利用定积分求曲线围成的面积,DOC

12.9 利用定积分求曲线围成的面积武汉外国语学校汪家硕一．复习回顾：当f(x )0时，由y = f ( x) 、x = a、x = b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方。

2.牛顿—莱布尼茨公式定理(微积分基本定理)如果f (x)是区间［a,b］上的连续函数，并且F'(x) = f (x)，则．曲线围成的面积1.设f和g是区间［a,b］上的连续函数且对任意的x［a,b］有f(x )g(x)，则直线x=a和直线x=b以及曲线间围成的面积可以表示为：b b bf (x)dx -g(x)dx =f (x)-g(x)dx a a a例1.求抛物线y=x2和直线y=2x所围成的区域面积。

解：先求出P点坐标。

y= x2x = 0解方程组y = x x=0y= 2x x = 2P点的坐标是(2,4) 。

2所求的面积= 2x - x2dx = x20=4-8=4b1.定积分的几何意义：当f(x )0时，积分f(x)dx在几何上表示由y= f(x)、x=a、a3 33例3 例2．计算曲线y = x 2 +1和y = 4 - x 2 ，以及直线x =1和x = -1所围成的区域面积。

f (x )-g (x )dx + g (x )- f (x )dx + f (x )-g (x )dx + g (x )-f (x )dx ac1 c2 c 3例3：求 f (x )= x 3和g (x )= x 所围成的封闭区域面积。

解：当 f (x )= g (x )时图像的交点，即 x 3 = x x 3 - x = 0 x ( x 2 -1) = 0x = 0或 1解：所求面积=-11 (x2 +1)dx = 3-2x 2dx =-1 3x -2x 3 3-1 14 32.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结考虑区间[a ,c 1],[c 1,c 2],[c 2,c 3],[c 3,b ]，阴影部分面积可以表示为：例 4 ：求阴影部分的面积。

定积分求曲线所围面积
求曲线所围面积是一类常见的高数问题，主要分为定积分法和曲线积分法。

定积分法：
定积分法是一种基于定积分的方法，即把目标曲线与X轴或Y轴之间的闭合图形拆分
成N片矩形，利用定积分累加各片形积，从而计算出闭合图形的总面积。

定积分法求解曲
线面积的具体步骤如下：
（1）设置确定积分区间，把目标曲线与X轴或Y轴之间的闭合图形分割成N片矩形。

（2）求每片矩形的面积，可以根据不同的曲线而采用不同的方法，例如把抛物线的
面积拆分为两个三角形的总面积，把正弦曲线的面积拆分为两个一半三角形的总面积。

（3）叠加所有矩形的面积，计算出曲线所围的面积。

曲线积分法：
曲线积分法也称为极限法，是一种以曲线的方程式为基础的方法，是用来计算曲线在
某个区间内的积分值。

此方法可以用来精确计算曲线围成的面积。

曲线积分法求解曲线面
积的具体步骤如下：
（1）根据曲线的方程式，把曲线切割成N片矩形，利用定积分计算出每片矩形的积
分值。

（2）叠加所有矩形的积分值，计算出曲线所围的面积。

（3）除此之外，还可以根据曲线的特殊形状，将曲线分割成若干个更小的形状，再
用曲线积分法计算每块小形状的积分值，最后叠加所有积分值求得曲线所围的面积。

以上便是定积分法与曲线积分法求曲线所围面积的基本流程，不过具体的数学推导过
程还需要考虑曲线的函数形式以及积分的具体应用，此外，还可以采用数值积分的方法来
解决这一问题。

