奥数应用题专项练习及解析：周期性问题

奥数应用题专项练习及解析：周期性问题2012-12-20 16:16 来源：网络编辑整理作者：网络编辑整理[标签：数学应用解析数学应用题]编者小语：“题海无边，题型有限”。

学习数学必须要有扎实的基本功，有了扎实的基本功再进行“奥数”的学习就显得水到渠成了。

巨人奥数网为大家准备了奥数应用题专项练习及解析：周期性问题，希望可以帮助到你们，助您快速通往高分之路!!一、填空题(共10小题，每小题3分，满分30分)1.(3分)1992年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期_________ .2.(3分)黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如图：这串珠子中，最后一颗珠子应该是_________ 色的，这种颜色的珠子在这串中共有_________ 颗.3.(3分)流水线上生产小木珠涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白，,继续下去第1993个小珠的颜色是_________ 色.4.(3分)把珠子一个一个地如图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋中.第1992粒珠子投在_________ 袋中.参考答案与试题解析一、填空题(共10小题，每小题3分，满分30分)1.(3分)1992年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期五.考点：日期和时间的推算.1923992分析：在这十年中有3个闰年，所以这10年的总天数是365×10+3，365被7除余1，所以总天数被7除的余数是13﹣7=6，因此10年后的1月18日是星期五.解答：解：(365×10+3)÷7=3653÷7=521(星期),6(天)，因此10年后的1月18日是星期五.故答案为：五.点评：考查了日期和时间的推算，本题得到从1992年1月18日起再过十年的1月18日的总天数是关键，同时还考查了星期几是7天一个循环.2.(3分)黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如图：这串珠子中，最后一颗珠子应该是黑色的，这种颜色的珠子在这串中共有26 颗.考点：周期性问题.1923992分析：根据图示可知，若去掉第一颗白珠后它们的排列是按“一黑三白”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4，由此即可得出答案.解答：解：因为，(102﹣1)÷4，=101÷4，=25,1，所以，最后一颗珠子是黑色的.又因为，1×25+1=26(颗)，所以，这种颜色的珠子在这串中共有26颗;故答案为：黑，26.点评：解答此题的关键是，根据图示，找出珠子排列的周期数，由此即可解答.3.(3分)流水线上生产小木珠涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白，,继续下去第1993个小珠的颜色是黑色.考点：周期性问题.1923992分析：小木球是依次按5红，4黄，3绿，2黑和1白的规律涂色的，把它看成周期性问题，每个周期为15.由1993÷15=132,13，所以第1993个小球是第133周期中的第13个，按规律涂色应该是黑色，所以第1993个小球的颜色是黑色.解答：解：5+4+3+2+1=15，1993÷15=132,13，所以第1993个小球是第133周期中第13个，应该与第一周期的第13个小球颜色相同，是黑色.答：第1993个小珠的颜色是黑色.故答案为：黑.点评：此题关键是找出周期的规律，然后利用除法算式得出小球是第几周期的第几个，与第一周期的颜色对比即可得出.4.(3分)把珠子一个一个地如图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋中.