江苏省泰州中学高一数学期中末复习试卷八

江苏省泰州中学2019-2020学年度第二学期期中考试高一数学试题一、单项选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1.在ABC ∆中，若30B°?，AB =2AC =，则满足条件的三角形有（ ）个 A.B. 1C. 2D. 不确定 【答案】C【解析】【分析】直接利用sin AB AC AB B >>来判断三角形解得情况.【详解】在ABC ∆中，30B°?，AB =2AC =，则sin AB AC AB B >>，所以，ABC ∆有两解.故选：C.【点睛】本题考查的知识要点：三角形解的情况的应用，属于基础题．2.正方体被平面所截得的图形不可能是（ ）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形 【答案】C【解析】【分析】平面与正方形相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形【详解】如图所示，平面与正方形相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形，故选C 项【点睛】本题考查正方形的截面图形，空间想象能力，属于基础题.3.10y +-=的倾斜角为（ ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】C【解析】【分析】由直线的一般式方程得到直线的斜率k ，再由tan θk =求解倾斜角.10y +-=的斜率=k -tan [0,180)o o k θθ∴==∈，∴120θ︒=.故选：C【点睛】本题考查了直线的一般式方程、直线的斜率和直线的倾斜角的关系，考查了学生转化，运算的能力，属于基础题.4.以()3,1A -，()2,2B -为直径的圆的方程是A. 2280x y x y +---=B. 2290x y x y +---=C. 2280x y x y +++-=D. 2290x y x y +++-= 【答案】A【解析】【分析】设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出,,a b r ，从而求出圆的方程.【详解】设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，由题意得圆心(,)O a b 为A ，B 的中点， 根据中点坐标公式可得32122a -==，12122b -+==，又||2AB r ===，所以圆的标准方程为： 221117()()222x y -+-=，化简整理得2280x y x y +---=， 所以本题答案为A.【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.5.过两直线1l ：310x y -+=，2l ：260x y ++=的交点且与310x y +-=平行的直线方程为（ ）A. 310x y -+=B. 370x y ++=C. 3110x y --=D. 3130x y ++=【答案】D【解析】【分析】求出两直线1l 、2l 的交点坐标，再设与310x y +-=平行的直线方程为30x y m ++=，代入交点坐标求出m 的值，即可写出方程. 【详解】解：两直线1l ：310x y -+=，2l ：260x y ++=的交点为310260x y x y -+=⎧⎨++=⎩解得41x y =-⎧⎨=-⎩，即()4,1--； 设与310x y +-=平行的直线方程为30x y m ++=则3(4)(1)0m ⨯-+-+=解得13m =所求的直线方程为3130x y ++=.故选：D【点睛】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题.6.将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）A. 2B.C. 43πD. 6π 【答案】D【解析】【分析】依题意最大的球为与正方体各个面相切，直径为正方体的棱长，即可求解.【详解】将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球， 该球为正方体的内切球，其半径为12，所以球体积为341()326ππ⨯=.故选：D .【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，属于基础题.7.在ABC V 中，2cos22B a c c +=（a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边），则ABC V 的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形 【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得． 【详解】∵2cos 22B a c c +=，∴22cos 2B a c c +=，1cos a c B c ++=，22212a c b a c ac c+-++=，整理得222+=a b c ，∴三角形为直角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角为边是解题关键． 8.一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m ，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为（ ） A. 1m B. 2m 3 C. 43m D. 3m 2【答案】B【解析】【分析】将圆锥展开后的扇形画出，结合母线及最短距离，即可确定圆心角大小；进而求得弧长，即为底面圆的周长，由周长公式即可求得底面圆的半径.【详解】将圆锥侧面展开得半径为2m 的一扇形，蚂蚁从P 爬行一周后回到P （记作1P ），作1OM PP ⊥，如下图所示：的由最短路径为，即12PP OP ==， 由圆的性质可得13POM POM π∠=∠=，即扇形所对的圆心角为23π， 则圆锥底面圆的周长为24233l ππ=⨯=， 则底面圆的半径为423223l r πππ===， 故选：B.【点睛】本题考查了了圆锥侧面展开图、扇形弧长公式的简单应用，属于基础题.9.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC V 的面积为1)，则b c +=（ ）A. 5B. C. 4 D. 16 【答案】C【解析】【分析】 根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =-,再代入余弦定理求解即可.【详解】ABC V 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈, ∴4A π=.∵1sin 1)24ABC S bc A ===-V , ∴bc=6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.10.在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=u u u r u u u r ，根据向量的运算和两点间的距离公式，求得点N 的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系，即可求解MN 的最小值，得到答案．【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)N x y ，由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=u u u r u u u r ，即1212121x x y y x x +=+-，由题意可知，MN 为Rt △AMB 斜边上的中线，所以12MN AB =,则2222222121211221122()()22AB x x y y x x x x y y y y =-+-=-++-+222211*********()()2()102(1)124x y x y x x y y x x x =+++-+=-+-=- 又由12MN AB =，则224AB MN =，可得220001244[(1)]x x y -=-+，化简得220019()24x y -+=， ∴点00(,)N x y 的轨迹是以1(,0)2为圆心、半径等于32的圆C 3， ∵M 在圆C 3内，∴ MN 的最小值即是半径减去M 到圆心1(,0)2的距离， 即min 31122MN r d =-=-=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了圆的方程及性质的应用，以及点圆的最值问题，其中解答中根据圆的性质，求得N 点的轨迹方程，再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．二、多项选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）11.已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ）A. 若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥B. 若//αβ，m α⊥，n β⊥，则//m nC. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nD. 若αβ⊥，m α⊂，n αβ=I ，m n ⊥，则m β⊥【答案】ABD【解析】【分析】根据线面的位置关系对每个选项进行判断．【详解】由m α⊥，//m n ，得n α⊥，又由n β⊂，得αβ⊥，A 正确；由//αβ，m α⊥，得m β⊥，又由n β⊥，得//m n ，B 正确；若//αβ，m α⊂，n β⊂，,m n 可能平行也可能是异面直线，C 错误；由面面垂直的性质定理知D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查空间线面间的平行与垂直关系，掌握直线、平面间平行垂直的判定定理的性质定理是解题关键．12.设有一组圆k C ：()()224132x k y k k -++-=（*k N ∈）.下列四个命题中真命题的是（ ） A. 存在一条定直线与所有的圆均相切B. 存在一条定直线与所有的圆均相交C. 存在一条定直线与所有的圆均不相交D. 所有圆均不经过原点【答案】BD【解析】【分析】由圆与圆的位置关系判断A ．由圆心所在直线判断B ，由圆半径可能无穷大，判断C ，代入原点坐标确定方程是否有整数解判断D ．【详解】圆心为(1,3)k C k k -，半径为2k r =，1(0,3)C ，1r =2(1,6)C ，2r =12C C ==<=1C 与圆2C 是内含关系，因此不可能有直线与这两个圆都相切，从而A 错误；易知圆心在直线3(1)y x =+上，此直线与所有圆都相交，B 正确；若k 取无穷大，则所有直线都与圆相交，C 错；将(0,0)代入圆方程得224(1)92k k k -+=，即2410212k k k -+=，等式左边是奇数，右边是偶数，因此方程无整数解，即原点不在任一圆上，D 正确．故选：BD ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，掌握反证法，特殊值法，综合性较高．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，其中第15题第一空2分，第二空3分；共20分）13.若直线()2540a x y +-+=与()2210x a y +--=互相垂直，则a 的值是__________.【答案】4-.【解析】【分析】由垂直的条件求解．【详解】∵已知两直线垂直，∴2(25)(2)0a a +--=，解得4a =-．故答案为：－4．【点睛】本题考查两直线垂直的条件，属于基础题．14.在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点.若BD ，AC 所成的角为60°，且1BD AC ==，则EF 的长为__________.【答案】12【解析】【分析】 取BC 中点G ，可证EGF ∠（或其补角）是BD ，AC 所成的角，分类计算．【详解】取BC 中点G ．连接,GE GF ，∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点，∴//,//EG AC GF BD ，1122GE BD ==，1122GF BD ==， ∴BD ，AC 所成的角是EGF ∠（或其补角）， 若60EGF ∠=︒，则12EF GE ==，若120EGF ∠=︒，则12sin 6022EF GF =︒=⨯=，故答案为：12或2．【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时要注意通过平行线作出异面直线所成角时，对应的角或其补角是异面直线所成的角，因此可分类讨论．15.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：()0,3Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S 、圆L 均与圆Q 外切.已知直线l 过点O .（1）若直线l 与圆L 、圆S 均相切，则l 截圆Q 所得弦长为__________；（2）若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =__________.【答案】 (1). 3 (2).125【解析】【分析】圆L 与圆S 关于原点对称，直线l 过原点，只要与一个圆相切，必与另一圆相切．求出圆L 与圆S 的圆心坐标，（1）求出切线方程后，求出Q 到切线l 的距离后由勾股定理得弦长．（2）设出直线l 方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长d ．