绝密★启用前
数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
注意事项:注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.设集合22
(,)14y A x y x ????=+=??????,1(,)4x B x y y ??????==?? ???????
,则A B 的子集的个数是 A .4 B .3 C .2 D .1
2.函数()x
x x f 2log 1
2-=的定义域为
A .()+∞,0
B .()+∞,1
C .()1,0
D .()()+∞,11,0
3.下列有关命题的说法正确的是
A .命题“若x 2
=1,则x =1”的否命题为“若x 2
=1,则x≠1” B .“x=-1”是“x 2
-5x -6=0”的必要不充分条件
C .命题“?x∈R,使得x 2
+x -1<0”的否定是“?x∈R,均有x 2
+x -1>0” D .命题“若x =y ,则sinx =siny”的逆否命题为真命题
4.埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇迹之一,其中较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿,还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍,得到的商为3.14159,这就是圆周率较为精确的近似值.金字塔底部形为正方形,整个塔形为正四棱锥,经古代能工巧匠建设完成后,底座边长大约230米.因年久风化,顶端剥落10米,则胡夫金字塔现高大约为 A .128.5米
B .132.5米
C .136.5米
D .110.5米
5.下列函数,在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是
A .1
ln
||
y x =
B .()ln(1)ln(1)f x x x =--+
C .e e ()2
x x
f x -+=
D .e 1
()e 1
x x f x -=+
6.设函数f(x)=log 3x +2
x -a 在区间(1,2)内有零点,则实数a 的取值范围是
A .(-1,-log 32)
B .(0,log 32)
C .(log 32,1)
D .(1,log 34)
7.已知函数(),1log ,1x a
a x f x x x ?≤=?>?(1a >且1a ≠),若()12f =,则
12f f ?
???= ? ?????
A .1-
B .12
-
C .
12
D .2
8.函数)
1(1
)(-+=x x e x e x f 的图像大致为
ABCD
9.若x x f 2)(=的反函数为)(1
x f
-,且4)()(1
1
=+--b f
a f
,则
b
a 1
1+的最小值是 A .1
B .
21C .31D .4
1 10.设0.51()2
a =,0.50.3
b =,0.3log 0.2
c =,则a b c 、、的大小关系是 A .a b c >>B .a b c < 11.已知定义在(0,+∞)上的函数)(x f 满足0)()('<-x f x xf ,且2)2(=f ,则0)(>-x x e e f 的 解集是 A .)2ln ,(-∞ B .),2(ln +∞ C .),0(2e D .),(2+∞e 12.已知函数1,0,()ln 1.0. x x f x x x ?+≤=? +>?若方程()()f x m m =∈R 恰有三个不同的实数解 ..a b c ()a b c <<,则()a b c +的取值范围是 A.]2 5,2[ B.22,e ??-- ???? C.]2 5,2( D.)2 5,2( 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.共20分, 13.若函数()f x 称为“准奇函数”,则必存在常数a ,b ,使得对定义域的任意x 值,均有 ()(2)2f x f a x b +-=,已知1 )(-= x x x f 为准奇函数”,则a +b =_________. 14.若函数32 ()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减,则实数t 的取值范围是________; 15.已知函数)(x f 的值域为[][]0,4(2,2)x ∈-,函数()1,[2,2]g x ax x =-∈-, 1[2,2]x ?∈-,总0[2,2]x ?∈-,使得01()()g x f x =成立,则实数a 的取值范围为 ________________. 16.定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=,且()()4f x f x -=, 现有以下三种叙述:①8是函数()f x 的一个周期;②()f x 的图象关于直线2x =对称; ③()f x 是偶函数. 其中正确的序号是 . 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个 试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分) 17.(本小题满分12分) 已知幂函数()2 4-=m m f x x (实数m Z ∈)的图像关于y 轴对称,且()()23f f >. (1)求m 的值及函数()f x 的解析式; (2)若()()212+<-f a f a ,求实数a 的取值范围. 18.(本题满分12分) 已知函数2 1(0)()21(1)x c cx x c f x c x -+<?=??+ ≤满足2 9()8f c =. (1)求常数c 的值; (2) 解不等式()18 f x > +. 19.