第1992粒珠子投在 B 袋中.这样就把这个题目转变成了一个数字排列的问题，由上图中的数字排列可以看出：右边为第一列，下边为第一行，从1开始依次排列;其规律是：每10个数字为一个周期，这10个数字分别所在的列数依次为A→B→C→D→E→F→E→D→C→B;由此规律，只要求出1992是第几周期的第几个数字，即可得出答案.解答：解：根据题干分析可得：上述数字的排列规律为：每10个数字为一个周期，这10个数字分别所在的列数依次为A→B→C→D→E→F→E→D→C→B;1992÷10=199,2，所以1992是第200个周期的第二个数字，与第一周期的第二个数字相同，即是 B.答：第1992粒珠子投在B袋中.故答案为： B点评：此题抓住投珠子的方法，把这个实际操作的问题转化成一个单纯的数字问题，可以使分析简洁明了.5.(3分)将数列1，4，7，10，13,依次如图排列成6行，如果把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编号，那么数列中的数349应排在第24行第 4 列分析：为了分析方便，把列数从左到右依次排列为1、2、3、4、5、6，如上图;根据题干可得：①此题是一个等差数列，公差是3;②从排列可以看出，两行为一个周期，即10个数为一个周期，位置分别在的列数为：2、3、4、5、6、5、4、3、2、1;所以只要求出349是这个数列中的第几个数，在第几周期的第几个数字即可得出答案.解答：解：根据题干分析可得：(349﹣1)÷3+1=117，所以349是这列数中的第117个数.117÷10=11,7，所以这个数是第12周期的第7个数字，那么这个数是第1周期的第二行，所以这个数在第12×2=24行，与第一周期的第7个数字位置相同即：在第4列，答：数列中的数349应排在第24行第4列.故答案为：24;4.点评：此题要从两个方面考虑周期①行数，两行一周期，②列数，即10个数字依次排列的列数.6.(3分)9/13分数化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是 6 .考点：周期性问题.1923992分析：9/13=0.692307 ，很显然小数点后面的数字循环周期是6，由此只要得出1993在第几周期的第几个数字即可解决问题.解答：解： = ，它的循环周期是6，因为1993÷6=332,1，即在第333周期的第一个数字，与第一周期的第一个数字相同，是6.故答案案为： 6.点评：此题抓住9/13的循环节，即可解决问题.7.(3分)3/14 化成小数后，小数点后面1993位上的数字是7 .考点：周期性问题.1923992分析：题目要求“小数点后面1993位上的数字是多少”，所以就要从3/14 化成小数后寻找规律.解答：解：3/14 =1.2142857 从小数点后面第二位开始，它的循环周期是6，因为(1993﹣1)÷6=332，则循环节“142857”恰好重复出现332次.所以小数点后面第1993位上的数字是7.故答案为：7.点评：此题考查了小数化分数的方法以及对循环节的掌握情况，同时培养学生寻找规律的能力.8.(3分)在一个循环小数0.1234567中，如果要使这个循环小数第100位的数字是5，那么表示循环节的两个小圆点，应分别在 3 和7 这两个数字上.考点：循环小数及其分类.1923992分析：表示循环小数的两个小圆点中，后一个小圆点显然应加在7的上面，且数字“5”肯定包含在循环节中，然后分情况讨论前一个循环节的点应放在哪.解答：解：后一个小圆点应加在7上;前一个小圆点的情况：(1)设前一个小圆点加在“5”的上面，这时循环周期是3，(100﹣4)÷3=32，第100位数字是7.(2)设前一个小圆点加在“4”的上面，这时循环周期是4，(100﹣3)÷4=24,1，第100位数字是 4.(3)设前一个小圆点加在“3”的上面，这时的循环周期是5，(100﹣2)÷5=19,3，第100位数字正好是 5.故答案为：3，7.