定积分的定义

x → 积分变量 f ( x )dx → 被积表达式 ,
a → 积分上限 ,
[a,b] → 积分区间
b → 积分下限
注
(1)定积分是一个数值 (1)定积分是一个数值 (2)定积分的值与区间的分法无关,与 (2)定积分的值与区间的分法无关, ξ i 的取法无关 定积分的值与区间的分法无关 (3)定积分的值只与区间长度有关， 与被积函数有关。 (3)定积分的值只与区间长度有关， 定积分的值只与区间长度有关 与被积函数有关。
3 求和
0
∑
i =1
n
i 2 1 ∆ Ai = ( ) n n i =1
∑
n
=
1 n3
(1 + 2 2 + 3 2 + L + n 2 )
1 n ( n + 1 )( 2 n + 1 ) = 3 6 nn
4 0 取极限
λ→0
lim
∑
f (ξ i ) ∆ x i
i =1
即
∫
1
0
1 n( n + 1)(2n + 1) 1 = lim 3 = n →∞ n 6 3 1 2 x dx = 3
定理表明: 定理表明: (1)连续函数一定存在原函数 (1)连续函数一定存在原函数 牛顿---------莱布尼兹公式 二.牛顿-----莱布尼兹公式 (2) 把定积分与原函数之间 建立起联系 定理 3 .
如果函数 F ( x )是连续函数 f ( x )
b
在区间[a , b]上的一个原函数 , 则 f ( x )dx = F (b ) − F (a )
2 0 若 V = 变量， 则可通过下面的步骤 变量，
（1）分割

积分的定义与基本性质积分是高等数学中的一个重要概念，是微积分的核心内容之一。

积分的定义与基本性质是我们学习微积分的基础，下面我们来详细了解一下。

一、积分的定义积分是微积分中的一种重要概念，它是求解曲线下面的面积、求解函数的平均值、求解图形的重心等问题的工具。

积分的定义可以分为定积分和不定积分两种。

1. 定积分对于一个函数 f(x)，如果其在区间 [a,b] 内的任意一个小区间内都是有界的并且连续的，那么我们就可以在这个区间内求出这个函数的面积。

这时候，我们就可以使用积分的概念来求出该区间内 f(x) 函数的定积分。

具体而言，定积分的定义如下：若函数 f(x) 在区间 [a,b] 内连续，则将 [a,b] 分成 n 个等分，即：a = x0 < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b并令Δ xi = xi+1 - xi，Δ xi 是区间 [xi, xi+1] 的长度。

则若存在一个极限 I，满足当 n 趋近于无穷时，有：I = lim ∑f(xi*) * Δxin → ∞ i = 0其中，xi*是区间 [xi, xi+1] 内任意一点，上式中的极限值 I 就是 f(x) 在区间 [a,b] 内的定积分，可以表示为：∫b∫ f(x) dxa该式意思是对 f(x) 在 [a,b] 区间内的所有小区间的面积求和，得到的总面积就是该函数在该区间内的定积分。

2. 不定积分不定积分也叫原函数或者积分常数，是指函数的某一导函数。

具体而言：若函数 y = F(x) 的导数是 f(x)，则 f(x) 就是 y = F(x) 的不定积分，可以表示为：∫ f(x) dx = F(x) + C其中，C 是任意常数，称为积分常数。

二、积分的基本性质积分有许多基本性质，这些性质在进行积分运算的时候非常实用。

下面，我们来介绍一下积分的基本性质：1. 积分的线性性设 f(x) 和 g(x) 是区间 [a,b] 上的两个连续函数，k 是任意常数，则有：∫ (k f(x) + g(x)) dx = k ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx这条性质表明，积分运算具有线性性，可以将常数提出来进行运算。

一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。

牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。

要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。

被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。

定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。

二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。

在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。

定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。

尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。

例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。

可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。

但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。

在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。

后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。

1 6
1

1 n

2

1 n
,
0 n ，
1 x2dx lim n
0
0 i1

i
2xi

lim
n
1 6

1

1 n

2

1 n


1。 3
证明 设函数f (x)在[0,1]上连续，且取正值，证：
lim n
在每个小区间[ xi1, xi ] 上任取一点i，
y
y f ( x)( 0)
以 [ xi1, xi ]为底，f (i )
f (i )
为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
则曲边梯形面积
n
A f (i )xi
i 1
o a b x x1 x2
xi1 xi
a o
=曲边梯形的面积的负值；
A
bx
b x
y f (x)
3、一般情况下
ab f ( x)dx是介于 函数 f ( x) 图形, x 轴及两条
直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和。 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号。
ab f ( x)dx A1 A2 A3 A4
第一类间断点，则 f ( x)在[a,b]上可积。
定理3 若函数f ( x)在[a,b]上单调有界，则 f ( x)
在[a, b]上可积。
三、定积分的几何意义
1、当 f ( x) 0时,
y
y f (x)
b
a
f
(
x)dx

