高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.1 抛物线的标准方程学案 苏教版选修2-1

2．4.1 抛物线的标准方程

学习目标：1.掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程．(重点)2.能根据抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程．(重点)3.能利用抛物线的定义和标准方程求最值．(难点)

抛物线的标准方程

图形 标准方程 焦点坐标 准线方程

y2＝2px(p>0) Fp2，0 x＝－p2

y2＝－2px(p>0) F－p2，0 x＝p2

x2＝2py(p>0) F0，p2 y＝－p2

x2＝－2py(p>0) F0，－p2 y＝p2

[基础自测]

1．思考辨析

(1)标准方程y2＝2px(p＞0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．( )

(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定． ( )

(3)抛物线的方程都是二次函数． ( )

(4)抛物线的开口方向由一次项及一次项系数的正负定． ( )

[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√

2．若抛物线的方程为x＝2ay2(a＞0)，则焦点到准线的距离p＝________.

[解析] 把抛物线方程化为标准形式：y2＝12ax，故p＝14a.

[答案] 14a

3．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是________．

[解析] ∵p2＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y.

[答案] x2＝－12y

求抛物线的焦点及准线

(1)抛物线2y2－3x＝0的焦点坐标是________________，

准线方程是________．

(2)若抛物线的方程为y＝ax2(a≠0)，则抛物线的焦点坐标为________，准线方程为________．

[解] (1)抛物线2y2－3x＝0的标准方程是y2＝32x，

∴2p＝32，p＝34，p2＝38，焦点坐标是38，0，准线方程是x＝－38.

(2)抛物线方程y＝ax2(a≠0)化为标准形式：x2＝1ay，

当a>0时，则2p＝1a，解得p＝12a，p2＝14a，∴焦点坐标是0，14a，准线方程是y＝－14a.

当a<0时，则2p＝－1a，p2＝－14a.

∴焦点坐标是0，14a，准线方程是y＝－14a，

综上，焦点坐标是0，14a，准线方程是y＝－14a.

[答案] (1)38，0 x＝－38

(2)0，14a y＝－14a

[规律方法] 求抛物线的焦点及准线步骤

(1)把解析式化为抛物线标准方程形式.

(2)明确抛物线开口方向.

(3)求出抛物线标准方程中p的值.

(4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程.

[跟踪训练]

1．求抛物线y＝－mx2(m>0)的焦点坐标和准线方程．

[解] 抛物线y＝－mx2(m>0)的标准方程是x2＝－1my. ∵m>0，∴2p＝1m，p2＝14m，焦点坐标是0，－14m，准线方程是y＝14m.

求抛物线的标准方程

根据下列条件确定抛物线的标准方程．

(1)关于y轴对称且过点(－1，－3)；

(2)过点(4，－8)；

(3)焦点在x－2y－4＝0上．

[思路探究] (1)用待定系数法求解；(2)因焦点位置不确定，需分类讨论求解；(3)焦点是直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点，应先求交点再写方程．

[解] (1)法一：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将点(－1，－3)的坐标代入方程，得(－1)2＝－2p·(－3)，解得p＝16，所以所求抛物线方程为x2＝－13y.

法二：由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)．又抛物线过点()－1，－3，所以1＝m·(－3)，即m＝－13，所以所求抛物线方程为x2＝－13y.

(2)法一：设所求抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p′y(p′>0)，将点(4，－8) 的坐标代入y2＝2px，得p＝8；将点(4，－8)的坐标代入x2＝－2p′y，得p′＝1.所以所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－2y.

法二：当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝nx(n≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以64＝4·n，即n＝16，抛物线的方程为y2＝16x；当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m，即m＝－2，抛物线的方程为x2＝－2y.

综上，抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－2y.

(3)由 x＝0，x－2y－4＝0，得 x＝0，y＝－2，

由 y＝0，x－2y－4＝0，得 y＝0，x＝4.

所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．当焦点为(0，－2)时，由p2＝2，得p＝4，所以所求抛物线方程为x2＝－8y；当焦点为(4,0)时，由p2＝4，得p＝8，所以所求抛物线方程为y2＝16x.综上所述，所求抛物线方程为x2＝－8y或y2＝16x.

