五年级数学奥数题周期问题练习题带答案

周期问题一、知要点周期是指事物在运化的展程中，某些特点循往来出，其两次出所的叫做周期。

在数学上，不有研究周期象的分支，而且平解也常常遇到与周期象有关的。

些数学只要我展某种周期象，并充足加以利用，把要求的和某一周期的等式相，就能找到解关。

二、精精【例 1】流水上生小木球涂色的次序是：先 5 个，再 4 个黄，再 3 个，再 2 个黑，再 1 个白，尔后又依次 5 、 4 黄、 3 、2 黑、 1 白⋯⋯这样涂下去，到 2001 个小球涂什么色？【思路航】依照意可知，小木球涂色的次序是 5 、 4 黄、 3 、 2 黑、 1 白，即5＋4＋3＋2＋1=15 个球一个周期，不断循。

因 2001÷15=133⋯⋯ 6，也就是 133 个周期余 6 个，每个周期中第 6 个是黄的，因此第 2001 个球涂黄色。

1：1. 跑道上的彩旗按“三面、两面、一面黄”的律插下去，第50 面插什么色？2. 有一串珠子，按 4 个的， 3 个白的， 2 个黑的序重复排列，第160 个是什么色？⋯⋯，小数点后边第100 个数字是多少？- 1 -【例 2】有 47 灯，按二灯、四灯、三黄灯的序排列着。

最后一灯是什么色的？三种色的灯各占数的几分之几？【思路航】（ 1）我把二灯、四灯、三黄灯 9 灯看作一， 47÷ 9=5 （）⋯⋯ 2（），余下的两是第 6 的前两灯，是灯，因此最后一灯是灯；（2）由于 47÷ 9=5（）⋯⋯ 2（），因此灯共有 2×5＋2=12（），占数的 12/47 ；灯共有4×5=20（），占数的 20/47 ；黄灯共有 3×5=15（），占数的 15/47 。

2：1.有 68 面彩旗，按二面的、一面的、三面黄的排列着，些彩旗中，旗占黄旗的几分之几？2.黑珠和白珠共 2000 ，按律排列着：○●○○○●○○○●○○⋯⋯，第2000珠子是什么色的？其中，黑珠共有多少？3.在 100 米的跑道两每隔 2 米站着一个同学。

五年级奥数周期问题练习题问题1：某个班级有30个学生，其中15个是男生，剩下的是女生。

男生和女生一起组成了几对？请在下面作答：解答1：班级有30个学生，其中15个是男生，剩下的是15个女生。

男生和女生是一对一配对的，所以有15对。

问题2：在一个奥数比赛中，一支队伍需要有4个人。

有9个学生报名参赛。

请问一共有多少种不同的组队方式？请在下面作答：解答2：从9个学生中选出4个来组成一支队伍，可以使用组合的方法来计算。

C(9, 4) = 9! / (4! * (9-4)!) = 126所以一共有126种不同的组队方式。

问题3：一个街区有10幢房子，每幢房子都有不同的颜色。

现在有4个人，每个人都要住在不同颜色的房子里。

请问一共有多少种不同的安排方式？请在下面作答：解答3：第一个人有10种选择，第二个人有9种选择，第三个人有8种选择，第四个人有7种选择。

所以一共有10 * 9 * 8 * 7 = 5040种不同的安排方式。

问题4：某个月有31天，现在要将这31天分成3个连续的周期（每个周期可以不完整）。

请问一共有多少种不同的分法？请在下面作答：解答4：将31天分成3个周期，可以使用组合的方法来计算。

C(31+3-1, 3-1) = C(33, 2) = 33! / (2! * (33-2)!) = 528所以一共有528种不同的分法。

问题5：一个四位数的各位数字互不相同，且是4个奇数。

请问一共有多少个满足条件的四位数？请在下面作答：解答5：个位数字只能是1、3、5、7、9中的一个。

百位数字只能是1、3、5、7、9中的一个，并且不能和个位数字相同，所以有4种选择。

千位数字只能是1、3、5、7、9中的一个，并且不能和个位数字、百位数字相同，所以有3种选择。

千位数字只能是1、3、5、7、9中的一个，并且不能和个位数字、百位数字、千位数字相同，所以有2种选择。

所以一共有5 * 4 * 3 * 2 = 120个满足条件的四位数。

小学数学《周期性问题》练习题（含答案）基本概念：周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.阳历中有闰日的年份叫闰年，相反就是平年，平年为365天，闰年为366天. 在公历纪年中，平年的二月为28天，闰年的二月为29天. 闰年的2月29日为闰日.一般的,能被4整除的年份是闰年,不能被4整除的年份是平年.如:1988年2008年是闰年;2005年2006年2007年是平年.但是如果是世纪年(也就是整百年),就只有能被400整除才是闰年,否则就是平年.如:2000年就是闰年,1900年就是平年.【复习1】（华罗庚学校五年级入学考试试题）从算式1998÷8991的除数和被除数中各划去两个数字,使得新算式的结果尽可能小,那么该结果小数点后第1998位数字是多少?分析:除数划去两个数字最小是18, 被除数划去两个数字最大是99 , 18÷99=0.1818……,1998÷2正好整除,所以小数点后面1998位是8.【复习2】（05福建迎春杯）有一串数列，第一个数是8，以后每个数的规律为：如果前一个数是奇数，就将它减去1以后再乘以3；如果前一个数是偶数，就将它除以2以后再加上2，那么这串数列的第102个数是多少？分析：写出这串数的若干项：8、6、5、12、8、6、5、12、……，每四个数一循环：102÷4=25…2，所以第102个数是6 .【复习3】有一列数：2、1000、998、2、996、994、…从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，那么在这列数中第188个数是几？分析：我们把这个数列延伸一下：2、1000、998、2、996、994、2、992、990、2、988、986、…，3间隔两项出现，大数（非3的数）以2为公差减小，如上下划线所示，每三个一组，每组第二个数字差为4，188÷3=62……2 ，所以第188个数是第63组的第2个数，为：1000-（63-1）×4=752.数字大排队【例1】除0外的全体自然数如右表排列，请问（1）数43在哪个字母下面?（2）数47在哪个字母下面?（3）数56在哪个字母下面?分析：（1）43÷8=5…3，所以它在3的下面，也就是说在C的下面；（2）47÷8=5…7，所以它在7的下面，也就是说在E的下面；（3）56=7×8，所以它在8的下面，也就是说在D 的下面。

1. 掌握各种周期问题的求解方法．2. 培养学生观察、分析和逻辑推理能力。

知识点说明：周期问题： 周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.分类： 1．图形中的周期问题；2．数列中的周期问题；3．年月日中的周期问题．周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。

主要方法有观察法、逆推法、经验法等。

主要问题有年月日、星期几问题等。

⑴观察、逆推等方法找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；例如：1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？这个数列的周期是2，1829÷=，所以第18个数是2．⑵如果比整数个周期多n 个，那么为下个周期里的第n 个；例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？这个数列的周期是3，16351÷=⋅⋅⋅，所以第16个数是1．⑶如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算．例如：1，2，3，2，3，2，3，…那么第16个数是多少？这个数列从第二个数开始循环，周期是2，(161)271-÷=⋅⋅⋅，所以第16个数是2．板块一、图形中的周期问题 【例 1】 小兔和小松鼠做游戏，他们把黑、白两色小球按下面的规律排列：●●○●●○●●○…你知道它们所排列的这些小球中，第90个是什么球？第100个又是什么球呢？【考点】周期问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 仔细观察图中球的排列，不难发现球的排列规律是：2个黑球，1个白球；2个黑球，1个白球；……也就是按“2个黑球，1个白球”的顺序循环出现，因此，这道题的周期为3（2个黑球，1个白球）．再例题精讲知识精讲教学目标周期问题看看90、100里包含有几个这样的周期，若正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个，若是有整数个周期多几个，结果就为下一个周期里的第几个．因为90330÷=，正好有30个周期，第90个是白球．100333÷=…1，有33个周期还多1个，所以，第100个是黑球．【答案】第90个是白球，第100个是黑球【巩固】美美有黑珠、白珠共102个，她想把它们做成一个链子挂在自己的床头上，她是按下面的顺序排列的：○●○○○●○○○●○○○……那么你知道这串珠子中，最后一个珠子应是什么颜色吗？美美怕这种颜色的珠子数量不够，你能帮她算出这种颜色在这串珠子中共有多少个吗？【考点】周期问题【难度】2星【题型】解答【解析】观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白”4个珠子组成一组，并且不断重复出现的．我们先算出102个珠子可以这样排列成多少组，还余多少．我们可以根据排列周期判断出最后一个珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子．因为102425÷=…2，所以最后一个珠子是第26个周期中的第二个，即为黑色．在每一个周期中只有1个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共有25126+=（个）【答案】最后一个珠子是黑色的，黑色珠子在这串珠子中共有26个【巩固】黑珠、白珠共101颗，穿成一串，排列如下图。

五年级奥数题：周期性问题(A)1.某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期几。

2.1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期几。

3.按下面摆法摆80个三角形，有多少个白色的。

4.节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯。

也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯。

小明想知道第73盏灯是什么灯。

5.时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是几点。

6.把自然数1,2,3,4,5……如表依次排列成5列，那么数“1992”在第几列。

第一列。

第二列。

第三列。

第四列。

第五列。

1.10.…7.把分数2/9，11/18，3/8，12/17，4/7，13/16，5/6，14/15，4/5化成小数后，小数点第110位上的数字是什么。

8.循环小数0.xxxxxxxx7与0.3(1)这两个循环小数在小数点后第几位首次同时出现在该位中的数字都是7.9.一串数：1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4，共有1991个数。

