高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质(二)学案苏教版选修1-1

第 1 页 共 33 页 选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》

§2.1.1 椭圆及其标准方程

【知识要点】

 椭圆的定义：到两个定点 F1、F2的距离之和等于定长（12FF）的点的轨迹．

 标准方程：（1）222210xyabab，22cab，焦点是 F1（－c，0），F2（c，0）；

（2）222210yxabab，22cab，焦点是 F1（0，－c），F2（0，c）．

【例题精讲】

【例 1】两个焦点坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点 P到两焦点的距离之和等于 10，写出椭圆的标准方程．

【例 2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0，2）且过35,22，求椭圆的标准方程．

点评：题（1）根据定义求．若将焦点改为(0，－4)、(0，4)其结果如何；题（2）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程． 第 2 页 共 33 页 【例 3】判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出 a，b，c的值．

【例4】已知ΔABC的一边BC的长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程．

【基础达标】

1．椭圆221259xy上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P到另一个焦点的距离为（ ）

A．5 B．6 C．4 D．10

2．椭圆2211312xy上任一点 P到两个焦点的距离的和为（ ）

A．26 B．24 C．2 D．213

【创新设计】高中数学(苏教版选修1-1)配套练习：第2章章末总结(含答案解析)

章末总结

知识点一 圆锥曲线的定义和性质

关于圆锥曲线的相关问题， 要有运用圆锥曲线定义解题的意识， “回归定义 ”是一种重要

的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形联合思想、方程思想联合起来．总

之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵巧运用．

例 1 已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为 2， F1， F2 为左、右焦点， P 为双曲线上

一点，且∠ F1 PF2＝ 60°， S△PF1F2＝ 12 3，求双曲线的标准方程． 【创新设计】高中数学(苏教版选修1-1)配套练习：第2章章末总结(含答案解析)

知识点二 直线与圆锥曲线的地点关系

直线与圆锥曲线一般有三种地点关系：订交、相切、相离．

在直线与双曲线、抛物线的地点关系中有一种状况，即直线与其交于一点和切于一点，

两者在几何意义上是截然相反的， 反应在代数方程上也是完整不一样的， 这在解题中既是一个难点也是一个十分简单被忽略的地方． 圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无穷凑近时的极限状况， 反应在消元后的方程上， 就是一元二次方程有两个相等的实数根， 即鉴别式等于零； 而与圆锥曲线有一个交点的直线， 是一种特别的情

况 (抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行 ) ，反应在消元后的方程上，该方程是一次的．

例 2

如下图， O 为坐标原点，过点 P(2， 0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y2＝ 2x 于 M(x 1 ，y1)，

N(x 2， y2) 两点．

(1)求 x1x2 与 y1 y2 的值；

(2)求证： OM ⊥ ON.

知识点三 轨迹问题

轨迹是分析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：

(1)直接法：成立适合的坐标系，设动点为 (x， y)，依据几何条件直接追求 x、 y 之间的 【创新设计】高中数学(苏教版选修1-1)配套练习：第2章章末总结(含答案解析)

抛物线的方程及性质知识集结知识元抛物线的定义

知识讲解1．抛物线的定义

【概念】

抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，

比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥

曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换

下，也可看成二次函数图象．

【标准方程】①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．

【性质】

我们以y2＝2px（p＞0）为例：

①焦点为（，0）；②准线方程为：x＝﹣；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂

直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．

【实例解析】

例1：点P是抛物线y2＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为

解：∵点P是抛物线y2＝x上的动点，

∴设P（x，），∵点Q的坐标为（3，0），

∴|PQ|＝＝＝，

∴当x＝，即P（）时，

|PQ|取最小值．故答案为：．

这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最

值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．

例2：已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，点P到点（0，3）的距离与点P到该抛物线

的准线的距离之和的最小值是．

解：如图所示，

设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．

过点P作PM⊥l，垂足为M．

则|PM|＝|PF|．

设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．

∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|＝＝．

即|PM|+|PQ|的最小值为．故答案为：．

这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，

然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点．这个题很有参考价值，我希望看了

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精心校对 2．4.1 抛物线的标准方程

●三维目标

1．知识与技能

(1)理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导．

(2)明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．

2．过程与方法

(1)通过对抛物线和椭圆、双曲线离心率的比较，体会三种圆锥曲线内在的区别和联系．

(2)熟练掌握求曲线方程的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力．

3．情感、态度与价值观

引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美．

●重点难点

重点：抛物线的定义及其标准方程的推导．通过学生自主建系和对方程的讨论突出重点．

难点：抛物线概念的形成．通过条件e＝1的画法设计、标准方程与二次函数的比较突破难点．

●教学建议

从本章来讲，这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要，抛物线是离心率e＝1的特例．另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化．本节对抛物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图像遥相呼应，体现了数学的和谐之美．教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则．

为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，易采用“引导探究”式的教学模式，在课堂教学中，始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学的全过程．本节课在实验画法的基础上，以问题为核心，创设情景，通过教师的适时引导，学生间、师生间的交流互动，启迪学生的思维，使学生通过自己的分析、反思、对比并形成抛物线的概念，构建自己的知识体系，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦．

●教学流程 高中数学-打印版

精心校对 设置情景，导入新课．上课开始，用计算机出示太阳系九大行星运行图，以天文学热点事件“冥王星”的降级引入新课：同学们，最近在我们的太阳系发生了一件重大的事件，你们知道吗？⇒引导探究，获得新知(1)复习椭圆、双曲线的第二定义，椭圆和双曲线的离心率e的取值范围各是什么？(2)离心率e＝1是什么含义？你能据此设计一种方案，画出一个这样的点吗？(3)这条曲线是什么？⇒由学生自主建系，求出抛物线的标准方程．并根据焦点位置的不同，写出四种不同的标准方程．归纳标准方程、焦点坐标、准线方程的内在联系和对应关系．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握抛物线标准方程的求法，先定位，再定量，利用待定系数法求抛物线的标准方程．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握由标准方程求其焦点坐标和准线方程，达到数与形的准确转换．弄清一次项变量系数与焦点同名坐标的四倍关系，焦点坐标与准线方程的相反关系．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握抛物线定义和标准方程的综合应用，抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离，二者可以灵活转化，在此基础上数形结合，解证有关问题．⇒通过易错易误辨析，体会抛物线标准方程的不同形式，焦点位置有多个，就会有不同的标准方程．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.