【详解】由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设(,0)(0)S a a >23=+，4a =，即(4,0)S ，∴(4,0)L -．（1）设l 方程为y kx =，即0kx y -=2=得k =，由对称性不妨取k =l方程为y x =，0x -=，圆心Q 到l2=，∴弦长为3=； （2）同（1）设直线l 方程为0kx y -=，点Q 到直线l，直线截圆Q得弦长为d ==S 到直线l，直线截圆S得弦长为d ===，解得2421k =，∴125d ==． 故答案为：3；125． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．16.在锐角ABC V 中，2BC =，sin sin 2sin B C A +=，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是__________.【答案】2⎭【解析】【分析】由正弦定理化角为边，由余弦定理求出中线长（用三边表示），然后根据已知条件求出b 的范围，结合二次函数性质得bc 的范围，从而得中线取值范围．【详解】因为sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理得2b c a +=，又2a =，所以4b c +=，由余弦定理得2222cos b AD CD AD CD ADC =+-⋅∠，2222cos c AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，又cos cos ADB ADC ∠=-∠，12BD CD a ==， 所以2222122b c AD a +=+，所以AD === 又4b c +=，即4c b =-，因为ABC V 是锐角三角形，∴222222222b c a b a c a c b ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，所以222222(4)44(4)(4)4b b b b b b ⎧+->⎪+>-⎨⎪-+>⎩，解得3522b <<，∴2215(4)4(2)4(,4]4bc b b b b b =-=-=--+∈，AD ≤<故答案为：． 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，二次函数的性质的综合应用，解题时利用余弦定理建立中线与三角形边长之间的关系是基础，利用锐角三角形求出b 的取值范围是解题关键．四、解答题（本题共6小题，其中第17题10分，其他每题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17． ∴Ⅰ）求∠A ∴∴Ⅱ）求AC 边上的高． 【答案】(1) ∠A =π3 (2) AC【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠∴∴2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高∴ 详解：解∴∴1）在△ABC 中，∵cos B =–17∴∴B ∴∴π2∴π∴∴∴sin B=由正弦定理得sin sin a b A B =⇒ 7sin A=AB ∴∴π2∴π∴∴∴A ∴∴0∴π2∴∴∴∴A =π3∴ ∴2）在∴ABC 中∴∴sin C =sin∴A +B ∴=sin A cos B +sin B cos A1172⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴ 如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ∴∴h =sin BC C ⋅=7=∴∴AC∴点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 18.在如图所示五面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且60,22,//,DAB EA ED AB EF EF AB M ∠=︒====为BC 中点.(1)求证:FM ∕∕平面BDE ;(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ,求F 到平面BDE 的距离. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】【详解】(1)取BD 中点O ,连接,OM OE ,因为,O M 分别为,BD BC 的中点,所以//OM CD ,且12OM CD =,因为四边形ABCD 为菱形,所以//,CD AB CD ⊄又平面,ABFE AB ⊂平面ABFE ,所以//CD 平面ABFE .因为平面ABFE I 平面,CDEF EF CD =⊂平面CDEF , 所以CD EF ∕∕.又2AB CD ==,所以12EF CD =.所以四边形OMFE 为平行四边形∴所以//MF OE .又OE ⊂平面BDE ∴且MF ⊄平面BDE ,所以//MF 平面BDE .(2)由(1)得//FM 平面BDE ,所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离. 取AD 的中点H ,连接,EH BH ,因为四边形ABCD 为菱形,且60,2DAB EA ED AB EF ∠====o,所以,EH AD BH AD ⊥⊥因为平面ADE ⊥平面ABCD ,平面ADE I 平面ABCD AD =,所以EH ⊥平面,ABCD EH BH ⊥,因为EH BH ==,所以BE =所以122BDES ==V , 设F 到平面BDE 的距离为h ,又因为11422BDM BCD S S ===V V , 所以由E BDM M BDE V V --=,得113232h =⨯⨯,解得5h = 即F 到平面BDE的距离为5∴ 19.已知以点P 为圆心的圆经过点A （－1，0）和B （3，4），线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝,（1）求直线CD 的方程； （2）求圆P 的方程.【答案】（1）x ＋y －3＝0（2）圆P 的方程为（x ＋3）2＋（y －6）2＝40或（x －5）2＋（y ＋2）2＝40 【解析】 【分析】（1）求出AB 中点坐标和直线CD 的斜率，即得直线CD 的方程；（2）设圆心P （a ，b ），求出,a b 的值，即得圆P 的方程.【详解】（1）由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为（1，2）. 所以1CD k =-.则直线CD 的方程为y －2＝－（x －1）， 所以直线CD 的方程为x ＋y －3＝0.（2）设圆心P （a ，b ），则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.①又因为直径|CD |＝，所以|P A |＝ 所以（a ＋1）2＋b 2＝40.② 由①②解得36a b =-⎧⎨=⎩或52a b =⎧⎨=-⎩所以圆心P （－3，6）或P （5，－2）.所以圆P 的方程为（x ＋3）2＋（y －6）2＝40或（x －5）2＋（y ＋2）2＝40.【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.如图，AB 是O e 的直径，PA 垂直于O e 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点.（1）证明：PBC V 是直角三角形；（2）若2PA AB ==，且当直线PC 与平面ABC 时，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】 【分析】（1）由PA ABC ⊥平面，得BC PA ⊥，再有BC AC ⊥，这样可由线面垂直的判定定理得线面垂直，从而得证线线垂直，即得证结论；（2）过A 作AH PC ⊥于H ，由（1）可证AH PBC ⊥平面，从而有ABH ∠是直线AB 与平面PBC 所成的角，求出此角正弦值即可．【详解】（1）证明∴AB 是O e 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点.∴BC AC ⊥， ∴PA ABC ⊥平面，∴BC PA ⊥，又PA AC A =I ，PA ，AC PAC ⊂平面， ∴BC PAC ⊥平面，∴BC PC ⊥， ∴BPC △是直角三角形.（2）如图，过A 作AH PC ⊥于H ，∴BC PAC ⊥平面， ∴BC AH ⊥，又PC BC C ⋂=，PC ，BC PBC ⊂平面， ∴AH PBC ⊥平面，∴ABH ∠是直线AB 与平面PBC 所成的角， ∴PA ABC ⊥平面，∴PCA ∠即是PC 与平面ABC 所成的角，∴tan PAPCA AC∠==又2PA =，∴AC =∴在Rt PAC △中，3AH ==，∴在Rt ABH △中，3sin 2AH ABH AB ∠===，即直线AB 与平面PBC 【点睛】本题考查证明线线垂直，考查直线与平面所成的角，求线面角时一般可作出平面的垂直，得出直线与平面所成的角，在三角形中计算即可，即通常所说的作证算三步． 21.已知方程（2＋λ）x －（1＋λ）y －2（3＋2λ）＝0与点P （－2，2）.（1）证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；（2）证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于【答案】（1）证明见解析；直线经过的定点为M （2，－2）（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）变形得到2x －y －6＋λ（x －y －4）＝0，得到方程26040x y x y --=⎧⎨--=⎩计算得到答案.（2）易知d ≤|PM |=PM 与直线垂直时，直线方程为x －y －4＝0.，而直线系不能表示此直线，故得证.【详解】（1）解显然2＋λ与－（1＋λ）不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线. ∵方程可变形为2x －y －6＋λ（x －y －4）＝0，∴26040x y x y --=⎧⎨--=⎩ 解得22x y =⎧⎨=-⎩故直线经过的定点为M （2，－2）.（2）证明：易知d ≤|PM |=PM 与直线垂直时，等号成立 此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴d <.【点睛】本题考查了直线过定点，点到直线的距离范围，确定直线系不能表示x －y －4＝0是解题的关键.22.已知直线220x y -+=与圆C ：2240x y y m +-+=. （1）求圆C 的方程；（2）过原点O 作圆C 的两条切线，与函数2y x =的图象相交于M 、N 两点（异于原点），证明：直线MN 与圆C 相切；（3）若函数2y x =图象上任意三个不同的点P 、Q 、R ，且满足直线PQ 和PR 都与圆C 相切，判断线QR 与圆C 的位置关系，并加以证明.【答案】（1）()2221x y +-=（2）证明见解析；（3）直线QR 与圆C 相切；证明见解析； 【解析】 【分析】（1）化圆方程为标准方程，得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，用表示出弦长，从而求得m ，得圆方程；（2）求出过原点的圆C 的两条切线方程，然后求得两条切线与抛物线的交点坐标后可得证； （3）设()2,P a a，()2,Q b b ，()2,R c c ，由此写出直线,,PQ PR QR 的方程，由直线,PQ PR 与圆相切得出,,a b c 的关系，可得221a b c a +=-；2231a bc a-=-，然后可证直线QR 也与圆相切． 【详解】（1）解：圆C ：2240x y y m +-+=，可化为圆()2224x y m +-=-+，圆心到直线的距离d =，∴，∴224m +=-+⎝⎭， ∴3m =，∴圆C 的方程为()2221x y +-=；（2）证明：设过原点O 的切线方程为y kx =，即0kx y -=，1=，∴k =∴设过原点O 的切线方程为y =，与函数2y x =，联立可得3x y ==，∴3y =与圆C 相切；（3）解：设()2,P a a，()2,Q b b ，()2,R c c ，可得22PQb a ka b b a-==+-， 直线PQ 的方程为()()2y a a b x a -=+-，即为()y a b x ab =+-，同理可得，直线PR 的方程为()y a c x ac =+-， 直线QR 的方程为()y b c x bc =+-， ∴直线PQ 和PR 都与圆C 相切，1=1=，即为()2221230b a ab a --+-=，()2221230c a ac a --+-=，即有b ，c 为方程()2221230x a ax a --+-=的两根， 可得221a b c a +=-；2231a bc a-=-， 由圆心到直线QR222211111a a a a ---===+-，则直线QR 与圆C 相切.【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，考查直线与圆的位置关系，掌握用几何方法求弦长和判断直线与圆的位置关系是解题基础．。

