人教A版高中数必修四章末复习课1

章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．圆心角与圆周角的定理的关注点(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧”；(2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”．2．正确运用切线的判定定理在运用切线的判定定理时，要分清定理运用的前提和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．专题一　与圆有关的角的计算与证明与圆有关角的问题主要包括两类：一是计算角的大小，二是证明角之间的相等关系．解决此类问题的常用定理有：圆周角定理及其推论、弦切角定理及其推论、圆内接四边形的性质、三角形的外角定理等，灵活掌握各种角之间的相互转化和综合应用是解决问题的关键．另外，注意等腰三角形、全等三角形、相似三角形等几何模型在解题中的应用．[例1]　已知：如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD .(1)求证：∠DAC ＝∠DBA .(2)求证：P 是线段AF 的中点．(3)若⊙O 的半径为5，AF ＝，求tan ∠ABF 的值． 152(1)证明：因为BD 平分∠CBA ，所以∠CBD ＝∠DBA .因为∠DAC 与∠CBD 都是弧CD 所对的圆周角，所以∠DAC ＝∠CBD ，所以∠DAC ＝∠DBA .(2)证明：因为AB 为直径，所以∠ADB ＝90°，因为DE ⊥AB 于E ，所以∠DEB ＝90°，所以∠ADE ＋∠EDB ＝∠ABD ＋∠EDB ＝90°，所以∠ADE ＝∠ABD ＝∠DAP ，所以PD ＝PA ，因为∠DFA ＋∠DAC ＝∠ADE ＋∠PDF ＝90°，所以∠PDF ＝∠PFD ，所以PD ＝PF ，所以PA ＝PF ，即P 是AF 的中点．(3)解：因为∠DAF ＝∠DBA ，∠ADB ＝∠FDA ＝90°，所以△FDA ∽△ADB ，所以＝， AD DB AF BA由题意可知圆的半径为5，所以AB ＝10，所以＝＝＝. AD BD AF BA 1521034所以在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝＝， AD DB 34即tan ∠ABF ＝. 34[变式训练]　如图所示，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD ⊥OE 于点D ，割线EC 交圆O 于B ，C 两点．(1)证明：O ，D ，B ，C 四点共圆；(2)设∠DBC ＝50°，∠ODC ＝30°，求∠OEC 的大小．(1)证明：连接OA ，OC (如图)，则OA ⊥EA .由射影定理得EA 2＝ED ·EO .由切割线定理得EA 2＝EB ·EC ，故ED ·EO ＝EB ·EC .即＝. ED EB EC EO又∠OEC ＝∠OEC ，所以△BDE ∽△OCE ，所以∠EDB ＝∠OCE .因此O ，D ，B ，C 四点共圆．(2)解：连接OB .因为∠OEC ＋∠OCB ＋∠COE ＝180°， 结合(1)得∠OEC ＝180°－∠OCB －∠COE ＝180°－∠OBC －∠DBE ＝ 180°－∠OBC －(180°－∠DBC )＝∠DBC －∠ODC ＝20°.专题二　与圆有关的线段的计算与证明与圆有关的线段问题主要包括三类：一是线段的计算问题，二是证明线段相等，三是证明线段的比例式或等积式．通常线段的计算问题有以下几种解题策略：(1)将所求线段化归到特殊三角形中(如等腰三角形、直角三角形等)进行求解；(2)构造所在线段的相似三角形，利用相似三角形的性质求解；(3)借助相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理进行求解．证明线段相等的方法有：(1)转化为等腰三角形的问题，利用“等角对等边”或等腰三角形的“三线合一定理”进行证明；(2)转化为全等三角形问题，利用全等三角形的性质证明；(3)转化为相似三角形的问题，利用相似三角形性质列出比例式或等积式，从而找到相等关系；(4)利用第三个几何量进行等价转化．证明线段的比例式或等积式的主要途径是构造相似三角形，利用相似三角形的性质证明，要注意与圆有关的比例式．[例2]　如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ADC 的外接圆交线段BC 于点E ，BE ＝3AD.(1)求证：AB ＝3AC ；(2)当AC ＝4，AD ＝3时，求CD 的长．(1)证明：因为四边形ACED 为圆内接四边形，所以∠BDE ＝∠BCA .又∠DBE ＝∠CBA ，所以△BDE ∽△BCA .则＝. BE BA DE CA在圆内接四边形ACED 中，CD 是∠ACE 的平分线，所以DE ＝AD ，＝. BE BA AD CA而BE ＝3AD ，所以BA ＝3CA ，即AB ＝3AC .(2)解：由(1)得AB ＝3AC ＝12.而AD ＝3，所以DE ＝3，BD ＝9，BE ＝3AD ＝9.根据割线定理得BD ·BA ＝BE ·BC ，所以BC ＝12，EC ＝BC －BE ＝3.在圆内接四边形ACED 中，由于AD ＝EC ，所以∠ACD ＝∠EDC ，DE ∥AC .在等腰梯形ACED 中，易求得CD ＝.21[变式训练]　如图所示，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 为垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC .(2)设圆的半径为1，BC ＝，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 3外接圆的半径．