A

不定积分与定积分的定义
(1)
定积分和不定积分是数学中一类常见的概念，它们都可以用来
估算某个面积以及积分。

不定积分又称为抽象积分，是用来估算某个
积分在某个空间内某个函数的值的方法，而定积分就是在一定的函数
和某个限定区间求这个函数的定积分的过程。

不定积分是用来估算函数在某段时间内所取值的积分，它可以用
来估算面积或者某函数在一定空间内的值。

它通常以d比如dx来表示，这里的d意味着对函数求偏导数，而dx表示求偏导时要将函数中的某
变量恒定，通过求偏导数可以估计函数在这一空间内的积分值。

定积分则是在某个限定区间内求函数的一个积分，它的定义是把
这一段区间分解成多个小的区间，积分的值是将每一小段的值加起来
的总和。

它的计算方法有很多种，比如梯形法、辛普森法、龙贝格法等，不同的计算方法都有适合的应用场景。

总的来说，定积分和不定积分都是一类比较常见的概念，它们都
可以用来估算某函数在某一空间内所取值的积分，不定积分用来估计
某函数在某时间段内平均取什么值，而定积分则是在某区间求这个函
数的定积分值，可以综合使用来估算一个完整的函数面积，从而求出
有意义的面积概念。

今后将经常利用定积分与变量记号无关性 进行推理.
12
定积分的概念与性质
3、定积分的几何意义和物理意义
(1). 几何意义
f ( x) 0,
b
f ( x)dx A
曲边梯形的面积
a
f ( x) 0, b f ( x)dx A 曲边梯形的面积
a
y
的负值
f (x)
A1
a
A2 O
A3
bx
b
a f ( x)dx A1 A2 A3
13
定积分的概念与性质
b f ( x)dx几何意义 a 它是介于x轴、函数 f (x) 的图形及两条
直线 x =a, x = b之间的 各部分面积的代数和.
在 x 轴上方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积
取负号.
y
f (x)


a
O
b
b
a g( x)dx a f ( x)dx 0
于是
b
b
f ( x)dx g( x)dx
a
a
23
定积分的概念与性质
比较下列积分的大小.
(1)
1 x2dx
0
1 x3dx
0

(2) 2 xdx 0

2 sin xdx
0
(3) 0 exdx 1
25
定积分的概念与性质
(估值定理)
性质6 设M和m 分别是函数f ( x)在[a,b]上的
最大值及最小值.
则 m(b a)
b
f ( x)dx M (b a)
a
证 m f (x) M

定积分的基本性质及应用定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和各个学科中都有广泛的应用。

本文将重点介绍定积分的基本性质和在实际问题中的应用，并且通过具体的例子来加深理解。

定义：定积分是对一个函数在闭区间上的加权平均值进行求和的过程。

在数学中，一个函数f(x)在[a, b]上的定积分表示为：∫(a to b) f(x) dx其中，∫代表求和的过程，a和b是积分的上下限，f(x)是被积函数。

基本性质：1. 线性性质：定积分具有线性性质，即对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及任意的实数k，有以下等式成立：∫(a to b) (f(x) + g(x)) dx = ∫(a to b) f(x) dx + ∫(a to b) g(x) dx∫(a to b) k*f(x) dx = k * ∫(a to b) f(x) dx2. 区间可加性：如果一个函数在闭区间[a, b]上有定义，且在其中一个点c上可导，则该函数在[a, b]上的定积分等于该函数在子区间[a, c]和[c, b]上的定积分之和：∫(a to b) f(x) dx = ∫(a to c) f(x) dx + ∫(c to b) f(x) dx3. 积分中值定理：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且在该区间内不恒为0，那么至少存在一个点c，使得：∫(a to b) f(x) dx = f(c) * (b - a)4. 边界性质：对于定积分∫(a to b) f(x) dx，当a等于b时，定积分的值为0。

若a小于b，则定积分的值为正数或负数，具体取决于函数f(x)在[a, b]上的正负性。

5. 非负性质：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且非负，那么定积分的值也是非负的。

应用：定积分在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍两个具体的应用。

1. 几何应用：定积分可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积。

如果一个函数在闭区间[a, b]上非负，那么该函数与x轴围成的曲边梯形的面积可以通过定积分来计算：面积= ∫(a to b) f(x) dx同样的，若函数f(x)在闭区间[a, b]上非正，那么面积可以表示为定积分的绝对值。