2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ＜4}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |2＜x ＜4}C ．{x |0＜x ＜4}D ．{x |x ＜2或x ＞4}2．命题“∀x ∈R ，x 2+2x +2＞0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+2x +2≤0 B ．∃x ∈R ，x 2+2x +2≤0 C ．∀x ∈R ，x 2+2x +2＜0D ．∃x ∈R ，x 2+2x +2＞03．“﹣2＜x ＜4”是“x 2﹣x ﹣6＜0”的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ＝log 1.80.8，b ＝1.80.8，c ＝0.80.8，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a5．函数y =1−x +√1−2x 的值域为（ ） A ．(−∞，12]B ．[0，+∞）C ．[12，+∞)D ．(12，+∞)6．设函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，若f （x 0）＜3，则x 0的取值范围是（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，9）C ．（﹣∞，﹣2）∪（9，+∞）D ．（﹣2，0）∪（9，+∞）7．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t （单位：h ）与储藏温度x （单位：℃）之间的关系为t =192×(732)x 22，若要使牛奶保鲜时长超过96h ，则应储藏在温度低于（ ）℃的环境中．（附：lg 2≈0.301，lg 7≈0.845，答案采取四舍五入精确到0.1） A ．10.0B ．10.3C ．10.5D ．10.78．若函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(x y)，则不等式f(x +3)−f(1x )＜2f(2)的解集为（ ） A ．（﹣1，4）B ．（﹣4，1）C ．（0，1）D ．（0，4）二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．若函数y ＝e x 的图象上存在不同的两点A ，B 到直线l 的距离均为e ，则l 的解析式可以是（ ）A ．y ＝﹣eB ．y ＝eC ．x ＝eD ．y ＝x10．下列说法正确的是（ ） A ．不等式2x+1≥1的解集是（﹣1，1]B ．若函数f （x ）的定义域为[1，4]，则函数f （x +1）的定义域为[0，3]C ．函数y =2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）D ．函数f(x)=√−x 2+2x 的单调递增区间为[0，1] 11．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则（ ） A ．ab ≤14B ．log 2a +log 2b ≥﹣2C ．1a +1b ≥4D ．(12)a−b ＜212．用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义A ∗B ={C(A)−C(B)，C(A)≥C(B)C(B)−C(A)，C(A)＜C(B)，已知集合A ＝{x |x 2+x ＝0}，B ＝{x ∈R |（x 2+ax ）（x 2+ax +1）＝0}，则下面正确结论正确的是（ ） A ．∃a ∈R ，C （B ）＝3 B ．∀a ∈R ，C （B ）≥2C ．“a ＝0”是“A *B ＝1”的必要不充分条件D ．若S ＝{a ∈R |A *B ＝1}，则C （S ）＝3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．函数y =√2−x +log 2(x −1)的定义域为 ．14．已知幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减，则函数g （x ）＝b x +a ﹣1（b ＞1）的图象过定点 ．15．若函数f （x ）的值域为（0，1]，且满足f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）的解析式可以是f （x ）＝ ． 16．已知函数f （x ）＝x 2，g （x ）＝a |x ﹣1|，a 为常数，若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），则实数a 的取值范围为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算求值：（1）（√23×√3）6−3235−√23×(4−13)﹣1+（5+2√6）0（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √518．（12分）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |（x +4）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |x ﹣5＜0}． （1）求M ∪N ，∁R N ；（2）设P＝{x||x|＝t}，若P⊆M，求t的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）={x+4，x≤1x+kx，x＞1，其中k＞0（1）若k＝1，f(m)=174，求实数m的值；（2）若函数f（x）的值域为R，求k的取值范围．20．（12分）已知定义域为R的函数f(x)=1−a⋅2x2x+1是奇函数．（1）求实数a的值．（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明．（3）解关于x的不等式f（4x）+f（8﹣9×2x）＞0．21．（12分）函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为y关于x的奇函数，给定函数f(x)=13x+1．（1）求f（x）的对称中心；（2）已知函数g（x）＝﹣x2+mx，若对任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[1，+∞），使得g（x1）≤f（x2），求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝x（m|x|﹣1），m∈R．（1）若m＝1，写出函数f（x）在[﹣1，1]上的单调区间，并求f（x）在[﹣1，1]内的最小值；（2）设关于对x的不等式f（x+m）＞f（x）的解集为A，且[﹣1，1]⊆A，求实数m的取值范围．2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|2＜x＜4}C．{x|0＜x＜4}D．{x|x＜2或x＞4}解：集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝{x|0＜x＜4}．故选：C．2．命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+2≤0B．∃x∈R，x2+2x+2≤0C．∀x∈R，x2+2x+2＜0D．∃x∈R，x2+2x+2＞0解：原命题为：∀x∈R，x2+2x+2＞0，∵原命题为全称命题，∴其否定为存在性命题，且不等号须改变，∴原命题的否定为：∃x∈R，x2+2x+2≤0．故选：B．3．“﹣2＜x＜4”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：不等式x2﹣x﹣6＜0，即（x+2）（x﹣3）＜0，可得﹣2＜x＜3，因为条件“﹣2＜x＜4”对应的集合包含“﹣2＜x＜3”对应的集合，所以“﹣2＜x＜4”是“x2﹣x﹣6＜0”的必要而不充分条件．故选：A．4．已知a＝log1.80.8，b＝1.80.8，c＝0.80.8，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a解：∵a＝log1.80.8＜log1.81＝0，b＝1.80.8＞1.80＝1，0＜c＝0.80.6＜0.80＝1，故b＞c＞a．故选：D．5．函数y =1−x +√1−2x 的值域为（ ） A ．(−∞，12]B ．[0，+∞）C ．[12，+∞)D ．(12，+∞)解：易知函数的定义域为(−∞，12]，由于y ＝1﹣x 在(−∞，12]上单调递减，y =√1−2x 在(−∞，12]上单调递减， 则函数y =1−x +√1−2x 在(−∞，12]上单调递减， 故y ≥1−12+√1−2×12=12， 即函数的值域为[12，+∞)． 故选：C ．6．设函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，若f （x 0）＜3，则x 0的取值范围是（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，9）C ．（﹣∞，﹣2）∪（9，+∞）D ．（﹣2，0）∪（9，+∞）解：函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，由f （x 0）＜3，可得①{x 0≤02−x 0−1＜3，解得﹣2＜x 0≤0，②{x 0＞0x 012＜3，解得0＜x 0＜9；则x 0的取值范围是：（﹣2，9）． 故选：B ．7．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t （单位：h ）与储藏温度x （单位：℃）之间的关系为t =192×(732)x22，若要使牛奶保鲜时长超过96h ，则应储藏在温度低于（ ）℃的环境中．（附：lg 2≈0.301，lg 7≈0.845，答案采取四舍五入精确到0.1） A ．10.0B ．10.3C ．10.5D ．10.7解：由题意得t =192×(732)x 22＞96， ∴(732)x 22＞12，∴x 22＜log 73212=−log 7322，∴x 22＜−log 7322=−lg2lg7−5lg2≈0.456，解得x ＜10.032，∴应储藏在温度低于10.0℃的环境中．故选：A ．8．若函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(x y)，则不等式f(x +3)−f(1x)＜2f(2)的解集为（ ） A ．（﹣1，4）B ．（﹣4，1）C ．（0，1）D ．（0，4）解：因为对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(xy )，所以令x ＝4，y ＝2，得f （4）﹣f （2）＝f （2），即f （4）＝2f （2）， 则不等式f （x +3）﹣f （1x ）＜2f （2）可化为f （（x +3）x ）＜f （4），又因为函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，所以{x +3＞0x ＞0(x +3)x ＜4，即{x ＞−3x ＞0x 2+3x −4＜0，解得0＜x ＜1．故选：C ．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．若函数y ＝e x 的图象上存在不同的两点A ，B 到直线l 的距离均为e ，则l 的解析式可以是（ ） A ．y ＝﹣e B ．y ＝eC ．x ＝eD ．y ＝x解：如图所示：函数y ＝e x 的图象上的点到直线y ＝﹣e 的距离都大于e ，故A 错误； 当x ＜1时，函数y ＝e x 的图象上的点到直线y ＝e 的距离都小于e ，当x ＞1时，函数y ＝e x 的图象上存在一个点到直线y ＝e 的距离等于e ，故B 错误；当x＜e时，函数y＝e x的图象上存在一个点到直线x＝e的距离等于e，当x＞e时，函数y＝e x的图象上存在一个点到直线x＝e的距离等于e，故C正确；点A（0，1）到直线x﹣y＝0的距离|AB|=√22＜e，则点A（0，1）两边各存在一点到直线x﹣y＝0的距离等于e，故D正确．故选：CD．10．下列说法正确的是（）A．不等式2x+1≥1的解集是（﹣1，1]B．若函数f（x）的定义域为[1，4]，则函数f（x+1）的定义域为[0，3]C．函数y=2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）D．函数f(x)=√−x2+2x的单调递增区间为[0，1]解：根据题意，依次分析选项：对于A，不等式2x+1≥1，变形可得1−xx+1≥0，解可得﹣1＜x≤1，即不等式的解集为（﹣1，1]，A正确；对于B，若函数f（x）的定义域为[1，4]，对于函数f（x+1），有1≤x+1≤4，解可得0≤x≤3，即函数f（x+1）的定义域为[0，3]，B正确；对于C，函数y=2x+1由函数y=2x向左平移1个单位得到，则函数y=2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞），C错误对于D，对于f(x)=√−x2+2x，有﹣x2+2x≥0，解可得0≤x≤2，即函数的定义域为[0，2]，设t＝﹣x2+2x，则y=√t，t＝﹣x2+2x在区间[0，1]上为增函数，在区间[1，2]上为减函数，y=√t在[0，+∞）上为增函数，故函数f(x)=√−x2+2x的单调递增区间为[0，1]，D正确．故选：ABD．11．已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则（）A．ab≤14B．log2a+log2b≥﹣2C．1a +1b≥4D．(12)a−b＜2解：对选项A，因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以ab≤(a+b)24=14，当且仅当a=b=12时，等号成立，故A正确．对选项B，log2a+log2b=log2ab≤log214=−2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故B 错误． 对选项C ，因为a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，1a+1b=(1a+1b )(a +b)=2+b a+a b≥2+2√b a ⋅ab=4，当且仅当ba=a b时，即a ＝b =12时等号成立，故C 正确．