通过以上两种方法，可以较为精准的求出曲线所围的面积。

利用定积分求曲线围成的面积
定积分是数学中一种重要的积分计算方法，用于求解两变量t和y之间函数关系的积分。

它是一种对曲线积分测量技术，通常用于求曲线所围成的面积。

下面介绍定积分求曲
线围成的面积的原理，以及如何运用定积分求解。

首先，求曲线所围成的面积，要求先将曲线分解为多个小矩形，这就是定积分技术的
基础。

定积分技术可以用原函数曲线在一个区间内离散对应的多个矩形累加得到该区间内
的整个积分值，其具体流程如下：
1. 首先确定积分区间，确定积分上下限，通常记做a和b；
2. 确定在积分区间中拆分的点数，也就是将积分区间拆分成多少子区间，其记号为n；
3. 经过上面的步骤后，就可以确定出定积分的“积分步长”h=（b-a）/ n；
4. 接下来根据所给函数，计算一下积分步长h对应的函数值，我们将这个值记为Fi，i为1,2,...,n，F1为a点处的函数值，F2为a+h点处的函数值，以此类推，Fn为b点处的函数值；
5. 通过上面计算出所有矩形的面积，把它们累加起来，就可以得到整个曲线所围成
的面积；
6. 如果矩形面积很小，也就是说n足够大，则积分值基本已经接近其实际值；
7. 再把整个曲线所围成的面积减去各个子矩形与曲线实际接触处的总面积，也就是
被曲线分割的矩形的形面积，就可以得到最终的积分结果了。

上面叙述的是定积分求曲线围成的面积的原理，要实际操作运用定积分求解，还需要
根据实际情况进行处理。

在实际应用中，需要特别注意函数在曲线上断点处不可能出现悬
挂断层，以及曲线上拐点处的积分计算。

只有在这些要点上仔细处理，定积分求曲线围成
的面积才可行。

利用定积分求曲线围成的面积12.9 利用定积分求曲线围成的面积武汉外国语学校 汪家硕一．复习回顾：1.定积分的几何意义：当()0f x ≥时，积分()ba f x dx ⎰在几何上表示由()y f x =、x a =、xb =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。

当()0f x ≤时，由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。

2.牛顿—莱布尼茨公式定理（微积分基本定理）如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'()()F x f x =，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰二．曲线围成的面积1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥，则直线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为：()()()()b b ba a a f x dx g x dx f x g x dx -=-⎰⎰⎰例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面积。

⎰b a f (x )dx =⎰c a f (x )dx +⎰b c f (x )dx 。

解：先求出P 点坐标。

解方程组22y x y x⎧=⎨=⎩ ⇒ 02x x =⎧⎨=⎩ ∴ P 点的坐标是(2,4)。

所求的面积= 22322008424333x x x dx x ⎡⎤-=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰ 例1例2．计算曲线21y x =+和24y x =-，以及直线1x =和1x =-所围成的区域面积。

解：所求面积=11132221112144(1)32333x x x dx x dx x ---⎡⎤--+=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰例22.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结果？考虑区间112233[,],[,],[,],[,]a c c c c c c b ，阴影部分面积可以表示为：123123()()()()()()()()c c c ba c c c f x g x dx g x f x dx f x g x dx g x f x dx -+-+-+-⎰⎰⎰⎰例3：求3()f x x =和()g x x =所围成的封闭区域面积。

定积分求面积
将不规则图形的的边界线用曲线方程表示出来,定积分的上下限就是曲线的端点.用上边界曲线的定积分减去下边界曲线的定积分就是面积!
平面图形的面积有两点需要注意，一个是选择用极坐标计算面积还是选择用极坐标系计算面积，一个是在计算面积是应该注意正负，定积分是有正负的，但是面积都是正的，在理解了定积分的含义之后，要明白计算面积时要加绝对值，或者在负的定积分前加负号，保证计算出来的面积是正的。

今天定积分的几何应用分为两个部分，平面图形的面积和曲边扇形面积，前者是直角坐标系下的，后者是极坐标系下的，所以考专升本的小伙伴们只需要学会前者就可以，考研的小伙伴们两个都要很熟练。

其实，秘诀就是两个字——画图，把图画出来，根据定积分的求面积公式就可以了，注意交点，注意范围，注意被积函数。

今天其实就6道例题，但是我写了很久，因为……图太难画了，图像很简单，但是涂色有点麻烦，想了许久，终于成功得涂成了灰灰的样子，哈哈哈哈~~~相当于又复习了一遍原先学的软件，果然，还是熟能生巧（其实完全可以保存好了之后用画图软件打开，直接填充颜色就可以，但是为了彰显我这个小白的软件技术⁄(⁄ ⁄•⁄ω⁄•⁄ ⁄)⁄~~哈哈哈哈~）预告一下明天的内容，明天有出题率很高的旋转体体积，还有考研数学一和数学二要学会的求弧长以及旋转体的侧面积或表
面积。