(1)其中共有多少个1，多少个9，多少个4；(2)这些数字的总和是多少。

11.紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数。

例如8×9=72，在9后面写2，9×2=18，在2后面写8，……得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6……这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？12.1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？13.设n=2×2×2×……×2，那么n的末两位数字是多少？14.在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？每一组数表包含一个奇数排和一个偶数排，且每个奇数排都是从小到大排列，每个偶数排都是从大到小排列。

2010年五年级奥数题：周期性问题（B）一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）1992年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期_________．2．（3分）黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如图：这串珠子中，最后一颗珠子应该是_________色的，这种颜色的珠子在这串中共有_________颗．3．（3分）流水线上生产小木珠涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白，…继续下去第1993个小珠的颜色是_________色．4．（3分）把珠子一个一个地如图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋中．第1992粒珠子投在_________袋中．5．（3分）将数列1，4，7，10，13…依次如图排列成6行，如果把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编号，那么数列中的数349应排在第_________行第_________列．6．（3分）分数化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是_________．7．（3分）化成小数后，小数点后面1993位上的数字是_________．8．（3分）在一个循环小数0.1234567中，如果要使这个循环小数第100位的数字是5，那么表示循环节的两个小圆点，应分别在_________和_________这两个数字上．9．（3分）1991个9与1990个8与1989个7的连乘积的个位数是_________．10．（3分）算式（367367+762762）×123123的得数的尾数是_________．二、解答题（共4小题，满分0分）11．乘积1×2×3×4×…×1990×1991是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少？12．有串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的恰好是第二个数的，从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991个数被3除所得的余数是几？13．表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共社），第二组为（产会），那么第340组是_________．14．甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色．首先，甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底．然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底．最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为_________厘米．2010年五年级奥数题：周期性问题（B）参考答案与试题解析一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）1992年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期五．考点：日期和时间的推算．分析：在这十年中有3个闰年，所以这10年的总天数是365×10+3，365被7除余1，所以总天数被7除的余数是13﹣7=6，因此10年后的1月18日是星期五．解答：解：（365×10+3）÷7=3653÷7=521（星期）…6（天），因此10年后的1月18日是星期五．故答案为：五．点评：考查了日期和时间的推算，本题得到从1992年1月18日起再过十年的1月18日的总天数是关键，同时还考查了星期几是7天一个循环．2．（3分）黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如图：这串珠子中，最后一颗珠子应该是黑色的，这种颜色的珠子在这串中共有26颗．考点：周期性问题．分析：根据图示可知，若去掉第一颗白珠后它们的排列是按“一黑三白”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4，由此即可得出答案．解答：解：因为，（102﹣1）÷4，=101÷4，=25…1，所以，最后一颗珠子是黑色的．又因为，1×25+1=26（颗），所以，这种颜色的珠子在这串中共有26颗；故答案为：黑，26．点评：解答此题的关键是，根据图示，找出珠子排列的周期数，由此即可解答．3．（3分）流水线上生产小木珠涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白，…继续下去第1993个小珠的颜色是黑色．考点：周期性问题．分析：小木球是依次按5红，4黄，3绿，2黑和1白的规律涂色的，把它看成周期性问题，每个周期为15．由1993÷15=132…13，所以第1993个小球是第133周期中的第13个，按规律涂色应该是黑色，所以第1993个小球的颜色是黑色．解答：解：5+4+3+2+1=15，1993÷15=132…13，所以第1993个小球是第133周期中第13个，应该与第一周期的第13个小球颜色相同，是黑色．答：第1993个小珠的颜色是黑色．故答案为：黑．可得出．4．（3分）把珠子一个一个地如图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋中．第1992粒珠子投在B袋中．考点：周期性问题．分析：根据题干，可以将已知图形化出分析示意图如下：这样就把这个题目转变成了一个数字排列的问题，由上图中的数字排列可以看出：右边为第一列，下边为第一行，从1开始依次排列；其规律是：每10个数字为一个周期，这10个数字分别所在的列数依次为A→B→C→D→E→F→E→D→C→B；由此规律，只要求出1992是第几周期的第几个数字，即可得出答案．解答：解：根据题干分析可得：上述数字的排列规律为：每10个数字为一个周期，这10个数字分别所在的列数依次为A→B→C→D→E→F→E→D→C→B；1992÷10=199…2，所以1992是第200个周期的第二个数字，与第一周期的第二个数字相同，即是B．答：第1992粒珠子投在B袋中．故答案为：B点评：此题抓住投珠子的方法，把这个实际操作的问题转化成一个单纯的数字问题，可以使分析简洁明了．5．（3分）将数列1，4，7，10，13…依次如图排列成6行，如果把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编号，那么数列中的数349应排在第24行第4列．考点：周期性问题．分析：根据题干可得：①此题是一个等差数列，公差是3；②从排列可以看出，两行为一个周期，即10个数为一个周期，位置分别在的列数为：2、3、4、5、6、5、4、3、2、1；所以只要求出349是这个数列中的第几个数，在第几周期的第几个数字即可得出答案．解答：解：根据题干分析可得：（349﹣1）÷3+1=117，所以349是这列数中的第117个数．117÷10=11…7，所以这个数是第12周期的第7个数字，那么这个数是第1周期的第二行，所以这个数在第12×2=24行，与第一周期的第7个数字位置相同即：在第4列，答：数列中的数349应排在第24行第4列．故答案为：24；4．点评：此题要从两个方面考虑周期①行数，两行一周期，②列数，即10个数字依次排列的列数．6．（3分）分数化成小数后，小数点后面第1993位上的数字是6．考点：周期性问题．分析：=，很显然小数点后面的数字循环周期是6，由此只要得出1993在第几周期的第几个数字即可解决问题．解答：解：=，它的循环周期是6，因为1993÷6=332…1，即在第333周期的第一个数字，与第一周期的第一个数字相同，是6．故答案案为：6．点评：此题抓住的循环节，即可解决问题．7．（3分）化成小数后，小数点后面1993位上的数字是7．考点：周期性问题．分析：题目要求“小数点后面1993位上的数字是多少”，所以就要从化成小数后寻找规律．解答：解：=从小数点后面第二位开始，它的循环周期是6，因为（1993﹣1）÷6=332，则循环节“142857”恰好重复出现332次．所以小数点后面第1993位上的数字是7．故答案为：7．点评：此题考查了小数化分数的方法以及对循环节的掌握情况，同时培养学生寻找规律的能力．8．（3分）在一个循环小数0.1234567中，如果要使这个循环小数第100位的数字是5，那么表示循环节的两个小圆点，应分别在3和7这两个数字上．考点：循环小数及其分类．分析：表示循环小数的两个小圆点中，后一个小圆点显然应加在7的上面，且数字“5”肯定包含在循环节中，然后分情况讨论前一个循环节的点应放在哪．（1）设前一个小圆点加在“5”的上面，这时循环周期是3，（100﹣4）÷3=32，第100位数字是7．（2）设前一个小圆点加在“4”的上面，这时循环周期是4，（100﹣3）÷4=24…1，第100位数字是4．（3）设前一个小圆点加在“3”的上面，这时的循环周期是5，（100﹣2）÷5=19…3，第100位数字正好是5．故答案为：3，7．点评：容易看出后一个小圆点应加在7的上面，但前一个圆点应加在哪个数字上，一下子难以确定，怎么办？唯一的办法就是“试”．因为循环节肯定要包含5，就从数字5开始试．逐步向前移动，直到成功为止．这就像我们在迷宫中行走，不知道该走哪条道才能走出迷宫，唯一的办法就是探索：先试一试这条，再试一试那条．9．（3分）1991个9与1990个8与1989个7的连乘积的个位数是2．考点：周期性问题；乘积的个位数．分析：根据题干，要求它们的连乘积的个位数字，可以先求出它们各自的乘积的个位数字是几，由特例不难归纳出：（1）9的连乘积的个位数字按9，1循环出现，周期为2；（2）8的连乘积的个位数字按8，4，2，6循环出现，周期为4；（3）7的连乘积的个位数字按7，9，3，1循环出现，周期为4．由此即可解决问题．解答：解：根据上述分析可以得出1991个9的乘积个位数字、1990个8的乘积个位数字、1989个7的个位数字分别为：（1）因为1991÷2=995…1，所以1991个9的连乘积的个位数字是第996周期的第一个数，与第一周期的第一个数字相同即是9；（2）因为1990÷4=497…2，所以1990个8的连乘积的个位数字是第498周期的第二个数字，与第一周期的第一个数字相同即是4；（3）因为1989÷4=497…1，所以1989个7的连乘积的个位数字是第498周期的第一个数字，与第一周期的第一个数字相同即是7．所以，9×4×7=252，即1991个9与1990个8与1989年7的连乘积的个位数字是2．答：连乘积的个位数是2．故答案为：2．点评：抓住题干，求出9的连乘积、8的连乘积和7的连乘积的个位数字的规律，是解决本题的关键．10．（3分）算式（367367+762762）×123123的得数的尾数是9．考点：周期性问题．分析：分别找出个位数字7、2、3的连乘积的个位数的循环周期：如7的连乘积，积的尾数以7，9，3，1，循环出现，周期为4，因为367÷4=913，所以，367367的尾数为3；如此类推，…即可解决问题．解答：解：（1）7的连乘积，尾数（个位数字）以7，9，3，1循环出现，周期为4；因为367÷4=91…3，所以，367367的尾数为3．（2）2的连乘积，尾数以2，4，8，6循环出现，周期为4；因为762÷4=190…2，所以，762762的尾数为4．（3）3的连乘积，尾数以3，9，7，1循环出现，周期为4；123÷4=30…3，所以，123123的尾数为7．（4）综上所述，（367367+762762）×123123的尾数就是（3+4）×7的尾数，（3+4）×7=49，答：得数的尾数是9．故答案为：9．点评：此题考查了利用个位数字为7，2，3的连乘积的积的尾数的规律进行解决问题的方法二、解答题（共4小题，满分0分）11．乘积1×2×3×4×…×1990×1991是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少？考点： 周期性问题．分析： 我们用所有数的乘积除以了495个5之后得到的个位数字是6，那还要除以495个2才可以，因为他们乘到一起变成了495个0，再除以495个2就相当于把末尾的0全部去掉了，那么此时的个位数字就是要求的第一个不为0的数．2的495次方的个位数字是8（2的n 次方的个位数字是2，4，8，6四位一周期495÷4=123…3）那么用刚才我们除以495个5之后得到的个位数字6除以8，就会得到最终的个位数字，6÷8的个位数字是2（就是2×8个位数字是6，当然7×8的个位数字也是6，但是注意了2的个数要远多于495个，所以最终的去掉495个0之后的数一定是个偶数，所以只能是2．解答： 解：此题中是1991个数字的连乘积，原式中去掉所有5的倍数得：1×2×3×4×6×7×8×9×11×12×13×14×16×17×18×19×21×22×23×24×26×27×28×29×…×1981×1982×1983×1984×1986×1987×1988×1989×1991≡（1×2×3×4×6×7×8×9）×（1×2×3×4×6×7×8×9）×…×（1×2×3×4×6×7×8×9）×1≡6×6×…×6×1所有数的乘积除以了495个5之后得到的个位数字是6，那还要除以495个2才可以，因为他们乘到一起变成了495个0，再除以495个2就相当于把末尾的0全部去掉了，那么此时的个位数字就是要求的第一个不为0的数．2的495次方的个位数字是8；2的n 次方的个位数字是2，4，8，6四位一周期，495÷4=123…3；那么用刚才我们除以495个5之后得到的个位数字6除以8，就会得到最终的个位数字，6÷8的个位数字是2（就是2×8个位数字是6，当然7×8的个位数字也是6，但是注意了2的个数要远多于495个，所以最终的去掉495个0之后的数一定是个偶数，所以只能是2．点评： 将原式进行分组整合讨论，根据个位数字是2、5乘积的个位数字特点进行分析，得出从右边数第一位不为0的数字规律；根据2的连乘积的末位数的出现周期解决问题，是本题的关键所在．12．有串自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的恰好是第二个数的，从第三个数开始，每个数字正好是前两个数的和，问这串数的第1991个数被3除所得的余数是几？考点： 周期性问题．分析： （1）因为第一个数×=第二个数×，所以第一个数：第二个数=：=3：10．又两数互质，所以第一个数为3，第二个数为10，从而这串数为：3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055…（2）要求这串数的第1991个数被3除所得的余数是几，可以先推理出得出这串数字除以3的余数的规律是什么；由此即可解决问题．解答： 解：根据题干分析可得这串数字为：3，10，13，23，36，59，95，154，249，403，652，1055…这串数字被3除所得的余数依次为：0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，所以可以看出这串数字除以3的余数按“0，1，1，2，0，2，2，1”循环，周期为8．因为1991÷8=248…7，所以第1991个数被3除所得余数应是第249周期中的第7个数，即2．答：这串数的第1991个数被3除所得的余数是2．点评： 解答此题应注意以下两个问题：（1）由于两个数互质，所以这两个数只能是最简整数比的两个数；（2）求出这串数被3除所得的余数后，找出余数变化的周期，但这并不是这串数的周期．一般来说，一些有规律的数串，被某一个整数逐个去除，所得的余数也具有周期性．13．表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共社），第二组为（产会），那么第340组是（好，好）．考点：周期性问题．分析：此题分成两部分来看：（1）上面一部分的周期为：四字一周期，分别为：共→产→党→好；那么第340个字在340÷4=85周期最后一个，与第一组中第四个字“好”相同；（2）同样的方法可以得出下面的周期为：五字一周期：社→会→主→义→好，由此即可解决问题．解答：解：根据题干分析：（1）上面四字一周期，分别为：共→产→党→好；那么第340个字在340÷4=85周期的最后一个，与第一组中第四个字“好”相同；（2）下面五字一周期，分别为：社→会→主→义→好，那么第340个字在340÷5=68周期最后一个数字，与第一周期的最后一个字“好”相同；答：由上述推理可得：第340组的数字是（好，好），故答案为：（好，好）．点评：此题也可以这样考虑：因为“共产党好”四个字，“社会主义好”五个字，4与5的最小公倍数是20，所以在连续写完5个“共产党好”与4个“社会主义好”之后，将重复从头写起，出现周期现象，而且每个周期是20组数．因为340÷20=17，所以第340组正好写完第17个周期，第340组是（好，好）．14．甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色．首先，甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底．然后，乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底．最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为75厘米．考点：公约数与公倍数问题．分析：根据题意甲、乙从同一端点开始涂色，甲按黑、白，黑、白交替进行；乙按白、黑，白、黑交替进行，如图所示．由图可知，甲黑、乙白从同一端点起，到再一次甲黑、乙白同时出现，应是5与6的最小公倍数的2倍，即5×6×2=60厘米，也就是它们按60厘米为周期循环出现，据此可以轻松求解．解答：解：按60厘米为周期循环出现，在每一个周期中没有涂色的部分是，1+3+5+4+2=15（厘米）；所以，在3米的木棍上没有涂黑色的部分长度总和是，15×（300÷60）=75（厘米）．故答案为：75．点评：此题主要考查最小公倍数问题，注意这里的周期是5与6最小公倍数的2倍，而不是5与6的最小公倍数．。

