数列求和裂项法错位相减法分组求和法

高考数学专题——数列（求S n ）求s n 的四种方法总结常考题型：共5种大题型（包含倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法、并项求和法。

1、倒序相加法：实质为等差数列求和。

例1、【2019·全国2·文T18】已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)设{a n }的公比为q,由题设得2q 2=4q+16,即q 2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4. 因此{a n }的通项公式为a n =2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得b n =(2n-1)log 22=2n-1,因此数列{b n }的前n 项和为1+3+…+2n-1=n 2. 2、错位相减法：实质为等差×等比求和。

错位相减法的万能公式及推导过程：公式：数列c n =(an +b )q n−1，(an +b )为等差数列，q n−1为等比数列。

前n 项和S n =(An +B )q n +C A =a q −1，B =b −Aq −1，C =−B S n =(a +b )+(2a +b )q +(3a +b )q 2+⋯[(n −1)a +b ]q n−2+(an +b )q n−1 ① qS n =(a +b )q +(2a +b )q 2+(3a +b )q 3+⋯[(n −1)a +b ]q n−1+(an +b )q n ② ②-①得：(q −1)s n =−(a +b )−a (q +q 2+⋯q n−1)+(an +b )q n=−(a +b )−a ⋅q(1−q n−1)1−q+(an +b )q n=(an +b −aq−1)q n −(b −aq−1)S n =(aq −1⋅n +b −a q −1q −1)⋅q n −b −aq −1q −1例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1232,a a a =+ 即21112a a q a q =+.所以220,q q +-= 解得1q =（舍去），2q =-. 故{}n a 的公比为2-.（2）设n S 为{}n na 的前n 项和.由（1）及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)=(2).3n n n ---⨯-所以1(31)(2)99nn n S +-=-. 例3、【2020年高考全国III 卷理数】设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【解析】（1）235,7,a a == 猜想21,n a n =+ 由已知可得 1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+， 1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯. ①从而23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯.②-①② 得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯，所以1(21)2 2.n n S n +=-+例4、【2020届辽宁省大连市高三双基测试数学】已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.（I ）求12,a a 的值；（Ⅱ）试求数列{}n a 的前n 项和n S .【解析】（Ⅰ）方法一：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列 21221a a ∴=⨯ 214a a ∴=又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列 2121122a a ∴-=,解得1228a a =⎧⎨=⎩方法二：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列,1112,n n a n a n+∴=1(1)2n n n a a n ++∴=.①又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列, 11122n nn na a ++∴-=② 由①②解得：2nn a n =⋅1228a a =⎧⎨=⎩ （Ⅱ）1122,1n n n a a n -=⋅= 2n n a n ∴=⋅123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+1231222322n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 234121222322n n S n +∴=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式作差可得：23122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅()1212212n n n n S +-=-⋅--1(1)22n n n S +=⋅---, 1(1)22n n S n +∴=-⋅+.例5、【2020届江西省吉安市高三上学期期末数学】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a S +-=．（I ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3log n n b a =，数列2221n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：12nT <．【解析】（I ）当1n =时，由11a =，2121a a -=得23a =；当2n ≥时，121n n a S --=，两式相减得()1120n n n n a a S S +----=， 即13n n a a +=(2)n ≥，又2133a a ==， 故13n n a a +=恒成立，则数列{}n a 是公比为3的等比数列，可得13-=n n a ． （Ⅱ）由（I ）得313log log 31n n n b a n -===-，则22211111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，则111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． 1021n >+ 11112212n ⎛⎫∴-< ⎪+⎝⎭ 故12n T <例6、【2017·天津·理T18】已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N *).【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12,得b 1(q+q 2)=12,而b 1=2,所以q 2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2. 所以,b n =2n.由b 3=a 4-2a 1,可得3d-a 1=8.①由S 11=11b 4,可得a 1+5d=16,②联立①②,解得a 1=1,d=3,由此可得a n =3n-2.所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n-2,数列{b n }的通项公式为b n =2n.(2)设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ,由a 2n =6n-2,b 2n-1=2×4n-1,有a 2n b 2n-1=(3n-1)×4n, 故T n =2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4T n =2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=12×(1-4n )1-4-4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8.得T n =3n -23×4n+1+83. 所以,数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为3n -23×4n+1+83. 例7、【2020·石家庄模拟】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由2S n ＝3a n －1，① 得2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②，得2a n ＝3a n －3a n －1， 所以a n a n －1＝3(n ≥2)，又2S 1＝3a 1－1，2S 2＝3a 2－1， 所以a 1＝1，a 2＝3，a 2a 1＝3， 所以{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n －1.(2)由(1)得，b n ＝n3n －1，所以T n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，③13T n ＝131＋232＋…＋n －13n －1＋n 3n ，④ ③－④得，23T n ＝130＋131＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝1－13n1－13－n 3n ＝32－2n ＋32×3n ，所以T n ＝94－6n ＋94×3n . 3、裂项相消法：实质为a n =b n (n+a )形式的求和。

数列求和的三种特殊求法例 1、已知数列 {a n } 的通 公式 a n = 2n 1 +3n ，求 个数列的前 n 和例 2、求下列数列的前 n 和：（1）1111 1 ，1 ⋯⋯1⋯⋯1，，，⋯⋯n，⋯⋯（ 2）1，81212 3 1 2 3n2 42n（ 3） 5， 55， 555．⋯⋯， 55⋯⋯ 5，⋯⋯（ 4）0.5,0.55,0.555，⋯⋯， 0.55⋯⋯ 5，⋯⋯ 例 3、已知数列的的通 ，求数列的前 n 和：（1） a n1（ 2） b n11)n( n 2)n(n（3）{a n } 足 a n =1，求 S n（ 4）求和： S n2 24 2 ⋯⋯ +(2n) 2nn 11335(2n 1)( 2n 1)（5）求和 S n111123234n(n 1)( n 2)例 4、求数列 a,2a 2 ,3a 3 , , na n , （ a 常数）的前n 和 S n 。

：求和：1 ， 3 ， 5 ，⋯⋯ 2n1，⋯⋯2 22 232n知 演 ：1. （ 2009 年广 第4 ）已知等比数列 { a n } 足 a n0, n 1,2,,且 a 5a2 n 522 n (n 3) ，当 n1 ， log2 a 1 log 2 a 1log 2 a 2 n 1A ． n(2n 1)B ． (n 1)2C ． n 2D ． (n 1)22. （ 2010 年山 第 18）已知等差数列a n足： a 3 7 ， a 5a 7 26 ， a n 的前 n 和S n ．（Ⅰ）求 a n 及 S n ；（Ⅱ）令 b n =a n 1 ( n N * ) ，求数列b n 的前 n 和 T n ．2 13. （ 2005 年湖北第19 ） 数列{ a n } 的前 n 和S n =2n 2 ， {b n } 等比数列，且a 1b 1 ,b 2 ( a 2 a 1 ) b 1.（Ⅰ）求数列{ a n } 和 { b n } 的通 公式； （Ⅱ） c na n，求数列 { c n } 的前 n 和 Tnb n小结：数列求和的方法分 求和，裂 相消（分式、根式） ， 位相减（差比数列）数列求和的思维策略：从通项入手，寻找数列特点。

数列的求和1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论） 2．公式法： 222221(1)(21)1236n k n n n k n =++=++++=∑ 2333331(1)1232n k n n kn =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑ 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ； 1111()(2)22n n n n =-++ )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅ 5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。

7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等（二）主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；3．转化思想的运用；1．求下列数列的前n 项和n S ： （1）5，55，555，5555，…，5(101)9n -，…；（2）1111,,,,,132435(2)n n ⨯⨯⨯+；（3）n a =；（4）23,2,3,,,n a a a na ；（5）13,24,35,,(2),n n ⨯⨯⨯+；（6）2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++．2．已知数列{}n a 的通项65()2()n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求其前n 项和n S ．。