(1)证明：连接DE (如图)，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BE ＝.32设DE 的中点为O ，连接BO ，则∠BOE ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，∠BFC ＝180°－∠CBF －∠BCF ＝90°，所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于.32专题三　分类讨论思想分类讨论就是把研究的问题按照某种标准分成若干种情况，然后一一解决，从而使整个问题得到解决．在与圆有关的问题中，有时需要确定点与圆的位置关系或弦与圆心的位置关系．如圆心与圆周角存在三种位置关系，即圆心在圆周角的一条边上、圆心在圆周角的内部和圆心在圆周角的外部，这就需要在运用圆周角定理时从不同情况去考虑与分析．应重视分类讨论思想在解决圆有关问题中的应用．[例3]　已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，若AB 与CD 所在的直线交于点E ，且，分别是120°，40°，求∠AED 的大小． AD ︵ BC ︵解：符合题意的点E 有两种位置．①当点E 在圆内时，如图所示，连接AC，根据圆周角定理可得：∠BAC ＝×40°＝20°，∠ACD ＝×120°＝60°. 1212因为∠AED ＝∠ACD ＋∠BAC ，所以∠AED ＝60°＋20°＝80°.②当点E 在圆外时，如图所示，连接BD ，根据圆周角定理可得：∠BDC ＝×40°＝20°， 12∠ABD ＝×120°＝60°， 12因为∠AED ＝∠ABD －∠BDC ，所以∠AED ＝60°－20°＝40°.综上所述，∠AED ＝40°或80°.[变式训练]　已知⊙O 的直径AB ＝2 cm ，过A 点的两条弦AC ＝ cm ，AD ＝ cm ，求∠CAD 所夹圆内部分的面积S .23解：符合题设条件的∠CAD 有两种情况．　图① 图②①当圆心在∠CAD 内部时，如图①所示，连接OC ，OD ，过O 作OE ⊥AD 于E .因为OA ＝OC ＝1 cm ，AC ＝ cm ，2所以OC ⊥AB ，因为OA ＝1 cm ，AE ＝AD ＝ cm ， 1232所以OE ＝ cm ，所以∠OAE ＝30°， 12所以∠BOD ＝2∠OAE ＝60°.所以S ＝S △AOC ＋S 扇形BOC ＋S △AOD ＋S 扇形BOD ＝×1×1＋π·12＋××＋·12＝＋π＋＋π＝12141231260π36012143416＋(cm 2)． 2＋345π12②当圆心在∠CAD 外部时，如图②所示，连接OC .由①知S △AOC ＝cm 2，S △AOD ＝ cm 2， 1234S 扇形BOC ＝π cm 2，S 扇形BOD ＝π cm 2， 1416所以S ＝S △AOC ＋S 扇形BOC －S △AOD －S 扇形BOD ＝＋π－－π12143416＝＋(cm 2)． 2－34π12所以∠CAD 所夹圆内部分的面积为cm 2或 cm 2. (2＋34＋5π12)(2－34＋π12)专题四　方程的思想方程思想就是利用式子的条件有意识地将其转化成方程，或者说从方程的角度对式子加以认识与应用的思想．由于圆中涉及数量关系的式子很多，并且可以转化成数量关系的式子也很多，所以方程思想在有关圆的问题中得到了广泛的应用．[例4]　如图所示，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6.求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．(1)证明：连接DE (如图)，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ·AB ＝mn ＝AE ·AC ，即＝.又∠DAE ＝∠CAB ， AD AC AE AB所以△ADE ∽△ACB ，所以∠ADE ＝∠ACB ，所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)解：当m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .因为∠A ＝90°，所以GH ∥AB ，HF ∥AC .所以HF ＝AG ＝5，DF ＝×(12－2)＝5. 12HD ＝＝5，HF 2＋DF 22所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5.2[变式训练]　如图所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，以OB 为半径作圆交AC 于E ，F ，交AB 于D .若E 是的中点，且AE ∶EF ＝3∶1，FC ＝4，求∠CBF 的正弦D F ︵值及BC 的长．解：如图所示，连接OE ，DF ，OF ，因为E 为的中点，所以∠DOE ＝∠DBF ，所以OE ∥BF ，所DF ︵ 以AO ∶OB ＝AE ∶EF ＝3∶1.所以OE ∶BF ＝3∶4.设OB ＝r ， 则AO ＝3r ，BF ＝r .43所以AD ＝AO －DO ＝AO －OB ＝3r －r ＝2r . 又由割线定理得AE ·AF ＝AD ·AB . 所以AE ·AF ＝2r ·4r ，即3EF ·4EF ＝8r 2，所以EF ＝r .63又由割线定理，得BC 2＝CF ·CE ＝4(4＋EF )＝4.(4＋63r )在Rt △ABC 中，AB 2＋BC 2＝AC 2， 即(4r )2＋4＝(4EF ＋4)2＝，(4＋63r )(436r ＋4)2解得r ＝，所以BC ＝. 74630又因为∠CBF ＝∠BDF ， 在Rt △DFB 中，sin ∠BDF ＝＝， FB BD 23所以sin ∠CBF ＝. 23。

高中数学必修4复习教案
第一部分：向量与空间解析几何
1. 向量的概念与运算
- 向量的定义：大小和方向确定的量
- 向量的运算：加法、减法、数乘、数量积、向量积
2. 向量的数量积
- 定义：两个向量的数量积等于两个向量的模的乘积与夹角的余弦值的乘积- 性质：交换律、分配律、数量积为零的条件
3. 向量的向量积
- 定义：两个向量的向量积是一个垂直于这两个向量构成的平面的向量
