2010-2017年高考数学全国卷试题汇编(不等式选讲部分)

2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编之不等式一、填空题：1．（2010年高考陕西卷理科15）(不等式选做题)不等式的解集为.【答案】【解析】（方法一）当时，∵原不等式即为，这显然不可能，∴不适合.当时，∵原不等式即为，又，∴适合.当时，∵原不等式即为，这显然恒成立，∴适合.故综上知，不等式的解集为，即.（方法二）设函数，则∵∴作函数的图象，如图所示，并作直线与之交于点.又令，则，即点的横坐标为.故结合图形知，不等式的解集为.二、解答题：1．（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数。

（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。

【解析】（Ⅰ）由得，解得，又已知不等式的解集为，所以，解得。

（Ⅱ）当时，，设，于是=，所以当时，；当时，；当时，。

2．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设a、b是非负实数，求证：。

[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。

满分10分。

（方法一）证明：因为实数a、b≥0，所以上式≥0。

即有。

（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得当时，，从而，得；当时，，从而，得；所以。

3. (2010年全国高考宁夏卷24）（本小题满分10分）选修4-5，不等式选讲设函数（Ⅰ）画出函数的图像（Ⅱ）若不等式≤的解集非空，求a的取值范围。

（24）解：（Ⅰ）由于则函数的图像如图所示。

（Ⅱ）由函数与函数的图像可知，当且仅当或时，函数与函数的图像有交点。

故不等式的解集非空时，的取值范围为。

4．（2010年高考辽宁卷理科24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。

近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编十四、不等式选讲一、解答题1．（2021·全国高考真题（理））已知函数()3f x x a x =-++． （1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; （2）若()f x a >-，求a 的取值范围．2．（2021·全国高考真题（文））已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像； （2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．3．（2020·全国高考真题（理））已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集； （2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.4．（2020·全国高考真题（理））已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．5．（2019·江苏高考真题）设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -. 6．（2019·全国高考真题（理））设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=. （1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 7．（2019·全国高考真题（文））已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.8．（2019·全国高考真题（文））已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 9．（2018·江苏高考真题）若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值． 10．（2018·全国高考真题（理）） 设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．11．（2018·全国高考真题（文））已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 12．（2018·全国高考真题（文））设函数()52f x x a x =-+--. （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.13．（2017·全国高考真题（理））已知函数()f x =│x +1│–│x –2│. （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围.14．（2017·全国高考真题（文））已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．15．（2017·全国高考真题（理））已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围． 16．（2017·全国高考真题（理））已知0a >，0b >，332a b +=，证明： (1)()()554a b a b++≥；(2)2a b +≤.17．（2017·江苏高考真题）已知a,b,c,d 为实数，且a 2+b 2=4,c 2+d 2=16,证明ac+bd ≤8.18．（2016·全国高考真题（文））选修4-5：不等式选讲 已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+.19．（2016·全国高考真题（文））已知函数()|2|f x x a a =-+. （1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编十四、不等式选讲（答案解析）1．（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围. 【解析】（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-.所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【小结】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的x 的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件. 2．（1）图像见解析；（2）112a ≥ 【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时a 的值可求. 【解析】 （1）可得，画出图像如下：，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去）， 则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.【小结】关键小结：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解. 3．（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【分析】 （1）分别在、和三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到，由此构造不等式求得结果.【解析】 （1）当2a =时，.当时，，解得：；当时，，无解； 当时，，解得：；综上所述：的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a aa a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【小结】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 4．（1）解析解析；（2）7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出． 【解析】（1）因为，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由，解得．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭． 【小结】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．5．1{|1}3x x x <->或. 【分析】由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集. 【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <–13： 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或. 【小结】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 6．(1)43；(2)见解析. 【分析】(1)根据条件1x y z ++=，和柯西不等式得到2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，再讨论,,x y z 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的,,x y z代入原不等式，便可得到参数a 的取值范围. 【解析】 (1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++≥-++++=+++=故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥等号成立当且仅当111x y z -=+=+而又因1x y z ++=，解得时等号成立所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43. (2)因为 (x 2)2 ( y 1)2 (z a)2 1 ，所以.3 x2a 32根据柯西不等式等号成立条件，当x2y 1za，即 y1a 32时有 zaa 32[(x 2)2 ( y 1)2 (z a)2](12 12 12) (x 2 y 1 z a)2 (a 2)2 成立.所以 (a 2)2 1 成立，所以有 a 3 或 a 1 .【小结】 两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.7．（1） (,1) ；（2）[1,)【分析】（1）根据 a 1 ，将原不等式化为| x 1| x | x 2 | (x 1) 0 ，分别讨论 x 1，1 x 2 ， x 2 三种情况，即可求出结果； （2）分别讨论 a 1 和 a 1 两种情况，即可得出结果.【解析】（1）当 a 1 时，原不等式可化为| x 1| x | x 2 | (x 1) 0 ；当 x 1时，原不等式可化为 (1 x)x (2 x)(x 1) 0 ，即 (x 1)2 0，显然成立，此时解集为 (,1) ；当1 x 2 时，原不等式可化为 (x 1)x (2 x)(x 1) 0 ，解得 x 1，此时解集为空集；当 x 2 时，原不等式可化为 (x 1)x (x 2)(x 1) 0 ，即 (x 1)2 0，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为 (,1) ；（2）当 a 1 时，因为 x (,1) ，所以由 f (x) 0 可得 (a x)x (2 x)(x a) 0 ，即 (x a)(x 1) 0 ，显然恒成立；所以 a 1 满足题意；7当a 1 时，f(x) 2(x a), a 2(x a)(1 x 1 x), x a，因为ax 1时，f (x) 0显然不能成立，所以 a 1 不满足题意；综上， a 的取值范围是[1,).【小结】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.8．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用 abc 1将所证不等式可变为证明：a2 b2 c2 bc ac ab ，利用基本不等式 可证得 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac ，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得a b3 b c3 c a3 3a bb cc a ，再次利用基本不等式可将式转化为a b3 b c3 c a3 24 abc2 ，在取等条件一致的情况下，可得结论.【解析】（1） abc 11 a1 b1 c 1 a1 b1 c abcbcacab 2 a2 b2 c2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2ab 2bc 2ac当且仅当 a b c 时取等号 2 a2 b2 c22 1 a1 b1 c ，即：a2b2c2≥1 a1 b1 c（2） a b3 b c3 c a3 3a bb cc a ，当且仅当 a b c 时取等号又 a b 2 ab ， b c 2 bc ， a c 2 ac （当且仅当 a b c 时等号同时成立）a b3 b c3 c a3 3 2 ab 2 bc 2 ac 24 abc2 又 abc 1 a b3 b c3 c a3 24【小结】 本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能 力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.89．4 【解析】分析：根据柯西不等式 (x2 y2 z2)(a2 b2 c2) (ax by cz)2 可得结果. 解析：证明：由柯西不等式，得 x2 y2 z2 12 22 22 x 2 y 2z 2 ．因为 x 2 y 2z=6 ，所以 x2 y2 z2 4 ，当且仅当 x y z 时，不等式取等号，此时 x 2 ，y 4 ，z 4 ，122333所以 x2 y2 z2 的最小值为 4．小结：本题考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力.柯西不等式的一般形式：设 a1， a2，…，an，b1，b2，…，bn 为实数，则(a ＋a ＋…＋a )(b ＋b ＋…＋b )≥(a1b1＋a2b2＋… ＋anbn)2，当且仅当 bi＝0 或存在一个数 k，使 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立． 10．（1）见解析（2） 5【解析】 分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可． （2）结合（1）问可得 a，b 范围，进而得到 a+b 的最小值 3x, x 1 , 2解析：（1）fx x2, 1 2x 1,y f x 的图像如图所示． 3x, x 1.9（2）由（1）知， y f x 的图像与 y 轴交点的纵坐标为 2 ，且各部分所在直线斜率的最大值为 3 ，故当且仅当 a 3 且 b 2 时， f x ax b 在0, 成立，因此 a b 的最小值为 5 ．小结：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题．11．（1） xx1 2 ；（2）0,2【解析】分析：(1)将 a 1 代入函数解析式，求得 f x x 1 x 1 ，利用零点分段将解析式化为 2, x 1,f x 2x, 1 x 1, ，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式 f x 1的解集为 2, x 1.x x1 2 ；(2)根据题中所给的 x 0,1，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式 f x x 可以化为x 0,1时 ax 1 1，分情况讨论即可求得结果. 2, x 1,解析：（1）当 a 1时， f x x 1 x 1 ，即 f x 2x, 1 x 1, 2, x 1.10故不等式fx1的解集为 xx1 2 ．（2）当 x 0,1时 x 1 ax 1 x 成立等价于当 x 0,1时 ax 1 1成立．若 a 0 ，则当 x 0,1时 ax 1 1；若 a 0 ， ax 1 1的解集为 0 x 2 ，所以 2 1 ，故 0 a 2 ．aa综上， a 的取值范围为 0, 2．小结：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成 立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从 而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所 给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.12．(1)；(2).【解析】 分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得 a 的取值范围．解析：（1）当 a 1 时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以 a 的取值范围是．小结：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值 的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与 函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活11应用，这是命题的新动向．13．（1）；（2）.【分析】（1）由于 f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，解不等式 f（x）≥1 可分﹣1≤x≤2 与 x＞2 两类讨论即可解得不等式 f（x）≥1 的解集； （2）依题意可得 m≤[f（x）﹣x2+x]max，设 g（x）＝f（x）﹣x2+x，分 x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2 三类讨论，可求得 g（x）max ，从而可得 m 的取值范围． 【解析】解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2 时，2x﹣1≥1，解得 1≤x≤2； 当 x＞2 时，3≥1 恒成立，故 x＞2； 综上，不等式 f（x）≥1 的解集为{x|x≥1}． （2）原式等价于存在 x∈R 使得 f（x）﹣x2+x≥m 成立， 即 m≤[f（x）﹣x2+x]max，设 g（x）＝f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x），当 x≤﹣1 时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为 x1，∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x＜2 时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为 x ∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（ ）1；当 x≥2 时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为 x2，∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；12综上，g（x）max ，∴m 的取值范围为（﹣∞， ]． 【小结】 本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论 思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．14．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）分，， 三种情况解不等式 f (x) g(x) ；（2）f (x) g(x) 的解集包含，等价于当时，所以且，从而可得．试题解析：（1）当 a 1 时，不等式等价于.①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当 时，①式化为，从而.所以的解集为.（2）当时，.所以的解集包含，等价于当时.又 f x 在 的最小值必为与之一，所以且.所以 a 的取值范围为.小结:形如(或 )型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，得，，13(此处设)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数和的图像，结合图像求解．15．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）分，， 三种情况解不等式 f (x) g(x) ；（2）f (x) g(x) 的解集包含，等价于当时，所以且，从而可得．试题解析：（1）当 a 1 时，不等式等价于.①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当 时，①式化为，从而.所以的解集为.（2）当时，.所以的解集包含，等价于当时.又 f x 在 的最小值必为与之一，所以且，得.所以 a 的取值范围为.小结:形如(或 )型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，，(此处设)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．14(2)图像法：作出函数 16．(1) 见解析(2) 见解析 【分析】 （1）由柯西不等式即可证明，和的图像，结合图像求解．（2）由 a3+b3＝2 转化为ab，再由均值不等式可得：ab≤，即可得到 （a+b）3≤2，问题得以证明． 【解析】 证明：（1）由柯西不等式得： ＝b＝1 时取等号；（2）∵a3+b3＝2， ∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2， ∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2， ∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，∴ab，当且仅当 ab5＝ba5，即 a由均值不等式可得：ab≤∴（a+b）3﹣2，∴ （a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当 a＝b＝1 时等号成立． 【小结】 本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题． 17．见解析 【解析】试题分析：由柯西不等式可得，代入即得结论．15试题解析：证明：由柯西不等式可得：，因为所以，因此.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得 ；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当 a ， 时，a b 1 ab ．试题解析：（I）当时，由 f (x) 2 得解得；当时， f (x) 2 ；当时，由 f (x) 2 得解得 .所以 f (x) 2 的解集.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而，因此【考点】绝对值不等式，不等式的证明.【名师小结】形如（或 ）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为，，（此处设）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．1617 （2）图象法：作出函数和的图象，结合图象求解． 19．（1）；（2）． 【解析】试题分析：（1）当2a =时；（2）由 ()()3f x g x +≥等价于，解之得.试题解析： （1）当2a =时，.解不等式，得.因此，()6f x ≤的解集为.（2）当x ∈R 时，， 当时等号成立，所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于. ① 当时，①等价于，无解. 当时，①等价于，解得. 所以a 的取值范围是. 考点：不等式选讲.。

