四川大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试题
一、极限（每题7分，共28分）
1. 2)11(lim x x x x
e +-+∞→ 2. )11ln(lim 21
n n ne n
n +-+∞→ 3.
2
1
)!(lim n n n +∞
→ 4. )]
1ln([cos lim
22
2x x x e
x x x -+--→
二、计算或证明下列各题（每题10分，共60分） 1.设当0≤x
时，2
1)(x
x f +=；当0>x 时，x
xe
x f -=)(.求
dx x f ?
-3
1
)2(
2.设
x x x f -=2)2('，0)1(=f ，求)(x f .
3.计算曲面积分dS z y x I
S
??++=)(，其中曲面}0,:),,{(22223≥=++∈=z a z y x R z y x S
4.计算曲线积分dy m e y dx my e y I
x
AmB
x ))('())((-+-=
?
??，其中)(y ?、)('y ?为平面2R 上的连续函数，AmB 为连接点)2,1(A 、)4,3(B 的任意简单路径（方向从A 到B ），但它与直线AB 围城的区域
面积为定值P （0>P
）
5.计算曲面积分dS z y x I S
??
++=)cos cos cos (2
22γβα，其中
S
为圆锥面
222z y x =+，
h z ≤≤0，αcos ，βcos ，γcos 该曲面的外发向量n 的方向余弦.
6.设函数),(y x z z
=具有二阶连续偏导数且满足方程
0)1()21()1(22222=??++???+++-??+y
z
p p y x z pq q p x z q q
其中x
z
p ??=，y z q ??=。假设y x u +=，z y v +=，z y x w ++=之下，证明：
02=???v u w 。
三、（本题10分）设)(x f 在]1,0[上具有连续导数，证明：)1()(lim 1
0f dx x f x n n n =?∞
→
四、（本题10分）设
)(x f 在),(b a 内二阶可微，证明：存在),(b a c ∈，
使得)(''4
)()()2(2)(2
c f a b b f b a f a f -=++-
五、（本题10分）设
)(x f 在),(b a 内具有连续导数，且0)()(==b f a f ，
证明：
dx x f a b x f b
a
b x a ?
-≥≤≤)()(4
)('max 2
六、（本题12分）设0>x 、0>y 、0>z ，证明：
2222)1
()1()1()1(3z
z y y x x z y x z y x +++++≤+++++
七、（本题20分）设
)(x f 在+∞<<∞-x 上有定义，在点0=x 的某领域内有二阶连续导数，且
R a x
x f x ∈=→)
(lim 0. 证明（1）若0>a ，则级数∑∞
=-1)1()1(n n
n f 收敛，级数∑∞
=1
)1(n n f 发散. （2）若0=a ，则∑
∞
=1
)1
(n n
f 绝对收敛.