答案】C8.【解析】()AP AC CP AC kCD AC k AD AC =+=+=+- 23AC k AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()21132k AB k AC mAC AB =+-=+，得到211,32k k m -==，所以14m =，结合 ABC ∆的面积为1322AC AB ⋅⋅=,得到8AC AB ⋅=，所以 222211111613164816AP AC AB AC AB AC AC=++⋅⋅=++≥D ． 【答案】D9.【解析】由题意知高三年级抽取了100242650--=人所以该校学生总人数为506001200100⎛⎫÷= ⎪⎝⎭人 故答案为1200. 【答案】120010.【解析】已知()()3221x ax -+的展开式的所有项系数之和为27,将x=1代入表达式得到()3127 2.a a +=⇒=展开式中含2x 的项的系数是()()2133322123.C x C ⨯+-⨯=故答案为（1）．2；（2）．23. 【答案】2 23；11.【解析】根据题意，分2步进行分析：先从其他5个字母中任取4个，有45C 5=（种）选法，再将“ea ”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，有55A 120=（种）情况，则不同的排列有5120600⨯=（种）.故答案为：600 【答案】60012.【解析】函数()ln f x a x =的定义域为()0,+∞，()a f x x'=，()g x '=， 设曲线()ln f xa x =与曲线()g x =()00,x y ，由于在公共点处有共同的切线，∴0ax =，解得204x a =，0a >．由()()00f x g x =，可得0ln a x =联立2004x a alnx ⎧=⎪⎨=⎪⎩2e a =．故答案为2e．【答案】2e13.【解析】（1）证明：因为121,n n n n a a n b a n +=+-=+所以()()()11121122n n n n n b a n a n n a n b ++=++=+-++=+=,又因为11120b a =+=≠,则12n nb b +=, 所以数列{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列.（2）由（1）知2n n n a n b +==,所以2nn a n =-,所以()()()()232122232nn S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-()()232222123n n =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()()()121211221222n n n n n n +-++=-=---【答案】（1）证明见解析 （2）()11222n n n n S ++=--14.【解析】（1）因为222333b c a +-=，所以2223b c a bc +-=，所以222cos 23b c a A bc +-==，从而1sin 3A ===. （2）因为3sin sin c A B =，所以3ac =，即b =. 因为ABC ∆，所以1sin 2bc A =21123=24c =， 解得2c =，所以b ==222184166a b c =+-=+-=,所以周长为2326++ 【答案】（1）1sin 3A =；（2）2326++ 15.【解析】（1）证明 连接AC ，则AC DE ⊥，又平面BDE ⊥平面AECD ，平面BDE ⋂平面AECD DE =，AC ⊂平面AECD ， 所以AC ⊥平面BDE ， 所以AC BE ⊥. 又BE CE ⊥，ACCE C =，AC ，CE ⊂平面AECD ，所以BE ⊥平面AECD .（2）（1）得BE ⊥平面AECD ，所以BE AE ⊥. 所以EA ，EB ，EC 两两垂直，分别以EA ，EB ，EC 方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系E xyz -, 如图所示，则()0,0,0E ，()2,0,0A ，()0,2,0B ， 设(),0,2F a ，02a ≤≤， 所以()2,0,2AFa =-，(),2,2BF a =-，设平面FAB 的法向量为(),,n x y z =，则()220,220,AF n x x z BF n ax y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩取2x =，得()2,2,2n a =-.取平面EBC 的法向量为()1,0,0m =. 所以22cos 3m n m n m na ⋅⋅===⋅， 所以1a =.所以线段CD 上存在点F ，且F 为CD 中点时，使得平面FAB 与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为23. 【答案】（1）见解析；（2）存在，F 为CD 中点16.【解析】（1）由已知可得c a =2232a b =， 所以椭圆的方程为2222132x y b b +=，将点32⎛ ⎝⎭带入方程得22b =，即23a =， 所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=．（2）椭圆的右焦点为()1,0，①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =， 则A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛ ⎝⎭，1,1E ，1,1F所以AB =，2||4EF =，2||AB EF ⋅=； ②若直线l 的斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线l 与椭圆方程()221321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得()2222236360k x k x k +-+-=， 则2122623k x x k +=+，21223623k x x k -=+，所以)22123k AB k +===+， 因为圆心()0,0到直线l 的距离d =()2222242||4211k k EF k k +⎡⎤=-=⎢⎥++⎣⎦， 所以)())22222222224142223||1222312333k k k k AB EF k k k k k ⎫+++⎪+⋅=⋅===+⎪+++ ⎪++⎝⎭， 因为[)20k ∈+∞，，所以2||AB EF ⋅∈⎝，综上，2||AB EF ⋅∈⎣．【答案】（1）22132x y +=；（2）⎣ 17.【解析】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.010.020.04)50.35++⨯=，后2个小矩形的面积之和为(0.040.03)50.35+⨯=，所以中位数位于区间(]15,20内.设直方图的面积平分线为15x +，则0.060.50.350.15x =-=，得 2.5x =，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.3510035⨯=， 所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人. 所以补全的列联表如下：因为22100(45201520)600 6.593 5.0246040356591K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，查表得()25.0240.025P K ≥=，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为12，23. 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为X ，Y ，据题意，12,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以1()212E X =⨯=，24()233E Y =⨯=. 因为X Y ξ=+，则7()()()3E E X E Y ξ=+=，所以ξ的数学期望为73. 【答案】（1） 中位数估计为17.5千元．（2）见解析；（3） 7318.【解析】（1）()1e x f x a ='+，当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增． 当0a <时，令()0f x '>，得1ln x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()0f x '<，得1ln x a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则()f x 的单调递减区间为1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）证明：（法一）设()()21e 3xg x f x x x =+=-+-，则()3e xg x =-+'， 由()0g x '<得ln3x >；由()0g x '>得ln3x <， 故()()max ln33ln340g x g ==-< 从而得()()20g x f x x =+<，()()()()1222125,2520f x f x f x x f x x +=-∴+=--+<，即12124x x e->-+． （法二）()()1212125,3x x f x f x x e e x +=-∴=+--，12122233x x x x e e x ∴-=+--，设()e 3xg x x =-，则()e 3xg x '=-，由()0g x '<得ln3x >；由()0g x '>得ln3x <， 故()()min ln333ln3g x g ==-．1210,0x x -<，1121233ln33ln3x x e e-∴->+-=-，3ln3ln274=<，12124x x e∴->-+．【答案】（1）见解析（2）见解析19.【解析】对于A ，由AB 与CE 所成角为45︒，可得直线AB 与平面CDE 不垂直； 对于B ，由ABCE ，AB ED ⊥，CE ED E ⋂=，可得AB ⊥平面CDE ；对于C ，由AB 与CE 所成角为60︒， 可得直线AB 与平面CDE 不垂直； 对于D ，连接AC ，由ED ⊥平面ABC ， 可得ED ⊥AB ，同理可得EC AB ⊥， 又ED EC E ⋂=，所以AB ⊥平面CDE . 故选：BD 【答案】BD20.【解析】对于选项A ，2012年至2013年研发投入占营收比增量为2%，2017年至2018年研发投入占营收比增量为0.3%，所以该选项正确；对于选项B ，2013年至2014年研发投入增量为2，2015年至2016年研发投入增量为19，所以该选项正确； 对于选项C ，该企业连续12年来研发投入逐年增加，所以该选项是正确的；对于选项D ，该企业连续12年来研发投入占营收比不是逐年增加，如2009年就比2008年的研发投入占营收比下降了.所以该选项是错误的. 故选：ABC 【答案】ABC21.【解析】将函数()213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，得到()21212133y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++-=+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数()g x x =的图象，对于函数()g x于当12x π=时，()32g x =-，不是最值，故()g x 的图象不关于直线12x π=对称，故A 错误； 由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确； 它的最小正周期为22ππ=，故C 正确； 当4x π=时，()0g x =，故函数()g x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确. 故选：BCD 【答案】BCD22.【解析】对于A ，函数()y f x =在区间13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内有增有减，故A 不正确；对于B ，当2x =-时，函数()y f x =取得极小值，故B 正确；对于C ，当()2,2x ∈-时，恒有()0f x '>，则函数()y f x =在区间()2,2-上单调递增，故C 正确； 对于D ，当3x =时，()0f x '≠，故D 不正确. 故选：BC 【答案】BC。