点评：容易看出后一个小圆点应加在7的上面，但前一个圆点应加在哪个数字上，一下子难以确定，怎么办?唯一的办法就是“试”.因为循环节肯定要包含5，就从数字5开始试.逐步向前移动，直到成功为止.这就像我们在迷宫中行走，不知道该走哪条道才能走出迷宫，唯一的办法就是探索：先试一试这条，再试一试那条.9.(3分)1991个9与1990个8与1989个7的连乘积的个位数是 2 .考点：周期性问题;乘积的个位数.1923992分析：根据题干，要求它们的连乘积的个位数字，可以先求出它们各自的乘积的个位数字是几，由特例不难归纳出：(1)9的连乘积的个位数字按9，1循环出现，周期为2;(2)8的连乘积的个位数字按8，4，2，6循环出现，周期为4;(3)7的连乘积的个位数字按7，9，3，1循环出现，周期为 4.由此即可解决问题.解答：解：根据上述分析可以得出1991个9的乘积个位数字、1990个8的乘积个位数字、1989个7的个位数字分别为：(1)因为1991÷2=995,1，所以1991个9的连乘积的个位数字是第996周期的第一个数，与第一周期的第一个数字相同即是9;(2)因为1990÷4=497,2，所以1990个8的连乘积的个位数字是第498周期的第二个数字，与第一周期的第一个数字相同即是4;(3)因为1989÷4=497,1，所以1989个7的连乘积的个位数字是第498周期的第一个数字，与第一周期的第一个数字相同即是7.所以，9×4×7=252，即1991个9与1990个8与1989年7的连乘积的个位数字是 2.答：连乘积的个位数是 2.故答案为： 2.点评：抓住题干，求出9的连乘积、8的连乘积和7的连乘积的个位数字的规律，是解决本题的关键.10.(3分)算式的得数的尾数是9 .二、解答题(共4小题，满分0分)11.乘积1×2×3×4×,×1990×1991是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少?考点：周期性问题.1923992分析：我们用所有数的乘积除以了495个5之后得到的个位数字是6，那还要除以495个2才可以，因为他们乘到一起变成了495个0，再除以495个2就相当于把末尾的0全部去掉了，那么此时的个位数字就是要求的第一个不为0的数.2的495次方的个位数字是8(2的n次方的个位数字是2，4，8，6四位一周期495÷4=123,3)那么用刚才我们除以495个5之后得到的个位数字6除以8，就会得到最终的个位数字，6÷8的个位数字是2(就是2×8个位数字是6，当然7×8的个位数字也是6，但是注意了2的个数要远多于495个，所以最终的去掉495个0之后的数一定是个偶数，所以只能是 2.解答：解：此题中是1991个数字的连乘积，根据题干分析：所有数的乘积除以了495个5之后得到的个位数字是6，那还要除以495个2才可以，因为他们乘到一起变成了495个0，再除以495个2就相当于把末尾的0全部去掉了，那么此时的个位数字就是要求的第一个不为0的数.2的495次方的个位数字是8;2的n次方的个位数字是2，4，8，6四位一周期，495÷4=123,3;那么用刚才我们除以495个5之后得到的个位数字6除以8，就会得到最终的个位数字，6÷8的个位数字是2(就是2×8个位数字是6，当然7×8的个位数字也是6，但是注意了2的个数要远多于495个，所以最终的去掉495个0之后的数一定是个偶数，所以只能是 2.点评：将原式进行分组整合讨论，根据个位数字是2、5乘积的个位数字特点进行分析，得出从右边数第一位不为0的数字规律;根据2的连乘积的末位数的出现周期解决问题，是本题的关键所在.12.有串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的恰好是第二个数的，从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991个数被3除所得的余数是几?考点：周期性问题.1923992分析：(1)因为第一个数5/6× =第二个数×1/4 ，所以第一个数：第二个数=1/4 ：5/6 =3：10.