人教版数学九年级下册第27章 相似 27.1 图形的相似

第27章《相似》全章教案27．1 图形的相似〔1〕教学目标:1、知识与技能：通过实例知道相似图形的意义. 通过对生活中的事物或图形的观察，得理性认识，从而加以识别相似的图形．2、过程与方法:通过观察、归纳等数学活动，与他人交流思维的过程和结果，能用所学的知识去解决问题．3、情感态度与价值观：在获得知识的过程中培养学习的自信心．教学重点:相似图形和相似多边形的意义.教学难点:探索相似多边形对应角相等，对应边的比相等.教学过程:一、创设情境，导入新课引导学生观察课本p24-图27.1—1每两个图形之间的相同之处与不同之处---这两个图形形状相同，大小不相同，它们叫什么图形？这两个图形只是形状相同，大小不相同，它们叫相似图形.也可以说，这两个图形相似.二、师生互动，探索新知：1、观察以下几组几何图形，你能发现它们之间有什么关系?从而得出：具有相同形状的图形叫相似形．〔出示课题——图形的相似〕2、对上面的3组图形，通过图形的缩小或放大，再利用图形的平移或旋转等变换，使它与另一个图形能够重合，从而加以验证它们是相似的图形。

归纳定义：相似图形----形状相同的两个图形叫做相似图形.3、你还见过哪些相似的图形，请举出一些例子与同学们交流．三、探究：1、思考教科书第25页的思考，哈哈镜里看到的不同镜像它们相似吗？2、观察以下图中的3组图形，它们是不是相似形?为什么?(激发学生的求知欲，为下一节课“相似图形的特征”做好准备)四、课堂练习完成课本第25页练习第1、2题。

五、课堂小结这节课你有哪些收获?六、课时作业1、根据今天所学的内容，请你收集或设计一些相似的图案．2、习题27.1第1、2题．27．1 图形的相似〔2〕教学目标:1、知识与技能：通过对生活中的事物或图形的观察，获得理性认识，从而加以识别相似的图形．2、过程与方法：经历对相似图形观察、分析、欣赏以及动手操作、画图、测量等过程，能用所学的知识去解决问题；回忆相似图形的性质、定义，得出相似三角形的定义及其基本性质。

新人教版初中九下第27章相似单元计划第二十七章相似单元计划：教学内容：1.本单元主要涉及数学方面的内容，包括：1) 相似图形和相似多边形的概念，以及探索相似多边形的性质。

2) 相似三角形的判定方法，相似测量的应用，以及相似三角形的周长和面积。

3) 位似图形的绘制方法，以及在平面直角坐标系中的位似变换。

2.本单元在教材中的地位和作用：本章是在图形的全等和全等三角形的基础上研究相似变换，是前面研究全等变换的拓展和发展，同时也是以后研究锐角三角函数和投影与视图的基础。

教学目标：1.知识和技能：1) 使学生了解线段比和成比例线段的概念，能够判断四条线段是否成比例，能够利用比例性质进行变形。

2) 使学生了解相似形和相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理，能够直接应用这些定理解决一些简单的证明和计算问题。

3) 了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一坐标系中感受位似变换后点的坐标的变化。

2.过程和方法：1) 通过具体的实例来认识相似图形，探索相似图形的性质，从而理解相似多边形的对应角相等、对应边的比相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方。

2) 结合相似三角形的判定方法的探索和证明，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。

3) 辨析四种变换，综合利用四种变换进行图案设计，培养学生综合运用知识的能力。

3.情感、态度和价值观：1) 通过观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质，积累与人合作、探究、交流的经验，获得相应的知识和技能。