山东省济宁市嘉祥县第一中学2020届高三下学期第四次模拟考试（考前训练二）数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中只有一项符合题目要求.）1.已知集合(){}ln 1A x y x ==-，{}220B x x x =--≤，则AB =（ ）A. {}1x x ≥- B. {}12x x <≤C. {}12x x << D. {}2x x ≥『答案』B 『解析』{|1}A x x =>，{|12}B x x =-≤≤，{|12}A B x x ∴⋂=<≤.故选:B.2.在复平面内，复数z =i 对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ）A. 12-+ B. 122i -+C. 1i 22-- D. 122i -- 『答案』A『解析』∵复数z =i （i 为虚数单位）在复平面中对应点Z （0，1）， ∴OZ ＝(0，1)，将OZ 绕原点O 逆时针旋转6π得到OB ， 设OB ＝(a ，b )，0,0a b <>，则cos62OZ OB b OZ OB π⋅===，即2b =， 又221a b +=，解得：1,2a b =-=，∴1,22OB ⎛=- ⎝⎭，对应复数为122i -+. 故选：A.3.已知向量a 是单位向量，()3,4b =，且//a b ，则2a b -=（ ） A. 11 B. 9C. 11或9D. 121或81『答案』C『解析』由题意，因为//a b ，则两向量的夹角为0或π， 则有5b =，cos 5a b a b θ⋅==± 则()2221411a b a b-=-=-=或9.故选：C.4.“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一-位,且“智信”相邻的概率为（ ） A.110B.15C.310D.25『答案』A『解析』 “仁义礼智信”排成一排,任意排有55A 种排法,其中“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有2323A A 种排法,故概率232355110A A P A ==故选：A.5.已知直线,a b 与平面,αβ，且//,a b b α⊥，则αβ⊥是//a β（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件『答案』B『解析』在//,a b b α⊥时，则a α⊥， 若αβ⊥，则有//a β或a β⊂，不充分，若//a β，设过a 作一平面与β相交于直线c ，则//a c ，从而c α⊥，所以βα⊥，必要性成立，因此就在是必要不充分条件． 故选：B ．6.若函数1()sin 2f x x x =+在[]2,πα上单调递增，则α的最大值为（ ） A. 3π B.52πC.73π D.136π『答案』D『解析』由题意可得()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令22,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得52266k x k k Z ππππ-≤≤+∈，，令1k =，得71366x ππ≤≤，所以α的最大值为136π. 故选：D.7.已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体τ，CD 是底面圆O 上的弦，COD △为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ）A.14B.C.D.2『答案』B『解析』设OP r =，过点D 作OC 的平行线，与CD 平行的半径交于点E ，则OE OC CD OD r ====，PC PD ==，所以PDE ∠为异面直线OC 与PD 所成的角，在三角形PDE中，PE PD ==，DE r =，所以cos 4rPDE ∠==. 故选：B.8.已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin x g x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（ ） A.1-或12B. 1或12-C.1-或2D. 2-或1『答案』A『解析』已知()()sin xg x h e x x x ++=-，①且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数， 则()()()sin xx g x e x x h -+---=++，得：()()sin xex x g x h x --=-+，②①+②得：()2x xe e g x -+=，由于2020x -关于2020x =对称， 则20203x -关于2020x =对称，()g x 为偶函数，关于y 轴对称，则()2020g x -关于2020x =对称，由于()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则必有()20200f =，()01g =，即：()()0223021202020f g λλλλ=--=--=，解得：1λ=-或12. 故选：A.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.） 9.随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放.如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数（单位：万人）与同比增长情况统计图则下面结论中正确的是（ ）.A. 2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；B. 2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；C. 中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；D. 2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%. 『答案』AB『解析』根据条形图知，2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加，所以A 正确； 根据条形图知，2013-2015年，中国雪场滑雪人数逐年增加，根据折线图知，2013-2015年，中国雪场滑雪人数同比增长率逐年增加，所以B 正确；根据条形图知，中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数为12501030220-=万人，2018年比2017年增加的滑雪人数为19701750220-=万人，根据折线图知，2015年比2014年同比增长率上升，但2018年比2017年同比增长率有下降，故C 错误； 2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为1970151030.5%1510-≈，故D 错误；故选：AB.10.将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图象，若()()129g x g x =，且12,[2,2]x x ππ∈-，则()12sin x x +的可能取值为（ ） A.12B.1-C. 1D. 0『答案』BC『解析』由题意()2sin 21g x x =+，()g x 的最大值为3，最小值为－1，因此12()()9g x g x =，则12()()3g x g x ==，由()2sin 213g x x =+=得222x k ππ=+，4x k ππ=+，k Z ∈，又12,[2,2]x x ππ∈-，所以12735,{,,,}4444x x ππππ∈--，设1122,44x k x k ππππ=+=+，12,k k Z∈，则1212()2x x k k ππ+=++，则当12k k +偶数（例如1122351,,1,)44k x k x ππ=-=-==）时，()12sin x x +＝1，当12k k +奇数（例如112250,,1,)44k x k x ππ====）时，()12sin x x +＝－1，故选：BC ．11.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 分别与双曲线左右两支交于,M N 两点，以MN 为直径的圆过2F ，且2212MF MN MN ⋅=，则以下结论正确的是（ ）A. 12120F MF ︒∠=；B. 双曲线C ；C. 双曲线C 的渐近线方程为y =；D. 直线l 的斜率为1.『答案』BC『解析』如图，作2F D MN ⊥于D ，则2222211cos 22MF MN MF MN F MN MN MD MN MN ⋅=⋅∠===， 所以12MD MN =，所以D 是MN 中点，从而22F M F N =， 根据双曲线定义21122,2MF MF a NF NF a -=-=，所以124NF NF MN a -==， 又以MN 为直径的圆过2F ，所以22MF NF ⊥，2245MNF NMF ∠=∠=︒， 于是12135F MF ∠=︒，A 错；又得22MF NF ==，12)NF a =， 由余弦定理2221212122cos 45F F NF NF NF NF =+-︒得22224)2)22)2c a a =+-⨯⨯⨯，化简得223c a =，所以==ce a，B 正确；由222223c a b a a +==得222b a=，即b a =y =，C 正确； 易知12245NF F NMF ∠<∠=︒，所以12tan 1MN k NF F =∠<，D 错． 故选：BC ．12.如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E 为边AB 的中点，过E 作ED AC ⊥于D .把ADE 沿DE 翻折至1A DE △的位置，连结1A C .翻折过程中，其中正确的结论是（ ）A. 1DE A C ⊥；B. 存在某个位置，使1A E BE ⊥；C. 若12CF FA =，则BF 的长是定值；D. 若12CF FA =，则四面体C EFB - 『答案』ACD『解析』由DE DC ⊥，1DE A D ⊥，1DCA D D =得DE ⊥平面1A DC ，又1AC ⊂平面1A DC ，所以1DE A C ⊥，A 正确；若存在某个位置，使1A E BE ⊥，如图，连接11,A A A B ，因为BE AE =，所以1A E AB ⊥，连接CE ，正ABC 中，CE AB ⊥，1CE A E E ⋂=，所以AB ⊥平面1A CE ，而1AC ⊂平面1A CE ，所以1AB A C ⊥，由选项A 的判断有1DE A C ⊥，且DEAB E =，DE ⊂平面ABC ，AB 平面ABC ，所以1A C ⊥平面ABC ，又DC ⊂平面ABC ，所以1A C DC ⊥，则1A D CD >，这是不可能的，事实上11111cos602443A D AD AE AE AB AC CD ==︒====，B 错；设M 是AC 中点，连接,FM BM ，则BM AC ⊥，所以//BM DE ，从而1BM A D ⊥，D 是AM 中点，所以2CM AM MD ==，若12CF FA =，即12CF FA =，所以1//FM A D ，所以BM FM ⊥，且由1//FM A D 得1CFMCA D △△，所以123FM CM A D CD ==， ABC 边长为4，则11A D =，22133FM =⨯=，BM =BF ===为定值，C 正确；折叠过程中，1A D 不变，BCE 不动，当F 到平面ABC距离最大时，四面体C EFB -的体积最大，由选项C 的判断知当1AD ⊥平面ABC 时，F 到平面ABC 的距离最大且为12233AD =，又21424BCE S =⨯=△12339C EFB F BCE V V --==⨯=，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.8P ξ<=，则()02ξP <<= .『答案』0.3『解析』正态分布均值为2μ=，()240.80.50.3P x <<=-=，故()020.3P x <<=. 14.若多项式()()()10112110110112111x x a a x a x a x +=+++++++，则10a =______.『答案』22-『解析』由111122[(1)1]x x =+-展开式的通项为111112(1)(1)rr r r T C x -+=+-， 令1110r -=，解得1r =，则110112(1)22a C =⨯-=-， 故答案为：22-．15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos 2cos 0a B b A +=，则tan tan AB=_______，tan C 的最大值是________． 