对选项D ，因为a ＞0，a +b ＝1，所以b ＝1﹣a ，2a ﹣1＞﹣1， 所以(12)a−b =(12)2a−1＜(12)−1=2，故D 正确． 故选：ACD ．12．用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义A ∗B ={C(A)−C(B)，C(A)≥C(B)C(B)−C(A)，C(A)＜C(B)，已知集合A ＝{x |x 2+x ＝0}，B ＝{x ∈R |（x 2+ax ）（x 2+ax +1）＝0}，则下面正确结论正确的是（ ） A ．∃a ∈R ，C （B ）＝3 B ．∀a ∈R ，C （B ）≥2C ．“a ＝0”是“A *B ＝1”的必要不充分条件D ．若S ＝{a ∈R |A *B ＝1}，则C （S ）＝3解：对于A ，当a ＝2时，B ＝{0，﹣2，﹣1}，此时C （B ）＝3，故A 正确； 对于B ，当a ＝0时，B ＝{0}，此时C （B ）＝1，故B 错误；对于C ，当a ＝0时，B ＝{0}，所以C （B ）＝1，A ＝{0，﹣1}，所以C （A ）＝2，所以A *B ＝1； 当A *B ＝1时，因为C （A ）＝2，所以C （B ）＝1或3， 若C （B ）＝1，满足{a =0Δ=a 2−4=0，解得a ＝0；若C （B ）＝3，因为方程x 2+ax ＝0的两个根x 1＝0，x 2＝﹣a 都不是方程x 2+ax +1＝0的根，所以需满足{a ≠0Δ=a 2−4=0，解得a ＝±2， 所以“a ＝0“是“A *B ＝1”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ，因为C （A ）＝2，要得A *B ＝1，所以C （B ）＝1或3，由C 可知：a ＝0或a ＝±2， 所以S ＝{0，2，﹣2}，所以C （S ）＝3，故D 正确； 故选：AD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．函数y =√2−x +log 2(x −1)的定义域为 ． 解：要使函数有意义则{2−x ≥0x −1＞0，∴{x ≤2x ＞1，即1＜x ≤2， 即函数的定义域为{x |1＜x ≤2}． 故答案为：{x |1＜x ≤2}．14．已知幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减，则函数g （x ）＝b x +a ﹣1（b ＞1）的图象过定点 ．解：∵幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减， ∴{a 2−a −1=1a ＜0，解得a ＝﹣1， ∴g （x ）过定点（1，0）． 故答案为：（1，0）．15．若函数f （x ）的值域为（0，1]，且满足f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）的解析式可以是f （x ）＝ ． 解：由题意可知，函数的值域为（0，1]，且函数为偶函数，满足条件的其中一个函数为f(x)=(12)|x|． 故答案为：(12)|x|（答案不唯一）．16．已知函数f （x ）＝x 2，g （x ）＝a |x ﹣1|，a 为常数，若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），则实数a 的取值范围为 ．解：对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），即f （x 1）﹣g （x 1）＜f （x 2）﹣g （x 2），令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝x 2﹣a |x ﹣1|，即F （x 1）＜F （x 2），只需F （x ）在[0，2]单调递增即可， 当x ＝1时，F （x ）＝0，图象恒过（1，0）点， 当x ＞1时，F （x ）＝x 2﹣ax +a ， 当x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a ， 要使F （x ）在[0，2]递增，则当1＜x ≤2时，F （x ）＝x 2﹣ax +a 的对称轴x =a2≤1，即a ≤2， 当0≤x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a 的对称轴x =−a2≤0，即a ≥0， 故a ∈[0，2]， 故答案为：[0，2]四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算求值： （1）（√23×√3）6−3235−√23×(4−13)﹣1+（5+2√6）0（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √5 解：（1）(√23×√3)6−3235−√23×(4−13)−1+(5+2√6)0=108−8−2+1=99；（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √5 ＝9+32−2lg32lg2•3lg23lg3−2+lg √10 ＝9+32−1﹣2+12 ＝8．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |（x +4）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |x ﹣5＜0}． （1）求M ∪N ，∁R N ；（2）设P ＝{x ||x |＝t }，若P ⊆M ，求t 的取值范围．解：（1）因为M ＝{x |﹣4＜x ＜6}，N ＝{x |x ＜5}，所以M ∪N ＝{x |x ＜6}，∁R N ＝{x |x ≥5}． （2）当P ＝∅时，t ＜0；当P ≠∅时，{t ≥0−4＜t ＜6−4＜−t ＜6，解得0≤t ＜4．综上所述，t ＜4，即t 的取值范围为（﹣∞，4）． 19．（12分）已知函数f （x ）={x +4，x ≤1x +kx，x ＞1，其中k ＞0（1）若k ＝1，f(m)=174，求实数m 的值； （2）若函数f （x ）的值域为R ，求k 的取值范围． 解：（1）当k ＝1时，f(x)={x +4，x ≤1x +1x ，x ＞1， 由f(m)=174，得{m +4=174m ≤1或{m +1m =174m ＞1， 解得m =14或m ＝4， 所以实数m 的值为14或4．（2）当x ≤1时，f （x ）＝x +4，值域为（﹣∞，5]． 分以下两种情形来讨论：若0＜k ≤1，此时√k ≤1，则f(x)=x +kx 在区间（1，+∞）上单调递增，此时f （x ）的值域为（k +1，+∞），所以函数f （x ）的值域为（﹣∞，4]∪（k +1，+∞）＝R ，满足题意． 所以0＜k ≤1满足题意．若k＞1，此时√k＞1，则f(x)=x+kx在区间(1，√k]上单调递减，在区间(√k，+∞)上单调递增，此时f（x）的值域为[2√k，+∞)，所以f（x）的值域为(−∞，5]∪[2√k，+∞)，由题意可得2√k≤5，解得k≤254，所以1＜k≤254．综上：k的取值范围是{k|0＜k≤254 }．20．（12分）已知定义域为R的函数f(x)=1−a⋅2x2x+1是奇函数．（1）求实数a的值．（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明．（3）解关于x的不等式f（4x）+f（8﹣9×2x）＞0．解：（1）∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（﹣x）+f（x）＝0，即f(x)+f(−x)=1−a⋅2x2x+1+1−a⋅2−x2−x+1=(a−1)(2x+1)2x+1=0恒成立，∴a＝1．（2）f（x）在R上为减函数，证明如下：由于f(x)=1−2x2x+1=−1+22x+1，任取x1，x2∈R且x1＜x2，则f(x1)−f(x2)=(−1+22x1+1)−(−1+22x2+1)=22x1+1−22x2+1=2(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1)．∵x1＜x2，∴2x2−2x1＞0，又(2x1+1)(2x2+1)＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在R上为减函数．（3）由（2）得，奇函数f（x）在R上为减函数，∴f（4x）＞f（9×2x﹣8），即22x＜9•2x﹣8，令2x＝t（t＞0），则t2﹣9t+8＜0，可得1＜t＜8，即20＝1＜2x＜23，可得不等式的解集为（0，3）．21．（12分）函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为y关于x的奇函数，给定函数f(x)=13x+1．（1）求f（x）的对称中心；（2）已知函数g（x）＝﹣x2+mx，若对任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[1，+∞），使得g（x1）≤f（x2），求实数m的取值范围．解：（1）假设f （x ）的图像存在对称中心（a ，b ），则h （x ）＝f （x +a ）﹣b 的图像关于原点成中心对称，因为h （x ）的定义域为R ，所以ℎ(−x)+ℎ(x)=13a−x −b +13x+a −b =0恒成立， 即（1﹣2b ）（3a ﹣x +3a +x ）+2﹣2b ﹣2b •32a ＝0恒成立，所以{1−2b =02−2b −2b32a =0， 解得{a =0b =12， 所以 f （x ）的图像存在对称中心(0，12)；（2）因为 f （x ）在区间[1，+∞）上递减，可得f （x ）的最大值为f （1）=14，由题意可得﹣x 2+mx ≤14在x ∈[﹣1，1]上恒成立，当x ＝0时，不等式化为0≤14恒成立；当0＜x ≤1时，可得m ≤（x +14x ）min ， 由y ＝x +14x ≥2√14=1（当且仅当x =12∈（0，1]时，取得等号）， 则m ≤1；当﹣1≤x ＜0时，可得m ≥（x +14x ）max， 由y ＝x +14x ≤−2√14=−1（当且仅当x =−12∈[﹣1，0）时，取得等号），则m ≥﹣1；所以m 的取值范围是[﹣1，1]．22．（12分）已知函数f （x ）＝x （m |x |﹣1），m ∈R ．（1）若m ＝1，写出函数f （x ）在[﹣1，1]上的单调区间，并求f （x ）在[﹣1，1]内的最小值；（2）设关于对x 的不等式f （x +m ）＞f （x ）的解集为A ，且[﹣1，1]⊆A ，求实数m 的取值范围． 解：（1）若m ＝1，f （x ）＝x （|x |﹣1）={x 2−x ，x ≥0−x 2−x ，x ＜0， 所以f （x ）的单调增区间为[﹣1，−12]，[12，1]，递减区间为[−12，12]，又f （﹣1）＝0，f （12）=−14， 所以f （x ）在[﹣1，1]内的最小值为−14．（2）因为关于对x的不等式f（x+m）＞f（x）的解集为A，且[﹣1，1]⊆A，所以f（x+m）＞f（x）在[﹣1，1]上恒成立，当m＝0时，不符合题意，当m＜0时，f（x）在[﹣1，1]上单调递减，符合题意，当m＞0时，令x＝0得f（m）＞f（0），所以m（m2﹣1）＞0，解得m＞1，当x∈[﹣1，0），x+m∈[m﹣1，m），则f（x+m）＝（x+m）（mx+m2﹣1），f（x）＝x（﹣mx﹣1），又f（x+m）＞f（x），所以2x2+2mx+m2﹣1＞0，令h（x）＝2x2+2mx+m2﹣1，x∈[﹣1，0），当−m2＜−1，即m＞2时，h（x）在[﹣1，0）上单调递增，所以h（x）min＝h（﹣1）＝m2﹣2m+1＞0，所以m＞2；当−m2≥−1，即1＜m≤2时，h（x）在[﹣1，−m2）上单调递减，（−m2，0）单调递增，所以h（x）min＝h（−m2）＞0，所以m＞√2，所以√2＜m≤2，所以m＞√2时恒成立，当x∈（0，1]，x+m∈（m，m+1]，则f（x+m）＝（x+m）（mx+m2﹣1），f（x）＝x（mx﹣1），又f（x+m）＞f（x），所以2mx+m2﹣1＞0恒成立，令h（x）＝2x2+2mx+m2﹣1，x∈[﹣1，0），综上：实数m的取值范围为（﹣∞，0）∪（√2，+∞）．。

泰州中学2024－2025学年度第一学期期中考试高一数学试题(考试时间：120分钟；总分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项将合题目要求。

