高中数学课时分层作业6归纳推理含解析北师大版选修

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课时分层训练（三十四）归纳与类比A组基础达标（建议用时：30分钟）一、选择题1．正弦函数是奇函数，f (x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f （x）＝sin（x2＋1）是奇函数,以上推理( )A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确C［因为f （x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数,所以小前提不正确．]2．如图6.4­4,根据图中的数构成的规律，得a表示的数是（）图6。

4。

4A．12 B．48C．60 D．144D[由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a＝12×12＝144。

]3．某种树的分枝生长规律如图6­4。

5所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为（）【导学号：66482307】图6。

4.5A．21 B．34C．52 D．55D[因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55。

］4．如图6.4。

6所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当错误!⊥错误!时，其离心率为错误!,此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆"，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于（)图6。

学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．若椭圆x25＋y2m＝1的离心率e＝105，则m的值是()A．3B．3或25 3C.15 D．5或515 3【解析】若焦点在x轴上，则a＝5，由ca＝105得c＝2，∴b2＝a2－c2＝3，∴m＝b2＝3.若焦点在y轴上，则b2＝5，a2＝m.∴m－5m＝25，∴m＝25 3.【答案】 B2．椭圆x225＋y29＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()A．8,2 B．5,4C．5,1 D．9,1【解析】由题意知a＝5，b＝3，c＝4，∴a＋c＝9，a－c＝1，故点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别为9,1.【答案】 D3．(2016·梅州高二检测)焦点在x轴上，长、短轴长之和为20，焦距为45，则椭圆的方程为()A.x236＋y216＝1 B．x216＋y236＝1C.x26＋y24＝1 D．y26＋x24＝1【解析】∵c＝25，∴a2＝(25)2＋b2，又a＋b＝10，可解得a＝6，b＝4.故椭圆方程为x236＋y216＝1.【答案】 A4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12 B ．23 C.34D ．45【解析】 由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|， ∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ＝2c . ∴3a ＝4c .∴e ＝34. 【答案】 C5．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是( )A ．(0,1]B ．1,2]C ．(0,2]D ．2，＋∞)【解析】 因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2，故选B.【答案】 B 二、填空题6．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是________.【导学号：63470028】【解析】 由题意2b >2c ，即b >c ，即a 2－c 2>c ， ∴a 2－c 2>c 2，则a 2>2c 2. ∴c 2a 2<12，∴0<e <22. 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫0，227．(2016·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为________．【解析】 设P 点到x 轴的距离为h ，则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|h ，当P 点在y 轴上时，h 最大，此时S△PF 1F 2最大∵|F1F2|＝2c＝8，∴h＝3，即b＝3. 【答案】 38．焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|＝8，率心率为45，椭圆上的点M到焦点F1的距离2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________．【解析】∵|F1F2|＝2c＝8，e＝ca＝45，∴a＝5，∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8. 又∵O，N分别为F1F2，MF1的中点，∴ON是△F1F2M的中位线，∴|ON|＝12|MF2|＝4.【答案】 4 三、解答题9．(1)求与椭圆x29＋y24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．【解】(1)∵c＝9－4＝5，∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)．设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∵e＝ca＝55，c＝5，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20.∴所求椭圆的标准方程为x225＋y220＝1.(2)因椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∵2c＝8，∴c＝4，又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.∴椭圆的标准方程为x236＋y220＝1.10．设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．【解】 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0. 而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形． 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.能力提升]1．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为( )A.233 B ．263 C.33D ． 3【解析】 由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0， 整理得x 2＋y 2＝3.①又因为点M 在椭圆x 24＋y 2＝1上，即y 2＝1－x 24.②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263. 故点M 到y 轴的距离为263. 【答案】 B2．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1【解析】 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则|OP |>c 恒成立，由椭圆性质知|OP |≥b ，其中b 为椭圆短半轴长， ∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2<12，∴e ＝c a <22. 又∵0<e <1，∴0<e <22. 【答案】 C3．椭圆E ：x 216＋y 24＝1内有一点P (2,1)，则经过点P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为__________．【解析】 设所求直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1. 相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.因此，所求直线方程：y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0. 【答案】 x ＋2y －4＝04．(2014·全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是C 上一点，且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .【解】 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设，知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)． 故C 的离心率为12.(2)由题意知，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a . ①由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0， 则⎩⎨⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1. ②将①及c ＝a 2－b 2代入②，得9(2－4a)4a 2＋14a ＝1，解得a ＝7，b2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.。

