初中数学辅导20XX中考总结复习冲刺专题：动态几何问题

20XX年中考复习专题：动态几何之定值问题探讨一、线段（和差）为定值问题：典型例题：例1：已知：在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，点P从点B出发，沿射线BC方向以每秒2cm的速度移动，同时，点Q从点D出发，沿线段DA以每秒1cm的速度向点A方向移动（当点Q到达点A时，点P与点Q同时停止移动），PQ交BD于点E．求证：在点P、Q的移动过程中，线段BE的长度保持不变．例2：如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，顶点坐标为P．（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．练习题：1.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A 运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA 于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：△PQE∽△PMF；（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；（3）设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．2、已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE＝PD总成立．(1)如图(1)，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)；(2)如图(2)，当点P运动到CA的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；(3)如图(3)，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图(3)画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)(1)(2) (3)3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时．．出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0<t<10）．（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由．4、已知：A、B、C不在同一直线上.（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度；ii）如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A= BC2R；（2）.若定长线段．．．．BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P，试探索：在整个滑动过程中，P、A 两点的距离是否保持不变？请说明理由.二、面积（和差）为定值问题：典型例题：例1：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、DC边的中点，AB=4，∠B=60°，（1）求点E到BC边的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥BC，垂足为M，过点M作MN∥AB交线段AD于点N，连接PN、探究：当点P在线段EF上运动时，△PMN的面积是否发生变化？若不变，请求出△PMN的面积；若变化，请说明理由．例2：如图，在平面直角坐标系x O y中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P 从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C 出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同2.时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=5（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；（2）连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？练习题：1．如图1，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 为BC 上的两点，FG=3，线段DG ，EF 的交点为O ，当线段FG 在线段BC 上移动时，三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是 ．2．如图2，在矩形ABCD 中，AD=5，AB=4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连接PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和等于 _________ ．图1 图23.如图所示，四边形OABC 是矩形．点A 、C 的坐标分别为(30-，)，(0，1)，点D 是线段BC 上的动点(与端点B 、C 不重含)，过点D 作直线12y x b =+交折线OAB 于点E 。

中考数学压轴题策略之动态几何问题
面对中考，考生对待考试需保持平常心态，复习时仍要按知识点、题型、易混易错的问题进行梳理，不断总结，不断反思，从中提炼最正确的解题方法，进一步提高解题能力。

下文准备了动态几何问题的解题策略的内容。

解这类问题的基本策略是：
1.动中觅静：这里的〝静〞就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性.
2.动静互化：〝静〞只是〝动〞的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住〝静〞的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到〝动〞与〝静〞的关系.
3.以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系.
总之，解决动态几何问题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住变化中的不变，以不变应万变。

具体做法是：
①全面阅读题目，了解运动的方式与形式，全方位考察运动中的变与变的量及其位置关系;
②应用分类讨论思想，将在运动过程中导致图形本质发生变化的各种时刻的图形分类画出，变〝动〞为〝静〞;
③在各类〝静态图形〞中运用相关的知识和方法(如方程、相似等)
进行探索，寻找各个相关几何量之间的关系，建立相应的数学模型进行求解。

另外，需要强调的是此类题型一般起点低，第一步往往是一个非常简单的问题，考生一般都能拿分，但恰恰是这一步问题的解题思想和方法是此题基本的做题思想和方法，是特殊到一般数学思想和方法的具体应用，所以考生在解决第一步时不仅要准确计算出【答案】，更重要的是明确此题的方法和思路。

20XX 年中考复习专题：动态几何之存在性问题探讨一、等腰（边）三角形存在问题：例：如图，点A 在x 轴上，OA =4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．练习：已知直线y = 2x + 4 与x 轴、y 轴分别交于A , D 两点，抛物线21y=x +bx+c 2-经过点A , D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点。

（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；（2）设点M 是直线AD 上一点，且AOM OMD S : S 1 : 3∆∆=，求点M 的坐标； （3）如果点C （2，y ）在这条抛物线上，在y 轴的正半轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

二、直角三角形存在问题：例：在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为(－1，0) ．如图所示，B 点在抛物线y ＝12x 2＋12x －2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为－3．（1）求证：△BDC ≌△COA ；（2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习：如图，抛物线2y x bx 5=--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点C 与点F 关于抛物线的对称轴对称，直线AF 交y 轴于点E ，|OC |：|OA |=5：1．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AF 的解析式；（3）在直线AF 上是否存在点P ，使△CFP 是直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．三、平行四边形存在问题：例：如图，二次函数y =x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，0），经过B 点的直线交抛物线于点D （－2，－3）.（1）求抛物线的解析式和直线BD 解析式；（2）过x 轴上点E （a ，0）（E 点在B 点的右侧）作直线EF ∥BD ，交抛物线于点F ，是否存在实数a 使四边形BDFE 是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a ；如果不存在，请说明理由.练习：已知抛物线2y ax 2ax c =-+与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标是（－1，0），O 是坐标原点，且OC A 3O =．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直接写出直线BC 的函数表达式；（3）如图2，点P （1，k ）在直线BC 上，点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以A 、M 、N 、P 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由.四、矩形、菱形、正方形存在问题；例：如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=122，点C的坐标为（－18，0）。