1.已知集合{}2,1,0,5A =--，302B x x ⎧⎫=+>⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A.{}0,5 B.{}1,0,5-C.{}5D.{}2,1--2.已知命题:p x ∀∈Q ，x ∈Z 的否定是（ ） A.x ∀∉Q ，x ∉ZB.x ∃∉Q ，x ∈ZC.x ∀∈Q ，x ∉ZD.x ∃∈Q ，x ∉Z3.已知a ，b ，()0,m ∈+∞，则“a b >”是“b m ba m a+>+”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg 20.30≈） A.2025年B.2026年C.2027年D.2028年5.已知0x >，0y >，且11132x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A.5B.6C.7D.86.若函数()f x =[)0,+∞，则实数a 的取值范围为（ ）A.10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B.{}10,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7.已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()2f x +为偶函数，且()11f =，则()()45f f +的值为（ ） A.－1B.0C.1D.28.已知函数()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，其中()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且()()22f x g x ax x +=++，若对于任意1212x x <<<，都有()()12122f x f x x x ->--，则实数a 的取值范围是（ ）A.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B.()0,+∞C.()1,0,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D.1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分.9.已知a ，b ，c ∈R ，则下列说法中正确的是（ ） A.22a b ac bc >⇒…B.a bc c>，0c a b <⇒< C.33a b >，110ab a b>⇒< D.22a b >，110ab a b>⇒<10.已知()()2,511,52x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则（ ）A.()()245f f =B.()()256f f =C.()25116f =D.当[)4,5x ∈，()()212x f x +=11.已知函数()()22f x x x a a =+-∈R ，下列说法正确的是（ ） A.当0a =时，()f x 为偶函数B.存在实数a ，使得()f x 为奇函数C.当11a -<<时，()f x 取得最小值2aD.当0a >时，方程()0f x m -=可能有三个实数根三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()f x 的图象如图所示，则()()0ff =________.13.已知25xym ==，是112x y+=，则m 的值为________. 14.()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()24f x x x =-+.若()f x 在[)4,b -上有最大值，则实数b 的取值范围为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.计算：（1）2log 3333log 2log 52log 2+-；（2）()()222164121248818x xx x x xx---⎛⎫-+-++++ ⎪+⎝⎭. 16.已知{}2650A x x x =-+…，{}10B x ax =-…. （1）若12a =，求()A B R ð；（2）从①()BA R =R ð：（2）A B A =：（3）()A B ⋂=∅R ð这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.问题：若________，求实数a 的取值范围.17.如图所示，将一个矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在射线AB 上，N 在射线AD 上，且对角线MN 过点C ，已知AB 长为4米，AD 长为3米，设AN x =米.（1）要使矩形花坛AMPN 的面积大于54平方米，则AN 的长应在什么范围内？ （2）要使矩形花坛AMPN 的扩建部分铺上大理石，则AN 的长度是多少时，用料最省？ 18.设函数()()212f x ax a x a =+-+-.（1）若关于x 的不等式()2f x -…有实数解，求实数a 的取值范围； （2）若不等式()2f x -…对实数[]1,1a ∈-时恒成立，求实数x 的取值范围； （3）解关于x 的不等式()1f x a <-，()a ∈R .19.黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用.黎曼函数定义在[]0,1上，()()1,,,0,010,1p px p q q q q R x x +⎧⎛⎫=∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩N 为既约真分数或或内的无理数.注：如果一个分数的分子和分母的最大公约数是1，这个分数称为既约分数。

江苏省泰州市第三高级中学、田家炳中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}10B x x =-<，则A B = （）A ．{}2,1,0,1--B ．{}2,1,0--C ．{}0,1D ．{}22．已知命题p ：0x ∃∈R ，200104x x -+≤，则命题p 的否定为（）A ．0x ∀∈R ，200104x x -+>B ．0x ∃∈R ，20014x x -+<C ．0x ∀∈R ，200104x x -+≤D ．0x ∀∉R ，200104x x -+>3．已知36x -≤≤，12y -≤≤，则2z x y =-的取值范围是（）A ．[]1,2-B ．[]2,10-C ．[]7,8-D ．[]5,10-4．声强级，是指声强x （单位：W/m²）和定值α（单位：W/m²）比值的常用对数值再乘以10，即声强级()10lgxd x α=（单位：dB ）．已知人与人交谈时的声强级约为45dB ，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为109，那么这种火箭发射的声强级约为（）A ．135dBB ．140dBC ．145dBD ．150dB5．已知p ：25x -≤≤，():2220q m x m m -≤≤+>，若p 的充分不必要条件是q ，则实数m 的取值范围为（）A ．3m ≤B ．03m <≤C ．2m ≥D ．02m <≤6．已知函数21,1()2,1x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，若()()3f f a =，则a =（）AB ．0C 0D ．7．定义在R 上的奇函数()f x 满足在()0,x ∈+∞上，()f x 单调递增，()20f =.不等式()()10x f x -<的解集为（）A ．()()2,01,2-UB ．()()2,01,-⋃+∞C ．[)(]2,01,2- D ．()()2,00,2-⋃8．已知()f x 是定义在R 上的函数，()f x 的图象关于点()0,0对称，对任意1x ，[)20,x ∈+∞，都有()()12121f x f x x x ->--.若()()22112f a f a a a -+-++>，则实数a 的取值范围为（）A ．1a <-或2a >B ．2a <-或1a >C ．21a -<<D ．1a <或2a >二、多选题9．设0a b <<，则下列不等式中恒成立的是（）A ．2ab b >B ．b aa b<C ．11a b<D ．1a bb+>10．下列几个命题中正确的是（）A ．函数y =的最小值为4B ．集合{}1,2,3A =，{}1,2,3,4,5A B =U ，满足条件的集合B 的个数为7个C ．已知1x >，2y >，且4x y +=，则1212x y +--的最小值为3+D ．一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3，则不等式20cx bx a ++>的解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭11．已知定义在()0,∞+的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()412f =，当1x >时，()0f x >，则（）A ．()10f =B ．()y f x =在()1,+∞上单调递增C ．()y f x =是偶函数D ．不等式()236f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集是()0,1三、填空题12．已知函数()f x =的定义域为.13．若命题p ：x ∀∈R ，220ax ax -+>为真命题，则实数a 的取值范围为.14．定义某种运算“*”，,,b a ba b a a b ⎧≥*=⎨<⎩，设()()()03f x x x x =*-*，则()f x 在区间[]4,4-上的最小值.四、解答题15．计算下列各式的值：(1)()16200.2516168202449-⎛⎫-⨯--- ⎪⎝⎭；(2)7log 3log lg25lg47++.16．已知函数()21243f x x x +=++.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求关于x 的不等式()2241f x ax a ->+的解集.（其中a ∈R ）17．设命题p ：[]2,2x ∃∈-，不等式2531a a x -+≥+有解，命题q ：关于实数x 的方程220x ax a ++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，其中10x <，21x >.(1)若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 、q 中有且只有一个为真命题，求实数a 的取值范围.18．冬季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足40万箱时()280p x x x =+；当产量不小于40万箱时，()36001411100p x x x=+-，若每箱口罩售价140元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.(1)求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；（销售利润=销售总价-固定成本-生产成本）(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？19．已知函数()f x x a =-，()g x ax =，()a ∈R .(1)若1a =，求方程()()f x g x =的解；(2)若方程()()f x g x =在()0,x ∈+∞上有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；(3)若0a >，记()()()F x g x f x =，试求函数()y F x =在区间[]1,2上的最大值.。

2021-2022学年江苏省泰州市高一下学期期中数学试题一、单选题1．设复数，则复数z 的虚部是（ ）51i 1i z +=-A ．i B ．C ．1D ．i-1-C【分析】应用复数的乘方、除法化简复数，即可得z 的虚部.【详解】.521i 1i (1i)i1i 1i (1i)(1i)z +++====---+所以复数z 的虚部是1.故选：C 2．已知点，，则与向量的方向相反的单位向量是（ ）()1,3A ()4,1B -ABA ．B ．C ．D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭A【分析】利用向量坐标运算可得和，由此可知所求向量为.ABAB AB-【详解】，，()3,4AB =-5AB ∴= 与向量的方向相反的单位向量为.∴AB 34,55AB AB ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故选：A.3．如图，在等腰梯形中，，，则（ ）ABCD 2AB CD =BC AB ADλμ=+ λμ-=A ．B ．C ．D ．32-3254-54A【分析】利用向量的三角形法则可求解.【详解】BC BD DC BA AD DC=+=++又，2AB CD =12DC AB∴= 1122BC AB AD AB AB AD∴=-++=-+，1,12λμ∴=-=32λμ∴-=-故选：A4．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为，若，则2sin18m =︒2416m n +=的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8C【分析】运用代入法，根据二倍角的正弦公式、余弦公式，结合同角的三角函数关系式、诱导公式进行求解即可.【详解】因为，2sin18m =︒所以由，222416164(2sin18)16cos 18m n n +=⇒=-︒=︒，2sin184cos184sin 364cos544cos54cos54cos54︒⋅︒︒︒====︒︒︒故选：C5．已知非零向量，满足且，则与的夹角为（ ）a b ||2||a b = ()a b b -⊥ a b A ．B ．C ．D ．6π3π23π56πB【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得，结合已知即可2||||cos ,a b a b a b b ⋅=<>= 求与的夹角.a b 【详解】由题设，，2()0a b b a b b -⋅=⋅-= 所以，即，2||||cos ,a b a b a b b ⋅=<>= ||1cos ,2||b a b a <>==又，故.,[0,]a b π<>∈,a b <>= 3π故选：B6．已知内角，，所对的边分别为，，，面积为.若ABC A B C a b c S，，则的形状是（ ）sinsin 2A C a b A +=2S CA =⋅ ABC A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形C【分析】由三角形的内角和定理、诱导公式、正弦定理以及二倍角的正弦公式化简已知条件，可求角，由三角形的面积公式和平面向量数量积的定义可求角，再由三B A 角形的内角和求角，即可判断的形状，进而可得正确选项.C ABC 【详解】因为，所以，即，sinsin 2A C a b A+=sin sin 22B a b A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2B a b A =由正弦定理可得：，sin cossin sin 2BA B A =因为，所以，sin 0A ≠cossin 2sin cos 222B B B B ==因为，所以，所以，可得，022B π<<cos 02B ≠2sin 12B =1sin 22B =所以，解得，26B π=3B π=因为，所以，即，2S CA =⋅ 12sin cos 2bc A A⨯=sin A A =所以，所以，tan A =3A π=3C A B ππ=--=所以的形状是正三角形，ABC 故选：C.7．