芜湖一中2025届高三年级10月份教学质量诊断测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|320A x x x =-+<，{}|30B x x =->则AB =A.()2,3 B.()1,3 C.()1,2 D.(),3-∞【答案】C 【解析】【分析】先求解化简集合A ，B ，利用交集的运算求A B ⋂即可.【详解】因为{}{}2|320|12A x x x x x =-+<=<<，{}{}|30|3B x x x x =->=<则{}()|121,2AB x x =<<=，故选：C2.一个圆锥底面积是侧面积的一半，那么它的侧面展开图圆心角为（）．A.3π4B.5π6C.π3D.π【答案】D 【解析】【分析】设圆锥底面半径为r ，母线为l ，根据题意可得2l r =，代入圆心角公式，即可得答案.【详解】设圆锥底面半径为r ，母线为l ，则圆锥的侧面积为πrl ，由题意得21ππ2r rl =，解得2l r =，所以圆锥底面圆的周长即圆锥侧面展开图扇形的弧长为2πr ，所以该扇形的圆心角2π2ππ2r rl rα===.故选：D3.函数()323f x x ax x =++，已知()f x 在3x =-时取得极值，则[]4,1x ∈--上的最大值为（）A.9-B.1C.9D.4【答案】C 【解析】【分析】利用()30f '-=，求得a ，代入利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解函数的最值.【详解】因为函数()323f x x ax x =++，所以()2323f x x ax '=++，因为()f x 在3x =-时取得极值，所以()()()23323303f a '=⨯--+-+=，解得5a =，所以()3253f x x x x =++，[]4,1x ∈--，()()()23103313f x x x x x =++=++'，令()0f x '=，则()()3130x x ++=，解得3x =-或13x =-（舍），当43x -≤<-时，()0f x '>，当31x -≤≤-时，()0f x '<，所以()f x 在[)4,3--上单调递增，在[]3,1--上单调递减，所以当3x =-时取得最大值为()()()()323533339f =-+⨯-+--⨯=.故选：C.4.《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角2AOB α∠=，若“弦”为“矢”为1时，则1tan 2sin cos ααα+⋅等于（）A.1B.C.33D.533【答案】D 【解析】【分析】利用图形以及“弦”和“矢”的定义，由平方关系可求得角α的三角函数值，即可计算得出结果.【详解】根据题意可设半径长0OB r =>，可得1cos ,sin r r rαα-==，由同角三角函数值之间的基本关系可得22221cos sin 1r r r αα⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2r =；即可得1cos ,sin 22αα==,sin tan cos ααα==所以1tan 2sin cos 33122ααα+=⋅.故选：D5.已知函数()f x 是定义在R 上偶函数，当0x ≥时，25,0216()11,22xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若函数()y f x m =-仅有4个零点，则实数m 的取值范围是（）A.51,4⎛⎫⎪⎝⎭ B.50,4⎛⎫⎪⎝⎭ C.50,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.5,4∞⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】首先根据()f x 的性质画出函数()f x 图象，然后把函数()y f x m =-仅有4个零点，转化为函数 땀ࢴ 与y m =的图象有4个交点，数形结合即可求解.【详解】当02x ≤≤时，()2516f x x =，此时()f x 单调递增，当2x >时，()112xf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，此时()f x 单调递减，又函数()f x 是定义在R 上偶函数，其图象关于y 轴对称作出函数()f x 图象：因为函数()y f x m =-仅有4个零点，所以函数 땀ࢴ 与y m =的图象有4个交点，根据图象可知：514m <<，即实数m 的取值范围是51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.6.已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为（）A.eB.C.D.2e【答案】B 【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数()f x 的解析式，再利用基本不等式可求得()f x 的最小值.【详解】因为函数()e xy f x =+为偶函数，则()()e e x x f x f x --+=+，即()()e e x x f x f x ---=-，①又因为函数()3e xy f x =-为奇函数，则()()3e3e xx f x f x ---=-+，即()()3e 3e x x f x f x -+-=+，②联立①②可得()e 2e xxf x -=+，由基本不等式可得()e 2e x x f x -=+≥=，当且仅当e 2e x x -=时，即当1ln 22x =时，等号成立，故函数()f x 的最小值为.