『答案』 (1). 2-(2). 『解析』cos 2cos 0a B b A +=，∴sin cos 2sin cos 0sin cos 2sin cos tan 2tan A B B A A B B A A B +=⇒=-⇒=-， ∴tan 2tan AB=-； ∴tan tan 1tan t 1tan t n an(n )12a ta tan A B BC A B A B B +⋅+=+=--=- 由于求tan C 的最大值，只需考虑tan 0B >的情况，所以41t tan t n an 1a 2B BC ==+≤，等号成立当且仅当n 21tan ta B B=. 故答案为： 2-；4. 16.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意的实数x 都有23()()xx f x f x e+'=-(e 是自然对数的底数)，且(0)1f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰有两个整数，则实数m 的取值范围是_________．『答案』(,0]e - 『解析』()()''23()(),23x x x f x f x f x f x e x e +⎡⎤=-∴+=+⎣⎦， 即()'23x f x e x ⎡⎤=+⎣⎦.设()()2233,x x x x c f x e x x c f x e ++=++∴=. ()231(0)1,1,x x x f c f x e++=∴=∴=, ()()2'212()x x x x x x f x e e +---+∴==-. 由'()0f x >，得21x -<<；由'()0f x <，得1x >或2x <-， ∴函数()f x 在()2,1-上单调递增，在(),2-∞-和()1,+∞上单调递减，如图所示∴当2x =-时，()2min f x e =-.又()()31,3f e f e -=--=，且0x >时，()0f x >， 由图象可知，要使不等式()f x m <的解集中恰有两个整数，需满足(1)0f m -<≤，即0e m -<≤.所以实数m 的取值范围为(],0e -.故答案为：(],0e -.四.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =.设F 为线段AC 上一点，CF =，有下列条件：①2c =；②b =222a b c +=.请从以上三个条件中任选两个，求CBF ∠的大小和ABF 的面积.解：（解法一）选①②，则2a c ==，b = 由余弦定理可得：2221cos 22a cb ABC ac +-∠==-， 又()0,ABC π∠∈，∴23ABC π∠=， ∴6A C π==，在BCF 中，由正弦定理可得sin sin CF BF CBF C=∠，∵CF =，∴sin CBF ∠=， 又23CBF ABC π∠<∠=，∴4CBF π∠=， ∴253412ABF πππ∠=-=，5512612AFB ππππ∠=--=， 则在ABF 中，ABF AFB ∠=∠，∴2AF AB ==， ∴122sin 126ABF S π=⨯⨯⨯=△.（解法二）选②③，∵2a =，b =222a b c +=，∴2c =，由余弦定理可得：222cos 2a b c C ab +-==， 又()0,C π∈，∴6C π=， ∴6A C π==，∴23ABC A C ππ∠=--=，在BCF 中，由正弦定理可得sin sin CF BF CBF C=∠，∵CF =，∴sin 2CBF ∠=. 又23CBF CBA π∠<∠=，∴4CBF π∠=， ∴253412ABF πππ∠=-=，5512612AFB ππππ∠=--=， 则在ABF 中，ABF AFB ∠=∠，∴2AF AB ==， ∴122sin 126ABF S π=⨯⨯⨯=△.（解法三）选①③，则2a c ==，222a b c +=，则：222a b c +-=，由余弦定理可得：222cos 22a b c C ab +-==， 又()0,C π∈，∴6C π=， ∵a c =，∴6A C π==， ∴23ABC A C ππ∠=--=， 在BCF 中，由正弦定理可得sin sin CF BF CBF C=∠，∵CF =，∴sin 2CBF ∠=， 又23CBF CBA π∠<∠=，∴4CBF π∠=， ∴253412ABF πππ∠=-=，5512612AFB ππππ∠=--=， 则在ABF 中，ABF AFB ∠=∠，∴2AF AB ==， ∴122sin 126ABF S π=⨯⨯⨯=△. 18.已知数列{}n a 为正项等比数列，数列{}n b 为等差数列，312b =，520b =，且32a b =，58a b =.（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；（2）将数列{}n a 中的第3项，第6项，第9项，⋅⋅⋅，第3n 项，⋅⋅⋅删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前2021项和.解：（1）设数列{}n a 首项为1a ，公比为q ，数列{}n b 首项为1b ，公差为d .因为351220b b =⎧⎨=⎩，所以11212420,b d b d +=⎧⎨+=⎩解得144b d =⎧⎨=⎩，所以4n b n =. 因为328a b ==，5832a b ==，所以12a =，公比2q，所以2n n a =. （2）由题意知，将数列{}n a 中第3项、第6项、第9项⋅⋅⋅删去后构成的新数列{}n c 中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是12a =，24a =，公比均是8.()()202113520212462020T c c c c c c c c =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()101110101010218418208618187⨯-⨯-⨯-=+=--. 19.在四棱锥P ABCD -中，BC BD DC ===2AD AB PD PB ====． （1）若点E 为PC 的中点，求证：//BE 平面PAD ；（2）当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值．(1)证明：取CD 的中点为M ，连结EM ，BM . 由已知得，BCD ∆为等边三角形，BM CD ⊥. ∵2AD AB ==，BD = ∴30ADB ABD ∠=∠=， 的∴90ADC ∠=，∴//BM AD .又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴BM ∥平面PAD .∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴EM ∥PD .又∵EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，∴EM ∥平面PAD .∵EM BM M ⋂=，∴平面BEM ∥平面PAD .∵BE ⊂平面BEM ，∴BE ∥平面PAD .(2) 解：连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ，由对称性知，O 为BD 的中点，且AC BD ⊥，PO BD ⊥.∵平面PBD ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ，1PO AO ==，3CO =.以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.则D (0，0)，C (3，0，0)，P (0，0，1).易知平面PBD 的一个法向量为()1100n =，，. 设平面PCD 的法向量为()2n x y z =，，，则2n DC ⊥，2n DP ⊥，∴2200n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， ∵()3DC =，，()031DP =，，，∴300x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩.令y =13x z =-=-，，∴()213n =--，∴121212cos 1313n n n n n n ⋅===⋅，设二面角C PD B --的大小为θ，则cos θ=20.发展“会员”、提供优惠，成为不少实体店在网购冲击下吸引客流的重要方式．某连锁店为了吸引会员，在2019年春节期间推出一系列优惠促销活动．抽奖返现便是针对“白金卡会员”、“金卡会员”、“银卡会员”、“基本会员”不同级别的会员享受不同的优惠的一项活动：“白金卡会员”、“金卡会员”、“银卡会员”、“基本会员”分别有4次、3次、2次、1次抽奖机会．抽奖机如图：抽奖者第一次按下抽奖键，在正四面体的顶点O 出现一个小球，再次按下抽奖键，小球以相等的可能移向邻近的顶点之一，再次按下抽奖键，小球又以相等的可能移向邻近的顶点之一……每一个顶点上均有一个发光器，小球在某点时，该点等可能发红光或蓝光，若出现红光则获得2个单位现金，若出现蓝光则获得3个单位现金．（1）求“银卡会员”获得奖金的分布列；（2）()1,2,3,4,i P i =表示第i 次按下抽奖键，小球出现在O 点处的概率．①求1P ，2P ，3P ，4P 的值；②写出1n P +与n P 关系式，并说明理由．解：（1）设“银卡会员”获得奖金为ξ个单位现金，则ξ可取4，5，6()1114224P ξ==⨯=；()11152222P ξ==⨯⨯=；()1116224P ξ==⨯= ξ的分布列:（2）①第一次按下抽奖键小球一定出现在正四面体的顶点O ，得出11P =第二次按下时，小球移向其它相邻点，则20P =第三次按下时，由于小球不在点O ，则313P =第四次按下抽奖键时若第三次结束小球在点O ，则第四次按下抽奖键时小球出现在点O 的概率为0若第三次结束小球不在点O ，则第四次按下抽奖键时小球出现在点O 的概率为1121339⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭ 422099P ∴=+=． ②由题意知：若第n 次按下抽奖键小球出现在O 点处，则第1n +次小球出现在O 点处的概率为0；若第n 按下抽奖键小球不在O 点处，则第1n +次小球出现在O 点处的概率为13． ∴()111101333n n n n P P P P +=⋅+-⋅=-． 21.如图，已知抛物线E ：22x py =（0p >）与圆O ：225x y +=相交于A ，B 两点，且AB 4=.过劣弧AB 上的动点()00,P x y 作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线1l ，2l ，相交于点M .（1）求抛物线E 的方程；（2）求点M 到直线CD 距离的最大值.解：（1）AB 4=，且B 在圆上，所以圆心O 到弦AB的距离1d ==由抛物线和圆的对称性可得()2,1B ，代入抛物线可得42p =，解得2p =，∴抛物线E 的方程为24x y =；（2）设2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4D x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由24x y =，可得214y x =， ∴12y x '=， 则1l 的方程为：()21111142y x x x x -=-，即2111124y x x x =-——①， 同理2l 的方程为：2221124y x x x =-——②， 联立①②解得()1212x x x =+，1214y x x =， 又直线CD 与圆225x y +=切于点()00,P x y ，易得CD 方程为005x x y y +=，其中0x ，0y 满足22005x y +=，0y ⎡∈⎣，联立20045x y x x y y ⎧=⎨+=⎩，化简得2004200y x x x +-=，∴01204x x x y +=-，12020x x y =-， 设(),M x y ，则()0120212x x x x y =+=-，120154y x x y ==-， ∴点M 到直线00:5CD x x y y +=的距离为：010210y d -+==，0y ⎡∈⎣ 易知d 关于0y单调递减，max d == 即点M 到直线CD22.已知函数（R ）． （1）当14a =时，求函数()y f x =的单调区间； （2）若对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求a 的取值范围．