2020年中考数学复习，动态几何问题的解法探究初中数学新课程标准要求通过图形的平移、旋转的基本性质的探索活动，进一步发展学生空间观念，培养操作技能，增强审美意识。

这类问题呈现的方式通常为动态几何探究，解决此类问题涉及到几何图形的平移、旋转、对称等变换的性质，找出变化过程中不变的量及数量关系，将动态问题转化为静态问题来研究。

其实利用旋转图形的性质进行一些问题证明时，会让我们绝路逢生的。

旋转是指将某一平面图形按照一定点旋转一定角，旋转后只是图形的位置发生了变化，图形本身的性质并没有改变，属于一种全等变换，将旋转用于平面几何的证明是用动态观点解决问题的新尝试，也是中考数学的热点。

1.（1）如图1.四边形ABCD中，AB=CB，∠ABC=600，∠ADC=1200，请你猜想线段DA、DC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2.四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=600，若点P为四边形ABCD内一点，且∠APD=1200，请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的的数量关系，并证明你的结论。

解析：（1）连接AC，因为AB=CB，∠ABC=600，则△ACD是等边三角形。

将△ACD绕点A顺时针旋转600，AC与AB重合，△AEB≌△ADC,∴∠AEB=∠ADC=1200,∠AED=∠ADC=600,∴点B、E、D在一条直线上，故有BD=BE+DE，DE=AD,BE=DC。

∴BD=AD+CD（3）将△ABD绕点A逆时针旋转600，得△ACH，则有∠DAH =600,CH=BD, DA=AH,∴DH=AH，又∠APD=1200，由（1）知PA+PD=CH∴PA+PD=PH。

在△PCH中，PH+PC>CH∴PA+PD+PC>BD。

2.如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q。

探究：设A、P两点间的距离为x。

专题九动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。

动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。

解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。

在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。

【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA ′D ＝15°时，作∠A ′EC 的平分线EF 交BC 于点F ．①写出旋转角α的度数；②求证：EA ′+EC ＝EF ；（2）如图2，在（1）的条件下，设P 是直线A ′D 上的一个动点，连接PA ，PF ，若AB ＝2，求线段PA +PF 的最小值．（结果保留根号）【举一反三】如图（1），已知∠=90MON o ,点P 为射线ON 上一点，且=4OP ，B 、C 为射线OM 和ON 上的两个动点（OC OP >），过点P 作PA ⊥BC ，垂足为点A ，且=2PA ，联结BP ．（1）若12PACABOP S S ∆=四边形时，求tan BPO ∠的值； （2）设PC x =，AB y BC=求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如图(2)，过点A 作BP 的垂线，垂足为点H ，交射线ON 于点Q ，点B 、C 在射线OM 和ON 上运动时，探索线段OQ 的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。