考点16 不等式1.（2010·安徽高考文科·Ｔ8）设x,y 满足约束条件260,260,0,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则目标函数z=x+y 的最大值是（ ）（A ）3 （B ） 4 （C ） 6 （D ）8 【命题立意】本题主要考查线性规划问题，考查考生的作图、运算求解能力。

【思路点拨】由约束条件画可行域→确定目标函数的最大值点→计算目标函数的最大值【规范解答】选C ．约束条件260,260,0,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的可行域是一个三角形区域，3个顶点分别是(3,0),(6,0),(2,2)，目标函数z x y =+在(6,0)取最大值6，故C 正确．【方法技巧】解决线性规划问题，首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域），则区域中的某个端点使目标函数取得最大或最小值．2.（2010·福建高考文科·Ｔ5）若,x y R ∈，且1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值等于（ ）A.2B.3C.5D.9【命题立意】本题考查利用线性规划的方法求最值．【思路点拨】先画出不等式组表示的线性区域，再作出直线0:20l x y +=，平移0l ，当其截距越小，z 的值越小．【规范解答】选B ．不等式组所表示的平面区域如图阴影所示： 作0:20l x y +=，平移0l至()A 1,1点位置时，z 取得最小值，min 3z ∴=．【方法技巧】本题可以采用多种解法，有些解法一反常规， 颠覆视觉．方法1（特殊点法）：因为直线1,230,=-+==x x y y x 分别 交于()()()A 1,1,B 3,3,C 1,2，当1,1==x y 时，23=+=z x y ；当3,3==x y 时，29=+=z x y ；当1,2==x y 时，25=+=z x y ； 所以当1,1==x y 时，min 3=z ，所以选 B ．方法2（反代入法）：22=+∴=-Q ，z x y x z y ，把2=-x z y 代入1230≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩x x y y x 得：2122302-≥⎧⎪--+≥⎨⎪≥-⎩z y z y y y z y 12343-⎧≤⎪⎪+⎪∴≤⎨⎪⎪≥⎪⎩z y z y z y ，132334-⎧≤⎪⎪∴⎨+⎪≤⎪⎩z z z z ，39∴≤≤z ，所以2=+z x y 有最小值3．方法3（向量法）：设(,),(1,2),(0,0)Q x y C O ，则=•u u u r u u u r z OC OQ cos =∠u u u r u u u rOC OQ POQ5cos =∠u u u r OQ POQ ，cos OQ POQ ∠u u u r表示的是OQ uuu r 在u u u r OC 方向上的投影，所以当OQ uuu r 在u u ur OA 位置时取得最小值，所以当1,1==x y 时，23=+=z x y 为最小值．故应选Ｂ． 3.（2010·浙江高考文科·Ｔ7）若实数x,y 满足不等式组合33023010x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则x+y 的最大值为（ ） （A ）9 （B ）157 （C ）1 （D ）715【命题立意】本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想， 属中档题．【思路点拨】画出不等式组表示的平面区域，再利用图象求x y +的最大值． 【规范解答】选A ．令z x y =+，则y x z =-+，z 表示过可行 域内点斜率为-1的直线在y 轴上的截距．由图可知当向上平移0l使它过(4,5)A 时，max 9z =．【方法技巧】（1）画可行域时：“直线定界、特殊点定域”；（2）寻找目标函数的最值时，应先指明它的几何意义，这样才能找到相应的最值．4.（2010·天津高考文科·Ｔ2）设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数z=4x+2y 的最大值为（ ）（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）2【命题立意】考查线性规划的意义，二元一次不等式的最值问题以及数形结合思想的应用． 【思路点拨】应用数形结合，画图分析求得最值．【规范解答】选B ．在同一个坐标系中，画出直线1,3,1x y x y y -=-+==的图像，作出可行域可知直线2y x =-平行移动到直线31x y y +==与的交点（2，1）处，目标函数z=4x+2y 取的最大值10. 【方法技巧】 线性规划问题的关键是找准最优点，画图失误或求点失误是常见的失误点，解决最优解问题也将各个边界点代入验证，然后寻找合适点．5.（2010·山东高考理科·Ｔ10）设变量x 、y 满足约束条件2,5100,80,x y o x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩,则目标函数z=3x-4y 的最大值和最小值分别为（ ） （A ）3，－11（B ）－3, －11 （C ）11, －3（D ）11,3【命题立意】本题考查不等式中的线性规划知识及数形结合的数学思想、考查了考生的推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】先画出不等式组所表示的平面区域，再xyO(4,5)A 230x y --=10x y -+=330x y +-=0:0l x y +=求解.【规范解答】选A ．画出平面区域如图所示：可知当直线z=3x-4y 平移到点（5，3）时，目标函数z=3x-4y 取得最大值3；当直线平移到点（3，5）时，目标函数z=3x-4y 取得最小值-11，故选A.6.（2010·浙江高考理科·Ｔ7）若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9，则实数m =（ ）（A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2 【命题立意】本题考查线性规划的相关知识，考查数形结合思想． 【思路点拨】画出平面区域，利用x y +的最大值为9，确定区域的边界．【规范解答】选C ．令z x y =+，则y x z =-+，z 表示斜率为-1的直线在y 轴上的截距．当z 最大值为9时，y x z =-+过点A ，因此10x my -+=过点A ，所以1m =．【方法技巧】画平面区域时“直线定界、特殊点定域”．7.（2010·北京高考理科·Ｔ7）设不等式组110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ，若指数函数y=xa 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（ ）（A ）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, +∞] 【命题立意】本题考查平面区域，指数函数的相关知识． 【思路点拨】画出平面区域D ，再观察xy a =的图象．xyO33-1330x y +-=230x y --=32123(,)77(4,5)A y x=-10x my -+=【规范解答】选A ．区域D 如图所示，其中(2,9)A ．当xy a =恰过点A 时，3a =．因此当13a <≤时，x y a =的图像上存在区域D 上的点．【方法技巧】画区域D 时可采用“直线定界、特殊点定域”的方法．8.（2010·福建高考理科·Ｔ8）设不等式组1,230≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩x x y y x ，所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线3490+-=x y 对称，对于1Ω中的任意A 与2Ω中的任意点B ，||AB 的最小值等于（ ） A.285 B.4 C. 125D.2 【命题立意】本题主要考查线性可行域的表示, 并结合图像求解点到线距离的最小值. 【思路点拨】画出可行域以及直线3490+-=x y ，要求||AB 的最小值即求A 到直线3490+-=x y 的最小值d的2倍．【规范解答】选B ．不等式组所表示的平面区域1Ω如图所示：则点()1,1 到3490+-=x y 的距离即为平面区域1Ω中任意点A 到3490+-=x y 的最小距离d ，2231419234⨯-⨯-∴==+d ，min 24∴==AB d ．9.（2010·江苏高考·Ｔ１2）设x,y 为实数，满足3≤2xy ≤8，4≤yx 2≤9，则43y x 的最大值是 ．【命题立意】本题考查不等式的基本性质，等价转化思想．【思路点拨】322421()x x y y xy=⋅xy111131-2-0110x y +-=5390x y -+=330x y -+=A1D【规范解答】22()[16,81]x y ∈，2111[,]83xy ∈，322421()[2,27]x x y y xy =⋅∈，43yx 的最大值是27． 【答案】27．10.（2010·浙江高考文科·Ｔ16） 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值 ． 【命题立意】本题主要考察了用一元二次不等式解决实际问题的能力，属中档题． 【思路点拨】把一到十月份的销售总额求和，列出不等式，求解．【规范解答】七月份：500(1%)x +，八月份：2500(1%)x +．所以一至十月份的销售总额为：238605002[500(1%)500(1%)]7000x x +++++≥，解得2.2%1-≤+x （舍）或2.1%1≥+x ，20min =∴x ．【答案】20．11.（2010·浙江高考文科·Ｔ15）若正实数,x y ，满足26x y xy ++=，则xy 的最小值是 ． 【命题立意】本题主要考察了用基本不等式解决最值问题的能力 ，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法，属中档题．【思路点拨】本题可利用均值不等式构造出关于xy 的不等式，解出xy 的范围．【规范解答】运用基本不等式，62262+≥++=xy y x xy ，令2t xy =，可得06222≥--t t ，注意到t ＞0，解得t ≥23,故xy 的最小值为18． 【答案】18．【方法技巧】均值不等式有两个常用变形：（1）当和为定值时，积有最大值，即2()2a b ab +≤；（2）当积为定值时，和有最小值，即a b +≥．12.（2010·山东高考文科·Ｔ１4）已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 . 【命题立意】本题考查均值定理，考查考生运用基本不等式运算求解能力. 【思路点拨】根据,x y R +∈，且134x y+=，【规范解答】Q ,x y R +∈，且134x y+=，由均值不等式有134x y =+≥，解得3xy ≤，当且仅当1342x y ==，即3,22x y ==时，等号成立。

