2014 概率论与数理统计 工科 期末考试(参考答案)

2012年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(每题5分, 共30分)1. 设随机变量X 服从正态分布(1,4)N , 已知(1)a Φ=, 其中()x Φ表示标准正态分布的分布函数, 则{13}P X -≤≤=21a -.解: 111311{13}11(1)(1)2222(1)(1(1))2(1)12 1.X X P X P P a -----⎧⎫⎧⎫-≤≤=≤≤=-≤≤=Φ-Φ-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Φ--Φ=Φ-=- 2. 设概率()0.3,()0.5,()0.6P A P B P A B ==+=, 则()P AB = 0.1 . 解: ()()()()0.2P AB P A P B P A B =+-+=,()()()0.30.20.1P AB P A P AB =-=-=.3. 设随机变量,X Y 的数学期望分布是-2, 1, 方差分别是1, 4, 两者相关系数是—0.5, 则由契比雪夫不等式估计(|2|6)P X Y +≥≤ 13/36 . 解: 由已知条件得, (2)2220E X Y EX EY +=+=-+=,(2)4()2(,2)4()4(,)D X Y DX D Y Cov X Y DX D Y Cov X Y +=++=++4()41164(1/2)213DX D Y ρ=++=++⋅-⋅=, 所以, 13(|2|6)36P X Y +≥≤. 4. 已知,X Y 是具有相同分布的两个独立随机变量, 且1(1)(1)2P X P Y =-==-=, 1(0)(0)2P X P Y ====, 则()P X Y == 1/2 . 解:()(0,0)(1,1)1(0)(0)(1)(1).2P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ====+=-=-===+=-=-=5. 设1216,,,X X X 是来自2(0,)N σ的样本, S 是样本均方差, 则1614ii XS=∑服从t (15).解: 由定理3(15)t ,161611(15)4i ii X X X t S ===∑∑.6. 设1281,,,(,9)X X X N μ, 要检验假设0:0H μ=, 则当0H 为真时, 用于检验的统计量3X 服从的分布是(0,1)N . 解: 由定理1(0,1)X N , 3(0,1)X N .二. 解答下列各题:7. (10分)已知男人中色盲人数所占比例是5%, 女人中色盲人数所占比例是0.25%. 现从男女人数各占一半的人群中随机选取一人, 求该人恰是色盲者的概率.解: 设A =“该人是色盲”, 1A =“该人是男人”, 2A =“该人是女人”.由全概率公式知, 2111()()()0.050.0025 2.625%22i i i P A P A P A A ===⨯+⨯=∑.8. (10分) 从只含3红, 4白两种颜色的球袋中逐次取一球, 令1,,0,i X ⎧=⎨⎩第次取出球第次取出白球，i 红i 1,2i =. 实在不放回模式下求12,X X 的联合分布律,4/7 3/7 j P因为1212{0,0}{0}{0}P X X P X P X ==≠==, 所以12,X X 不独立. 9. (10分)设随机向量(,)X Y 的联合概率密度函数为3,01,,(,)20,xx x y x f x y ⎧<<-<<⎪=⎨⎪⎩其他，求,X Y 的边缘概率密度函数. 解: 当01x <<时, 23()(,)32xX x xf x f x y dy dy x +∞-∞-===⎰⎰.所以,23,01,()0,.其他X x x f x ⎧<<=⎨⎩当10y -<<时, 1233()(1)24Y y x f y dx y -==-⎰;当01y ≤<时, 1233()(1)24Y y x f y dx y ==-⎰; 所以,23(1),11,()40,.其他Y y y f y ⎧--<<⎪=⎨⎪⎩10. (10分) 设,X Y 相互独立, 且(1)(1)0P X P Y p ====>, (0)(0)10P X P Y p ====->,令1,0,X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩当为偶数,当为奇数,求Z 的分布律.解:{0}{0,1}{1,0}{0}{1}{1}{0}2(1)P Z P X Y P X Y P X P Y P X P Y p p ====+=====+===- 22{1}{0,0}{1,1}{0}{0}{1}{1}(1).P Z P X Y P X Y P X P Y P X P Y p p ====+=====+===+- 所以, Z11. (10分12,,X 是来自具有分布的总体的随机样本,试用中心极限定理计算()5P X >.(已知(2)0.508Φ=.)解: 由题知1()3i E X =,2()1i E X =,故()228()9i i i D X EX EX =-=. 由中心极限定理知,20012001600(,)39ii X N =∑. 所以, 11111()4014052005n i n n i i i i i X P X P P X P X ===⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪>=>=>=-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭∑∑∑1200200403311(2)(2)0.508404033n i i X P =⎛⎫-- ⎪ ⎪=-≤≈-Φ-=Φ= ⎪ ⎪⎝⎭∑. 