2) 通过大量实际应用，获得解决实际问题的经验，体会相似的意义和价值，同时提高综合运用知识的能力。

3) 通过理论联系实际，对学生进行唯物认识教育，通过相似形与全等形的类比从特殊到一般，把握图形的运动变化关系，对学生进行辩证唯物主义教育。

教学重点：1) 相似多边形的有关性质。

2) 相似三角形的判定。

3) 利用位似变换将一个图形放大或缩小。

章节测试题1.【题文】如图，矩形ABCD是一幅长3m，宽2m的国画，它的四周镶上宽度相等的一条金边．（1）金边宽度为10cm时，矩形ABCD与矩形EFGH是否相似？为什么？（2）是否存在装的金边宽度，使得矩形ABCD与矩形EFGH相似？如果存在，求出金边宽度；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）不相似．理由见解答；（2）不存在装的金边宽度，使得矩形ABCD与矩形EFGH相似，理由见解答.【分析】本题考查的是相似多边形的判定、矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定方法是解题的关键．（1）求出，得出矩形ABCD与矩形EFGH不相似；（2）设金边宽度为x cm，若，则，解得x＝0，即可得出结论．【解答】（1）不相似．理由如下：∵矩形ABCD中，AB＝2 m，AD＝3 m，金边宽度为10 cm＝0.1 m，∴EF＝2+2×0.1＝2.2 m，EH＝3+2×0.1＝3.2 m，∴，∴，∴矩形ABCD与矩形EFGH不相似；（2）不存在装的金边宽度，使得矩形ABCD与矩形EFGH相似，理由如下：设金边宽度为x cm，若，则，解得x＝0，∴不存在装的金边宽度，使得矩形ABCD与矩形EFGH相似．2.【答题】若某个直角三角形的两直角边之比为2：3，则确定了该三角形的（）A. 形状B. 周长C. 面积D. 斜边【答案】A【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵直角三角形的两直角边之比为2：3，∴虽不能确定两直角边的值，但能确定其比值，∴能确定该直角三角形的形状，选A.3.【答题】下列图形中一定是相似形的是（）A. 两个等边三角形B. 两个菱形C. 两个矩形D. 两个直角三角形【答案】A【分析】本题考查相似多边形的判定.【解答】∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，选A．4.【答题】下列命题中，真命题是（）A. 邻边之比相等的两个平行四边形一定相似B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似【答案】B【分析】本题考查相似多边形的判定.【解答】A.邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，∴A选项错误；B.邻边之比相等，则四条边对应成比例，又四个角都是直角，∴两矩形相似，故本选项正确；C.对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，∴C选项错误；D.对角线之比相等的两个矩形不一定相似，∴D选项错误；选B．5.【答题】若两个相似多边形的面积之比为4：9，则这两个多边形的周长之比为（）A. B. 2：3 C. 4：9 D. 16：81【答案】B【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】∵两个相似多边形的面积之比为4：9，∴两个相似多边形的对应边的比为2：3，∴两个相似多边形的周长的比为2：3，选B．6.【答题】下列四组图形中，不是相似图形的是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】本题考查相似多边形的判定.【解答】A.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；B.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；C.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；D.形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；选D．7.【答题】若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的______倍．【答案】5【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，∴扩大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的周长的比等于相似比，∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，故答案为5．8.【答题】某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是8 cm，最大长度是16 cm；叶片②最大宽度是7 cm，最大长度是14 cm；叶片③最大宽度约为6.5 cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为______cm．【答案】13【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶片的最大宽度：最大长度＝1：2．由此可得出完整的叶片③的最大长度应是6.5×2＝13 cm．故答案为13．9.【答题】如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB n C n C n﹣1的面积为______．【答案】【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥DC，∴AC，∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为：2，∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4，∵矩形ABCD的面积＝2×1＝2，∴矩形AB1C1C的面积，依此类推，矩形AB2C2C1的面积和矩形AB1C1C的面积的比5：4，∴矩形AB2C2C1的面积，∴矩形AB3C3C2的面积，按此规律第n个矩形的面积为，故答案为．10.【答题】一个多边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是______．【答案】28【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】设另一个多边形的周长是x．依题意，有x：（1+2+3+4+5+6）＝8：6，解得x＝28．故另一个多边形的周长是28．11.【答题】若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的面积比等于______．【答案】4：9【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】∵两个相似多边形的相似比为2：3，∴它们的面积比＝22：32＝4：9．故答案为4：9．12.【答题】若一个矩形截去两个以短边长为边长的正方形后得到的矩形与原矩形相似，则这个矩形的长与宽之比为______．【答案】1【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】设矩形的长是a，宽是b，则AE＝EH＝b，DH＝a﹣2b，∵矩形ABCD∽矩形HDCG，∴，即，整理得a2﹣2ab﹣b2＝0，两边同除以b2，得（）21＝0，解得或（舍去）∴长与宽的比为1，故答案为1．13.【题文】如图，一个矩形广场的长为100 m，宽为80 m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5 m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．【答案】1.2.【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】当（100+3）：100＝（80+2x）：80时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．解得x＝1.2.答：当x为1.2时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似．14.【题文】如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．（1）α＝______；（2）求边x、y的长度．【答案】（1）83°；（2）x＝12，y．【分析】本题考查相似多边形的性质.【解答】（1）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴∠A＝∠A′＝62°，∠B＝∠B′＝75°，∴α＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，故答案为83°；（2）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴，解得x＝12，y．15.【答题】若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A. 1：4B. 1：2C. 2：1D. 1：16【答案】B【分析】本题考查相似图形的性质.【解答】∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为1：2．选B.16.【答题】沿一张矩形纸较长两边的中点将纸一分为二，所得两张矩形与原来的矩形纸相似，那么原来那张纸的长和宽的比是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】本题考查相似图形的性质.【解答】设原来矩形的长为x，宽为y，则对折后的矩形的长为y，宽为，∵得到的两个矩形都和原矩形相似，∴x：y＝y：，解得x：y：1．选A．17.【答题】下列说法正确的是（）A. 所有菱形都相似B. 所有矩形都相似C. 所有正方形都相似D. 所有平行四边形都相似【答案】C【分析】本题考查相似图形的判定.【解答】∵相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∴所有正方形都是相似多边形，选C.18.【答题】如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A. 28cm2B. 27cm2C. 21cm2D. 20cm2【答案】B【分析】本题考查相似图形的性质.【解答】依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC∽矩形FDCE，则，设DF＝x cm，得到，解得x＝4.5，则剩下的矩形面积是4.5×6＝27cm2．选B．19.【答题】矩形的两边长分别为x和6（x＜6），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则x的值为（）A. B. C. D. 2.5【答案】B【分析】本题考查相似图形的性质.【解答】∵原矩形的长为6，宽为x，∴小矩形的长为x，宽为2，∵小矩形与原矩形相似，∴，解得x＝2，选B．20.【答题】若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（）A. 增加了10%B. 减少了10%C. 增加了（1+10%）D. 没有改变【答案】D【分析】本题考查相似图形的性质.【解答】∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，∴△ABC∽△A′B′C′，∴∠B′＝∠B．选D．。

