高中数学(苏教版 选修1-1)第2章 圆锥曲线与方程 抛物线1

1

1.了解抛物线的标准方程.

2.会求抛物线的标准方程.(重点、难点)

[基础·初探]

教材整理 抛物线的标准方程

阅读教材P47～P48例1以上部分，完成下列问题.

标准

方程 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py

图形

焦点

坐标 p2，0 －p2，0 0，p2 0，－p2

准线

方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2

开口

方向 向右 向左 向上 向下

1.判断正误：

(1)标准方程y2＝2px(p＞0)中p的几何意义是焦点到准线的距离.( )

(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定.( )

(3)x2＝－2y表示的抛物线开口向左.( )

【解析】 (1)√.抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为p2，0，准线为x＝－p2，故焦点到准线的距离是p.

(2)√.一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上，故该说法正确.

(3)×.x2＝－2y表示的抛物线开口向下.

【答案】 (1)√ (2)√ (3)×

2 2.焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为________.

【解析】 由题意知p＝2×2＝4，焦点在y轴正半轴上，

∴方程为x2＝2×4y，即x2＝8y.

【答案】 x2＝8y

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：________________________________________________________

解惑：________________________________________________________

疑问2：________________________________________________________

解惑：________________________________________________________

疑问3：________________________________________________________

解惑：________________________________________________________

[小组合作型]

求抛物线的标准方程

分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：

(1)准线方程为2y＋4＝0；

(2)过点(3，－4)；

(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.

【精彩点拨】 确定抛物线的类型→设出标准方程→确定参数→写出方程

【自主解答】 (1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0).又－p2＝－2，所以2p＝8，故抛物线的标准方程为x2＝8y.

(2)∵点(3，－4)在第四象限，

∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝163，2p1＝94.

∴所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.

(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0).

∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.

3

求抛物线方程的主要方法是待定系数法

(1)若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可；

(2)若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.

注意：焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0).

[再练一题]

1.(1)焦点在x轴上，且焦点在双曲线x24－y22＝1上的抛物线的标准方程为________.

(2)顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线经过点(2,2)，则此抛物线的方程为________.

【解析】 (1)由题意可设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，则焦点为m2，0.

∵焦点在双曲线x24－y22＝1上，∴m24×4＝1，求得m＝±4，∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.

(2)设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)，将(2,2)代入得m＝2，∴抛物线方程为y2＝2x.

【答案】 (1)y2＝8x或y2＝－8x (2)y2＝2x

由抛物线的标准方程求焦点

坐标和准线方程

求下列抛物线的焦点坐标准线方程：

(1)y＝14x2；(2)x＝1ay2(a≠0)

【导学号：24830043】

【精彩点拨】 原方程→化为标准形式→求焦点坐标和准线方程

【自主解答】 (1)抛物线y＝14x2的标准形式为x2＝4y，所以p＝2，所以焦点坐标是(0,1)，准线方程是y＝－1.

(2)抛物线x＝1ay2的标准形式为y2＝ax，所以p＝a2，故焦点在x轴上，坐标为a4，0，准线方程为x＝－a4.

4 求抛物线焦点坐标和准线方程的步骤：

[再练一题]

2.求抛物线ay2＝x(a≠0)的焦点坐标与准线方程.

【导学号：24830044】

【解析】 把抛物线ay2＝x(a≠0)方程化为标准形式为y2＝1ax，所以抛物线的焦点坐标为14a，0，准线方程为x＝－14a.

[探究共研型]

抛物线的定义及标准方程的应用

探究1 抛物线定义是什么？能否用数学式表示抛物线的定义？

【提示】 平面内到一定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.设抛物线上任意一点P，点P到直线l的距离为PD，则抛物线的定义可表示为PF＝PD.

探究2 抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P的横坐标为x0，那么点P到其焦点F的距离是什么？

【提示】 抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－p2，根据抛物线的定义可知抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以点P到其焦点F的距离为PF＝x0－－p2＝x0＋p2.

探究3 探究2中得到的用点P的横坐标表示其到焦点的距离的公式称为抛物线的焦半径公式，对于其它三种形式的方程的焦半径公式是什么？

【提示】 设抛物线上一点P的横坐标为x0，对于抛物线y2＝－2px(p＞0)，PF＝－p2－x0；

设抛物线上一点P的纵坐标为y0，对于抛物线x2＝2py(p＞0)，PF＝y0－－p2＝y0＋p2；

设抛物线上一点P的纵坐标为y0，对于抛物线x2＝－2py(p＞0)，PF＝－p2－y0.

探究4 通过以上探究，你得到了什么启示？

5 【提示】 当题目中涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般转化为抛物线上的点到准线的距离较为简单，这样就将两点间的距离转化为点到直线的距离，将二次问题转化为一次问题.

已知抛物线的方程为y2＝2x，F是其焦点，点A(4,2)，是否存在M，使MA＋MF取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【精彩点拨】 判断点A的位置→把到焦点的距离转化为到准线的距离

→利用三点共线求最小值

【自主解答】 如图，由于点M在抛物线上，所以MF等于点M到其准线l的距离MN，于是MA＋MF＝MA＋MN，所以当A，M，N三点共线时，MA＋MN取最小值，亦即MA＋MF取最小值，这时M的纵坐标为2，可设M(x0,2)代入抛物线方程得x0＝2，即M(2,2).

1.此类题目的实质是抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离，从而化曲为直，利用点到直线的距离求最小值.

2.涉及抛物线上任意一点P与平面上的定点A以及抛物线焦点F的距离和PA＋PF的最小值问题，有以下处理思路：

(1)若点A在抛物线外部，则直线FA与抛物线的交点P使得PA＋PF最小，其最小值为AF；

(2)若点A在抛物线内部，则过A点作与准线l垂直的直线，它与抛物线的交点为P，则PA＋PF最小，其最小值为点A到准线l的距离.

[再练一题]

3.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为________.

【解析】 如图，由抛物线定义知PA＋PQ＝PA＋PF，则所求距离之和的最小值转化为求PA＋PF的最小值，则当A、P、F三点共线时，PA＋PF取得最小值.

6 又A(0,2)，F12，0，

∴(PA＋PF)min＝AF

＝0－122＋2－02＝172.

【答案】

172

[构建·体系]

1.抛物线x2＝－16y的焦点坐标是________.

【解析】 p2＝4，焦点在y轴上，开口向下，焦点坐标应为0，－p2，即(0，－4).

【答案】

(0，－4)

2.抛物线y＝14x2的准线方程是________.

【解析】 由y＝14x2得x2＝4y，所以抛物线的准线方程是y＝－1.

【答案】 y＝－1

3.抛物线y2＝2x上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标是________.

【导学号：24830045】

【解析】 准线x＝－12，∴xM＋12＝1，∴xM＝12.

【答案】 12

4.(2016·鄂州高二检测)顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线方程是________.

【解析】 ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，