故选：B.7.已知定义在 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，当(0,1]x ∈时，()14f x sin x π=-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有3()2f x ≥-，则实数m 的最大值为（）A.94B.73 C.52D.83【答案】B 【解析】【分析】根据已知利用正弦函数图象与性质、函数的周期性，结合函数图象进行求解即可.【详解】当(]0,1x ∈时，()1sin π4f x x =-，且定义在 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，所以函数()f x 的大致图象为因为11π1sin 2424f ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，(1)2()f x f x +=，所以311322222f f ⎛⎫⎛⎫==->-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，53321222f f⎛⎫⎛⎫==-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由()()()122144π42f x f x f x x ⎛⎫+=+==-=-⎪⎝⎭，可得13x =，当32x ≤时，由()32f x =-的171133x =++=，所以对任意(,]x m ∈-∞，都有()2f x ≥-，得实数m 的取值范围为7,3∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦，则实数m 的最大值为73-.故选：B .8.设0k >，若存在正实数x ，使得不等式127log 30kx x k --⋅≥成立，则k 的最大值为（）A.1ln 3e B.ln 3eC.ln 3e D.ln 32【答案】A 【解析】【分析】化简127log 30kx x k --⋅≥得3log 3kx x k ≥，从而3log 3kx x x kx ⋅≥，3log 33log 3x kx x kx ⋅⋅≥，构造函数()3xf x x =⋅，有单调性得3log 0x kx >≥，再化简得3log xk x≤，再构造函数()3log x g x x =，求()3log xg x x=得最大值即可.【详解】解：因为313log 3kx x k -≥，所以3log 3kx x k ≥，因为0x >，所以3log 3kx x x kx ⋅≥，即3log 33log 3x kx x kx ⋅⋅≥，设函数()3xf x x =⋅，0x >，()33ln 33(1ln 3)0x x x f x x x '=+⋅⋅=+⋅>，所以函数()3xf x x =⋅在(0)+∞，为增函数，所以3log 0x kx >≥所以3log xk x≤，设函数()3log xg x x=，()322211ln log 1ln ln 3ln 3ln 3ln 3x x x x x g x x x x ⋅---'===⋅，所以函数()3log xg x x=在(0e)，为增函数，在(e )+∞，为减函数，所以()()3max log 1ln 3e g x g e e e ===，所以k 的最大值为1e ln 3，故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设0a b <<．且2a b +=，则（）A.12b << B.21a b -> C.1ab < D.1232ab++≥【答案】ACD 【解析】【分析】结合不等式的性质、基本不等式求得正确答案.【详解】因为0a b <<，2a b +=，所以012a b <<<<，故A 正确；因为a b <，设13,22a b ==，则1221a b --=<，故B 错误；因为0a b <<，所以212a b ab +⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故C 正确；因为122()33b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当2b a a b=，即1)a =-，2(2b =时，等号成立，此时满足0a b <<，2a b +=，所以1232ab++≥，故D 正确．故选：ACD10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()e 1xf x x =+，则下列命题正确的是（）A.当0x >时，()()e1xf x x -=- B.()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃C.12,x x ∀∈R ，都有()()122f x f x -< D.函数()f x 有2个零点【答案】BC 【解析】【分析】由奇偶性求出当0x >时函数的解析式，即可判断A ，分类讨论解不等式()0f x <，即可判断B ，由于()f x 的值域为()1,1-，所以12,x x ∀∈R ，都有()()122f x f x -<，即可判断C ，由()10f -=，()10f =，又()00f =，即可判断D.