2016-2017年河北省衡水市冀州中学高二(上)期中数学试卷及参考答案(文科)(b卷)

2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高二（下）期中数学试卷（文科）（A卷）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）如图，在复平面内，点M表示复数z，则z的共轭复数对应的点是（）A．M B．N C．P D．Q2．（5分）设f：x→log2x是集合A到对应的集合B的映射，若A={1，2，4}，则A∩B等于（）A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，4} 3．（5分）已知x、y的值如图所示，如果y与x呈现线性相关且回归直线方程为y=bx+，则b=（）A．B．C．D．4．（5分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0 5．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入a=，则输出的k值是（）A．9B．10C．11D．126．（5分）已知A为三角形的内角，则sinA＞是cosA＜的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知向量，若，则实数λ=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣28．（5分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，a2+a10=4，则S11的值为（）A．12B．18C．22D．449．（5分）为得到函数y=sin（π﹣2x）的图象，可以将函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位10．（5分）实数x，y满足不等式组为常数），且x+3y的最大值为12，则实数k=（）A．9B．﹣9C．﹣12D．1211．（5分）若实数a＞1，则函数f（x）=log a（x2﹣5x+6）的单调减区间为（）A．（，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，2）12．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=90°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N ，则的最大值为（）A ．B ．C．1D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为．14．（5分）函数f（x）=x3+2xf′（1），则函数f（1）=．15．（5分）如果一个圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积是．16．（5分）已知P1（x1，x2），P2（x2，y2）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，∠P1OP2=θ（θ为钝角）．若sin （）=，则的x1x2+y1y2值为．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．18．（12分）为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表：（Ⅰ）完成如图月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）；（Ⅱ）试由图估计该单位员工月平均工资；（Ⅲ）若从月工资在[25，35）和[45，55）两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差不超过1000元的概率．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°．已知PB=PD=2，PA=．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC（Ⅱ）若E为PA的中点，求三菱锥P﹣BCE的体积．20．（12分）已知点P（﹣1，）是椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．（1）求椭圆E的方程；（2）设A、B是椭圆E上两个动点，+=λ（0＜λ＜4，λ≠2）．求证：直线AB的斜率为定值．21．（12分）已知f（x）=e x﹣x，g（x）=asinx+b，g（x）在（，g（））处的切线方程为6x﹣12y+18﹣π=0（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）求g（x）的解析式；（Ⅲ）当x≥0时，g（x）≤me x恒成立，求m的取值范围．【选考题】请考生在第22、23、24题中任选一道作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC 于点E，AB=2AC．（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=1，EC=2时，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（2，3），倾斜角为．（1）写出直线l的参数方程和圆的标准方程；（2）设直线l与圆相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．选修4﹣5：不等式选讲设f（x）=|x+1|+|x﹣3|．（1）解不等式f（x）≤3x+4；（2）若不等式f（x）≥m的解集为R，求实数m的取值范围．2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高二（下）期中数学试卷（文科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）如图，在复平面内，点M表示复数z，则z的共轭复数对应的点是（）A．M B．N C．P D．Q【解答】解：由题意可得z=a+bi，由于对应的点M在第二象限，故可得a＜0，b＞0，故z的共轭复数=a﹣bi，故a＜0，﹣b＜0，即对应的点在第三象限，且与M关于x轴对称，由图可知N符合要求，故选：B．2．（5分）设f：x→log2x是集合A到对应的集合B的映射，若A={1，2，4}，则A∩B等于（）A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，4}【解答】解：∵f：x→log2x是集合A到对应的集合B的映射，且A={1，2，4}，∴B={0，1，2}，则A∩B={1，2}．故选：C．3．（5分）已知x、y的值如图所示，如果y与x呈现线性相关且回归直线方程为y=bx+，则b=（）A．B．C．D．【解答】解：根据所给的三对数据，得到=3，=5，∴这组数据的样本中心点是（3，5）∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，∴5=3b+，∴b=，故选：B．4．（5分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选：D．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入a=，则输出的k值是（）A．9B．10C．11D．12【解答】解：由程序框图知第一次运行s=0+，k=2；第二次运行s=0++，k=3；…∴第n次运行s=0+++…+=×（1﹣+﹣+…+﹣）=×（1﹣）=，当输入a=时，由n＞a得n＞9，程序运行了10次，输出的k值为11．故选：C．6．