- 性质：满足右手定则、交换律、分配律等
4. 空间直线和平面
- 空间直线的方程：点向式、对称式、参数式等
- 空间平面的方程：点法式、一般式等
第二部分：概率与统计
1. 概率的基本概念
- 概率的定义：某一事件发生的可能性大小
- 概率的性质：介于0和1之间、互斥事件、独立事件等
2. 随机事件与概率
- 随机事件的分类：必然事件、不可能事件、对立事件等
- 求概率的方法：古典概型、几何概型、统计概型等
3. 统计的基本概念
- 统计的定义：收集、整理、分析和解释数据的方法
- 数据的统计特征：均值、中位数、众数等
4. 统计图的作画
- 直方图、饼图、散点图等的绘制方法
- 图形的解读：分布情况、相关性等
以上是高中数学必修4的复习教案范本，希望对你的复习有所帮助。

祝学习顺利！。

2021年人教版高中数学必修第一册：第4章《章末复习课》(含答案详解)1、指数与对数的运算【例1】计算：(1)2log32－log3＋log38－5log53；(2)1.5－×0＋80.25×＋(×)6－.[解] (1)原式＝log3－3＝2－3＝－1.(2)原式＝＋2×2＋22×33－＝21＋4×27＝110.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先留意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要留意分子、分母因式分解以到达约分的目的.对数运算首先留意公式应用过程中范围的改变，前后要等价，娴熟地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.7n1．设3x＝4y＝36，则＋的值为( )A．6B．3C．2D．1D [由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝lo2、g436，∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.]指数函数、对数函数的图象及应用【例2】(1)若函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象如下图，则以下函数正确的选项是( )A B C D(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.①如图，画出函数f(x)的图象；②依据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．(1)B [由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x0时，y0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调3、递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，7n 与图象相符．应选B.](2)[解] ①先作出当x≥0时，f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．1．识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性：函数图象的改变趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(3)特别点对应的函数值．2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.2．函数y＝1＋log(x－1)的图象肯定经过点( )A．(1,1)B．(1,0)C．(2,1)D．(2,0)C [把y＝logx的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可4、得到y＝1＋log(x－1)的图象，故其经过点(2,1)．]比较大小【例3】若0xy1，则( )A．3y3xB．logx3logy3C．log4xlog4y7nD.xyC [因为0xy1，则对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x3y，A错误．对于B，依据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0a1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0xy1，所以logx3logy3，B错误．对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4xlog4y，C正确．对于D，函数y＝x在R上单调递减，故xy，5、D错误．]1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．4．含参数的问题，要依据参数的取值进行分类商量．3．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则( )A．abcB．bacC．acbD．cbaC [∵a＝log2πlog22＝1，b ＝logπlog1＝0，c＝π－2＝，即0c1，∴acb，应选C.]指数函数、对数函数的性质【例4】(6、1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数7nD．偶函数，且在(0,1)上是减函数(2)已知a0，a≠1且loga3loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.①求a的值；②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．(1)A [由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．](2)[7、解] ①因为loga3loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋.