高中三角函数公式大全[图]
1 三角函数的定义三角形中的定义
图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图
在直角三角形ABC,如下定义六个三角函数:正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
直角坐标系中的定义
图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图
在直角坐标系中,如下定义六个三角函数:正弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
2 转化关系倒数关系
r
平方关系
2 和角公式
3 倍角公式、半角公式倍角公式
半角公式
万能公式
4 积化和差、和差化积积化和差公式
证明过程
首先,sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》)
因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(正弦和角公式)
则
sin(α-β)
=sin[α+(-β)]
=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα
=sinαcosβ-sinβcosα
于是
sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα(正弦差角公式)
将正弦的和角、差角公式相加,得到
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ
则
sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2(“积化和差公式”之一)同样地,运用诱导公式cosα=sin(π/2-α),有
cos(α+β)=
sin[π/2-(α+β)]
=sin(π/2-α-β)
=sin[(π/2-α)+(-β)]
=sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α)
=cosαcosβ-sinαsinβ
于是
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(余弦和角公式)
那么
cos(α-β)
=cos[α+(-β)]
=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)
=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(余弦差角公式)
将余弦的和角、差角公式相减,得到
cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ
则
sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2(“积化和差公式”之二)将余弦的和角、差角公式相加,得到
cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ
则
cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2(“积化和差公式”之三)这就是积化和差公式:
sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2
sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2
cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2
和差化积公式
部分证明过程:
sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαc osβ-sinβcosα
cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαc osβ+sinαsinβ
tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)=(sinαcosβ+sinβcosα)/(c osαcosβ-sinαsinβ)=(cosαtanαcosβ+cosβtanβcosα)/(co sαcosβ-cosαtanαcosβtanβ)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=tan[α+(-β)]=[tanα+tan(-β)]/[1-tanαtan(-β)] =(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(pi/2-a)=cos(a)
cos(pi/2-a)=sin(a)
sin(pi/2+a)=cos(a)
cos(pi/2+a)=-sin(a)
sin(pi-a)=sin(a)
cos(pi-a)=-cos(a)
sin(pi+a)=-sin(a)
cos(pi+a)=-cos(a)
tgA=tanA=sinA/cosA
两角和与差的三角函数
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))
tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))
三角函数和差化积公式
sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)
sin(a)?sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
积化和差公式
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
二倍角公式
sin(2a)=2sin(a)cos(a)
cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2( a)
半角公式
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
万能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
其它公式
a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中,tan(c)=b/a]
a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中,tan(c)=a/b]
1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2
1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
其他非重点三角函数
csc(a)=1/sin(a)
sec(a)=1/cos(a)
双曲函数
cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2 tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)