课时分层作业(六)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807,76＝117 649，…，则72 019的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49B [由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故72 019的末两位数字为43.]2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n＝( )A.2(n ＋1)2 B.2n (n ＋1)C.22n－1D.22n －1B [可以通过S n ＝n 2·a n (n ≥2)分别代入n ＝2,3,4，求得a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，猜想a n＝2n (n ＋1).]3．给出下面的等式： 1×9＋2＝11， 12×9＋3＝111， 123×9＋4＝1 111， 1 234×9＋5＝11 111， 12 345×9＋6＝111 111， ……猜测123 456×9＋7等于( ) A ．1 111 110 B ．1 111 111 C ．1 111 112D ．1 111 113B [观察几组数据可知，等号左边变化的数字依次为1和2,12和3,123和4,1 234和5,12 345和6，等号右边依次为2个1,3个1,4个1,5个1,6个1，因此猜测当等号左边为123 456和7时，对应等号右边应为7个1.]4．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)．则第n个正方形数是( )A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2C[观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.]5．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A．a n＝3n－1B．a n＝3nC．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3A[∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想a n＝3n－1.]二、填空题6．设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……根据以上事实，当n∈N＋时，由归纳推理可得：f n(1)＝________.12n＋1－1[归纳推理可得f n(x)＝x(2n－1)x＋2n(n∈N＋)，解得f n(1)＝12n＋1－1.]7．观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________．5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 [由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.]8．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N＋)个点，每个图形总的点数记为a n ，则a 6＝______________，a n ＝______________.15 3n －3(n ≥2，n ∈N ＋) [依据图形特点可知当n ＝6时，三角形各边上各有6个点，因此a 6＝3×6－3＝15.由n ＝2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得a n ＝3n －3(n ≥2，n ∈N ＋)．] 三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S n －1＋1S n＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．[解] 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1； 当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N ＋)．10．已知f (x )＝13x ＋3，分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．[解] 由f (x )＝13x ＋3，得f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝33，f (－1)＋f (2)＝13－1＋3＋132＋3＝33， f (－2)＋f (3)＝13－2＋3＋133＋3＝33. 归纳猜想一般性结论为f (－x )＋f (x ＋1)＝33. 证明如下：f (－x )＋f (x ＋1)＝13－x ＋3＋13x ＋1＋3＝3x1＋3·3x ＋13x ＋1＋3＝3·3x3＋3x ＋1＋13x ＋1＋3＝3·3x＋13＋3x ＋1＝3·3x＋13(1＋3·3x)＝33. [能力提升练]1．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( ) A ．n ＋1 B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1C [1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域，选C.]2．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是( )A ．(2,10)B ．(10,2)C ．(3,5)D ．(5,3)A [由题意，发现所给数对有如下规律： (1,1)的和为2，共1个； (1,2)，(2,1)的和为3，共2个； (1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个； (1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个； (1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n 时，有n －1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．]3．如下图所示是由火柴杆拼成的一列图形，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n 个图形中，火柴杆有________根．13 3n ＋1 [n ＝1,2,3,4时，火柴杆数分别为4根，7根，10根，13根，由此可归纳火柴杆数是一个以4为首项，以3为公差的等差数列，故第n 个图形中，火柴杆有3n ＋1根．]4．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图②，如此继续下去，得图③，……，试用n 表示出第n 个图形的边数a n ＝________.① ② ③3×4n －1(n ∈N ＋) [观察图形可知，a 1＝3，a 2＝12，a 3＝48，…，故{a n }是首项为3，公比为4的等比数列，故a n ＝3×4n －1(n ∈N ＋)．]5．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解] (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋si n 30°sin α)2－ sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋343 4.cos2α＝。