热点专题8动点几何问题考向1图形的运动与最值1. (2019 江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是．【解析】如图，过点P作PE⊙BD交AB的延长线于E，⊙⊙AEP＝⊙ABD，⊙APE⊙⊙ATB，⊙，⊙AB＝4，⊙AE＝AB+BE＝4+BE，⊙，⊙BE最大时，最大，⊙四边形ABCD是矩形，⊙BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，过点C作CH⊙BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，⊙BD是⊙C的切线，⊙⊙GME＝90°，在Rt⊙BCD中，BD＝＝5，⊙⊙BHC＝⊙BCD＝90°，⊙CBH＝⊙DBC，⊙⊙BHC⊙⊙BCD，⊙，⊙，⊙BH＝，CH＝，⊙⊙BHG＝⊙BAD＝90°，⊙GBH＝⊙DBA，⊙⊙BHG⊙⊙BAD，⊙＝，⊙，⊙HG＝，BG＝，在Rt⊙GME中，GM＝EG•sin⊙AEP＝EG×＝EG，而BE＝GE﹣BG＝GE﹣，⊙GE最大时，BE最大，⊙GM最大时，BE最大，⊙GM＝HG+HM＝+HM，即：HM最大时，BE最大，延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，⊙GP'＝HP'+HG＝，过点P'作P'F⊙BD交AB的延长线于F，⊙BE最大时，点E落在点F处，即：BE 最大＝BF ，在Rt⊙GP 'F 中，FG ＝＝＝＝，⊙BF ＝FG ﹣BG ＝8， ⊙最大值为1+＝3，故答案为：3．2. (2019 江苏省无锡市)如图，在ABC ∆中，5AB AC ==，BC =D 为边AB 上一动点(B 点除外），以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 ．【解析】过D 作DG ⊙BC 于G ，过A 作AN ⊙BC 于N ，过E 作EH ⊙HG 于H ，延长ED 交BC 于M ．易证⊙EHD ⊙⊙DGC ，可设DG ＝HE ＝x ，⊙AB ＝AC ＝5，BC ＝AN ⊙BC ，⊙BN ＝12BC ＝，AN ⊙G ⊙BC ，AN ⊙BC ， ⊙DG ⊙AN ， ⊙2BG BNDG AN==，⊙BG ＝2x ，CG ＝HD ＝- 2x ；易证⊙HED ⊙⊙GMD ，于是HE HDGM GD =，x GM =MG 2= ，所以S ⊙BDE＝ 12BM ×HD ＝12×(2x 2)×(4- 2x )＝252x -+＝2582x ⎛-+ ⎝⎭，当x 时，S ⊙BDE 的最大值为8． 因此本题答案为8． 3. (2019 江苏省宿迁市)如图，⊙MAN ＝60°，若⊙ABC 的顶点B 在射线AM 上，且AB ＝2，点C 在射线AN 上运动，当⊙ABC 是锐角三角形时，BC 的取值范围是 ．【解析】如图，过点B作BC1⊙AN，垂足为C1，BC2⊙AM，交AN于点C2在Rt⊙ABC1中，AB＝2，⊙A＝60°⊙⊙ABC1＝30°⊙AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，在Rt⊙ABC2中，AB＝2，⊙A＝60°⊙⊙AC2B＝30°⊙AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，当⊙ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．故答案为：＜BC＜2．4. (2019 江苏省宿迁市)如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边⊙EFG，连接CG，则CG的最小值为．【解析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将⊙EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到⊙EFB⊙⊙EHG从而可知⊙EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊙HN，则CM即为CG的最小值作EP⊙CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝故答案为．5．(2019 江苏省扬州市)如图，已知等边⊙ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把⊙ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为；（2）如图2，当PB＝5时，若直线1⊙AC，则BB′的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，⊙ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求⊙ACB′面积的最大值．【解析】（1）如图1中，⊙⊙ABC是等边三角形，⊙⊙A＝60°，AB＝BC＝AC＝8，⊙PB＝4，⊙PB′＝PB＝P A＝4，⊙⊙A＝60°，⊙⊙APB′是等边三角形，⊙AB′＝AP＝4．故答案为4．（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．⊙PE⊙AC，⊙⊙BPE＝⊙A＝60°，⊙BEP＝⊙C＝60°，⊙⊙PEB是等边三角形，⊙PB＝5，⊙⊙B，B′关于PE对称，⊙BB′⊙PE，BB′＝2OB⊙OB＝PB•sin60°＝，⊙BB′＝5．故答案为5．（3）如图3中，结论：面积不变．⊙B，B′关于直线l对称，⊙BB′⊙直线l，⊙直线l ⊙AC ， ⊙AC ⊙BB ′， ⊙S ⊙ACB ′＝S ⊙ACB ＝•82＝16．（4）如图4中，当B ′P ⊙AC 时，⊙ACB ′的面积最大，设直线PB ′交AC 于E ，在Rt⊙APE 中，⊙P A ＝2，⊙P AE ＝60°， ⊙PE ＝P A •sin60°＝，⊙B ′E ＝6+，⊙S ⊙ACB ′的最大值＝×8×（6+）＝4+24．6. (2019 江苏省苏州市) 已知矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP＝.如图⊙，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动（不包含点C ）.设动点M 的运动时间为t （s ），APM ∆的面积为S （cm²），S 与t 的函数关系如图⊙所示：（1）直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;（2）如图⊙，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm . ⊙求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;⊙试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）2/cm s ；10cm（2）⊙解：⊙在边BC 上相遇，且不包含C 点 ⊙57.515 2.5C vB v⎧⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩＜在点在点⊙2/6/3cm s v cm s ≤＜⊙如右图12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形()()5152525751022x x ⨯-⨯-=---=15过M 点做MH ⊙AC，则12MH CM ==①（图）PBCDAS （cm²）t （s ）②图O2.57.515-2x2x-5(N )⊙ ⊙22S x =()122152S S x x ⋅=-+⋅ =2430x x -+ =215225444x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭因为152.57.54＜＜，所以当154x =时，12S S ⋅取最大值2254.7. (2019 江苏省扬州市)如图，四边形ABCD 是矩形，AB ＝20，BC ＝10，以CD 为一边向矩形外部作等腰直角⊙GDC ，⊙G ＝90°．点M 在线段AB 上，且AM ＝a ，点P 沿折线AD ﹣DG 运动，点Q 沿折线BC ﹣CG 运动（与点G 不重合），在运动过程中始终保持线段PQ ⊙A B ．设PQ 与AB 之间的距离为x ． （1）若a ＝12．⊙如图1，当点P 在线段AD 上时，若四边形AMQP 的面积为48，则x 的值为 ； ⊙在运动过程中，求四边形AMQP 的最大面积；（2）如图2，若点P 在线段DG 上时，要使四边形AMQP 的面积始终不小于50，求a 的取值范围．【解析】 ⊙P 在线段AD 上，PQ ＝AB ＝20，AP ＝x ，AM ＝12，112152S MH AP x =⋅=-+四边形AMQP的面积＝（12+20）x＝48，解得：x＝3；故答案为：3；⊙当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，⊙0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12+20）10＝160，当P在DG上运动，10＜x≤20，四边形AMQP为不规则梯形，作PH⊙AB于M，交CD于N，作GE⊙CD于E，交AB于F，如图2所示：则PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，⊙⊙GDC是等腰直角三角形，⊙DE＝CE，GE＝CD＝10，⊙GF＝GE+EF＝20，⊙GH＝20﹣x，由题意得：PQ⊙CD，⊙⊙GPQ⊙⊙GDC，⊙＝，即＝，解得：PQ＝40﹣2x，⊙梯形AMQP的面积＝（12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，⊙当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；（2）解：P在DG上，则10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，梯形AMQP的面积S＝（a+40﹣2x）×x＝﹣x2+x，对称轴为：x＝10+，⊙0≤x≤20，⊙10≤10+≤15，对称轴在10和15之间，⊙10≤x≤20，二次函数图象开口向下，⊙当x＝20时，S最小，⊙﹣202+×20≥50，⊙a≥5；综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．