又两数互质，所以第一个数为3，第二个数为10，从而这串数为：3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055,(2)要求这串数的第1991个数被3除所得的余数是几，可以先推理出得出这串数字除以3的余数的规律是什么;由此即可解决问题.解答：解：根据题干分析可得这串数字为：3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055,这串数字被3除所得的余数依次为：0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，所以可以看出这串数字除以3的余数按“0，1，1，2，0，2，2，1”循环，周期为8.因为1991÷8=248,7，所以第1991个数被3除所得余数应是第249周期中的第7个数，即2.答：这串数的第1991个数被3除所得的余数是 2.点评：解答此题应注意以下两个问题：(1)由于两个数互质，所以这两个数只能是最简整数比的两个数;(2)求出这串数被3除所得的余数后，找出余数变化的周期，但这并不是这串数的周期.一般来说，一些有规律的数串，被某一个整数逐个去除，所得的余数也具有周期性.13.表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为(共社)，第二组为(产会)，那么第340组是(好，好) .共产党好共产党好共产党好......社会主义好社会主义好社会主义好......考点：周期性问题.1923992分析：此题分成两部分来看：(1)上面一部分的周期为：四字一周期，分别为：共→产→党→好;那么第340个字在340÷4=85周期最后一个，与第一组中第四个字“好”相同;(2)同样的方法可以得出下面的周期为：五字一周期：社→会→主→义→好，由此即可解决问题.解答：解：根据题干分析：(1)上面四字一周期，分别为：共→产→党→好;那么第340个字在340÷4=85周期的最后一个，与第一组中第四个字“好”相同;(2)下面五字一周期，分别为：社→会→主→义→好，那么第340个字在340÷5=68周期最后一个数字，与第一周期的最后一个字“好”相同;答：由上述推理可得：第340组的数字是(好，好)，故答案为：(好，好).点评：此题也可以这样考虑：因为“共产党好”四个字，“社会主义好”五个字，4与5的最小公倍数是20，所以在连续写完5个“共产党好”与4个“社会主义好”之后，将重复从头写起，出现周期现象，而且每个周期是20组数.因为340÷20=17，所以第340组正好写完第17个周期，第340组是(好，好).14.甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色.首先，甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底.然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底.最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为75 厘米.考点：公约数与公倍数问题.1923992分析：根据题意甲、乙从同一端点开始涂色，甲按黑、白，黑、白交替进行;乙按白、黑，白、黑交替进行，如图所示.由图可知，甲黑、乙白从同一端点起，到再一次甲黑、乙白同时出现，应是5与6的最小公倍数的2倍，即5×6×2=60厘米，也就是它们按60厘米为周期循环出现，据此可以轻松求解.解答：解：按60厘米为周期循环出现，在每一个周期中没有涂色的部分是，1+3+5+4+2=15(厘米);所以，在3米的木棍上没有涂黑色的部分长度总和是，15×(300÷60)=75(厘米).故答案为：75.点评：此题主要考查最小公倍数问题，注意这里的周期是5与6最小公倍数的2倍，而不是5与6的最小公倍数.。