令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.所以y＝2＋∈，所以所求函数的值域为.1．把本例(1)的函数f(x)改为“f(x)＝ln(x＋)”，推断其奇偶性．[解] ∵f(x)＝ln(x＋)，∴其定义域为R，又f(－x)＝ln(－x ＋)，∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln1＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．28、．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．[解] 由题意可知y＝32x＋3x－1，令3x＝t，则t∈[3,27]，∴f(t)＝t2＋t－1＝2－，t∈[3,27]，∴当t＝3时，f(t)min＝f(3)＝9＋3－1＝11.7n1．讨论函数的性质要树立定义域优先的原则．2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要留意换元后u的取值范围．函数的应用【例5】一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．[解] (1)最初的质量为9、500g.经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；经过2年，w ＝500×0.92；由此推知，t年后，w＝500×0.9t.(2)由题意得500×0.9t＝250，即0．9t＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得lg0.9t＝lg0.5，即tlg0.9＝lg0.5，所以t＝≈6.6.即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x 为时间)的形式.4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量削减，问至少应过滤几次才能使产品到达市场要求？(已知：10、lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)7n[解] 设过滤n次能使产品到达市场要求，依题意，得×n≤，即n≤.则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥≈7.4，考虑到n∈N，故n≥8，即至少要过滤8次才能到达市场要求．7。

第一课 任意角的三角函数及诱导公式[核心速填]1．与角α终边相同的角的集合为 S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．角度制与弧度制的换算3．弧度制下扇形的弧长和面积公式 (1)弧长公式：l ＝|α|r . (2)面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2. 4．任意角的三角函数(1)定义1：设任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)定义2：设任意角α的终边上任意一点P 的坐标为(x ，y )，r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)．5．同角三角函数基本关系式 sin 2α＋cos 2α＝1；sin αcos α＝tan α. 6．诱导公式记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限．[体系构建][题型探究](1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.[解] (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π， ∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π.∵α与角14π9终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z . 又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2＜2k π＋14π9＜π2，k ∈Z ， 解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.[规律方法] 1.灵活应用角度制或弧度制表示角 (1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用．(2)角度制与弧度制的换算设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则 αrad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α·180π°，n °＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ·π180rad. 2．象限角的判定方法(1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．[跟踪训练]1．若α角与8π5角终边相同，则在[0,2π]内终边与α4角终边相同的角是________.【导学号：84352139】2π5，9π10，7π5，19π10 [由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z )，α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )． 又α4∈[0,2π]，所以k ＝0,1,2,3，α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.]