考向2动点与函数的结合问题1．(2019 江苏省连云港市)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2＋bx＋c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x＋2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分⊙PCR．若OQ⊙PR，求出点Q的坐标．【解析】（1）将x＝2代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3），将A（2，﹣1），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得，解得，⊙抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边，⊙当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，﹣2x﹣3），将Q（x+2，﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得﹣2x﹣3＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2，解得，x＝0或x＝﹣1，因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣1，0）；⊙当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3），将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣x2﹣x+2，得x2﹣2x﹣3＝﹣（x﹣2）2﹣（x﹣2）+2，解得，x＝3，或x＝﹣，此时点P的坐标为（3，0）或（﹣，）；第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3），故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得﹣x2+2x﹣3═﹣（2﹣x）2﹣（2﹣x）+2，解得，x＝0或x＝﹣3，因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣3，12），综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（﹣，）或（﹣3，12）；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分⊙PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PH⊙TR于点H，则有⊙PSC＝⊙RTC＝90°，由CA平分⊙PCR，得⊙PCA＝⊙RCA，则⊙PCS＝⊙RCT，⊙⊙PSC⊙⊙RTC，⊙，设点P坐标为（x1，），点R坐标为（x2，），所以有，整理得，x1+x2＝4，在Rt⊙PRH中，tan⊙PRH＝＝过点Q作QK⊙x轴于点K，设点Q坐标为（m，），若OQ⊙PR，则需⊙QOK＝⊙PRH，所以tan⊙QOK＝tan⊙PRH＝2，所以2m＝，解得，m＝，所以点Q坐标为（，﹣7+）或（，﹣7﹣）．2．(2019 江苏省常州市)已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：⊙半径为1的圆：；⊙如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．⊙若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；⊙若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．【解析】（1）⊙半径为1的圆的宽距离为1，故答案为1．⊙如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．在Rt⊙ODC中，OC＝＝＝⊙OP+OC≥PC，⊙PC≤1+，⊙这个“窗户形“的宽距为1+．故答案为1+．（2）⊙如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．⊙如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊙x轴于T．⊙AC≤AM+CM，又⊙5≤d≤8，⊙当d＝5时．AM＝4，⊙AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），当d＝8时．AM＝7，⊙AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），⊙满足条件的点M的横坐标的范围为2﹣1≤x≤2﹣1．当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣2+1≤x﹣2+1．考向3运动过程中的定值问题1．(2019 江苏省宿迁市)如图⊙，在钝角⊙ABC中，⊙ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将⊙BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．（1）如图⊙，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：⊙BDA⊙⊙BEC；（2）如图⊙，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，⊙AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将⊙BDE从图⊙位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．【解析】（1）如图⊙中，由图⊙，⊙点D为边AB中点，点E为边BC中点，⊙DE⊙AC，⊙＝，⊙＝，⊙⊙DBE＝⊙ABC，⊙⊙DBA＝⊙EBC，⊙⊙DBA⊙⊙EBC．（2）⊙AGC的大小不发生变化，⊙AGC＝30°．理由：如图⊙中，设AB交CG于点O．⊙⊙DBA⊙⊙EBC，⊙⊙DAB＝⊙ECB，⊙⊙DAB+⊙AOG+⊙G＝180°，⊙ECB+⊙COB+⊙ABC＝180°，⊙AOG＝⊙COB，⊙⊙G＝⊙ABC＝30°．（3）如图⊙﹣1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向右作等边⊙ACO，连接OG，OB．以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙⊙AGC＝30°，⊙AOC＝60°，⊙⊙AGC＝⊙AOC，⊙点G在⊙O上运动，以B 为圆心，BD 为半径作⊙B ，当直线与⊙B 相切时，BD ⊙AD ， ⊙⊙ADB ＝90°， ⊙BK ＝AK ， ⊙DK ＝BK ＝AK ， ⊙BD ＝BK ， ⊙BD ＝DK ＝BK ， ⊙⊙BDK 是等边三角形， ⊙⊙DBK ＝60°， ⊙⊙DAB ＝30°，⊙⊙DOG ＝2⊙DAB ＝60°， ⊙的长＝＝，观察图象可知，点G 的运动路程是的长的两倍＝．2．(2019 江苏省无锡市)如图1，在矩形ABCD 中，3BC =，动点P 从B 出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC 方向移动，作PAB ∆关于直线PA 的对称PAB ∆'，设点P 的运动时间为()t s ．（1）若AB =⊙如图2，当点B '落在AC 上时，显然PAB ∆'是直角三角形，求此时t 的值；⊙是否存在异于图2的时刻，使得PCB ∆'是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t 的值？若不存在，请说明理由．（2）当P 点不与C 点重合时，若直线PB '与直线CD 相交于点M ，且当3t <时存在某一时刻有结论45PAM ∠=︒成立，试探究：对于3t >的任意时刻，结论“45PAM ∠=︒”是否总是成立？请说明理由．【解析】（1）⊙勾股求的易证CB P CBA'V:V,故''43B P=解得⊙1°如图，当⊙PCB’=90 °时，在⊙PCB’中采用勾股得：222(3)t t+-=，解得t=22°如图，当⊙PCB’=90 °时，在⊙PCB’中采用勾股得：222(3)t t+-=，解得t=6B'CB'CBA A BDPD33°当⊙CPB’=90 °时，易证四边形ABP’为正方形，解得（2）如图，⊙⊙PAM=45°⊙⊙2+⊙3=45°，⊙1+⊙4=45°又⊙翻折⊙⊙1=⊙2，⊙3=⊙4又⊙⊙ADM=⊙AB’M（AAS）⊙AD=AB’=AB即四边形ABCD是正方形如图，设⊙APB=xB'CA BDA⊙⊙PAB=90°-x ⊙⊙DAP=x易证⊙MDA⊙⊙B’AM （HL ） ⊙⊙BAM=⊙DAM ⊙翻折⊙⊙PAB=⊙PAB’=90°-x⊙⊙DAB’=⊙PAB’-⊙DAP=90°-2x ⊙⊙DAM=21⊙DAB’=45°-x ⊙⊙MAP=⊙DAM+⊙PAD=45°4321MB'BCB'A D PP。