第27章图形的相似 (2)§27.1 相似的图形 (3)§27.2 相似图形的性质 (5)1.成比例线段 (5)2.相似图形的性质 (6)阅读材料 (10)§27.3 相似三角形 (11)1.相似三角形 (11)2.相似三角形的判定 (12)3.相似三角形的性质 (16)4.相似三角形的应用 (17)阅读材料 (20)§27.4 中位线 ................................................. 错误！未定义书签。

§27.5 画相似图形 (22)阅读材料 (23)§27.6 图形与坐标 (24)1.用坐标确定位置 (24)小结 (28)复习题 (28)第27章图形的相似你瞧，那些大大小小的图形是多么地相像！日常生活中，我们经常会看到这种相似的图形，那么它们有什么主要特征与关系呢？§27.1 相似的图形观察图27.1.1，你会发现右边的照片是由左边的照片放大得来的.尽管它们大小不同，但形状相同.图24.1.1图27.1.1图27.1.2是两张大小不同的世界地图，左边的图形可以看作是右边的图形缩小得来的.由于不同的需要，对某一地区，经常会制成各种大小的地图，但其形状（包括地图中所描绘的各个部分）肯定是相同的.图27.1.2日常生活中我们会碰到很多这种形状相同、大小不一定相同的图形，在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似图形（similar figures）.同一底片扩印出来的不同尺寸的照片也是相似图形.放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像，都是彼此相似的.图27.1.3所示的是一些相似的图形.图27.1.3观察图27.1.4中的三组图形，看起来每组中的两个图形都具有一些相像的成分，其实形状是不相同的，这样的图形就不是相似图形.图27.1.4试一试如图27.1.5，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形.和你的伙伴交流一下，看看谁的方法又快又好.图27.1.5练习1.观察你周围的事物，举出几个相似图形的例子.2.你看到过哈哈镜吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？习题27.11.试着用本书最后所附的格点图把下面的图形放大.（第1题）2.观察下面的图形（a）~（g），其中哪些是与图形（1）、（2）或（3）相似的？（第2题）§27.2 相似图形的性质1.成比例线段试一试由下面的格点图可知，B A AB ''＝_________，C B BC ''＝________，这样B A AB ''与C B BC''之间有关系_______________.图24.2.1概括像这样，对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如dcb a =（或a ∶b ＝c ∶d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）.此时也称这四条线段成比例.例1判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段：（1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10；（2）a ＝2，b ＝5，c ＝152，d ＝35.解 （1） ∵3264==b a ，21105==d c ， ∴dc b a ≠， ∴ 线段a 、b 、c 、d 不是成比例线段. （2） ∵55252==b a ，55235152==d c ， ∴dc b a =， ∴ 线段a 、b 、c 、d 是成比例线段. 对于成比例线段我们有下面的结论： 如果dcb a =，那么ad ＝bc. 如果ad ＝bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么dc b a =. 以上结论称为比例的基本性质.例2证明：（1）如果d c b a =，那么dd c b b a +=+； （2） 如果d c b a =，那么d c cb a a -=-.证明（1）∵dcb a =，在等式两边同加上1，∴11+=+d cb a ， ∴ ddc b b a +=+. （2） ∵dc b a =， ∴ ad ＝bc ，在等式两边同加上ac ， ∴ ad ＋ac ＝bc ＋ac ， ∴ ac －ad ＝ac －bc ，∴ a （c －d ）＝（a －b ）c ， 两边同除以（a －b ）（c －d ）， ∴dc cb a a -=-.练习1.判断下列线段是否是成比例线段： （1）a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝3m ，d ＝6m ； （2）a ＝0.8，b ＝3，c ＝1，d ＝2.4. 2.已知： 线段a 、b 、c 满足关系式cbb a =，且b ＝4，那么ac ＝______. 3.已知23=b a ，那么b b a +、ba a -各等于多少？ 2.相似图形的性质两个相似的平面图形之间有什么关系呢？为什么有些图形是相似的，而有些不是呢？相似图形有什么主要性质呢？做一做图27.2.2是某个城市的大小不同的两张地图，当然，它们是相似的图形.设在大地图中有A 、B 、C 三地，在小地图中的相应三地记为A ′、B ′、C ′，试用刻度尺量一量两张地图中A （A ′）与B （B ′）两地之间的图上距离、B （B ′）与C （C ′）两地之间的图上距离.图24.2.2图27.2.2AB ＝______cm ， BC ＝______cm ； A ′B ′＝______cm ， B ′C ′＝______cm.显然两张地图中AB 和A ′B ′、BC 和B ′C ′的长度都是不相等的，那么它们之间有什么关系呢？