课时作业6一、选择题1．从10名大学毕业生中选3人但任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法种数为()A．85B．56C．49 D．28【解析】可分类计算：第一类是甲、乙两人有1人入选，有C12C27＝42(种)选法；第二类是甲、乙都入选，有C22C17＝7(种)选法，由分类加法计数原理可知，符合题设的方法共有42＋7＝49种．【答案】 C2．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有()A．30种B．90种C．180种D．270种【解析】设三个班级为甲、乙、丙，则5名实习教师分配到3个班级，一定有一个班级只分配到一名实习教师，其余两个班级每个班级分到了两名实习教师，故分步：第一步，选一名教师安排在一个班级中有C15C13种方法；第二步，余下的4名教师平均分配给剩下的两个班级，有C24C22种方法．故共有C15C13·C24C22＝90种分配方案．【答案】 B3．(2012·山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232 B．252C．472 D．484【解析】分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C14C212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．【答案】 C4．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法有() A．40种B．50种C．60种D．70种【解析】先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以共有(15＋10)×2＝50种不同的乘车方法．【答案】 B5．(2012·新课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种【解析】分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．【答案】 A二、填空题6．从正方体ABCD－A′B′C′D′的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同的四面体的个数为________．【解析】从8个顶点中任取4个有C48种方法，从中去掉6个面和6个对角面，所以有C48－12＝58个不同的四面体．【答案】587．(2013·课标全国卷)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n＝________.【解析】由题意知n＞4，取出的两数之和等于5的有两种情况：1,4和2,3，所以P＝2C2n＝114，即n2－n－56＝0，解得n＝－7(舍去)或n＝8.【答案】88．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有________．【解析】先从12名同学选4个上第一个路口，再从剩下的8名同学选4个上第二个路口，那么剩下的4名同学上第三个路口，则不同的分配方案共有C412C48C44＝34 650种．【答案】34 650三、解答题9．某县医院联合专家去农村义务会诊，其中有5人只精通中医，4人只精通西医，还有2人既精通中医又精通西医，现从这11位专家中选4名中医4名西医，有多少种不同的选法？【解】法一按选西医的人数分三类：第一类，只精通西医的4人都入选，则可从其余7人中任选4人作中医，有C47种；第二类，只精通西医的4人选3人，则从均精通的两位专家中选1人作西医，余下6人选4人作中医，有C34C12C46种；第三类，只精通西医的4人选2人，则均精通的两位专家作西医，余下5人选4人作中医，有C24C45.故由分类加法计数原理知，共有C47＋C34C12C46＋C24C45＝185种选法．法二按均精通的专家分类：第一类，两人均不参加，有C45C44种；第二类，两人有一人参加，有C12(C35C44＋C34C45)种；第三类，两人均参加，有(C35C34)×2＋C25C44＋C45C24种．由分类加法计数原理知，共有C45C44＋[C12(C35C44＋C34C45)]＋[(C35C34)×2＋C25C44＋C45C24]＝185种选法．10．设集合A＝{1,2,3，…，10}．(1)设A的3个元素的子集的个数为n，求n的值；(2)设A的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a1，a2，…，a n，求a1＋a2＋a3＋…＋a n的值．【解】(1)A的3元素子集的个数为n＝C310＝120.(2)在A的3元素子集中，含数k(1≤k≤10)的集合个数有C29个，因此a1＋a2＋…＋a n＝C29×(1＋2＋3＋…＋10)＝1 980.11．在∠MON的边OM上有5个异于O点的点，边ON上有4个异于O点的点，以这10个点(含O点)为顶点，可以得到多少个三角形？【解】法一(直接法)分几种情况考虑：O为顶点的三角形中，必须另外两个顶点分别在OM、ON上，所以有C15·C14个，O不为顶点的三角形中，两个顶点在OM上，一个顶点在ON上，有C25·C14个，一个顶点在OM上，两个顶点在ON，上有C15·C24个．因为这是分类问题，所以用分类计数原理，共有C15·C14＋C25·C14＋C15·C24＝5×4＋10×4＋5×6＝90个．法二(间接法)先不考虑共线点的问题，从10个不同元素中任取三点的组合数是C310，但其中OM上的6个点(含O点)中任取三点不能得到三角形，ON 上的5个点(含O点)中任取3点也不能得到三角形．所以共可以得到C310－C36－C35，即C310－C36－C35＝10×9×81×2×3－6×5×41×2×3－5×41×2＝120－20－10＝90个．法三也可以这样考虑，把O点看成是OM边上的点，先从OM上的6个点(含O点)中取2点，ON上的4点(不含O点)中取一点，可得C26·C14个三角形，再从OM上的5点(不含O点)中取一点，从ON上的4点(不含O点)中取两点，可得C15·C24个三角形．所以共有C26·C14＋C15·C24＝15×4＋5×6＝90个.。

课时跟踪检测（六）归纳推理1．观察下列数列的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第100项是( )A ．10B ．13C ．14D ．100解析：选C ∵13×(1＋13)2＝91，∴从第92项到第105项都是14，故选C. 2.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的 数构成的规律，a 所表示的数是( )11 11 2 11 3 3 11 4 a 4 11 5 10 10 5 1A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C 由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a ＝3＋3＝6.3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内适合的图形为( )A ．■C ．□D ．○ 解析：选A 图形涉及三种符号□、○、△，其中符号○与△各有3个，且各自有二黑一白，所以□缺一个黑色符号，即应画上■才合适．4．设凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋( ) A.π2B ．π C.32π D ．2π解析：选B 三角形内角和为π，四边形为2π，五边形为3π，…，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.5．已知x ∈(0，＋∞)，有下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4成立，观察上面各式，按此规律若x ＋a x 4≥5，则正数a ＝________. 解析：观察给出的各个不等式，不难得到x ＋11x ≥2，x ＋22x 2≥3，x ＋33x3≥4，从而第4个不等式为x ＋44x 4≥5，所以当x ＋a x4≥5时，正数a ＝44. 答案：446．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图②中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝__________.解析：根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和题图②中的各直角三角形，由勾股定理，可得a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2，a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝(2)2＋12＝3，…，故可归纳推测出a n ＝n . 答案：n7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？ 解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＝n 2(n ≥2，n ∈N ＋)．8．已知a ，b 为正整数，设两直线l 1：y ＝b －b a x 与l 2：y ＝b a x 的交点为P 1(x 1，y 1)，且对于n ≥2的自然数，两点(0，b )，(x n －1,0)的连线与直线y ＝b a x 交于点P n (x n ，y n )．(1)求P 1，P 2的坐标；(2)猜想P n 的坐标(n ∈N ＋)．解：(1)解方程组⎩⎨⎧ y ＝b －b a x ，y ＝b a x ，得P 1⎝⎛⎭⎫a 2，b 2.过(0，b )，⎝⎛⎭⎫a 2，0两点的直线方程为2x a ＋y b ＝1，与y ＝b ax 联立解得P 2⎝⎛⎭⎫a 3，b 3. (2)由(1)可猜想P n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1，b n ＋1.9．一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①②③④分别是制作该作品前四步所对应的图案，按照如此规律，第n 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f (n )．(1)求出f (2)，f (3)，f (4)，f (5)的值；(2)利用归纳推理，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系式；(3)猜想f (n )的表达式，并写出推导过程．解：(1)图①中只有一个小正方形，得f (1)＝1；图②中有3层，以第2层为对称轴，有1＋3＋1＝5(个)小正方形，得f (2)＝5；图③中有5层，以第3层为对称轴，有1＋3＋5＋3＋1＝13(个)小正方形，得f (3)＝13； 图④中有7层，以第4层为对称轴，有1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝25(个)小正方形，得f (4)＝25；第五步所对应的图形中有9层，以第5层为对称轴，有1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41(个)小正方形，得f (5)＝41.(2)∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25，f (5)＝41，∴f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，…，∴f (n )－f (n －1)＝4×(n －1)＝4n －4.∴f (n ＋1)与f (n )的关系式为f (n ＋1)－f (n )＝4n .(3)猜想f (n )的表达式为f (n )＝2n 2－2n ＋1.由(2)可知f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，……f(n)－f(n－1)＝4×(n－1)＝4n－4，将上述n－1个式子相加，得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)]，则f(n)＝2n2－2n＋1.。

