南京工业大学 高等数学A-2 试题（A 、闭）卷
2008--2009 学年第 2 学期 使用班级 江浦08级
学院 班级 学号 姓名
一、单项选择题(本大题共4小题, 每小题3分, 总计12分)
1、函数),(y x f z =在点),(00y x 处的偏导数),(),,(0000y x f y x f y x 均存在是函数),(y x f z =在点
),(00y x 存在全微分的（ ）
)(A 必要而非充分条件 )(B 充分而非必要条件
)(C 充分必要条件 )(D 既非充分又非必要条件 2、设∑为曲面222R y x =+上的10≤≤z 部分，则曲面积分dS e
y
x ⎰⎰∑
+2
2＝（ ）
)(A 0 )(B R
Re π )(C R π4 )(D R
Re 2π
3、若区域D 为1)1(22≤+-y x ，则二重积分
化成累次积分为 ( )
dr
r F d D dr
r F d C dr
r F d B dr r F d A ),(2)(),()(),()(),()(cos 20
20
cos 20
22
cos 20cos 200
θθ
θθ
θθ
θθ
θ
π
θ
ππθ
π
π
θ
π
⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰
⎰
--
其中r r r f r F ⋅=)sin ,cos (),(θθθ。
4、设a 为常数，则级数∑∞
=⎪⎭
⎫
⎝⎛--1
cos
1)1(n n n a （ ） )(A 条件收敛 )(B 绝对收敛 )(C 收敛性与a 有关 )(D 发散
二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题共4小题, 每小题3分，总计12分) 1、函数y xy ax x y x f 22),(2
2
+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数a ＝____________。
2、将⎰
⎰x e
dy y x f dx ln 0
1),(交换积分次序得 ______________________。
3、)(x f 是以2π为周期的函数，且在（ππ，-]上有表达式⎩⎨
⎧≤<≤<-=π
πx x x x f 0,
0,0)(，
)(x S 是)(x f 的傅立叶级数的和函数，则)(πS =________________。
4、已知某二阶常系数线性齐次微分方程的一个特解为x
xe y 2=* ；则该二阶常系数线
性齐次微分方程为__________________________________。
1、设3
2
23dy cxy y bx ax z +++=，求dz 。
2、求曲面e e e xz yz +=-22在点(,,)--112处的切平面和法线方程 。
3、计算二重积分,2
dxdy x y D
⎰⎰-其中10,10:≤≤≤≤y x D 。
4、计算⎰+++L
dy xy x dx y y )34()2(2
3
，其中L 是沿曲线21x y -=从点A )0,1(到B )1,0(的
圆弧。
1、设),(xy y x f z +=具有连续的二阶偏导数，求y
x z
x z
∂∂∂∂∂2
,
。
2、设曲线积分dy x x xf dx x yf L
])(2[)(2
-+⎰
在右半平面)0(>x 内与路径无关，
其中)(x f 可导，且)(,1)1(x f f 求=。
3、计算,2
2
2
2
zdxdy y ydzdx x dydz z y ++-⎰⎰
∑
）（其中∑是曲面2
2y
x z +=及平面1
=z 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。
4、设)(x f 是周期为π2的周期函数，且x x f =)( (ππ<≤-x )，试将)(x f 展开成傅立叶级数。
1、求幂级数∑∞
=1
n n
nx
的收敛域及和函数，并计算极限
)321(
lim 3
2
n
n a
n a
a
a +
++
++∞
→ )1(>a 。
2、设)(x y y =满足方程x e y y y 223=+'-''，且其图形在点)1,0(与曲线12+-=x x y 相切，求函数)(x y 。
六、证明题(本题6分)
设正项数列
单调减少，且n n
n a ∑∞
=-1
)1(发散，证明级数n
n n a ∑∞
=+1
)1
1(
收敛。