小地图是由大地图缩小得来的，我们能感到线段A ′B ′、B ′C ′与AB 、BC 的长度相比都“同样程度”地缩小了. 计算可得B A AB ''＝________，C B BC''＝________. 我们能发现B A AB ''＝CB BC''.上面地图中AB 、A ′B ′、BC 、B ′C ′这四条线段是成比例线段.实际上，上面两张相似的地图中的对应线段都是成比例的.这样的结论对一般的相似多边形是否成立呢？ 图27.2.3中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应边之间是否有以上的关系呢？对应角之间又有什么关系？图27.2.3再看看图27.2.4中两个相似的五边形，是否与你观察图27.2.3所得到的结果一样？图27.2.4概括由此可以得到两个相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等.实际上这也是我们判定两个多边形是否相似的方法，即如果_________________________，那么这两个多边形相似.例 在图27.2.5所示的相似四边形中，求未知边x 的长度和角度α的大小.图27.2.5分析利用相似多边形的性质和多边形的内角和公式就可以得到所需结果，但利用相似多边形的性质时，必须分清对应边和对应角.解 ∵ 两个四边形相似，∴ 181218x ， ∴ x ＝27.∴ α＝360°－（77°＋83°＋117°）＝83°.思考两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？练习1.（1）根据图示求线段比：CD AC ，CB AC ，DBCD；（第1题）（2）试指出图中成比例的线段.2.等腰三角形两腰的比是多少？直角三角形斜边上的中线和斜边的比是多少？3.下图是两个等边三角形，找出图形中的成比例线段，并用比例式表示.（第3题）4.根据下图所示，这两个多边形相似吗？说说你的理由.（第4题）5.如图，正方形的边长a ＝10，菱形的边长b ＝5，它们相似吗？请说明理由.（第5题）习题27.21.所有的矩形都相似吗？所有的正方形呢？2.在比例尺为1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25厘米，则两地的实际距离是多少？3.判断下列各组线段是否是成比例线段： （1） 2厘米，3厘米，4厘米，1厘米；（2） 1.5厘米，2.5厘米，4.5厘米，6.5厘米； （3） 1.1厘米，2.2厘米，3.3厘米，4.4厘米； （4） 1厘米，2厘米，2厘米，4厘米.4.两地的实际距离为200米，地图上的距离为2厘米，这张地图的比例尺为多少？5.如图所示的两个矩形是否相似？（第5题）6.在本书最后所附的格点图中画出两个相似的三角形、四边形、五边形.7.已知：53=-b b a ，求b a的值. 8.已知d c b a =（b ±d ≠0），求证：db db c a c a -+=-+.阅读材料黄金分割两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus ，约公元前408—前355年）发现： 将一条线段（AB ）分割成大小两条线段（AP 、PB ），若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即ABAPAP PB （此时线段AP 叫做线段PB 、AB 的比例中项），则可得出这一比值等于0.618….这种分割称为黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点.自然界中的黄金分割连女神维纳斯的雕像上也都烙有“0.618”的印记雅典帕德嫩神庙：包含黄金矩形的建筑物，它是世界上最美丽的建筑之一为什么人们会关注黄金分割呢？那是因为人们认为这个分割点是分割线段时最优美的、最令人赏心悦目的点.自古希腊以来，黄金分割就被视为最美丽的几何学比率，并广泛地用于建造神殿和雕刻中.但在比古希腊还早2000多年所建的金字塔中，它就已被采用了.文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔的高与底面的边长的比都接近于0.618.不仅在建筑和艺术中，就是在日常生活中，黄金分割也处处可见.如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众看上去感觉最好.有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比也接近黄金比.就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618.还有黄金矩形、黄金三角形（顶角为36°的等腰三角形）等，五角星中更是充满了黄金分割. 去发现大千世界中奇妙无比的黄金分割吧！§27.3 相似三角形1.相似三角形在相似多边形中，最为简单的就是相似三角形（similar triangles ）.图27.3.1相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”.如图27.3.1所示的两个三角形中， ∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′，AC CAC B BC B A AB ''=''=''. 即△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作 △ABC ∽△A ′B ′C ′，读作“△ABC 相似于△A ′B ′C ′”. 如果记A C CAC B BC B A AB ''=''=''＝k ，那么这个比值k 就表示这两个相似三角形的相似比.做一做如图27.3.2，△ABC 中，D 为边AB 上任一点，作DE ∥BC ，交边AC 于E ，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE 与△ABC 是否相似.