第三节不等式选讲(选修45)绝对值不等式考向聚焦绝对值不等式的解法和性质运用是高考考查的一个重点.以绝对值不等式为载体,求参数的取值X围也是常见的考查题型,如恒成立问题、存在性问题等.多以填空题和解答题的形式出现,中等难度,分值5~10分备考指津含有绝对值不等式的问题主要包括两类:一类是解不等式,另一类是以绝对值不等式为载体求参数的取值X围,解答这两类问题的关键是去掉绝对值符号.(1)依据绝对值的意义;(2)先令每一个绝对值等于零,找到分界点,通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值1.(2012年某某卷,文15A,5分)若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值X围是.解析:由题意知左边的最小值小于或等于3,根据不等式的性质得|(x-a)-(x-1)|≤3,∴|a-1|≤3,∴-2≤a≤4.答案:-2≤a≤42.(2011年某某卷,文15)若不等式|x+1|+|x-2|≥a对任意x∈R恒成立,则a的取值X围是.解析:法一:由题意,只需求|x+1|+|x-2|的最小值,由绝对值的几何意义知,此式表示数轴上的点P到-1,2两点的距离之和,当点P位于-1,2对应两点之间的距离之和最小值为3,∴a≤3.法二:∵|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|≥|x+1+2-x|=3,∴|x+1|+|x-2|的最小值为3.当且仅当-1≤x≤2时取最小值,若|x+1|+|x-2|≥a对任意x∈R恒成立,则a≤3.答案:(-∞,3]3.(2011年某某卷,文15)对于x∈R,不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集为.解析:法一:①当x<-10时,原不等式等价于-x-10+x-2≥8,即-12≥8,∴x无解;②当-10≤x≤2时,原不等式等价于x+10+x-2≥8即2x≥0,∴0≤x≤2,③当x>2时,原不等式等价于x+10-x+2≥8,即12≥8,∴x>2由①②③得x ≥0.法二:由绝对值的几何意义知|x+10|-|x-2|表示数轴上到-10与到2两点距离差,则当|x+10|-|x-2|≥8时,则x ≥0.答案:[0,+∞)4.(2010年某某卷,文15A)不等式|2x-1|<3的解集为.解析:由|2x-1|<3得-3<2x-1<3,∴-1<x<2.答案:{x|-1<x<2}5.(2012年新课标全国卷,文24,10分)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值X围.解:(1)当a=-3时,f(x)=当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时,由f(x)≥3无解;当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4.所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|,当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔|x+a|≤2⇔-2≤x+a≤2⇔-2-a≤x≤2-a由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即得-3≤a≤0,故满足条件的a的取值X围是[-3,0].6.(2012年某某卷,文24,10分)已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1}.(1)求a的值;(2)若|f(x)-2f()|≤k恒成立,求k的取值X围.解:(1)由|ax+1|≤3得-4≤ax≤2,又f(x)≤3的解集为{x|-2≤x≤1},所以当a≤0时,不合题意.当a>0时,-≤x≤,得a=2.(2)记h(x)=f(x)-2f(),则h(x)=所以|h(x)|≤1,因此k≥1.7.(2012年某某自选模块,03,10分)已知a∈R,设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A.(1)若a=1,求A;(2)若A=R,求a的取值X围.解:(1)当x≤-3时,原不等式化为-3x-2≥2x+4,得x≤-3.当-3<x≤时,原不等式化为4-x≥2x+4,得-3<x≤0.当x>时,原不等式化为3x+2≥2x+4,得x≥2.综上,A={x|x≤0或x≥2}.(2)当x≤-2时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立.当x>-2时,|2x-a|+x+3=|2x-a|+|x+3|≥2x+4.得x≥a+1或x≤,所以a+1≤-2或a+1≤,得a≤-2综上,a的取值X围为a≤-2.8.(2011年全国新课标卷,文24)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.解:(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.由此可得x≥3或x≤-1,故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0,此不等式化为不等式组或即或.∵a>0,所以不等式组的解集为{x|x≤-}.由题设可得-=-1,故a=2.9.(2011年某某卷,文24)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)证明:-3≤f(x)≤3;(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.(1)证明:f(x)=|x-2|-|x-5|=当2<x<5时,-3<2x-7<3.所以-3≤f(x)≤3.(2)解:由(1)可知,当x≤2时,f(x)≥x2-8x+15的解集为空集;当2<x<5时,f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x<5};当x≥5时,f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.综上,不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x≤6}.10.(2010年全国新课标卷,文24)设函数f(x)=|2x-4|+1.(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值X围.解:(1)由于f(x)=则函数y=f(x)的图象如图所示.(2)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,(l1,l2,l3,l4都代表y=ax的图象),l1与y=f(x)相交于点A,由l1转到l2时有交点,∴a≥.同理当l1转到l3时也有交点,当转到l4即斜率为-2时,此时l4与y=-2x+5平行无交点,∴a<-2.故不等式f(x)≤ax的解集非空时,a的取值X围为(-∞,-2)∪[,+∞).本题主要考查分段函数画图和利用数形结合找出a的取值X围.不等式的证明考向聚焦高考中主要考查利用基本不等式证明不等式问题(有时也是利用基本不等式求最值问题)对于不等式的证明,一般用比较法、分析法、综合法等证明简单的不等式,能够利用基本不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值以及对一些不等式问题的证明等,为中档题,主要为解答题,分值10分左右备考指津(1)利用基本不等式证明条件不等式,关键是恰当地利用条件,构造基本不等式所需要的形式;利用基本不等式求最值时,还一定要注意“一正二定三相等”.(2)如果已知条件与待证结论之间的联系不明显,可考虑使用分析法.(3)如果待证的命题以“至少”“至多”“恒成立”等方式给出,可考虑使用反证法.用反证法证明命题时,推导出的矛盾多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与事实相违背等.(4)放缩法的依据是不等式的传递性,运用放缩法证明不等式时,要放缩适度,放得过大或过小都不能达到证明目的,常用方法:一是舍去或添加一些已知正负的项;二是将分子或分母放大或缩小.(5)利用柯西不等式证明不等式的关键是正确构造左边的数组,从而利用题目的条件正确求解11.(2011年某某卷自选模拟,03)设正数x,y,z满足2x+2y+z=1.(1)求3xy+yz+zx的最大值;(2)证明:++≥.(1)解:原式=3xy+(x+y)z=3xy+[1-2(x+y)](x+y)=3xy+(x+y)-2(x+y)2≤(x+y)2+(x+y)-2(x+y)2=-(x+y)2+(x+y)=-[(x+y)2-(x+y)]=-[(x+y-)2-]=-(x+y-)2+≤.当且仅当x=y=z=时,等号成立,3xy+yz+zx的最大值为.(2)证明:法一:由柯西不等式和(1)得[++]·[3(1+xy)+(1+yz)+(1+zx)]≥[·+·+·]2=(3+1+1)2=25.∴++≥≥=.法二:由基本不等式得++≥5≥5=≥=.12.(2010年某某卷,21D)设a,b是非负实数,求证a3+b3≥(a2+b2).证明:a3+b3-(a2+b2)=(a3-a2)+(b3-b2)=a2(-)-b2(-)=(-)(-).当a≥b时,≥且≥,当a<b时,<且<,∴a3+b3-(a2+b2)≥0,∴a3+b3≥(a2+b2).证明不等式,常用方法是作差比较法.13.(2010年某某卷,文24)已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+(++)2≥6,并确定a,b,c为何值时,等号成立.证明:法一:因为a,b,c均为正数,由均值不等式得a2+b2+c2≥3(abc,①++≥3(abc,所以(++)2≥9(abc.②故a2+b2+c2+(++)2≥3(abc+9(abc.又3(abc+9(abc≥2=6,③当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅=9(abc时,③式等号成立.即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立.所以原不等式成立.法二:因为a,b,c均为正数,由基本不等式得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac.所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①同理++≥++②故a2+b2+c2+(++)2≥ab+bc+ac+3+3+3≥6.③当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立.所以原不等式成立.。