五年级奥数：周期问题专题简析：在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，例如，人的生肖、每周的七天等等。

我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。

解答周期问题的关键是找规律，找出周期。

确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是特球的个数后，再继续算。

例1：你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第20个图形分别是什么。

（1）□△□△□△□△……（2）□△△□△△□△△……分析与解答：第（1）题排列规律是“□△”两个图形重复出现，20÷2=10，即“□△”重复出现10次，所以第20个图形是△。

第（2）题的排列规律是“□△△”三个图形重复出现，20÷3=6…2，即“□△△”重复出现6次后又出现了两个图形“□△”，所以第20个图形是△。

例2：有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。

（1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少？分析与解答：（1）从排列可以看出，这组数是按“5、6、4、2”一个循环依次重复出现进行排列，那么一个循环就是4个数，则129÷4=32…1，可知有32个“5、6、4、2”还剩一个。

所以第129个数是5。

（2）每组四个数之和是5+6+4+2=17，所以，这129个数相加的和是17×32＋5=549。

例3：假设所有的自然数排列起来，如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字母下面？A B C D1 2 3 45 6 7 89…分析与解答：从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大4个数一个循环，我们可以根据这些数除以4所得的余数来分析。

39÷4=9…3 88÷4=22所以，39应排在第10个循环的第三个字母C下面，88应排在第22个循环的第四个字母D下面。

第11讲周期问题一、知识要点周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。

在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。

这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。

二、精讲精练【例题1】流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？练习1：1.跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色？2.有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？3.1/7=0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？【例题2】有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。

最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？练习2：1.有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？2.黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○……，第2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？3.在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。

这些同学以一端开始，按先两个女生，再一个男生的规律站立着。

这些同学中共有多少个女生？【例题3】 2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？练习3：1.2002年1月1日是星期二，2002年的六月一日是星期几？2.如果今天是星期五，再过80天是星期几？3.以今天为标准，算一算今年自己的生日是星期几？【例题4】将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E为代表，问：2001所在的列以哪个字母为代表？A B C D E1 3 5 715 13 11 917 19 21 2331 29 27 25……………………练习4：1.将偶数2、4、6、8、……按下图依次排列，2014出现在哪一列？2.把自然数按下列规律排列，865排在哪一列？3.上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（小热），第二组为（学爱）。

周期问题一、知识要点周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。

在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。

这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。

二、精讲精练【例题1】流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？【思路导航】根据题意可知，小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1白，即5＋4＋3＋2＋1=15个球为一个周期，不断循环。

因为2001÷15=133……6，也就是经过133个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个球涂黄色。

练习1：1.跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色？2.有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？3.1/7=0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？- 1 -【例题2】有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。

最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？【思路导航】（1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9盏灯看作一组，47÷9=5（组）……2（盏），余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所以最后一盏灯是红灯；（2）由于47÷9=5（组）……2（盏），所以红灯共有2×5＋2=12（盏），占总数的12/47；蓝灯共有4×5=20（盏），占总数的20/47；黄灯共有3×5=15（盏），占总数的15/47。

