《证明线段相等-角相等-线段垂直》的方法总结

1 《段相等,角相等,线段垂直》的专题复习

一.证明线段相等的方法：

1。中点:

2。等式的性质

3.全等三角形

4借助中介线段

二。证明角相等的方法

1.对顶角相等

2.等式的性质

3。角平分线

4垂直的定义

5.两直线平行（同位角，内错角）

6.全等三角形

7。同角的余角相等

8等角的余角相等

9。同角的补角相等

10等角的补角相等

11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和

三．证明垂直的方法

1。证明两直线夹角=90°

2 2。证明邻补角相等

3。证明邻补角的平分线互相垂直

4证明三角形两内角之和=90°

5。垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条

6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等

3 经典题型：

。利用角平分线的定义

例题1.如图，已知AB=AC,AD//BC，求证

2、基本图形“双垂直” 本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。

例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．

例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．

3.利用等腰三角形三线合一

例题4。正方形ABCD中,F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。

4.利用定理

定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

例5。如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P,求证点P在∠B的平分线上。

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5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。

基本图形：

P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。

例6.如图,ΔABC中，∠B的平分线与∠C外角的平分线交于D,过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE—CF。

6.利用角平分线的对称性。

例7。如图，已知在ΔABC中,AB〉AC，AD是ΔABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB—AC>PB-PC。

7.角平分线与垂直平分线综合

例题8、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DG⊥BC,且平分BC于G,DE⊥AB于E,DF⊥AC延长线于F．

（1）求证：BE=CF．

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角平分线专题复习（解答部分)

一、平分线的应用。

几何题中，经常出现“已知角的平分线”这一条件.这个条件一般有下面几个方面的应用：

（1）利用“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等"的性质，证明两条线段相等。

（2）利用角是轴对称图形，构造全等三角形.

(3）构造等腰三角形。

二、应用举例：

1.利用角平分线的定义

例题1.如图，已知AB=AC,AD//BC，求证AD平分∠EAC。

证明：因AB=AC，故∠B=∠C.

又因AD//BC，故∠1=∠B，∠2=∠C，

故∠1=∠2，即AD平分∠EAC。

2、基本图形“双垂直” 本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉)。 例题2。如图,,与的面积相等．求证:OP平分．

分析:观察已知条件中提到与,显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定结论可得。

证明：作于M，于N

6 ，，且

又

又

平分

例题3、如图,，E是BC的中点,DE平分．求证:AE是的平分线．

分析: 在初一学习平行线时就围绕这个图做过很多练习，当时我们证明过DE垂直AE等。还是这个图条件变了,由角平分线条件不难想到做辅助线构造“双垂直”的基本图形,用“角平分线性质”推得距离相等，再由另一侧距离相等用“角平分线判定"AE为角平分线。

证明:作于F 平分，，

又 E是BC的中点

又，

AE是的平分线

3.利用等腰三角形三线合一

例题4。正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点,且AE=DC+CE，求证:AF平分∠DAE。

证明:连结EF并延长，交AD的延长线于G，则ΔFDG≌ΔFCE,

故CE=DG，EF=GF，于是AG=AD+DG=DC+CE=AE。

又因EF=GF，故AF是等腰三角形的底边上的中线，于是AF平分∠DAE.

4。利用定理

定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P,求证点P在∠B的平分线上。

证明：过P作PD⊥AB,PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是D、E、F, 因P在∠MAC的平分线上，故PD=PE. 又因P在∠ACN的平分线上,故PE=PF，于是PD=PF， 故点P在

7 ∠B的平分线上。

5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。

基本图形:

P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB,则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。

例6。如图，ΔABC中，∠B的平分线与∠C外角的平分线交于D,过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE—CF.

分析:由BD平分∠ABC，ED∥BC,不难得出BE=DE。要证EF=BE—CF,就转化为要证EF=DE-CF。下面要证FD=FC,即要证∠FCD=∠FDC。由CD平分∠ACG，ED∥BC，很容易得出∠FCD=∠FDC，从而问题得证。

6。利用角平分线的对称性。

例7。如图,已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分线,P是AD上一点，求证AB-AC>PB—PC。

分析：证明不等关系，一般要把所证明的有关线段放在一个三角形内。通过角平分线这一条件可以构造全等三角形：在AB上截取AC'=AC，则有ΔAC'P≌ΔACP,AC'=AC，PC’=PC。在ΔBPC’中,BC'+C’P>PB, 即AB-AC’〉PB—PC',从而得出AB-AC>PB—PC

7。角平分线与垂直平分线综合

例题8、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延长线于F．

(1)求证：BE=CF．

（2）如果AB=a，AC=b,求AE、BE的大小

（用含有a、b的式子表示）．

8

证明：(1）连结BD、CD

DG⊥BC，且平分BC于G

(此处提前用到了垂直平分线的性质,

即垂直平分线上的点到线段两端距离相等，

可由证明得到)

AD平分∠BAC，DE⊥AB,DF⊥AC

，

在和中

(2） AD平分∠BAC

同理：

即AD平分

又

而AE=AB—BE=a-BE,AF=AC+CF=b+CF

a—BE= b+CF

又

，AE=a—BE=a-=

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角平分线练习题

1。 如图，在△ABC中,∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，如果AC=3，那么AE+DE=( ）

A．2 B．3 C．4 D．5

2. 如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P,则点P到△ABC的三边所在直线的距离的关系是（ ）

A．均不相等 B．均相等 、C．其中有两个相等 D．无法确定

3。 如图，表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）

A．一处 B．二处 C．三处 D．四处

4。 在△ABC内部到三条边的距离相等的点有____________个．

5. 如图，OP平分∠AOB,PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，下列结论：(1）PC=PD；（2）OC=OD；（3）OC=2PC；(4)∠DPO=∠CPO中，错误的是__________．

10 (第3题） （第5题） （第6题）

6. 如图，已知∠C=90°,AD平分∠BAC，BD=2CD，点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为____cm。

7. 如图，△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD、CE相交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形的对数为___________．

（第7题） （第8题） （第9题) (第10题）

8。 如图，，要使，请你增加一个条件是___________．(只需要填一个你认为合适的条件）

9. 如图所示，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2,AC=DF，若使△ABC≌△DEF，则需补充一个条件是___________。 10。

如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠A与∠DEC互补，若BC=11cm，则△DEC周长为___________．

答案:1、B 2. B 3、D 4、1 5、(3)

6. 15 ； 7、 6 ； 8、 ∠B=∠C ； 9、BC=EF; 10、11cm