数列中的裂项法求和举例
杨恒运
江苏省扬中高级中学 （212200）
数列中的求和问题是一个基本问题，应该根据通项公式的形式确定用什么方法求数列的前 n 项和。裂项法求和的是数列求和中一种常用方法，应用非常广泛,下面就举例说明之。 1. 求通项公式
例1 已知数列｛n a ｝满足：
12132
1,,n n a a a a a a a ---- 是首项为1公比为1
3
的等比数列，求通项n a
由于121321n n n a a a a a a a a -+-+-++-=很容易求出通项1
13n n a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
2. 求等差数列前 n 项和
例2 在数列{}n a 中,若21
n n a n n s =+，求前项和 学生在求和中，数列中的基本元素及求和公式都会搞错，若
用裂项法就很容易求出其前n 项和
略解:显然22
(1)n a n n =+-
12222222
2
2
1 (21)(32)(1) (1)12(1)n n
n s a a a n n n n n
a a n d
=++
+=-+-+++-=+-=+=+-则一般地，若等差数列
()()1 1221211()
3
(21)22d 3 = n+12231122 =na (1)2
n n a dn a d d n a d
n a d d s n a d n n
n d
=+-=++-⎛
⎫⎡⎤-+- ⎪
⎣⎦⎝⎭
⎛⎫
⎡⎤∴=+-+- ⎪⎣⎦⎝
⎭+-则
3．求等比数列前n 项和
对于等比数列前n 项和的推导及记忆应用都是一个难点，若用裂项法的思想，就可以化繁为简
例3 在数列{}n a 中,若2n n
n a n s =，求前项和
{}()
111n 111n 102111121122222
a (1)a a =
()q-1
1(1) (1)11n n n n n n n n n
n n n n n n n
a s a a q q q q a
s a a a q q q q q q q a a q q q q
++---==-∴=-=≠-∴=++=-+-+
---=-=
--略解：一般地在等比数列中 若则
4．求通项是等差数列与等比数列对应项乘积的数列的前n 项和 对这种数列的前n 项和问题更是一个难点，求和的方法是错位相减法，即使学生记得此方法，但运算正确的也很少，若用裂项法，则运算很简捷。 例4 在数列{}n a 中,若23
3n n
n a -=
，求数列前n 项和。 ()13331 33n n
n n n n
a n n
---=-=
-略解：
3n n
n
s ∴=-
例5 在数列{}n a 中,若
23
4n n
n a -= ， 求数列前n 项和 ()123
4214433 42111 3443411121441
34314
n n n
n
n n n n n n a n n n n n s --=
---=-⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎛⎫
- ⎪⎛⎫⎝⎭∴=--
⎪⎝⎭-
116494n n n ⎛⎫--= ⎪⎝⎭
()1111a 11 =
q-11n
n n
n n a aq q n n b an b q q q q n n aq
b q q q q ---++⎡⎤⎣
⎦+--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪⎪
-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
一般地:
由此很容易求出此数列的前n 项和。 5．求有关二项式系数的和 例6 化简
2222
234n c c c c +++
+
若利用组合数性质，则有2331k k k c c c +=-
∴原式=2333
2131n n c c c c +++-=
6．求通项是分式形式的数列前n 项和 例7 在数列{}n a 中 ，若1n
a n =+ 设正项数列{}n
b 满足
111,n n n b b b a +==
求证：
)
123
111
121n
b b b b ++++
>
证明：当1n =时不等式显然成立。当2n ≥时
111n n n
n n n b b a b b a +--== 两式相减得：
()1111
12111
1
1
1
2,1
n n n n n n b b b b b b a b b b b +-+--=∴=-====又
则 原式左边=
()()()()314253111
1
n n b b b b b b b b b +-+-+-+-++-
12111
n n b b b b b +=--++
)
1
2221
n n
b b
+
=-++>-+=
所以不等式成立。
7．通项是多项式形式的数列的求和
例8 求数列()
{}1
n n+的前n项和
()
()()()()
()()()() ()()
()()()()()()()() ()()()
()()
3
1211
1
3
1
12302341231211
3
1
=12
3
1
12123112
4
1
123
4
11
n
n
n
n
n
n n n n n n
a n n
s n n n n n n
n n n
a n n n n n n n n n n n
s n n n n
a n n n n n
++--+
=+=
=⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅++++--+
⎡⎤
⎣⎦
++
=++=+++--++
⎡⎤
⎣⎦=+++
==-++
解：
因此
相似地
由上式不难得到()()()
()1
1
112
42
n
n n
s n n n n
+
=-+++
⎡⎤
⎣⎦
类比可求得()()
1
n
a n n n k
=++的前n项和
8．求通项是三角形式的数列前n项和
例9 在数列｛
n
a｝中sin
n
a nx
=,求前n项和
n
s
sin sin
2
sin
sin
2
1
cos cos
222
sin
2
12121
cos cos
22
2sin
2
121
cos cos
22
2sin
2
n
n
x
nx
a nx
x
x x
nx nx
x
n n
x x
x
n x
s x
x
==
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
-+--
⎪ ⎪
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
=
+-
⎡⎤
=--
⎢⎥
⎣⎦
+
⎡⎤
∴=--
⎢⎥
⎣⎦
解：
裂项法在其它形式的数列求和中均有广泛应用，在此不一一举例。裂项法求和关键在于拆项、消项。因而具有较强的技巧。在平时的解题训练中不应生搬硬套，过于追求巧，而应灵活应用。
