正三角形的两种分形的面积和周长
四川省德阳中学（618000） 刘桂林
在华师大版数学八年级(下)第85页上有正三角形的两种分形。学生在阅读这部分材料时，对图形的自相似现象发生了浓厚的兴趣，提出了较多问题。尤其希望知道等边三角形的外部相似图形（最后得雪花曲线）和内部自相似图形的周长和面积。下面就此问题作出探讨。
1、将正三角形的每一边三等分，而以其居中的那一条线段为底边再作等边三角形。然后以其两腰代替底边。再将六角形的每边三等分，重复上述作法。如此继续下去，就得到雪花曲线（如下图所示）。下面求雪花曲线所围图形的面积和雪花曲线的周长。
图
1
解：①设正三角形的边长为a
，原正三角形的面积为2213224S a a a =
=，第一次分形后的总面积为1S ，第二次分形后的总面积为2S ，…，第n 次分形后的总面积为n S ，则有： 214221126332212111343()34913443()()34913443()()34913443()()349n n n n n n S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S ---=+=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯因为 ……
2334444[()()()]49999n n S S S =+++++所以 …
2244[1()]399441934[1()]593343[1()]55948343[()]559n n n n S S S S a a ⨯-=+-=+-=+-=-
所以雪花曲线所围图形的面积为 228lim 5n n S →∞== ．
②设正三角形的边长为a ，原正三角形的周长为3a ，第一次分形后的周长为1C ，第二次分形后的周长为2C ，…，第n 次分形后的周长为n C ，则有：
122212333211111433
3331443()()3331443()()33314
4443()()3()()3333
3n n n n n n n C a a a C C a a C C a a C C a a a a ----=+==+⨯==+⨯==+⨯=+
=……
由分形后的周长通项公式4()33
n n C a =可知，数列{}n C 为一个无穷递增数列，所以雪花曲线的周长为无穷大。
2、连结阴影正三角形各边中点，得一个空白等边三角形。再连结剩下的阴影正三角形各边中点，得三个空白等边三角形。重复上述作法，如此继续下去，得到等边三角形的另一幅自相似图形（如下图所示）。下面来探究空白区域的面积和周长。
图2
解：①设原阴影正三角形的边长为a ，那么面积2213224
S a a a ==，第一次分形后空白面积为1S ，第二次分形后空白总面积为2S ，…，第n 次分形后空白总面积为n S ，则有：
222111()24416
S S a a ==⨯=因为 2111113344
S S S S S =+⨯=+
2232121139()()44
S S S S S =+⨯=+ 33431311327()()44
S S S S S =+⨯=+ ……
1113()4
n n n S S S --=+ 2111333[()()]444
n n S S S -=++++所以 … 111111121233[1()]4431433[1()]433[133()
]41633[43()]416
n n n n S S S S a a -----=+-=+-=+-=- 所以空白区域的总面积为 223lim 4n n S a →∞==，这时整个正三角形都成为空白。
②设原正三角形的边长为a ，则周长为3a 。第一次分形后空白的周长为1C ，第二次分形后空白的总周长为2C ，…，第n 次分形后空白的总周长为n C ，那么有： 12111122232121333431311111332213322133()()22133()()223()2
n n C a a C C C C C C C C C C C C C C C C C --===+=+=+=+=+=+=+n 因为 ……
C 231113333[()()()]2222
n n C C C -=++++++所以 … 11133[1()]22312
n C C --=+-
1133[13()3]2233[3()2]223[()1]32n n n a a a --=
+-=-=- 由分形后空白区域的周长通项公式 3[()1]32
n n C a =-可知，数列{}n C 为一个无穷递增数列，所以分形后空白区域的周长为无穷大。
通过对以上正三角形的两种分形的面积和周长的探究，我们不难发现，分形几何问题对于激发学生探索自相似现象，寻找几何问题中的数量变化规律，都是很好的训练素材。自然界中其实存在很多自相似现象，如树木的生长，又如雪花的形成、土地干旱形成的地面裂纹等。这些看似平淡无奇的自然现象，却被慧眼识金的数学家们看做珍奇。为了更好地探究这些自然现象，从而在二十世纪七十年代由美国计算机专家芒德布罗创立了分形几何。让我们大家都一起加入这个探索的行列吧！