课时作业(十三)1若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n∈N ＋)，则当n ＝1时，f(n)为( )A1 B1＋12C1＋12＋13D1＋12＋13＋14答案 C解析 当n ＝1时，2n ＋1＝2×1＋1＝3，故f(1)＝1＋12＋13.故选C.2用数学归纳法证明11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n （n ＋1）＝nn ＋1(n∈N ＋)时，从“n＝k 到n ＝k ＋1”时，等式左边需增添的项是( ) A.1k ＋1 B.1k ＋2C.1k （k ＋1）D.1（k ＋1）（k ＋2）答案 D解析 当n ＝k(k∈N ＋)时，等号左边＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k （k ＋1），当n ＝k ＋1时，等式左边＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k （k ＋1）＋1（k ＋1）（k ＋2），所以当n ＝k 到n ＝k＋1时，等式左边需增添的项为1（k ＋1）（k ＋2）.故选D.3设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n∈N ＋)试归纳猜想出S n 的表达式为( ) A.2nn ＋1B.2n －1n ＋1 C.2n ＋1n ＋2 D.2n n －1答案 A解析 因为a 1＝1，所以S 1＝1；又S 2＝4a 2＝a 1＋a 2， 所以3a 2＝1，所以a 2＝13，S 2＝43；又S 3＝9a 3＝S 2＋a 3，8a 3＝43，所以a 3＝16，所以S 3＝32＝64，由此可猜想S n ＝2nn ＋1(n∈N ＋)4设f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)(n∈N ＋)，在利用数学归纳法证明时，从n ＝k 到n ＝k ＋1需添的项为( ) A.12k ＋1B.12k ＋2C.12k ＋1＋12k ＋2D.12k ＋1－12k ＋2答案 D5设平面内有k 条直线，其中任意两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f(k)，则f(k ＋1)与f(k)的关系是( ) Af(k ＋1)＝f(k)＋k ＋1 Bf(k ＋1)＝f(k)＋k －1 Cf(k ＋1)＝f(k)＋k Df(k ＋1)＝f(k)＋k ＋2答案 C解析 当n ＝k ＋1时，任取其中1条直线，记为l ，则除l 外的其他k 条直线的交点的个数f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f(k)＋k ＝f(k ＋1) 6用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a≠1，n ∈N *)”时，在验证当n ＝1成立时，左边计算所得的结果是( ) A1 B1＋a C1＋a ＋a 2D1＋a ＋a 2＋a 3答案 C解析 左边n ＝1时，幂指数最大值为1＋1＝2，∴左边结果为1＋a ＋a 2.7用数学归纳法证明n(n ＋1)(2n ＋1)能被6整除时，由归纳假设推证n ＝k ＋1时命题成立，需将n ＝k ＋1时的原式表示成( ) Ak(k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1) B6k(k ＋1)(2k ＋1) Ck(k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)2D 以上都不对答案 C8记凸k 边形的内角和为f(k)，则凸k ＋1边形的内角和f(k ＋1)＝f(k)＋( ) A.π2 B π C.32π D2π答案 B解析 由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形图形故f(k ＋1)＝f(k)＋π.故选B.9用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”时，第二步正确的证明方法是( )A 假设n ＝k(k∈N *)时成立，证明n ＝k ＋1时命题成立 B 假设n ＝k(k 是正奇数)时成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立 C 假设n ＝2k ＋1(k∈N *)时成立，证明n ＝2k ＋3时命题也成立 D 假设n ＝2k －1(k∈N *)时成立，证明n ＝2k ＋1时命题也成立 答案 D解析 由完全归纳法知，只有当n 的初始值取值成立，且n ＝k 成立，能推出n ＝k ＋1时也成立，才可证明结论成立，两者缺一不可A ，B 选项都是错误的，因为n 是正奇数C 选项当k ＝1时的起始值为3，所以也不正确，故选D. 10某学生在证明等差数列前n 项和公式时，证法如下： (1)当n ＝1时，S 1＝a 1显然成立(2)假设当n ＝k(k≥1，k ∈N *)时，公式成立，即 S k ＝ka 1＋k （k －1）d2.当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＝a 1＋(a 1＋d)＋(a 1＋2d)＋…＋a 1＋(k －1)d ＋a 1＋kd ＝(k ＋1)a 1＋k （k ＋1）2d＝(k ＋1)a 1＋（k ＋1）[（k ＋1）－1]2 d.∴当n ＝k ＋1时公式成立∴由(1)(2)可知对n∈N *，公式成立 以上证明错误的是( ) A 当n 取第一个值1时，证明才对 B 归纳假设写法不对C 从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中未用归纳假设D 从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理有错误 答案 C解析 因为没有用上归纳假设，所以是错误的11若凸k 边形对角线条数为f(k)，则凸k ＋1边形对角线条数f(k ＋1)＝f(k)＋________ 答案 k －1解析 凸k ＋1边形A 1A 2A 3…A k ＋1的对角线条数由下列三部分相加而得①凸k 边形A 1A 2A 3…A k 的对角线条数f(k)②A 1A k 由原凸k 边形的边变为凸k ＋1边形的对角线③顶点A k ＋1与另外k －2个顶点A 2、A 3、…、A k －1生成k －2条对角线所以，f(k ＋1)＝f(k)＋1＋(k －2)＝f(k)＋k －1.12用数学归纳法证明：设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n ，则n ＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n －1)＝nf(n)(n∈N *，且n≥2)第一步要证明的式子是________ 答案 2＋f(1)＝2f(2)解析 n ＝2时，等式左边＝2＋f(1)，右边＝2f(2)13用数学归纳法证明：(n ＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n －1)，从k 到k ＋1左端需增乘的代数式为________ 答案 2(2k ＋1)解析 当n ＝k 时，(k ＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)＝ 2k·1·3·…·(2k －1)，当n ＝k ＋1时，(k ＋2)·(k＋3)·…·2k·(2k＋1)·(2k＋2)＝2k ＋1·1·3·…·2k ·(2k＋1)∴左端需增乘（2k ＋1）（2k ＋2）k ＋1＝2(2k ＋1)14用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n∈N *)证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立(2)假设当n ＝k(k≥1，且k∈N *)时命题成立，即有 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12). 当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 从而可知，当n ＝k ＋1时，命题亦成立由(1)(2)可知，命题对一切正整数n 均成立 15用数学归纳法证明对于整数n≥0，A n ＝11n ＋2＋122n ＋1能被133整除证明 (1)当n ＝0时，A 0＝112＋12＝133能被133整除 (2)假设n ＝k 时，A k ＝11k ＋2＋122k ＋1能被133整除当n ＝k ＋1时， A k ＋1＝11k ＋3＋122k ＋3＝11·11k ＋2＋122·122k ＋1＝11·11k ＋2＋11·122k ＋1＋(122－11)·122k ＋1＝11·(11k ＋2＋122k ＋1)＋133·122k ＋1.∴n ＝k ＋1时，命题也成立根据(1)(2)，对于任意整数n≥0，命题都成立1对于不等式n 2＋n<n ＋1(n∈N ＋)，某学生用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n ＝1时命题显然成立(2)假设n ＝k(k∈N ＋，k ≥1)时原不等式成立，即k 2＋k<k ＋1，则n ＝k ＋1时，左边＝（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k 2＋3k ＋2<（k 2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1.即n ＝k ＋1时原不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式一切n∈N ＋都成立 对上述证明过程，下列说法正确的是( ) A 过程全部分正确 Bn ＝1时验证不正确C 归纳假设不正确D 从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确答案 D解析 上述过程中，n ＝1的验证及假设均正确，只是在(2)中的证明没有使用归纳假设，因此证明过程错误，故选D.2证明：凸n(n∈N *，n ≥4)边形的对角线的条数f(n)＝12n(n －3)证明 (1)当n ＝4时，f(4)＝12×4×(4－3)＝2，四边形有两条对角线，命题成立(2)假设当n ＝k(k∈N *，k ≥4)时命题成立，即凸k 边形的对角线的条数f(k)＝12k(k －3)(k≥4)当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形是在k 边形的基础上增加了一条边，增加了一个顶点A k ＋1，增加的对角线条数是顶点A k ＋1与不相邻顶点连线再加上原k 边形的一边A 1A k ，共增加的对角线条数为k －1.f(k ＋1)＝12k(k －3)＋k －1＝12(k 2－k －2)＝12(k ＋1)(k －2) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3] 故当n ＝k ＋1时，命题也成立由(1)(2)可知，对于n≥4，n ∈N *命题成立点评 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 个变成k ＋1个时，所证的几何量将增加多少3已知函数f(x)＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由 解析11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n<1. 理由如下：因为f ′(x)＝x 2－1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， 所以a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.因为函数g(x)＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x 在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a 1≥1，得a 2≥(a 1＋1)2－1≥22－1，进而得a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1， 由此猜想：a n ≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立； ②假设当n ＝k(n∈N *)时结论成立， 即a k ≥2k－1，则当n ＝k ＋1时，由g(x)＝(x ＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k－1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立由①，②知，对任意n∈N *，都有a n ≥2n－1. 即1＋a n ≥2n，所以11＋a n ≤12n .所以11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n ≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－(12)n<1.。

