大题每日一题规范练
星期一(数列) 2021年____月____日
【题目1】 在①b 1＋b 3＝a 2，②a 4＝b 4，③S 5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由.
设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，________，b 1＝a 5，b 2＝3，b 5＝－81，是否存在正整数k ，使得S k ＞S k ＋1且S k ＋1＜S k ＋2?
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 选条件①.
设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 5
b 2＝－27，即q ＝－3，
所以b n ＝－(－3)n －
1.
从而a 5＝b 1＝－1，a 2＝b 1＋b 3＝－10， 由于{a n }是等差数列，所以a n ＝3n －16.
因为S k ＞S k ＋1且S k ＋1＜S k ＋2等价于a k ＋1＜0且a k ＋2＞0，
所以满足题意的k 存在当且仅当?
????3（k ＋1）－16＜0，
3（k ＋2）－16＞0，
即k ＝4. 选条件②.
设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 5
b 2＝－27，即q ＝－3，
所以b n ＝－(－3)n －
1.
从而a 5＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝27， 所以{a n }的公差d ＝－28.
因为S k ＞S k ＋1且S k ＋1＜S k ＋2等价于a k ＋1＜0且a k ＋2＞0，此时d ＝a k ＋2－a k ＋1＞0，与d ＝－28矛盾，所以满足题意的k 不存在.
选条件③.
设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 5
b 2＝－27，即q ＝－3，
所以b n ＝－(－3)n －
1.
从而a 5＝b 1＝－1，由{a n }是等差数列得S 5＝5（a 1＋a 5）
2，
由S 5＝－25得a 1＝－9. 所以a n ＝2n －11.
因为S k ＞S k ＋1且S k ＋1＜S k ＋2等价于a k ＋1＜0且a k ＋2＞0，
所以满足题意的k 存在当且仅当?
????2（k ＋1）－11＜0，
2（k ＋2）－11＞0，
即k ＝4.
星期二(三角) 2021年____月____日
【题目2】 已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x ，x ∈R . (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)若关于x 的方程f (x )＝a 在????0，π
2上有解，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ?
???2x －π6， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π6≤x ≤k π＋π
3，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间为????k π－π6，k π＋π
3，k ∈Z . (2)由x ∈????0，π2，得－π6≤2x －π6≤5π
6. ∴－1≤2sin ?
???2x －π
6≤2. 因为方程f (x )＝a 在????0，π
2上有解， 所以实数a 的取值范围是[－1，2].
星期三(概率与统计) 2021年____月____日
【题目3】 微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK 或点赞.现从小明的微信好友中随机选取40人(男、女各
20人)，记录他们某一天行走的步数，并将数据整理如下表：
(1)若某人一天行走的步数超过8 000被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”，根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
(2)在小明这40位好友中，从该天行走的步数超过10 000的人中随机抽取3人，设抽取的女性有X 人，求X 的分布列及数学期望E (X ). 附：K 2＝
n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
，
解 (1)2×2列联表如下：
∴K 2＝
40×（13×12－7×8）2
20×20×21×19
≈2.506＜2.706，
∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关.
(2)由已知得，小明这40位好友中，该天行走的步数超过10 000的人中男性有6人，女性有2人，现从中抽取3人，抽取的女性人数X 服从超几何分布，
X 的所有可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝C 36C 38＝2056＝514，P (X ＝1)＝C 12C 26C 38＝3056＝1528，P (X ＝2)＝C 16C 2
2
C 3
8
＝656＝3
28
，
∴X 的分布列如下：
X 0 1 2 P
5
14
1528
328
∴E (X )＝0×514＋1×1528＋2×328＝3
4
.
星期四(立体几何) 2021年____月____日
【题目4】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点.
(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求二面角N －PC －A 平面角的余弦值.
(1)证明 ∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点，∴MN ∥P A . 又MN ?平面P AB ，P A ?平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .
在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°，又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ?平面P AB ，AB ?平面P AB ，∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN ＝N ，CN ，MN ?平面CMN ， ∴平面CMN ∥平面P AB .
(2)解 ∵P A ⊥平面ABCD ，P A ?平面P AC ， ∴平面P AC ⊥平面ACD ，
又DC ⊥AC ，平面P AC ∩平面ACD ＝AC ，DC ?平面ACD ， ∴DC ⊥平面P AC .
如图，以点A 为原点，AC 所在直线为x 轴，过点A 且平行于CD 的直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，
则A (0，0，0)，C (2，0，0)，P (0，0，2)，D (2，23，0)，N (1，3，0)， ∴CN →＝(－1，3，0)，PN →
＝(1，3，－2)，
设n ＝(x ，y ，z )是平面PCN 的法向量，则?????n ·
CN →＝0，n ·
PN →＝0，
即???－x ＋3y ＝0，
x ＋3y －2z ＝0，
可设n ＝(3，1，3)， 又平面P AC 的一个法向量为CD →
＝(0，23，0)， ∴cos 〈CD →
，n 〉＝CD →·n |CD →
||n |＝2323×7＝77，
由图可知，二面角N －PC －A 的平面角为锐角， ∴二面角N －PC －A 的平面角的余弦值为
77
. 星期五(解析几何) 2021年____月____日
【题目5】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
2，短轴长为2.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝5
4，求证：点(m ，
k )在定圆上.
(1)解 由已知得e ＝c a ＝3
2，2b ＝2，
又a 2－b 2＝c 2，∴b ＝1，a ＝2. ∴椭圆C 的标准方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立直线与椭圆方程
????
?y ＝kx ＋m ，x 24
＋y 2＝1，消去y ， 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，
依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0， 化简得m 2＜4k 2＋1，①
x 1＋x 2＝－8km
4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1
，
y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝5
4，即4y 1y 2＝5x 1x 2，
∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2， ∴(4k 2－5)·
4（m 2－1）4k 2＋1
＋4km ·
????－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0， 则(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0. 化简得m 2＋k 2＝5
4
，②
由①②联立，得0≤m 2＜65，120＜k 2≤5
4.
故点(m ，k )在定圆x 2＋y 2＝5
4
上.
星期六(函数与导数) 2021年____月____日
【题目6】 设函数f (x )＝2ln x －mx 2＋1. (1)讨论函数f (x )的单调性；
(2)当f (x )有极值时，若存在x 0，使得f (x 0)＞m －1成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2
x －2mx ＝－2（mx 2－1）x .
当m ≤0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 当m ＞0时，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜m m
. 令f ′(x )＜0，得x ＞m
m
. 所以f (x )在?
???0，
m m 上单调递增，在???
?m
m ，＋∞上单调递减. 综上，当m ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当m ＞0时，f (x )在?
???0，
m m 上单调递增，在???
?m
m ，＋∞上单调递减.
(2)由(1)知，当f (x )有极值时，应有m ＞0，且f (x )在?
???0，
m m 上单调递增，在???
?m
m ，＋∞上单调递减.
所以f (x )max ＝f (x )极大值＝f ??
?
?
m m ＝2ln m m －m ·1m ＋1＝－ln m .
若存在x 0，使得f (x 0)＞m －1成立，则f (x )max ＞m －1成立， 所以－ln m ＞m －1，即m ＋ln m －1＜0，
令g (m )＝m ＋ln m －1，则g ′(m )＝1＋1
m ＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以g (m )在(0，＋∞)上单调
递增，且g (1)＝0.
若使g (m )＜0，则0＜m ＜1. 所以实数m 的取值范围是(0，1).