数列求和的七种根本方法甘志国局部容(已发表于 数理天地(高中)，2014(11)：14-15)数列求和是数列问题中的基此题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种根本方法.1 运用公式法很多数列的前n 项和n S 的求法，就是套等差、等比数列n S 的公式，因此以下常用公式应当熟记：还要记住一些正整数的幂和公式：例1 数列}{n a 的前n 项和232n n S n -=，求数列}{n a 的前n 项和n T . 解 由232n n S n -=,可得n a n 233-=,160≤⇔>n a n ，所以： (1)当16≤n 时,n T =232n n S n -=. (2)当17≥n 时，所以 2232(1,2,,16)32512(17,)n n nn T n n n n *⎧-=⎪=⎨-+≥∈⎪⎩N 且例2 求1)2(3)1(21⋅++-⋅+-⋅+⋅=n n n n S n .解 设2)1()1(k n k k n k a k -+=-+=，此题即求数列}{k a 的前n 项和.高考题1 (2014年高考卷文科第19题(局部))求数列{}21n -的前n 项和n S . 答案：2n S n =.高考题2 (2014年高考卷理科第19题(局部))求数列{}24n -的前n 项和n S . 答案：23n S n n =-.高考题3 (2014年高考卷文科第17题)在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.(1)求n a ； (2)设3log nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .答案：(1)13n na -=；(2)22n n nS -=.高考题4 (2014年高考卷文科第16题){}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和.(1)求n a 及n S ；(2)设{}n b 是首项为2的等比数列，公比q 满足244(1)0q a q S -++=，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .答案：(1)221,n n a n S n =-=；(2)2122,(41)3n n n n b T -==-.2 倒序相加法事实上，等差数列的前n 项和n S 的公式推导方法就是倒序相加法. 例3 求正整数m 与()n m n <之间的分母为3的所有既约分数的和S . 解 显然，这些既约分数为：有 )31()32()34()34()32()31(-+-+-++++++=n n n m m m S 也有 )31()32()34()34()32()31(++++++-+-+-=m m m n n n S所以 2222),(2)(2)(2m n S m n m n n m S -=-=-⋅+=例4 设4()42xx f x =+，求和12320012002200220022002f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解 可先证得()(1)1f x f x +-=，由此结论用倒序相加法可求得答案为20012. 3 裂项相消法例5 假设}{n a 是各项均不为的等差数列，求证：1113221111++=+++n n n a a n a a a a a a . 证明 设等差数列}{n a 的公差为d ：假设0d =，要证结论显然成立；假设0≠d ，得例8 证明222211112(123n n*++++<∈N 且2)n ≥. 证明 22221312111n++++高考题5 (2014年高考全国大纲卷理科第18题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，110a =，2a 为整数，且4n S S ≤.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 答案：(1)133n a n =-；(2)10(103)n nS n =-.高考题6 (2014年高考卷文科第19题)设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()()*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222.(1)求1a 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有31)1(1)1(1)1(12211<++++++n n a a a a a a .答案：(1)12a =；(2)2n a n =；(3)当1n =时，可得欲证成立.当2n ≥时，111111(1)2(21)(21)(21)22121n n a a n n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++-+-+⎝⎭，再用裂项相消法可得欲证.高考题7 (2014年高考卷理科第19题)等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)令n b =,4)1(11+--n n n a a n求数列}{n b 的前n 项和n T . 答案：(1)21n a n =-，2221221n n n n T n n n +⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪+⎩为奇数为偶数.4 分组求和法例9 求11111111111224242n nS -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 解 设11111242n n a -=++++，得1122n n a -=-.所以此题即求数列1122n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和： 例10 设数列}{n a 的前n 项和n S 满足221⎪⎭⎫⎝⎛+=n n a S ，又n n n S b )1(-=，求数列}{n b 的前n 项和n T .解 在221⎪⎭⎫⎝⎛+=n n a S 中，令1n =可求得11=a .还可得相减，得所以}{n a 是首项为1公差为2的等差数列，得所以 222)1(,21n b n a S n n n n ⋅-==⎪⎭⎫⎝⎛+=当n 为偶数时， 当n 为奇数时， 总之，2)1()1(+⋅-=n n T nn . 高考题8 (2014年高考卷文科第15题){}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n b 的前n 项和.答案：(1)1=3,=32n n n a n b n -+；(2)3(1)212n n n ++-. 高考题9 (2014年高考卷文科第19题)在等差数列{}n a 中，公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设(1)2n n n b a +=，记1234(1)nn n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .答案：(1)2n a n =，2(1)2(1)2n n n T n n n ⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数为偶数.高考题10 (2014年高考卷理科第19题(局部))求数列12(1)n n n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n S .答案：1221n nn +--+. 5 错位相减法高考题11 (2014年高考卷理科第17题)首项都是1的两个数列{}{}∈≠n b b a n n n ,0(,N *)满足02111=+-+++n n n n n n b b b a b a .(1)令nnn b a c =，求数列{}n c 的通项公式； (2)假设13-=n n b ，求数列{}n a 的前n 项和n S .解 (1)12-=n c n .(2)得13)12(-⋅-==n n n n n c b a .先写出n S 的表达式：13213)12(37353311-⋅-++⋅+⋅+⋅+⋅=n n n S ①把此式两边都乘以公比3，得n n n n n S 3)12(3)32(35333131321⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=- ②①-②，得n n n n S 3)12(32323232121321⋅--⋅++⋅+⋅+⋅+=-- ③13)12()3232323232(213210-⋅--⋅++⋅+⋅+⋅+⋅=--n n n n S ④由等比数列的前n 项和公式，得23)22(13)12(132+⋅-=+⋅-++-=n n n n n n S ⑤因为此解答确实步骤多，且有三步容易出错：(1)等式③右边前n 项的符号都是"+〞，但最后一项为哪一项"—〞；(2)当等式③右边的前n 项不组成等比数列时，须把第一项作微调，变成等比数列(即等式④)，这增加了难度；(3)等式⑤中最后一步的变形(即合并)有难度.但这种方法(即错位相减法)又是根本方法且程序法，所以备受命题专家的青睐，在高考试卷中频频出现就缺乏为怪了.考生在复习备考中，应彻底弄清、完全掌握，争取拿到总分值.这里笔者再给出一个小技巧——检验：算得了n S 的表达式后，一定要抽出万忙的时间检验一下21,S S 是否正确，假设它们均正确，一般来说就可以确定算对了，否则就算错了，需要检查(重点是检查容易出错的三点)或重算.对于此题，已经算出了13)1(+⋅-=n n n S ，所以10,121==S S .而由通项公式可知1033,1111121=⋅+==⋅=S S S ，所以求出的答案正确.高考题12 (2014年高考课标全国卷I 文科第17题){}n a 是递增的等差数列，42,a a 是方程2560x x -+=的根.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 答案：(1)121+=n a n . (2)用错位相减法可求得答案为1242++-n n . 高考题13 (2014年高考卷文科第18题)数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n +==+++∈N *.(1)证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)设3nn b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 答案：(1)略.(2)由(1)可求得2n a n =，所以3n n b n =⋅，再用错位相减法可求得433)12(1+⋅-=+n n n S .高考题14 (2014年高考卷文科第19题)设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上(n ∈N *). (1)证明：数列{}n b 为等比数列；(2)假设11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列2{}n n a b 的前n 项和n S .答案：(1)略.(2)可求得,2n n n a n b ==，所以24n n n a b n =⋅，再用错位相减法可求得944)13(1+⋅-=+n n n S .高考题15 (2014年高考卷理科第19题)设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上(n ∈N *).(1)假设12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； (2)假设11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 答案：(1)2=3n S n n -.(2)可求得,2n n n a n b ==，所以2n n n a nb =，再用错位相减法可求得答案为nn n T 222+-=. 6 待定系数法例11 数列}3)12{(nn ⋅-的前n 项和=n S .解 设等差数列{}m a 的公差为d ，等比数列{}m b 的公比为(1)q q ≠，得 先用错位相减法求数列{}m m a b ⋅的前n 项和n S ：所以有下面的结论成立：假设{},{}m m a b 分别是等差数列、等比数列(其公比1≠q )，且11,a b 均是与n 无关的常数，则数列{}m m a b ⋅的前n 项和b q b an S n n -+=)(，其中,a b 是与n 无关的常数.由此结论就可以用待定系数法快速求解此题： 可设()3n n S an b b =+⋅-(其中,a b 是常数).可得123,32730S S ==+=，所以3()39(2)30a b b a b b +-=⎧⎨+-=⎩，解得33a b =⎧⎨=-⎩，所以33)1(1+⋅-=+n n n S .例12 求和12212+22+32++(1)2+2n n n n S n n --=⋅⋅⋅-⋅⋅.解 得012111111+2+3++22222n n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.用待定系数法可求出该等式的右边为1242n n -+-，所以2224n n S n +=--. 七、求导法、积分法例13 (1)求证：)1(111132≠--=++++++x x x x x x x n n； (2)求证：)1()1(1]1)1[(321212≠-+--=++++-x x x n x nx x x n n ；(3)求数列{}(21)3nn -⋅的前n 项和n S(此即例6).解 (1)当0=x 时，显然成立.当0≠x 时，由等比数列的前n 项和公式知，欲证结论也成立.(2)视(1)的结论为两个函数相等，两边求导后即得欲证成立.(3)1(21)3=6(3)3nn n n n --⋅⋅-.由(2)的结论中令3=x ，得数列{}13n n -⋅的前n 项和为413)12(+⋅-n n ；又数列{}3n的前n 项和为2331-+n .所以数列{}(21)3nn -⋅的前n 项和为高考题16 (2008年高考卷第23题)请先阅读：在等式∈-=x x x (1cos 22cos 2R )的两边对*求导，得)1cos 2()2(cos 2'-='x x .由求导法则，得)sin (cos 42)2sin (x x x -⋅=⋅-，化简后得等式x x x cos sin 22sin =.(1)利用上题的想法(或其他方法)，试由等式∈++++=+x x C x C x C C x nn n n n n n ()1(2210 R ，整数)2≥n 证明：∑=--=-+nk k k n n x kC x n 211]1)1[(.(2)对于整数3≥n ，求证： (i))1(1=-∑=nk knkkC ； (ii))1(12=-∑=nk k n kC k ；(iii)1121110+-=++=∑n C kn nk kn .答案：(1)在等式两边对x 求导后移项可得欲证. (2) (i)在结论(1)中令1-=x 可证.(ii)由等式两边对x 求导后再求导，又令1-=x ，得0)1()1(22=--∑=-nk k k nCk k ，即0)()1(12=--∑=nk kn kC k k ，再由结论(i)得结论(ii)成立.(iii)在等式两边在[0,1]上对x 积分后可得欲证.。