第五章定积分Chapter 5 Definite Integrals5.1 定积分的概念和性质( Concept of Definite Integral and its Properties )一、定积分问题举例( Examples of Definite Integral )设在y = f x区间[a,b 1上非负、连续，由x = a , x=b , y =0以及曲线y二f x所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。

Let f x be continuous and nonnegative on the closed interval 〔a,bL Then the region bounded bythe graph of f x , the x -axis, the vertical lines x 二a, and x = b is called the trapezoid with curved edge.黎曼和的定义(Definition of Riemann Sum)设f x是定义在闭区间l.a,b 1上的函数，厶是l.a,b 1的任意一个分割，a=冷：：：X i ：：： | || :::人」：：：x n = b，其中Ax是第i个小区间的长度，G是第i个小区间的任意一点，那么和nZ f (Cj)A x，x iJL^c 兰洛i V称为黎曼和。

Let f x be defined on the closed interval !a,b l, and let : be an arbitrary partition of l.a,b I,a =怡：％III ex*」vx n =b, where A x is the width of the i th subinterval. If c i is any point in the i th sub in terval, the n the sumnJ f ( c H x i ，x i —x i ,i TIs called a Riema nn sum for the partiti on二、定积分的定义( Definition of Definite Integral )定义定积分(Definite Integral)设函数f x在区间！a,b丨上有界，在〔a,b丨中任意插入若干个分点a =怡：::为：：：川：:：人4 ::: X n =b，把区间'a,b 1 分成n个小区间：仪0必1, I.x1,x2 1JH, l-x n4,x n],各个小区间的长度依次为二咅=%-乂0，二屜=灭2-為，…，^X n^Xn-xn/。

定积分定义确定积分区间
定积分是对一个函数在一个给定区间上的面积进行求解。

而确定积分区间就是在定积分中确定函数积分的区间范围。

在定积分中，积分区间是通过指定下限和上限来确定的。

下限通常用字母a表示，上限通常用字母b表示。

积分区间的形式可以表示为[a, b]，表示从a到b的闭区间上对函数进行积分。

在这个区间内，函数的值会被连续地累加或减少，以计算出函数下方的面积。

举例来说，如果我们要计算函数f(x) = x^2在区间[1, 3]上的定积分，那么积分区间就是[1, 3]。

这意味着我们要计算函数在x 从1到3的范围内下方的面积。

需要注意的是，确定积分区间时，下限a必须小于上限b。

否则，积分区间将无效。

03
定积分的应用
面积计算
平面面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，例如矩形、圆形、三角形等。通过选取 适当的积分变量和积分区间，可以将面积表示为函数与积分区间的乘积，进而 求出面积。
曲面面积
定积分也可以用来计算曲面面积，例如球面、锥面等。通过选取适当的参数和 积分变量，可以将曲面面积表示为函数与积分区间的乘积，进而求出面积。
定积分的性质
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指对于两个函数的和或差的积分，可以分别对每个函数进行 积分后再求和或求差。
详细描述
定积分的线性性质是定积分的一个重要性质，它表明对于任意两个函数f和g，以 及常数a和b，有∫(a×f+b×g) dx = a×∫f dx + b×∫g dx。这个性质在计算定积 分时非常有用，特别是当被积函数难以直接积分时，可以通过拆分被积函数来简 化计算。
函数可加性与积分可加性
总结词
函数可加性与积分可加性是指对于任意 两个区间[a, b]和[c, d]，若函数f在每个 区间上可加（即可以表示为两个非负函 数的差），则∫(f) dx在[a, b]和[c, d]上的 积分值之差等于∫(f) dx在[a, c]上的积分 值与∫(f) dx在[c, d]上的积分值之差。
体积计算
旋转体体积
定积分可以用来计算旋转体的体积，例如圆 柱、圆锥、球等。通过选取适当的积分变量 和积分区间，可以将旋转体的体积表示为函 数与积分区间的乘积，进而求出体积。
曲顶柱体体积
定积分也可以用来计算曲顶柱体的体积，例 如圆环、椭圆环等。通过选取适当的积分变 量和积分区间，可以将曲顶柱体的体积表示 为函数与积分区间的乘积，进而分法是通过引入新的变量替换原变量，将复杂的 积分转换为更易于计算的积分。