图27.3.2我们知道，根据两直线平行同位角相等，则∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ，而∠A ＝∠A.通过度量，还可以发现它们的对应边成比例，所以△ADE ∽△ABC. 如果取点D 为边AB 的中点，那么上题中△ADE 和△ABC 的相似比就为k ＝21. 当k ＝1时，两个相似三角形不仅形状相同，而且大小也相同，即为全等三角形.全等三角形是相似三角形的特例.练习1.如图，正方形ABCD的边长为1，点O为对角线的交点，试指出图中的相似三角形.2.如果一个三角形的三边长分别是5、12和13，与其相似的三角形的最长边长是39，那么较大三角形的周长是多少？较小三角形与较大三角形周长的比是多少？（第1题）（第3题）3.右边是用12个相似的直角三角形所组成的图案，请你也用相似三角形设计出一个或两个美丽的图案.2.相似三角形的判定我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例.那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？观察你与你同伴的直角三角尺，同样角度（30°与60°，或45°与45°）的三角尺看起来是相似的.这样从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实这样吗？探索如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么它们相似吗？试一试如图27.3.3，任意画两个三角形（可以画在本书最后所附的格点图上），使其三对角分别对应相等.用刻度尺量一量两个三角形的对应边，看看两个三角形的对应边是否成比例.你能得出什么结论？图27.3.3我们可以发现，它们的对应边成比例，即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形__________.而根据三角形内角和等于180°，我们知道如果两个三角形有两对角分别对应相等，那么第三对角也一定对应相等.于是，我们可以得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 思考如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似？图27.3.4例1 如图27.3.4所示，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，证明△ABC∽△A′B′C′.证明∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）.例2 如图27.3.5，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，证明：△ADE∽△EFC.图27.3.5证明∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠ADE＝∠B＝∠EFC，∴∠AED＝∠C，∴△ADE∽△EFC（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）.练习1.找出图中所有的相似三角形.（第1题）（第2题）2.图中DG∥EH∥FI∥BC，找出图中所有的相似三角形.观察图27.3.6，如果有一点E 在边AC 上，那么点E 应该在什么位置才能使△ADE 与△ABC 相似呢？图27.3.6图中两个三角形的一组对应边AD 与AB 的长度的比值为31.将点E 由点A 开始在AC 上移动，可以发现当AE ＝________AC 时，△ADE 与△ABC 相似.此时ABAD=__________.探 索如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？做一做利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等.量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等.另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？我们可以发现这两个三角形相似.这样我们又有了一种判定两个三角形是否相似的方法： 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.例3证明图27.3.7中△AEB 和△FEC 相似.图27.3.7证明∵5.13654==FE AE ， 5.13045==CE BE ， ∴ CEBEFE AE =. ∵ ∠AEB ＝∠FEC ，∴ △AEB ∽△FEC （如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）.探索如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？感觉上应该是能“相似”了.做一做在图27.3.8的方格上任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数.画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？图27.3.8我们可以发现这两个三角形相似.即：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.例4在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知： AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，AC ＝10cm ，A ′B ′＝18cm ，B ′C ′＝24cm ，A ′C ′＝30cm.