解：（1）当14a =时，21()ln(1)4f x x x x =++-， 则11(1)()1(1)122(1)x x f x x x x x -=+-=>-++'， 令()0f x '>，得10x -<<或1x >；令()0f x '<，得01x <<，∴函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)．（2）由题意[2(12)]()(1)(1)x ax a f x x x -->-+'=， （1）当0a ≤时，函数()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，此时，不存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ．（2）当0a >时，令()0f x '=，有10x =，2112x a =-， ①当12a =时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，显然符合题意． ②当1102a ->即102a <<时，函数()f x 在(1,0)-和1(1,)2a-+∞上单调递增， 在1(0,1)2a-上单调递减，()f x 在0x =处取得极大值，且(0)0f =， 要使对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ， 只需(1)0f ≥，解得1ln 2a ≥-，又102a <<， 所以此时实数a 的取值范围是11ln 22a -≤<． ③当1102a -<即12a >时，函数()f x 在1(1,1)2a--和(0,)+∞上单调递增， 在1(1,0)2a-上单调递减，要存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时， 函数()f x 的最大值为()f b ，需1(1)(1)2f f a-≤， 代入化简得1ln 2ln 2104a a++-≥，① 令11()ln 2ln 21()42g a a a a =++->，因为11()(1)04g a a a=-'>恒成立， 故恒有11()()ln 2022g a g >=->，所以12a >时，①式恒成立， 综上，实数a 的取值范围是[1ln 2,)-+∞．。

济宁一中2021级高三一轮复习质量检测数学试题（二）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A. 22+11()x y += B. 22(1)1x y -+=C. 22(1)1y x +-=D. 22(+1)1y x +=【答案】C 【解析】 【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1y x +-=．故选C ．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.若a >b ，则 A. ln(a −b )>0 B. 3a <3b C. a 3−b 3>0 D. │a │>│b │【答案】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3x y =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．4.已知()cos ,sin a αα=， ()()()cos ,sin b αα=--，那么“0a b ⋅=”是“α= 4k ππ+ ()k Z ∈”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】2202a b cos cos sin sin cos sin cos ααααααα⋅==⋅-+⋅-=-=（）（） ∵222k παπ∴=±，解得4k k Z παπ=±∈（）．故“0?a b ⋅=是“α= 4k ππ+ ()k Z ∈”的必要不充分条件故选B ．点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．5.双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO的面积为A.4B.2C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．【详解】由2,,,a b c ====．,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y =上，112224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．6.已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32=，则14m n+的最小值为 A.34B.910C.32D.95【答案】A 【解析】 【分析】本题首先可以通过等比数列的相关性质以及28516a a a 、3520a a +=求出数列{}n a 的通项公式，然后通32=得出12m n +=，最后将14mn转化为11412mnm n 并利用基本不等式即可得出结果．【详解】因为数列{}n a 是正项等比数列，28516a a a ，3520a a +=，所以2285516a a a a ，516a =，34a =，所以253a a q =，2q ，451a a q ，11a =，1112n n n a a q --==，因为32m n a a =，所以1110222m n，12m n +=，414114112125n m m n m n mnm n431124520,0n m mnm n ，当且仅当2n m =时“=”成立，所以14m n的最小值为34，故选A ．【点睛】本题考查了等比数列的相关性质以及基本不等式的相关性质，等比数列的通项公式是11n n a a q -=，等比中项2n k nkn a a a ，基本不等式有20,0a b ab a b ，考查公式的使用，考查化归与转化思想，是中档题．7.已知四棱锥M ABCD -，MA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，180BCD BAD ∠+∠=︒，2MA =，26BC =，30ABM ∠=︒.若四面体MACD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. 20πB. 22πC. 40πD. 44π【答案】C 【解析】 【分析】设AC 的中点为E ，MC 的中点为O ，可知点O 为四面体MACD 外接球的球心，进而根据垂直关系利用边长求解即可.【详解】因为180BCD BAD ∠+∠=︒，所以A ，B ，C ，D 四点共圆，90ADC ABC ∠=∠=︒. 由2tan30AB︒=，得3AB =()()2223266AC =+=.设AC 的中点为E ，MC 的中点为O ，因为MA ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD .易知点O 为四面体MACD 外接球的球心，所以22621022OC ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2=4=40S OC ππ⋅球.故选C【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ． 8.如图，在ABC ∆中，3BAC π∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若ABC ∆的面积为23，则AP 的最小值为( )A. 2B.43C. 3D. 3【答案】D 【解析】 【分析】运用平面向量基本定理，得到m 的值，结合向量模长计算方法，建立等式，计算最值，即可． 【详解】()AP AC CP AC kCD AC k AD AC =+=+=+- 23AC k AB AC ⎛⎫=+-⎪⎝⎭()21132k AB k AC mAC AB =+-=+，得到211,32k k m -==，所以14m =，结合 ABC ∆的面积为23，得到132322AC AB ⋅⋅=,得到8AC AB ⋅=，所以 222211111613164816AP AC AB AC AB AC AC=++⋅⋅=++≥D ． 【点睛】考查了平面向量基本定理，考查了基本不等式的运用，难度偏难．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是（ ）A. B.C. D.【答案】BD 【解析】 【分析】采用逐一验证法，结合线线位置关系以及线面垂直的判定定理，可得结果. 【详解】对于A ，由AB 与CE 所成角为45︒， 可得直线AB 与平面CDE 不垂直； 对于B ，由ABCE ，AB ED ⊥，CE ED E ⋂=，可得AB ⊥平面CDE ；对于C ，由AB 与CE 所成角为60︒， 可得直线AB 与平面CDE 不垂直； 对于D ，连接AC ，由ED ⊥平面ABC ， 可得ED ⊥AB ，同理可得EC AB ⊥， 又ED EC E ⋂=，所以AB ⊥平面CDE .故选：BD【点睛】本题考查线线位置关系，还考查线面垂直的判定定理，属基础题.10.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007~2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示.根据折线图和条形图，下列结论正确的有（ ）A. 2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年研发投入占营收比增量大B. 2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年研发投入增量小C. 该企业连续12年来研发投入逐年增加D. 该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据图形给出的信息，分析判断即可．【详解】对于选项A ，2012年至2013年研发投入占营收比增量为2%，2017年至2018年研发投入占营收比增量为0.3%，所以该选项正确；对于选项B ，2013年至2014年研发投入增量为2，2015年至2016年研发投入增量为19，所以该选项正确； 对于选项C ，该企业连续12年来研发投入逐年增加，所以该选项是正确的；对于选项D ，该企业连续12年来研发投入占营收比不是逐年增加，如2009年就比2008年的研发投入占营收比下降了.所以该选项是错误的. 故选：ABC【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．11.将函数()213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ）A. 12x π=对称B. 图象关于y 轴对称C. 最小正周期为πD. 图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数sin(+y A x ωϕ=）的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．【详解】将函数()3cos 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度， 得到()3cos 213cos 213cos 2133y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++-=+-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象； 再向上平移1个单位长度，得到函数()3cos2g x x =-的图象，对于函数()g x ，它的最大值为3，由于当12x π=时，()32g x =-，不是最值，故()g x 的图象不关于直线12x π=对称，故A 错误； 由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确； 它的最小正周期为22ππ=，故C 正确； 当4x π=时，()0g x =，故函数()g x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确. 故选：BCD【点睛】本题主要考查函数sin(+y A x ωϕ=）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题． 12.已知函数()y f x =的导函数()f x '的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A. 函数()y f x =在区间13,2⎛⎫--⎪⎝⎭内单调递增 B. 当2x =-时，函数()y f x =取得极小值 C. 函数()y f x =在区间()2,2-内单调递增 D. 