线，其中弧、弧、弧的圆心依次是A 、B 、C ，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长是________．图1-1(2)一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为c ，面积为S ，则c －1S 的最大值为________．(1)4π (2)4 [(1)弧的长是120π×1180＝2π3，弧的长是：120π×2180＝4π3， 弧的长是：120π×3180＝2π，则曲线CDEF 的长是：2π3＋4π3＋2π＝4π.(2)设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角大小为2弧度， 则l ＝2r ，可求：c ＝l ＋2r ＝2r ＋2r ＝4r ， 扇形的面积为S ＝12lr ＝12r 2×2＝r 2， 所以c －1S ＝4r －1r 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1r 2＋4r＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1r －22＋4≤4.r ＝12时等号成立，所以c －1S 的最大值为4.][规律方法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)；(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.[跟踪训练]2．如图1-2，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积.【导学号：84352140】图1-2[解] ∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，∴的长为4π.∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，作OD ⊥AB ，有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3. ∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3. ∴弓形ACB 的面积为12π－9 3.(1)若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a的值为( )A ．43B ．±4 3C ．－43或－433D. 3(2)已知角α的终边经过点P (12m ，－5m )(m ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值.【导学号：84352141】(1)C [(1)因为α角的终边上有一点P (－4，a )，所以tan α＝－a4， 所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－a 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 42＋1＝34，整理得3a 2＋16a ＋163＝0，(a ＋43)(3a ＋4)＝0，所以a ＝－43或－433.](2)r ＝(12m )2＋(－5m )2＝13|m |，若m ＞0，则r ＝13m ，α为第四象限角， sin α＝y r ＝－5m 13m ＝－513， cos α＝x r ＝12m 13m ＝1213， tan α＝y x ＝－5m 12m ＝－512.若m ＜0，则r ＝－13m ，α为第二象限角， sin α＝y r ＝－5m －13m ＝513，cos α＝x r ＝12m －13m ＝－1213，tan α＝y x ＝－5m 12m ＝－512.[规律方法] 利用定义求三角函数值的两种方法(1)先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值.(2)取角α的终边上任意一点P (a ，b )(原点除外)，则对应的角α的正弦值sin α＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a a 2＋b2，正切值tan α＝ba .当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.[跟踪训练]3．如果点P (sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限.【导学号：84352142】[解] 因为点P (sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限， 所以sin θ·cos θ＜0,2cos θ＜0， 即⎩⎨⎧sin θ＞0，cos θ＜0，所以角θ在第二象限.(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________.(2)已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).①化简f (α)；②若f (α)＝18，且π4＜α＜π2，求cos α－sin α的值； ③若α＝－47π4，求f (α)的值. 【导学号：84352143】[思路探究] 先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值． (1)13 [(1)由已知得－sin θ－2cos θ＝0，故tan θ＝－2， 则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－2＋1－2－1＝13.] (2)①f (α)＝sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.