试证明△ABC 与△A ′B ′C ′相似.证明∵31186==''B A AB ， 31248==''C B BC ， 313010==''C A AC ， ∴ CA ACC B BC B A AB ''=''=''， ∴ △ABC ∽△A ′B ′C ′（如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似）.练习1.依据下列各组条件，证明△ABC 和△A ′B ′C ′相似.（1） AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，AC ＝16cm ，A ′B ′＝16cm ，B ′C ′＝12.8cm ，A ′C ′＝25.6cm ；（2） ∠A ＝∠80°，∠C ＝60°，∠A ′＝80°，∠B ′＝40°；（3） ∠A ＝40°，AB ＝8，AC ＝15，∠A ′＝40°，A ′B ′＝16，A ′C ′＝30.2.在第1题小题（3）中，若BC ＝a ，∠B ＝α，试求出B ′C ′的长与∠B ′、∠C ′的大小.3.相似三角形的性质两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论.例如，在图27.3.9中，△ABC 和△A ′B ′C ′是两个相似三角形，相似比为k ，其中AD 、A ′D ′分别为BC 、B ′C ′边上的高，那么AD 、A ′D ′之间有什么关系？图24.3.9图27.3.9△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形，而∠B ＝∠B ′，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似.那么k B A ABD A AD =''='' 由此可以得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比. 图27.3.10中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似.图27.3.10（2）与（1）的相似比＝__________， （2）与（1）的面积比＝__________； （3）与（1）的相似比＝__________， （3）与（1）的面积比＝__________.从上面可以看出，当相似比＝k 时，面积比＝2k .我们猜想： 相似三角形的面积比等于相似比的平方.例5已知：△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，AD 、 A ′D ′分别是△ABC 、 △A ′B ′C ′对应边BC 、 B ′C ′上的高，求证：2k S S C B A ABC='''∆∆.证明∵ △ABC ∽△A ′B ′C ′，∴k D A AD =''，k CB BC=''， ∴ 22121k C B D A BCAD S S C B A ABC=''⋅''⋅='''∆∆思考图27.3.11中，△ABC 和△A ′B ′C ′相似，AD 、A ′D ′分别为对应边上的中线，BE 、B ′E ′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？图27.3.11可以得到的结论是____________________. 想一想： 两个相似三角形的周长比是什么？ 可以得到的结论是____________________.练习1.如果两个三角形相似，相似比为3∶5，那么对应角的角平分线的比等于多少？2.相似三角形对应边的比为0.4，那么相似比为______，对应角的角平分线的比为______，周长的比为______，面积的比为______.3.如图，在正方形网格上有111C B A ∆和222C B A ∆，这两个三角形相似吗？如果相似，请给出证明，并求出111C B A ∆和222C B A ∆的面积比.(第3题)4.相似三角形的应用人们从很早开始，就懂得利用相似三角形的有关性质来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度.例6古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法： 如图27.3.12所示，为了测量金字塔的高度OB ，先竖一根已知长度的木棒O ′B ′，比较棒子的影长A ′B ′与金字塔的影长AB ，即可近似算出金字塔的高度OB.如果O ′B ′＝1，A ′B ′＝2，AB ＝274，求金字塔的高度OB.图27.3.12解 ∵ 太阳光是平行光线，∴ ∠OAB ＝∠O ′A ′B ′.∵ ∠ABO ＝∠A ′B ′O ′＝90°，∴ △OAB ∽△O ′A ′B ′（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似），∴ OB ∶O ′B ′＝AB ∶A ′B ′，∴ 13721274=⨯=''''⨯=B A B O AB OB （米），即该金字塔高为137米.图27.3.13例7如图27.3.13，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选定点B 和C ，使AB ⊥BC ，然后，再选点E ，使EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 的交点D.此时如果测得BD ＝120米，DC ＝60米，EC ＝50米，求两岸间的大致距离AB.解∵ ∠ADB ＝∠EDC ，∠ABC ＝∠ECD ＝90°，∴ △ABD ∽△ECD （如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似），∴CDBDEC AB =， 解得CD EC BD AB ⨯=1006050120=⨯=（米）.答： 两岸间的大致距离为100米.