(本小题满分12分) 已知函数1 1log )(2 -+=x ax x f (a 为常数)是奇函数. (1)求a 的值与函数f(x)的定义域. (2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log 2(x-1)>m 恒成立.求实数m 的取值范围. 20.(本小题满分12分) 已知函数2 2 )1()22()(x a e ax x x f x ?-+?+-=. (1)求曲线)(x f y =在(0,2)处的切线方程; (2)若3 2 = a ,证明:2)(≥x f . 21.(本小题满分12分) 已知函数ax x x a x f ++ -=2 22 1ln 2)()(R a ∈. (1)讨论函数)(x f 的单调性; (2)当0 (二)选考题:共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做.则按所做的第一题记分。 22.[选修4-4:坐标系与参数方程] 心形线是由一个圆上的一个定点,当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动 时,这个定点的轨迹,因其形状像心形而得名在极坐标系Ox 中,方程ρ=a(1-sinθ)(a>0)表示的曲线C 1就是一条心形线,如图,以极轴Ox 所在的直线为x 轴,极点O 为坐标原点的直角坐 标系xOy 中,已知曲线C 2 的参数方程为13x y t ?=+? ?=+?? (t 为参数)。 (1)求曲线C 2的极坐标方程; (2)若曲线C 1与C 2相交于A 、O 、B 三点,求线段AB 的长。 23.[选修4-5:不等式选讲] 已知函数()|31||33|f x x x =-++. (1)求不等式()10f x ≥的解集; (2)正数,a b 满足2a b += ≥ 银川一中2021届高三第一次月考数学(理科)参考答案 一、选择题:只有一项符合题目要求(共12小题,每小题5分,共60分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D D C D C C C B C A B 13.214.51 [ ,)8+∞15、55,,22? ??? -∞-+∞ ?? ?? ??? 16、①②③ 三、解答题: 17.(1)由题意,函数()2 4-=m m f x x (实数m Z ∈)的图像关于y 轴对称,且()()23f f >, 所以在区间(0,)+∞为单调递减函数,所以240m m -<,解得04m <<,又由m Z ∈,且函数()2 4-=m m f x x (实数m Z ∈)的图像关于y 轴对称,所以24m m -为偶数,所以2m =,所以 ()4f x x -=. (2)因为函数()4 f x x -=图象关于y 轴对称,且在区间(0,)+∞为单调递减函数,所以不等式 ()()212+<-f a f a ,等价于122a a -<+且120,20a a -≠+≠,解得11 32 a - <<或1 32 a <<, 所以实数a 的取值范围是111 (,) (,3)322 -. 18.(1)因为01c <<,所以2 c c <;由2 9()8f c = ,即3 918c +=,∴12 c = (2)由(1)得411122()211x x x f x x -?? ?+0<< ???? ?=?1???+< ??2??? ,,≤,由2()1f x >+得, 当1 02 x <<时,解得2142x <<; 当 112x <≤时,解得15 28 x <≤ 所以2()18f x > +的解集为2548x x ???? <????? 19.(1)因为函数f(x)=log 2是奇函数, 所以f(-x)=-f(x),所以log 2=-log 2 , 即log 2 =log 2 , 所以a=1,令>0,解得x<-1或x>1, 所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}. (2)f(x)+log 2(x-1)=log 2(1+x), 当x>1时,所以x+1>2,所以log 2(1+x)>log 22=1. 因为x∈(1,+∞),f(x)+log 2(x-1)>m 恒成立,所以m≤1,所以m 的取值范围是 (-∞,1]. 20.(1)因为()()2[2(1)]e 21x f x a x ax a x '=-+?+-,所以()00f '=, 由导数的几何意义可知:曲线()y f x =在()0,2处的切线斜率0k =, 曲线()y f x =在()0,2处的切线方程()200y x -=?-,即2y =. (2)若23a = ,则()222122e 33x f x x x x ? ?=-+?+ ?? ?, 由(1)可知,()22 222e (1)e 13 333x x f x x x x x x ??'??=-+?+=-?+ ?????, 设函数()(1)e 1x g x x =-?+,则()e x g x x '=?, 当(),0x ∈-∞时,()0g x '<,则()g x 在(),0-∞单调递减; 当()0,x ∈+∞时,()0g x '>,则()g x 在()0,+∞单调递增, 故()()00g x g ≥=,又()()2 3 f x x g x '= ?, 故当(),0x ∈-∞时,()0f x '<,则()f x 在(),0-∞单调递减; 当()0,x ∈+∞时,()0f x '>,则()f x 在()0,+∞单调递增, 故()()02f x f ≥=. 21.解:函数)(x f 的定义域为),0(+∞, (Ⅰ)x a x a x x a ax x x f ) )(2(2)(22-+= -+=', (1)当0=a 时,0)(>='x x f ,所以)(x f 在定义域为),0(+∞上单调递增; (2)当0>a 时,令0)(='x f ,得a x 21-=(舍去),a x =2, 当x 变化时,)(x f ',)(x f 的变化情况如下: 此时,)(x f 在区间),0(a 单调递减, 在区间),(+∞a 上单调递增;