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---文档均为word文档，下载后可直接编辑使用亦可打印---摘要随着多媒体技术的飞速发展，图像信息越来越重要，但是图像在获取、传输、和存储的各个细节中会受到影响，导致最终的图像不可避免的存在各种质量下降问题，我们需要的是高分辨率的图像，对有噪声的图像进行去噪处理有很重要的意义。
本文主要阐述的是基于小波变换的图像阈值去噪方法。
小波变换是一种信号处理技术，可以在时域和频域上显示信号。
小波变换可以将一个信号分解为代表不同频带的多个尺度，通过小波变换，可以确定信号在每个尺度上的时频特征，这样的属性可以用来消除噪声。
基于阈值的图像去噪方法被科学家Donoho和Johnstone提出了，基于阈值的去噪方法可以采用硬阈值或软阈值函数，它易实现且具有良好的效果。
在本文中，采用了不同的噪声，不同的阈值，不同的阈值函数进行分析与相比较。
关键词：小波变换；阈值；阈值函数；图像去噪；A b s t r a c tWith the rapid development of multimedia technology and network technology, image information becomes more and more important in people's work, study and life. But the image in the acquisition, transmission, and storage process sections will be affected seriously, which leads to the final image effected by all kinds of inevitable quality problems. but, which we need is the image with clearity and high resolution. Therefore, to deal with the noise of noisy images has very important meaning in practical application and life.There are a lot of methods for image de-noising. This paper mainly describes the image de-noising method based on wavelet transform. It is well known that wavelet transform is a signal processing technique which can display the signals on in both time and frequency domain. In this paper, we use several threshold based on wavelet transform to provide an enhanced approach for eliminating noise.Wavelet transforms can decompose a signal into several scales that represent different frequency band. The position of signal's instantaneous at each scale can be determined approximately by wavelet transform.Such a property can be used to denoise. Threshold-based de-noising method was proposed by Donoho. Threshold-based de-noising method is used hard-threshold or soft-threshold. It is very simple and has good performance. This paper uses the threshold techniques which applied threshold according to each band characteristic of image.In this paper, the results will be analyzed and compared for different noises, different thresholds, different threshold functions. It has a superior performance than traditional image de-noising method.Keyword：Wavelet Transform; Threshold; Threshold Function; Image De-noising第一章绪论1.1研究目的和意义当今各种信息充斥于我们的日常生活中，图像信息成为人类获取信息的重要信息，因为图像具有传输速度快，信息量大等一系列的强势[1]。
信号去噪方法研究 学 院：信息工程学院 专 业：电子信息工程 姓 名：学 号： 指导教师： 完成时间： 毕业设计（论文）报告纸
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摘 要 信息时代,科技飞速发展,信息资源中的信号应用日益广泛,信号的结构越来越复杂,为了更加清楚地分析和研究实际工程中信号的有用信息,对信号进行消噪处理是至关重要的。信号消噪后,在语音识别方面,可以提取有效的语音信号;在图像处理方面,可以观察到清晰的图像等等，总之,在实际的工程应用中,信号消噪具有重要意义。 本文对基于小波变换的信号去噪方法进行了深入的研究分析,详细介绍了傅里叶变换和几种经典的小波变换去噪方法。结合相关的理论分析和Matlab实验结果，讨论了在一维与二维空间的去噪方法：分析了在一维空间阈值去噪过程中的小波的选取、阈值形式的选择以及阈值选择等因素对去噪效果的影响，介绍了模极大值去噪和小波阈值去噪等方法；探讨了在二维图像中，传统去噪与小波去噪的实现方法与比较。 通过本文的研究，可以得出结论：小波去噪比传统去噪效果更佳；采用不同的阈值选取形式所得去噪效果不同；选择软阈值的去噪效果比硬阈值的去噪效果要好。
关键词 小波变换，信号去噪，Matlab 毕业设计（论文）报告纸
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Abstract At the information age, technology is rapidly developing ,The use of signal in the information resources becomes increasing, the signal structure is become more complex, in order to analysis and research the useful information of signal more clearly in the actual engineering , the signal de-noising processing is critical .After the signal is be denoised, in the area of speech recognition, you can extract a voice signal more effective , in the area of image processing, you can be observed clear images, and so, in short, the signal de-noising is of great significance in practical engineering applications. The subject deeply analysis the signal de-noising method based on wavelet transform, provide the knowledge of details in the Fourier transform and several classic wavelet transform denoising method. Combined with the theoretical analysis and Matlab experimental results it discussed denoising method in one-dimensional and two-dimensional space :it analysis the wavelet choice during the threshold denoising in one-dimensional space , the selection of threshold forms and threshold selection , it introduce the modulus maxima denoising method and wavelet threshold denoising method; it also discusses the method and the comparative in two-dimensional image between the traditional denoising and the wavelet denoising. Through this study, it can be concluded : wavelet denoising is better than the traditional denoising ; selecting the different thresholds form will obtain different denoising income; selecting soft threshold denoising is better than the hard threshold denoising.