2010-2017年高考数学全国卷试题汇编（极坐标与参数方程部分）1、【2010年新课标】已知直线1:C x 1t cos sin y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线2:C x cos sin y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）当α=3π时，求1C 与2C 的交点坐标； （2）过坐标原点O 做1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.2、【2011年新课标】在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C . （1）求2C 的方程； （2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .3、【2012年新课标】曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π. （1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围.4、【2013年新课标1】已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=. (1)把1C 的参数方程化为极坐标方程； (2)求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤<).5、【2013年新课标2】已知动点,P Q 都在曲线C ：2sin y t ⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t α=与2t α=()02απ<<，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．6、【2014年新课标1】已知曲线C ：22149x y +=，直线:l ⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值．7、【2014年新课标2】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程； （2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.8、【2015年新课标1】在坐标系xOy 中,直线1:2C x =-,圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求12,C C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的面积。

专题17不等式选讲历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科23】已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：（1）a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．【解答】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．要证（1）a2+b2+c2；因为abc＝1．就要证：a2+b2+c2；即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号．即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证．故a2+b2+c2得证．（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）≥2；（b+c）≥2；（c+a）≥2；当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8••24abc＝24；当且仅当a＝b＝c＝1时取等号；故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．故得证．2．【2018年新课标1理科23】已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|，由f（x）＞1，∴或，解得x，故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即|ax﹣1|＜1，∴﹣1＜ax﹣1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈（0，1），∴a＞0，∴0＜x，∴a∵2，∴0＜a≤2，故a的取值范围为（0，2]．3．【2017年新课标1理科23】已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x的二次函数，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|，当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4＝2x，解得x，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]；当x∈[﹣1，1]时，g（x）＝2，f（x）≥f（﹣1）＝2．当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）＝f（﹣1）＝2．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．4．【2016年新课标1理科24】已知函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y＝f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x），由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x，即有﹣1＜x或1＜x；当x时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或x＜3．综上可得，x或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．5．【2014年新课标1理科24】若a＞0，b＞0，且．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且，∴2，∴ab≥2，当且仅当a＝b时取等号．∵a3+b3 ≥224，当且仅当a＝b时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥22，当且仅当2a＝3b时，取等号．而由（1）可知，2246，故不存在a，b，使得2a+3b＝6成立．6．【2013年新课标1理科24】已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y＝|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[，]时，f（x）＝1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[，]都成立．故a﹣2，解得a，故a的取值范围为（﹣1，]．7．【2012年新课标1理科24】已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|①当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．8．【2011年新课标1理科24】设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得1，故a＝29．【2010年新课标1理科24】设函数f（x）＝|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y＝f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x），函数y＝f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y＝f（x）与函数y＝ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a时，函数y＝f（x）与函数y＝ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，证明不等式为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数()22()f x x a x a R =-+-∈.（1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若[2,1]x ∈-时不等式()32f x x ≤-成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2{|3x x <或()4cos(2)6f x x π=-；（2）空集. 【解析】解：（1）不等式()2f x >，即2222x x -+->. 可得22222x x x ≥⎧⎨-+->⎩，或122222x x x <<⎧⎨-+->⎩或12222x x x ≤⎧⎨--+>⎩， 解得23x <或2x >，所以不等式的解集为2{|2}3x x x <>或. （2）当[2,1]x ∈-时，220x -<，所以()22f x x a x =-+-，由()32f x x ≤-得1x a -≤，即11a x a -≤≤+，则1211a a -≤-⎧⎨+≥⎩，该不等式无解， 所以实数a 的取值范围是空集（或者∅）.2．已知()221f x x x =-++．（1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤．【答案】(1) ()1,3- (2)见证明【解析】（1）①2x ≥时，()24133f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴336x -<，∴3x <，即23x ≤<，②12x -<<时，()4215f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴56x -<，∴1x >-，即12x -<<， ③1x ≤-时，()42133f x x x x =---=-，由()6f x <，∴336x -<，∴1x >-，可知无解，综上，不等式()6f x <的解集为()1,3-；（2）∵()221f x x x =-++，∴()36f =，∴()36m n p f ++==，且,,m n p 为正实数∴()222222236m n p m n p mn mp np ++=+++++=，∵222m n mn +≥，222m p mp +≥，222n p np +≥，∴222m n p mn mp np ++≥++，∴()()2222222363m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++ 又,,m n p 为正实数，∴可以解得12mn np pm ++≤．3．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()|||2|(0)f x x m x m m =--+>.（1）当1m =，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）113x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭；（2）()0,2 【解析】（1）当1m =时，()1f x ≥为：1211x x --+≥当1x ≥时，不等式为：1211x x ---≥，解得：3x ≤-，无解 当112x -≤<时，不等式为：1211x x -+--≥，解得：13x ≤-，此时1123x -≤≤- 当12x <-时，不等式为：1211x x -+++≥，解得：1x -≥，此时112x -≤<- 综上所述，不等式的解集为113x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立等价于()()max min |2||1|f x t t <++- 因为|2||1||(2)(1)|3t t t t ++-≥+--=，当且仅当(2)(1)0t t +-≤时等号成立 所以()min |2||1|3t t ++-=因为0m >时，()2f x x m x m =--+=2,23,22,m x m x m x x m x m x m ⎧+<-⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩， 函数()f x 单调递增区间为(,)2m -∞-，单调递减区间为(,)2m -+∞ ∴当2m x =-时，()max 322m m f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 332m ∴<，又0m >，解得：02m << ∴实数m 的取值范围()0,24．选修4-5不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >.（1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c a a b c++≥. 【答案】（1）2m =（2）见证明【解析】（1）由题意知：20x m x -+≤即20x m x m x ≥⎧⎨-+≤⎩或20x m m x x ≤⎧⎨-+≤⎩ 化简得：3x m m x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或x m x m ≤⎧⎨≤-⎩ 0m > ∴不等式组的解集为{}x x m ≤-2m ∴-=-，解得：2m =（2）由（1）可知，2a b c ++= 由基本不等式有：22b a b a +≥，22c b c b+≥，22a c a c +≥三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c+++++≥++ 222b c a a b c a b c ∴++≥++，即：2222b c a a b c++≥ 5．