线段相等的证明

证明线段相等的方法(共10页)

--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可--

--内页可以根据需求调整合适字体及大小-- 平面几何中线段相等的证明几种方法

平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。

一、利用全等三角形的性质证明线段相等

这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。

［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。求证：AE=BD。

证明 ∵△ACB和△BCE都是等边三角形

∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60°

∴∠ACE=∠ACD＋∠DCE=120°

∠BCD=∠BCE＋∠DCE=120°

∴AC=CD，CE=CB

∴△ACE≌△DCB（SAS）

∴AE=DB

［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。

证明：过点E作EG//AF交BC于点G ∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE

∵BE=CF，∴GE=CF

在△EGD和△FCD中，

∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF

∴△EGD≌△FCD（AAS） ∴ED=FD

二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等

如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。

［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。

求证：AF=EF。

证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG。

∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD

∴△ADC≌△GDB

∴AC=GB，∠FAE=∠BGE

数学

篇学思导引圆的知识是平面几何中的重要内容.它与平行线、等腰三角形、相似三角形、特殊四边形的知识有着密切的联系.因此，证明圆中线段相等的方法灵活多样，而且很复杂.对此，笔者归纳了如下几种证明方法，以期对同学们解题有所帮助.一、利用“等角对等边”等角对等边是指在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.它是判定等腰三角形的重要依据，也是证明线段相等的重要方法.在求证圆中线段相等问题时，当所要证明的两条线段是同一个三角形的两边，同学们可以利用“等角对等边”的性质，证得两边所对的角相等，这样就能证得这两条线段相等.例1如图1，在Rt△MNP中，∠MPN=90°，以MP为直径的⊙O交MN于点Q，过点Q作⊙O的切线RS交NP于点S.求证：NS=QS.图1分析：观察图形，不难看出，NS、QS这两条线段同在△NQS中，因此，在求证时不妨考虑等腰三角形，利用“等角对等边”的性质得到NS=QS.证明：如图1所示，连接PQ.因为MP为⊙O的直径，所以∠MQP=∠NQP=90°，所以∠PQS+∠SQN=90°，∠N+∠QPN=90°.又因为∠MPN=90°，MP为⊙O的直径，所以NP与⊙O相切于点P.因为RS与⊙O相切于点Q，所以QS=SP，所以∠PQS=∠QPN，∠N=∠SQN，所以NS=QS.评注：利用“等角对等边”证明圆中线段相等，关键在于证明圆中同一个三角形的两个角相等，而证明两角相等则可以从同位角、内错角相等，以及全等三角形等方面予以考虑.二、利用“全等三角形对应边相等”我们都知道，全等三角形的对应边相等.在证明圆中线段相等时，若圆中所要证明的线段不在同一个三角形中，此时同学们要注意思考圆中待证的两条线段所在的三角形是否全等，然后借助两个三角形全等，得出它们的对应边相等，即所证的目标线段相等.例2如图2，在⊙O中，P、Q分别是半径OM、ON上的点，且MP=NQ，点R为弧MN的中点，连接RP、RQ.求证：RP=RQ.图2分析：线段RP、RQ在同一个圆中，但并不在同一个三角形中，直接证明行不通.不妨证明圆中线段相等的几个途径江苏省盐城市新洋第二实验学校孙鸽林28 数学

证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

*12.两圆的内（外）公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等

证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

证明线段相等的方法

三角形中：

① 同一三角形中，等角对等边。（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）

② 等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。

③④有一角为 60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形。 过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

（三）四边形中：

① 平行四边形对边相等，对角线相互平分。

② 矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。

③ 等腰梯形两腰相等、两对角线相等。

证明角相等的方法

（一） 相交直线及平行线：

① 二直线 相交，对顶角相等。

② 二平行线被第三直线所截时，同位角相等，内错角相等， 外错角相等。

③ 同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，凡直角 都相等。

④ 角的平分线分得的两个角相等。

⑤ 自两个角的顶点向角内看角的两边，若有一角的左边平行 （或垂直）于另一角左边，一角的右边平行（或垂直）于另

一角的右边，则此二角相等

（二） 三角形中：

① 同一三角形中，等边对等角。（等腰三角形两底角相等、 等边三角形三内角相等）

② 等腰三角形中底边上的高或中线平分顶角。

③ 有一角为 60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形（三 内角都相等）

④ 直角三角形中，斜边的中线分直角三角形为两个等腰三角 形

证明直线垂直的方法

（一）相交线与平行线：

① 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直。

② 两平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线 。

（二）三角形：

① 直角三角形的两直角边互相垂直。

② 三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。

证明直线平行的方法

（一）平行线与相交线：

①在同一平面内两条不相交的直线平行。

② 同平行、或同垂直于第三直线 的两条直线平行。

③ 同位角相等、或内错角相等、或外错角相等、或同旁内角互补、或同旁外角互 补的两条直线平行。 证明直角三角形的方法

① 有一个角为 90°，则这个三角形为直角三角形