学习资料§1归纳与类比1．1归纳推理授课提示:对应学生用书第16页［自主梳理］一、推理推理一般包括______推理和________推理．二、归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中________都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．三、归纳推理的特征归纳推理是由部分到________，由个别到________的推理．[双基自测]1．数列1，5,10,16,23,31，x，50,…中的x等于（）A．38B．39C．40D．412．如图所示，探索以下规律：根据规律，从2 015到2 017,箭头的方向依次为(）A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓3．1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42,1＋3＋5＋7＋9＝25＝52，…。

由上述具体事实可得结论:________________。

[自主梳理]一、合情演绎二、每一个事物三、整体一般［双基自测]1．C前6项从第2项起每一项与前一项的差分别为4,5,6,7,8，由此可得x＝31＋9＝40。

2．D观察规律可得周期T＝4，因此2 015到2 017的箭头与3到5的一致，故选D.3．1＋3＋…＋（2n＋1）＝(n＋1）2(n∈N＋)．利用归纳推理,第n个等式的左边应为1＋3＋…＋（2n＋1)，右边应为（n＋1)2。

授课提示：对应学生用书第16页探究一数式中的归纳推理［例1］(1）观察下列各式：a＋b＝1,a2＋b2＝3,a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11,…，则a10＋b10＝(）A．28B．76C．123D．199（2)已知函数y＝f（x)，对任意的两个实数x1，x2都有f（x1＋x2）＝f（x1)·f(x2）成立,且f(0)≠0，则f（－2 012)·f（－2 011）·…·f(2 011)·f(2 012）的值是（）A．0 B．1C．2 011×2 012 D．2 0122[解析］（1）观察各等式的右边，它们分别为1，3,4，7，11，…,发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1，3,4，7,11，18，29，47，76，123，…，故a10＋b10＝123.（2)当x1＝x2＝0时，f(0）＝f(0)·f(0），又因为f（0）≠0，所以f(0)＝1，于是有f（－x＋x)＝f(－x)·f（x）＝f（0）＝1.所以f（－2 012)·f(2 012)＝1，f（－2 011）·f（2 011）＝1，…，f（－1）·f(1)＝1，f(0）＝1，把上面式子等号两边分别相乘，即可得f(－2 012）·f（－2 011)·…·f(2 011）·f(2 012)＝f(－2 012＋2 012）·…·f(－2 011＋2 011)·…·f(－1＋1）·f(0)＝1.[答案］（1)C(2)B利用归纳推理解决问题的注意事项:归纳推理是一种思维工具，解决这类问题要熟悉有关的知识，要正确运用从特殊到一般的数学思想，常常借助前n项的共性来推出一般性的命题．本题(2)在求解时，运用了从特殊到一般的方法,先找特殊情况f(0)＝1，再归纳出一般结论f（－x）·f(x)＝1.1．观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．解析：由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3，4,…。