利用定积分求曲线围成的面积This manuscript was revised on November 28, 2020利用定积分求曲线围成的面积武汉外国语学校 汪家硕一．复习回顾：1.定积分的几何意义：当()0f x ≥时，积分()ba f x dx ⎰在几何上表示由()y f x =、x a =、xb =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。

当()0f x ≤时，由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。

2.牛顿—莱布尼茨公式定理（微积分基本定理）如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'()()F x f x =，则二．曲线围成的面积1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥，则直线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为：()()()()bb ba a a f x dx g x dx f x g x dx -=-⎰⎰⎰ 例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面积。

解：先求出P 点坐标。

解方程组22y x y x⎧=⎨=⎩ ⇒ 02x x =⎧⎨=⎩ ∴ P 点的坐标是(2,4)。

所求的面积= 22322008424333x x x dx x ⎡⎤-=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰ 例1 例2．计算曲线21y x =+和24y x =-，以及直线1x =和1x =-所围成的区域面积。

解：所求面积=例22.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结果考虑区间112233[,],[,],[,],[,]a c c c c c c b ，阴影部分面积可以表示为：例3：求3()f x x =和()g x x =所围成的封闭区域面积。

解：当()()=时图像的交点，f xg x即332=⇒-=⇒-=x x x x x x0(1)0例3 例4：求阴影部分的面积。

12.9利用定积分求曲线围成的面积
武汉外国语学校
汪家硕
•复习回顾:
b 1.定积分的几何意义：当f(x)_O 时，积分 f(x)dx 在几何上表示由y = f(x)、x = a 、x =b _a 与x 轴所围成的曲边梯形的面积。

当f(x)空0时，由y 二f(x)、x 二a 、x 二b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。

2.牛顿一莱布尼茨公式
定理(微积分基本定理)如果f (x)是区间［a, b ］上的连续函数，并且F (x)= f (x)，则 二•曲线围成的面积
1.设f 和g 是区间［a,b ］上的连续函数且对任意的［a,b ］有f(x) —g(x)，则直线x = a 和直
线x =b 以及曲线间围成的面积可以表示为：
b b b
J f(x)dx —a g(x)dx=J f(x)—g(x)dx a a a 例1求抛物线y =x 2和直线y =2x 所围成的区域面积。

例2.计算曲线y =X 2 • 1和y =4 -X 2，以及直线x =1和x - -
1所围成的区域面积
解：所求面积=
例2
解：先求出P 点坐标 解方程组 P 点的坐标是(2,4) 所求的面积=
2x -x 2dx 二 x 2 0 - A
0 a b
2.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方,
它们交叉会是什么结果？
考虑区间［a’CiHcitLGqHob］，阴影部分面积可以表示为: 例3:求f(x) =x3和g(x)二x所围成的圭寸闭区域面积
解：当f(x)=g(x)时图像的交点，
即x3 = x 二f - x 0 : (x 2x 1) £
例4:求阴影部分的面积
练习：
1.求阴影部分面积例3例4。

学年论文题目：用定积分法求面积学院：数学与信息科学学院专业：信息与计算科学学生：王生文学号：7指导教师：郭晓斌用定积分法求面积摘要：定积分是数学当中十分重要的一种方法，其中求图形的面积正是它的运用之一，它的思想一般就是切割求和，本文就介绍了几种运用定积分来求面积的方法。

其中，列举了普通的例题以及一些重要的问题解决方法。

关键字：定积分微元法分割With the definite integral method for areaAbstract: the definite integral in the math is very important for a method, which is the area of its graphics, one of the ideas of use, this paper cutting summation is commonly used describes some of the definite integral to beg area method. Among them, lists the ordinary examples, and some important problem solving methods.K eyword：Definite integral Micro element method segmentation1.求平面区域的面积在求平面区域的面积当中，由于围成平面区域的曲线可用不同的形式表示，一般情况下，曲线的形式分为三种情况，每种情况下的求区域面积的方法各有所不同，因而分下面三种情况进行讨论。