选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x a =+++（1）当1a =-时，解不等式()2f x ≥；（2）若存在0x 满足00()211f x x ++<，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 1|02x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 (2) 24a << 【解析】（1）当1a =-时，()|1||31|f x x x =++-， 当13x ≥时，不等式等价于1312x x ++-≥，解得12x ≥，12x ∴≥； 当113x -<<时，不等式等价于1312x x +-+≥，解得0x ≤，10x ∴-<≤； 当1x ≤-时，不等式等价于1312x x ---+≥，解得12x ≤-，1x -∴≤. 综上所述，原不等式的解集为1|02x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或. （2）由()00211f x x ++<，得003131x x a +++<， 而()()000000313333333|3|x x a x x a x x a a +++=+++≥+-+=-，（当且仅当()()003330x x a ++≤时等号成立）由题可知min (()2|1|)1f x x ++<，即31a -<，解得实数a 的取值范围是24a <<.6．已知函数()|2|f x ax =-.（Ⅰ）当4a =时，求不等式()|42|8f x x ++≥的解集；（Ⅱ）若[2,4]x ∈时，不等式()|3|3f x x x +-≤+成立，求a 的取值范围.【答案】（I ）(,1][1,)-∞-+∞；（II ）[1,2]-【解析】（I ）当4a =时，原不等式即|42||42|8x x -++≥，即|21||21|4x x -++≥. 当12x ≥时，21214x x -++≥，解得1x ≥，∴1x ≥； 当1122x -≤≤时，12214x x -++≥，无解； 当12x ≤-时，12214x x ---≥，解得1x ≤-，∴1x ≤-； 综上，原不等式的解集为(,1][1,)-∞-+∞（II ）由()|3|3f x x x +-≤+得|2||3|3ax x x -+-≤+（*）当[2,3]x ∈时，（*）等价于|2|33|2|2ax x x ax x -+-≤+⇔-≤ 即22a x -≤，所以2222a x x -+≤≤+恒成立，所以813a -≤≤ 当(3,4]x ∈时，（*）等价于|2|33|2|6ax x x ax -+-≤+⇔-≤即48ax -≤≤，所以48a x x-≤≤恒成立，所以12a -≤≤ 综上，a 的取值范围是[1,2]-7．已知函数()21f x x x a =-++，()2g x x =+．（1）当1a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设12a >-，且当1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，()()f x g x ≤，求a 的取值范围． 【答案】（1）()0,2；（2）11,23⎛⎤-⎥⎝⎦ 【解析】（1）当1a =-时，不等式()()f x g x <化为：21120x x x -+---< 当12x ≤时，不等式化为12120x x x -+---<，解得：102x <≤ 当112x <≤时，不等式化为21120x x x -+---<，解得：112x <≤当1x >时，不等式化为21120x x x -+---<，解得：12x <<综上，原不等式的解集为()0,2（2）由12a x -≤<，得221a x -≤<，21210a x --≤-< 又102x a a ≤+<+ 则()()211f x x x a x a =--++=-++∴不等式()()f x g x ≤化为：12x a x -++≤+得21a x ≤+对1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭都成立 21a a ∴≤-+，解得：13a ≤ 又12a >-，故a 的取值范围是11,23⎛⎤- ⎥⎝⎦8．已知函数()|2|f x x =-．（Ⅰ）求不等式()|1|f x x x <++的解集；（Ⅱ）若函数5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（II ）(,1)-∞ 【解析】解：（I ）由已知不等式()|1|f x x x <++，得|2||1|x x x -<++，当2x ≥时，不等式为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x ≥；当12x -<<时，不等式为21x x x -<++，解得13x >，所以123x <<； 当1x ≤-时，不等式为21x x x -<--，解得3x >，此时无解． 综上：不等式的解集为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（II ）若5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ，则(3)()30f x f x a ++->恒成立． ∵|1||2|3|12|333x x a x x a a ++--≥+-+-=-，当且仅当[1,2]x ∈-时取等号．∴330a ->，即1a <．所以实数a 的取值范围是(,1)-∞．9．已知函数()123f x x x =-+-．（Ⅰ）解关于x 的不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若()20f x m m -->恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）111,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）()2,1-. 【解析】解：（I ）当1x ≤时，不等式为：()1234x x -+-≤，解得1x ≥，故1x =．当13x <<时，不等式为：()1234x x -+-≤，解得1x ≥，故13x <<1＜x ＜3，当3x ≥时，不等式为：()1234x x -+-≤，解得113x ≤，故1133x ≤≤． 综上，不等式()4f x ≤的解集为111,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （II ）由()20f x m m -->恒成立可得()2m m f x +<恒成立． 又()37,35,1337,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-+≤⎩，故()f x 在(],1-∞上单调递减，在()1,3上单调递减，在[)3,+∞上单调递增， ∴()f x 的最小值为()32f =．∴22m m +<，解得21m -<<．即m 的最值范围是()2,1-．10．已知函数()211f x x x =-++.（Ⅰ）解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值.【答案】（Ⅰ）{}11x x x ≤-≥或；（Ⅱ）914. 【解析】（Ⅰ）由题意， 3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， 所以()3f x ≥等价于133x x ≤-⎧⎨-≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≥⎩或1233x x ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩. 解得：1x ≤-或1x ≥，所以不等式的解集为{}11x x x ≤-≥或；（Ⅱ）由(1)可知,当12x =时, ()f x 取得最小值32, 所以32m =，即233a b c ++=， 由柯西不等式得2222222()(123)(23)9a b c a b c ++++≥++=， 整理得222914a b c ++≥， 当且仅当123a b c ==时, 即369,,141414a b c ===时等号成立. 所以222a b c ++的最小值为914. 11．已知函数()12f x x a x =+++.（Ⅰ）求1a =时，()3f x ≤的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值.【答案】（Ⅰ）[3,0]-；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）当1a =时，232()12121231x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩∵()3f x ≤当2x -≤时()233f x x =--≤解得32x -≤≤-当21x -<<-时()13f x =≤恒成立当1x -≥时()233f x x =+≤解得10x -≤≤综上可得解集[3,0]-. （Ⅱ）(1)212()12(1)2121(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++≥-⎩当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值；当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-；当(1)0a -+<且10a -≤，即11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-=当(1)0a -+<且10a ->，即1a >时， min ()(2)1f x f =-=综上：当1a <-时，()f x 无最小值；当1a =-时，()f x 有最小值1-；当11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= ；当1a >时， min ()(2)1f x f =-=；12．选修4-5：不等式选讲已知函数()|23||1|f x x x =--+.（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）设集合M 满足：当且仅当x M ∈时，()|32|f x x =-，若,a b M ∈，求证：228223a b a b -++≤. 【答案】(1) {}210x x -≤≤；(2)见解析.【解析】 （1）()4,1323132,1234,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--+=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <- 时，46x -+≤ ，得2x -≥ ，故21x -≤<-； 当312x -≤≤ 时，326x -+≤ ，得43x ≥- ，故312x -≤<；当32x > 时，46x -≤ ，得10x ≤ ，故3102x <≤； 综上，不等式()6f x ≤的解集为{}210x x -≤≤（2）由绝对值不等式的性质可知()231(23)(1)32f x x x x x x =--+≤-++=- 等价于23(1)32x x x -≤-++-，当且仅当(23)(1)0x x -+≤， 即213x -≤≤ 时等号成立，故21,3M ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦所以221,133a b -≤≤-≤≤， 所以222510(1),4(1)99a b ≤-≤-≤--≤-， 即228(1)(1)3a b ---≤. 13．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()31f x x m x m =----（1）若1m =，求不等式()1f x <的解集.（2）对任意的x R ∈，有()(2)f x f ≤，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(,3)-∞；（2）1123m -≤≤ 【解析】（1）()141f x x x =---<， 所以11441(4)11(4)1141x x x x x x x x x <≤≤>⎧⎧⎧⎨⎨⎨---<---<--+<⎩⎩⎩或或 解之得不等式()1f x <的解集为(,3)-∞.(2) 当131,2m m m +>>-时，由题得2必须在3m+1的右边或者与3m+1重合， 所以1231,3m m ≥+∴≤，所以1123m -<≤， 当131,2m m m +==-时，不等式恒成立， 当131,2m m m +<<-时，由题得2必须在3m+1的左边或者与3m+1重合， 由题得1231,3m m ≤+≥，所以m 没有解.综上，1123m -≤≤. 14．已知()21f x x x =+-．（1）证明()1f x x +≥；（2）若,,a b c +∈R ，记33311134abc a b c +++的最小值为m ，解关于x 的不等式()f x m <． 【答案】(1)见证明；(2) 2433x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】（1）()2212211f x x x x x x +=+-≥-+=．当且仅当()2x 2x 10-≤,等号成立 （2）∵3331113333334444abc abc abc abc m a b c abc +++≥=+≥==，当且仅当a=b=c 等号成立由不等式()3f x <即()213f x x x =+-<．由()31,01211,02131,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+≤⎪⎪=+-=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩得：不等式()3f x <的解集为2433x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 15．选修4—5：不等式选讲已知函数()11f x x mx =++-，m R ∈。