[规律方法] 求抛物线的标准方程

求抛物线方程都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的p值，从而求出方程. 1定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程. 2待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数值.

①对于对称轴确定，开口方向也确定的抛物线，根据题设中的条件设出其标准方程：y2＝2pxp>0，或y2＝－2pxp>0，或x2＝2pyp>0，或x2＝－2pyp>0，进行求解，关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式，然后采用待定系数法求出其标准方程.

②对于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线：

当焦点在x轴上时，可将抛物线方程设为y2＝axa≠0；

当焦点在y轴上时，可将抛物线方程设为x2＝aya≠0，再根据条件求a.

[跟踪训练]

2．以双曲线16x2－9y2＝144的左顶点为焦点的抛物线方程是________．

[解析] 双曲线16x2－9y2＝144的标准方程是x29－y216＝1，

左顶点是(－3,0)，由题意设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，

∴－p2＝－3，∴p＝6，抛物线的标准方程是y2＝－12x.

[答案] y2＝－12x

抛物线的标准方程及定义的应用

(1)设P是曲线y2＝4x上的一个动点，求点P到点B(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；

(2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PA＋PF的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标．

[思路探究] (1)把点P到准线的距离转化为点P到焦点F的距离，利用PB＋PF≥BF求解．(2)把点P到焦点F的距离转化为点P到准线的距离，利用垂线段时最短求解．

[解] (1)∵抛物线的顶点为O(0,0)，p＝2，∴准线方程为x＝－1，焦点F坐标为(1,0)，∴点P到点B(－1,1)的距离与点P到准线x＝－1的距离之和等于PB＋PF.如图，PB＋PF≥BF，当B，P，F三点共线时取得最小值，此时BF＝－1－12＋1－02＝5.

(2)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.

∵6>2，∴A在抛物线内部．

设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知PA＋PF＝PA＋d.由图可知，当AP⊥l时，PA＋d最小，最小值为72，即PA＋PF的最小值为72，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．

[规律方法] 抛物线定义在求最值中的应用

(1)解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.

(2)数形结合思想是求解几何最值的常用方法之一.

[跟踪训练]

3．已知定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点M到y轴距离的最小值．

[解] 如图，设点F是抛物线y2＝x的焦点，过A，B两点分别作其准线的垂线AC，BD，过AB的中点M作准线的垂线MN，C，D，N为垂足，则MN＝12(AC＋BD)．

由抛物线的定义，知AC＝AF，BD＝BF，

∴MN＝12(AF＋BF)≥12AB＝32.

设点M的横坐标为x，

MN＝x＋14，

则x≥32－14＝54. 当线段AB过焦点F时，等号成立，此时点M到y轴的最短距离为54.

抛物线的标准方程

[探究问题]

1．四种形式的标准方程的异同点是什么？

[提示] 对四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析，其共同点有：(1)过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于顶点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14，即2p4＝p2(p>0)；(4)焦点到准线的距离均为p.

不同点：(1)对称轴为x轴时，方程的右端为±2px，左端为y2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，左端为x2；(2)开口方向与x轴(或y轴)的正方向相同时，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴(或y轴)的正方向相反时，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取负号．

2．通过抛物线的标准方程，如何判断焦点位置及开口方向？

[提示] 在抛物线的标准方程中，一次项起了关键作用．

(1)如果一次项含有x，则说明抛物线的焦点在x轴上，系数为正，则焦点在正半轴上，开口向右；系数为负，则焦点在负半轴上，开口向左；

(2)如果一次项含有y，则说明抛物线的焦点在y轴上，系数为正，则焦点在正半轴上，开口向上；系数为负，则焦点在负半轴上，开口向下．

3．我们知道，二次函数y＝ax2的图象是抛物线，如何确定它的焦点和准线？

[提示] 焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2＝2py，通常又可以写成y＝ax2，这与以前所学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y＝ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．

动点M(x，y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，求动点M(x，y)的轨迹方程．

[思路探究] 设F(2,0)，由题意MF＝|x|＋2，或根据点M，F在y轴的同侧或异侧分类讨论．

[解] 法一：设F(2,0)，由题意MF＝|x|＋2，

x－22＋y2＝|x|＋2，化简得y2＝4x＋4|x|＝ 8xx≥0，0x<0.