单片机小波去噪-概述说明以及解释1.引言1.1 概述单片机小波去噪是一种在单片机系统中利用小波变换技术对信号进行去噪处理的方法。
随着单片机在各种领域的广泛应用，如智能家居、智能交通、工业控制等，对信号处理的需求越来越高。
而信号往往会受到各种干扰和噪声的影响，影响系统的性能和稳定性，因此需要对信号进行去噪处理。
小波变换作为一种有效的信号处理技术，可以在时域和频域同时对信号进行分析，具有多分辨率和局部性等优点。
通过小波变换可以将信号分解成不同频率和尺度的成分，实现对信号的去噪处理。
在单片机系统中实现小波去噪，可以有效地提高系统的性能和稳定性，同时减少系统的计算复杂度和资源消耗。
本文将介绍单片机小波去噪的原理、实现步骤和实验结果分析，展望其在各种应用领域的前景，总结其在信号处理领域的重要意义和应用价值。
1.2 文章结构本文主要分为三大部分。
首先是引言部分，介绍了本文的概述、文章结构以及目的，为读者提供了对本文的整体了解。
接下来是正文部分，主要包括单片机的应用、小波去噪原理以及单片机小波去噪实现步骤。
通过对单片机在实际应用中的重要性进行介绍，以及小波去噪原理的解释，读者可以更好地理解单片机小波去噪的实现过程。
最后是结论部分，对实验结果进行分析，展望单片机小波去噪在未来的应用前景，并对全文内容进行总结，使读者对本文的主要内容有一个清晰的概念。
1.3 目的：本文旨在介绍单片机小波去噪技术在信号处理领域的应用。
通过深入解析小波去噪原理，探讨单片机如何实现小波去噪处理，为读者提供一种有效的信号处理方法。
同时，通过实验结果的分析和对应用前景的展望，希望读者能够深入了解小波去噪技术的优势和局限性，为今后在实际工程中的应用提供参考和借鉴。
最终，总结本文的重点内容，让读者对单片机小波去噪有一个清晰的认识并且能够将其灵活运用于实际工程中。
2.正文2.1 单片机的应用单片机是一种微型计算机系统，主要由微处理器、内存、输入输出接口和定时器等组成。
基于小波变换的图像去噪研究的开题报告一、研究背景和意义：在数字图像处理领域中，图像去噪一直是一个非常受关注的研究方向。
图像噪声的来源很广泛，包括图像采集和传输过程中的噪声，以及储存和复制过程中的噪声等。
这些噪声会导致图像质量下降，甚至影响图像分析和处理结果的准确性，因此，如何有效地去除噪声，提高图像质量，是图像处理领域中的重要问题之一。
小波变换作为一种数字信号处理技术，已经被广泛应用于图像去噪中。
小波变换可以将信号分解成不同尺度和频率的子带，从而可以对信号的局部进行描述和处理。
通过选择适当的小波基函数和阈值处理方法，可以对图像进行有效的去噪，同时保留图像中的细节和特征。
本研究旨在探究基于小波变换的图像去噪方法，在实验中比较不同的小波基函数和阈值处理方法在去噪效果上的差异，为图像去噪问题提供更加有效的解决方案。
二、研究内容：1. 研究基于小波变换的图像去噪理论基础，包括小波变换的基本原理、小波基函数的选择和阈值处理方法的分类等。
2. 分析不同小波基函数在图像去噪中的适用性，比较不同基函数在去噪效果中的优缺点。
3. 探究不同阈值处理方法在图像去噪中的作用和应用，对比不同阈值处理方法对图像去噪效果的影响。
4. 综合应用小波变换及相关处理方法，设计并实现基于小波变换的图像去噪系统，并进行实验验证。
三、研究方法和步骤：1. 研究小波变换及相关的基础理论和方法。
2. 分析不同小波基函数的特点和应用范围，比较它们在图像去噪中的优缺点。
3. 研究不同的阈值处理方法，包括硬阈值、软阈值、伽马阈值等，并分析它们在图像去噪中的优缺点。
4. 基于Matlab工具，实现基于小波变换的图像去噪系统，并进行实验验证。
5. 分析实验结果，比较不同方法在去噪效果上的差异，并探究优化方法和方案。
四、研究预期成果：1. 完成基于小波变换的图像去噪研究，并撰写相关论文。
2. 分析不同小波基函数和阈值处理方法在图像去噪中的优缺点，提出更有效的图像去噪方法。
基于小波变换的图像去噪技术研究近年来，随着计算机和智能手机的普及和发展，数字图像成为了人们生活中不可或缺的一部分。
但是，由于图像的获取、存储、传输等过程中都会导致噪声的产生，噪声使得图像的质量受到了很大的影响。
因此，提高图像的质量，减少图像中的噪声成为了图像处理中一个重要的问题。
其中，图像去噪技术成为了当前研究的热点之一。
小波变换技术是一种经典的图像去噪算法，本文将着重研究基于小波变换的图像去噪技术。
一、常见的图像噪声首先，我们需要了解图像中常见的噪声类型。
图像噪声可以分为两类：加性噪声和乘性噪声。
常见的加性噪声有高斯噪声、椒盐噪声、泊松噪声等。
乘性噪声主要有伽马噪声、指数噪声等。
在图像处理中，最常见的是高斯噪声和椒盐噪声。
二、小波变换原理小波变换是一种非线性信号分析工具，其具有良好的时域和频域分析能力。
小波分析是一种特别适用于非平稳信号的分析方法，它将非平稳信号分解成不同频率的子信号进行分析，从而更好的理解信号的特征。
小波变换可分为离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）两种。