已知i 为虚数单位，如果复数z 满足，那么的最小值是|2||2|4z i z i ++-=|1|z i ++（ ）A ．1BC ．2D A首先根据，结合复数模的几何意义，判断出对应点的轨迹，再根|2||2|4z i z i ++-=z 据的几何意义，求得的最小值.|1|z i ++|1|z i ++【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，因为2i -2i (1)i -+1Z 2Z 3Z ，，|2||2|4z i z i ++-=124Z Z =所以复数在复平面内对应的点的轨迹为线段（包括端点），如图所示.z 12Z Z 问题转化为：动点Z 在线段上移动，求的最小值.因此作于，12Z Z 3ZZ 3012Z Z Z Z ⊥0Z则与之间的距离即为所求的最小值，即.3Z 0Z 031Z Z =故选：A.本小题主要考查复数模的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8．当时，取得最大值，则（ ）x θ=()26sin 2sin cos 3222x x x f x =+-tan θ=A ．3B ．C ．D ．3-1313-D【分析】利用三角恒等变换化简，求得其取得最大值时的取值情况，再其正切()f x x 值即可.【详解】因为()26sin 2sin cos 3222x x xf x =+-()31cos sin 3x x =-+-，(),tan 3,,22x ππϕϕϕ⎛⎫=+=-∈- ⎪⎝⎭故当取得最大值时，若，则，()f x x θ=2,2k k Zπθϕπ+=+∈则.11tan tan 2tan 22tan 3k ππθπϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-=-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.二、多选题9．已知复数，在复平面上对应的点关于实轴对称．则下列说法一定正确1z ()212z z z ≠的是（ ）A ．是实数B ．是纯虚数C ．是实数D ．是纯虚数12z z +12z z -12z z ⋅12z z ABC【分析】结合向量运算、向量的有关概念对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，设，则，其中.1i,(,)z a b a b R =+∈2i z a b =-0b ≠为实数，A 选项正确.122z z a +=为纯虚数，B 选项正确.122i z z b -=为实数，C 选项正确.2212z z a b ⋅=+，当时，不是纯虚数，D 选项错()()()2221222i i 2ii i i a b z a b a b ab z a b a b a b a b ++-+===--++22a b ≠12z z 误.故选：ABC10A ．B ．222cos 2sin 1212ππ-1tan151tan15+︒-︒C．D ．sin 75︒︒cos15︒︒ABC【分析】对于A 、C ，逆用二倍角公式化简判断；对于B ，逆用两角和的正切公式化简判断；对于D ，用配凑法及逆用两角差的正弦公式化简判断；【详解】解：对于A ，A 正确；222cos 2sin 1212ππ-=2cos 6π=对于B ，，故B正确；1tan15tan 45tan15tan 601tan151tan 45tan15++=-=⨯=-对于C ，C正确；11cos152sin15cos15sin 3022︒︒︒︒︒==⨯=对于D ，，故D 不正1cos15cos15sin15222︒︒︒︒︒⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭确；故选：ABC .11．的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，则（ ）ABC 2,3ab A π===A ．B ．C ．D ．外接圆3c =sin B =sin C =ABC 的面积为73πABD【分析】设的外接圆的半径为, 利用正弦定理求出ABC R sin B R ==用余弦定理和正弦定理求出和即得解.c sin C 【详解】解：设的外接圆的半径为,ABC R 因为，2sin sin sin a b c R A B C ===22sin sincR B C===所以外接圆的面积为.sin B R ==ABC 273R ππ=因为，所以22222cos 422cos73a b c bc A c c π=+-=+-⨯=3,c =，所以. 所以ABD 正确，C 错误.3sin C=sin C 故选：ABD12．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点AOB 120,33AOB OA OC ∠=︒==E 在弧上.（ ）CD A ．B ．若，则2OA CD ⋅=-OE uOC uOD =+1u =C ．若，则D ．的最小值为30DOE ∠=︒OE =+ EA EB ⋅ 132-BCD【分析】A 选项先利用，再按照数量积运算即可；B 选项由平()OA CD OA CO OD ⋅=⋅+行四边形法则即可判断；C 选项通过解方程组即可；D 选项先表示出，再结合正弦函数0,OC OE OD OE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ EA EB ⋅ 的范围求出最小值.【详解】，()19()3113122OA CD OA CO OD OA CO OA OD ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+⋅=⨯⨯-+⨯⨯-=-⎪⎝⎭ A 错误；由知，E 为弧的中点，又，由平行四边形法则可知则OE uOC uOD =+CD 120AOB ∠=︒，故，B 正确.OE OC OD =+1u =由知，，则30DOE ∠=︒0,11cos30OC OE OD OE ⋅=⋅=⨯⨯=OE xOC yOD =+ 解得故，()()10,212OC OE OC xOC yOD x y OD OE OD xOC yOD x y ⎧⋅=⋅+=-=⎪⎪⎨⎪⋅=⋅+=-+=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩OE = C 正确.2()()EA EB EO OA EO OB EO EO OB OA EO OA OB⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅()913cos 3cos 1202BOE BOE ∠=----︒∠，()273713cos 3sin 30222BOE BOE BOE ∠∠∠=---︒-=+≥-当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D 正确.60BOE ∠=︒EA EB ⋅ 132-故选：BCD.三、填空题13．若（为虚数单位）是纯虚数，则实数_________.()21ai +i =a ±1【分析】利用复数的运算，求得，再根据复数为纯虚数，列出方()22112ai a ai+=-+程，即可求解.【详解】由题意，复数，()222112()12ai ai ai a ai+=++=-+又由复数为纯虚数，则，即，解得.210a -=21a =1a =±本题主要考查了复数的运算和复数的分类的应用，其中解答中熟记复数的运算法则和复数的分类是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14．如果，是方程的两根，则______．tan αtan β2220x x --=()()sin cos αβαβ+=-2-【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系得，，再运用余tan tan αβ+tan tan αβ弦、正弦和差公式，以及同角三角函数间的关系，代入可得答案.【详解】由已知得，，tan tan 2αβ+=tan tan 2αβ=-.()()sin sin cos cos sin tan tan 22cos cos cos sin sin 1tan tan 12+++====--++-αβαβαβαβαβαβαβαβ故答案为.2-15．设是平面内两个不共线的向量，，，，12,e e 12(1)AB a e e =-+ 122AC be e =- 0a >．若A 、、三点共线，则的最小值是____.0b >B C 12a b +4【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.【详解】，．若A 、、三点共线，0a > 0b >B C 设，即，∴AB xAC =1212(1)(2)a e e x be e -+=- 是平面内两个不共线的向量，12,e e，解得，，即，∴112a xb x -=⎧⎨=-⎩12x =-112a b-=-112a b+=则，12121211222422b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++++=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当，即，即，时，取等号，故最小值为4.22b a a b =2b a =12a =1b =故4.16．已知中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且，若ABC ()226c a b =-+的取值范围为______.ABC sin sin AB ⋅30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】由三角形面积可得sin ab C =，然后由正余弦的平方和为1，可求得，从而可求得，则3cos ab C ab -=6ab =1cos 2C =可得，，则利用三角函数恒等变换公式可得3C π=203A π<<，再利用正弦函数的性质可求得其范围11sin sin sin 2264A B A π⎛⎫=-+⎪⎝⎭【详解】∵∴1sin 2ABC S ab C == sin ab C =∵，由余弦定理可得，()226c a b =-+2223cos 2a bc ab C ab ab +--==∴，解得，22223sin cos 1ab C C ab -⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭6ab =∴，1cos 2C =∵，∴，.0C π<<3C π=203A π<<所以()1sin sin sin sin sin sin sin sin 32A B A A C A A A A A π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211cos 211sin cos sin 224264A A A A A π-⎛⎫===-+ ⎪⎝⎭∵，∴，∴.203A π<<72666A πππ-<-<1sin 2126A π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭因此，.113sin sin sin 20,2644A B A π⎛⎫⎛⎤=-+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦故30,4⎛⎤⎥⎝⎦四、解答题17．在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．ABC A B C a b c 1b a =+2c a =+（1）若，求的面积；2sin 3sin C A =ABC （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，a ABC a说明理由．（12）存在，且.2a =【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、23c a =a b 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积c sin B 公式可求得结果；（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.C cos 0C <a 【详解】（1）因为，则，则，故，，2sin 3sin C A =()2223c a a=+=4a =5b =6c =，所以，2221cos 28a b c C ab +-==C sin C ==因此，11sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯△（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，c b a >>ABC C 由余弦定理可得，()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++解得，则，13a -<<0<<3a 由三角形三边关系可得，可得，，故.12a a a ++>+1a >a Z ∈ 2a =18．已知23sin 2sin 12αα=-(1)求的值；sin 2cos 2αα+(2)已知，，，求的值.(0,)απ∈,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22tan tan 10ββ--=αβ+(1)15(2)74αβπ+=【分析】（1）由二倍角公式化简已知条件可得，再由二倍角公式化为关于正余弦tan α的齐次式，分子分母同除以化为切函数代入即可的解；2cos α（2）由方程求出，再由两角和的正切公式计算，根据角的范围1tan 2β=-tan()αβ+求角即可.