12. (10分)设总体X 的密度函数为36(),0,(;)0,其他,xx x f x θθθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩求θ的矩估计ˆθ并计算ˆD θ.解: 依题意,306()()2xE X xx dx X θθθθ=-==⎰,得参数θ的矩估计量为ˆ2X θ=. 4ˆ4D DX DX n θ==. 而2223063()()10x E X x x dx θθθθ=-=⎰,故22244ˆ()5D DX EX E X n n n θθ==-=.13. (10分) 某电器零件平均电阻一直保持在2.64Ω,使用新工艺后,测得100个零件平均电阻在2.62Ω,如改变工艺前后电阻均方差保持在0.06Ω,问新工艺对零件电阻有无显著影响?(取0.01α=)(1.96)0.975,Φ=(1.64)0.95,Φ=(2.58)0.995Φ=. 解: 设X 为零件的平均电阻, 则2~(,0.06)X N μ. (1)假设0: 2.64H μ=; (2)取统计量~(0,1)X U N=;(3)由0.01α=, 确定临界值22.58u α=, , 使得2{||}0.01P U u α>=;(4)由样本值 2.62x =, 得统计量U 的观察值3.33x u ==≈-.(5)因为 2.58u >,所以拒绝原假设0H ,认为新工艺对零件电阻有显著影响.2013年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(每题4分, 共20分)1. 设随机变量,X Y 相互独立, 且同分布, {1}{1}0.5P X P X =-===,{1}{1}0.5P Y P Y =-===, 则{}P X Y == 1/2 .解: 1{}{1,1}{1,1}{1}{1}{1}{1}.2P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ===-=-+====-=-+===2.22x edx +∞-=⎰2. 解:因为221x +∞--∞=⎰,所以22xe +∞--∞=⎰即2202x e +∞-=⎰. 3. 设连续型随机变量X的密度函数22()2()x f x μσ--=, x -∞<<+∞, 则EX =μ, DX =2σ. 解:因为22()2()x X f x μσ--=, 所以2(,)X N μσ.4. 设总体(3,10)XN , 12100,,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本, 则10011100i i X X ==∑1~(3,)10X N . 解: 由定理1知, 1~(3,)10X N . 5. 设袋中有8个红球, 2个黑球, 每次从袋中摸取一个球并且不放回, 那么第一次与第三次都摸到红球的概率是 28/45 . 解: 记i A =“第i 次摸到红球”, 1,2,3i =.13131223123123()()(())()P A A P A A P A A A A P A A A A A A =Ω=+=+123123121312121312()()()()()()()()P A A A P A A A P A P A A P A A A P A P A A P A A A =+=+876827281098109845=⨯⨯+⨯⨯=. 二. 解答题6. (12分) 某矿内有甲乙两个报警系统, 单独使用时甲的有效性为0.92, 乙为0.93, 且在甲失灵的条件下乙有效的概率为0.85, 求意外发生时, 甲乙至少有一个有效的概率, 以及乙失灵时甲有效的概率. 参考练习册反12第4题. 解: 设A =“甲有效”, B =“乙有效”.题目转为: 已知()0.92,()0.93P A P B ==, {}0.85P B A =, 求()P A B +和{}P A B . 因为()()()(){}0.851()1()()P BA P B A P B P AB P B A P A P A P A --====--, 所以, ()0.862P AB =.所以, ()()()()0.988P A B P A P B P AB +=+-=;()()()()0.920.862{}0.831()1()10.93()P AB P A B P A P AB P A B P B P B P B ---====≈---. 7. (12分)设连续型随机变量X 的分布函数为()arctan ()F x a b x x =+-∞<<+∞, 求常数,a b 以及随机变量X 的密度函数. 解: 根据分布函数的性质得()1,2()0,2b F a b F a ππ⎧+∞=+=⎪⎪⎨⎪-∞=-=⎪⎩ 所以1,21.a b π⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩X 的密度函数为21()(1)f x x π=+.8. (14分) 设某种类型人造卫星的寿命X (单位: 年)的密度函数为21,0,()20,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩若2颗这样的卫星同时升空投入使用, 试求:(1) 3年后这2颗卫星都正常运行的概率;(2) 3年后至少有1颗卫星正常运行的概率. 参考教材P37例3 解: 1颗卫星3年内正常运行的概率为32231{3}2x P X e dx e +∞--≥==⎰. 