练习2：1.有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？2.黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○……，第2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？3.在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。

第三讲 周期问题知识要点：周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复地出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。

例1、有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿化的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？分析：这些花按5红、9黄、13绿的顺序轮流排列，即5＋9＋13=27（朵）花为一周期，不断循环。

练习、71＝0.142857142857…小数点后面第100个数字是多少？例2、下面是一个11位数，每3个相邻数字之和都是17，你知道“？”表示的数字是几吗？分析：因为每相邻的3个数字之和为17，从左数起第一位数字与第二、三位数字之和为17，第二、三位数字与第四位数字之和也是17，所以第四位数字是8。

这样，就找到一条规律：从左向右每3位一循环，每隔两位必出现一个相同的数字。

练习、下面是一个8位数，每3个相邻数字之和都是14，你知道问号表示的数例3、2012年6月1日是星期五，问9月1日是星期几？分析：一个星期有7天，因此7天为一个周期。

2013年1月1日是星期二，2013年的6月1日是星期几？例4、将奇数如下图所示排列，各列分别用A、B、C、D、E作为代表，问2001所在的列以哪个字母作为代表？A B C D E1 3 5 715 13 11 917 19 21 2331 29 27 25……………………分析：这些数按每8个数一组有规律地排列着（两行一组）。

2001是这些数中的第1001个数。

练习、将偶数2,4,6,8,…按下图依次排列，2014出现在哪一列？A B C D E8 6 4 210 12 14 1624 22 20 1826 28 30 32……………………例5、888…8÷7，当商是整数时，余数是几？100个8练习、444…4÷3，当商是整数时，余数是几？100个41、有47盏彩灯，按2盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯的顺序排列着。