专题三：中考动态几何问题（第1课时）课程解读一、学习目标：了解几何动态问题的特点,学会分析变量与其他量之间的内在联系，探索图形运动的特点和规律，掌握动态问题的解题方法．二、考点分析：近几年在中考数学试卷中动态类题目成了压轴题中的常选内容,有点动、线动、图形运动等类型，呈现方式丰富多彩，强化各种知识的综合与联系，有较强的区分度，且所占分值较高，具有一定的挑战性．知识梳理几何动态问题是指：在图形中，当某一个元素，如点、线或图形等运动变化时，问题的结论随之改变或保持不变的几何问题．它是用运动变化的观点，创设一个由静止的定态到按某一规则运动的动态情景，通过观察、分析、归纳、推理，动中窥定,变中求静，以静制动，从中探求本质、规律和方法,明确图形之间的内在联系．几何动态问题关心“不变量”，所体现的数学思想方法是数形结合思想，这里常把函数与方程、函数与不等式联系起来,实际上是一般化与特殊化的方法．当求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特殊位置关系或数值时,常建立方程模型求解．必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法．典型例题知识点一：动点问题例 1.如图所示，在直角梯形ABCD中，CD∥AB，∠A＝90°，AB＝28cm，DC ＝24cm，AD＝4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动,点N从点B同时出发,以2cm/s的速度向点A运动,当其中一个动点到达端点停止运动时,另一个动点也随之停止运动．则四边形ANMD的面积y（cm2）与两动点运动的时间t（s)的函数图象大致是（）思路分析：1）题意分析:本题涉及到的知识点主要有直角梯形、函数及其图象等．解题后的思考：本题中有两个动点，在允许的范围内某一时刻四边形ANMD 是固定不动的，可用含t的式子表示出面积y,再根据y与t之间的关系式确定函数图象．2、如图所示，已知直线31y x=-+与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一限象内作等腰Rt△ABC，∠BA C=90°，且点P(1，a）为坐标系中的一个动点。