当3x =时，函数()y f x =有极小值 【答案】BC 【解析】 【分析】利用()0f x '>的区间是增区间，使()0f x '<的区间是减区间，导数等于零的值是极值，先增后减是极大值，先减后增是极小值分别对选项进行逐一判定.【详解】对于A ，函数()y f x =在区间13,2⎛⎫--⎪⎝⎭内有增有减，故A 不正确； 对于B ，当2x =-时，函数()y f x =取得极小值，故B 正确；对于C ，当()2,2x ∈-时，恒有()0f x '>，则函数()y f x =在区间()2,2-上单调递增，故C 正确； 对于D ，当3x =时，()0f x '≠，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题考查了通过导函数图象判定原函数的单调性，以及极值问题，属于易错题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为_____． 【答案】1200 【解析】 【分析】先求出高三年级出去的人数和所占比例，再用高三年级学生数除以其所占比例即为总人数. 【详解】解：由题意知高三年级抽取了100242650--=人 所以该校学生总人数为506001200100⎛⎫÷= ⎪⎝⎭人 故答案为1200.【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.14.已知23(2)(1)x ax -+的展开式的所有项系数之和为27，则实数a =______，展开式中含2x 的项的系数是______.【答案】 (1). 2 (2). 23； 【解析】 【分析】将x=1代入表达式可得到各项系数之和，按照展开式的系数的公式得到2x 的系数之和. 【详解】已知()()3221xax -+的展开式的所有项系数之和为27,将x=1代入表达式得到()3127 2.a a +=⇒=展开式中含2x 的项的系数是()()2133322123.C x C ⨯+-⨯=故答案为(1). 2；(2). 23.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可;(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.15.“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream ”，其中China 又可以简写为CN ，从“CN Dream 中取6个不同的字母排成一排，含有“ea ”字母组合（顺序不变）的不同排列共有______种. 【答案】600 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：先从从其他5个字母中任取4个，再将“ea ”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：先从其他5个字母中任取4个，有45C 5=（种）选法，再将“ea ”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，有55A 120=（种）情况，则不同的排列有5120600⨯=（种）.故答案为：600【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，注意将“ea”看成一个整体,属于中档题． 16.若函数()()1,f x a nx a R =∈与函数()g x =a 的值为______．【答案】2e 【解析】 【分析】函数()ln f x a x =的定义域为()0,+∞，求出导函数，利用曲线()y f x =与曲线()g x =公共点为()00,x y 由于在公共点处有共同的切线，解得204x a =，0a >，联立()()00f x g x =解得a 的值．【详解】解：函数()ln f x a x =的定义域为()0,+∞，()a f x x'=，()g x '=， 设曲线()ln f x a x =与曲线()g x =()00,x y ，由于在公共点处有共同的切线，∴0a x =，解得204x a =，0a >．由()()00f x g x =，可得0ln a x =联立2004x a alnx ⎧=⎪⎨=⎪⎩2e a =．故答案为2e．【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．四、解答题（本题共6小题，共70分）17.已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）证明见解析 （2）()11222n n n n S ++=--【解析】 【分析】(1)根据n n b a n =+求得1n b +,化简成含n a 的表达式再得12n n b b +=即可.(2)根据(1)中等比数列的首项与公比求得数列{}n b 的通项公式,再代入n n b a n =+即可求得数列{}n a 的通项公式,再根据分组求和求解即可.【详解】（1）证明：因为121,n n n n a a n b a n +=+-=+所以()()()11121122n n n n n b a n a n n a n b ++=++=+-++=+=, 又因为11120b a =+=≠,则12n nb b +=, 所以数列{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列.（2）由（1）知2n n n a n b +==,所以2nn a n =-,所以()()()()232122232nn S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-()()232222123n n =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()()()121211221222n n n n n n +-++=-=---【点睛】本题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了分组求和与等比等差数列求和的公式等.属于中等题型.18.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22233423b c bc a +-=. （1）求sin A ； （2）若3sin 2sin c A a B =，ABC ∆的面积为2，求ABC ∆的周长【答案】（1）1sin 3A =；（2）2326++ 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理直接求解可得cos A ，进而可得sin A ； （2）由正弦定理角化边可得2b =，再利用面积公式求解即可. 【详解】（1）因为22233423b c bc a +-=，所以222423b c a bc +-=， 所以22222cos 23b c a A bc +-==，从而281sin 1cos 193A A =-=-=. （2）因为3sin 2sin c A a B =，所以32ac ab =，即2b =. 因为ABC ∆的面积为2，所以1sin 22bc A =，即2112232⨯⨯=，所以24c =， 解得2c =.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题.19.已知如图1直角梯形ABCD ，///AB CD ，90DAB ∠=︒，4AB =，2AD CD ==，E 为AB 的中点，沿EC 将梯形ABCD 折起（如图2），使平面BED ⊥平面AECD .（1）证明：BE ⊥平面AECD ；（2）在线段CD 上是否存在点F ，使得平面FAB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23，若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在，F 为CD 中点 【解析】 【分析】（1）连接AC ，则AC DE ⊥，由平面BDE ⊥平面AECD 可得AC ⊥平面BDE ，可得AC BE ⊥,又BE CE ⊥可证BE ⊥平面AECD ；（2）建立空间直角坐标系，设(),0,2F a ，02a ≤≤，根据二面角的向量计算公式即可求出. 【详解】（1）证明 连接AC ，则AC DE ⊥，又平面BDE ⊥平面AECD ，平面BDE ⋂平面AECD DE =，AC ⊂平面AECD ， 所以AC ⊥平面BDE ， 所以AC BE ⊥. 又BE CE ⊥，ACCE C =，AC ，CE ⊂平面AECD ，所以BE ⊥平面AECD .（2）（1）得BE ⊥平面AECD ，所以BE AE ⊥. 所以EA ，EB ，EC 两两垂直，分别以EA ，EB ，EC 方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系E xyz -, 如图所示，则()0,0,0E ，()2,0,0A ，()0,2,0B ， 设(),0,2F a ，02a ≤≤， 所以()2,0,2AFa =-，(),2,2BF a =-，设平面FAB 的法向量为(),,n x y z =，则()220,220,AF n x x z BF n ax y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩取2x =，得()2,2,2n a =-.取平面EBC 的法向量为()1,0,0m =. 所以22cos 3m n m n m na ⋅⋅===⋅， 所以1a =.所以线段CD 上存在点F ，且F 为CD 中点时，使得平面FAB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23. 【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，二面角的向量求法，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>C 过点3,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且与圆：222x y +=交于E 、F 两点，求2AB EF⋅的取值范围．【答案】（1）22132x y +=；（2）3⎡⎢⎣ 【解析】【分析】(1)得到2232a b =，再将点32⎛ ⎝⎭带入椭圆方程中即可得出结果； (2)首先可以通过椭圆方程来确定椭圆的右焦点坐标，然后对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，分别求出在两种情况下2||AB EF ⋅的取值范围，最后即可得出结果．【详解】（1）由已知可得c a =2232ab =， 所以椭圆的方程为2222132x y b b +=，将点32⎛ ⎝⎭带入方程得22b =，即23a =， 所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=．（2）椭圆的右焦点为()1,0，①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，则1,3A ⎛ ⎝⎭，1,3B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,1E ，1,1F所以AB =，2||4EF =，2||AB EF ⋅=； ②若直线l 的斜率存在，设直线l 方程为()1y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线l 与椭圆方程()221321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得()2222236360k x k x k +-+-=， 则2122623k x x k+=+，21223623k x x k -=+， 所以)22123k AB k +===+， 因为圆心()0,0到直线l的距离d =()2222242||4211k k EF k k +⎡⎤=-=⎢⎥++⎣⎦，所以)())22222222224142223||1222312333k k k k AB EF k k k k k ⎫+++⎪+⋅=⋅===+⎪+++ ⎪++⎝⎭， 因为[)20k ∈+∞，，所以2||AB EF ⋅∈⎝，综上，2||AB EF ⋅∈⎣．【点睛】本题考查了椭圆的相关性质，主要考查了椭圆的标准方程的求法以及椭圆与直线位置关系的应用，考查了化归与转化思想，考查了分类讨论思想，考查了韦达定理的使用，考查了计算能力，是难题． 21.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民网购消费金额均在区间[]0,30内，按[]0,5，(]5,10，(]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30分成6组，其频率分布直方图如图所示.