记Y 表示2颗卫星在3年内正常运行的颗数, 则32(2,)Y B e -.(1) 3年后这2颗卫星都正常运行的概率2332{2}P Y e e --⎛⎫=== ⎪⎝⎭;(2) 3年后至少有1颗卫星正常运行的概率232{1}1{0}11P Y P Y e -⎛⎫≥=-≥=-- ⎪⎝⎭.9. (14分) 设某高校英语考试成绩近似服从均值为72的正态分布, 96分以上的考生占总数的2.3%(已知满分为100, 合格线为60), 试求: (1) 考生成绩在60-84之间的概率;(2) 该校考生的合格率.((2)0.977,(1)0.8413)Φ=Φ= 解: 设某高校英语考试成绩为X , 则2(72,)XN σ.由题意知{96}0.023P X ≥=, 即7296720.023X P σσ--⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭, 所以241()0.023σ-Φ=, 即24()0.977(2)σΦ==Φ.因此, 12σ=.(1) 考生成绩在60-84之间的概率6072728472{6084}(1)(1)2(1)10.6826;121212X P X P ---⎧⎫≤≤=≤≤=Φ-Φ-=Φ-=⎨⎬⎩⎭(2) 合格率726072{60}1(1)(1)0.8413.1212X P X P --⎧⎫≥=≥=-Φ-=Φ=⎨⎬⎩⎭10. (14分) 一工厂生产的某种电池的寿命服从正态分布(25,100)N , 现在从这种电池中随机抽取16个, 测得平均寿命为23.8小时, 由此能否断定: 在显著性水平为0.05α=时, 该种电池的平均寿命小于25小时. ((1.96)0.975,(1.64)0.95)Φ=Φ= 解: 设X 为电池寿命, 则~(,100)X N μ.(1)假设00:25H μμ≥=; (2)取统计量~(0,1)X U N=;(3) 由0.05α=, 确定临界值 1.64u α-=-, 使得{}0.05P U u α<-=; (4)由样本均值23.8x =, 得统计量U 的观察值00.48u ===-.(5)因为00.48 1.64u =->-,此时没有充分理由说明小概率事件{ 1.64}u <-一定发生. 所以接受原假设0H , 认为这种电池的平均寿命不小于25小时. 注: 原假设不能设为00:25H μμ<=,此时μ取不到0μ,统计量X U =就没有意义了!11. (14分)设总体X 是离散型随机变量, 其所有可能的取值为0, 1, 2, 已知2(1)EX θ=-, 2{2}(1)P X θ==-, θ为参数. 对X 取容量为10的样本如下 1, 1, 0, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 2.求参数θ的矩估计和极大似然估计.解:(1) 由2(1)X θ=-, 得θ的矩估计量为12Xθ=-; 结合 1.1x =, θ的矩估计值为10.452x θ=-=.(2) 构造似然函数为11912101210(){1,1,,2}{1}{1}{2}32(1)L P X X X P X P X P X θθθ=========-,取对数ln ()ln3211ln(1)9ln L θθθ=+-+,求导数(ln ())11901d L d θθθθ=-+=-, 得θ的极大似然估计值为920θ=.2014年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(共40分, 每空5分)1. 设~(,)X B n p , ~(,)Y B m p , 且X 与Y 独立, 则X Y +~(),(p m n B +)分布;2. 设2~(,)X N μσ, 则X 的密度函数()f x =(222)(21σμσπ--x e);3. 设总体X 的方差为2σ, 12,,,n X X X 为样本, X 为样本均值, 则期望211()n i i E X X n =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑(21σn n -); 4. 设12,,,n X X X 为样本, 则统计量211n i i X n =∑的名称为(样本2阶原点矩);5. 设总体~(,1)X N μ, 12,,,n X X X 为来自该总体的样本, 则21()ni i X μ=-∑服从()(2n χ)分布;6. 一批产品中有5个正品, 3个次品, 从中任取2个, 恰有1个次品, 1个正品的概率为(2815281315=C C C );7. 样本的特性是(独立、同分布且与总体分布相同);8. 在假设检验中, 可能犯两类错误. 其中第一类错误也称为弃真, 弃真的确切含义为(当原假设是真的时，拒绝了它). 二. 计算题(60分, 每题10分)1. 假设某贪官收受一次贿赂而被曝光的概率为0.05, 到目前为止共收受80次贿赂, 假设案发前每次收受贿赂是否曝光相互独立. 试用概率说明 “多行不义必自毙”. (取20190.3520⎛⎫≈ ⎪⎝⎭)解：记i A 为事件“第i 次收受贿赂而被曝光”（1,2,,80i），---------------------2 于是案发的概率为 )(801∑=i i A P ------------- ------------- -----------------4 )(1)(1801801∏∏==-=-=i i i i A P A P----------------------6985.035.01)2019(195.0148080=-=-=-=。