DWT是基于Mallat算法，其中，由于小波基函数的局域性与多分辨率性质，它可以通过反复细分与平滑处理，来实现图像分解和重构。
DWT的优势在于计算复杂度低，且具有良好的时间和频率分辨率，因此被广泛应用于图像处理的不同领域。
三、基于小波变换的图像去噪算法基于小波变换的图像去噪算法是指使用小波变换对含有噪声的图像进行处理，从而得到无噪声的图像的一种方法。
经过小波变换后，图像可以被分解为多个不同的频率子带图像。
由于噪声在不同频率下具有不同的特性，因此可以通过对不同频率下的子图像进行处理来消除噪声。
具体实现步骤如下：1. 将原始图像进行小波变换，得到包含多个子图像的不同频率子带图像。
2. 选择合适的阈值准则对每个子带图像的小波系数进行阈值处理，去掉较小的系数，保留较大的系数。
3. 将处理后的小波系数进行逆小波变换，得到去噪后的图像。
小波变换在INSAR干涉图像去噪中的应用研究摘要：介绍小波分析的基本理论和利用小波分析对信号进行消除噪声的基本方法，以及InSAR干涉相位图像中噪声的特点，针对目前普遍采用的均值滤波和中值滤波等方法对InSAR干涉相位图像中噪声进行滤波的局限性，提出了基于小波变换的INSAR干涉图方法，通过实验数据验证，并在残差点数目、峰值信噪比、均方差等方面与传统方法进行了对比。
研究结果表明小波方法能有效的抑制干涉图的噪声，并且保持图像边缘信息。
关键词：小波变换干涉图去噪信噪比Abstract: This paper introduces the basic theory of wavelet analysis and the use of wavelet analysis to the basic method to eliminate noise of signal, and the characteristics of the InSAR interferometric phase noise in the image, in view of the present generally used methods such as average filtering and median filtering for InSAR interferometric phase noise in the image filtering, the limitation of the InSAR interferograms is proposed based on wavelet transform method, through the experiment data validation, and in the number of residual almost, peak signal to noise ratio and mean square deviation compared with the traditional method.The results show that the wavelet method can effectively suppress interference noise, and keep the image edge information.Key words: Wavelet transforminterferogramdenoisingSNR引言合成孔径雷达干涉测量技术（synthetic aperture radar interferometry，简称InSAR）是使用雷达信号的相位信息获取地表三维形变的一门技术，具有全天时，全天候，作用距离远，能穿透地表层等优点，可在不同的微波频段，不同的极化状态下得到地面目标高分辨率图像，为人们提供各种有用的信息【1,2】。
图像噪声分类及去噪⽅法综述论⽂.doc图像噪声分类及去噪⽅法综述数字图像中，噪声主要来源于图像的获取或传输过程。
成像传感器的性能受各种因素的影响，如图像获取过程中的环境条件和传感元器件⾃⾝的质量。
例如，在使⽤CCD摄像机获取图像时，光照⽔平和传感器温度是影响结果图像中噪声数量的主要因素。
图像在传输中被污染主要是由于传输信道中的⼲扰。
例如，使⽤⽆线⽹络传输的图像可能会因为光照或其他⼤⽓因素⽽污染。
图像噪声的分类图像噪声是图像在摄取或传输时所受的随机信号⼲扰，是图像中各种妨碍⼈们对其信息接受的因素。
很多时候将图像噪声看成是多维随机过程，因⽽描述噪声的⽅法完全可以借⽤随机过程的描述，即⽤其概率分布函数和概率密度分布函数。
图像噪声是多种多样的，其性质也千差万别，所以了解噪声的分类是很有必要的。
⼀．按产⽣的原因分类1.外部噪声，即指系统外部⼲扰以电磁波或经电源串进系统内部⽽引起的噪声。
如电⽓设备，天体放电现象等引起的噪声。
2.内部噪声，⼀般有四个源头：a)由光和电的基本性质所引起的噪声。
如电流的产⽣是由电⼦或空⽳粒⼦的集合，定向运动所形成。
因这些粒⼦运动的随机性⽽形成的散粒噪声；导体中⾃由电⼦的⽆规则热运动所形成的热噪声；根据光的粒⼦性，图像是由光量⼦所传输，⽽光量⼦密度随时间和空间变化所形成的光量⼦噪声等。