练习10：
已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),
1)求S20,S21 2)求Sn
=20 S20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39
S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）
=-21
总的方向： 1.转化为等差或等比数列的求和 2.转化为能消项的 思考方式：求和看通项（怎样的类型） 若无通项，则须先求出通项 方法及题型： 1.等差、等比数列用公式法 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法

1 (1 3
2n )

5
n
12 3
1 (2n 5n 1) 3
热点题型3：递归数列与数学归纳法.
已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a01，an1
(nN)

1 2
an (4

an ).
（1）证明an<an+1<2(nN) （2）求数列{an}的通项公式an
用数学归纳法证明：
类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……
典例. 已知 lg(xy) 2 2.倒序相加法
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lg(x·1 yn-1)+lgyn,
(x > 0,y > 0) 求S .
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lgyn
S =lgyn +lg(yn-·1 x)+ ...+lgxn 2S =lg(xy)n +lg(xy)n + ...+lg(xy)n

考点透视数列求和问题综合考查了等差、等比数列的定义、通项公式、性质、前n 项和公式.此类问题对同学们的观察、分析以及逻辑思维能力的要求较高.求数列和的方法有很多种，本文结合实例来重点探讨一下公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法等在解题中的应用.一、公式法在遇到等差数列或等比数列求和问题时，可直接采用公式法求解.对于等差数列，可根据等差数列的前n 项和公式S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d 求和；对于等比数列，可根据等比数列的前n 项的和公式S n =ìíîïïa 1(1-q n )1-q ,q ≠1,na 1,q =1,求解.公式法是求数列和的基本方法，也是大家必须熟练掌握的.例1.已知等差数列{a n }的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k =110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式为b n =S nn，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解：(1)由题意可得a 1=a ，a 2=4，a 3=3a ，则a +3a =8，得a 1=a =2，公差d =2.于是，由S k =110可得2k +k (k -1)2×2=110，解得k =10或k =-11(舍去).故a =2，k =10.(2)由(1)得S n =n (2+2n )2=n (n +1)，则b n =Sn n=n +1.于是b n +1-b n =(n +2)-(n +1)=1，所以数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列.故T n =n (2+n +1)2=n (n +3)2.等差数列的前n 项和公式一共有两种形式:S n =na 1+n (n -1)2d 与S n =n (a 1+a n )2.在解题时要注意根据已知条件合理选择.二、分组求和法当遇到形如{}a n ±b n （其中{}a n 、{}b n 分别是等差、等比数列）的数列求和问题时，可采用分组求和法求解.先将数列中的各项分为两组，使其分别构成等差、等比数列，这样便可分别根据等差、等比数列的前n 项和公式求和.例2.已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n -2a n =n -4.(1)证明：{S n -n +2}为等比数列；(2)求数列{S n }的前n 项和T n .解：(1)略；(2)由(1)知S n -n +2=2n +1，所以S n =2n +1+n -2.于是，T n =(22+23+…+2n +1)+(1+2+…+n )-2n =4(1-2n )1-2+n (n +1)2-2n =2n +3+n 2-3n -82.仔细观察{S n }的通项公式，可发现{2n +1}为等比数列、{n -2}为等差数列，于是将数列{S n }中的各项进行拆分，使等比数列{2n +1}、等差数列{n -2}中的各项分别在一组，分组进行求和，即可得到问题的答案.例3.已知数列{}a n 为等差数列，其前n 项和为S n ，且a 3=5,S 9=9，b n =||a n .（1）求{}a n 的通项公式；（2）求数列{}b n 的前n 项和T n .解：（1）略；（2）b n =||11-2n ={11-2n ,n ≤5,2n -11,n >5,当n ≤5,n ∈N ∗时，T n =b 1+bn 2∙n =9+11-2n 2∙n =10n -n 2,当n >5,n ∈N ∗时，T n =()b 1+⋯+b 5+(b 6+⋯+b n 36考点透视=25+b 6+b n2∙()n -5=25+1+2n -112∙()n -5=25+()n -52=n 2-10n +50，所以T n =ìíî10n -n 2,n ≤5，n 2-10n +50,n >5.数列{}b n 的通项公式为绝对值的形式，需分两段来表示.前5项为递减数列，从第6项开始为递增数列，所以在求和时首先要考虑项数是否大于5，进行分类讨论；其次分成两组来求当n >5时数列的和.三、裂项相消法当遇到分式结构的数列通项公式时，往往需利用裂项相消法求和.需先将通项公式裂项，如1n (n +1)=1n -1n +1;1(2n -1)(2n +1)=12(12n -1-12n +1);2n(2n-1)(2n +1-1)=12n -1-12n +1-1；a n +1S n S n +1=S n +1-S n S n S n +1=1S n -1S n +1.裂项时要保证前后项相加时部分项能相互抵消.例4.已知数列{}a n 的前n 项和S n 满足2S n =()a n -1⋅()a n +2，且a n >0()n ∈N *.（1）求数列{}a n 的通项公式；（2）若b n =3n (2n -1)na n()n ∈N *，记数列{}b n 的前n 项和为T n ，证明：T n ≥32.解：（1）略；（2）由（1）得a n =n +1，则b n =3n ()2n -1n ()n +1=3n +1n +1-3nn ，所以T n =b 1+b 2+⋯+b n -1+b n =æèçöø÷322-3+æèçöø÷333-322+⋯+æèçöø÷3n n -3n -1n -1+æèçöø÷3n +1n +1-3n n =3n +1n +1-3.于是，T n +1-T n =3n +2n +2-3n +1n +1=3n +1()2n +1()n +1()n +2>0，所以{}T n 是递增数列.故T n ≥T 1=92-3=32，得证.解答第2个问题主要采用了裂项相消法.将数列{}b n 的通项公式b n =3n ()2n -1n ()n +1进行变形、裂项可得3n +1n +1-3n n，这样各项相加时中间的部分项便会抵消，从而快速求得数列的和，最后利用数列{}T n 的单调性就能顺利证明结论.四、错位相减法若遇到{}a n ∙b n 或{}a nb n（其中{}a n 、{}b n 分别是等差、等比数列）型数列求和问题，需采用错位相减法求和.先要在数列的和式两边同乘以等比数列的公比，再通过错位相减求和.在错位相减时，要注意理清哪些项需错位相减，哪些项不需要错位相减.例5.设数列{}a n 前n 项和为S n ，且已知2S n =3n +3.（1）求{}a n 的通项公式；（2）若数列{}b n 满足a n b n =log 3a n ，求{}b n 的前n 项和T n解：（1）略；（2）由（1）可得a n ={3,n =1,3n -1,n ≥2.因为a n b n =log 3a n ,所以b 1=13.当n ≥2时，因为b n =31-n log 33n -1=(n -1)31-n，所以T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =13+[1×3-1+2×3-2+…+(n -1)×31-n]，所以3T n =1+[1×30+2×3-1+…+(n -1)×32-n]，将上述两式相减可得2T n =23+(30+3-1+3-2+…+32-n )-(n -1)×31-n=23+1-31-n1-3-1-(n -1)×31-n =136-6n +32×3n，所以T n =1312-6n +34×3n.经检验，当n =1时,T 1=13也满足上式.综上可得T n =1312-6n +34×3n.本题的第2个问题具有一定难度.需根据第1个问题的结论，先求得{}b n 的通项公式.通过观察可发现该通项公式为等比数列{}31-n与等差数列{}n -1各项的乘积，于是采用错位相减法，将数列的和式左右同乘以公比，再错位相减，即可求得数列的和.总之，求数列和的方法有很多种，无论是运用公式法、分组求和法、裂项相消法，还是运用错位相减法，都要仔细研究数列中各项的规律，求得数列的通项公式，根据数列通项公式的结构特点，选取与之相应的方法进行求和.（作者单位：江苏省兴化市楚水实验学校）37。