（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的22⨯列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”； 男 女 合计 网购迷 20 非网购迷 45 合计100（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望.附：观测值公式：()()()()()()22a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++ 临界值表：()20P K k ≥ 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】(1) 中位数估计为17.5千元. (2)见解析；(3) 73【解析】 【分析】(1)利用频率分布直方图的中位数公式求解即可(2) 由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.3510035⨯=，得“网购迷”共有35人，列出列联表计算2K 即可得出结论；(3) 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为X ，Y ，据题意得12,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，计算()(Y)E X E ，，由X Y ξ=+，即可求解【详解】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.010.020.04)50.35++⨯=， 后2个小矩形的面积之和为(0.040.03)50.35+⨯=，所以中位数位于区间(]15,20内.设直方图的面积平分线为15x +，则0.060.50.350.15x =-=，得 2.5x =，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.3510035⨯=， 所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人. 所以补全的列联表如下：因为22100(45201520)600 6.593 5.0246040356591K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，查表得()2 5.0240.025P K ≥=，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为12，23. 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为X ，Y ，据题意，12,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以1()212E X =⨯=，24()233E Y =⨯=. 因为X Y ξ=+，则7()()()3E E X E Y ξ=+=，所以ξ的数学期望为73.【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布，熟记公式准确计算是关键，是中档题 22.已知函数()1xf x x ae =-+（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =-时，设1210,0x x -<<>且()()125f x f x +=-，证明：12124x x e->-+． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】分析：（1）先求出导函数()1xf x ae ='+，分类讨论当0a ≥和当0a <时导函数的符号，判断单调区间．（2）通过构造函数g （x ），利用导函数研究g （x ）的单调性，利用函数的单调性，求出函数的最大值，不等式得证． 详解：解：（1）()1x f x ae ='+，当0a ≥时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增． 当0a <时，令()0f x '>，得1ln x a ⎛⎫<-⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为1,ln a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()0f x '<，得1ln x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递减区间为1ln ,a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）证明：（法一）设()()231xg x f x x e x =+=-+-，则()3xg x e =-+'，由()0g x '<得ln3x >；由()0g x '>得ln3x <， 故()()max ln33ln340g x g ==-< 从而得()()20g x f x x =+<，()()()()1222125,2520f x f x f x x f x x +=-∴+=--+<，即12124x x e->-+． （法二）()()1212125,3x x f x f x x e e x +=-∴=+--，12122233x x x x e e x ∴-=+--，设()3xg x e x =-，则()3xg x e '=-，由()0g x '<得ln3x >；由()0g x '>得ln3x <， 故()()min ln333ln3g x g ==-．1210,0x x -<，1121233ln33ln3x x e e-∴->+-=-，3ln3ln274=<，12124x x e∴->-+．点睛：本题考查利用导函数求函数的单调性、利用函数的单调性求函数的最值、通过构造函数证明不等式、分类讨论的数学思想方法在解题中的综合应用．高考中常考压轴题，属于难题．。

山东省济宁嘉祥一中2020届高三下学期第4次模拟考试数学试题数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．四个选项中只有一项符合题目要求．）1．已知集合{ln(1)}A x y x ==-∣，{}220B x x x =--≤∣，则A B ⋂=（ ） A ．{1}xx -∣ B ．{|12}x x <≤ C ．{12}x x <<∣ D ．{2}x x ≥∣ 2．复平面内复数z i =对应的点为Z ，将OZ 绕原点O 逆时针旋转6π，所得向量对应的复数是（ ）A ．12-+ B ．12i + C ．12-- D ．12i - 3．已知向量a 是单位向量，(3,4)b =，且//a b ，则|2|a b -=（ ） A ．11 B ．9 C ．11或9 D ．121或814．“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”，孟子延伸为“仁、义、礼、智”，董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”将“仁义礼智信”排成一排，“仁”排在第一位，且“智信”相邻的概率为（ ） A ．110 B ．15 C ．310 D ．255．已知直线,a b 与平面,αβ，且//,a b b α⊥，则αβ⊥是//αβ的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若函数1()sin cos 22f x x x =+在[2,]πα上单调递增，则α的最大值为（ ） A ．3π B ．52π C ．73π D ．136π 7．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体τ，CD 是底面圆O 上的弦，COD 为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B C D8．已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin xg x h x e x x +=+-，若函数2020|2()3(2020)2x f x g x λλ-=---∣有唯一零点，则实数λ的值为（ ）A ．1-或12 B ．1或12- C ．1-或2 D ．2-或1 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．）9．随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放．如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数（单位：万人）与同比增长情况统计图则下面结论中正确的是（ ）．A ．2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；B ．2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；C ．中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；D ．2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%． 10．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图象，若()()129g x g x =，且12,[2,2]x x ππ∈-，则()12sin x x +的可能取值为（ ） A ．12B ．1-C ．1D ．0 11．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 分别与双曲线左右两女交于,M N 两点，以MN 为直径的圆过2F ，且2212MF MN MN ⋅=，则以下结论正确的是（ ）A ．12120F MF ︒∠=； B ．双曲线CC ．双曲线C 的渐近线方程为y =；D ．直线l 的斜率为1．12．如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E 为边AB 的中点，过E 作ED AC ⊥于D ．把ADE 沿DE 翻折至1A DE 的位置，连结1A C ．翻折过程中，其中正确的结论是（ ）A ．1DE AC ⊥；B ．存在某个位置，使1A E BE ⊥；C ．若12CF FA =，则BF 的长是定值；D ．若12CF FA =，则四面体C EFB - 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且(4)0.8P ξ<=，则(02)P ξ<<=_____．14．若多项式21110110110112(1)(1)(1)x x a a x a x a x +=+++++++，则10a =_______．15．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos 2cos 0a B b A +=，题知tan tan AB=______，tan C 的最大值是______．（第一空2分，第二空3分）16．已知函数()f x 的导函数为()f x '，对任意实数x 都有23()()xx f x f x e'+=-（e 是自然对数的底数），且(0)1f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰有两个整数，则实数m 的取值范围是____． 四．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本题10分）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2a =．设F 为线段AC 上一点，CF =，有下列条件：①2c =；②b =222a b c +-=．请从以上三个条件中任选两个，求CBF ∠的大小和ABF 的面积． 18．（本题12分）已知数列{}n a 为正项等比数列，数列{}n b 为等差数列，312b =，520b =，且32a b =，58a b =．（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式：（2）将数列{}n a 中的第3项，第6项，第9项，…，第3m 项，…删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前2021项和．19．（本题12分）在四棱锥P ABCD -中，BC BD DC ===2AD AB PD PB ====．（1）若点E 为PC 的中点，求证：//BE /平面PAD ；（2）当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值．20．（本题12分）发展“会员”、提供优惠，成为不少实体店在网购冲击下吸引客流的重要方式．