初中数学动点问题总结第1篇在鼓励教师创造性地工作的同时，也不放松对教学常规的指导和监督，我组加强了教学工作各个环节的管理。

根据学校的工作计划，结合本组的特点，经过全组教师的热烈讨论，制定了工作目标和具体计划。

坚持每周进行教案检查，发现问题当面指出，共同讨论研究解决。

坚持两周一次的作业检查。

在发挥教师各自教学特色和风格的基础上，积极规范教师的教案书写和课堂教学行为。

定期开展教研活动，相互听课和研究备课。

教研组活动有主题、有内容，有组织人和执行人，有及时的详细的记录。

教研活动中老教师无私传授，新教师虚心好学。

本组教师听课都在20节以上。

中年教师x xx、xxx、xxx有实干精神，年轻教师范莉、xxx积极好学。

我们初中数学组的全体教师决心认真研究新形势下的教育教学工作，转变教育教学观念，将更加团结协作，真抓实干。

本组教师在课堂上认真上好每一节课，在课堂教学中积极落实素质教育，在教学过程中都时时考虑对学生进行学习指导，本学期重点是学习方法的指导，指导的要点是怎样听课、怎样做作业和怎样复习，为了能更好地体现学生的主体地位，教师引导学生参与教学活动，给学生自主参与活动的时间和空间，教学中做到以人为本、关爱学生。

教师在精选习题的基础上，认真做好作业批改工作，力求做到及时反馈矫正，讲求实效，各年级都本着因材施教的原则，进行分层教学，培优补差。

初一抓好起始阶段数学学习习惯的养成；初二抓好基础教学，培养数学素质；初三多角度训练学生的思维品质，提高数学解题能力。

坚持每周进行教研活动，每次教研活动事先都经过精心准备，定内容、定时间、定教师，多次组织学习教育理论和本学科的教学经验，充实教师的现代教育理论和学科知识。

认真安排新教师xxx的合格课，耐心指导她参加青年教师的赛课活动，精心安排中年教师的示范课，对公开课严格把关，要求每一节公开课前都经过老师认真备课，每堂公开课后，全组的老师都要进行认真的评课，我们组的老师对评课向来非常认真，从不避丑，不走过场，不管你的资格有多老，你有多年轻，大家能本着对事不对人的原则，对有研究性的问题、有争议的问题都能畅所欲言，尽管有时争论的很激烈，但道理是越辩越明的，大家通过争议都很有收获，同时也对本组教师的教学有帮助。

中考总复习第二阶段专题：动态几何问题动态几何问题是一类用函数的观点来解决的新型几何问题.函数是中学数学的一个重要概念，加强对函数思想方法的考查是近年来中考试题的一个显著特点.大量涌现的动态几何型问题，即建立几何中元素的函数关系式问题是这一特点的体现.这类问题有一定的实际意义，因此，对函数解析式中自变量的取值范围必须认真考虑，一般需要有约束条件，即自变量的取值限定在一定的范围内。