五年级奥数周期问题练习题问题1：某个班级有30个学生，其中15个是男生，剩下的是女生。

男生和女生一起组成了几对？请在下面作答：解答1：班级有30个学生，其中15个是男生，剩下的是15个女生。

男生和女生是一对一配对的，所以有15对。

问题2：在一个奥数比赛中，一支队伍需要有4个人。

有9个学生报名参赛。

请问一共有多少种不同的组队方式？请在下面作答：解答2：从9个学生中选出4个来组成一支队伍，可以使用组合的方法来计算。

C(9, 4) = 9! / (4! * (9-4)!) = 126所以一共有126种不同的组队方式。

问题3：一个街区有10幢房子，每幢房子都有不同的颜色。

现在有4个人，每个人都要住在不同颜色的房子里。

请问一共有多少种不同的安排方式？请在下面作答：解答3：第一个人有10种选择，第二个人有9种选择，第三个人有8种选择，第四个人有7种选择。

所以一共有10 * 9 * 8 * 7 = 5040种不同的安排方式。

问题4：某个月有31天，现在要将这31天分成3个连续的周期（每个周期可以不完整）。

请问一共有多少种不同的分法？请在下面作答：解答4：将31天分成3个周期，可以使用组合的方法来计算。

C(31+3-1, 3-1) = C(33, 2) = 33! / (2! * (33-2)!) = 528所以一共有528种不同的分法。

问题5：一个四位数的各位数字互不相同，且是4个奇数。

请问一共有多少个满足条件的四位数？请在下面作答：解答5：个位数字只能是1、3、5、7、9中的一个。

百位数字只能是1、3、5、7、9中的一个，并且不能和个位数字相同，所以有4种选择。

千位数字只能是1、3、5、7、9中的一个，并且不能和个位数字、百位数字相同，所以有3种选择。

千位数字只能是1、3、5、7、9中的一个，并且不能和个位数字、百位数字、千位数字相同，所以有2种选择。

所以一共有5 * 4 * 3 * 2 = 120个满足条件的四位数。

小学奥数周期问题例题讲解小学奥数周期问题是指小学生在从事奥数（奥林匹克竞赛数学题）时，会定期考察某些题型，这种定期考察有规律可循，可以称之为“周期”。

下面提供了几道典型的小学奥数周期问题，通过讲解这些题型，可以帮助小学生更好的理解小学奥数周期问题的规律。

1、数字序列给出一组数字，把它们按照一定的规律排序，要求小学生能够通过规律把数字按照顺序排列出来。

例如：(1)：2，6，11，17，24这里的数字组成了一个等差数列，其公差为5，所以答案是：2，6，11，17，24，29，34，39，44。

(2)：1，4，9，16，25这里的数字组成了一个等比数列，其公比为2，所以答案是：1，4，9，16，25，36，49，64，81。

2、对称数字给出一组数字，要求小学生从中找出对称的数字，例如：(1)：1，4，6，9这里可以看出，1和9是对称的，4和6也是对称的，所以答案是：1，9，4，6。

(2)：2，4，6，7这里可以看出，2和7是对称的，4和6也是对称的，所以答案是：2，7，4，6。

3、数的调整给出一组数字，要求小学生从中找出一个数字，使得所有的数字按从小到大的顺序排列，例如：(1)：4，5，6，9这里可以看出，4，5，6按从小到大的顺序排列，但是9大于6，不符合要求，所以我们可以用8替换9，使得所有数字按从小到大的顺序排列，所以答案是：4，5，6，8。

(2)：1，3，5，8这里可以看出，1，3，5按从小到大的顺序排列，但是8大于5，不符合要求，所以我们可以用7替换8，使得所有数字按从小到大的顺序排列，所以答案是：1，3，5，7。

