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负抵消，达到简化和式的目的，通俗地讲就是 化简的一种技巧.
变式： 1 1 1 1 1 1.求数列 , , , , , 的前 1 3 2 4 3 5 4 6 n(n + 2) 3 2n 3 n项和. Sn 4 2(n 1)(n 2)
1 1 2 1 (n + 2) - n an n(n + 2) 2 n(n + 2) 2 n(n + 2) 1 1 1 1 1 = ( ) 2 2 cn cn2 2 n n+2 n n+2
2 4.求和：Sn = k+1 k -1)(2 -1) k=1 (2
n
k
4 12 4 22 4 32 4 n2 2.求数列 2 , , , , , 2 2 2 4 1 1 4 2 1 4 3 1 4 n 1 的前n项和.
4 n2 4 n2 1 1 1 通项an 1 2 2 2 4 n 1 4 n 1 4 n 1
1 1 1 1 2 2 1 (2n 1)(2n 1) (2n 1) (2n 1)
通项an 1 cn cn1
2n( n 1) Sn 2n 1
3 5 7 2n 1 3.求和Sn . 2 2 2 2 (1 2) (2 3) (3 4) [n(n 1)]
2n 1 2n 1 通项an 2 2 2 [n(n 1)] n (n 1)
1 1 2 n (n 1) 2
cn cn1
1 Sn 1 2 (n 1)
2 4.求和：Sn = k+1 k -1)(2 -1) k=1 (2 2 (2 - 1) - (2 -1) n+1 n+1 n n (2 -1)(2 -1) (2 -1)(2 -1)
=
结论：裂项是把分子裂开！是根据分母把 分子拆开！ 裂项的目标是拆成新数列两项之差！ 然后累加相消。
4 1 42 43 4n 2.求数列 2 , , , , , 2 2 2 4 1 1 4 2 1 4 3 1 4 n 1 的前n项和.
2 2 2 2
3 5 7 2n 1 3.求和Sn . 2 2 2 2 (1 2) (2 3) (3 4) [n(n 1)]
试一试：可以调整一下，一步到位吗？
小结：
在分式求和中，恰当地裂开通项 转化为新数列的两项差以达到累加相 消，实现无限到有限的跨越！
an = cn - cn + k (n , n + k ? N )
*
Leabharlann Baidu
裂项相消法与错位相减法
例题已知数列 . {an }满足：a1 , a2 a1 , a3 a2 , , an an 1 , 是首 项、公差均为2的等差数列. ( Ⅰ求数列 ) {an }的通项公式an； (2n 1) 3n * (Ⅱ)令bn (n N )，求数列{bn }的前 an n项和Tn .
数列求和
——裂项相消法
1 1 1 an = n(n 1) n (n 1)
1 1 1 1 1 1 1 S n = (1 - ) + ( - ) + ( - ) L + ( ) 2 2 3 3 4 n n+1
1 1 1 = (1 + + + L + ) 2 3 n 1 1 1 1 -( + + L + + ) 2 3 n n+1 新数列中的两项 裂项相消法 把数列的每一项拆分成两项之差，利用正
n n+1 n
n
k
1 1 n n+1 c c 2 - 1 2 - 1 n n1
Sn = 1 1 2
n+1
-1
例题：设各项都为正数的数列{an }的前n项和为
2 *
Sn =n n(n N ), (1)求an； (2)证明：对一切正整数n， 1 1 1 1 有 a1 (a1 1) a2 (a2 1) an (an 1) 3
