证明线段相等的方法

证明线段相等的方法

work Information Technology Company.2020YEAR 平面几何中线段相等的证明几种方法

平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。

一、利用全等三角形的性质证明线段相等

这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。

［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。求证：AE=BD。

证明 ∵△ACB和△BCE都是等边三角形

∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60°

∴∠ACE=∠ACD＋∠DCE=120°

∠BCD=∠BCE＋∠DCE=120°

∴AC=CD，CE=CB

∴△ACE≌△DCB（SAS）

∴AE=DB

［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。

证明：过点E作EG//AF交BC于点G ∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE

∵BE=CF，∴GE=CF

在△EGD和△FCD中，

∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF

∴△EGD≌△FCD（AAS） ∴ED=FD

二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等

如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。

［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。

求证：AF=EF。

证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG。

∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD

∴△ADC≌△GDB

∴AC=GB，∠FAE=∠BGE

∵BE=AC

∴BE=BG，∠BGE=∠BEG

∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF

∴AE=EF ［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。

证明：∵DF⊥BC

∴∠DFB=∠EFC=90°，∠D=90°－∠B，∠CEF=90°－∠C

∵AB=AC，∴∠B=∠C

∴∠D=∠CEF

∵∠CEF=∠AED

∴∠D=∠AED

∴AD=AE

三、利用平行四边形的性质证明线段相等

如果所证两线段在一直线上或看似平行，用上面的方法不易，可以考虑此法。

［例1］如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于F，

求证：EF=FD。

证明：过D作DO⊥AC交AB于点O

∵OD垂直平分AC，∠ACB=90°

∴BC⊥AC ∴O点必为AB的中点，连结EO，则EO⊥AB

∵∠CAB=30°，∠BAE=∠CAD=60°

∴AD⊥AB，AE⊥AC

∴OE//AD，AE//OD

∴四边形ODAE为平行四边形

∴EF=FD

［例2］如图，AD是△ABC的中线，过DC上任意一点F作EG//AB，与AC和AD的延长线分别交于G和E，FH//AC，交AB于点H。

求证：HG=BE。

证明：延长AD到A”，使DA”=AD

又∵BD=CD

∴四边形BACA”是平行四边形

∴BA=A”C

由题设可知HFGA也是平行四边形

∴HF=AG

∵HF//AC，∴

又∵，HF=AG，BA=A”C

∴BH=EG

∴四边形BEGH是平行四边形 ∴HG=BE

四、利用中位线证明线段相等

如果已知中含有中点或等边等，用上面方法较难，可以考虑此法。

［例1］如图，以△ABC的边AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD=∠ACE，M是BC的中点。

证明：DM=EM。

证明：延长BD至F，使DF=BD。

延长CE到G，使EG=CE，连结AF、FC，连结AG、BG

∵BD=FD，∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD

∴Rt△ABD≌Rt△AFD

∴∠BAD=∠FAD

同理可得：∠CAE=∠GAE

∵∠ABD=∠ACE

∴∠FAB=∠GAC，故∠FAC=∠GAB

在△ABG和△AFC中，

AB=AF，∠GAB=∠CAF，AG=AC

∴△ABG≌△AFC

∴BG=FC

又∵DF=DB，EC=EG，M是BC的中点

∴DM==EM，即DM=EM ［例2］如图，△ABC中，∠C为直角，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE与正△ACD，DE与AB交于F。

求证：EF=FD。

证明：过D作DG//AB交EA的延长线于G，可得∠DAG=30°

∵∠BAD=30°＋60°=90°

∴∠ADG=90°

∵∠DAG=30°=∠CAB，AD=AC

∴Rt△AGD≌Rt△ABC

∴AG=AB，∴AG=AE

∵DG//AB

∴EF//FD

五、利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等。

如果所证两线段所在的图形能构成直角三角形，并且可能构成斜边及斜边上的中线，用上面方法一时证不出来，可以考虑此法。

［例］如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：AG=AD。

证明：作DA、CE的延长线交于H

∵ABCD是正方形，E是AB的中点

∴AE=BE，∠AEH=∠BEC ∠BEC=∠EAH=90°

∴△AEH≌△BEC（ASA）

∴AH=BC，AD=AH

又∵F是BC的中点

∴Rt△DFC≌Rt△CEB

∴∠DFC=∠CEB

∴∠GCF＋∠GFC=∠ECB＋∠CEB=90°

∴∠CGF=90°

∴∠DGH=∠CGF=90°

∴△DGH是Rt△

∵AD=AH

∴AG==AD

证明线段相等的技巧

要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况：

（1）要证明的两条线段分别在两个三角形中；（2）要证明的两条线段在同一个三角形中；（3）要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。