4、数字变换给出一组数字，要求小学生用一个数字替换另一个数字，使得所有数字增加或减少一个相同的数字。

例如：(1)：3，5，7，9这里可以看出，如果我们用2替换9，那么其它三个数字都会减少2，所以答案是：3，5，7，2。

(2)：1，3，5，7这里可以看出，如果我们用4替换7，那么其它三个数字都会增加2，所以答案是：1，3，5，4。

小学奥数中周期性问题的讲解小学奥数中周期性问题的讲解奥数是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度.让我们一起来阅读“奥数应用题练习及解析：周期性问题”，忘了痛苦，忘了喜悦，冲吧!11.乘积1×2×3×4×…×1990×1991是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少?考点：周期性问题.1923992分析：我们用所有数的乘积除以了495个5之后得到的个位数字是6，那还要除以495个2才可以，因为他们乘到一起变成了495个0，再除以495个2就相当于把末尾的0全部去掉了，那么此时的个位数字就是要求的第一个不为0的数.2的495次方的个位数字是8(2的n次方的个位数字是2，4，8，6四位一周期495÷4=123…3)那么用刚才我们除以495个5之后得到的个位数字6除以8，就会得到最终的个位数字，6÷8的个位数字是2(就是2×8个位数字是6，当然7×8的个位数字也是6，但是注意了2的个数要远多于495个，所以最终的去掉495个0之后的数一定是个偶数，所以只能是2.解答：解：此题中是1991个数字的连乘积，根据题干分析：所有数的乘积除以了495个5之后得到的个位数字是6，那还要除以495个2才可以，因为他们乘到一起变成了495个0，再除以495个2就相当于把末尾的0全部去掉了，那么此时的个位数字就是要求的第一个不为0的数.2的495次方的个位数字是8;2的n次方的个位数字是2，4，8，6四位一周期，495÷4=123…3;那么用刚才我们除以495个5之后得到的个位数字6除以8，就会得到最终的个位数字，6÷8的个位数字是2(就是2×8个位数字是6，当然7×8的个位数字也是6，但是注意了2的个数要远多于495个，所以最终的去掉495个0之后的数一定是个偶数，所以只能是2.点评：将原式进行分组整合讨论，根据个位数字是2、5乘积的个位数字特点进行分析，得出从右边数第一位不为0的数字规律;根据2的连乘积的末位数的出现周期解决问题，是本题的关键所在.12.有串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的恰好是第二个数的，从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991个数被3除所得的余数是几?考点：周期性问题.1923992分析：(1)因为第一个数5/6×=第二个数×1/4，所以第一个数：第二个数=1/4：5/6=3：10.又两数互质，所以第一个数为3，第二个数为10，从而这串数为：3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055…(2)要求这串数的.第1991个数被3除所得的余数是几，可以先推理出得出这串数字除以3的余数的规律是什么;由此即可解决问题.解答：解：根据题干分析可得这串数字为：3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055…这串数字被3除所得的余数依次为：0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，所以可以看出这串数字除以3的余数按“0，1，1，2，0，2，2，1”循环，周期为8.因为1991÷8=248…7，所以第1991个数被3除所得余数应是第249周期中的第7个数，即2.答：这串数的第1991个数被3除所得的余数是2.点评：解答此题应注意以下两个问题：(1)由于两个数互质，所以这两个数只能是最简整数比的两个数;(2)求出这串数被3除所得的余数后，找出余数变化的周期，但这并不是这串数的周期.一般来说，一些有规律的数串，被某一个整数逐个去除，所得的余数也具有周期性.13.表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为(共社)，第二组为(产会)，那么第340组是 (好，好) .共产党好共产党好共产党好......社会主义好社会主义好社会主义好......考点：周期性问题.1923992分析：此题分成两部分来看：(1)上面一部分的周期为：四字一周期，分别为：共→产→党→好;那么第340个字在340÷4=85周期最后一个，与第一组中第四个字“好”相同;(2)同样的方法可以得出下面的周期为：五字一周期：社→会→主→义→好，由此即可解决问题.解答：解：根据题干分析：(1)上面四字一周期，分别为：共→产→党→好;那么第340个字在340÷4=85周期的最后一个，与第一组中第四个字“好”相同;(2)下面五字一周期，分别为：社→会→主→义→好，那么第340个字在340÷5=68周期最后一个数字，与第一周期的最后一个字“好”相同;答：由上述推理可得：第340组的数字是(好，好)，故答案为：(好，好).点评：此题也可以这样考虑：因为“共产党好”四个字，“社会主义好”五个字，4与5的最小公倍数是20，所以在连续写完5个“共产党好”与4个“社会主义好”之后，将重复从头写起，出现周期现象，而且每个周期是20组数.因为340÷20=17，所以第340组正好写完第17个周期，第340组是(好，好).14.甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色.首先，甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底.然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底.最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为 75 厘米.考点：公约数与公倍数问题.1923992分析：根据题意甲、乙从同一端点开始涂色，甲按黑、白，黑、白交替进行;乙按白、黑，白、黑交替进行，如图所示.由图可知，甲黑、乙白从同一端点起，到再一次甲黑、乙白同时出现，应是5与6的最小公倍数的2倍，即5×6×2=60厘米，也就是它们按60厘米为周期循环出现，据此可以轻松求解.解答：解：按60厘米为周期循环出现，在每一个周期中没有涂色的部分是，1+3+5+4+2=15(厘米);所以，在3米的木棍上没有涂黑色的部分长度总和是，15×(300÷60)=75(厘米).故答案为：75.点评：此题主要考查最小公倍数问题，注意这里的周期是5与6最小公倍数的2倍，而不是5与6的最小公倍数.。