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．． 3．第I 卷共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A +B )=P (A )+P (B ) 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P (A ·B )=P (A )·P (B ) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=球 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n k k n n P P C k P --=)1()( 一、选择题（1）复数=-+i i 3223 （A ）i （B ）i - （C ）i 1312-（D ）i 1312+ （2）记k =︒-)80cos(，那么=︒100tan（A ）k k 21- （B ）-k k 21- （C ）21k k- （D ）-21k k -（3）若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤.02,0,1y x y x y 则y x z 2-=的最大值为 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1（4）已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，634987321,10,5a a a a a a a a a 则===（A ）25 （B ）7 （C ）6 （D ）24（5）533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数是（A ）-4 （B ）-2 （C ）2 （D ）4（6）某校开设A 类选修课3门，B 类选择题4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（A ）30种 （B ）35种 （C ）42种 （D ）48种（7）正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为（A ）32 （B ）33 （C ）32 （D ）36 （8）设2135,2ln ,2log -===c b a ，则 （A ）c b a << （B ）a c b << （C ）b a c << （D ）a b c <<（9）已知F 1、F 2为双曲线1:22=-y x C 的左、右焦点，点P 在C 上，︒=∠6021PF F ，则P 到x 轴的距离为（A ）23 （B ）26 （C ）3 （D ）6（10）已知函数)()(,0.|lg |)(b f a f b a x x f =<<=且若，则b a 2+的取值范围是（A ）),22(+∞ （B ）[)+∞,22 （C ）),3(+∞ （D ）[)+∞,3（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PB PA ⋅的最小值为（A ）24+- （B ）23+- （C ）224+- （D ）223+-（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AC=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（A ）332 （B ）334 （C ）32 （D ）338 绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

不等式选讲年份题号考点考查内容2011文理24不等式选讲绝对值不等式的解法2012文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法2013卷1文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理24不等式选讲多元不等式的证明2014卷1文理24不等式选讲基本不等式的应用卷2文理24不等式选讲绝对值不等式的解法2015卷1文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理24不等式选讲不等式的证明2016卷1文理24不等式选讲分段函数的图像，绝对值不等式的解法卷2文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明卷3文理24不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法2017卷1文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷2文理23不等式选讲不等式的证明卷3文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，绝对值不等式解集非空的参数取值范围问题2018卷1文理23不等式选绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法讲卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲绝对值函数的图象，不等式恒成立参数最值问题的解法2019卷1文理23不等式选讲三元条件不等式的证明卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲三元条件最值问题的解法，三元条件不等式的证明2020卷1文理23不等式选讲绝对值函数的图像，绝对值不等式的解法卷2文理23不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法卷3文理23不等式选讲三元条件不等式的证明考点出现频率2021年预测考点120绝对值不等式的求解23次考4次2021年主要考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的证明，不等式恒成立参数取值范围问题的解法等．考点121含绝对值不等式的恒成立问题23次考12次考点122不等式的证明23次考7次考点120绝对值不等式的求解1．(2020全国Ⅰ文理22)已知函数()3121f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()()1f x f x >+的解集．【解析】(1)∵()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图像，如图所示：(2)将函数()f x 的图像向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图像，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-，∴不等式的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．2．(2020江苏23)设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【思路导引】根据绝对值定义化为三个不等式组，解得结果．【解析】1224x x x <-⎧⎨---≤⎩ 或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩，21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤，∴解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．3．(2016全国I 文理)已知函数()|1||23|f x x x =+--．(I)在图中画出()y f x =的图像；(II)求不等式|()|1f x >的解集．【解析】(1)如图所示：(2)()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥，()1f x >．当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <，1x -∴≤；当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <，113x -<<∴或312x <<；当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >．综上，13x <或13x <<或5x >，()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，，．4．(2014全国II 文理)设函数()f x =1(0)x x a a a++->(Ⅰ)证明：()f x ≥2；(Ⅱ)若()35f <，求a 的取值范围．【解析】(I)由0a >，有()f x 111()2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥，∴()f x ≥2．(Ⅱ)1(3)33f a a=++-．当时a ＞3时，(3)f =1a a+，由(3)f ＜5得3＜a ＜5212；当0＜a ≤3时，(3)f =16a a-+，由(3)f ＜5得12＜a ≤3．综上：a 的取值范围是(152+，5212+)．5．(2011新课标文理)设函数()3f x x a x =-+，其中0a >．(Ⅰ)当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；(Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值．【解析】(Ⅰ)当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥，由此可得3x ≥或1x ≤-．故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-．(Ⅱ)由()0f x ≤得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组30x ax a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩，即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或2x aax ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤，因为0a >，∴不等式组的解集为{}|2a x x ≤-，由题设可得2a-=1-，故2a =．考点121含绝对值不等式的恒成立问题6．(2020全国Ⅱ文理22)已知函数()221f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若()4f x ≥，求a 的取值范围．【答案】(1)32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；(2)(][),13,-∞-+∞ ．【思路导引】(1)分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；(2)利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果．【解析】(1)当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭．(2)()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-(当且仅当221a x a -≤≤时取等号)，()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ ．7．(2019全国II 文理23)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--(1)当1a =时，求不等式()0f x <的解集；(2)若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【解析】(1)当a=1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥，∴不等式()0f x <的解集为(,1)-∞．(2)因为()=0f a ，∴1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----∴a 的取值范围是[1,)+∞．8．(2018全国Ⅰ文理)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x 故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，∴21≥a，故02<≤a ．综上，a 的取值范围为(0,2]．9．(2018全国Ⅱ文理)设函数()5|||2|=-+--f x x a x ．(1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集；(2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．【解析】(1)当1=a 时，24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x 可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ．(2)()1≤f x 等价于|||2|4++-≥x a x ．而|||2||2|++-+≥x a x a ，且当2=x 时等号成立．故()1≤f x 等价于|2|4+≥a ．由|2|4+≥a 可得6-≤a 或2≥a ，∴a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞ ．10．(2018全国Ⅲ文理)设函数()|21||1|f x x x =++-．(1)画出()y f x =的图像；(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．【解析】(1)13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x =的图像如图所示．(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b +≤在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．11．(2018江苏)若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．【解析】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++++≥．因为22=6x y z ++，∴2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，∴222x y z ++的最小值为4．12．(2017全国Ⅰ文理)已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而11712x -+<≤，∴()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-<≤．(2)当[1,1]x ∈-时，()2g x =，∴()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，∴(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤，∴a 的取值范围为[1,1]-．13．(2017全国Ⅲ文理)已知函数()|1||2|f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．【解析】(1)3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，当1x <-时，()f x 1≥无解；当x -12≤≤时，由()f x 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤；当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ．∴()f x 1≥的解集为{}x x 1≥．(2)由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤，且当32x =时，2512=4x x x x +---+，故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．14．(2016全国III 文理)已知函数()|2|f x x a a =-+(Ⅰ)当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；(Ⅱ)设函数()|21|g x x =-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当2a =时，()|22|2f x x =-+．解不等式|22|26x -+ ，得13x - ，因此()6f x ≤的解集为{|13}x x - ．(Ⅱ)当x R ∈时，()()|2||12|f xg x x a a x +=-++-|212|x a x a -+-+ |1|a a =-+，当12x =时等号成立，∴当x R ∈时，()()3f x g x + 等价于|1|3a a -+ ．①当1a 时，①等价于13a a -+ ，无解．当1a >时，①等价于13a a -+ ，解得2a ．∴a 的取值范围是[2,)+∞．15．(2015全国I 文理)已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >．(Ⅰ)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(Ⅱ)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当1a =时，不等式()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->，当1x -≤时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<；当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x <≤．∴()1f x >的解集为2{|2}3x x <<．(Ⅱ)有题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩≤≤，∴函数()f x 图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3a A B a C a a -++，ABC ∆的面积为22(1)3a +．有题设得22(1)63a +>，故2a >．∴a 的取值范围为(2,)+∞．16．(2014全国I 文理)若0,0ab >>，且11a b +=．(Ⅰ)求33a b +的最小值；(Ⅱ)是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．【解析】(I)11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==时取等号．故33ab+≥≥，且当a b ==∴33a b +的最小值为(II)由(I)知，23a b +≥．由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=．16．(2013全国I 文理)已知函数()f x =|21||2|x x a -++，()g x =3x +．(Ⅰ)当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；(Ⅱ)设a ＞-1，且当x ∈[2a -，12)时，()f x ≤()g x ，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，∴原不等式解集是{|02}x x <<．(Ⅱ)当x ∈[2a -，12)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x ++≤，∴2x a -≥对x ∈[2a -，12)都成立，故2a -≥2a -，即a ≤43，∴a 的取值范围为(-1，43]．17．(2012新课标文理)已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．(Ⅰ)当|3-=a 时，求不等式()3f x 的解集；(Ⅱ)若()|4|f x x - 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围．【解析】(1)当3a =-时，()3323f x x x ⇔-+- 2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩ 或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩ 或3323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩ 1x ⇔ 或4x ．(2)原命题()4f x x ⇔- 在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-- 在[1,2]上恒成立22x a x ⇔--- 在[1,2]上恒成立30a ⇔- ．考点122不等式的证明18．(2020全国Ⅲ文理23)设,,,0,1a b c a b c abc ∈++==R ．(1)证明：0ab bc ca ++<；(2)用{}max ,,a b c 表示,,a b c 的最大值，证明：{}3max ,,4a b c ≥【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析．【思路导引】(1)根据题设条件,0=++c b a 两边平方，再利用均值不等式证明即可；(2)思路一：不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bc bc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明．思路二：假设出c b a ,,中最大值，根据反证法与基本不等式推出矛盾，即可得出结论．【解析】(1)证明：().0,02=++∴=++c b a c b a ,0222222=+++++∴ca ac ab c b a 即()222222c b a ca bc ab ++-=++.0,0222<++∴<++∴ca bc ab ca bc ab (2)证法一：不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=，当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．证法二：不妨设403<<<≤c b a ，则,4,41133>=-->=c b a c ab而1132a b ->--≥>==矛盾，∴命题得证．19．(2019全国I 文理23)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc=1．证明：(1)222111a b c a b c++≤++；(2)333()()()24a b b c c a +++≥++．【解析】(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++≥++==++，∴222111a b c a b c++≤++．(2)因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c ac 3≥⨯⨯⨯=24．∴333()()()24a b b c c a +++++≥．20．(2019全国III 文理23)设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-．【解析】(1)由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x=53，y=–13，13z =-时等号成立．∴222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．(2)由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦ ，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+- ，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立，因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a + ，解得3a - 或1a - ．21．(2017全国Ⅱ文理)已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)()()554a b a b ++≥；(2)2a b +≤．【解析】(1)556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++()22244ab a b =+-≥．(2)∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++23()2()4a b a b +≤++33()24a b +=+，∴3()8a b +≤，因此2a b +≤．22．(2017江苏)已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +≤．【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +++≤，因为22224,16,a b c d +=+=∴2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤．23．(2016全国II 文理)已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．(I)求M ；(II)证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．【解析】(I)当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．(Ⅱ)当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->，即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++，则()()221ab a b +>+，即1a b ab +<+，证毕．24．(2015全国II 文理)设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：(Ⅰ)若ab >cd ，则a b c d +>+；(Ⅱ)a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件．【解析】(Ⅰ)∵2()2a b a b ab +=++，2()c d c d cd +=++由题设a b c d +=+，ab cd >得22()a b c d >+a b c d +>(Ⅱ)(ⅰ)若||||a b c d -<-，则22()()a b c d -<-，即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，∴ab cd >，由(Ⅰ)得a b c d >(ⅱ)a b c d +>则22(a b c d >+，即a b ab c d cd ++>++因为a b c d +=+，∴ab cd >，于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-．因此||||a b c d -<-．a b c d +>||||a b c d -<-的充要条件．25．(2013全国II 文理)设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明：(Ⅰ)13ab bc ca ++≤；(Ⅱ)2221a b c b c a++≥．【解析】(Ⅰ)2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得222a b c ab bc ca ++≥++，由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=，∴()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤．(Ⅱ)∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥，∴222()2()a b c a b c a b c b c a +++++≥++，即222a b c a b c b c a ++≥++，∴2221a b c b c a ++≥．。