例1：反比例函数xk y =)0(≠k 的图象如图所示，点M 是该函数图象上一动点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果MON S ∆=2，则k 的值为 .分析：由待定系数法知，要求k 的值就需知道点M 的坐标， 但在此题中，M 为双曲线上的动点，其坐标不确定；因此，设M ),(y x 且M 在第二象限，则MN=y y =，NO=x x -=，由MON S ∆ =2)(2121=-⋅⋅=⋅⋅x y ON MN ，得xy =-4，由x k y =可得xy k =，故k =-4. 【双曲线中k 的几何意义是双曲线上任一点向x 轴、y 轴作垂线所围成的矩形的面积】 例2：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=15cm ，BC=21cm ，点M 从点A 开始，沿AD 边向点D 运动，速度是1cm/s ；点N 从点C 开始，沿CB 边向点B 运动，速度是2cm/s.设运动时间为t （s ）.（1）当t 为何值时，四边形MNCD 是平行四边形？（2）当t 为何值时，四边形MNCD 是等腰梯形？分析：（1）由题意知，AD ∥BC ，即MD ∥CN ，只要当MD=NC 时，四边形MNCD 就是平行四边形；（2）从等腰梯形的判定出发，当MN=CD 且MD ≠CN 时，四边形MNCD 就是等腰梯形.如图，过D 作DF ⊥BC 于F ，过M 作ME ⊥BC 于E ，得矩形MEFD ，得MD=EF ；证△CDF ≌△NME ，得NE=CF=6cm ，进而可以通过把MD 与CF 建立等量关系，从而列出关于t 的方程求解.解：（1）由AD ∥BC ，即MD ∥CN ，当MD=CN 时，四边形MNCD 是平行四边形，即15-t=2t ，解得t=5.故当t=5时，四边形MNCD 为平行四边形.（2）当MN=CD 且MD ≠CN 时，四边形MNCD 就是等腰梯形.如图，过D 作DF ⊥BC 于F ，过M 作ME ⊥BC 于E ，得矩形MEFD ，则MD=EF ； 由△CDF ≌△NME ，得NE=CF=6cm ，当运动时间为t （s ）时，MD=EF=15-t ，NC=2t, 有NE+CF=NC-EF,即6+6=2t-(15-t)，解得t=9.故当t=9（s ）时，四边形MNCD 是等腰梯形.【在由点运动构造的动态几何问题中，要注意点运动的路线所形成的分类讨论问题，解答方法是将各个时刻的图形分解出来，各个击破；在解题过程中，应善于借助方程做桥梁，再设法分别求解.】例3：如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t(s)，解答下列问题：（1）设△BPQ 的面积为S （2cm ），求S 与t 的函数关系式；（2）作QR ∥BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？分析：（1）如图，要表示△BPQ 的面积，则需过点Q 作QE ⊥AB 于E ，且含t 的代数式分别表示出△BPQ 的底（PB ）和高（QE ）即可；（2）由QR ∥BA 得△QRC 也是等边三角形，从而可以用含t 的代数式表示出QR ；再证四边形EPRQ 是矩形，又因为要满足△APR ∽△PRQ ，则必有∠QPR=∠A=60°，最后在Rt △PRQ 中运用锐角三角函数即可求出t 的值. 解：（1）过Q 作QE ⊥AB ，垂足为E ，由QB=2t ，得QE=2t ︒⋅60sin =3t.由AP=t ,得PB=6-t ， 故.33233)6(21212t t t t QE BP S BPQ +-=⋅-=⋅⋅=∆(0≤t ≤3) （2）∵QR ∥BA ， ∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°，∴△RQC 是等边三角形， ∴QR=RC=QC=6-2t.∵BE=BQ ︒⋅60cos =⨯212t=t ， ∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, ∴EP ∥QR ，EP=QR, ∴四边形EPRQ 是平行四边形， ∴PR=EQ=3t.又∵∠PEQ=90°， ∴∠APR=∠PRQ=90°.∵△APR ∽△PRQ, ∴∠QPR=∠A=60°，∴tan60°=PR QR ,即3326=-tt .解得t=1.2, ∴当t=1.2时，△APR ∽△PRQ.【点评】这类题目的一般解法是抓住变化中的“不变”，以“不变”解决几何图形中的“变”的问题，在解题过程中，要善于利用相似三角形的性质定理、勾股定理、锐角三角函数、圆幂定理、面积关系，借助方程做桥梁，再设法求解.例4：如图1，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm,点P 从A 点出发沿A →B →C →D 路线运动，到D 点停止；点Q 从点D 出发，沿D →C →B →A 路线运动，到A 点停止.若点P 、Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm ，点Q 的速度为每秒2cm.a 秒时，点P 、Q 同时改变速度，点P 的速度变为每秒b （cm ），点Q 的速度变为每秒c （cm ）.如图2是点P 出发x 秒后△APD 的面积1S (2cm )与x （秒）的函数关系图象；图3是点Q 出发x 秒后△AQD 的面积2S (2cm )与x （秒）的函数关系图象.根据图象，（1）求c b a ,,的值；（2）设点P 离开点A 的路程为1y （cm ），点Q 到点A 还需走的路程为2y （cm ），请分别写出改变速度后1y 、2y 与出发后的运动时间x 秒的函数关系式，并求出P 与Q 相遇时x 的值.分析：图2是点P 出发x 秒后△APD 的面积1S (2cm )与x （秒）的函数关系图象.由图象可知有坐标（24,a ），表示当运动时间为a 秒时，APD S ∆=⋅21AP ⋅AD=24，因此可求出AP ，即可求出a 的值；又由图2中（10,36）可知P 在AB 上运动时间共为10秒，此段1S (2cm )随x （秒）的增大而增大，当P 点运动到BC 边时（含B 、C 两点），△APD 的面积1S (2cm )保持不变；图3除反映点Q 出发x 秒后△AQD 的面积2S (2cm )与x （秒）的函数关系为，还反映了点Q 共运动了22秒.解：（1）由图1和图2知APD S ∆=⋅21AP ⋅AD=24，又AD=BC=6，所以AP=8，即=a 8秒.