b)电器的机械运动产⽣的噪声。
如各种接头因抖动引起电流变化所产⽣的噪声；磁头、磁带等抖动或⼀起的抖动等。
c)器材材料本⾝引起的噪声。
如正⽚和负⽚的表⾯颗粒性和磁带磁盘表⾯缺陷所产⽣的噪声。
随着材料科学的发展，这些噪声有望不断减少，但在⽬前来讲，还是不可避免的。
d)系统内部设备电路所引起的噪声。
如电源引⼊的交流噪声；偏转系统和箝位电路所引起的噪声等。
这种分类⽅法有助于理解噪声产⽣的源头，有助于对噪声位置定位，对于降噪算法只能起到原理上的帮助。
⼆．按噪声频谱分类频谱均匀分布的噪声称为⽩噪声；频谱与频率成反⽐的称为1/f噪声；⽽与频率平⽅成正⽐的称为三⾓噪声等等。
基于小波滤波的图像去噪技术研究图像在现代生活中有着广泛的应用，如医学影像、摄影、图像识别等。
但在图像获取及传输的过程中，常会产生噪声，这会影响到图像的清晰度和质量。
为了去除这种噪声，人们研究出了各种图像去噪技术。
其中，基于小波滤波的图像去噪技术是一种较为常见的技术，本文将对其进行探讨。
一、小波变换的基本概念及处理流程小波变换是一种数学变换，可以将信号分解成不同频率的子信号，并使用小波函数描述子信号的波形。
在小波滤波去噪技术中，首先将图像进行小波变换，然后对变换后的系数进行处理来达到去噪的目的，其处理流程如下：1.读入需要去噪的图像信息，并将其进行小波变换。
2.对小波系数进行处理，一般是通过对系数进行阈值处理，将一些较小的系数置为0，保留较大的系数，并通过小波反变换将其还原为时域信号。
3.将处理后的信号作为新的图像输出。
二、常见的小波函数及阈值选取方法在小波变换中，选择不同的小波函数会对处理结果产生影响。
常见的小波函数有Haar、Daubechies、Coiflet、Symmlet等。
在图像去噪中，Haar小波函数的计算速度较快，但变换效果稍差；而Daubechies小波函数计算精度高，波形平滑，变换效果较好，因此被广泛应用。
阈值选取是小波滤波去噪技术中的重要步骤。
一般选择软阈值或硬阈值两种，其中，软阈值能更好地保留图像的细节信息，但处理速度较慢；硬阈值能更好地去除不需要的噪声，但会降低图像的清晰度。
阈值的具体选取要根据实际情况调节，可以通过试验法或者经验法来确定。
三、小波滤波去噪技术的优缺点小波滤波去噪技术在图像去噪领域有着广泛的应用，主要表现在以下优点：1.小波变换可以将信号分解成多个小波系数，有助于分析各个频率分量的特征，因此可以更好地删除不需要的噪声。
2.小波变换效率高，计算速度较快，在去噪领域应用也比较广泛。
3.小波变换可以保留图像中的细节，不会对图像整体造成过大影响。
但小波滤波去噪技术也存在着以下缺点：1.小波变换结果具有局部性，无法保持整幅图像的几何关系。
基于小波变换的图像去噪算法研究图像去噪是图像处理领域中非常重要的研究方向。
噪声是由于图像传感器、传输媒介、储存介质等外界因素影响而引起的。
由于噪声对图像质量的影响，它在很多应用中都是不可避免的。
因此如何减少或者消除图像中的噪声，一直是学者们研究的重点。
本文主要针对基于小波变换的图像去噪算法展开讨论。
一、小波变换简介小波变换是现代信号处理领域中的一种重要的分析工具，它能够将信号分解成不同尺度的频带信号。
相对于傅里叶变换来说，小波变换不仅能够表达信号的频域特征，还能够表达信号的时域特征。
因此，在图像处理领域，小波变换常常被用于图像的去噪和压缩等处理。
二、小波去噪算法小波去噪算法是小波变换在图像去噪领域中最重要的应用之一。
首先，需要对图像进行小波分解，得到不同的频带信号。
然后，通过对各个频带信号进行阈值处理，将其分别压缩和去除噪声。
最后，通过小波反变换将处理后的频带信号合并成一张图像。
对于一张图像，小波分解可以分为多层，每一层都可以分解成LL（低低）、LH（低高）、HL（高低）和HH（高高）四个频带信号。
其中LL分量对应于较高的尺度，LH、HL分量对应于较低的尺度，HH分量对应于最低的尺度。
在小波去噪算法中，对于每一个小波分解的频带信号，需要进行阈值处理。
这里，我们可以采用硬阈值和软阈值两种方法进行处理。
硬阈值：对于每一个小波分解的频带信号，在取绝对值之后，用一个阈值t来削弱那些幅值小于t的频率系数，从而减少图像中的噪声。
强度小于t的信号将被压缩到零。
大于t的信号则不受影响。
软阈值：与硬阈值不同，软阈值将信号幅度减小一个值。
对于每一个小波分解的频带信号，在取绝对值之后，将整个信号减少一个固定的值，从而减少图像中的噪声。
最后，通过对处理后的频带信号进行小波反变换，将处理后的低频部分和高频部分合并成为一张图像。
通过这种方法，我们可以在尽可能保留图像细节的同时，将图像中的噪声去除。
三、小波去噪算法的优缺点小波去噪算法是一种非常经典的图像去噪方法，其优点主要有以下几个方面：1. 小波变换能够将信号分解成不同尺度的频带，因此可以同时对图像的时域和频域特征进行处理。
基于小波图像去噪的MATLAB 实现一、 论文背景数字图像处理(Digital Image Processing ，DIP)是指用计算机辅助技术对图像信号进行处理的过程。