【详解】0x >时，则0x -<，所以()()e1xf x x --=-+，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()()e 1xf x f x x -=--=-，故A 错误；当0x <时，由()()e 10xf x x =+<，得1x <-，当0x >时，由()()e10xf x x -=-<，得01x <<；所以()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃，故B 正确；当0x <时，()()e1xf x x =+，()()()e 1e e 2x x x f x x x =++=+，令()0f x '=，则2x =-，当(),2x ∞∈--，()0f x '<，()f x 单调递减，当()2,0x ∈-，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()()2min 12e f x f =-=-，且当x →-∞时，()0f x →，()()0e 011f x <+=，当0x >时，()()e1xf x x -=-，()()()e 1e e 2x x x f x x x ---'=--+=-，令()0f x '=，则2x =，当()0,2x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，当()2,x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()()2max 12ef x f ==，且当x →+∞时，()0f x →，()()01e 01f x ->-=-，所以()f x 的值域为()1,1-，()112--=，所以12,x x ∀∈R ，都有()()122f x f x -<，故C 正确；因为()10f -=，()10f =，又()00f =，所以()f x 有3个零点，故D 错误；故选：BC11.已知函数()(1)ln (0)f x x x ax a a =---≠在区间(0,)+∞上有两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <，则下列选项正确的是（）A.a 的取值范围是(0,1)B.121x x =C.()()12114++>xx D.1214ln 2ln ln 23x a x x a +<<++【答案】BCD 【解析】【分析】先令()0f x =，参变分离化简，得1ln 1x a x x -=+，我们将题中函数零点个数问题转化为，函数交点问题，然后求得a 的取值范围；利用图像可知两个零点的大小关系，然后去验证两个关系即可；然后利用两个的关系，利用基本不等式判断()()12114x x ++>；假设1214ln 2ln ln 23x a x x a +<<++正确，利用零点与a 的关系消元，然后利用不等式性质以及构造函数证明即可.【详解】令1()(1)ln 0ln 1x f x x x ax a a x x -=---=⇒=+，令()1ln 1x g x x x -=+，由题可知，()()12g x g x a ==，()()222ln 11x x x g x x x +-+'=，令()()222ln 101x x x g x x x +-==+'，得1x =，显然，当 㨠K 时，()0g x '<，所以()1ln 1x g x x x -=+单调递减；当 K㨠K ∞时，()0g x '>，所以()1ln 1x g x x x -=+单调递増；()10g =，得()1ln 1x g x x x -=+示意图所以0a >都符合题意，故A 错误；由示意图可知121x x <<，显然()11111ln ln 111x xg x g x x x x x--⎛⎫=== ⎪+⎝⎭+，当0x >且1x ≠时，易知x 取两个互为倒数的数时，函数值相等，因为()()12g x g x a ==，所以12,x x 互为倒数，即121x x =，故B 正确；()()()1212121211114x x x x x x x x ++=+++≥+=，等且仅当121x x ==时等号成立，因为121x x <<，所以()()12114x x ++>，故C 正确；因为121x x =，要证1214ln 2ln ln 23x a x x a +<<++，即证222242ln 2ln ln 2ln 33x a x x a a x a -+<<-++⇒<<+，因为()()12g x g x a ==，所以2221ln 1x a x x -=+，即证2222222112ln ln ln 113x x x x x x x --<<+++，我们分别证明22221ln ln 1x x x x -<+，222212ln ln 13x x x x -<++，证明22221ln ln 1x x x x -<+：因为21x <，所以22222222211ln 0,0111ln ln 11x x x x x x x x x --><-<+⇒<⇒<++，证明222212ln ln 13x x x x -<++：要证222212ln ln 13x x x x -<++，即证223ln 1x x <+，不妨设()()13ln 1h x x x x =+->，得()31h x x'=-，显然，当()1,3x ∈时， ，此时 单调递减；当()3,x ∞∈+时， ，此时 单调递増；故()()343ln 30h x h ≥=->，故13ln 0x x +->，即13ln x x +>，所以证得223ln 1x x <+，即证得222212ln ln 13x x x x -<++，即得1214ln 2ln ln 23x a x x a +<<++，故选项D 正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：零点问题解决的关键是转化，有变量的式子，我们经常参变分离，然后将零点问题转化为两个函数的交点问题，画图判断即可；对于选择题中的一些选项，我们可以假设正确，然后验证即可；题中存在多个变量，我们经常需要找到变量之间的关系，然后消元，变成一个变量，然后解决即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点()1,3P ，则()()2cos πcos sin πθθθ-=-+______.