小学奥数练习卷（知识点：周期性问题）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共2小题）1．将某数的3倍减5，计算出答案：将这个答案的3倍减5，计算出答案；…；这样反复4次，最后得出的结果是1177，那么原数是（）A．14B．15C．16D．172．将“OPQRST”连续写下去可得到：“OPQRSTOPQRST…”，从左至右第2015个字母应该是（）A．S B．Q C．O D．T第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共42小题）3．某班40名学生全都面向前方，从前向后站成一列，按照1、2、3、4、1、2、3、4、…的顺序循环报数，每人报一次数，报到3的同学向后转．之后，如果相邻两个学生面对面，他们就会握一次手，然后同时向后转，一直到不再有学生面对面．那么，整个过程中，全班同学一共握手了次．4．算式（367367+762762）×123123的得数的尾数是．5．2017年3月19日是星期日，据此推算，2017年9月1日是星期．6．2015年6月1日是星期一，那么，2017年10月1日是星期．7．一串珠子，按照3颗黑色、2颗白色、1颗红色；3颗黑色、2颗白色、1颗红色…的顺序不断这样排下去．问第2017颗珠子的颜色是色．8．6月7日，中午11时30分，董事长陈某报警，在自家车库被绑架，犯罪嫌疑人勒索100万后驾车逃离现场．6月9日凌晨1时30分，四名犯罪嫌疑人全部落网，警方只用小时就破了案．9．分数化成小数后，小数点后前448位数字的和是．10．把假分数化为小数后，整数部分都是1，小数点后第2017位上的数字是2，到a的值是．11．每个月的周一、周二、周三、周四、周五、周六、周日都有4天或5天，某月，周三比其他日期恰好都多一天，这个月28日是星期．12．在中国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫作“十二地支，；十天干和十二地支进行循环组合：甲子、乙丑、丙寅．一直到癸亥，共得到60个组合，称为六十甲子．如此周而复始用来纪年的方法，称为甲子纪年法在甲子纪年中，以“丑”结尾的年份除了“乙丑”外，还有．13．每个月的周一、周二、周三、周四、周五、周六、周日都有4天或5天．某个月，周六、周日恰好有5天，而每个工作日都是4天，这个月1日是星期．14．如果某年某月的日期中，第一天与最后一天都是星期二，那么这个月是月，这一年有天．15．按顺时针方向不断取如图中的12个数字，可组成不超过1000的循环小数x，如23.067823，678.30678等，若将x的所有数字从左至右依次相加，在加完某个循环节的所有数字之后，得到2017，则x=．16．在表中，8位于第3行第2列，2017位于第a行第b列，则a﹣b=．17．将10、11、12、13、…除以3的余数依次排列起来，得到一个数列．这个余数数列的第50个数是．18．在一条马路边按红、黄、蓝、绿四种颜色的顺序插了30面彩旗，最后一面是色的彩旗，红色的彩旗一共插了面．19．5个小朋发围成一圈，按照下面的方法给他们发糖果，首先给第一个小朋友，然后逆时针隔1个人发给另一个小朋发，然后逆时针隔2个人发给另一个小朋发，接着隔3个人发糖，然后是隔4个人发，隔5个人发…．一共发了2016块糖，那么第一个小朋友一共得到了块糖．20．小明通过2、0、1、6这四个数构造了一个数列（不断地将2、0、1、6这四个数字按照这个顺序加在数后面）：2、20、201、2016、20162、201620、2016201、20162016、201620162、…，这个数列中，质数有个．21．将算式20÷（6+1）的计算结果写成循环小数，那么在小数点后第2016位数字是．22．如图是2016年4月份的日历，根据这个日历提供的信息，可以算出如2015年4月4日是星期．（填1～7、星期日请填7）23．将化成小数，小数部分从左到右第2016个数字是．24．中国北京在2015年7月31日获得了2022年第24届冬季奥林匹克运动会的主办权．预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期．（今天是2016年3月12日，星期六）25．中国古代采用天干（甲乙丙丁戊己庚辛壬癸）地支（子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥）纪年法，如公元1984年是甲子年，公元1983年就是癸亥年；公元的2015年是乙末年，公元2016年就是丙申年，根换这种算法，唐朝元年（公元618年）应为年．26．循环小数0.01小数点后第2016位数字是．27．王老师在一个特殊的学校上课，他每上3天课可以休息一天，已知本学期他第一次休息在星期二，那么他第五次休息是星期（填数字1﹣7）．28．七名同学在老师的指导下玩击鼓传花游戏，老师每敲一下，同学就将花传给顺时针方向下一位同学，例如1号传给2号．2号传给3号，…，7号传给1号，那么，当老师敲第50下，同学完成第50次传递后，花在号手中．29．有一颗神奇的树上长了60个果子，第一天会有1个果子掉落，从第二天起，每天掉落的果子数量比前一天多1个．但如果某天树上的果子数量少于这一天本应该掉落的数量时，那么这一天它又重新从掉落1个果子开始，按原规律进行新的一轮．如此继续，那么第天树上的果子会掉光．30．王华每星期二、六学书法，已知2016年的元旦是星期五，那么在2016年8月，王华学书法的天数是．31．“阳光空气都市报阳光空气都市报阳光空气都市报…”按这样一直排列下去，第41个字是．32．冬至又称“冬节”“贺冬”，是华夏二十四节气之一，与二十四节气中的“夏至”节气相对．2014年的“冬至”是12月22日星期一，那么2015年“冬至”（也在12月22日）是星期．33．乘积0.3×0.25的小数点后第2015位数是．34．冬至又称“冬节”、“贺冬，是华夏二十四节气之一，与”二十四节气中的“夏至”节气相对，如果2014年12月22日是“冬至”，这一天恰好是星期一，那么2015年的“夏至”（6月22日）是星期．35．课外活动课上，有四个同学A、B、C、D围成一圈进行报数游戏：A报“1”，B报“2”，C报“3”，D报“4”，A报“5”，B报“6”，…，这样循环下去，每个同学报的数比前一个同学报的数多1，那么报“54”的是；报“201”的是．36．在一根绳子上依次穿入5颗红珠、4颗白珠、3颗黄珠和2颗蓝珠，并按照此方式不断重复，如果从头开始一共穿了2014颗珠子，那么第2014颗珠子的颜色是色．37．2015年1月1日是星期四，那么2015年6月1日是星期．38．如表，将从1开始的自然数按照一定的规律排列起来，那么第3行第51列的数是．39．如图是挨在一起的大、中、小三个圆，半径分别为9cm，3cm，1cm；中圆顺时针向下沿着大圆内侧滚动；小圆逆时针向上沿着中圆内侧滚动，速度都是沿着圆周方向每秒1厘米．如果小圆上固定着一个箭头，那么中圆滚动一周回到出发点的过程中，箭头的旋转角度（小圆绕着自身中心）是度．40．乐乐发现某个月的星期二比星期一多一天，星期三比星期四多一天，那么这个月一共有天．41．2015年4月1日是星期三，2015年6月1日儿童节是星期．42．一根绳子对折，对折，再对折，然后从对折后的种间剪开．这根绳子一共被剪成了段．43．甲、乙二人从同一天开始工作，公司规定：甲每工作3天后休息1天，乙每工作7天后连续休息3天，则在开始的前1000天中，甲、乙同一天休息的日子有天．44．循环小数0.04285．的小数部分的前2015位数字之和是．三．解答题（共6小题）45．一本历史书共有2640页，张强每小时阅读16页．第一日到第十日，每日读5小时；第十一日到第二十日，每日读6小时；第二十一日到最后一日的前一日，每日读7小时．经过若干日全部读完．问：最后一日是第几日？最后一日读了几小时？46．小袋鼠甲和乙在如图的区域中跳动，甲按ABCDEFGHIABC…的顺序循环跳动，乙按照ABDEGHABD…的顺序跳动，如果开始时两只袋鼠都从A出发，并且这算是第一次他们同跳到了一起，问经过2017跳跃，他们一共跳到了一起多少次？47．从1开始依次把自然数一一写下去得：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13…从左向右数，数到第12个数字起将开始第一次出现三个连排的1．数到第几个数字起将开始出现五个连排的1．48．2012位同学排成一列依次报数．若某位同学报的是一位数，后面的同学就报这个数的2倍；若某位同学报的是两位数，后面的同学就报其个位数字与5的和．已知第一位同学报1．（1）那么第2012位同学所报的数是多少？（2）到了第100位同学，他却把前面那位同学报的数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后一位同学报的数是5．那么第100位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了多少？49．有158个小朋友排成一排，从左边第一个人起（第一个人发一个苹果），每隔1人发一个苹果，又从右边第一个人起（第一个人发一个香蕉），每隔2人发一个香蕉，求没有得到水果的小朋友的人数．50．某一年共有53个星期五和53个星期六，那么这一年3月1日是星期几？参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．将某数的3倍减5，计算出答案：将这个答案的3倍减5，计算出答案；…；这样反复4次，最后得出的结果是1177，那么原数是（）A．14B．15C．16D．17【分析】从最后的结果往前逆推，结果是1177，这是一个数的3倍减5得到的，这个数应该是（1177+5）÷3=394，这是经过3次后的结果；以此类推便可求出原数．【解答】解：第四次计算后的结果为1177，第三次计算后的结果为：（1177+5）÷3=394，第二次计算后的结果为：（394+5）÷3=133，第一次计算后的结果为（133+5）÷3=46，原数为：（46+5）÷3═17．故选：D．【点评】本题需要逆着思考，从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解．2．将“OPQRST”连续写下去可得到：“OPQRSTOPQRST…”，从左至右第2015个字母应该是（）A．S B．Q C．O D．T【分析】根据题干分析可得，这组图形的排列规律是：6个字母一个循环周期，分别按照OPQRST的顺序依次循环排列，由此求出第2015个字母是第几个周期的第几个即可解答．【解答】解：2015÷6=335…5，所以第2015个字母是第336周期的第5个字母，是S；故选：A．【点评】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，再根据规律求解．二．填空题（共42小题）3．某班40名学生全都面向前方，从前向后站成一列，按照1、2、3、4、1、2、3、4、…的顺序循环报数，每人报一次数，报到3的同学向后转．之后，如果相邻两个学生面对面，他们就会握一次手，然后同时向后转，一直到不再有学生面对面．那么，整个过程中，全班同学一共握手了145次．【分析】根据题意可知编号是3的学生向后转后，就会和编号是4的学生面对面，就要握40÷4=10（次）；第二轮编号是4的学生和编号是1的学生握手，一共要握10﹣1=9（次）；依此类推，据此解答即可．【解答】解：根据题意可知编号是3的学生向后转后，就会和编号是4的学生面对面，就要握40÷4=10（次）；第二轮编号是4的学生和编号是1的学生握手，一共要握10﹣1=9（次）；10+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）×3=145（次）答：整个过程中，全班同学一共握手了145次．【点评】本题的关键是利用周期进行解题．4．算式（367367+762762）×123123的得数的尾数是9．【分析】分别找出个位数字7、2、3的连乘积的个位数的循环周期：如7的连乘积，积的尾数以7，9，3，1，循环出现，周期为4，因为367÷4=913，所以，367367的尾数为3；如此类推，…即可解决问题．【解答】解：（1）7的连乘积，尾数（个位数字）以7，9，3，1循环出现，周期为4；因为367÷4=91…3，所以，367367的尾数为3．（2）2的连乘积，尾数以2，4，8，6循环出现，周期为4；因为762÷4=190…2，所以，762762的尾数为4．（3）3的连乘积，尾数以3，9，7，1循环出现，周期为4；123÷4=30…3，所以，123123的尾数为7．（4）综上所述，（367367+762762）×123123的尾数就是（3+4）×7的尾数，（3+4）×7=49，答：得数的尾数是9．故答案为：9．【点评】此题考查了利用个位数字为7，2，3的连乘积的积的尾数的规律进行解决问题的方法．5．2017年3月19日是星期日，据此推算，2017年9月1日是星期五．【分析】先求3月19日到9月1日经过了多少天，再求这些天里有几周，还余几天，再根据余数判断．【解答】解：3月19日到3月31日共：31﹣19=12（天）4、6月30天，5、7、8月31天，一共：30×2+31×3+12+1=60+93+13=166（天）166÷7=23（周）…5（天）所以3月19日是星期日，9月1日是星期五．答：2017年9月1日是星期五．故答案为：五．【点评】解决这类问题先求出经过的天数，再求经过的天数里有几周还余几天，再根据余数推算．6．2015年6月1日是星期一，那么，2017年10月1日是星期日．