数字图像处理最早出现于 20世纪50年代，随着过去几十年来计算机、网络技术和通信的快速发展，为信号处理这个学科领域的发展奠定了基础，使得DIP 技术成为信息技术中最重要的学科分支之一。
在现实生活中，DIP 应用十分广泛，医疗、艺术、军事、航天等图像处理影响着人类生活和工作的各个方面。
然而，在图像的采集、获取、编码和传输的过程中，都存在不同程度被各种噪声所“污染”的现象。
如果图像被污染得比较严重，噪声会变成可见的颗粒形状，导致图像质量的严重下降。
根据研究表明，当一张图像信噪比(SNR)低于14.2dB 时，图像分割的误检率就高于0.5%，而参数估计的误差高于0.6%。
通过一些卓有成效的噪声处理技术后，尽可能地去除图像噪声，我们在从图像中获取信息时就更容易，有利于进一步的对图像进行如特征提取、信号检测和图像压缩等处理。
小波变换处理应用于图像去噪外，在其他图像处理领域都有着十分广泛的应用。
本论文以小波变换作为分析工具处理图像噪声，研究数字图像的滤波去噪问题，以提高图像质量。
二、 课题原理1.小波基本原理在数学上，小波定义为对给定函数局部化的新领域，小波可由一个定义在有限区域的函数()x ψ来构造，()x ψ称为母小波，（mother wavelet ）或者叫做基本小波。
一组小波基函数，()}{,x b a ψ，可以通过缩放和平移基本小波 来生成：())(1,ab x a x b a -ψ=ψ （1） 其中，a 为进行缩放的缩放参数，反映特定基函数的宽度，b 为进行平移的平移参数，指定沿x 轴平移的位置。
当a=2j 和b=ia 的情况下，一维小波基函数序列定义为：()()1222,-ψ=ψ--x x j j j i （2） 其中，i 为平移参数，j 为缩放因子，函数f （x ）以小波()x ψ为基的连续小波变换定义为函数f （x ）和()x b a ,ψ的内积：()dx ab x a x f f x W b a b a )(1)(,,,-ψ=ψ=⎰+∞∞- （3） 与时域函数对应，在频域上则有： ())(,ωωa e a x j b a ψ=ψ- （4）可以看出，当|a|减小时，时域宽度减小，而频域宽度增大，而且()x b a ,ψ的窗口中心向|ω|增大方向移动。
基于小波变换的去噪摘要：本文说明小波变换的基本原理，实现小波分解与重构的Mallat 算法以及利用小波变换去除信号噪声的方法和原理，并在Matlab 环境下进行了仿真。
关键词：小波变换； 多分辨分析； Mallat 算法； 消噪；1.引言由于信号在产生、传输和检测过程中，不可避免地会受到不同程度噪声的影响，特别是小信号，干扰显得尤为明显，因此在信号处理过程中，最重要的就是消除信号中的噪声。
对此，傅立叶分析是一种经典方法，但其无法同时描述和定位信号在时间和频率上的突变部，而小波变换具有多分辨率的特点，能表征信号局部特征，因此在信号处理中有着重要的应用。
本文主要介绍小波变换理论和去噪原理及方法，并通过MATLAB 仿真实现信号噪声消除。
2.小波变换记()t ψ，总假设()t ψ是能量有限的，即()()R L t 2∈ψ。
通过对()t ψ作平移，伸缩可以得到一族小波函数，其中a 称为尺度因子或伸缩因子，b 称为平移因子，()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈>⎪⎭⎫⎝⎛-=R b a a b t a t b a ,0|1,ψψ所以小波函数()t ψ又被称作为母小波。
这族函数中每一个都有规范化的函数()1,==t b a ψψ。
设()()R L t f 2∈，则()t f 的连续小波变换定义为()t f 与()t b a ,ψ的内积()()()()()()()dt a b t t f ab a Wf t t f b a Wf b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰∞+∞-*,1,,,ψψ 从中可以看出小波变换也是一种积分变换，它将单变量的函数()t f 变换成时频平面上的二元函数()b a Wf ,。
从时频分析来看，小波变换将信号()t f 的每个瞬态分量映射到时频平面上的位置正好对应于分量的频率和发生的时间，而函数()b a Wf ,在()b a ,处的值反映了在时刻b 频率为a1的分量的有关信息。
由()b a Wf ,到原始信号()t f ，称为逆变换或重构。
基于小波分析的图像去噪研究在现代社会中，数字图像的应用越来越广泛。
然而，由于种种意外因素的干扰，数字图像往往会产生一些噪声。
这些噪声不仅影响了图像的质量，还会对图像的后续分析和处理造成很大的困难。
因此，如何有效地去除噪声成为了数字图像处理中的一个重要问题。
近年来，基于小波分析的图像去噪技术受到了广泛的关注。
小波分析是一种时频分析方法，它具有良好的局部性和尺度可调性。
这些特点使得小波分析在信号和图像处理领域得到了广泛的应用。
在图像去噪中，小波分析可以分析和处理图像各个尺度上的信息，从而实现噪声的有效去除。