②由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34， 又∵π4＜α＜π2，∴cos α＜sin α， 即cos α－sin α＜0， ∴cos α－sin α＝－32. ③∵α＝－474π＝－6×2π＋π4， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.母题探究：1.将本例(2)中“18”改为“－8”“π4＜α＜π2”改为“－π4＜α＜0”求cos α＋sin α.[解] 因为－π4＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0且|cos α|＞|sin α|， 所以cos α＋sin α＞0，又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＝34，所以cos α＋sin α＝32. 2．将本例(2)中的用tan α表示1f (α)＋cos 2α.[解] 1f (α)＋cos 2α＝1sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋1tan α＋1. [规律方法] 1.牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.2．诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

《4.1.1 n 次方根与分数指数幂》教学设计教材内容：n 次方根与分数指数幂这一节的内容是在初中学习过平方、立方以及平方根等的基础上，对以上内容的进一步深入学习。

本节内容将整数的指数推广到分数的指数，体现了数学中由一般到特殊的数学思想。

同时，本节作为本章的起始课，对于后续内容的学习有着奠定基础的作用。

教学目标：1.理解n 次方根与根式的概念，达到数学抽象核心素养水平一的要求.2.掌握分数指数幂和根式之间的互化，达到逻辑推理核心素养水平一的要求.3. 掌握分数指数幂的运算性质，达到数学运算核心素养水平一的要求.教学重点与难点：1、教学重点：根式、分数指数幂概念的理解;掌握并运用分数指数幂的运算性质.2、教学难点：有理数指数幂运算性质的应用.教学过程（一）新课导入让我们回顾一下初中学过的知识，什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个?立方根呢?教师引导学生回答并归纳：若x 2=a ，则x 叫作a 的平方根.同理，若x 3=a ，则x 叫作a 的立方根.（二）探索新知探究一: n 次方根的概念我们类比平方根和立方根的概念，可以归纳出n 次方根的概念：一般的，如果x n =a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ﹥1，且n *N .教师提问，n 的取值会影响n 次方根的值吗?学生讨论，自行归纳出结果：当n 为偶数时，正数a 的n 次方根中，正的n 负的n 次方根用当n 为奇数时，a 的n.n 叫做根指数，a 叫做被开方数.探究二：正数的分数指数幂的意义大家观察以下式子，能否总结出一些规律?1025a a =（a ﹥0）,842a a =（a ﹥0）,1234a a =（a ﹥0）. 学生讨论.教师引导学生总结:“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数作为指数的形式（分数指数幂的形式）”，大家联想：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式?23a （a ﹥0）, 12b （b ﹥0）,54a （c ﹥0）由此得出结论:mn a （a ﹥0，*,,m n N n ∈﹥1）.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定：1=mn mn a a -=（a ﹥0，*,,m n N n ∈﹥1）. 注意：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.探究三：正数的分数指数幂的运算类比平方根，立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个? 当n 为奇数时呢?学生类比初中学过的知识讨论总结:a为正数时，{n a n n a n 为奇数时，的为偶数时，的a 为负数时， ;.n n a n a n a n 为奇数时，的次方根有一个，为为偶数时，的次方根不存在 0的n 次方根为000n =.例：16的四次方根为±2，-27的五次方根为-3，-27的四次方根不存在.教师总结：一个数到底有没有n 次方根，有几个n 次方根，首先要考虑被开方数的正负，，还要分清n 为奇数还是偶数两种情况根据n 次方根的意义可得n n a a =，一定成立. n n a na 的n n n a a =一定成立吗?如果不一定成n n a ?333(3)273-=-=-， 44(8)88-=-=.教师引导学生讨论并总结: n n n a a =；n {,0;,<0.n n a a a a a a ≥-==探究四：有理指数幂的运算由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数运算幂的性质可以推广到有理指数幂，即： 1(>0,,);2()(>0,,);3()(>0,>0,).r s r s r s rs r r r a a a a r s Q a a a r s Q ab a b a b r Q +=∈=∈=∈（）（）（）（三）课堂练习1.求下列各式的值： 338（-） 210（-） 44π（3-）2.求值（1）2 3 8(2)34 16 () 81-3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a﹥0）.（1）2a（2（四）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容?1.掌握n次方根的概念；2.掌握两个公式；3.根式与指数幂的形式互化；4.有理指数幂的运算性质.四、板书设计1. n次方根与根式的概念；2.掌握两个公式；3.根式与指数幂的形式互化；4.有理指数幂的运算性质.。