【详解】(1)因为，23sin 2sin 12αα=-所以3sin cos αα=-所以1tan 3α=-又因为=22222sin cos cos sin sin 2cos 2sin cos αααααααα+-+=+222tan 1tan 1tan ααα+-+所以1121139sin 2cos 21519αα⎛⎫-+-⎪⎝⎭+==+(2)因为，所以,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan 0β<因为22tan tan 1(2tan 1)(tan 1)0ββββ--=+-=所以1tan 2β=-又因为，所以1(0,),tan 3απα∈=-2απ<<π所以11tan tan 23tan()11ta 1n tan 16αβαβαβ--++=--=-=由，得,22πβππαπ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪<<⎪⎩2παβπ<+<所以74αβπ+=19．北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四ABCD 周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，AC ，且，，2D B ∠=∠1AD =3CD =cos B =(1)求氢能源环保电动步道的长；AC (2)若___________；求花卉种植区域总面积.从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.π3BCA ∠==BC 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)AC =(2)选①：②：π3BCA ∠=BC 植区域总面积为.【分析】（1）由题干条件得到，由余弦定理求出AC21cos cos 22cos 13D B B ==-=-的长；（2）选①：利用正弦定理求出，利用正弦的和角公式求出，AB =sin BAC ∠利用面积公式求出和，进而求出花卉种植区域总面积；选②：利用余弦定ABC S ADC S △理求出和，进而求出花卉种植区域总面积.AB =ABC S ADC S △【详解】(1)因为，所以，因为cos B =2D B ∠=∠21cos cos 22cos 13D B B ==-=-，，所以由余弦定理得：1AD =3CD =，因为，所以22212cos 196123AC AD DC AD DC D ⎛⎫=+-⋅=+-⨯-= ⎪⎝⎭0AC>AC =(2)选①：；在△ABC 中，由正弦定理得：，因为π3BCA ∠=sin sin AB ACBCA B =∠1）知：cos B =sin B=AC==得：AB =()1sin sin sincos cos sin 2BAC B ACB B ACB B ACB∠=∠+∠=∠+∠==，所以11sin22ABCS AB AC BAC =⋅⋅∠==，所以1cos 3D =-sin D ==11sin 1322ADC S AD DC D =⨯⨯⨯=⨯⨯==选②：△ABC 中，由余弦定理得：，解得：=BC cosB ==（舍去），因为AB =cos B =sin B =，所以11sin22ABC S AB BC B =⋅⋅∠== 1cos 3D =-，所以花卉种sinD ==11sin 1322ADC S AD DC D =⨯⨯⨯=⨯⨯= 植区域总面积为=20．如图，在中，已知为边上的中点，点ABC 2,3,60,AB AC BAC N ∠===AC 在线段上，且；M BC 2CM MB =(1)求线段的长度，AM (2)设与相交于点，求的余弦值.AM BN P MPN ∠(1)AM =(2)【分析】（1）设，把作为基底，再根据题意将用基底表示出来，,AB a AC b == ,a b AM然后求出其模即可，（2）将用表示出来，然后利用向量的夹角公式求解即可BN ,a b【详解】(1)设，则，,AB a AC b == 2,3,,,33a b a b a b π===⋅=()112121333333AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC a b=+=+=+-=+=+22241441437||4939999999AM a b a b =++⋅=⋅+⋅+⋅=.AM =AM =(2)因为，12BN a b=-+所以222191134234424BN a b a b =+-⋅=+-⨯⨯=所以BM =因为222112111733233366AM BN a b a b a a b a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅-⋅+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以.cos ,AM BN AM BN AM BN⋅===因为，,MPN AM BN ∠=所以cos MPN ∠=21．已知函数．21()sin sin sin 242f x x x x xπ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭(1)求在上的单调递增区间；()f x [0,]π(2)求函数在上的所有零点之和．()()g x f x =[2,2]ππ-(1)和0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦5,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)π【分析】（1）根据三角函数的二倍角公式和辅角公式，可得，根()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭据正弦函数的单调性，即可求出结果；（2）由题意可知在上的图象，sin 24x π⎛⎫+=⎪⎝⎭sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[2,2]ππ-根据图象和函数的对称性，即可得到结果.sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【详解】(1)解：2()sin sin cos f x x x x x x x⎫=+-+⎪⎭， 222sin cos cos sin sin 2cos224x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭由，得，222()242k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z 3()88k x k k ππππ-+≤≤+∈Z 故的单调递增区间为．()f x 3,()88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 当时，；0k =388x ππ-≤≤当时，．1k=5988x ππ≤≤故在上的单调递增区间为和．()f x [0,]π0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦5,8ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)解：，得， ()()0g x f x ==sin 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在上的图象如图所示，sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[2,2]ππ-因为，1517sin 4sin 4sin 4444ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=>+==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以在区间上，函数的图象与直线共有8个交点，[2,2]ππ-sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y =即有8个零点，设这8个零点分别为，()g x 128,,,x x x 由，得，所以函数的图象关于直线对称，242x ππ+=8x π=sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8x π=所以，12345678284x x x x x x x x ππ+=+=+=+=⨯=故在上的所有零点之和为．()g x [2,2]ππ-44ππ⨯=22．同时定义在D 上的函数，如果满足对任意恒成(),()f x g x ,()0,()0x D f x g x ∈>>立，且具有相同的单调性，则乘积函数也是D 上的单调函(),()f x g x ()()y f x g x =⋅数．已知函数．2()ln ,()x f x x g x x e -==⋅(1)试判断函数在区间上的单调性，并求出其值域；()()y f x g x =⋅(1,2](2)若函数在上满足不等式恒成立，求实数a 的取值()g x [2,)+∞22[()]()g x ax x g x ≥+⋅范围；(3)已知是关于x 的方程的实数根，求的值．0x ()()20x g x f x ⋅+-=020ln x ex -+(1)函数在上单调递增，值域为；()()y f x g x =⋅(1,2](]0,2ln 2(2)0a ≤(3)2【分析】（1）根据题意，判断在上单调递增，且，在()y g x =(1,2]()0>g x ()ln f x x =上也单调递增，且即可求解；(1,2]()0f x >（2）原问题等价于恒成立， 记，， 求出2()()g x g x a x x ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦2()x g x t e x -==[1,)t ∈+∞函数的最小值即可得答案；2y t t =-（3）原问题等价于是关于x 的方程的实数根，令，则上式0x 22lnxe e x e x x ⋅=⋅2ln e m x =等价于，根据单调递增，可得，所以满足原方程的一定x mx e m e ⋅=⋅xy x e =⋅m x =0x 满足，从而即可求解.20ln e x x =【详解】(1)解：由题意，当时，及均单调递增，且，(1,2]x ∈y x =2x y e-=20,0x x e->>所以在上单调递增，而在上也单调递增，且，()y g x =(1,2]()ln f x x =(1,2]ln 0x >所以在上单调递增，()()y f x g x =⋅(1,2]因为，，1(1)(10)0f g e -==⨯(2)(2)ln 22f g =⨯∴的值域为；()()y f x g x =⋅(]0,2ln 2(2)解：当时，等价于，即[2,)x ∈+∞22[()]()g x ax x g x ≥+⋅2()()g x g x a x x ⎡⎤≥+⎢⎣⎦恒成立， 2()()g x g x a x x ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦记，则由，得，2()x g x t e x -==[2,)x ∈+∞[1,)t ∈+∞由可得，时，函数取得最小值为0，221124y t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭1t =2y t t =-所以；0a ≤(3)解：由，得，()()20x g x f x ⋅+-=22ln 20x x e x -⋅+-=， 222ln x x e x-⇔⋅=-222ln x e x ex-⇔⋅=222ln x e x e e x ⇔⋅=⋅22lnx e e x e x x ⇔⋅=⋅令，则，2lne m x =2m e e x =所以上式等价于，由知单调递增，所以，x mx e m e ⋅=⋅0x >xy x e =⋅m x =所以满足原方程的一定满足，即，0x 20ln e x x =00002ln ,2ln x x x x -=-=所以．002ln 0000ln ln ln 2x x e x e x x x -+=+=+=关键点点睛：本题（3）问解题的关键是将原方程等价变形为，再令22lnxe e x e x x ⋅=⋅，得，根据单调递增，得，从而得满足原方程的2ln e m x =x m x e m e ⋅=⋅xy x e =⋅m x =一定满足.0x 2ln e x x =。

江苏省泰州中学2020——2021 学年度第二学期期末考试高一年级数学一、单项选择题∶本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂到答题卡相应区域.1.若复数满足z （2-i ）=11+7i （i 为虚数单位）， 则Z=（ ） A.3+5i B.3-5i C. -3+5i D. -3-5i2.已知向量a b 、满足||||1a b ==，||3a b +=， 则|2|a b +=（ ）A.3B.C.7D. 3.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个， 恰好抽到边缘方块的概率为（ ） A.29 B. 827 C. 49 D. 124.在一组样本数据中，1，3，5，7出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4且411ii p==∑，若这组数据的中位数为6，则p 4=（ ）A.0.5B. 0.4C.0.2D.0.15.已知空间三个平面a ，β，γ，下列判断正确的是（ ）A.若a ⊥β，a ⊥γ，则β//γB.若a ⊥β，a ⊥γ，则β⊥γC.若a //β，a//γ， 则β⊥γD.若a //β，a//γ，则β//γ6.已知点A （3m ，-m ）是角a 的终边上的一点，则2sin 2sin 1cos 2ααα++.的值为（ ）A.718 B. 518- C. 52- D. 72 7.粽，即粽粒，俗称粽子，主要材料是糯米、馅料，用籍叶（或箬叶、簕古子叶等）包裹而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等.粽子由来久远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品。