新课标全国卷：2021-2021高考数学理科(解析几何)试题汇编LtD2021-2021新课标全国卷分类汇编〔解析几何〕4、〔2021•新课标Ⅰ卷〕F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C 交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，那么|AB|+|DE|的最小值为〔〕A、16B、14C、12D、105、〔2021•新课标Ⅱ〕假设双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线被圆〔x﹣2〕2+y2=4所截得的弦长为2，那么C的离心率为〔〕A、2B、C、D、2、〔2021•新课标Ⅲ〕双曲线C：﹣=1 〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆+ =1有公共焦点，那么C的方程为〔〕A、﹣=1B、﹣=1C、﹣=1D、﹣=16、〔2021•新课标Ⅲ〕椭圆C：=1〔a＞b＞0〕的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，那么C的离心率为〔〕A、B、C、D、10、〔2021•新课标Ⅰ卷〕双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．假设∠MAN=60°，那么C的离心率为________ ．11、〔2021•新课标Ⅱ〕F 是抛物线C ：y 2=8x 的焦点，M是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．假设M 为FN 的中点，那么|FN|=________．19、〔2021•新课标Ⅰ卷〕椭圆C ： + =1〔a ＞b ＞0〕，四点P 1〔1，1〕，P 2〔0，1〕，P 3〔﹣1， 〕，P 4〔1，〕中恰有三点在椭圆C 上．〔12分〕 (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．假设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．15、〔2021•新课标Ⅱ〕设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ： +y 2=1上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P满足 = ．〔Ⅰ〕求点P 的轨迹方程；〔Ⅱ〕设点Q 在直线x=﹣3上，且 • =1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．20、〔2021•新课标Ⅲ〕抛物线C ：y 2=2x ，过点〔2，0〕的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．〔Ⅰ〕证明：坐标原点O 在圆M 上；〔Ⅱ〕设圆M 过点P 〔4，﹣2〕，求直线l 与圆M 的方程．2021新课标1卷〔5〕方程132222=--+n m y n m x 错误!未指定书签。