数列求和综合（经典总结版）含答案详解包括四种题型：分组求和、并项法、错位相减、裂项相消一、分组求和例1．求和.练1已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p n q =⋅+⋅（*n ∈N ，,p q 是常数），且145,,x x x 成等差数列.（1）求,p q 的值；（2）求数列{}n x 的前n 项和n S .例2．（奇偶性）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（Ⅱ）设b n ＝，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．二、并项法例1．已知数列的前项和，求，的值以及Sn 的值.练1.求，，，，…，，…的前50项之和以及前项之和.三、错位相减例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1=2，3S n =11543(2)n n n a a S n ---+≥（I ）求数列a n 的通项公式； （Ⅱ）若b n =n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。

11111232482n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭{}n a n 1159131721...(1)(43)n n S n -=-+-+-++--15S 22S 21-2223-242(1)n n •-50S n n S练1 等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 1，S 3，S 2成等差数列．若a 1－a 3＝－32，求数列{n ·a n }的前n 项和T n .练2 设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .例2已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…． （Ⅰ）证明：数列1{1}na -是等比数列；（Ⅱ）数列{}n n a 的前n 项和n S ．练1 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n n S a ,,21等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n bn a )21(2=，设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .练2、已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n .例3 在等比数列{a n }中，a 2a 3＝32，a 5＝32.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S 1＋2S 2＋…＋nS n .例4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)若c n ＝a n ·b nn ，求数列{c n }的前n 项和T n .四、裂项相消裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的. 常见的裂项相消形式有： 1. 111(1)1n a n n n n ==-++ 1111()(2)22n a n n n n ==-++ ┈┈1111()()n a n n k k n n k ==-++2n p a An Bn C ⇒=++（分母可分解为n 的系数相同的两个因式）2. 1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+ 1111()(21)(23)22123n a n n n n ==-++++1111()(65)(61)66561n a n n n n ==--+-+3. 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎣⎦4.)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-n n n n n 5. 111211(21)(21)2121n n n n n n a ---==-++++ +1+1211(21)(21)2121nnn n n n a ==-++++122(1)111(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-==⋅=-++⋅+6.=┈┈12=1k=- 例1．正项数列}{n a 满足02)12(2=---n a n a n n ．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1nn a n b +=求数列}{n b 的前n 项和n T ．练1.等比数列}{n a 的各项均为正数，且6223219,132a a a a a ==+．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{nb 的前n 项和．例2．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ．(Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(11*2N n a b n n ∈-=求数列}{n b 的前n 项和n T ．例3．已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且421,,S S S 成等比数列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)令,4)1(112+--=n n n a a nb 求数列}{n b 的前n 项和n T .例4．正项数列}{n a 的前n 项和n S 满足：0)()1(222=+--+-n n S n n S n n .(1)求数列}{n a 的通项公式n a ；(2)令,)2(122n n a n n b ++=数列}{n b 的前n 项和为n T ，证明：对于,*N n ∈∀都有645<n T .练1、已知数列{}n a 是首相为1，公差为1的等差数列，21n n n b a a +=⋅，n S 为{}n b 的前n 项和，证明：1334n S ≤<.例5．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4＝9，a 2a 3＝8．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝，求数列{b n }的前n 项和T n ．例6. （无理型）设数列{}n a 满足01=a 且111111=---+nn a a ，（1）求{}n a 的通项公式；（2）设na b n n 11+-=，记∑==nk kn bS 1，证明：1<n S .例7.（指数型）．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S n ＝﹣n ﹣1．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n 项和T n ．例8．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n （n ∈N *），{b n }是等差数列．已知a 1＝1，a 3＝a 2+2，a 4＝b 3+b 5，a 5＝b 4+2b 6．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{S n }的前n 项和为T n （n ∈N *）， （i ）求T n ；（ii ）证明＝﹣2（n ∈N *）作业：1．设231()2222()n f n n N ++=++++∈，则()f n 等于（ ）A.21n -B.22n -C. 122n +-D. 222n +-2．满足*12121,log log 1()n n a a a n +==+∈N ，它的前n 项和为n S ，则满足1025n S >的最小n 值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．123．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1{1+n n a a 的前100项和为( A ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．1011004．求和2345672223242526272+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= . 5．定义在上的函数满足， 则6．已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n ，求T 2 012；(3)若c n ＝a n ·f (a n )，求{c n }的前n 项和U n .7．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，a 1＝1，各项均为正数的等比数列{b n }的第1项，第3项，第5项分别是a 1，a 3，a 21.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .8. 已知数列{an}的前n 项和Sn ＝－12n 2＋kn(其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和Tn.R )(x f 2)21()21(=-++x f x f )83()82()81(f f f ++67()()_______88f f +++=数列求和综合答案详解版一、分组求和例1．求和. 【解析】(1+2+3+…+n)+ =【总结升华】1. 一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学，考虑化归为等差、等比数列或常数列，然后用熟知的公式求解.2. 一般地，如果等差数列与等比数列的对应项相加而形成的数列都用分组求和的办法来求前项之和.练1已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p n q =⋅+⋅（*n ∈N ，,p q 是常数），且145,,x x x 成等差数列.（1）求,p q 的值；（2）求数列{}n x 的前n 项和n S . 【解析】（1）232(164)2325p q p q p q p p +=⎧⎨+=+++⎩ 解得11q p =⎧⎨=⎩（2）12212(21)(22)+(2)n n S x x x n =+++=+++++………… =12(22+2)(123+n)n ++++++…………=1(1)222n n n ++-+ 例2．（奇偶性）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （Ⅱ）设b n ＝，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的过程为d ，∵a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列． ∴＝a 1•（a 4+2），即（1+d ）2＝1×（1+3d +2），化为：d 2﹣d ﹣2＝0，解得d ＝2或﹣1．其中d ＝﹣1时，a 2＝0，舍去．∴d ＝2．a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，S n ＝＝n 2．（Ⅱ）设b n ＝＝，∴n 为偶数时，＝＝16，b 2＝8；11111232482n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭11111232482n n S n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅++= ⎪⎝⎭111242n ⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭(1)1122n n n ++-{}n a {}n b {}n n a b +n n Sn 为奇数时，＝＝，b 1＝．∴数列{b n }的奇数项是首项为，公比为．数列{b n }的偶数项是首项为8，公比为16．∴数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝+＝．二、并项法例1．已知数列的前项和，求，的值以及Sn 的值.【思路点拨】该数列{}n a 的特征：1(1)(43)n n a n -=--，既非等差亦非等比，但也有规律：所有奇数项构成以1为首项8为公差的等差数列，偶数项构成以-5为首项-8为公差的等差数列，因而可以对奇数项和偶数项分组求和；还有规律：1234561...4n n a a a a a a a a ++=+=+==+=-（n 为奇数），可以将相邻两项组合在一起. 【解析】（1）法1（分组）由可得，法2（并项）a1+a2=−4,a3+a4=−4（2）由∴当为奇数，时， ，Sn=( a1+a2)+ a3+a4……（a n-2-a n-1）+an=−4(n−12)+4n-3=2n-1当为偶数，时，，Sn=( a1+a2)+ a3+a4……（a n-1+an ）=−4×n2=−2n 【总结升华】1.对通项公式中含有或的一类数列，在求时要注意讨论的奇偶情况.2. 对正负相间的项中的相邻两项进行恰当的组合，可能会有意料之结. 举一反三：【变式1】求，，，，…，，…的前50项之和以及前项之和.{}n a n 1159131721...(1)(43)n n S n -=-+-+-++--15S 22S 1(1)(43)n n a n -=--158(157)7(553)[19...(4153)][513...(4143)]2922S ++=+++⨯--+++⨯-=-=2211(181)11(585)[19...(4213)][513...(4223)]4422S ++=+++⨯--+++⨯-=-=-1(1)(43)n n a n -=--n n N +∈1(43)(41)4n n a a n n ++=--+=-n n N +∈1(43)(41)4n n a a n n ++=--++=n )1(-1n )1(+-n S n 21-2223-242(1)n n •-50S n n S【解析】（1）设，则数列为等差数列，且是的前25项之和， 所以.（2）当为偶数即时，.当为奇数即时，.三、错位相减例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1=2，3S n =11543(2)n n n a a S n ---+≥ （I ）求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）若b n =n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。