1.1 直角坐标系由连续曲线y=f(x) （x≥0），以及直线x=a，x=b（a＜b）和x轴所围成的曲边梯形的面积为： ⎰=badx x f A )(=⎰baydx .如果f(x)在[a, b]上不都是非负的，则所围图形的面积为：⎰=badx x f A )(=⎰badx y .一般地，由上下两条连续曲线y=f 2(x )与y=f 1(x )以及两条直线x=a 与x=b (a ＜b)所围成的平面图形（图 1），它的面积计算公式为：A=[]⎰-b adx x f x f)()(12（1）例题1 求在区间[21,2 ]上连续曲线 y=ln x ,x 轴及二直线 x =21,与x = 2所围成平面区域（如图2）的面积 。

导数与积分（定积分求面积）：（答案见笔记本）1. 已知函数b ax x x f +-=2)(2在1=x 处有极值2，（1）求函数b ax x x f +-=2)(2在闭区间[]3,0上的最值； （2）求曲线b ax x x f +-=2)(2与3+=x y 所围成的图形的面积.2. 已知函数bx ax x f +=3)(在3=x 时取得极值-54，（1）求a 、b 的值；（2）求曲线)(x f y =与x 轴围成的图形的面积.3. 求抛物线12-=x y ，直线2=x ，0=y 所围成的图形的面积.4. 求正弦函数x y sin =，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈π23,0x 和直线π23=x 及x 轴围成图形的面积.5. 设二次函数y=)(x f ,方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f（1）求)(x f 的表达式；（2）求)(x f y =的图像与两坐标轴围成的图形的面积.6. 已知函数)0(ln )(≠=x x x f ，函数)0(),()(1)(≠'+'=x x f a x f x g （1）当0≠x 时，求函数)(x g 的表达式；（2）当0 a ，函数)(x g 在),0(+∞上的最小值是2，求a 的值；（3）在（2）的条件下，求直线6732+=x y 与函数)(x g y =的图像所围成的面积.7. 求有抛物线xa y 82=，)0( y 与直线06=-+y x 及0=y 围成的图形的面积.8. 求有曲线2)2(+=x y ，)4(- x 与x 轴、直线x y -=4所围成的图形的面积.9.求抛物线)0(,22 p px y =和过它上面的点),2(1p p p 的切线的垂线所围成的平面图形的面积. 欢迎您的下载，资料仅供参考！。

定积分求曲线所围面积公式定积分在数学中可是个相当重要的工具，尤其是在求曲线所围面积的时候，那简直就是一把“利器”。

咱先来说说定积分的概念。

想象一下，你在一条长长的跑道上跑步，每跑一段距离，就记录一下跑过的路程。

把这些小段路程加起来，就能知道总的跑过的距离。

定积分就有点像这个，把无数个小的部分加起来，得到一个总的结果。

那定积分怎么用来求曲线所围的面积呢？这就得好好说道说道了。

比如说，有一条曲线 y = f(x) ，它在 x 轴上方和下方都有部分。

咱们要找它和 x 轴之间围起来的面积。

这时候，咱就把 x 轴上的区间 [a, b] 分成很多很多小的区间，每个小区间的宽度是Δx 。

在每个小区间里，咱可以近似地认为曲线是一条直线段。

然后呢，就用这个小直线段的长度乘以Δx ，这就得到了一个小矩形的面积。

把所有这些小矩形的面积加起来，当Δx 越来越小，一直小到趋近于 0 的时候，这个累加的结果就越来越接近曲线所围的真正面积啦。

举个例子吧，有个曲线是 y = x^2 ，咱们要算它在区间 [0, 2] 内和 x 轴围成的面积。

咱先把区间 [0, 2] 分成 n 个小的区间，每个区间的宽度就是Δx = 2 / n 。

然后呢，对于第 i 个区间，它的左端点是xi = i * Δx ，右端点是 xi+ Δx 。

在这个小区间里，曲线的高度可以近似地看成 f(xi) ，也就是 (xi)^2 。

所以这个小矩形的面积就是f(xi) * Δx = (xi)^2 * Δx 。

把所有这些小矩形的面积加起来，就得到了一个近似的总面积：Sn = Σ(i = 1 到n) (xi)^2 * Δx 。

接下来，咱们把xi = i * Δx 代入，就得到：Sn = Σ(i = 1 到n) (i * Δx)^2 * Δx = Σ(i = 1 到n) i^2 * (Δx)^3再利用求和公式，就能算出 Sn 啦。

当 n 趋向于无穷大的时候，Sn 的极限就是定积分的值，也就是曲线所围的真正面积。