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】由三角函数的定义求出tan θ，然后利用诱导公式化简式子计算即可.【详解】因为角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点()1,3P ，所以由三角函数的定义可得：3tan 31θ==，()()2cos π2cos 221cos sin πcos sin 1tan 132θθθθθθθ--==-=-=--++++.故答案为：12-13.已知命题p ：函数2()m m f x x -+=在区间(0,)+∞上单调递增，命题q ：m a <，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是_______.【答案】[)1,+∞【解析】【分析】根据题意可得命题p ：01m <<，由p 是q 的充分不必要条件，可得()0,1是(,)a -∞的真子集，即可得到答案.【详解】因为函数2()mmf x x -+=在区间(0,)+∞上单调递增，所以20m m -+>，解得：01m <<，又因为p 是q 的充分不必要条件，则()0,1是(,)a -∞的真子集，即a 的取值范围是[)1,+∞故答案为：[)1,+∞14.已知曲线()2f x x =与()lng x a x =+有公共切线，则实数a 的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先设出切点，求导得到切线方程，斜率截距对应相等，得到2221ln 104a x x ++-=,构造函数()21ln 4h x x x=+，转化为存在性问题，最终求最值即可.【详解】设曲线()2f x x =与()lng x a x =+的切点分别为()211,x x ，()22,ln x a x +，因为()2f x x '=，()1g x x '=，则两切线斜率112k x =，221k x =，所以()21112y x x x x -=-，()()2221ln y a x x x x -+=-，所以1221212ln 10x x x a x ⎧=⎪⎨⎪++-=⎩，所以2221ln 104a x x ++-=，即22211ln 4a x x -=+，令()21ln 4h x x x =+，则()23212x h x x-'=，当02x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当2x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()1ln 222h x h ⎛⎫≥=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即11ln 22a -≥+，即12ln ln 22a ≤-=故答案为：ln .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.集合{}{}2log (2),228xA xy x B x ==-=<<∣∣（1）求()R A B⋂ð（2）非空集合{12},C x a x a B C B =+<<=∣，求实数a 的范围.【答案】（1）{}3xx ≥∣（2）31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）化简集合,A B 结合集合交集、补集运算即可；（2）确定C B ⊆，即可求解.【小问1详解】{}{}2log (2)2A x y x x x ==-=>∣∣{}{}22813,x B x x x =<<=<<∣所以{R 3B x x =≥ð或1}x ≤所以(){}R 3A B xx ⋂=≥∣ð【小问2详解】因为,B C B C ⋃=≠∅，所以C B ⊆，则21,a a >+即1a >，需满足11a +≥且23a ≤，解得312a <≤所以实数a 的范围是31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.16.已知函数()()2log 21xf x =+．（1）若函数()()()2log 21xg x f x =--，判断()()g x g x 的奇偶性，并求的值域；（2）若关于x 的方程()[],0,1f x x m x =+∈有实根，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()g x 为非奇非偶函数；值域为 ∞㨠 ；（2）[]2log 31,1m ∈-【解析】【分析】（1）根据定义域不关于原点对称，可知为非奇非偶函数；利用分离常数的方式可知()22log 121x x g ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，根据2x 的范围求得()210,121x -∈+，从而得到()g x 的值域；（2）将问题转化为()m f x x =-有实根；构造()()h x f x x =-，根据复合函数单调性求得()h x 单调性，根据单调性求得()h x 的值域，进而得到m 的范围.