一．公式法求和（1）等差数列前n 项和公式 d n n na a a n a a n S k n k n n 2)1(2)(2)(111-+=+=+=-+ （2）等比数列前n 项和公式 1=q 时 1na S n =1≠q 时 qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11 （3）前n 个正整数的和 2)1(321+=++++n n n 前n 个正整数的平方和 6)12)(1(3212222++=++++n n n n前n 个正整数的立方和 23333]2)1([321+=++++n n n 公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n 的值；（2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。

1．求数列13741+n ，，，， 的所有项的和.2．求和221-++++n xx x (0,2≠≥x n )二．分组法求和3．求数列1，21+，321++，…，n ++++ 321的所有项的和。

三．错位相减法求和{}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n {}和，可由求，其中为的公比。

S qS S q b n n n n - 4.求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.四．裂项法求和:把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

5.求和)12)(12(1751531311+-++⨯+⨯+⨯n n 。

6.求和nn +++++++++11321231121 。

7. 求和： (111211231)123+++++++++++n数列求和练习1、数列}{n a 的通项na n ++++=3211，则数列}{n a 的前n 项和为 ( )A ．122+n nB ．12+n nC ．12++n nD ．12+n n2、数列 ,1614,813,412,211的前n 项和可能为 ( )A ．n n n 21)2(212-++B ．12211)(21--++n n nC ．n n n 21)2(212-+- D ．)211(2)(212n n n -++3、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ，则22221n a a a ++等于 ( ) A ．2)12(-n B ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n4、数列}{n a 的通项公式)(11*N n n n a n ∈++=,若前n 项和为10，则项数n 为 ( )A ．11B ．99C ．120D ．1215、在数列}{n a 中，2,121==a a 且)()1(1*2N n a a n n n ∈-+=-+，则=100S ．6、已知)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n ，则=+2215S S ．7、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若,0,,1211=-+∈>+-m m m a a a N m m 3812=-m S ，则m＝ ．8、已知数列}{n a 中，11=a ，当2≥n 时，其前n 项和n S 满足)21(2-=n n n S a S 。

数列的求和1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论）2．公式法：()213211+=++++=∑=n n n k n k 222221(1)(21)1236n k n n n k n =++=++++=∑ 2333331(1)1232n k n n k n =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑3.错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ；1111()(2)22nn n n =-++ 1111()()n n k k n n k=-++)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n5.倒序相加法：这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个.6.分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例题分析：1．错位相减法求和例1．已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a a n a a n ，求前n 项和。

思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列120,,,,-n a a a a 对应项积，可用错位相减法求和。

解：()1)12(53112--++++=n na n a a S ()2)12(5332n na n a a a aS -++++= ()()n n n a n a a a a S a )12(22221)1(:21132--+++++=--- 当n n n n a a a S a a )12()1()1(21)1(,121----+=-≠-时 21)1()12()12(1a a n a n a S n n n --++-+=+ 当2,1n S a n ==时练习: 求n n a n a a a S ++++= 323212.裂项相消法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.例2. 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和. 解：设n n n n a n -+=++=111（裂项） 则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和） ＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n练习1：求和)12)(12()2(534312222+-++⋅+⋅=n n n S n练习2：在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.3.倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. 例3.求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S ………② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89 ∴ S ＝44.5练习1：求值：222222222222123101102938101S =++++++++练习2：已知函数()222xx f x =+ （1）证明：()()11f x f x +-=；（2）求128910101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.4.分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例4.求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a aa S n n 将其每一项拆开再重新组合得 )23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n n + （分组求和） 当1≠a 时，2)13(1111n n a a S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 例5. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑= 将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k n k ∑∑∑===++1213132 （分组） ＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n 练习 求和：1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--()()()()123235435635235n n S n ----=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯个n n S 111111111++++=22222)1()1()1(n n n xx x x x x S ++++++=。

4×3
41 + 2 ×
= 32,
1 = 5,
S4=32,T3=16,得
解得
所以
= 2.
(1 -6) + 2(1 + ) + (1 + 2-6) = 16,
an=a1+(n-1)d=2n+3.
(2)证明 由(1)可得
[5+(2+3)]
Sn=
=n2+4n.
2
当 n 为奇数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-2-6+2an-1+an-6
×…× ×a2= × ×…× ×1=n-1.
-2
2
1
-2 -3
显然 a1=0 满足,∴an=n-1(n∈N*).
(2)由(1)可知 an=n-1(n∈N*),
+1
1
1 1
1 2
1 3
1
∴an+1=n,∴ =n· ,∴Tn=1×
+2×
+3×
+…+n· ,
2
2
2
2
2
2
1
1 2
1 3
1
2
2
+(
1
2
2
−
1
2 )+…+
3
1
1
1
2 - 2 =1-81
8 9
=
80
.
81
=
1
2
−
1
(+1)
2,
增素能 精准突破

等差乘等⽐数列求和，掌握好这三种⽅法再也不怕
题⽬
⽅法⼀：错位相减法
⽅法⼆：待定系数法后裂项求和
⽅法三：分组后⽤导数求和
结语
我们知道错位相减法主要⽤于等差乘等⽐数列的求和问题，但是在教学中发现不少学⽣能接受，但是计算总是出问题，为此提出两种替代⽅案供学⽣选择。