一、填空题(每小题3分，共15分）1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________。

答案：0.3解：3.0)(=+B A B A P即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=所以1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P 。

2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.答案:161-e解答：λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故161)3(-==e X P3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________。

答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=-因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y Xyf y F y f<<'===⎩其它另解在(0,2)上函数2y x=严格单调，反函数为()h y=所以04,()0,.Y Xyf y f<<==⎩其它4．设随机变量YX,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>eXP，则=λ_________，}1),{min(≤YXP=_________。

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。

参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。

参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。

参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。

参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。

参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。

概率论与数理统计开/闭卷闭卷A/B 卷 A课程编号 2219002801—2219002811课程名称 概率论与数理统计学分 3基本题6小题，每小题5分，满分30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分,选错分）。

事件表达式A B 的意思是 ( ） ） 事件A 与事件B 同时发生 (B ） 事件A 发生但事件B 不发生） 事件B 发生但事件A 不发生 （D) 事件A 与事件B 至少有一件发生D ，根据A B 的定义可知。

假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( )） 是不可能事件 (B ） 是可能事件 C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 :选A,这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 （ ） A) 自由度为1的χ2分布 （B ） 自由度为2的χ2分布 ） 自由度为1的F 分布 （D) 自由度为2的F 分布选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的2分布.已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2，4),Y ～N （-2，1), 则（ ） X +Y ～P （4） (B ） X +Y ～U （2，4） （C) X +Y ~N （0,5) （D ） +Y ~N (0,3）C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X ）+E （Y ）D （X +Y )=D (X ）+D （Y )=4+1=5， 所以有X +Y ~N (0，5)。

样本（X 1,X 2，X 3）取自总体X ，E （X ）=μ， D (X ）=σ2， 则有( ） A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B ）1233X X X ++是μ的无偏估计） 22X 是σ2的无偏估计（D ） 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计:选B ，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。

1单选(2分)同时掷2颗均匀骰子，X表示点数大于4出现的个数，则以下结果正确的是得分/总分∙A.P(X<2)=5/9∙B.P(X=0)=P(X=1)∙C.P(X=2)=4/9∙D.P(X>0)=1正确答案：B你没选择任何选项2单选(2分)设随机变量(X,Y)的联合概率密度为则以下结果正确的是得分/总分∙A.∙B.P(X<0.5)=0.5∙C.E(Y)=E(X)∙D.正确答案：D你没选择任何选项3单选(2分)设总体，是来自X的简单随机样本，表示中出现的个数。

以下结果正确的是得分/总分∙A.，其中“”表示近似服从。

∙B.∙C.∙D.正确答案：C你没选择任何选项4单选(2分)研究某企业生产某种产品的产量和单位成本，数据资料如下：用Excel计算得下面两张表：设一元线性回归模型为，则以下结果不正确的是得分/总分∙A.∙B.在显著水平为0.05下回归方程的检验是不显著的∙C.的置信水平为95％的置信区间为（－4.83596，－3.07806）∙D.在显著水平为0.05下回归方程的检验是显著的正确答案：B你没选择任何选项5单选(2分)设总体具有概率密度是待估未知参数。