（5分）已知A为三角形的内角，则sinA＞是cosA＜的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由于A为三角形的内角，则0＜A＜π，∵，∴＜A＜，∵，∴＜A＜π由于{A|＜A＜}{A|＜A＜π}，则的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）已知向量，若，则实数λ=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：∵，∴．∴=λ（λ+2）+1=0，解得λ=﹣1．故选：B．8．（5分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，a2+a10=4，则S11的值为（）A．12B．18C．22D．44【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，a2+a10=4，∴S11===22，故选：C．9．（5分）为得到函数y=sin（π﹣2x）的图象，可以将函数y=sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：∵函数y=sin（π﹣2x）=sin2x，将函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x ﹣）]的图象向左平移个单位，可得函数y=sin[2（x+﹣）]=sin2x 的图象，故选：B．10．（5分）实数x，y满足不等式组为常数），且x+3y的最大值为12，则实数k=（）A．9B．﹣9C．﹣12D．12【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：设z=x+3y，则z的最大值为12，即x+3y=12，且y=，则直线y=的截距最大时，z也取得最大值，则不等式组对应的平面区域在直线y=的下方，由，解得，即A（3，3），此时A也在直线2x+y+k=0上，即6+3+k=0，解得k=﹣9，故选：B．11．（5分）若实数a＞1，则函数f（x）=log a（x2﹣5x+6）的单调减区间为（）A．（，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，2）【解答】解：函数f（x）=log a（x2﹣5x+6）的定义域为{x|x＞3，或x＜2}∵t=x2﹣5x+6在（﹣∞，2）上单调递减，在（3，+∞）单调递增实数a＞1，y=log a t在（0，+∞）单调递增由复合函数的单调性可知，函数f（x）在（﹣∞，2）单调递减故选：D．12．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=90°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．C．1D．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由勾股定理得，|AB|2=a2+b2配方得，|AB|2=（a+b）2﹣2ab，又ab≤，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2，得到|AB|≥（a+b）．∴≤=，即的最大值为．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为或．【解答】解：由题意可得，当焦点在x轴上时，=，∴===．当焦点在y轴上时，=，∴===，故答案为：或．14．（5分）函数f（x）=x3+2xf′（1），则函数f（1）=﹣5．【解答】解：f（x）=x3+2xf′（1），求导可知：f′（x）=3x2+2f′（1），f′（1）=3+2f′（1），f′（1）=﹣3，∴f（x）=x3﹣6x，f（1）=1﹣6=﹣5，故答案为：﹣5．15．（5分）如果一个圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积是3π．【解答】解：由已知，圆锥的底面直径为2，母线为2，则这个圆锥的表面积是×2π×2+π•12=3π．故答案：3π．16．（5分）已知P1（x1，x2），P2（x2，y2）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，∠P1OP2=θ（θ为钝角）．若sin（）=，则的x1x2+y1y2值为﹣．【解答】解：由题意可得＜θ＜π，sin（）=＞0，∴还是钝角，∴cos（）=﹣，∴，∴cosθ=﹣．∴•=x1•x2+y1•y2=||•||cosθ=1×1×（﹣）=﹣，故答案为：﹣．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值．【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B．再由正弦定理可得ab+bc=2b2，即a+c=2b，故a，b，c成等差数列．（2）若C=，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得（2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC=a2+b2+ab．化简可得5ab=3b2，∴=．18．（12分）为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表：（Ⅰ）完成如图月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）；（Ⅱ）试由图估计该单位员工月平均工资；（Ⅲ）若从月工资在[25，35）和[45，55）两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差不超过1000元的概率．【解答】解：（Ⅰ）如图（Ⅱ）20×0.1+30×0.2+40×0.3+50×0.2+60×0.1+70×0.1=43（百元）即该单位员工月平均工资估计为4300元．（Ⅲ）由上表可知：月工资在[25，35）组的有两名女工，分别记作甲和乙；月工资在[45，55）组的有四名女工，分别记作A，B，C，D．现在从这6人中随机选取2人的基本事件有如下15组：（甲，乙），（甲，A），（甲，B），（甲，C），（甲，D），（乙，A），（乙，B），（乙，C），（乙，D），（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）其中月工资差不超过1000元，即为同一组的有（甲，乙），（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共7组，∴所求概率为．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°．已知PB=PD=2，PA=．（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC（Ⅱ）若E为PA的中点，求三菱锥P﹣BCE的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD，AC交于O点，∵PB=PD，∴PO⊥BD，又ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，AC∩PO=O，∴BD⊥平面PAC．（Ⅱ）则AC=2，∵△ABD和△PBD的三边长均为2，∴△ABD≌△PBD，∴AO=PO=，∴AO2+PO2=PA2，∴AC⊥PO，S△PAC=•AC•PO=3，V P﹣BCE=V B﹣PEC=V B﹣PAC=••S△PAC•BO=××3×1=．20．（12分）已知点P（﹣1，）是椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．（1）求椭圆E的方程；（2）设A、B是椭圆E上两个动点，+=λ（0＜λ＜4，λ≠2）．求证：直线AB的斜率为定值．