基于小波分析的图像去噪技术的主要思路是将原始图像变换到小波域，然后对小波系数进行处理，最后使用逆小波变换将处理后的小波系数重构成去噪后的图像。
目前，有多种小波变换可供选择，如离散小波变换（DWT）、正交小波变换（OWT）和小波包变换（WPT）等。
其中，DWT 在实际应用中更为广泛。
DWT 的一般步骤包括：将原始图像分解为低频分量和高频分量；对低频分量继续进行分解，得到低频分量和高频分量；重复执行上述过程，直到最后得到一些可以忽略的高频分量。
在分解的过程中，高频分量主要反映了图像的边缘和细节信息，而低频分量则反映了图像的大体特征和背景信息。
因此，在去噪过程中，通常只需对高频分量进行处理，而保留低频分量的信息，最终将处理完高频分量的图像逆变换回空域。
常用的小波去噪方法包括硬阈值和软阈值方法。
硬阈值方法将小波系数按阈值进行截断，而软阈值方法则将小波系数按阈值进行缩放。
硬阈值方法简单有效，但处理后的图像可能会出现明显的伪影；软阈值方法可以得到更好的去噪效果，但需要进行更多的参数调整。
除此之外，还有基于小波域统计模型的去噪方法和基于小波域局部图像统计的去噪方法等。
需要注意的是，小波去噪方法也有其局限性。
对于某些特殊类型的噪声（如条纹噪声），小波分析可能无法有效地去除。
此外，在小波变换中，需要选择合适的小波基，并合理设置阈值参数。
一. 基础原理 1.小波简介小波一词由Morlet 和Grossman 在1980年代早期提出，其思想来源于伸缩平移方法。
小波分析(wavelet analysis), 或小波转换(wavelet transform)是指用有限长或快速衰减的、称为母小波(mother wavelet)的振荡波形来表示信号。
该波形被缩放和平移以匹配输入的信号。
小波变换是将时间信号展开为小波函数族的线性叠加，小波变换的核函数是小波函数，它在时间和频率域内都是局部化的。
所以，小波变化可对信号同时在时－频域内进行联合分析。
小波变换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和连续小波转换 (CWT)。
两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。
小波分析的一个重要领域就是是图像处理。
小波分解可以把小波分层次按照小波基展开，并可以根据图像的性质及给定的图像处理标准确定具体要展开到哪一级，还可以把细节分量和近似分量展开，所以小波分析常用于信号的压缩、去噪等方面，是图像处理的一个极其重要的工具。
本报告中将具体实例说明小波分解在图像中的应用。
2. 小波变换应用包括去噪，图像的压缩，图像的融合以及水印技术。
2.1去噪原理：在实际工程应用中，通常所分析的信号具有非线性，非平稳,并且奇异点较多的特点。
含噪的一维信号模型可表示为：式1其中，f(t)为真实信号，s(t)为含噪信号，e(t)为噪声， σ为噪声标准偏差。
有用信号通常表现为低频信号或是相对比较平稳。
而噪声信号通常表现为高频信号。
利用小波对含噪的原始信号分解后，含噪部分主要集中在高频小波系数中，并且，包含有用信号的小波系数幅值较大，但数目少；而噪声对应的小波系数幅值小，数目较多。
基于上述特点，可以应用门限阈值法对小波系数进行处理。
（即对较小的小波系数置为０，较大的保留或削弱），然后对信号重构即可达到消噪的目的。
在去噪方面，小波分析由于能同时在时－频域中对信号进行分析，具有多分辨分析的功能，所以在不同的分解层上有效的区分信号的突变部分和噪声，从而实现信号的消噪。
图像去噪处理1.1 小波去噪在数学上，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在有小波母函数伸缩和平移所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原图像的最佳逼近，以完成原图像和噪声的区分。
这个问题可以表述为：()()s opt f f -=ββmin arg()()代表最优解opt f f opt opt β=为噪声图像为原图像n s n s f f f f f ,,+={}(){}J j Jj span W f f I 212,ϕψ===，为实际图像{}的函数空间影射为W I T →=ββ由此可见，小波去噪方法也就是寻找实际图像空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原图像的最佳恢复。
从信号的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于在去噪后，还能成功地保留图像特征，所以在这一点上优于传统的低通滤波器。
由此可见，小波实际上是特征提取和低通滤波功能的综合，其等效框图如图1-2所示。
图1-1小波去噪的等效框图1.1.1小波变换理论基础 1.连续小波变换设()()R L t 2∈ψ，其傅里叶变换为()w ψ，当()w ψ满足允许条件(完全重构条件)：⎰∞<⎪⎭⎫ ⎝⎛=-Rdw w w C 2^ψψ (1-1)时，我们称()w ψ为一个基本小波或母小波(Mother Wavelet)。