某连锁店为了吸引会员，在2019年春节期间推出一系列优惠促销活动，抽奖返现便是针对“白金卡会员”“金卡会员”、“银卡会员”、“基本会员”分别有4次、3次、2次、1次抽奖机会，抽奖机如图：抽奖者第一次按下抽奖键，在正四面体的顶点O 出现一个小球，再次按下抽奖键，小球以相等的可能性移向邻近的顶点之一，再次按下抽奖键，小球又以相等的可能性移向邻近的顶点之一，每一个顶点上均有一个发光器，小球在某点时，该点等可能发红光或蓝光，若出现红光则获得2个单位现金，若出现蓝光则获得3个单位现金．（1）求“银卡会员”获得奖金的分布列；（2）(1,2,3,4)i P i =表示第i 次按下抽奖键，小球出现在O 处的概率．①求1234,,,P P P P 的值；②写出1n P +与n P 的关系式，并说明理由． 21．（本题12分）如图，已知抛物线2:2(0)E x pyp =>与圆22:5O x y +=相交于,A B 两点，且||4AB =．过劣弧AB 上的动点()00,P x y 作圆O 的切线交抛物线E 于,C D 两点，分别以,C D 为切点作抛物线E 的切线12,l l ，相交于点M ．（1）求抛物线E 的方程；（2）求点M 到直线CD 距离的最大值．22．（本题12分）已知函数2()ln(1)()f x x ax x a R =++-∈． （1）当14a =时，求函数()y f x =的单调区间； （2）若对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ．求a 的取值范围．数学模拟4答案一．1-4 BACA 5-8 BDBA 二．9．AB 10．BC 11．BC 12．ACD三．填空题 13．0.3 14．22- 15．2-；416．(,0]e -四、17．（解法一）选①②，则2a c ==，b =2221cos 22a cb ABC ac +-∠==-，∴23ABC π∠=，BCF 中，sin sin CF BF CBF C =∠，∵CF =，∴sin 2CBF ∠=又23CBF ABC π∠<∠=，∴4CBF π∠=， ∴253412ABF πππ∠=-=，5512612AFB ππππ∠=--=， 则在ABF 中，ABF AFB ∠=∠，∴2AF AB ==， ∴122sin 126ABF S π=⨯⨯⨯=△．（解法二）选②③，∵2a =，b =222a b c +=，∴2c =，由余弦定理可得：222cos 2a b c C ab +-==，又()0,C π∈，∴6C π=， ∴6A C π==，∴23ABC A C ππ∠=--=， 下同解法一（解法三）选①③，则2a c ==，222a b c +-=，则：222a b c +-=，由余弦定理可得：222cos 2a b c C ab +-==，又()0,C π∈，∴6C π=， ∵a c =，∴6A C π==，∴23ABC A C ππ∠=--=，下同解法一18．（1）设数列{}n a 首项为1a ，公比为q ，数列{}n b 首项为1b ，公差为d ． 因为351220b b =⎧⎨=⎩，所以11212420,b d b d +=⎧⎨+=⎩解得144b d =⎧⎨=⎩，所以4n b n =．因为328a b ==，5832a b ==，所以12a =，公比2q，所以2n n a =．由题，将数列{}n a 中的第3项、第6项、第9项⋅⋅⋅删去后构成的新数列{}n c 中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是12a =，24a =，公比均是8．()()202113520212462020T c c c c c c c c =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()101110101010218418208618187⨯-⨯-⨯-=+=--． 19．(Ⅰ)取CD 的中点为M ，连结EM ，BM ．由已知得，BCD 为等边三角形，BM CD ⊥．∵2AD AB ==，BD =30ADB ABD ∠=∠=， ∴90ADC ∠=，∴//BM AD ．又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴//BM 面PAD ．∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴//EM PD ． 又∵EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴//EM 面PAD ．∵EM BM M ⋂=，∴平面//BEM 面PAD ． ∵BE ⊂平面BEM ，∴//BE 面PAD ．(Ⅱ)连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ，由对称性知，O 为BD 的中点，且AC BD ⊥，PO BD ⊥． ∵平面PBD ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥， ∴PO ⊥平面ABCD ，1PO AO ==，3CO =．以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．则(0,D ，(3,0,0)C ，(0,0,1)P ．易知平面PBD 的一个法向量为()11,0,0n =．设平面PCD 的法向量为()2,,n x y z =，则2n DC ⊥，2n DP ⊥，∴2200n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∵()30DC =,，()0,DP =，∴300x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩．令y =1,3x z =-=-，∴()23n =--，∴121212cos 1313n n n n nn ⋅===-⋅,．设二面角C PD B --的大小为θ，则cos 13θ=．20．【答案】（1）见解析；（2）①11P =，20P =，313P =，429P =；②11133n n P P +=-． 【解析】（福建厦门刘真）（1）设“银卡会员”获得奖金为ξ个单位现金，则ξ可取4，5，6．111(4)224P ξ==⨯=，111(5)2222P ξ==⨯⨯=，111(6)224P ξ==⨯=， 则ξ的分布列为：（2）①11P =，20P =，313P =，41112013339P ⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭；②山题意知：若第n 次按下抽奖键小球出现在O 点处，则第1n +次小球出现在O 点处的概率为0； 若第n 次按下抽奖键小球不在O 点处，则第1n +次小球出现在O 点处的概率为13； ∴()111101333n n n n P P P P +=⨯+-⨯=-. 21．（1）∵4AB =，且B 在圆上，圆心O 到弦AB的距离1d ==，可得()2,1B ， 代入抛物线可得42p =，∴抛物线E 的方程为24x y =； （2）设2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4D x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由24x y =，得214y x =，12y x '=， 则()21111142:1l y x x x x -=-，即2111124y x x x =-——①，同理2l 的方程为：2221124y x x x =-——②，联立①②解得()1212x x x =+，1214y x x =， 又直线CD 与圆225x y +=切于点()00,P x y ，易得CD 方程为005x x y y +=，0y ⎡∈⎣，联立20045x y x x y y ⎧=⎨+=⎩，化简得2004200y x x x +-=，∴01204x x x y +=-，12020x x y =-， 设(),M x y ，则()0120212x x x x y =+=-，120154y x x y ==-， ∴点M 到直线00:5CD x x y y +=的距离为：010210y d -+==，0y ⎡∈⎣． 易知d 关于0y单调递减，max d ==即点M 到直线CD ． 22．【解析】（1）当14a =时，21()ln(1)4f x x x x =++- 则11(1)()1(1)122(1)x x f x x x x x '-=+-=>-++ 1分 令()0f x '>，得10x -<<或1x >；令()0f x '<，得01x <<，∴函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-和(1,)+∞，单调递减区间为（(0,1)． 4分（2）由题意[2(12)]()(1)1x ax a f x x x '--=>-+（ⅰ）当0a 时，函数()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，此时，不存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ． 6分（ii ）当0a >时，令()0f x '=，有1210,12x x a==-， ①当12a =时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，显然符合题意． 7分 ②当1102a ->，即102a <<时， 函数()f x 在(1,0)-和11,2a ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭上单调递增，在10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减， ()f x 在0x =处取得极大值，且(0)0f =，要使对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，只需(1)0f ，解得1ln2a -，又102a <<， 所以此时实数a 的取值范围是11ln 22a -<． 9分 ③当1102a -<即12a >时，函数()f x 在11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和(0,)+∞上单调递增，在11,02a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减， 要使对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ， 只需11(1)2f f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 代入化简得1ln(2)ln 210,(*)4a a++- 令11()ln(2)ln 2142g a a a a ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭， 因为11()104g a a a '⎛⎫=-> ⎪⎝⎭恒成立， 故恒有11()ln 2022g a g ⎛⎫>=->⎪⎝⎭，所以12a >时，(*)式恒成立， 综上，实数a 的取值范围是[1ln 2,)-+∞． 12分。