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一般数列求和一．裂项求和1．已知数列{a n}满足a1＝2，．（1）设，求证：数列{b n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{c n c n+2}的前n项和为T n，2．已知数列{a n}满足a1＝3，且a n+1＝2a n﹣n+1．（1）证明：数列{a n﹣n}为等比数列；（2）记，求数列{b n}前n项的和S n．3．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n＞0，．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求{b n}的前n项和T n．4．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n﹣na n＝3n（n∈N*），且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求为数列{b n}的前n项和T n．【裂和】5．已知数列{a n}和{}均为等差数列，a1＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n＝（﹣1）n•，求数列{b n}的前n项和S n．二．错位相减法6．已知等差数列{a n}满足（a1+a2）+（a2+a3）+…+（a n+a n+1）＝2n（n+1）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．三．分组求和【并项求和】7．（2021•湖南模拟）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，2S n＝a n2+a n﹣2．（1）证明：数列{a n}是等差数列．（2）若b n＝（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项和为T2n．【分组求和】8．（2020秋•湖北期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S n+1＝3S n+2，n∈N*．（1）证明：数列{S n+1}为等比数列；（2）若b n＝，求数列{b n}的前2n项的和T2n．练习：9．已知数列{a n}和{}均为等差数列，a1＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n＝（﹣1）n•，求数列{b n}的前n项和S n．10．在数列{a n}中，a1＝14，a n+1﹣3a n+4＝0．（1）证明：数列{a n﹣2}是等比数列．（2）设b n＝，记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，m≥T n恒成立，求m 的取值范围．11．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且S3＝2S2+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}满足，求数列b n的前n项和T n．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5＝25，a2+a5+a10＝31．（1）求数列{a n}的通项公式以及前n项和S n；（2）若求数列{b n}的前2n﹣1项和T2n﹣1．答案：1．（2021秋•湖北月考）已知数列{a n}满足a1＝2，．（1）设，求证：数列{b n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{c n c n+2}的前n项和为T n，是否存在正整数m，使得对任意的n∈N*都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，试说明理由．【解答】（1）证明：∵，∴，则＝．又，且，∴数列{b n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，则，即，；（2）解：＝，，则＝2＝＜3．要使对任意的n∈N*都成立，只要3，即，解得m≤﹣4或m≥3．∵m＞0，∴m≥3，即m的最小值为3．2．（2020秋•湖北期末）已知数列{a n}满足a1＝3，且a n+1＝2a n﹣n+1．（1）证明：数列{a n﹣n}为等比数列；（2）记，S n是数列{b n}前n项的和，求证：．【解答】证明：（1）依题意，由a n+1＝2a n﹣n+1，两边同时减去n+1，可得a n+1﹣（n+1）＝2a n﹣n+1﹣（n+1）＝2（a n﹣n），∵a1﹣1＝3﹣1＝2，∴数列{a n﹣n}是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）知，a n﹣n＝2•2n﹣1＝2n，∴a n＝2n+n，∴＝＝﹣，则S n＝b1+b2+…+b n＝﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝﹣＜，∴不等式成立．3．（2018秋•荆州区校级期末）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n＞0，．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ），则，两式相减得：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝2（n≥2），且，∴{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴a n＝2n+1．（Ⅱ）∴＝．4．（2019秋•西湖区校级期中）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n﹣na n＝3n（n∈N*），且a2＝5．（1）证明数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，T n为数列{b n}的前n项和，求使T n成立的最小正整数n的值．【解答】解：（1）当n≥2时，2S n﹣1﹣（n﹣1）a n﹣1＝3（n﹣1），又2S n﹣na n＝3n，相减可得（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝3，当n≥3时，（n﹣2）a n﹣2﹣（n﹣3）a n﹣1＝3，所以（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝（n﹣2）a n﹣2﹣（n﹣3）a n﹣1，可得2a n﹣1＝a n﹣2+a n，所以{a n}为等差数列．又2S1﹣a1＝3，且a1＝S1，得a1＝3，又a2＝5，所以{a n}为公差为2的等差数列，则a n＝2n+1；（2）b n＝＝＝＝＝（﹣），T n＝（﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣），要使T n成立，即（﹣）＞，解得n＞，所以最小正整数n的值为8．4．（2019秋•湖北月考）已知数列{a n}和{}均为等差数列，a1＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n＝（﹣1）n•，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）{}均为等差数列，a1＝．可得2•＝a12+，数列{a n}也为等差数列，公差设为d，可得（a1+d）2＝a12+，化为a1＝d＝，则a n＝+（n﹣1）＝n；（2）b n＝（﹣1）n•＝（﹣1）n•＝（﹣1）n•（+），S n＝﹣（1+）+（+）﹣（+）+…+（﹣1）n•（+）＝﹣1+（﹣1）n•．6．已知等差数列{a n}满足（a1+a2）+（a2+a3）+…+（a n+a n+1）＝2n（n+1）（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【解答】解：∵（a1+a2）+（a2+a3）+…+（a n+a n+1）＝2n（n+1），①∴（a1+a2）+（a2+a3）+…+（a n﹣1+a n）＝2n（n﹣1），②由①﹣②可得，a n+a n+1＝4n，③，令n＝n﹣1，可得a n+a n﹣1＝4（n﹣1），④，由③﹣④可得2d＝4，∴d＝2，∵a1+a2＝4，∴a1＝1，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，（2）＝（2n﹣1）•（）n﹣1，∴S n＝1•（）0+3•（）1+5•（）2+…+（2n﹣1）•（）n﹣1，∴S n＝1•（）1+3•（）2+5•（）3+…+（2n﹣3）•（）n+（2n﹣1）•（）n，∴S n＝1+2•（）1+2•（）2+2•（）3+…+2•（）n﹣1﹣（2n﹣1）•（）n＝1+2﹣（2n﹣1）•（）n＝3﹣（2n+3）•（）n，∴S n＝6﹣（2n+3）•（）n﹣1．7．（2021•湖南模拟）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，2S n＝a n2+a n﹣2．（1）证明：数列{a n}是等差数列．（2）若b n＝（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项和为T2n．【解答】解：（1）证明：因为，所以当n＝1时，，即，解得a1＝2或a1＝﹣1（舍去）．当n≥2时，，则，即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）＝0，因为a n＞0，所以a n+a n﹣1＞0，则a n﹣a n﹣1﹣1＝0，即a n﹣a n﹣1＝1，（n∈N*，n⩾2）所以数列{a n}是等差数列．（2）由（1）可得a n＝2+n﹣1＝n+1，n∈N*，则，n∈N*，从而，故T2n＝b1+b2+…+b2n﹣1+b2n（4+1）+（4×2+1）+…+（4n+1）＝＝2n2+3n．8．（2020秋•湖北期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S n+1＝3S n+2，n∈N*．（1）证明：数列{S n+1}为等比数列；（2）若b n＝，求数列{b n}的前2n项的和T2n．【解答】解：（1）证明：∵S n+1＝3S n+2，∴，又S1+1＝3，∴数列{S n+1}是以3为首项，以3为公比的等比数列；（2）解：由（1）可得，∴，又当n≥2时，，a1＝2也适合上式，∴，∴，∴T2n＝（b1+b3+…+b2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）＝+＝．9．（2019秋•湖北月考）已知数列{a n}和{}均为等差数列，a1＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n＝（﹣1）n•，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）{}均为等差数列，a1＝．可得2•＝a12+，数列{a n}也为等差数列，公差设为d，可得（a1+d）2＝a12+，化为a1＝d＝，则a n＝+（n﹣1）＝n；（2）b n＝（﹣1）n•＝（﹣1）n•＝（﹣1）n•（+），S n＝﹣（1+）+（+）﹣（+）+…+（﹣1）n•（+）＝﹣1+（﹣1）n•．10．在数列{a n}中，a1＝14，a n+1﹣3a n+4＝0．（1）证明：数列{a n﹣2}是等比数列．（2）设b n＝，记数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，m≥T n恒成立，求m的取值范围．【解答】（1）证明：∵数列{a n}满足a n+1﹣3a n+4＝0，∴a n+1﹣2＝3（a n﹣2），即＝3（常数）．数列{a n﹣2}是以12为首项，3为公比的等比数列；（2）解：由（1）知，即．∴b n＝＝．当n为偶数时，＝；当n为奇数时，﹣…+＝．当n为偶数时，是递减的，此时当n＝2时，T n取最大值﹣，则m≥﹣；当n为奇数时，T n＝﹣是递增的，此时T n＜﹣，则m≥﹣．综上，m的取值范围是[﹣，+∞）．11．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且S3＝2S2+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}为递增数列，数列{b n}满足，求数列b n的前n项和T n．（3）在条件（2）下，若不等式λnT n﹣3λn+b n＜0对任意正整数n都成立，求λ的取值范围．【解答】解：（1）等比数列{a n}的公比设为q，前n项和为S n，a1＝1，且S3＝2S2+1，可得1+q+q2＝2（1+q）+1，解得q＝﹣1或q＝2，则a n＝（﹣1）n﹣1；或a n＝2n﹣1；（2）数列{a n}为递增数列，可得a n＝2n﹣1，数列{b n}满足，即为b n＝（2n﹣1）•（）n，前n项和T n＝1•+3•+…+（2n﹣1）•（）n，T n＝1•+3•+…+（2n﹣1）•（）n+1，相减可得T n＝+2（++…+（）n）﹣（2n﹣1）•（）n+1＝+2•﹣（2n﹣1）•（）n+1，化为T n＝3﹣（2n+3）•（）n；（3）不等式λnT n﹣3λn+b n＜0对任意正整数n都成立，即为λ（T n﹣3）+＜0，即λ＞恒成立，可令t＝2n﹣1（t为正奇数），可得＝＝，由t+≥4，当t＝1时，t+＝5，t＝3时，t+＝，t＝5时，t+＝，可得t＝3，即n＝2时，取得最大值，则λ＞．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5＝25，a2+a5+a10＝31．（1）求数列{a n}的通项公式以及前n项和S n；（2）若求数列{b n}的前2n﹣1项和T2n﹣1．【解答】解：（1）由S5＝25，得5a1+d＝25①，由a2+a5+a10＝31，得a1+d+（a1+4d）+（a1+9d）＝3a1+14d＝31②，由①②解得，a1＝1，d＝2，所以数列{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1，前n项和S n＝＝n2．（2）b n＝＝＝，所以T2n﹣1＝（b1+b3+…+b2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n﹣2）＝（21+25+29+…+22n﹣1）+（﹣+﹣+…+﹣）＝+（﹣）＝﹣﹣．。