它说明了基本小波在其频域内具有较好的衰减性。
其中，当0=w 时，有()w ψ=0，即()0=⎰∞∞-dt t ψ同时有()0=∞ψ。
因此，一个允许的基本小波的幅度频谱类似于带通滤波器的传递函数。
事实上，任何均值为零(即()0=⎰∞∞-dt t ψ )且在频率增加时以足够快的速度消减为零(空间局域化特征)的带通滤波器的冲激响应(传递函数)，都可以作为一个基本小波。
将母函数()t ψ经过伸缩和平移后得到：()0;,,1,≠∈⎪⎭⎫⎝⎛-=a Rb a a b t at b a 其中ψψ (1-2) 称其为一个小波序列。
其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。
通常情况下，基本小波()t ψ以原点为中心，因此()t b a ,ψ是基本小波()t ψ以b t =为中心进行伸缩得到。
基本小波()t ψ被伸缩为()a t ψ(1>a 时变宽，而1<a 时变窄)可构成一组基函数。
在大尺度a 上，膨胀的基函数搜索大的特征，而对于较小的a 则搜索细节特征。
对于任意的函数()()R L t f 2∈的连续小波变换为：()()dt a b t t f af b a W Rb a f ⎪⎭⎫⎝⎛-≥≤⎰ψψ2,,, (1-3)当此小波为正交小波时，其重构公式为：()()dadb a b t b a W a C t f f⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰⎰∞+∞-∞+∞-ψψ,112 (1-4) 在小波变换过程中必须保持能量成比例，即()()dx x f C db b a W a daRRf R 222,⎰⎰⎰=ψ (1-5) 由于基小波()t ψ生成的小波()t b a ,ψ在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以()t ψ还应该满足一般函数的约束条件：()∞<⎰+∞∞-dt t ψ (1-6) 故()w ^ψ是一个连续函数，这意味着，为了满足重构条件式(3-2)，()w ^ψ在原点必须等于零，即 ()()00^==⎰+∞∞-dt t ψψ (1-7)此即说明()t ψ具有波动性。
为了使信号重构的实现上是稳定的，除了满足重构条件外，还要求()t ψ的傅立叶变换满足如下稳定性条件：()B w A j≤≤∑∞-∞+-2^2ψ (1-8)式中，∞<≤<B A 0。
连续小波变换具有以下重要性质：（1）线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。
（2）平移不变性：若()t f 的小波变换为()b a W f ,，则()τ-t f 的小波变换为()τ-b a W f ,。
（3）伸缩共变性：若()t f 的小波变化为()b a W f ,，则()ct f 的小波变换为),(1cb ca W cf ，0>c（4）自相似性：对应于不同尺度参数a 和不同平移参数b 的连续小波变换之间是自相似性的。
（5）冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度〔redundancy 〕，小波变换的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面：①由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。
也就是说，信号()t f 的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换是一一对应的。
②小波变换的核函数即小波函数()t b a ,ψ存在许多可能的选择(例如，它们可能是非正交小波，正交小波，双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的)。
小波的选择并不是任意的，也不是唯一的。
它的选择应满足定义域是紧支撑的(Compact Support)，即在一个很小的区间之外，函数值为零，函数应有速降特性，以便获得空间局域化。
另外，它还要满足平均值为零。
也就是说，小波应具有振荡性，而且是一个迅速衰减的函数。
连续小波变换式(3-4)是用内积来表示的，而数学上的内积表示()t f 与()t b a ,ψ的相似程度，所以由式(3-4)，当尺度a 增加时，表示以伸展了的()t b a ,ψ波形去观察整个()t f ；反之，当尺度a 减小时，则以压缩的()t b a ,ψ波形去衡量()t f 局部。
可以说，尺度因子类似于地图中的比例因子，大的比例(尺度)参数看全局而小的比例(尺度)参数看局部细节。
因此，有人对小波变换特性作如下形象比喻：人们希望既看到森林，又看清树木。
所以，先通过望远镜看清全貌，进而通过显微镜观察我们最感兴趣的细节。
小波变换就能达到这个目的，它既是望远镜，又是显微镜，是一架变焦镜头。