这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法.例8如图27.3.14，已知： D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且∠ADE ＝∠C.求证： AD ²AB ＝AE ²AC.图27.3.14证明∵ ∠ADE ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴ △ADE ∽△ACB （如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）.∴ABAEAC AD ， ∴ AD ²AB ＝AE ²AC.练习1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？2.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，BC ＝6，梯形DBCE 面积是△ADE 面积的3倍，求DE 的长.（第2题）习题27.31. 判断下面各组中两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程. （1） 如图，DE ∥BC ，△ABC 与△ADE ； （2） 如图，∠AED ＝∠C ，△ABC 与△ADE.（第1题）2. 已知： △ABC 的三边长分别为5、12、13，和△ABC 相似的△A ′B ′C ′的最大边长为26，求△A ′B ′C ′的另两条边的边长和周长以及最大角的度数.3. 使用三角尺画一个三角形，其中一个角为60°，一个角为45°，再画一个与它相似的三角形.4. 依据下列各组条件，判断△ABC 和△A ′B ′C ′是不是相似，如果相似，请给出证明过程.（1） ∠A ＝70°，∠B ＝46°，∠A ′＝70°，∠C ′＝64°；（2） AB ＝10厘米，BC ＝12厘米，AC ＝15厘米，A ′B ′＝150厘米，B ′C ′＝180厘米，A ′C ′＝225厘米； （3） ∠B=35°，BC=10，BC 上的高AD=7，∠B ′=35°，B ′C ′=5，B ′C ′上的高A ′D ′=3.5.5. 已知在等腰△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A 、∠A ′分别是顶角.试依据下列条件，判断△ABC 和△A ′B ′C ′是否相似，如果相似，请写出证明过程. （1） ∠A ＝∠A ′.（2） ∠B ＝∠B ′（或∠C ＝∠C ′）.6. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击球的高度h.（第6题）阅读材料线段的等分将某件物品等分是生活中经常会遇到的事情.例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看，就是将一条线段五等分.你知道下面这个简单的方法吗？如图1，将这条线段画在你的练习本上，使它恰好跨过六条横线.现在，你看到这条线段被分成了相等的五小段.如果你没有练习本，那也没有关系.让我们按照上面的想法，用三角尺完成等分线段这件事情.图1图2如图2，过线段AB 的一个端点A 任意画一条射线AP ，在AP 上依次取五段相等的线段1AA 、21A A 、32A A 、43A A 、54A A ，连结5BA ，再过1A 、2A 、3A 、4A 分别画5BA 的平行线，这些平行线就恰好将线段AB 平均分成五等分.你想知道其中的原因吗？想想相似图形的特征与性质，你就会明白了. 现在，你会画了吗？请你再试试看，将一条线段7等分.相似三角形与全等三角形“相似”与“全等”是数学上用来描写两个图形的形状与大小之间关系的一对语言.就三角形而言，当两者形状一样时，称其为相似；而当两个三角形的形状与大小都一样时，我们就称其为全等.相似是全等的拓展，全等是相似的特例.人们研究问题，往往有两种不同的思路，一是由特殊到一般，二是由一般到特殊.本套教材对于图形的研究遵循由特殊到一般的思路，先研究全等，以此作为基本事实（即公理），再研究相似.因而相似三角形的一些判定方法与性质完全可以通过包括全等公理在内的基本事实逻辑推理得到. 例如，如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似.即在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，可以推出△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明: （1） 若AB ＝A ′B ′，则△ABC ≌△A ′B ′C ′，结论成立. （2） 若AB ≠A ′B ′.不妨设AB ＞A ′B ′.在△ABC 的边AB 、AC 上，分别截取AD ＝A ′B ′，AE ＝A ′C ′， 又∵ ∠A ＝∠A ′，∴ △ADE ≌△A ′B ′C ′， 于是∠B ′＝∠ADE.∠B ＝∠B ′， ∠B ＝∠ADE ， DE ∥BC.BC 边上的高AG 交DE 于点F ，于是AF ⊥DE. ∴ DBCE AD E ABC S S S 梯形+=∆∆，即)()(212121AF AG BC DE AF DE AG BC -⋅++⋅=⋅. 化简得 DE ²AG ＝BC ²AF ， 即AFAGDE BC =. 因此AFAGDE BC AF DE AGBC S S S S ADE ABC C B A ABC ⋅=⋅⋅==∆∆'''∆∆212122)()(CB BC DE BC ''==.同理可证22)()(C A AC B A AB S S C B A ABC ''=''='''∆∆.∴C B BC C A AC B A AB ''=''=''. 又∵ ∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∴∠C＝∠C′，∴△ABC∽△A′B′C′.