设是简单随机样本，是样本均值，以下说法正确的是得分/总分∙A.的极大似然估计量是∙B.的矩估计量是∙C.似然函数∙D.的极大似然估计量是正确答案：B你没选择任何选项6单选(2分)有两个独立正态总体均未知，从总体X与Y中分别取得容量均为8的独立样本，计算得样本均值分别为和，样本方差分别为和，记，取显著水平为0.05，对于假设，以下哪个结果是正确的？（备用数据：.)得分/总分∙A.p_值＝0.009∙B.拒绝域为T≥1.7531∙C.拒绝域为|T|≥2.1448∙D.拒绝域为T≥1.7613正确答案：C你没选择任何选项7单选(2分)设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则以下结果正确的是得分/总分∙A.P(X≤1)=P(X=2)∙B.P(X≥2︱X≥1)=P(X≥1)∙C.E(X)=D(X)∙D.E(X)>D(X)正确答案：C你没选择任何选项8单选(2分)在区间（0，2）中随机取一数X，X的分布函数记为F(x)，数学期望为E(X)，方差为D(X)，则以下结果正确的是得分/总分∙A.∙B.F(0.5)=0.5∙C.D(X)=1/3∙D.F(2.2)=0正确答案：C你没选择任何选项9单选(2分)设总体X的分布律为，其中0<θ<1为待估未知参数。

概率论与数理统计期末考试试题库及答案概率论与数理统计概率论试题一、填空题1.设 A、B、C是三个随机事件。

试用 A、B、C分别表示事件1)A、B、C 至少有一个发生 2)A、B、C 中恰有一个发生3)A、B、C不多于一个发生2.设 A、B为随机事件, ,,。

则=3.若事件A和事件B相互独立, ,则4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量分布律为则A______________7. 已知随机变量X的密度为,且,则________________8. 设~,且,则 _________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命中率为_________10.若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程x2+x+10有实根的概率是11.设,,则12.用()的联合分布函数F(x,y)表示13.用()的联合分布函数F(x,y)表示14.设平面区域D由y x , y 0 和 x 2 所围成,二维随机变量x,y在区域D上服从均匀分布,则(x,y)关于X的边缘概率密度在x 1 处的值为。

15.已知,则=16.设,且与相互独立,则17.设的概率密度为,则=18.设随机变量X1,X2,X3相互独立,其中X1在[0,6]上服从均匀分布,X2服从正态分布N(0,22),X3服从参数为3的泊松分布,记YX1-2X2+3X3,则D(Y)19.设,则20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时,近似有~ 或 ~ 。

特别是,当同为正态分布时,对于任意的,都精确有~ 或~.21.设是独立同分布的随机变量序列,且,那么依概率收敛于22.设是来自正态总体的样本,令则当时~。

23.设容量n 10 的样本的观察值为(8,7,6,9,8,7,5,9,6),则样本均值,样本方差24.设X1,X2,…Xn为来自正态总体的一个简单随机样本,则样本均值服从二、选择题1. 设A,B为两随机事件,且,则下列式子正确的是(A)P A+B P A; (B)(C) (D)2. 以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件为 (A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”; (B)“甲、乙两种产品均畅销”(C)“甲种产品滞销”;(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。

概率论与数理统计期末考试卷课程名称：概率论与数理统计考试时间1。

设,相互独立，则（1)至少出现一个的概率为_ __；（2)恰好出现一个的概率为_ _ _.2。

设，，，则__ ____。

3．设是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为，则的分布函数是。

4．若随机变量服从正态分布，是来自的一个样本，令,则服从分布。

则关于的回归函数 .二、单项选择题（每小题2分，共10分）1. 设函数在区间上等于,而在此区间外等于0,若可以做为某连续型随机变量的密度函数，则区间为（）。

（A) ； (B) ；(C) ；（D）。

2. 假设随机变量的概率密度为，即，期望与方差都存在,样本取自，是样本均值，则有（ )（A） ; （B) ；（C) ；（D) 。

3. 总体,已知，（)时,才能使总体均值的置信度为的置信区间长不大于。

()（A）；（B)；(C）; （D)。

4. 对回归方程的显著性的检验，通常采用3种方法，即相关系数检验法，检验法和检验法，下列说法正确的（）。

(A）检验法最有效;(B）检验法最有效;（C) 3种方法是相通的，检验效果是相同的;（D) 检验法和检验法，可以代替相关系数的检验法。

5．设来自正态总体的样本（已知）,令，并且满足(),则在检验水平下, 检验时，第一类和第二类错误的概率分别是（)和( ).（A）当成立} ；(B）｜当不成立};（C）当成立};（D) |当不成立}。