2. 离散小波变换在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。
因此有必要讨论连续小波()t b a ,ψ）和连续小波变换()b a W f ,的离散化。
需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数和连续平移参数b 的，而不是针对时间t 的。
这一点与我们以前的习惯不同。
在公式(3-3)中，a ,b ∈R; a≠0是容许的。
为方便起见，在离散化中，总限制a 只取正值。
通常，把连续小波变换中尺度参数a 和平移参数b 的离散化公式分别取作j j b b a a 00,==，这里Z j ∈，扩展步长10≠a 是固定值，为方便起见，总是假定10>a 。
所以对应的离散小波函数()t k j ,ψ即可写作：()()000000,11kb t a a a b ka t a t jj o j k j -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-ψψψ (1-9)而离散化小波变换系数则可表示为：()()0,,,.>≤=*+∞∞-⎰k j k j k j f dt t t f C ψψ (1-10)其重构公式为：()()t C C t f k j k j ,,ψ∑∑∞∞-∞∞-= (1-11)C 是一个与信号无关的常数。
如何选择0a 和0b ，才能保证重构信号的精度呢?显然，网络点应尽可能密(即0a 和0b 尽可能的小)，因为如果网络点越稀疏，使用的小波函数()t k j ,ψ和离散小波系数k j C ,就越少，信号重构的精确度也就会越低。
由于图像是二维信号，因此首先需要把小波变换由一维推广到二维。
令()21,x x f 表示一个二维信号，21,x x 分别是其横坐标和纵坐标，()21,x x ψ表示二维的基本小波，对应的尺度函数为()21,x x ψ 。
若尺度函数可分离，即：()()()2121,x x x x ϕφϕ*=。
令()1x ψ是与()1x ϕ对应的一维小波函数，则二维的二进小波可表示为以下三个可分离的正交小波基函数：()()()21211,x x x x ψφψ= （1-12） ()()()21212,x x x x φψψ= （1-13）()()()21213,x x x x ψψψ= （1-14）这说明在可分离的情况下，二维多分辨率可分两步进行。
先沿1x 方向分别用()1x ϕ和()2x ψ做分析，把()21,x x f 分解成平滑和细节两部分，然后对这两部分再沿2x 方向用()2x ϕ和()1x ψ做同样分析，所得到的四路输出中经()1x ϕ，()2x ϕ处理所得的一路是第一级平滑逼近()211,x x f A ，其它三路输出()2111,x x f D ，()2121,x x f D ，()2131,x x f D 都是细节函数。
如果把()1x ϕ和()1x ψ的对应频谱()w ϕ，()w ψ设想成理想的半带低通滤波器h 和高通滤波器g ，则()211,x x f A 反映的是1x , 2x 两个方向的低频分量，()2111,x x f D 反映的是水平方向的低频分量和垂直方向的高频分量，()2121,x x f D 反映的是水平方向的高频分量和垂直方向的低频分量，()2131,x x f D 反映的是两个方向的高频分量。
对图像进行小波变换就是用低通滤波器h 和高通滤波器g 对图像的行列进行滤波（卷积），然后进行二取一的下抽样。
这样进行一次小波变换的结果便将图像分解为一个低频子带（水平方向和垂直方向均经过低通滤波）LL 和三个高频子带，即用HL 表示水平高通、垂直低通子带，用LH 表示水平低通、垂直高通子带，用HH 表示水平高通、垂直高通子带。
分辨率为原来的1/2，频率范围各不相同。
第二次小波变换时只对LL 子带进行，进一步将LL 子带分解为1LL ，1LH ，1HL 和1HH ，分辨率为原来的1/4,频率范围进一步减半，以此类推。
所以，进行一次小波变换得到4个子带，进行M 次分解就得到3 M+1个子带，如图1-3。
3LL 3HL2HL3HL3LH3HH2LH2HH3LH1HH图1-2图像的三级小波分解图4.小波阈值去噪方法小波阈值去噪的基本思路是：（1）先对含噪信号()k f 做小波变换，得到一组小波系数k j W ,； （2）通过对k j W ,进行阈值处理，得到估计系数kj W ,^，使得kj W,^与k j W ,两者的差值尽可能小； （3）利用kj W,^进行小波重构，得到估计信号()k f 即为去噪后的信号。
Donoho 提出了一种非常简洁的方法对小波系数k j W ,进行估计。
对()k f 连续做几次小波分解后，有空间分布不均匀信号()k s 各尺度上小波系数k j W ,在某些特定位置有较大的值，这些点对应于原始信号()k s 的奇变位置和重要信息，而其他大部分位置的k j W ,较小；对于白噪声()k n ，它对应的小波系数k j W ,在每个尺度上的分不都是均匀的，并随尺度的增加，k j W ,系数的幅值减小。
