平面向量的线性运算及练习

For personal use only in study andresearch; not for commercial use平面向量的线性运算学习过程知识点一：向量的加法（1）定义已知非零向量,a b r r ，在平面内任取一点A ，作＝a r ，BC ＝b r ，则向量AC叫做a r 与b r 的和，记作a b +r r ，即a b +r r ＝＋＝．求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量.②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定．③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．（2）向量加法的平行四边形法则以点O 为起点作向量= ，OB b =uu u r r，以OA,OB为邻边作OACB Y ，则以O 为起点的对角线所在向量OCuuu r就是,a b r r 的和，记作a b +r r =OC uuu r。

说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=r r r r r r ，（3）特殊位置关系的两向量的和 ①当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； ②当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||， ③当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.（4）向量加法的运算律①向量加法的交换律：+=+②向量加法的结合律：(+) +=+ (+)知识点二：向量的减法（1）相反向量：与a r 长度相同、方向相反的向量.记作 ?a r。

（2）①向量a r 和-a r 互为相反向量，即 –(-a r).②零向量的相反向量仍是零向量．③任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a r ＋(-a r )＝(-a r )＋a r ＝0r．④如果向量,a b r r 互为相反向量，那么a r ＝-b r ，b r ＝-a r ，a r ＋b r ＝0r ．（3）向量减法的定义：向量 a r 加上的 b r 相反向量，叫做 a r 与b r的差.即： a r ? b r = a r + (? b r) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.（4）向量减法的几何作法在平面内任取一点O ，作,O A a O B b ==u u r r u u u r r ，则B A a b =-uu r r r ．即a b -r r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点的向量，这就是向量减法的几何意义． 说明：①表示a b -r r.强调：差向量“箭头”指向被减数②用“相反向量”定义法作差向量，a r ? b r = a r + (? b r)， 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.知识点三：向量数乘的定义 （1）定义：一般地，我们规定实数λ与向量a r的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa r，它的长度与方向规定如下： ⑴|λa r |＝|λ||a r| ⑵当0λ>时，λa r 的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，λa r 的方向与a r的方向相反． 当0λ=时，λa r ＝0r（2） 向量数乘的运算律根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律：设λ、μ知识点四：向量共线的条件向量a r (a r ≠0r )与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b r ＝λa r．学习结论（1）两个向量的和仍然是向量，它的大小和方向可以由三角形法则和平行四边形法则确定，这两种法则本质上是一致的．共线向量加法的几何意义，为共线向量首尾相连接，第一个向量的起点与第二个向量的终点连接所得到的有向线段所表示的向量． （2）a b -r r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r的终点的向量（3）实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘．向量数乘的几何意义就是几个相等向量相加． （4）向量a r (a r ≠0r )与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b r ＝λa r。