一、如果要证明的两条线段分别在两个三角形中

一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等。

例1 已知：如图1，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB，求证：AE=DB。 9

分析：从结论入手，要证明线段AE=DB，即看AE和DB分别是△ACE和△BCD的一边，因此，欲证AE=DB，只须证△ACE△BCD即可，而在这两个三角形中，AC=BC，EC=DC，欲证△ACE△BCD，只须证∠ACE=∠DCB，又因为∠DCE=∠ACE=，于是，∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD，即∠ACE=∠DCB，故结论可证，证明略。

二、如果要证明的两条线段在同一三角形中

一般的思路是利用等角对等边。

例2 已知：如图2，△ABC中AB=AC，D为BC上一点，过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。

分析：证明同一三角形中两条边相等，一般不采用全等三角形，而且把两边所对的角迁移到相应三角形中找出相等关系。

证明：法一：因为DF⊥BC于D，

所以∠F+∠B=，∠C+∠DCE=，又因为，所以∠B=∠C，所以∠F=∠DCE=∠AEF，所以AE=AF。

法二：考虑到AB=AC，即△ABC是以BC为底的等腰三角形的特殊性（三线合一），过顶点A作AG⊥BC于G，于是∠BAG=∠CAG，又因为DF⊥BC，所以AG∥DF， 所以∠AEF=∠CAG，∠BAG=∠F，

所以∠AEF=∠F，所以AE=AF。

法三：考虑到要证的结论AE=AF，即要证△AEF是等腰三角形，也由等腰三角形的特殊性质（三线合一）作辅助线，过顶点A作AH⊥DF于H，于是，AH∥BC，所以有∠EAH=∠C，∠FAH=∠B，又有∠B=∠C，于是∠EAH=∠FAH，即AH是高又是角平分线，故AE=AF。

三、如果要证明的线段在同一直线上或其它情况

一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明。

例3 已知：如图3，△ABC中AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=EC，连结DE交BC于F，求证：DF=EF。

分析：已知线段相等，要证线段相等，一般的思路是利用等腰三角形或全等三角形来证明，但这两条线段不在一个三角形中，且它们所在的两个三角形显然不全等。因此，欲证DE=DF，必须添加适当的辅助线，构成证题所需的等腰三角形或全等三角形，这样的辅助线有：

（1）过D作DG∥AE交BC于G，则易证∠DGB=∠ACB，又因为AB=AC，所以∠B=∠ACB，即∠DGB=∠B得DB=DG，从而得DG=EC，易证△DGF△ECF。

（2）过E作EH∥AB交BC的延长线于H，易得∠B=∠H，又因为∠1=∠2，∠B=∠1，所以∠2=∠H，从而EH=EC=DB，易证△DBF△EHF。

例4 已知：如图5，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上一点，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求证：AG=CH。

分析：从结论入手，要证线段AG=CH就看线段AG、CH是否在同一三角形中的两条边或两个三角形中的两条边，这里的AG、CH虽然在两个三角形中，但显然不全等，作辅助线构成全等三角形也无法作，由于BE=BF要证明的线段AG、CH恰是这两边上的高，这时就应该想到面积法，作辅助线构成两个等底等高的三角形或平行四边形，很显然结合已知条件可知构成平行四边形，延长AD到S使DS=AE，连结CS。延长ACD到R使DR=CF，连结AR证明略。

总之：证明线段相等主要看要证明的线段的位置，根据位置情况来定方法，如果要证明的线段在同一三角形中，常用它们所对的角相等；如果要证明的线段分别在两个三角形中，常用全等三角形；如果要证明的线段既不在同一三角形中也不在两个三角形中，则应想办法作辅助线使其构成全等三角形。