【详解】（1）由210x ->得()f x 定义域为： 㨠K ∞因此定义域不关于原点对称，所以函数()g x 为非奇非偶函数由题意知：()22212log log 12121x x x g x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭当 㨠K ∞时，()210,121x -∈+所以()221,0l g 21o x⎛⎫-∈-∞ ⎪+⎝⎭所以函数()g x 的值域为 ∞㨠（2）方程有实根，即()m f x x =-有实根构造函数()()()2log 21xh x f x x x=-=+-则()()()222221log 21log 2log log 212xx xxxx h -+=+-==+因为函数21x y -=+在R 上单调递减，而2log y x =在 㨠K ∞上单调递增所以复合函数()()2log 21xh x -=+是R 上的单调递减函数所以()h x 在[]0,1上最小值为()()122231log 21log log 312h -=+==-，最大值为()()020log 211h -=+=即()[]2log 31,1h x -∈，所以当[]2log 31,1m ∈-时，方程有实根【点睛】本题考查函数奇偶性的判断、函数值域的求解、根据方程根的情况求解参数范围.解决方程根的个数的问题，关键是能够通过分离变量将问题转化为参数与新函数的交点问题，通过求解值域得到结果.17.已知()2ln b f x x ax x=++在1x =处的切线方程为3y x =-．（1）求函数()f x 的解析式：（2）()f x '是()f x 的导函数，证明：对任意[)1,x ∞∈+，都有()()121f x f x x x'-≤-++．【答案】（1）()12ln 4f x x x x=-+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件得到关于,a b 的方程，即可得到结果；（2）根据题意，令()()()121g x f x f x x x ⎛⎫'=---++ ⎪⎝⎭，然后求导得到其在[)1,x ∞∈+上的最大值，即可得证.【小问1详解】由题意可得，()13f a b =+=-，且()22bf x a x x'=+-，则()123f a b '=+-=-，即323a b a b +=-⎧⎨+-=-⎩，即41a b =-⎧⎨=⎩，所以()12ln 4f x x x x =-+【小问2详解】由（1）可知，()12ln 4f x x x x =-+，()2214f x x x '=--所以()()2112ln 44f x f x x x x x'-=--++，令()22111212ln 44212ln 23g x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--++--++=--+ ⎪⎝⎭，则()()()22332112222x x g x x x x x --+'=-+-=，所以1x ≥时，()()()232110x x g x x--+'=≤，即()g x 在[)1,x ∞∈+上单调递减，所以()()1g x g <，即()21112ln 44210g x x x x x x x ⎛⎫=--++--++≤ ⎪⎝⎭，所以()()()1210f x f x x x'---++≤，即()()121f x f x x x'-≤-++18.已知函数()3ln f x x ax =-．（1）讨论()f x 的单调性．（2）已知12,x x 是函数()f x 的两个零点()12x x <．（ⅰ）求实数a 的取值范围．（ⅱ）()10,,2f x λ⎛⎫∈ ⎪'⎝⎭是()f x 的导函数．证明：()1210f x x λλ'+-<⎡⎤⎣⎦．【答案】（1）答案见解析（2）（ⅰ）30,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，对a 进行分类讨论()f x 的单调性；（2）利用方程组113ln x ax =，223ln x ax =得到21213lnx x a x x =-，问题转化为()()21212133ln01x x x x x x λλ--<+-恒成立，换元后构造函数求出函数单调性及最值，从而得到证明.【小问1详解】()()30axf x x x-'=>．①当0a ≤时，()()0,f x f x '>在 㨠K ∞上单调递增．②当0a >时，令ࢴ 得30x a <<，即()f x 在30,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；同理，令ࢴ得3x a >，即()f x 在3,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减．【小问2详解】（ⅰ）由（1）可知当0a ≤时，()f x 在 㨠K ∞上单调递增，不可能有两个零点．当0a >时，()f x 在30,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，若使()f x 有两个零点，则30f a ⎛⎫>⎪⎝⎭，即33ln 30a ->，解得30e a <<，且()10f a =-<，当x →+∞时，()f x ∞→-，则有12331,,,x x a a ∞⎛⎫⎛⎫∈∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a 的取值范围为30,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（ⅱ）12,x x 是函数()f x 的两个零点，则有113ln x ax =①，223ln x ax =②，①-②得()()21213ln ln x x a x x -=-，即21213lnx x a x x =-，()()()()21121212213ln33111x x f x x a x x x x x x λλλλλλ+-=-=-+-'+--，因为()f x 有两个零点，所以()f x 不单调，因为12x x <，得2130x x a<<<，所以()21120,10x x x x λλ->+->．