课时素养评价六归纳推理(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A.6n-2B.8n-2C.6n+2D.8n+2【解析】选C.设第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为a n,则a1=8,a2=14,a3=20,猜想a n=6n+2.2.已知整数对的序列为(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3), (3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第57个数对是( )A.(2,10)B.(10,2)C.(3,5)D.(5,3)【解析】选A.由题意,发现所给整数对有如下规律:(1,1)的和为2,共1个;(1,2),(2,1)的和为3,共2个;(1,3),(2,2),(3,1)的和为4,共3个;(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)的和为5,共4个;(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)的和为6,共5个.由此可知,当数对中两个数字之和为n时,有n-1个数对.易知第57个数对中两数之和为12,且是两数之和为12的数对中的第2个数对,故为(2,10).3.观察下列各式:32-1=8,72-1=48,112-1=120,152-1=224,…据此规律,所得的结果都是8的倍数.由此推测可得( )A.其中包含等式:1032-1=10 608B.其中包含等式:852-1=7 224C.其中包含等式:532-1=2 808D.其中包含等式:332-1=1 088【解析】选A.数列3,7,11,15,…的通项为a n=3+(n-1)×4=4n-1,当n=26时,a26=103,但是85,53,33都不是数列{a n}中的项.4.(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为( )A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙【解析】选A.若甲正确,则乙,丙都不正确,即由此判断乙>丙,即甲>乙>丙成立.二、填空题(每小题5分,共10分)5.根据图中线段的排列规则,试猜想第8个图形中线段的条数为________.【解析】分别求出前4个图形中线段的数目,发现规律,得出猜想,图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29,因为1=22-3,5=23-3,13=24-3,29=25-3,因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28+1-3=509.答案:5096.观察分析下表中的数据:多面体面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10正方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是________________.【解析】由表格可知:三棱柱:5+6=9+2;五棱锥,6+6=10+2,正方体,6+8=12+2,猜想一般凸多面体中,面数、顶点数、棱数F,V,E所满足的等式是:F+V-E=2.答案:F+V-E=2三、解答题(每小题10分,共20分)7.某同学在一次研究性学习中发现:若集合A,B满足:A∪B={1,2},则A,B共有9组;若集合A,B,C满足:A∪B∪C={1,2},则A,B,C共有49组;若集合A,B,C,D满足:A∪B∪C∪D={1,2},则A,B,C,D共有225组.根据上述结果,将该同学的发现推广为A,B,C,D,E五个集合,可以得出的正确结论是:若集合A,B,C,D,E满足:A∪B∪C∪D∪E={1,2},则A,B,C,D,E共有多少组?【解析】由A∪B={1,2}时,A,B共有9组,即32=9;A∪B∪C={1,2}时,A,B,C共有49组,即72=49;A∪B∪C∪D={1,2}时,A,B,C,D共有225组,即152=225;根据上述结果,推广为:A∪B∪C∪D∪E={1,2}时,A,B,C,D,E共有312=961即961组.所以A,B,C,D,E共有961组.8.如图,在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,将圆最多分割成7部分;画四条线段,彼此最多分割成16条线段,将圆最多分割成11部分.那么:(1)在圆内画5条线段,它们彼此最多分割成多少条线段?将圆最多分割成多少部分?(2)猜想:圆内两两相交的n(n≥2)条线段,彼此最多分割成多少条线段?将圆最多分割成多少部分?【解析】设圆内两两相交的n条线段彼此最多分割成的线段为f(n)条,将圆最多分割为g(n)部分.(1)f(1)=1=12,g(1)=2=;f(2)=4=22,g(2)=4=;f(3)=9=32,g(3)=7=;f(4)=16=42,g(4)=11=;所以n=5时,f(5)=25,g(5)==16.(2)根据题意猜想:圆内两两相交的n(n≥2)条线段,彼此最多分割为f(n)=n2条线段,将圆最多分割为g(n)=部分.(15分钟·30分)1.(5分)根据给出的数塔,猜测123 456×9+7等于( )1×9+2=11;12×9+3=111;123×9+4=1 111;1234×9+5=11 111;12345×9+6=111 111;A.1 111 110B.1 111 111C.1 111 112D.1 111 113【解析】选B.由前5个等式知,右边各位数字均为1,位数比前一个等式依次多1位,所以123456×9+7=1 111 111.2.(5分)已知a n=l og n+1(n+2)(n∈N+),观察下列算式:a1·a2=l og23·l og34=·= 2;a1·a2·a3·a4·a5·a6=l og23·l og34·…·l og78=··…·=3,…;若a1·a2·a3·…·a m=2018(m∈N+),则m的值为( )A.22 018+2B.22 018C.22 018-2D.22 018-4【解析】选C.由已知得a1·a2·a3·…·a m==2 018,lg(m+2)=lg 22 018,解得m=22 018-2.3.(5分)将正整数按如图规律排列:…第1行 1第2行 2 3第3行 4 5 6第4行7 8 9 10………第i行第j列的数字记为a ij,若a ij=2 018,则i+j=________.【解析】由排列的规律可得,第n行结束的时候共排了1+2+3+…+n=n(n+1)个数,所以前63行共有×63×64=2 016个数,故若a ij=2 018,则i=64,j=2,故i+j=66.答案:664.(5分)则上起第n行,左起第n+1列的数是________.【解析】第1行第2个数为2=1×2,第2行第3个数为6=2×3,第3行第4个数为12=3×4,第4行第5个数为20=4×5.故归纳出第n行第n+1个数为n(n+1)=n2+n.答案:n2+n5.(10分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1),(2),(3),(4)为最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5)的值.(2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式.(3)求+++…+的值. 【解析】(1)f(5)=41.(2)因为f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,…由上式规律,得出f(n+1)-f(n)=4n.因为f(n+1)-f(n)=4n⇒f(n+1)=f(n)+4n⇒f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)=…=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4=2n2-2n+1.(3)当n≥2时,==. 所以+++…+=1+×1-+-+-+…+-=1+=-.【补偿训练】设f(x)=,x1=1,x n=f(x n-1)(n≥2),则x2,x3,x4分别为________,猜想x n=________.【解析】x2=f(x1)==,x3=f(x2)==,x4=f(x3)==,所以x n=.答案:,,1.将正整数1,2,3,4,…按如图所示的方式排成三角形数组,则第20行从右往左数第1个数是( )A.397B.398C.399D.400【解析】选D.由三角形数组可推断出,第n行共有2n-1项,且最后一项为n2,所以第20行,最后一项为400.2.设f(n)=n2+n+41(n∈N*),计算f(1),f(2),f(3),…,f(10)的值,同时作出归纳推理,并用n=40验证猜测是否正确.【解析】f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83,f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151,由于43,47,53,61,71,83,97,113,131,151均为质数,我们猜测f(n)=n2+n+41为质数. 当n=40时,f(40)=402+40+41=41×41,因此f(40)为合数,故猜测不正确.。

课时分层作业(六)（建议用时:６0分钟)［基础达标练］一、选择题1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于（n－２)π”时，归纳奠基中ｎ0的取值应为()A．1 B.2C．３ﻩD．4C[边数最少的凸ｎ边形为三角形，故ｎ０＝3。

]2．下面四个判断中,正确的是（ )A.式子１+ｋ+ｋ2＋…+ｋn(n∈Ｎ+)中,当ｎ＝1时，式子的值为１B．式子1＋k+k2＋…+ｋn－１(n∈Ｎ+)中，当n＝1时,式子的值为1+kC.式子1+错误!未定义书签。