【分析】2016年，是闰年，先求出2015年的6月1日到2017的6月1日的天数，一共是366+365=731天，再求出6月1日到10月1日经过的时间，一共是30+31+31+30=122天，然后相加，再找到天数与7相除的商的余数，即可作出判断．【解答】解：366+365+30+31+31+30=853（天）则853÷7=121（星期）…6（天）1+6=7，即星期日，答：2017年10月1日是星期日．故答案为：日．【点评】考查了日期和时间的推算，由于每个星期是7天一循环，可以运用这个规律进行解答．7．一串珠子，按照3颗黑色、2颗白色、1颗红色；3颗黑色、2颗白色、1颗红色…的顺序不断这样排下去．问第2017颗珠子的颜色是黑色．【分析】因为“按3颗黑色、2颗白色、1颗红色”的顺序进行排列，可得每6个珠子为一个循环，所以计算出第2017颗珠子里面有几个6，即可求出第2017颗珠子是什么颜色．【解答】解：1+2+3=62017÷6=336…1，所以第2017颗珠子是第337个循环的第1个，是黑色的．答：第2017颗珠子的颜色是黑色．故答案为：黑．【点评】本题考查了事物的间隔排列规律．求出这些珠子排列的周期规律是解决此类问题的关键．8．6月7日，中午11时30分，董事长陈某报警，在自家车库被绑架，犯罪嫌疑人勒索100万后驾车逃离现场．6月9日凌晨1时30分，四名犯罪嫌疑人全部落网，警方只用38小时就破了案．【分析】首先应知道1日=24小时，为了便于计算，先计算6月7日中午11时30分，到9日11时30分，经过了2天48小时；然后减去多算的小时数即可．【解答】解：6月7日，中午11时30分到9日11时30分，共是：24×2=48（小时）；多算了：11时30分﹣1时30分=10（小时）；6月7日，中午11时30分到6月9日凌晨1时30分，共计：48﹣10=38（小时）．答：警方只用38小时就破了案．故答案为：38．【点评】此题考查了学生对时间单位之间的换算方法，知道1日=24小时，注意：结束时刻﹣起始时刻=经过时间．9．分数化成小数后，小数点后前448位数字的和是2017．【分析】先把化成小数，再看它的循环节，然后再用448除以循环节的位数，再根据商和余数，进行判定有几个循环周期，据此再求出数字的和即可．【解答】解：=0.2857，它的循环节是6位数，每个周期的数字和是4+2+8+5+7+1=27448÷6=74…4，所以前448位数字的和：27×74+4+2+8+5=2017；答：小数点后前448位数字的和是2017．故答案为：2017【点评】做这类题先把分数化为小数，（一般为循环小数），找出它的循环周期及循环的数列，再根据有余数的除法解答．10．把假分数化为小数后，整数部分都是1，小数点后第2017位上的数字是2，到a的值是9．【分析】由是假分数且化为小数后整数部分是1得出a=8或9、10、11、12、13，将各分数化为小数得出所有小数部分均6位数为一个周期循环，由2017÷6=336…1知小数点后第2017位上的数字与循环周期的第1个数字相同，据此可得答案．【解答】解：因为是假分数，且化为小数后整数部分是1，所以a=8或9、10、11、12、13，若a=8，则==1=1.142857 142857…；若a=9，则==1=1.285714 285714…；若a=10，则==1=1.428571 428571…；若a=11，则==1=1.571428 571428…；若a=12，则==1=1.714285 714285…；若a=13，则==1=1.857142 857142…；由以上可知，所有小数部分均6位数为一个周期循环，而2017÷6=336…1，所以小数点后第2017位上的数字与循环周期的第1个数字相同，所以a=9，故答案为：9．【点评】本题主要考查周期性问题，根据假分数的定义求得a的可能取值及各分数的小数部分循环的规律是解题的关键．11．每个月的周一、周二、周三、周四、周五、周六、周日都有4天或5天，某月，周三比其他日期恰好都多一天，这个月28日是星期二．【分析】首先分析这个月一个有多少天，周三比其他都多一天说明这个月是4个星期多一天共29天，继续分析即可求解．【解答】解：依题意可知：周三比其他都多一天说明这个月是4个星期多一天共29天，最后一天是星期三，那么28日就是星期二．故答案为：二【点评】本题考查对周期问题的理解和运用，关键问题是找到这个月的天数，问题解决．12．在中国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫作“十二地支，；十天干和十二地支进行循环组合：甲子、乙丑、丙寅．一直到癸亥，共得到60个组合，称为六十甲子．如此周而复始用来纪年的方法，称为甲子纪年法在甲子纪年中，以“丑”结尾的年份除了“乙丑”外，还有丁丑，己丑，辛丑，癸丑．【分析】首先分析题中的丑经过12年出现一次，共60年出现5次．枚举法即可．【解答】解：依题意可知：第一个是乙丑，丑出现时经过12+2=14年．24+2=26年，36+2=38年，48+2=50年．经过14，26，38，50年对应的天干是丁，己，辛，癸．故答案为：丁丑，己丑，辛丑，癸丑【点评】本题考查对周期问题的理解和掌握，关键是找到对应的数字．问题解决．13．每个月的周一、周二、周三、周四、周五、周六、周日都有4天或5天．某个月，周六、周日恰好有5天，而每个工作日都是4天，这个月1日是星期六．【分析】分析天数可知共30天．继续分析即可求解．【解答】解：依题意可知：该月周一至周五都是4天，周六周日是5天，这个月共有30天．说明开始的第一天是周六，最后一天是周日．故答案为：六【点评】本题考查对周期问题的理解和运用，关键问题是找到天数和开始时间，问题解决．14．如果某年某月的日期中，第一天与最后一天都是星期二，那么这个月是2月，这一年有366天．【分析】首先分析这个日期的天数是4个星期多一天，根据平年和闰年的时间计算即可．【解答】解：依题意可知：第一天是星期二，最后一天也是星期二证明这个月是4个星期多一天共29天，只能是星期二，这一年是闰年共366天．故答案为：29，366【点评】本题考查对周期性问题的理解和运用，关键是分析出这个月的天数，可知是29天，问题解决．15．按顺时针方向不断取如图中的12个数字，可组成不超过1000的循环小数x，如23.067823，678.30678等，若将x的所有数字从左至右依次相加，在加完某个循环节的所有数字之后，得到2017，则x=78.3067．【分析】首先分析数字的周期发现数字周期为6，7，8，2，3，0．找到对应组数和余数即可．【解答】解：依题意可知：按照顺时针方向观察可发现，不管起始数字是几，循环小数的循环节均由6，7，8，2，3，0这六个数字组成．因2017÷（6+7+8+2+3+0）=77（组）…15．15=7+8，因此x=78.3067故答案为：78.3067【点评】本题考查对周期问题的理解和运用，关键问题是找到数字和的周期数字．问题解决．16．在表中，8位于第3行第2列，2017位于第a行第b列，则a﹣b=672．【分析】首先分析数字规律的周期为9．对应计算即可解题．【解答】解：依题意可知：周期为9.2017÷9=224…1．a=224×3+1=673；b=1．a﹣b=672．故答案为：672【点评】本题考查对周期性的理解和运用，关键是分析周期的规律，问题解决．17．将10、11、12、13、…除以3的余数依次排列起来，得到一个数列．这个余数数列的第50个数是2．【分析】通过计算可知，余数是以1、2、0这三个数为一个周期进行循环，由此解答即可．【解答】解：通过计算可知，余数是以1、2、0这三个数为一个周期进行循环50÷3=16 (2)即这个余数数列的第50个数是2．【点评】本题的关键是找到余数的规律．18．在一条马路边按红、黄、蓝、绿四种颜色的顺序插了30面彩旗，最后一面是黄色的彩旗，红色的彩旗一共插了8面．【分析】彩旗的颜色以红、黄、蓝、绿四种颜色为一个周期进行循环，周期长度是4，用彩旗的总数30除以周期长度，余数是1就是红色，余数是2就是黄色，余数是3就是蓝色，正好整除就是绿色的，据此解答即可．【解答】30÷4=7…2，最后一面是黄色，红色的有7+1=8（面）．答：最后一面是黄色的彩旗，红色的彩旗一共有8面．【点评】解答本题就是用总数量除以周期长度，看有几个周期和余数分别是多少，从而确定最后一面彩旗的颜色和红色彩旗的数量．19．5个小朋发围成一圈，按照下面的方法给他们发糖果，首先给第一个小朋友，然后逆时针隔1个人发给另一个小朋发，然后逆时针隔2个人发给另一个小朋发，接着隔3个人发糖，然后是隔4个人发，隔5个人发…．一共发了2016块糖，那么第一个小朋友一共得到了807块糖．【分析】首先分析枚举法找到数字长度周期，再计算有多少组即可求解．【解答】解：依题意可知：发糖的顺序是1，3，1，5，5，1，3，1，5，5，1，发现周期规律为13155共5个数字．2016÷5=403…1．每一组都有2个1，共有403×2+1=807（个）．故答案为：807【点评】本题考查对周期问题的理解和运用，关键是找到周期长度和余数的关系，问题解决．20．小明通过2、0、1、6这四个数构造了一个数列（不断地将2、0、1、6这四个数字按照这个顺序加在数后面）：2、20、201、2016、20162、201620、2016201、20162016、201620162、…，这个数列中，质数有1个．【分析】根据质数的概念：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数，为质数，例如：2、3、5、7、11、13、17、19…按照这个定义，研究数构造了一个数列数字的规律，可以将数列分为：偶数2、个位数是0和偶数的、个位是1的，其中个位数是0和偶数的都不是质数，所以除了2，只需要研究个位数是1的，综合分析这些数字特点，列出综合表达式，即可求解．【解答】解：这个数列中的数按照周期个位分别是2、0、1、6；也就是说除了个位是1的，其余都是偶数，而偶数中也有2是质数，其余偶数均不是质数；再考虑以1结尾的奇数，如：201、2016201…这些数的数字和为：（2+0+1+6）×k+2+0+1=9k+3（其中k=0，1，2…），所以，这些数一定是3的倍数，所以，这些数不是质数；所以，只有1个质数，即数2．故答案为：1．【点评】主要在理解质数定义的基础上，主要查找个位数是1的数字特点即可．21．将算式20÷（6+1）的计算结果写成循环小数，那么在小数点后第2016位数字是2．【分析】求出20÷7的商的循环节，用2016除以循环节的位数，余数是几，就是循环节第几位上的数，据此可解答．【解答】解：20÷（6+1）=2.5714，循环节为6位数，2016÷6=336；没有余数，所以第2016位上的数字就和循环节的第6位上的数字相同，是2．故答案为：2．【点评】此题考查小数除法的计算法则和数字问题，关键是看循环节是几位数，进而进行求解．22．如图是2016年4月份的日历，根据这个日历提供的信息，可以算出如2015年4月4日是星期6．（填1～7、星期日请填7）【分析】按规律“平年后推1天，闰年往后推2天”，来求解．【解答】由周期规律“平年后推1天，闰年往后推2天”，可知2015年4月到2016年4月，刚好包括2月29日，所以，应该往前推2天，即星期六．故：填6．【点评】周期规律是：“平年后推1天，闰年往后推2天”，依此可以推出答案．23．将化成小数，小数部分从左到右第2016个数字是5．【分析】首先找到循环小数的循环节，用2016除以循环节找余数即可．【解答】解：依题意可知：=．2016÷3=672．那么第2016个数字就是5．故答案为：5【点评】本题考查对周期问题的理解和运用，关键是找到周期和余数，问题解决．24．中国北京在2015年7月31日获得了2022年第24届冬季奥林匹克运动会的主办权．预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期五．（今天是2016年3月12日，星期六）【分析】首先分析2016年的3月12日到2022年的3月13日是星期几，然后再根据3月12向前推理出2月4日即可．【解答】解：依题意可知：平年365天是52个星期多1天．润年是52个星期多2天．2016年3月12到2022年3月12日经过了5个平年1个闰年，向后推的天数为1+1+1+1+1+2=7．恰好为星期六．那么2022年的2月4日到2022年的3月12日．经过24+12=36天．36÷7=5…1．从星期六前推前天．说明2022年的2月4日是星期五．故答案为：五【点评】本题考查对周期问题的理解和运用，关键问题是找到时间差，周期看余数即可，问题解决．25．中国古代采用天干（甲乙丙丁戊己庚辛壬癸）地支（子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥）纪年法，如公元1984年是甲子年，公元1983年就是癸亥年；公元的2015年是乙末年，公元2016年就是丙申年，根换这种算法，唐朝元年（公元618年）应为戊寅年．【分析】首先分析天干和地支的最小公倍数，一个周期为60年，时间从公元1984年向前推到公元618年，找到余数即可．【解答】解：依题意可知：天干有甲乙丙丁戊己庚辛壬癸共10个，地支有子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥共12个．两次比较10和12的最小公倍数为60．故从一个甲子到下一个甲子共60年．天干：（1984﹣618）÷10=136…6．倒着数癸，壬，辛，庚，己，戊，所以是“戊”；地支：（1984﹣618）÷12=113…10到这数为亥，戌，酉，申，未，午，巳，辰，卯，寅．所以是“寅”．故答案为：戊寅【点评】本题考查对周期问题的理解和运用，关键问题是找到周期同时找到余数，注意是倒推问题解决．26．循环小数0.01小数点后第2016位数字是6．。