若要证明()()1210f x x λλ-'+<成立，只需证()()21212133ln01x x x x x x λλ--<+-，即证()2122111ln01x x x x x x λλ--<+-，令21x t x =，则1t >，则不等式只需证()1ln 01t t tλλ--<+-，即证()11ln 0t t t λλ⎡⎤--+-<⎣⎦，令()()11ln ,1h t t t t t λλ⎡⎤=--+->⎣⎦，()()11ln 1h t t t λλ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭'，令'1()()(1)ln (1l t h t λt λt ==-+-，()()21t l t t λλ-'+=令()()1t t ϕλλ=-+，因为10,2λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()t ϕ在K㨠K ∞上单调递减，得()()1210t ϕϕλ<=-<，得()0l t '<，即()h t '在K㨠K ∞上单调递减，得()()10h t h ''<=，得()0h t '<，即()h t 在K㨠K ∞上单调递减，所以有()()10h t h <=，故有()11ln 0t t t λλ⎡⎤--+-<⎣⎦，不等式得证．【点睛】关键点点睛：对于双变量问题，要转化为单变量问题，通常情况下利用对数的运算性质进行转化，转化后利用构造新函数及最值进行求解证明.19.若函数()f x 的定义域为I ，有0x I ∈，使()00f x '=且()00f x =，则对任意实数k ，b ，曲线()y f x kx b =++与直线y kx b =+总相切，称函数()y f x =为恒切函数.（1）判断函数()sin f x x x =⋅是否为恒切函数，并说明理由；（2）若函数e ()2x a g x x pa =--为恒切函数(,R)a p ∈.（i ）求实数p 的取值范围；（ii ）当p 取最大值时，若函数1()()e 2x h x g x m +=⋅+为恒切函数，记3e ,032A ⎛⎤=- ⎥⎝⎦，证明：m A ∈.（注：e 2.71828=是自然对数的底数.参考数据：3e 20≈）【答案】（1）是恒切函数，理由见解析（2）（i ）1(,2-∞；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导，利用恒切函数的定义求出0x ，即可判断；（2）（i ）根据恒切函数的定义解方程，用0x 表示p ，再利用导数即可求解p 的取值范围；（ii ）由p 的值可得a 的值，从而可得()h x 的解析式，利用新定义，可得002e 20xx --=，令()2e 2x T x x =--，求出0x 的取值范围，由001000e 2(e 1)e (2)4x x m x x x +-=--=-+，从而可得m 的取值范围，从而得证.【小问1详解】设函数()sin f x x x =⋅为恒切函数，则有0x I ∈，使0()0f x '=且0()0f x =，即00000sin cos 0sin 0x x x x x +=⎧⎨=⎩，解得00x =，故函数()sin f x x x =⋅是恒切函数.【小问2详解】（i ）由函数e ()2xa g x x pa =--为恒切函数可知，存在0x ，使得00()g x '=且0()0g x =，即00e 02e 102x x a x pa a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得02e x a =，00e (1)2x x p -=，设e (1)()2x x Q x -=，e ()2x x Q x '∴=-，当(,0)x ∈-∞时，()Q x 递增；当()0,x ∈+∞时，()Q x 递减.1()(0)2Q x Q ∴≤=，即实数p 的取值范围是1(,]2-∞.（ii ）当12p =时，2a =，函数()1()e 1e2xx h x x m +=--+为恒切函数.又()1()2e 2e x x h x x +'=--，所以存在0x ，使得0()0h x '=，即002e 20xx --=.令()2e 2x T x x =--，则()2e 1x T x '=-，当(,ln 2)x ∈-∞-时，()T x 递减；当(ln 2,)x ∈-+∞时，()T x 递增.所以当(,ln 2)x ∈-∞-时，2(2)2e 0T --=>，32331()2e 220222T --=+-=⋅<，故在3(2,)2--上存在唯一0x ，使得002e 20xx --=，即002e2x x +=.第21页/共21页又由00100()(e 1)e 20x x h x x m +=--+=，得001000e 2(e 1)e (2)4x x m x x x +-=--=-+，由03(2)2x ∈--,得003(2)(0)4x x +∈-,，所以3e 032m -<<.又(0)0T =，所以当(ln 2,)x ∈-+∞时，有唯一零点10x =，故由1()0h x =得20m =，即0m =.m A ∴∈.【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。