练习 例1．已知任意两个非零向量,a b r r ，作,2,3OA a b OB a b OC a b =+=+=+u u r r r u u u r r r u u u r r r，试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系． 解：∵ AB uu u r＝－＝a+2b －(a+b)＝b ， 且 AC uuu r＝－＝a+3b －(a+b)＝2 b ， ∴ AC uuu r ＝2AB uu u r ．所以，A 、B 、C 三点共线．例2.如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB uu u r ＝a r ，AD uuu r ＝b r ，试用a r ，b r 表示向量,,,MA MB MC MD u u u r u u u r u u u r u u u r ． 解析：AM MC =uuu r uuu r =1()2a b +r r ，所以1()2MA a b =-+uuu r r r ,DM MB =uuu u r uuu r MA AB =+uuu r uu u r 1()2a b =-r r 所以1()2MD b a =-uuu r r r 例3.一艘船从长江南岸A 点出发以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的流速为向东2 km/h ．⑴试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；⑵求船实际航行速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到度). 分析：速度是一个既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示，速度的合成也就是向量的加法.解析：⑴如图，设AD 表示船向垂直于对岸行驶的速度，AB 表示水流的速度，以AD 、AB 作邻边作平行四边形ABCD ，则就是船实际航行的速度.⑵在Rt △ABC 中，|AB |＝2，||＝5，∴ |AC | 5.4==≈∵ tan ∠CAB ＝52，∴ 68CAB ∠≈︒ 答：船实际航行速度的大小约为 5.4 km/h ，方向与水的流速间的夹角为约为68°.1.(2006上海理)如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）（A ）→--AB ＝→--DC ； （B ）→--AD ＋→--AB ＝→--AC ；（C ）→--AB －→--AD ＝→--BD ； （D ）→--AD ＋→--CB ＝→0． 2．（2007湖南文）若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）A ．EF OF OE =+ B. EF OF OE =-C. EF OF OE =-+D. EF OF OE =--3．（2003辽宁）已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则=（ ）A ．)1,0(),(∈+λλB ．)22,0(),(∈+λλ C ．)1,0(),(∈-λλAD AB D ．)22,0(),(∈-λλBC AB 4.(2008辽宁理)已知O ，A ，B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=,则OC =（ ）A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+ 5．（2003江苏；天津文、理）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P AB AC λλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的( )（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心6．（2005全国卷Ⅱ理、文）已知点(3,1)A ，(0,0)B ，C ．设BAC ∠的平分线AE与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=，其中λ等于( )（A ）２ （B ）12 （C ）－３ （D ）－137．设,是两个不共线的非零向量，若向量k 2+与k +8的方向相反，则k=__________.8.（2007江西理）．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ． 9．（2005全国卷Ⅰ理）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m =10.（2007陕西文、理）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30＝1，＝22.若OC ＝μλμλμλ+∈+则R),,(OB OA 的值为 .A B CD例1. B ． 例2．Ａ． 例3．B.（三）基础训练：1. C ； 2．B. 3．A ． 4. A ． 5．B 6．C ； 7．_—4__；8. 2 ．9． 1 ；10. 62.（四）拓展与探究：11、D ．； 12. (,0)-∞，13(,)22. 平面向量的线性运算（复习课）复习目标：• 1、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义.• 2、掌握向量数乘运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义.• 3、了解向量的线性运算性质及其几何意义.重点:向量加、减、数乘运算及其几何意义.难点:应用向量线性运算的定义、性质灵活解决相应的问题.一、学案导学 自主建构复习1:向量的加法 复习2:向量的减法已知向量a 和向量b ,作向量a +b . 已知向量a 和向量b ,作向量a -b .复习3：向量的数乘 复习4：平面向量共线定理已知向量 a ,作向量3a 和-3a .二、合作共享 交流提升1、填空： ------ ----- --------2、判断题：（1）相反向量就是方向相反的向量（2） （3）AB OA OB =-（4） 在△ABC 中，必有0AB BC CA ++=（5）若0AB BC CA ++=，则A 、B 、C 三点必是一个三角形的三个顶点。

三、案例剖析 总结规律例1:根据条件判断下列四边形的形状例2、如图，在 OAB ∆ 中,延长BA 到C,使AC=BA,在OB 上取点D,使BD=OB.DC 与OA 交于E,设OA a OB b ==，，请用 a b OC DC ，表示向量，.例3、设?ABCD 一边AB 的四等分点中最靠近B 的一点为E ，对角线BD 的五等分点中靠近B 的一点为F ，求证：E 、F 、C 三点在一条直线上．四、反馈矫正 形成能力跟踪训练：(1)AD CA +=(2)AB CB DC --=(3)AB AC BD CD -+-=0AB BA +=1、有一边长为１的正方形ABCD ，设,BC b AC c ==求：()1a b c ++ ()2a b c +- ()3a b c -+2、已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是△ABC 内的一点，若OA OB OC ++ = 0，则O 是△ABC 的——————（填内心、重心、垂心、外心等）.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。