南北叫法不同，北方产黍，用黍米做粽，角状，古时候在北方称“角黍”。

由于各地饮食习惯的不同，粽子形成了南北风味，从口味上分，粽子有成粽和甜粽两大类某地流行的四角状的粽子，其形状可以看成是一个正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的比值为（ ） A.12 B. 13 C. 14 D. 158.在矩形ABCD 中，AB=3，BC=2， 设矩形所在平面内一点P 满足||1CP =，记1I AB AP =⋅，2I AC AP =⋅，3I AD AP =⋅，则（ ）A.存在点P ，使得12I I =B.存在点P ，使得13I I =C.对任意点P ，都有12I I <D.对任意点P ，都有13I I <二、多项选择题∶本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

江苏省泰州中学-第二学期高一数学期中试卷(总分160分,考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1．不等式022≤--x x 的整数解共有 ▲ 个．2．在ABC ∆中，如果4:3:2::=c b a ，那么C cos = ▲ ． 3．在等差数列}{n a 中，当292=+a a 时，它的前10项和10S = ▲ ． 4．在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，已知1,3,3===b a A π，则ABC ∆的形状是 ▲ ．5．海上有B A ,两个小岛相距n 210mile ，从A 岛望C 岛和B 岛所成的视角为060，从B 岛望C 岛和A 岛所成的视角为075，则B 岛和C 岛之间的距离BC = ▲ n mile ．6．若n S 为等比数列}{n a 的前n 项的和，0852=+a a ，则36S S = ▲ ． 7．设关于x 的不等式342+≤+-x m x x 的解集为A ，且A A ∉∈2,0，则实数m 的取值范围是▲ ． 8．若x x f 6sin)(π=，则=++++)2011()5()3()1(f f f f ▲ ．9．已知等比数列{}n a 满足0n a >，n =l ，2，…，且()252523nn a a n -⋅=≥，则当3n ≥时，212223221log log log log n a a a a -++++= ▲ ．10．在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，若2223b c bc a +-=，且2ba=，则C ∠= ▲ ．11．设{}n a 是正项数列，它的前n 项和n S 满足：()()314+⋅-=n n n a a S ，则=1005a ▲ ．12．已知1,10=≤<<ab c a b ，则cb a b a 122+-+的最小值是 ▲ ． 13．洛萨⋅科拉茨（Lothar Collatz,1910．7．6-1990．9．26）是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即13+n ），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为3，按照上述变换规则，我们得到一个数列：3，10，5，16，8，4，2，1．对洛萨⋅科拉茨（Lothar Collatz ）猜想，目前谁也不能证明，更不能否定．现在请你研究：如果对正整数n （n 为首项）按照上述规则施行变换后的第六项为1（注：1可以多次出现），则n 的所有可能的取值为 ▲ ．14．我们知道，如果定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1x 、2x ，总有不等式1212()()()22f x f x x xf ++≤成立，则称函数()f x 为该区间上的向上凸函数（简称上凸）. 类比上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212n n n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列{}n a 满足如下两个条件： （1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数n （*,101N n n ∈<≤），都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+.则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)设函数)0(3)2()(2≠+-+=a x b ax x f ，若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-． （Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）若函数)(x f 在]1,[m x ∈上的最小值为1，求实数m 的值．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ．（Ⅰ）用余弦定理证明：当C ∠为钝角时，222c b a <+；（Ⅱ）当钝角△ABC 的三边,,a b c 是三个连续整数时，求ABC ∆外接圆的半径．17．(本小题满分15分)在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，不等式06sin 4cos 2≥++C x C x 对一切实数x 恒成立．（Ⅰ）求C cos 的取值范围；（Ⅱ）当C ∠取最大值，且2=c 时，求ABC ∆面积的最大值并指出取最大值时ABC ∆的形状．18．(本小题满分15分)设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的公比q ；（Ⅱ）求证：3a ，9a ，6a 成等差数列；（Ⅲ）当m a ，s a ，t a []()互不相等t s m t s m ,,,10,1,,∈成等差数列时，求t s m ++的值．19．(本小题满分16分)某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人． （Ⅰ）若9=a ，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？（Ⅱ）为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？20．(本小题满分16分)将数列}{n a 中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数 ,,,841a a a 构成的数列为}{n b ，已知：①在数列}{n b 中，11=b ，对于任何*N n ∈，都有0)1(1=-++n n nb b n ； ②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为)0(>q q 的等比数列； ③5266=a ．请解答以下问题： （Ⅰ）求数列}{nb 的通项公式；（Ⅱ）求上表中第)(*N k k ∈行所有项的和)(k S ；（Ⅲ）若关于x 的不等式x x k k S 211)(->+在]201,2001[∈x 上有解，求正整数k 的取值范围．江苏省泰州中学-高一年级期中考试数 学 参 考 答 案一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1． 4 2． 41- 3． 10 4．直角三角形 5． 310 6． 7- 7． [)1,3-- 8． 23 9． ()21n n - 10． 0010515或11．2011 12．102201+ 13． 32,5,4 14． []13,25二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.121110987654321a a a a a a a a a a a a15．(本小题满分14分) 解：（Ⅰ）由条件得()()()()⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+-+=+--⇒==-032390320301b a b a f f ， 4分 解得：4,1=-=b a ． 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得32)(2++-=x x x f ， 8分()x f y = 的对称轴方程为1=x ，)(x f ∴在]1,[m x ∈上单调递增， 10分 m x =∴时，()()132,2min =++-∴=m m m f x f ， 12分解得31±=m ．31,1-=∴<m m ． 14分 16．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）当C ∠为钝角时，0cos <C ， 2分由余弦定理得：22222cos 2b a C ab b a c +>⋅-+=， 5分 即：222c b a <+． 6分 （Ⅱ）设ABC ∆的三边分别为()Z n n n n n ∈≥+-,21,,1，ABC ∆是钝角三角形，不妨设C ∠为钝角，由（Ⅰ）得()()4004112222<<⇒<-⇒+<+-n n n n n n ， 9分3,2,,2==∴∈≥n n Z n n ，当2=n 时，不能构成三角形，舍去，当3=n 时，ABC ∆三边长分别为4,3,2， 11分415sin 41322432cos 222=⇒-=⨯⨯-+=C C ， 13分ABC ∆外接圆的半径1515841524sin 2=⨯==CcR ． 14分 17．(本小题满分15分) 解：（Ⅰ）由已知得：()⎩⎨⎧≥-+⇒≤->02cos 3cos 20cos 24sin 40cos 22C C C C C ， 4分()舍去或2cos 21cos -≤≥∴C C ． 5分 1cos 21<≤∴C 6分 （Ⅱ）,21cos ,0≥<<C C π∴当C ∠取最大值时，3π=∠C ． 8分由余弦定理得：ab ab ab ab b a ab b a =-≥-+=⇒⋅-+=243cos2222222π，3433sin 21≤=⋅=∴∆ab ab S ABC π， 12分 当且仅当b a =时取等号，此时()3max =∆ABC S ， 13分 由3,π=∠=C b a 可得ABC ∆为等边三角形． 15分18．(本小题满分15分)解：（Ⅰ）当1=q 时，133a S =，199a S =，166a S =，6392S S S +≠ ，∴3S ，9S ，6S 不成等差数列，与已知矛盾，1≠∴q ． 2分由6392S S S +=得：()()()qq a q q a q q a --+--=--⋅1111112613191， 4分即()()()012111236639=--⇒-+-=-q qq q q，332121-=⇒-=∴q q ，113=⇒=q q （舍去）， 243-=∴q 6分 （Ⅱ）()012223621512181639=--=--=--q q q a q a q a q a a a a ，6392a a a +=∴，∴3a ，9a ，6a 成等差数列． 9分（Ⅲ）3S ，9S ，6S 成等差数列1471316136362212012a a a a q a q a q q q q +=⇔+=⇔+=⇔=--⇔，GP a a a 成471,,∴或GP a a a 成174,,，则12=++t s m ， 11分同理：GP a a a 成582,,或GP a a a 成285,,，则15=++t s m ，GP a a a 成693,,或GP a a a 成396,,，则18=++t s m ，t s m ++∴的值为181512，，． 15分 19．(本小题满分16分)解：（Ⅰ）设从今年起的第x 年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为y 万元．则)101,(800602000*≤≤∈++=x N x axxy ； 4分解法1：由题意，有310800602000≥++xx， 5分解得，10340>≥x ． 7分所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标． 8分 解法2：由于101,*≤≤∈x N x ，所以01080040030310800602000<+-=-++xx x x 7分所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标． 8分 （Ⅱ）解法1：设10121≤<≤x x ，则=-)()(12x f x f 22800602000ax x ++11800602000ax x ++-0)800)(800())(200080060(1212>++--⨯=ax ax x x a ，13分所以，020*******>-⨯a ，得24<a ． 15分所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人． 16分解法2：)808060200060(1)800(8006080060602000800602000a x a a a x a a a x axx y +⋅-+=+⋅-⋅++=++=13分由题意，得0800602000<⋅-a，解得24<a ． 15分 所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人． 16分 20．(本小题满分16分)解：（Ⅰ）由0)1(1=-++n n nb b n ，得数列}{n nb 为常数列。