【五年级奥数举一反三—全国通用】测评卷04《周期性问题》试卷满分：100分考试时间：100分钟一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．（2分）三天打鱼，两天晒网（即前三天打鱼，后两天晒网），按照这种方式，在104天内，打鱼的天数是()A．60B．61C．62D．63【解答】解：1045204÷=⋯，⨯=（天)；∴在104天内，打鱼的天数是21363故选：D。

2．（2分）2014年2月6日是星期四，小胖决定从这天起（含2月6日）练习计算，一直练习到2月17日，（含2月17日）开学为止．但是中间如果遇到周六和周日，小胖还是决定休息一下，不做练习．已知他第一天做1道题，第二天做3道题，第三天做5道题，依此变化做下去，那么小胖这段时间一共做了()道计算练习题．A．144B．100C．81D．64【解答】解：依题意可知：从2月6日到2月17日为止，一共有176112-+=（天)；其中有2个星期六，星期日．工作了1248-=（天)；共完成1357911131564+++++++=（题)；故选：D。

3．（2分）张老师每周的周一、周六和周日都跑步锻炼20分钟，而其余日期每日都跳绳20分钟．某月他总跑步5小时，那么这个月的第10天是()A．周日B．周六C．周二D．周一【解答】解：他总跑步5小时，说明有5个周一、周六和周日，÷=周3⋯天，3174说明了这个月的1号是星期六，所以8号又是周六，10号是周一．故选：D。

4．（2分）将“OPQRST”连续写下去可得到：“OPQRSTOPQRST⋯”，从左至右第2015个字母应该是()A．S B．Q C．O D．T【解答】解：201563355÷=⋯，所以第2015个字母是第336周期的第5个字母，是S；故选：A。

5．（2分）6月份有30天，如果这个月有5个星期一和5个星期二，那么“六一”儿童节是星期() A．二B．四C．五D．一【解答】解：因为有5个星期一和5个星期二，所以从第1个星期一到第5个星期一，共29天．6月份共有30天，剩下的一天只可能在第5个星期二，所以这年的6月1日是星期一．故选：D。

1、1÷7=0.142857142857......小数点后面第100位是多少？
答案：100÷6=16（组）......4（个）
答：小数点后面第100位是8。

2、0.53728937289......间，小数点后面第2000位上的数字是多少? 前2000位上的数字之和是多少?
答案：（2000－1）÷5=399（组）......4（个）
3＋7＋2＋8＋9=29
29×399＋3＋7＋2＋8＋5=11596
答：小数点后面第2000位上的数字是8，前2000位上的数字之和是11596。

3、请同学们伸出左手，如下图所示那样，从大拇指开始依次数数字，.. 问数到2014时，你数在哪个手指上?
答案：2014÷8=251（组）......6（个）
答：无名指。

4、如下图所示，每列上、下一个字和一一个字母组成一一组，例如:
第一组是(我、A)，第二组是(们、B)，那么第62组是什么?
我们爱科学我们爱科学...
A B C D E F G A B C ...
如下图所示，每列上、下一个字和一一个字母组成一一组，例如:第一组是(我、A)，第二组是(们、B)，那么第62组是什么?
答案：62÷5=12（组）......2（个）们
62÷7=8（组）......6（个） F
答：第62个数是“们、F”。

5、7×7×7×......×7积的个位数字是几？
202个7
答案：202÷4=50（组）……2（个）
答：积的个位数字是9。

周期性问题在日常生活中,有一些现象按照一定的规律不断重复出现。

如：人调查十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年有春夏秋冬四个季节；一个星期有七天等。

像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题,我们称为简单周期问题。

这类问题一般要利用余数的知识来解决。

在研究这些简单周期问题时,我们首先要仔细审题,判断其不断重复出现的规律,也就是找出循环的固定数,如果正好有个整数周期,结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环,利用除法算式求出余数,最后根据余数的大小得出正确的结果。

一、例题与方法指导例1. 某年的二月份有五个星期日,这年六月一日是星期_____.思路导航：因为7⨯4=28,由某年二月份有五个星期日,所以这年二月份应是29天,且2月1日与2月29日均为星期日,3月1日是星期一,所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了 31+30+31+1=93(天).因为93÷7=13…2,所以这年6月1日是星期二.例2. 1989年12月5日是星期二,那么再过十年的12月5日是星期_____.思路导航：依题意知,这十年中1992年、1996年都是闰年,因此,这十年之中共有365⨯10+2=3652（天）因为（3652+1）÷7=521…6,所以再过十年的12月5日是星期日.[注]上述两题(题1—题2)都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几,解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律,运用周期性解答.在计算天数时,要根据“四年一闰,整百不闰,四百年才又一闰”的规定,即公历年份不是整百数时,只要是4的倍数就是闰年,公历年数为整百数时,必须是400的倍数才是闰年.例3. 按下面摆法摆80个三角形,有_____个白色的.……思路导航：从图中可以看出,三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列,也就是这一排列的周期为6,并且每一周期有3个白色三角形.因为80÷6=13…2,而第十四期中前两个三角形都是黑色的,所以共有白色三角形13⨯3=39（个）.例4. 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯,小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯,小明想第73盏灯是_____灯.思路导航：依题意知,电灯的安装排列如下:白,红,黄,绿,白,红,黄,绿,白,……这一排列是按“白,红,黄,绿”交替循环出现的,也就是这一排列的周期为4.由73÷4=18…1,可知第73盏灯是白灯.例5. 时针现在表示的时间是14时正,那么分针旋转1991周后,时针表示的时间是_____.思路导航：分针旋转一周为1小时,旋转1991周为1991小时.一天24小时,1991÷24=82…23,1991小时共82天又23小时.现在是14时正,经过82天仍然是14时正,再过23小时,正好是13时.[注]在圆面上,沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈,再加上一根长针和一根短针,就组成了我们天天见到的钟面.钟面虽然是那么的简单平常,但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题,周期现象就是其中的一个重要方面.二、巩固训练1992”在_____列.2. 把分数7化成小数后,小数点第110位上的数字是_____. 3. 循环小数7992511.0 与74563.0 .这两个循环小数在小数点后第_____位,首次同时出现在该位中的数字都是7.4. 一串数: 1,9,9,1,4,1, 4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,……共有1991个数.(1)其中共有_____个1,_____个9_____个4；(2)这些数字的总和是_____.10. 7⨯7⨯7⨯……⨯7所得积末位数是_____.50个答案：6. 3仔细观察题中数表.1 2 3 4 5 (奇数排)第一组 9 8 7 6 (偶数排)10 11 12 13 14 (奇数排)第二组 18 17 16 15 (偶数排)19 20 21 22 23 (奇数排)第三组 27 26 25 24 (偶数排)可发现规律如下:(1)连续自然数按每组9个数,且奇数排自左往右五个数,偶数排自右往左四个数的规律循环排列；(2)观察第二组,第三组,发现奇数排的数如果用9除有如下规律:第1列用9除余数为1,第2列用9除余数为2,…,第5列用9除余数为5.(3)10÷9=1…1,10在1+1组,第1列19÷9=2…1,19在2+1组,第1列因为1992÷9=221…3,所以1992应排列在（221+1）=222组中奇数排第3列数的位置上. 7. 774=0.57142857…… 它的循环周期是6,具体地六个数依次是5,7,1,4,2,8110÷6=18 (2)因为余2,第110个数字是上面列出的六个数中的第2个,就是7.8. 35 因为0.1992517的循环周期是7,0.34567的循环周期为5,又5和7的最小公倍数是35,所以两个循环小数在小数点后第35位,首次同时出现在该位上的数字都是7.9. 853,570,568,8255.不难看出,这串数每7个数即1,9,9,1,4,1,4为一个循环,即周期为7,且每个周期中有3个1,2个9,2个4.因为1991÷7=284…3,所以这串数中有284个周期,加上第285个周期中的前三个数1,9,9.其中1的个数是:3⨯284+1=853(个),9的个数是2⨯284+2=570(个),4的个数是2⨯284=568(个).这些数字的总和为1⨯853+9⨯570+4⨯568=8255.三、拓展提升1. 紧接着1989后面一串数字,写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如8⨯9=72,在9后面写2,9⨯2=18,在2后面写8,……得到一串数字:1 9 8 92 8 6……这串数字从1开始往右数,第1989个数字是什么？2. 1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积,再相加的和末两位数是多少？3. 设n =2⨯2⨯2⨯……⨯2,那么n 的末两位数字是多少？1991个4．在一根长100厘米的木棍上,自左至右每隔6厘米染一个红点,同时自右至左每隔5厘米也染一个红点,然后沿红点处将木棍逐段锯开,那么长度是1厘米的短木棍有多少根？答案：11. 依照题述规则多写几个数字:1989286884286884……可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884,每6个一组,即循环周期为6.因为(1989-4)÷6=330…5,所以所求数字是8.12. 1991个1990相乘所得的积末两位是0,我们只需考察1990个1991相乘的积末两位. . . .数即可.1个1991末两位数是91,2个1991相乘的积末两位数是81,3个1991相乘的积末两位数是71,4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是61,51,41,31,21,11,01,11个1991相乘积的末两位数字是91,……,由此可见,每10个1991相乘的末两位数字重复出现,即周期为10.因为1990÷10=199,所以1990个1991相乘积的末两位数是01,即所求结果是01.13. n 是1991个2的连乘积,可记为n =21991,首先从2的较低次幂入手寻找规律,列表如下:n n 的十位数字 n 的个位数字 n n 的十位数字 n 的个位数字21 0 2 212 9 622 0 4 213 9 223 0 8 214 8 424 1 6 215 6 825 3 2 216 3 626 6 4 217 7 227 2 8 218 4 428 5 6 219 8 829 1 2 220 7 6210 2 4 221 5 2211 4 8 222 0 4观察上表,容易发现自22开始每隔20个2的连乘积,末两位数字就重复出现,周期为20.因为1990÷20=99…10,所以21991与211的末两位数字相同,由上表知211的十位数字是4,个位数字是8.所以,n 的末两位数字是48.14. 因为100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作是从同一端点染色.6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方,同时染上红色,这样染色就会出现循环,每一周的长度是30厘米,如下图所示.由图示可知长1厘米的短木棍,每一周期中有两段,如第1周期中,6-5=1,5⨯5-6⨯4=1.剩余10厘米中有一段.所以锯开后长1厘米的短木棍共有7段.综合算式为:2⨯[(100-10)÷30]+1=2⨯3+1=7(段)[注]解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色,转化为自左向右的染色,便于利用最小公倍数发现周期现象,化难为易.. . . . . . 6 12 18 24 30 5 10 15 20 25 95 96 100 . 90。