济宁一中2017级高三一轮复习质量检测数学试题（二）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A. 22+11()x y +=B. 22(1)1x y -+=C. 22(1)1y x +-=D. 22(+1)1y x +=3.若a >b ，则 A. ln(a −b )>0 B. 3a <3b C. a 3−b 3>0D. │a │>│b │4.已知()cos ,sin a αα=， ()()()cos ,sin b αα=--，那么“0a b ⋅=”是“α= 4k ππ+ ()k Z ∈”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO的面积为A.4B.2C. D.6.已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32=，则14m n+的最小值为 A.34B.910C.32D.957.已知四棱锥M ABCD -，MA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，180BCD BAD ∠+∠=︒，2MA =，BC =30ABM ∠=︒.若四面体MACD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. 20πB. 22πC. 40πD. 44π8.如图，在ABC ∆中，3BAC π∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，若ABC ∆的面积为AP 的最小值为( )A. 2B. 43C. 3D. 3二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是（）A. B.C. D.10.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007~2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示.根据折线图和条形图，下列结论正确的有（）A. 2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年研发投入占营收比增量大B. 2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年研发投入增量小C. 该企业连续12年来研发投入逐年增加D. 该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加11.将函数()3cos 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ） A. 最大值为3，图象关于直线12x π=对称B. 图象关于y 轴对称C. 最小正周期为πD. 图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 12.已知函数()y f x =的导函数()f x '的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A. 函数()y f x =在区间13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递增B. 当2x =-时，函数()y f x =取得极小值C. 函数()y f x =在区间()2,2-内单调递增D. 当3x =时，函数()y f x =有极小值三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为_____． 14.已知23(2)(1)x ax -+的展开式的所有项系数之和为27，则实数a =______，展开式中含2x 的项的系数是______.15.“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream ”，其中China 又可以简写为CN ，从“CN Dream 中取6个不同的字母排成一排，含有“ea ”字母组合（顺序不变）的不同排列共有______种. 16.若函数()()1,f x a nx a R =∈与函数()g x x =a 的值为______．四、解答题（本题共6小题，共70分）17.已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列;（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22233423b c bc a +-=. （1）求sin A ； （2）若3sin 2sin c A a B =，ABC ∆的面积为2，求ABC ∆的周长19.已知如图1直角梯形ABCD ，///AB CD ，90DAB ∠=︒，4AB =，2AD CD ==，E 为AB 的中点，沿EC 将梯形ABCD 折起（如图2），使平面BED ⊥平面AECD .（1）证明：BE ⊥平面AECD ；（2）在线段CD 上是否存在点F ，使得平面FAB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23，若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为33，且椭圆C 过点32,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且与圆：222x y +=交于E 、F 两点，求2AB EF⋅的取值范围．21.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[]0,30内，按[]0,5，(]5,10，(]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30分成6组，其频率分布直方图如图所示.（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的22⨯列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望.附：观测值公式：()()()()()()22a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++ 临界值表：.22.已知函数()1xf x x ae =-+（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =-时，设1210,0x x -<<>且()()125f x f x +=-，证明：12124x x e->-+．。

山东省济宁市第一中学2020学年高二数学10月阶段检测试卷（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试用时 120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每题 5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 )1.若，则以下不等式建立的是( ).A. B. C. D.【答案】B【分析】∵a＞b＞c，∴a﹣c＞b﹣c＞0，∴．应选B．2.等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则以下各数也为定值的是( ).A. B. C. D.【答案】C【分析】试题剖析：，因此是定值，是定值考点：等差数列通项公式乞降公式及性质评论：此题用到的知识点，性质：若则，此性质在数列题目中应用宽泛3.已知数列中，=2，＝1，若为等差数列，则等于（）.A.1B.C.【答案】C【分析】【剖析】由为等差数列，联合求出数列的公差，再由等差数列的通项公式，求出，即可获得答案．【详解】由数列为等差数列，则公差，因此，因此，应选C．【点睛】此题主要考察了等差数列的通项公式及其应用，此中熟记等差数列的观点和通项公式的灵巧应用是解答的重点，侧重考察了推理与运算能力，属于基础题．4.在等差数列等于().A.13B.18C.20D.22【答案】A【分析】【剖析】由已知的第2个等式减去第 1个等式，利用等差数列的性质获得差为公差的3倍，且求出得值，而后再由所求得式子减去第2个等式，利用等差数列的性质，也获得其公差为，把的值代入即可求得答案．【详解】设等差数列的公差为，由，则，即，又由，因此，应选A．【点睛】此题主要考察了等差的性质的综合应用，是一道基础题，此中熟记等差数列的性质，经过两式相减求得得值是解答的重点，侧重考察了推理与运算能力．5.若对于的不等式的解集是，则实数的值是().【答案】D【分析】【剖析】利用对于的不等式的解集，可得方程的两根为，利用韦达定理，即可求解．【详解】由题意，对于的不等式的解集为，因此方程的两根为，由韦达定理可得，解得，应选D．【点睛】此题主要考察了一元二次不等式的应用，此中解答中熟记一元二次不等式和一元二次方程，以及一元二次函数之间的关系的互相转变是解答的重点，侧重考察了推理与计算能力．6.各项均为实数的等比数列前项之和记为．若，，则等于（）．A.150B.C.150或D.400或【答案】A【分析】【剖析】依据等比数列的前项和的公式化简，分别获得对于的两个关系式，求得公比的值，而后利用等比数列的前项和公式代入的值，即可求解．【详解】依据等比数列的前项和的公式化简得：，因此，获得，即，解得（舍去），，则，因此，应选A．【点睛】此题主要考察了等比数列的通项公式及前项和公式的应用，此中解答中娴熟应用等比数列的通项公式和前项和公式，合理、正确运算是解答的重点，侧重考察了推理与运算能力．7.不等式对于全部恒建立，那么的取值范围（）A.B. C. D.【答案】B【分析】【剖析】当时不等式即为，对全部恒建立，当时，利用二次函数的性质列出知足的条件，联合两种状况，即可获得答案．【详解】当时不等式即为，对全部恒建立，当时，则须，解得综上所述，实数的取值范围是，应选B．【点睛】此题主要考察了不等式的恒建立问题的求解，图象与性质，注意对二次项系数的分类议论是解答的重点，的能力，属于基础题．，因此，此中解答中娴熟应用一元二次函数的侧重考察了剖析问题和解答问题8.数列前项的和为()A. B. C. D.【答案】A【分析】【剖析】把数列分红一个等差数列和一个等比数列，项和公式，即可求解．而后依据等差数列和等比数列的前【详解】由题意，数列的通项公式为，因此该数列的前项和为，应选A．【点睛】此题主要考察了等差数列和等比数列的前项和公式的应用，此中把数列分为一个等差数列和一个等比数列，分别利用等差数列和等比数列的前项和公式乞降是解答的重点，侧重考察了剖析问题和解答问题的能力．9.等差数列,的前项和分别为, ,若,则=()A. B. C. D.【答案】B【分析】∵，而∴，应选B.10.已知为等差数列，若且它的前项和有最大值，那么当获得最小正当时（）A. B. C. D.【答案】C【分析】试题剖析：因为前项和有最大值，因此，依据，有，，，所以，，联合选项可知，选 C.考点：等差数列的基天性质.11.已知数列的前项和为＝1－5＋9－13＋17－21＋＋，则的值是().A.13B.－76C.46D.76【答案】B【分析】【剖析】由已知可得，求得，即可获得答案．【详解】∵S n=1﹣5+9﹣13+17﹣21++（﹣1）n﹣1（4n﹣3）∴S15=（1﹣5）+（9﹣13）+（49﹣53）+57=（﹣4）×7+57=29S22=（1﹣5）+（9﹣13）+（17﹣21）++（81﹣85）=﹣4×11=﹣44S31=（1﹣5）+（9﹣13）+（17﹣21）++（113﹣117）+121=﹣4×15+121=61∴S15+S22﹣S31=29﹣44﹣61=﹣76应选：B．【点睛】此题主要考察了数列的前项和的应用，此中解答中仔细审题，主要数列前项和公式的合理运用是解答的重点，侧重考察了推理与运算能力，属于基础题．12.设等差数列的前项和为,若则等于()A.3B.4C.5D.6【答案】C【分析】试题分析：得因此所以公差解得，应选C．考点：等差数列的性质及其前项和【名师点睛】此题考察等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考察学生的计算能力．属中档题二．填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13.设是递加等差数列，前三项的和为，前三项的积为，则它的首项是_____．【答案】【分析】设等差数列的公差为∵前三项的积为48即解得∵数列是单一递加的等差数列，故答案为214.假如数列的前n项和，则此数列的通项公式_______________.【答案】2n－1【分析】【剖析】利用数列中和的关系，计算可得数列组成认为首项，2为公比的等比数列，从而计算可得结论．【详解】当时，，整理得，又由当时，，即，因此数列组成首项为1，公比为2的等比数列，因此数列的通项公式为．【点睛】此题主要考察了等比数列的通项公式的求解，此中解答中熟记数列中和的关系是解答此题的重点，平常注意解题方法的累积与总结，侧重考察了推理与运算能力．15.若对于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是____.【答案】【分析】试题剖析：不等式变形为，不等式有解，因此解不等式得实数的取值范围是考点：三个二次关系16.若数列知足(k 为常数)，则称为等比差数列，叫做公比差.已知是以2为公比差的等比差数列，此中【答案】384【分析】【剖析】由题意，令，分别求出,则________.的值，即可获得答案．【详解】由数列知足，且，令，得，因此，又由，因此，又由，因此．【点睛】此题主要考察了数列的递推公式的应用，此中解答中正确理解数列的递推关系式，分别代入求解是解答的重点，侧重考察了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知,都是正数，而且..求证：【答案】证明看法析【分析】【剖析】要证，只要要证明即可【详解】证明：(a5+b5)(a2b3+a3b2)=(a5a3b2)+(b5a2b3) =a3(a2b2)b3(a2b2)=(a2b2)(a3b3)=(a+b)(a b)2(a2+ab+b2)∵a,b都是正数，∴a+b,a2+ab+b2>0又∵，∴()2>0∴(+b )(a)2(2+ab+2)>0abab a ba b 即：a5+b5>a2b3+a3b2.【点睛】此题主要考察了不等式的证明，用综合法证明，属于基础题。