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题19不等式选讲1.(2019·全国1·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a +1b+1c≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.2.(2019·全国2·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.3.(2019·全国3·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立,证明:a≤-3或a≥-1.4.(2018·全国1·文T23理T23)[选修4—5:不等式选讲]已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.5.(2018·全国2·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.6.(2018·全国3·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.7.(2017·全国1·理T23文T23)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a 的取值范围. 8.(2017·全国3·理T23文T23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x 2-x+m 的解集非空,求m 的取值范围. 9.(2017·全国2·理T23文T23)已知a>0,b>0,a 3+b 3=2.证明: (1)(a+b)(a 5+b 5)≥4; (2)a+b ≤2.10.(2016·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)在题图中画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|>1的解集.11.(2016·全国3·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x ∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求a 的取值范围.12.(2016·全国2·理T24文T24)已知函数f(x)=|x -12|+|x +12|,M 为不等式f(x)<2的解集. (1)求M;(2)证明:当a,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|.13.(2015·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围. 14.(2015·全国2·理T24文T24)设a,b,c,d 均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若ab>cd,则√a +√b >√c +√d ;(2)√a +√b >√c +√d 是|a-b|<|c-d|的充要条件. 15.(2015·湖南·理T16文T16)设a>0,b>0,且a+b=1a +1b , 证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.16.(2014·全国1·理T24文T24)若a>0,b>0,且1a +1b=√ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.17.(2014·全国2·理T24文T24)设函数f(x)=|x+1a|+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.18.(2014·辽宁·理T24文T24)设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(1)求M;(2)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤14.19.(2013·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x∈[-a2,12)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.20.(2013·全国2·理T24文T24)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ac≤1;(2)a 2b +b2c+c2a≥1.21.(2012·全国·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.22.(2011·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.23.(2010·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|2x-4|+1.(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题19不等式选讲1.(2019·全国1·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a +1b+1c≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.【解析】(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab+bc+caabc =1a+1b+1c.所以1+1+1≤a2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3√(a+b)3(b+c)3(a+c)33=3(a+b)(b+c)(a+c)≥3×(2√ab)×(2√bc)×(2√ac)=24.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.2.(2019·全国2·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0;当x≥1时,f(x)≥0.所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1).(2)因为f(a)=0,所以a≥1.当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0. 所以,a 的取值范围是[1,+∞).3.(2019·全国3·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 设x,y,z ∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立,证明:a≤-3或a≥-1. 【解析】(1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)] ≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2], 故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43, 当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立. 所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43. (2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)] ≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2], 故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥(2+a )23,当且仅当x=4-a 3,y=1-a 3,z=2a -23时等号成立. 因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为(2+a )23.由题设知(2+a )23≥13,解得a≤-3或a≥-1.4.(2018·全国1·文T23理T23)[选修4—5:不等式选讲]已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x ∈(0,1)时不等式f(x)>x 成立,求a 的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|, 即f(x)={-2,x ≤-1,2x ,-1<x <1,2,x ≥1.故不等式f(x)>1的解集为{x |x >12}.(2)当x ∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a ≤0,则当x ∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为0<x<2a ,所以2a ≥1,故0<a≤2. 综上,a 的取值范围为(0,2].5.(2018·全国2·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集; (2)若f(x)≤1,求a 的取值范围. 【解析】(1)当a=1时, f(x)={2x +4,x ≤-1,2,-1<x ≤2,-2x +6,x >2.可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x ≤3}. (2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4. 由|a+2|≥4可得a ≤-6或a ≥2.所以a 的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞). 6.(2018·全国3·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出y=f(x)的图像;(2)当x ∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b 的最小值.【解析】(1)f(x)={-3x ,x <-12,x +2,-12≤x <1,3x ,x ≥1.(2)由(1)知,y=f(x)的图像与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a ≥3且b ≥2时,f(x)≤ax+b 在[0,+∞)成立,因此a+b 的最小值为5.7.(2017·全国1·理T23文T23)已知函数f(x)=-x 2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x 2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.① 当x<-1时,①式化为x 2-3x-4≤0,无解;当-1≤x ≤1时,①式化为x 2-x-2≤0,从而-1≤x ≤1; 当x>1时,①式化为x 2+x-4≤0,从而1<x≤-1+√172. 所以f(x)≥g(x)的解集为{x |-1≤x ≤-1+√172}. (2)当x ∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x ∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[-1,1].8.(2017·全国3·理T23文T23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x 2-x+m 的解集非空,求m 的取值范围. 【解析】(1)f(x)={-3,x <-1,2x -1,-1≤x ≤2,3,x >2.当x<-1时,f(x)≥1无解;当-1≤x ≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x ≤2;当x>2时,由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x ≥1}. (2)由f(x)≥x 2-x+m 得m ≤|x+1|-|x-2|-x 2+x. 而|x+1|-|x-2|-x 2+x ≤|x|+1+|x|-2-x 2+|x| =-(|x |-3)2+5≤5,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x 2+x=54.故m 的取值范围为(-∞,54]. 9.(2017·全国2·理T23文T23)已知a>0,b>0,a 3+b 3=2.证明: (1)(a+b)(a 5+b 5)≥4;(2)a+b ≤2.【解析】(1)(a+b)(a 5+b 5)=a 6+ab 5+a 5b+b 6=(a 3+b 3)2-2a 3b 3+ab(a 4+b 4) =4+ab(a 2-b 2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3=2+3ab(a+b)≤2+3(a+b )2(a+b)=2+3(a+b )34,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.10.(2016·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)在题图中画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|>1的解集.【解析】(1)f(x)={x -4,x ≤-1,3x -2,-1<x ≤32,-x +4,x >32,y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时, 可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5, 故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}; f(x)<-1的解集为{x |x <13或x >5}. 所以|f(x)|>1的解集为 {x |x <1或1<x <3或x >5}.11.(2016·全国3·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x ∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求a 的取值范围. 【解析】(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x ≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x| ≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=12时等号成立,所以当x ∈R 时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a ≥3.① (分类讨论)当a ≤1时,①等价于1-a+a ≥3,无解. 当a>1时,①等价于a-1+a ≥3,解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2,+∞).12.(2016·全国2·理T24文T24)已知函数f(x)=|x -12|+|x +12|,M 为不等式f(x)<2的解集. (1)求M;(2)证明:当a,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|. 【解析】(1)f(x)={-2x ,x ≤-12,1,-1<x <1,2x ,x ≥12.当x≤-1时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1; 当-12<x<12时,f(x)<2;当x≥12时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1. 所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}. (2)由(1)知,当a,b ∈M 时,-1<a<1,-1<b<1, 从而(a+b)2-(1+ab)2=a 2+b 2-a 2b 2-1 =(a 2-1)(1-b 2)<0. 因此|a+b|<|1+ab|.13.(2015·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当x ≤-1时,不等式化为x-4>0,无解; 当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得23<x<1; 当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2. 所以f(x)>1的解集为{x |23<x <2}. (2)由题设可得f(x)={x -1-2a ,x <-1,3x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x >a .所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A (2a -13,0),B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC 的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a 的取值范围为(2,+∞). 14.(2015·全国2·理T24文T24)设a,b,c,d 均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若ab>cd,则√a +√b >√c +√d ;(2)√a +√b >√c +√d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.【解析】证明(1)因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ,(√c +√d )2=c+d+2√cd , 由题设a+b=c+d,ab>cd 得(√a +√b )2>(√c +√d )2. 因此√a +√b >√c +√d .(2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得√a +√b >√c +√d . ②若√a +√b >√c +√d ,则(√a +√b )2>(√c +√d )2, 即a+b+2√ab >c+d+2√cd . 因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2. 因此|a-b|<|c-d|.综上,√a +√b >√c +√d 是|a-b|<|c-d|的充要条件. 15.(2015·湖南·理T16文T16)设a>0,b>0,且a+b=1a +1b , 证明: (1)a+b ≥2;(2)a 2+a<2与b 2+b<2不可能同时成立.【解析】证明由a+b=1a +1b =a+b ab ,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2√ab =2,即a+b ≥2.(2)假设a 2+a<2与b 2+b<2同时成立,则由a 2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a 2+a<2与b 2+b<2不可能同时成立.16.(2014·全国1·理T24文T24)若a>0,b>0,且1a +1b =√ab .(1)求a 3+b 3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.【解析】(1)由√ab =1a +1b ≥√ab ,得ab≥2,且当a=b=√2时等号成立.故a 3+b 3≥2√a 3b 3≥4√2,且当a=b=√2时等号成立.所以a 3+b 3的最小值为4√2.(2)由(1)知,2a+3b≥2√6√ab ≥4√3. 由于4√3>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.17.(2014·全国2·理T24文T24)设函数f(x)=|x +1a |+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a 的取值范围.【解析】(1)证明由a>0,有f(x)=|x +1|+|x-a|≥|x +1-(x -a )|=1+a≥2.所以f(x)≥2.(2)解f(3)=|3+1a |+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+1a ,由f(3)<5,得3<a<5+√21.当0<a≤3时,f(3)=6-a+1a ,由f(3)<5,得1+√52<a≤3.综上,a 的取值范围是(1+√52,5+√212). 18.(2014·辽宁·理T24文T24)设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x 2-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(1)求M;(2)当x ∈M ∩N 时,证明:x 2f(x)+x[f(x)]2≤14.【解析】(1)解f(x)={3x -3,x ∈[1,+∞),1-x ,x ∈(-∞,1),当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤43,故1≤x≤43;当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.所以f(x)≤1的解集为M={x |0≤x ≤43}.(2)证明由g(x)=16x 2-8x+1≤4,得16(x -14)2≤4,解得-1≤x≤3.因此N={x |-14≤x ≤34}.故M ∩N={x |0≤x ≤34}.当x ∈M ∩N 时,f(x)=1-x,于是x 2f(x)+x ·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=x ·f(x)=x(1-x)=14−(x -12)2≤14.19.(2013·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x ∈[-a 2,12)时,f(x)≤g(x),求a 的取值范围.【解析】(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y={-5x ,x <12,-x -2,12≤x ≤1,3x -6,x >1.其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x ∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x ∈[-a 2,12)时,f(x)=1+a,不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a -2对x ∈[-a 2,12)都成立.故-a 2≥a -2,即a≤43.从而a 的取值范围是(-1,43].20.(2013·全国2·理T24文T24)设a,b,c 均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ac≤1;(2)a 2b +b 2c +c 2a ≥1.【解析】证明(1)由a 2+b 2≥2ab,b 2+c 2≥2bc,c 2+a 2≥2ca,得a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.(2)因为a 2b +b≥2a,b2c +c≥2b,c 2a +a≥2c,故a 2b +b 2c +c 2a +(a+b+c)≥2(a+b+c),即a 2b +b2c +c 2a ≥a+b+c .所以a 2b +b2c +c 2a ≥1.21.(2012·全国·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a 的取值范围.【解析】(1)当a=-3时,f(x)={-2x +5,x ≤2,1,2<x <3,2x -5,x ≥3.当x ≤2时,由f(x)≥3,得-2x+5≥3,解得x ≤1;当2<x<3时,f(x)≥3无解;当x ≥3时,由f(x)≥3,得2x-5≥3,解得x ≥4;所以f(x)≥3的解集为{x|x ≤1}∪{x|x ≥4}.(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x ∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a ≤x ≤2-a. 由条件得-2-a ≤1且2-a ≥2,即-3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[-3,0].22.(2011·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x ≤-1},求a 的值.【解析】(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤-1.故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x ≥3或x ≤-1}.(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x ≤0.此不等式化为不等式组{x ≥a ,x -a +3x ≤0或{x ≤a ,a -x +3x ≤0,即{x ≥a ,x ≤a 4或{x ≤a ,x ≤-a 2.因为a>0,所以不等式组的解集为{x |x ≤-a 2}.由题设可得-a 2=-1,故a=2.23.(2010·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|2x-4|+1.(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式f(x)≤ax 的解集非空,求a 的取值范围.【解析】(1)由于f(x)={-2x +5,x <2,2x -3,x ≥2,则函数y=f(x)的图象如图所示.(2)(图象应用)由函数y=f(x)与函数y=ax 的图象可知,当且仅当a≥12或a<-2时,函数y=f(x)与函数y=ax 的图象有交点.故不等式f(x)≤ax 的解集非空时,a 的取值范围为(-∞,-2)∪[12,+∞).。