三、计算题（每小题10分，共20分）1。

设有甲、乙、丙三门炮，同时独立地向某目标射击命中率分别处为0.2、0.3、0。

5，目标被命中一发而被击毁的概率为0.2，被命中两发而被击毁的概率为0.6，被命中三发而被击毁的概率为0。

9，求：（1）三门火炮在一次射击中击毁目标的概率;（2）在目标被击毁的条件下，只由甲火炮击中的概率。

解:设事件分别表示甲、乙、丙三门炮击中目标,表示目标被击毁，表示有门炮同时击中目标（），由题设知事件相互独立，故,，;,，,(1)由全概率公式，得（2）由贝叶斯公式，得2．随机变量在区间上服从均匀分布,随机变量，。

《概率论与数理统计》试卷A一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则AB =()A 、AB B 、A BC 、A BD 、A B2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示()A 、A ，B ，C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生C 、A ，B ，C 中不多于一个发生D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P AB =，()0.2P A =，()0.4P B =，则()成立A 、()0.32P AB = B 、()0.2P A B =C 、()0.4P B A -=D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则()A 、()()()P AB P A P B -=- B 、()()()P AB P A P B =+C 、()()()P AB P A P B =D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是()A 、A 与B 独立 B 、A 与B 独立C 、()()()P AB P A P B =D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为()F x ，则(3)F =()A 、0B 、0.3C 、0.8D 、17、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1]()0,cx x f x ⎧∈=⎨⎩其它 ，则常数c =()A 、15 B 、14C 、4D 、5 8、设X ～)1,0(N，密度函数22()x x ϕ-=，则()x ϕ的最大值是()A 、0B 、1 C、9、设随机变量X 可取无穷多个值0,1,2,…,其概率分布为33(;3),0,1,2,!k p k e k k -==，则下式成立的是()A 、3EX DX ==B 、13EX DX == C 、13,3EX DX == D 、1,93EX DX ==10、设X 服从二项分布B(n,p),则有()A 、(21)2E X np -=B 、(21)4(1)1D X np p +=-+C 、(21)41E X np +=+D 、(21)4(1)D X np p -=-11、独立随机变量,X Y ，若X ～N(1,4)，Y ～N(3,16)，下式中不成立的是()A 、()4E X Y +=B 、()3E XY =C 、()12D X Y -= D 、()216E Y += 12、设随机变量X 的分布列为：则常数c=()A 、0B 、1C 、14 D 、14- 13、设X ～)1,0(N ,又常数c 满足{}{}P X c P X c ≥=<,则c 等于()A 、1B 、0C 、12D 、-1 14、已知1,3EX DX =-=,则()232E X ⎡⎤-⎣⎦=()A 、9B 、6C 、30D 、36 15、当X 服从( )分布时,EX DX =。