常用公式表(一) 1。乘法公式
(1)(a+b )2=a 2+2ab+b 2 (2)(a-b)2=a 2-2ab+b 2 (3)(a+b)(a-b)=a 2-b 2
(4)a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) (5)a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)
2、指数公式:
(1)a 0=1 (a ≠0) (2)a P -=P a 1(a ≠0) (3)a m
n
=m n a (4)a m a n =a n m + (5)a m ÷a n =n m
a a =a n m - (6)(a m
)
n
=a mn
(7)(ab )n =a n b n
(8)(b a
)n =n n
b a (9)(a )
2
=a
(10)2a =|a|
3、指数与对数关系:
(1)若a b =N ,则N b a log = (2)若10b
=N ,则b=lgN (3)若b e =N ,则b=㏑N 4、对数公式:
(1)b a b a =log , ㏑e b
=b (2)N a aN =log ,e N
ln =N
(3)a
N
N a ln ln log =
(4)a b b e a ln = (5)N M MN ln ln ln += (6)N M N M
ln ln ln
-=
(7)M n M n ln ln = (8)㏑n M =M n
ln 1 5、三角恒等式:
(1)(Sin α)2+(Cos α)2=1 (2)1+(tan α)2=(sec α)2
(3)1+(cot α)2=(csc α)2 (4)
αα
α
tan cos sin = (5)αα
α
cot sin cos = (6)ααtan 1cot =
(7)ααcos 1csc = (8)α
αcos 1
sec = 6、特殊角三角函数值:
7.倍角公式:
(1)αααcos sin 22sin = (2)α
α
α2tan 1tan 22tan -=
(3)ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 8.半角公式(降幂公式):
(1)(2
sin α)2=2cos 1a - (2)(2
cos α)2=2cos 1a
+
(3)2
tan α
=a a sin cos 1+=a a cos 1sin +
9、三角函数与反三角函数关系:
(1)若x=siny ,则y=arcsinx (2)若x=cosy ,则y=arccosx (3)若x=tany ,则y=arctanx (4)若x=coty ,则y=arccotx 10、函数定义域求法:
(1)分式中的分母不能为0, (a 1
α≠0)
(2)负数不能开偶次方, (a α≥0) (3)对数中的真数必须大于0, (N a log N>0)
(4)反三角函数中arcsinx ,arccosx 的x 满足:(--1≤x ≤1) (5)上面数种情况同时在某函数出现时,此时应取其交集。 11、直线形式及直线位置关系:
(1) 直线形式:点斜式:()00x x k y y -=- 斜截式:y=kx+b
两点式:121121
x x x x y y y y --=
--
(2)直线关系:111:b x k y l += 222:b x k y l += 平行:若21//l l ,则21k k = 垂直:若21l l ⊥,则121-=?k k
常用公式表(二)
1、求导法则:(1)(u+v )/=u /+v / (2)(u-v )/=u /-v /
(3)(cu )/
=cu /
(4)(uv )/
=uv /
+u /
v (5)2
v v u v u v u '
-'='
??
? ?? 2、基本求导公式:
(1)(c )/
=0 (2)(x a
)/
=ax
1
-a (3)(a x )/=a x
lna
(4)(e x )/=e x (5)(㏒a x )/=a x ln 1 (6)(lnx )/
=x 1
(7)(sinx )/=cosx (8)(cosx )/
=-sinx
(9)(tanx )/=2)(cos 1
x =(secx )2
(10)(cotx )/=-2)(sin 1x =-(cscx )2
(11)(secx)/=secx*tanx (12)(cscx)/
=-cscx*cotx
(13)(arcsinx)/
=211
x - (14)(arccosx)/
=-211
x -
(15)(arctanx)/=211x + (16)()2
11
cot x
x arc +-
='
3、微分
(1)函数的微分:dy=y /
dx
(2)近似计算:|Δx|很小时,f ()x x ?+0=f (x 0)+f /
(x 0)*x ? 4、基本积分公式
(1)
kdx=kx+c (2)C x a dx x a a ++=
+?1
1
1 (3)c x dx x +=?ln 1
(4)C a
a dx a x x +=
?ln (5)
?
+=c e dx e x x (6)?+-=C x xdx cos sin
(7)?+=C x xdx sin cos (8)C x dx x
xdx +==??
tan cos 1
sec 2
2
(9)
c x dx x xdx +-==??
cot sin 1
csc 2
2
(10)
?
+=-c
x dx x arcsin 112
(11)c x dx x +=+?arctan 11
2
5、定积分公式:
(1)??
=b
a
b
a
dt
t f dx x f )()( (2)?
=a
a
dx x f 0
)(
(3)()()dx x f dx x f a
b
b a
??-=
(4)?
??+=b
a
c
a
b
c
dx
x f dx x f dx x f )()()(
(5)若f (x )是[-a,a]的连续奇函数,则?
-=a
a
dx x f 0
)(
(6)若f (x )是[-a,a]的连续偶函数,则:
6、积分定理:
(1)()()x f dt t f x
a ='??
????? ()()()()
()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??
?????2 (3)若F (x )是f (x )的一个原函数,则
a a a dx x f dx x f 0
) ( 2 ) (
)
()()()(a F b F x F dx x f b
a
b a -==?
7.积分表
()C x x xdx ++=?tan sec ln sec 1 ()C x x xdx +-=?cot csc ln csc 2 ()C a x
a dx x a +=+?arctan 11322 ()C a x dx x a +=-?arcsin 1422 ()C a x a
x a dx a x ++-=-?
ln 21152
2
8.积分方法
()()b ax x f +=
1;设:t b ax =+
()()222x a x f -=
;设:t a x sin =
()22a x x f -=;设:t a x sec = ()22x a x f +=;设:t a x tan =
()3分部积分法:??-=vdu uv udv