f ( x) 在 [a, b] 上的平均值．
例如曲边梯形的平均高度、变速直线运动物体的平均速度等．
例1 解
设函数 f ( x) = x 2 在区间 [0, 1] 上可积，求 ∫ x 2 dx 的值．
0
1
将区间 [0, 1] 等分为 n 份，分点为 = xk
k = (k 0,1, , n) ． n
2
y = f ( x) ，直线 x = a 和 x = b ，以及 x 轴所围成的曲边梯形面积的相反数 − A （见图1），
即
∫
y
a
b a
f ( x)dx = − A ．
y
b
x
O
y = f ( x)
a
A
O
A2
A1
b
y = f ( x)
A3
A3
x
图1
图2
若 y = f ( x) 在 [ a, b] 上连续，且既取正值又取负值时（见图2），此时
∫
b a
f ( x)dx 的值就是由连续曲线
y = f ( x) ，直线 x = a 和 x = b ，以及 x 轴所围成的曲边梯形的面积 A ，即
∫
b a
f ( x ) dx = A ．
若 y = f ( x) 在 [a, b] 上连续且非正，即 f ( x) ≤ 0 ，此时
∫
b a
f ( x)dx 的值就是由连续曲线
S = ∫ v(t )dt ．
a
b
变力做的功是 F ( x) 在区间 [a, b] 上的定积 物体在变力 F ( x) 的作用下从点 a 运动到点 b ， 分，即
W = ∫ F ( x)dx ．
a b

n n
n
n
事实上, 许多问题都可以归结为 求这种特定形式 和的极限.一般地, 我们有 如果函数f x 在区间a, b上连续, 用分点 a x 0 x1 x i1 x i x n b 将区间a, b等分成n个小区间, 在每个小区间 xi1, xi 上任取一点ξI i 1,2, ,n, 作和式 n n ba f ξ i Δx f ξ i ,当n 时, 上述和式无 n i1 i1 当函数 f x 在区间a, b上连续时 , 这里的定义与
1.5.3 定积分的概念
从曲边梯形面积以及求 变速直线运动路程 的过程可以发现 ,它们都可以通过 " 四步曲" : 分割、近似代替、求和 、取极限得到解决， 且都可以归结为求一个 特定形式和的极限: 曲边梯形面积
1 S lim f ξ i Δx lim f ξ i ; Δx 0 n i1 i1 n 变速运动的路程 1 S lim v ξ i Δt lim v ξ i . Δt 0 n i1 i1 n
n
1 a kf x dx k a f x dx k为常数 ;
b b
2 a f1x f2 xdx a f1xdx a f2 xdx ;
b b b
3 a f xdx a f xdx c f xdx 其中a c b.
2 1 1 2 1 1 1 2 3 n n 1 4 i 1 . 4 n 4 n i1 4 n n 1 2 2 3 3 3 3 i 1 2 n n n 1 . 4 i 1 2 1 1 1 1 3 3取极限 0 x dx n lim Sn lim 1 . n 4 4 n 由定积分的定义 , 可以得到定积分的如下 性质 :

定积分的定义和几何意义好的，以下是为您创作的一篇关于“定积分的定义和几何意义”的科普文章：当我们在数学的奇妙世界中探索时，定积分就像是一位神秘而又重要的嘉宾。

别担心，让我们一起轻松揭开它那看似复杂的面纱。

想象一下，你正在参加一场有趣的跑步比赛。

赛道被分成了很多小段，每一小段的长度可能不太一样。

你在每一小段上跑的速度也有所不同。

现在，我们想要知道你在整个赛道上跑的总距离，这该怎么算呢？这其实就有点像定积分的概念。

定积分呢，简单来说，就是把一个区间分成很多很多小的部分，然后对每个小部分进行某种计算，最后把所有的结果加起来。

从更严谨的角度来看，定积分的定义是这样的：如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，我们将区间 [a, b] 分割成 n 个小区间，每个小区间的长度为Δx_i ，在每个小区间内任取一点ξ_i ，然后计算f(ξ_i)Δx_i ，最后把这 n 个乘积相加，当分割越来越细，也就是最大的Δx_i 趋近于 0 时，这个和的极限就叫做函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分，记作∫(a 到 b) f(x)dx 。

那定积分的几何意义又是什么呢？这就更有趣啦！如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上非负，那么定积分∫(a 到 b) f(x)dx 就表示由曲线 y = f(x)、直线 x = a、x = b 以及 x 轴所围成的曲边梯形的面积。

比如说，一个向上凸的抛物线和 x 轴在一定区间内围成的部分，它的面积就可以通过定积分来计算。

在实际生活中，定积分的应用那可真是无处不在。

假设你是一位工程师，要设计一个水坝。

为了知道水坝能承受的水的压力，就需要用到定积分。

因为水的压力是随着深度变化的，越深处压力越大。

通过定积分，就能精确计算出不同深度的压力对水坝的总作用效果。

再比如，在经济领域，要计算某个时间段内的总产量或者总成本。

如果产量或者成本与时间的关系是一个连续的函数，那么定积分就能大显身手，帮助我们准确算出总的量。