数学奥赛起跑线五年级分册例题及答案第18讲[周期问题思考与练习(一)]1.把1/7化成小数,请回答:(1)小数点后面第80个数字是几?(2)小数点后面前80个数字的和是多少?解:1/7=0.142857142……,80÷6=13……2;(1+4+2+8+5+7)×13+(1+4)=356.答:小数点后面第80个数字是4;小数点后面前80个数字的和是356.2.紧接着1998后面写一串数字,要求是:写下的每个数字者是它前面两个数字的乘积的个位数字.例如,9×8=72,在8后面写2,8×2=16,在2后面写6……得到一串数字:199826…….这串数字从1开始往右数,第2006个数字是几?解:9×8=2,8×2=16,2×6=12,6×2=12,2×2=4,2×4=8,1998262248262248……,2006-4=2002,2002÷6=333……4.答:第2006个数字是2.3.有同样大小的红珠、白珠、黑珠共160个,按4个红珠、3个白珠、2个黑珠的顺序排列着.黑珠共有几个?第101个珠子是什么颜色?解:160÷9=17……7,2×17=34(个);101÷9=11……2.答:黑珠共有34个;第101个珠子是红色.4.今天是星期一,从明天开始第1800天是星期几?解:1800÷7=257……1.答:从明天开始第1800天是星期二.5.616161……61除以7的余数是多少?个61解:61÷7...5,6161÷7...1,616161÷7...0.余数组成5、1、0、5、1、0.......2006÷3=668...2,6161÷7=880 (1)答: 余数是1.6.我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号.如果1940年是龙年,那么,2008年是什么年?解:2008-1940=68,68÷12=5……8.答:2008年是鼠年.7.12415表示15个124连乘,所得积的末位数字是几?解:124相乘后,个位特征是4×4=16,6×4=24,4×4=16,6×4=24,6464……,从第二个124开始每2个一个循环.(15-1)÷2=7……0.答:所得积的末位数字是4.8.将奇数1、3、5、7……依次排成五列(如右表).把最左边的一列叫做第一列,从左到右依次将每列写上数.1997出现在哪一列? 1 3 5 7解:求出奇数个数为:(1997+1)÷2=999(个),999÷4=349…3. 15 13 11 9答:1997出现在第250行第3列. 17 19 21 23我们爱数学我们爱数学我…31 29 27 25A B C D A B C D A B C ……………9.有一列数2、9、8、2……从第三个数起,每个数都是它前面两个数乘积的个位数字.比如,第三个数8,是前两个数的积2×9=18的个位数字.这一列数的第180个数是几?解:这列数的排列规律是从第三个数起每6个数（8、2、6、2、2、4）为一循环,(180-2)÷6=178÷6=29…4.答:这一列数的第180个数是2.10.上表中每列上面的汉字和下面的字线组成一组,例如,第一组是(我A),第二组是(们B)……问:第82组是什么?(2)如果(爱C)代表1978年,(数D)代表1979年,2006年将对应哪一组?解:(1)82÷5=16……2(们),82÷4=20……2(B);(2)爱数学我们爱数学2006-1982=24,24÷5=4……4(我),24÷4=6(B)C D A B C D A B答:第82组是(们B);2006年将对应(我C).第19讲[周期问题思考与练习(二)]1.科学家进行一项试验,每隔6小时做一次记录,做第10次记录时,挂钟的时针恰好指向7.问:做第一次记录时,时针指向几?解:10-1=9(次),6×9=54(小时),54÷12=9(次)……6(时),7-6=1(时).答:做第一次记录时,时针指向1.2.下面有一个11位数,每三个相邻数字之间都是15,你知道问号表示的是数字几?这个11位数是多少?解:7(?号位置)÷3=2(组)……1(个),.答:问号表示的是数字8;这个11位数是83483483483. 8 ? 33.有a、b、c、d四条直线(如图),按箭头方向从1开始依次在a、b、c、d上写自然数1、2、3、4、5、6……问:(1)106在哪条线上?(2)直线a上第56个数是多少? 10解:(1)106÷4=26(组)……2(个);(2)1+4×(56-1)=221.6答:106在6条线上;直线a上第56个数是221. b 24.将16把椅子摆成一个圆圈,顺时针依次编上1到16号. 3现有一个人从第一号椅子顺时针前进213把椅子,再逆时7针前进285把椅子,又顺时针前进213把椅子,再逆时针前11进285把椅子,又顺时针前进12把椅子,这时他到了第几号椅子?解:285-213=72(把),72÷16=4(圈)……8(把)[实际逆时针行72把,除去16把1圈,余数为8号椅子,1号为余0,最后数到第9号椅子;再从第9号椅子为余0开始数,逆时针行72把,最后到第1号椅子],1+12=13(把). 答:这时他到了第13号椅子.5.伸出你的右手,从大姆指开始,如图所示的那样数数1,2,3,…….问数到1991时,在哪个手指上?解:(大姆指,食指,中指,无名指,小姆指,无名批,中指,食指……) 101991÷8=248(组)……7(个). 9 8 7 6答:数到1991时,在中指上. 1 2 3 4 5大姆指食指中指无名指小姆指6.如图,电子跳蚤每跳一步,可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈.现在,一只红跳蚤从标有数字”0”的圆圈按顺时针方向跳了1991步,落在一个圆圈里,一只黑跳蚤也从标有数字”0”的圆圈起跳,但它是沿着逆时针方向跳了1949步,落在另一个圆圈里.问:这两个圆圈里的数的乘积是多少?解:1991÷12=165(组)……11(步),[标有数字”11”的圆圈];1949÷12=162(组)……5(步), [标有数字”7”的圆圈]7×11==77. 3答:这两个圆圈里的数的乘积是77. 47.1×1+2×2+3×3+……+1991×1991的末位数字是多少？解:1×1=1、2×2=4、3×3=9、4×4=16、5×5=25、6×6=36、7×7=49、8×8=64、9×9=81、10×10=100, 1+4+9+6+5+6+9+4+1+0=5.每10个分一组,共分199组,奇数个组相加尾数依然是5.1991*1991=尾数是1,所以末位数字是:5+1=6.答:末位数字是6.8.如图,把1至8个号码摆成一个圆圈,现在有一个小球,第一天从1号顺时针前进329个位置,第二天再逆时针前进485个位置,第三天又顺时针前进329个位置,第四天再逆时针前时485个位置,第五天又顺时针前进329个位置……试问,至少经过几天小球又回到原来的1号位置?解:485-329=156,156÷8=19(圈)……4(个),(前两天到达5号位置,后两天回到1号位置.)答:至少经过四天小球又回到原来的1号位置.6 459.一列数,前3个是1、9、9,以后每个数都是它前面相邻3个数字之和除以3所得的余数,求这列数中第1999个数是多少?解:1、9、9、1、1、2、1、1、1、0、2、0、2、1、0、0、1、1、2、1、1、1、0、2、0、2、1、0、0……(1999-3)÷13=153(组)……7(个).答:这列数中第1999个数是0.10.在一根长80厘米的木棍上,自左至右每隔5厘米染上一个红点,同时自右至左每隔4厘米染上一个红点,然后沿红点处将木棍逐段锯开.那么,长度是1厘米的短木棍有多少根?解:80÷5=16(个),80÷2=20(个),20-16=4(根),4×2=8(根)答:长度是1厘米的短木棍有8根.。

一、数阵一、知识要点填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。

这里，和同学们讨论一些数阵的填法。

解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。

待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。

试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。

把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。

二、精讲精练【例题1】把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a 使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

【思路导航】先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A＋B＋C＋D＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。

把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填7。

然后再根据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格，如图b。

练习1：1.把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。

2.把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。

3.将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

【答案】1.7、1、5、6、2、10、3、9、4、8（答案不唯一）2.1、2、3、8、5、4、9、6、7（答案不唯一）3.2、6、4、1、5、3、7（答案不唯一）【例题2】将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

【思路导航】设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2.即55＋a＋b=60，a＋b=5。

在1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。

当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2.6，8，9）和（3.5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1.5，9，10）和（4，6，7，8）。