＋错误!＋…＋错误!(ｎ∈N＋)中，当n=１时，式子的值为1+错误!＋错误!未定义书签。

D．设ｆ(n)＝错误!＋错误!+…+错误!(n∈N+），则f(ｋ＋1)=f（k)+错误!未定义书签。

＋＼f（1,3ｋ＋３）+错误!C[A中，ｎ=1时，式子＝１＋k；Ｂ中，n＝1时，式子＝1;C中，ｎ＝1时,式子＝１＋错误!+错误!;Ｄ中,ｆ(k＋１)=f（k）＋＼f(1,3ｋ＋2)+＼ｆ(1，3k＋3)＋错误!未定义书签。

-错误!未定义书签。

.故正确的是Ｃ.］3.已知命题1+2+2２＋…＋２n－1=2n－1及其证明：（1)当n＝1时,左边＝1，右边=21－1=1，所以等式成立．(2)假设n=ｋ(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋22+…＋2k－１＝2k-1成立，则当ｎ=k+1时，1＋2+2２+…+２k-1+2k＝错误!＝2k＋1-1，所以n＝k＋1时等式也成立.由（1)(2)知,对任意的正整数n等式都成立.判断以上评述（ )A.命题、推理都正确ﻬB．命题正确、推理不正确C.命题不正确、推理正确D.命题、推理都不正确B[推理不正确，错在证明n=k+1时,没有用到假设n=k的结论，命题由等比数列求和公式知正确,故选B。

］4.用数学归纳法证明１＋2+3＋…+n2=n4+n22,则当ｎ=k+１(ｎ∈N＋）时,等式左边应在n=k的基础上加上（)A．ｋ2+１B．(k+1)2Ｃ.错误!未定义书签。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-2学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于( )A．47 B．65C．63 D．128【解析】5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.【答案】 B2．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 016的末两位数字为( )A．01 B．43C．07 D．49【解析】∵75＝16 807,76＝117 649，由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故72 016＝74×504，故其末两位数字为01.【答案】 A3．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2·a n(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n＝( )A ．2(n ＋1)2B ．2n (n ＋1)C ．22n －1D ．22n －1【解析】 可以通过S n ＝n 2·a n (n ≥2)分别代入n ＝2,3,4，求得a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，猜想a n ＝2n (n ＋1). 【答案】 B4．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图3­1­6)．图3­1­6则第n 个正方形数是( ) A ．n(n －1) B ．n(n ＋1) C ．n 2D ．(n ＋1)2【解析】 观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n 个正方形数应为n 2.【答案】 C5．如图3­1­7所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )图3­1­7A．a n＝3n－1B．a n＝3nC．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3 【解析】∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想a n＝3n－1. 【答案】 A二、填空题6．设f(x)＝2xx＋2，x1＝1，x n＝f(x n－1)(n≥2)，则x2，x3，x4分别为________，猜想x n＝________.【解析】x2＝f(x1)＝21＋2＝23，x3＝f(x2)＝12＝24，x4＝f(x3)＝2×1212＋2＝25，∴x n＝2n＋1.【答案】23，24，252n＋17．根据给出的数塔，猜测123 456×9＋7等于________. 1×9＋2＝11，12×9＋3＝111，123×9＋4＝1 111，1 234×9＋5＝11 111，12 345×9＋6＝111 111.【解析】由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123 456×9＋7＝1 111 111.【答案】 1 111 1118．如图3­1­8所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝__________________，a n＝______________.图3­1­8【解析】依据图形特点可知当n＝6时，三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得a n＝3n－3(n≥2，n∈N＋)．【答案】15 3n－3(n≥2，n∈N＋)三、解答题9．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，且S n－1＋1S n＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想S n的表达式．【解】当n＝1时，S1＝a1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35； 当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57. 猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N ＋)．10．已知f(x)＝13x ＋3，分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论. 【导学号：67720012】【解】 由f(x)＝13x ＋3，得f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝33，f(－1)＋f(2)＝13－1＋3＋132＋3＝33，f(－2)＋f(3)＝13－2＋3＋133＋3＝33. 归纳猜想一般性结论为f(－x)＋f(x ＋1)＝33.证明如下：f(－x)＋f(x ＋1)＝13－x ＋3＋13x ＋1＋3＝3x 1＋3·3x＋13x ＋1＋3＝3·3x3＋3x ＋1＋13x ＋1＋3＝3·3x ＋13＋3x ＋1＝3·3x ＋13(1＋3·3x )＝33.[能力提升]1．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )A ．n ＋1B ．2nC ．n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1【解析】 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域，选C ．【答案】 C2．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是( )A ．(2,10)B ．(10,2)C ．(3,5)D ．(5,3)【解析】 由题意，发现所给数对有如下规律：(1,1)的和为2，共1个；(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．【答案】 A3．如图3­1­9①，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图3­1­9②，如此继续下去，得图3­1­9③，…，试用n表示出第n个图形的边数a n＝________.①②③图3­1­9【解析】观察图形可知，a1＝3，a2＝12，a3＝48，…，故{a n}是首项为3，公比为4的等比数列，故a n＝3×4n－1.【答案】3×4n－14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【解】 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.。