这里的证明，实际上就是将△A′B′C′运动变换到△ABC内的△ADE处，得到DE∥BC，再研究△ADE与△ABC的关系.试试看，用类似的方法证明相似三角形的另两个判别方法，相信你一定会体会到逻辑推理的奇妙！§27.4 画相似图形相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，可以将一个图形放大或缩小，保持形状不变.下面介绍一种特殊的画相似多边形的方法.现在要把多边形ABCDE放大到1.5倍，即新图与原图的相似比为1.5.我们可以按下列步骤画出图27.4.1：图27.4.11.任取一点O；2.以点O为端点作射线OA、OB、OC、……；3.分别在射线OA、OB、OC、……上取点A′、B′、C′、……，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝…＝1.5；4.连结A′B′、B′C′、……，得到所要画的多边形A′B′C′D′E′.探索用刻度尺和量角器量一量，看看上面的两个多边形是否相似？你能否用逻辑推理的方法说明其中的理由？图27.4.1中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似（homothety），点O叫做位似中心.放电影时，胶片和屏幕上的画面就形成了一种位似关系.利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.要画四边形ABCD的位似图形，还可以任取一点O，如图27.4.2，作直线OA、OB、OC、OD，在点O的另一侧取点A′、B′、C′、D′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝2，也可以得到放大到2倍的四边形A′B′C′D′.图27.4.2 图27.4.3实际上，如图27.4.3所示，如果把位似中心取在多边形内，那么也可以把一个多边形放大或缩小，而且较为简便.练习任意画一个五边形，再把它放大到原来的3倍.习题27.4任选一种方法，按下列相似比画出一个三角形的位似图形. （1） 相似比为21；（2） 相似比为2.5.阅读材料数学与艺术的美妙结合——分形雪花是什么形状呢？科学家通过研究发现： 将正三角形的每一边三等分，而以其居中的那一条线段为底边再作等边三角形.然后以其两腰代替底边.再将六角形的每边三等分，重复上述的作法.如图1所示，如此继续下去，就得到了雪花曲线.图1雪花曲线的每一部分经过放大都可以与它的整体形状相似，这种现象叫自相似.只要有足够细的笔，这种自相似的过程可以任意继续表现下去.观察图2中的图形，这也是通过等边三角形绘制的另一幅自相似图形.图2图3是五边形的一幅自相似图形.图3图4自然界中其实存在很多自相似现象，如图4所示树木的生长，又如雪花的形成、土地干旱形成的地面裂纹等.现在已经有了一个专门的数学分支来研究像雪花这样的自相似图形，这就是20世纪70年代由美国计算机专家芒德布罗创立的分形几何.如图5，通过计算机可以把简单的图形设计成美丽无比的分形图案，人们称为分形艺术.图5§27.5 图形与坐标1.用坐标确定位置图27.5.1夏令营举行野外拉练活动，老师交给大家一张地图，如图27.5.1所示，地图上画了一个直角坐标系，作为定向标记，给出了四座农舍的坐标是： （1， 2）、（－3， 5）、（4， 5）、（0， 3）.目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和连结第二与第四座农舍的直线的交点.利用平面直角坐标系，同学们很快就到达了目的地.请你在图中画出目的地的位置.试一试图27.5.2是某乡镇的示意图.试建立直角坐标系，用坐标表示各地的位置：图27.5.2有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置.现实生活中我们能看到许多这种方法的应用：如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置，电影院的座位用几排几座来表示，国际象棋中竖条用字母表示、横条用数字表示等.右图是国际象棋的棋盘，E2在什么位置？如何描述A、B、C的位置？我们还可以用其他方式来表示物体的位置.例如，小明去某地考察环境污染问题，并且他事先知道下面的信息：“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东30度的方向，距离此处3千米的地方；“明天调味品厂”在他现在所在地的北偏西45度的方向，距离此处2.4千米的地方；“321号水库”在他现在所在地的南偏东27度的方向，距离此处1.1千米的地方.根据这些信息可以画出表示各处位置的一张简图：图27.5.3看来，用一个角度和距离也可以表示一个点的位置.这种方式在军事和地理中较为常用.练习小燕在某市公园的门口看到这个公园的平面示意图（如下图）.试借助刻度尺、量角器解决下列问题.（1）建立适当的直角坐标系，用坐标表示假山、游戏车、马戏城的位置；（2）填空：九曲桥在假山的北偏东__________度的方向上，到假山的距离约为_________米；喷泉在假山的北偏西___________度的方向上，到假山的距离约为__________米.2.图形的变换与坐标在同一直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小之后，点的坐标会如何变化呢？例图27.5.4中，△AOB沿x轴向右平移3个单位之后，得到△A′O′B′.三个顶点的坐标有什么变化呢？图27.5.4解△AOB的三个顶点的坐标是A（2，4）、O（0，0）、B（4，0）.平移之后的△A′O′B′对应的顶点是A′（5，4）、O′（3，0）、B′（7，0）.沿x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都增加了3.思考在图27.5.5中，△AOB关于x轴的轴对称图形是△A′OB.对应顶点的坐标有什么变化？。