概率论与数理统计期末考试试卷答案《概率论与数理统计》试卷一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ,B 为二事件，则AU B =A 、AB B 、ABC 、ABD 、AJB 2、设A ， B, C 表示三个事件，则 ABC 表示A 、 A ，B, C 中有一个发生B 、 A ，B,C 中恰有两个发生C 、 A ，B, C 中不多于一个发生D 、A ，B ，C 都不发生3、 A B 为两事件，若 P(A U B)=0.8 , P(A) =0.2 , P(B) =0.4，贝U成立A 、P(AB)=0.32B 、P(AB) =0.2C 、P(B —A)=0.4D 、P(B A)= 4、设A , B 为任二事件，则A 、P(A-B) =P(A)-P(B)B 、P(AUB)=P(A) P(B)C 、P(AB)二P(A)P(B)D 、P(A)二 P(AB) P(AB) 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是A 、A 与B 独立 B 、A 与 B 独立C 、P(AB)二 P(A)P(B)D 6、设离散型随机变量 X 的分布列为A 、0B 、0.3C 、0.8D 、1「ex 47、设离散型随机变量 X 的密度函数为f (X )= 10,A 、-B 、-C 、4D 、554X0 1 2P 0.3 0.5 0.2其分布函数为F(x)，贝U F(3)=8、设X ?N(0,1)，密度函数 (x)二，^U ;：(x)的最大值是A 、0B 、1C 1 ■-2■:9、设随机变量X 可取无穷多个值0,1,2, -,其概率分布为 P (k ；3)二-e^,^011121|l| k!，则下式成立的是0.48定互斥x其它它,1］，则常数c=1A 、EX = DX =3B 、EX = DX 二一3 11 C 、EX =3, DX D 、EX , DX =933设X 服从二项分布B(n,p),则有A 、E(2X_1)=2np B 、D(2X1)=4np(1_p) 1 C 、E(2X 1)=4np1D 、D(2X_1)=4np(1 _ p)独立随机变量 X , Y ，若X ?N(1,4) , 丫?N(3,16)，下式中不成立的是 A 、E X Y =4 B 、E XY =3 C 、D X -Y =12 D 、E Y 2 =161 1A 、0B 、1C 、D 、44设X ?N(0,1),又常数c 满足 P ：X _c .； = P 〈X :心,则c 等于 1A 、1C 、D 、-12已知 EX - -1, DX =3 ,则 E 3 X 2 -2=A 、9B 、6C 、30D 、36当X 服从() 分布时，EX 二DX 。

12014学年第一学期《概率率与数理统计》（A 卷）标准答案和评分标准 一、选择题1. D2. C3. A4. D5. D6. C7. B8. B9. D 10. B 二、填空题1. 0.12. 0.73. 2e -，,0()0,0x e x f x x -⎧≥=⎨<⎩ 4. 4/5或0.85. 2(2)1Φ-或(2)(2)Φ-Φ-6. 4，127. 7， 8三、1.解：设123,,A A A 分别表示被保险人为“谨慎型”、“一般型”和“冒失型”，B 表示被保险人在一年内出了事故。

（1分）依题意，有 123()0.2,()0.5,()0.3P A P A P A ===， 111(|)0.05,(|)0.1,(|)0.3P B A P B A P B A ===， （2分）所以，由贝叶斯公式可得 （1分）1111112233()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A ==++ （4分） 0.20.0510.06670.20.050.50.10.30.315⨯===⨯+⨯+⨯ （2分） 2.解：根据题意，X 可能的取值有1，2，3， （1分）取值的概率分别为13241(1)2C P X C ===，12241(2)3C P X C ===，2411(3)6P X C ===故X (6分）11113(21)(211)(221)(231) 4.332363E X +=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== （3分）3.解：（1）由120()d d 13cf x x cx x +∞-∞===⎰⎰ 知3c =； （2分）（2）当0x ≤ 时，()()d 0d 0x xF x f x x x -∞-∞===⎰⎰；当01x <≤ 时，230()()d 3d xxF x f x x x x x -∞===⎰⎰；当1x > 时，120()()d 3d 1x F x f x x x x -∞===⎰⎰；所以30,0,(),0 1.1, 1.x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩（4分）2（3）1203()()30.754E X xf x dx x x dx +∞-∞==⋅==⎰⎰ （2分）1222203()()30.65E X x f x d x x x d x +∞-∞==⋅==⎰⎰ （2分） 223()()[()]0.37580D XE X E X =-== （2分）（4）解法一：因为1Y X =-是严格单调的函数，所以 当01y <<时，即，01x <<时，2()(1)(1)3(1)Y X f y f y y y '=--=- 当Y 为其他值时， ()(1)(1)0Y X f y f y y '=--= 所以,1Y X =-的密度函数为：⎩⎨⎧<<-=其他,010,)1(3)(2y y y f Y （4分）解法二：1Y X =-的分布函数()Y F y 为()()(1)(1)Y F y P Y y P X y P X y =<=-<=>-1(1)1(1),X P X y F y =-≤-=--而其它100)1(3)1()]1(1[)()(2<<⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--==y y y f y F dy d dy y dF y f X X Y Y （4分）四、1. 解：矩法估计，因为1()xxxxE X xe dx xdexee dx θθθθμθ+∞+∞+∞----+∞===-=-+⎰⎰⎰0xeθθθ-+∞=-=或因为1XE θ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()E X μθ== （4分） 由矩法估计ˆX μ= ，所以ˆX θ=。