图1中，当运动时间为8秒时，PB=12-8=4cm ，由图2得224==b cm/秒.当Q 从D 出发a =8秒时，Q 运动了2⨯8=16cm ，而Q 沿D →C →B →A 路线运动，到A 点停止，则Q 到点A 还剩余30-16=14cm ，则图3知点Q 运动总时间为22秒，则有1)822()1630(=--=秒cm c cm/秒. （2）由题意得822)8(181-=⨯-+⨯=x x y ；22]1)8(28[302+-=⨯-+⨯-=x x y ；由图1可知点A 的路程1y （cm ）即为点Q 到点A 还需走的路程2y （cm ），故2282+-=-x x ，解得10=x ，即P 与Q 相遇时x 为10秒.【点评】（1）弄清楚题目中各个变量所表示的实际意义；（2）对于图形中各运动点所运动的距离用代数式表示；（3）能通过阅读图2和图3中函数的图象，知道图象上特殊点所表示的实际意义和每段图象所表达的实际意义.能力训练：一、选择题：1、如图，正方形ABCD 与正方形OPQR 的边长均为2，正方形OPQR的顶点O 与正方形ABCD 的中心重合，且正方形OPQR 绕点O 旋转，两正方形重叠部分的面积是（ ）A. 0.25B. 0.5C. 1D. 无法判断2、如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD=60°，AB=5，BC=3，点P从起点D 出发，沿DC 、CB 向终点B 匀速运动，设点P 所走过的路程为x ，点P 经过的线段与AD 、AP 所围成的图形的面积为y ，y 随x 的变化而变化.在下列图象中，最能正确反映y 与x 的函数关系式的是（ ）A. B. C. D.3、在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P 从点A 出发，以3个单位/s 的速度沿AD →DC 向终点C 运动，同时点Q 从点B 出发，以1个单位/s 的速度沿BA 向终点A 运动，在运动期间，当四边形PQBC 为平行四边形时，运动时间为（ ）A. 3sB. 4sC. 5sD. 6s二、填空题：1、如图，小明在操场上从A 点出发，沿直线前进10米后向左转40°，再沿直线前进10米后，又向左转40°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了 米.2、如图，菱形ABCD 中，∠BAD=60°，M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，若PM+PB 的最小值是3，则AB 长为 .三、解答题：1、已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数343+=x y 的图象与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得到△A ´OB ´.（1）求直线A ´B ´的解析式；（2）若直线A ´B ´与直线AB 相交于点C ，求AOB BCA S S ∆∆:'的值.2、如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C顺时针方向旋转60°得△ADC，连结OD.（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形.3、李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬行最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁爬行的最短路程的长.（1）如图①，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体的表面爬到点C’处；（2）如图②，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱的表面爬到点C’处；（3）如图③，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图④所示，且∠AOA’=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.4、已知如图，△ABC 是边长3cm 的等边三角形，动点P 、Q 分别从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速运动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点都停止运动.设点P 的运动时间为t(s)，解答下列问题：（1）当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？（2）设四边形APQC 的面积为)(2cm y ，求y 与t 的关系式.是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积是△ABC 面积的三分之二？如果存在，求出相应的t 值，如果不存在，说明理由；（3）设PQ 的长为)(cm x ，试确定y 与x 的关系式.5、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=50，AC=30,D 、E 、F 分别是AC 、AB 、BC 的中点，点P 从点D 出发沿折线DE →EF →FC →CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动，点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK ⊥AB ，交折线BC →CA 于点G.点P 、Q 同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止.设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）.（1）D 、F 两点间的距离是 .（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值；若不能，说明理由.（3）当点P 运动到折线EF →FC 上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值.。