考点4 数列求和（倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等）1．（2015江苏苏州市高三上调考）已知数列{n a }共有2k 项（2≤k 且k ∈N *），数列{n a }的前n 项的和为n S ，满足1a =2，1n a + =（p －1）n S +2（n =1，2，3，…，2n －1），其中常数p ＞1（1）求证：数列{n a }是等比数列； （2）若p =2212k -，数列{n b }满足21log n b n=（12n a a a ⋯）（n =1，2，…，2n ），求数列{n b }的通项公式（3）对于（2）中的数列{ n b }，记3||2n n c b =－，求数列{n c }的前2k 项的和． 【考点】数列的求和；数列的应用．【解】（1）证明：当n =1时，2a =2p ，则21a p a =， 当2≤n 时，112n n a p S +=+（－），-112n n a p S =+（－）， ∴11n n n a a p a +=－（－），即1n n a pa +=， ∴1n na p a +=， 故数列{n a }是等比数列．（2）由（1），得12n n a p -=（n =1，2，…，2n ），∴(1)123121222n nn n nn a a a pp-+++⋯+-⋯==2(1)(1)21221222n nn n n nk k --⨯+--==， 2121log n nb a a a n =⋯（） =1(1)()21n nn n k -+- =(1)121n k -+-，（n =1，2，…，2n ）， 即数列{b n }的通项公式为(1)121n n b k -=+-，（n =1，2，…，2n ）．（3）3||2n n c b =-，设32n b ≤，解得n ≤12k +， 又n 为正整数，于是：当n ≤k 时，32n b ＜；当n ≥k +1时，32n b ＞，∴数列{n c }的前2k 项的和：2122123333 (2222)k k k T b b b b -=-+-++-+- 12122333333()()...()()()...()222222k k k k b b b b b b ++=-+-++-+-+-++- 12212b k k k k b b b b b ++=++⋯+++⋯+（）－（）[][]11(1)...(21)12...(1)2121k k k k k k =++++--+++--- 221k k =-． 2．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））设数列{n a }的前n 项和记为n S ，且234n S n n =-+．（1）求数列{n a }的通项公式； （2）设3n n na b =，记数列{n b }的前n 项和记为n T ，，求证：2536n T ≤＜. 【考点】错位相减法求和【解】（1）当n =1时，12a =，当n ≥2时，124n n n a S S n -=-=-，故2,124,2n n a n n =⎧=⎨-⎩≥，（2）2,13243,23n n n nn a b n n ⎧=⎪⎪==⎨-⎪≥⎪⎩，其中123T =，当n ≥2时，22024...333n nn T -=+++①，23112024...3333n n n T +-=+++②，∴①－②得，231222224 (33333)n n n T +-=-++-， ∴521623n nn T -=-⨯(2)n ≥，由于0n b ≥，∴2536n T ≤＜． 3．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））已知数列{}n a 中，11a =，二次函数211()(2)2n n n f x a x a x -+=⋅+-⋅的对称轴为x =12，（1）试证明{}2nn a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，试求使得3n S ＜成立的n 的值，并说明理由． 【考点】等差数列的通项公式；二次函数的性质；错位相减法求和． 【解】（1） ∵二次函数211()(2)2n n n f x a x a x -+=⋅+-⋅的对称轴为x =12， ∴n a ≠0，1211222n n n a a -+--=⨯，整理得11122n nna a +=+， 左右两边同时乘以12n +，得11222n n n n a a ++=+，即11222n n n n a a ++-= (常数)，∴{}2nn a 是以2为首项，2为公差的等差数列，∴222(1)2nn a n n =+-=，∴1222n n n n n a -==． （2）∵ 012211231...22222n n n n nS ---=+++++， ①12n S = 12311231 (22222)n n n n--++++， ②①-②得：1231111111121 (1222222212)n n n n n n n S --=++++-=--， 整理得 1242n n n S -+=-．∵ 113214(4)0222n n n n n n n n S S +-+++-=---=＞，∴ 数列{n S }是单调递增数列． ∴ 要使n S ＜3成立，即使12432n n -+-＜，整理得n +2>12n -， ∴ n =1，2，3．4．（2015江苏省南京市高三考前综合）公差不为零的等差数列{n a }的前n 项之和为n S ，且2()2n n a k S +＝对n ∈*N 成立． （1）求常数k 的值以及数列{n a }的通项公式；（2）设数列{n a }中的部分项123n k k k k a a a a ⋯，，，⋯，，恰成等比数列，其中1k ＝2，,3k ＝14，求1122n n a k a k a k ⋯＋＋＋的值．【考点】等差数列或等比数列中的基本量问题；错位相减法与裂项相消法．【解】（1）法一：条件化为na k＋对n∈*N成立．设等差数列公差为d，则1(1)a n d k ＋－＋．分别令n＝1，2，3得：1112a ka d ka d k⎧=+⎪⎪=++⎨⎪=++⎪⎩①②③由①＋③－2⨯②得，=．两边平方得，14a d＋＝．两边再平方得，2211440a a d d－＋＝．解得d＝21a．代入②得，13a k＋，④由④－①得，1a．所以1a＝0，或1a＝1．又当1a＝0时，d＝0不合题意．所以1a＝1，d＝2．代入①得k＝1．而当k＝1，1a＝1，d＝2时，221n nS n a n＝，＝－，等式2()2nna kS+＝对n∈*N成立．所以k＝1，21na n＝－．法二：设等差数列的首项为1a，公差为d，则211(1)()222nn n d dS na d n a n-＝＋＝＋－，11(1)()na a n d dn a d＝＋－＝＋－．．代入2()2nna kS+＝得，22111()[()]224d dn a n dn a k d＋－＝＋＋－，即22221112(42)2()()dn a d n d n d a k d n a k d＋－＝＋＋－＋＋－．因为上面等式对一切正整数n都成立，所以由多项式恒等可得，21112422()d da d d a k da k d⎧=⎪-=+-⎨⎪+-=⎩因为d ≠0，所以解得，1211d a k =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以常数k ＝1，通项公式21n a n ＝－． （2）设n n k c a ＝，则数列{n c }为等比数列，且1312314327k k c a a c a a ＝＝＝，＝＝＝． 故等比数列{n c }的公比q 满足2319c q c ＝＝． 又n c ＞0，所以q ＝3．所以111333n n n n c c q⨯－－＝＝＝．又21n n k n c a k ＝＝－，所以213nn k －＝．由此可得11322nn k ⨯＝＋．所以2121322n n n n n a k --⨯＝＋． 所以1122n n a k a k a k ⋯＋＋＋123113355(3)(3)(3)222222=⨯++⨯++⨯+2121(3)22n n n --++⨯+L 1231[133353(21)3]2n n =⨯+⨯+⨯++-⨯L1[135(21)]2n +++++-L 123211[133353(21)3]22n n n =⨯+⨯+⨯++-⨯+L ． 法一：令123133353(21)3nS n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ， 则3S =++++2311333(23)3(21)3nn n n +⨯⨯-⨯-⨯L ，两式相减得:=++++23123232323(21)3nn S n +-⨯⨯⨯--⨯L ，113(13)23(21)3213n n S n +⎡⎤-=-⨯---⨯⎢⎥-⎣⎦ 113(13)3(21)32n n n +⎡⎤=------⨯⎣⎦ 1112(1)36(1)332n n n n ++⎡⎤=---⨯-=-⨯+⎣⎦,代入得+++1122n n a k a k a k L 121211(1)33(1)33222n n n n n n ++-⋅++⎡⎤=⨯-⨯++=⎣⎦． 法二：因为1(21)3[(1)2]3(2)3kk k k k k +-⨯=+-⨯--⨯1(1)3k k +=-⨯-(2)3k k -⨯．所以213243[03(1)3][1303][2313]S =⨯--⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 1[(1)3(2)3]n n n n +++-⨯--⨯L 1(1)33n n ⨯＋＝－＋．代入得1122n n a k a k a k ⋯+++121211(1)33(1)33222n n n n n n ++-⋅++⎡⎤=⨯-⨯++=⎣⎦.5．(江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)已知{}n a 是等差数列，其前n 项的和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4421a b +=，4430S b +=. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记*,n n n c a b n =∈N ，求数列{}n c 的前n 项和.【考点】数列的求和，数列递推式.【解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由112a b ==，得4a =2+3d ，342b q =，486S d =+由条件4421a b +=，4430S b +=，得方程组332322186230d q d q ⎧++=⎨++=⎩解得12d q =⎧⎨=⎩ 所以*12n n n a n b n =+=∈N ，，. (2)由题意知，(1)2nn c n =+⨯.记123n n T c c c c =++++L .则123n n T c c c c =++++L =231223242212n n n n -⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L （）， 23412223242212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L （），所以2311=22(2222)(1)2n n n n T n -+-⨯+++++-+L ，1*2()n n T n n +=⨯∈N .6. （15淮安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷）已知{n a }为等比数列，其中1a =1，且2354a a a a +，，成等差数列．（1）求数列{n a }的通项公式：（2）设21n n b n a =⋅（﹣），求数列{n b }的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【解】（1）设在等比数列{n a }中，公比为q ， ∵11a =，且2354a a a a +，，成等差数列，∴35242a a a a +=+（），∴2432q q q q +=+（），和为________． 【答案】 75 8．已知函数()22,n n f n n n ⎧⎨-⎩当为奇数时＝,当为偶数时，且()(1)n a f n f n ＝＋＋，则123100+a a a a +L ＋＋等于________． 【答案】 100【分析】 由题意，得123100+a a a a +L ＋＋＝2222222222221223344599100100101------L ＋＋＋＋＋＋＝(12)(32)(99100)(101100)--L ＋＋＋＋＋＋＋ ＝(1299100)(23100101)-L L ＋＋＋＋＋＋＋＋＋ ＝5010150103100-⨯⨯＋＝.9．数列12a ＋，L ，2k a k ＋，L ，1020a ＋共有十项，且其和为240，则1a L ＋＋10k a a L ＋＋的值为________．【答案】 130＝240－110＝130.10．(2015·泰州质检)已知数列{}n a 满足11a ＝，*12()n n n a a n ⋅∈N ＋＝，则2016S =________. 【答案】 1008323⋅-∴201612345620152016S a a a a a a a a L ＝＋＋＋＋＋＋＋＋ ＝13520152462016()()a a a a a a a a L L ＋＋＋＋＋＋＋＋＋那么数列{}n b 的前n 项和n S 为________．12．(2015·扬州测试)在数列{}n a 中，11a ＝，1(1)(1)n n n a a -＋＝＋，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2013S ＝________. 【答案】 －1005【分析】 由11a ＝，1(1)(1)n n n a a -＋＝＋可得22a -＝，31a -＝，40a ＝，51a ＝, 该数列是周期为4的数列，所以20131234 2 013503()503(2)1S a a a a a ⨯-＝＋＋＋＋＝＋＝ 1005-.13．(2014·济南模拟)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3224S S ＝＋，536a ＝.(1)求n a ，n S ；【解】(1)因为3224S S ＝＋，所以14a d --＝， 又因为536a ＝，所以1436a d ＋＝.解得d ＝8，14a ＝，所以48(1)84n a n n --＝＋＝，(2)241(21)(21)n b n n n --＝＝＋，14．(2015·石家庄模拟)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且122a a ⋅＝，3432a a ⋅＝.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为2*()n S n n ∈N ＝，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和．【解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得21251232a q a q ⎧=⎨=⎩，又∵10a ＞，0q ＞，解得112a q =⎧⎨=⎩，∴12n n a －＝.(2)由2n S n ＝得()21(1)2n S n n --＝≥，∴当2n ≥时，121n n n b S S n ---＝＝，当n ＝1时，11b ＝符合上式， ∴*21()n b n n -∈N ＝，∴1(21)2n n n a b n -⋅-⋅＝.12113252(21)2n n T n -=+⋅+⋅++-⋅L ，2312123252(23)2(21)2n n n T n n ⋅⋅⋅-⋅-⋅L －＝＋＋＋＋＋，两式相减得2112(222)(21)2(23)23n n n n T n n ----⋅--⋅-L ＝＋＋＋＋＝， ∴(23)23nn T n -＝＋.15．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n --＋＋＝，则{}n a 的前60项和为________．【答案】 1830【分析】 ∵1(1)21nn n a a n --＋＋＝，∴211a a ＝＋，312a a -＝，417a a -＝，51a a ＝，619a a ＝＋，712a a -＝，8115a a -＝， 91a a ＝，10117a a ＝＋，1112a a -＝，12123a a -＝，L ，571a a ＝，581113a a ＝＋， 5912a a -＝，601119a a ＝－，所以111333n n nn a a q --⨯＝＝＝，n 项和，则21S ＝________. 【答案】 6偶数项分别相等，则2111a a ＝＝，211234()()S a a a a L ＝＋＋＋＋1920()a a ＋＋18．(2015·长沙模拟)已知函数()()2cos f n n n π＝，且()(1)n a f n f n ＝＋＋，则12a a ＋3100a a L ＋＋＋＝________.【答案】 －100【分析】 若n 为偶数，则()22(1)(1)(21)n a f n f n n n n --＝＋＋＝＋＝＋，为首项为25a -＝，公差为4-的等差数列；若n 为奇数，则()(1)n a f n f n ＝＋＋＝ 22(1)21n n n -＋＋＝＋，为首项为13a ＝，公差为4的等差数列． 所以123100139924100()()a a a a a a a a a a L L L ＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋________．【答案】 5即S ＝5. 20．在数列{}n a 中，15a -＝，22a -＝，记()12n A n a a a L ＝＋＋＋，()23B n a a ＝＋1n a L ＋＋＋，()*342()n C n a a a n ∈N L ＋＝＋＋＋，若对于任意*n ∈N ，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}||n a 的前n 项和．【解】(1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列，∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，整理得2121253n n a a a a ---＋＋＝＝＋＝，∴数列{}n a 是首项为－5，公差为3的等差数列， ∴53(1)38n a n n ---＝＋＝.(2)38,2||=38,3n n n a n n -+⎧⎨-⎩≤≥， 记数列{}||n a 的前n 项和为n S .21. (2014·广州综测)已知等差数列{}n a 的前n 项和为2()n S n pn q p q ∈R ＝＋＋，，且2a ，3a ，5a 成等比数列． (1)求p ，q 的值；(2)若数列{}n b 满足22log log n n a n b ＋＝，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解】(1)当n ＝1时，111a S p q ＝＝＋＋， 当2n ≥时，1n n n a S S -－＝＝22[(1)(1)]n pn q n p n q ---＋＋＋＋ ＝21n p -＋. ∵{}n a 是等差数列，∴1＋p ＋q ＝2×1－1＋p ，得q ＝0. 又23a p ＝＋，35a p ＝＋，59a p ＝＋， ∵2a ，3a ，5a 成等比数列，∴2325a a a =，即2(5)(3)(9)p p p ＋＝＋＋， 解得p ＝－1.(2)由(1)得22n a n -＝.∵22log log n n a n b ＋＝，∴221224n an n n b n n n --⋅⋅⋅＝＝＝.∴1231n n n T b b b b b -L ＝＋＋＋＋＋0122142434(1)44n n n n --⨯⨯⋅⋅L ＝＋＋＋＋－＋，① 1231442434(1)44n n n T n n -⨯⨯-⋅⋅L ＝＋＋＋＋＋，②①－②得0121344444n n n T n ---⋅L ＝＋＋＋＋。