【解答】（1）∵PF1⊥x轴，∴F1（﹣1，0），c=1，F2（1，0），∴|PF2|==，|PF1|==，∴2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，∴b2=3，∴椭圆E的方程为：=1．（2）证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），由+=λ，得（x1+1，y1﹣）+（x2+1，y2﹣）=λ（1，﹣），所以x1+x2=λ﹣2，y1+y2=（2﹣λ），又3+4=12，3+4=12，两式相减得3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，①式代入得AB的斜率k==．∴直线AB的斜率为定值．21．（12分）已知f（x）=e x﹣x，g（x）=asinx+b，g（x）在（，g（））处的切线方程为6x﹣12y+18﹣π=0（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）求g（x）的解析式；（Ⅲ）当x≥0时，g（x）≤me x恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）令f′（x）=e x﹣1=0，得x=0，（1分）∴当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f′（x）＜0．∴f（x）的增区间为（﹣∞，0），减区间为（0，+∞），=f（0）=1．（3分）∴f（x）极小值（Ⅱ）g′（x）=acosx，g′（）=，解得a=1．又g（）=，∴6﹣12（）+18﹣=0，∴b=1，∴g（x）=sinx+1．（6分）（Ⅲ）当x≥0时，sinx+1≤me x，令h（x）=sinx+1﹣me x，当m＜1时，h（0）=1﹣m＞0矛盾，（8分）首先证明sinx≤x在[0，+∞）恒成立．令r（x）=sinx﹣x，r′（x）=cosx﹣1≤0，故r（x）为[0，+∞）上的减函数，r（x）≤r（0）=0，故sinx≤x，（10分）由（Ⅰ）知e x≥x+1，故当m≥1时，h（x）=sinx+1﹣me x≤e x﹣me x=e x﹣me x=（1﹣m）e x≤0，综上m≥1．（12分）【选考题】请考生在第22、23、24题中任选一道作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC 于点E，AB=2AC．（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=1，EC=2时，求AD的长．【解答】证明：（Ⅰ）连接DE，由于四边形DECA是圆的内接四边形，所以：∠BDE=∠BCA∠B是公共角，则：△BDE∽△BCA．则：，又：AB=2AC所以：BE=2DE，CD是∠ACB的平分线，所以：AD=DE，则：BE=2AD．（Ⅱ）由于AC=1，所以：AB=2AC=2．利用割线定理得：BD•AB=BE•BC，由于：BE=2AD，设AD=t，则：2（2﹣t）=（2+2t）•2t解得：t=，即AD的长为．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（2，3），倾斜角为．（1）写出直线l的参数方程和圆的标准方程；（2）设直线l与圆相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（1）由圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ化为x2+y2=16．（2）由直线l经过定点P（2，3），倾斜角为．直线上的点可以表示为（2+t×cos，3+t×sin），t为该点到P的距离；可得②把②代入①得，③设t1，t2是方程③的两个实根，则t1t2=﹣3∴|PA|•|PB|=|t1||t2|=|t1t2|=3[选修4-5：不等式选讲]24．选修4﹣5：不等式选讲设f（x）=|x+1|+|x﹣3|．（1）解不等式f（x）≤3x+4；（2）若不等式f（x）≥m的解集为R，求实数m的取值范围．【解答】选修4﹣5：不等式选讲解：（1）因为f（x）=|x+1|+|x﹣3|．所以，所以原不等式f（x）≤3x+4；等价于①或②或③，解得①无解，②0≤x≤3，③x＞3，因此不等式的解集为：{x|x≥0}．（2）由于不等式f（x）≥m的解集为R，所以f（x）min≥m，又f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥|x+1+3﹣x|=4，即f（x）min=4，所以m≤4，即m的取值范围为（﹣∞，4]．。

2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共13个小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=|a﹣1|，a∈A}，则A∪B中的元素的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．82．若函数y=f（x）的定义域是，则函数g（x）=的定义域是（）A． B．0，1）∪（1，40，20，10，1） C． D．（0，1）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．【解答】解：因为f（x）的定义域为，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈hslx3y3h0，1），故选B．【点评】本题考查求复合函数的定义域问题．3．（2015•合肥校级模拟）已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（）A．有最大值e B．有最大值C．有最小值e D．有最小值【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】先利用等比数列等比中项可知•lny=可得lnx•lny=，再根据lnxy=lnx+lny≥2可得lnxy的范围，进而求得xy的范围．【解答】解：依题意•lny=∴lnx•lny=∴lnxy=lnx+lny≥2=1xy≥e故选C【点评】本题主要考查了等比中项的性质．即若a，b，c成等比数列，则有b2=ac．4．（2016秋•冀州市校级期中）某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：D．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（2016•贵阳二模）如图，给出的是计算1+++…++的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜101？B．i＞101？C．i≤101？D．i≥101？【考点】程序框图．【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1次循环：S=0+1，i=1，第2次循环：S=1+，i=3，第3次循环：S=1++，i=5，…依此类推，第51次循环：S=1+++…+，i=101，退出循环其中判断框内应填入的条件是：i≤101，故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的应用问题，解题时应准确理解流程图的含义，是基础题目．6．（2014•江西一模）某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x（℃）17 13 8 2月销售量y（件）24 33 40 55由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b=﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．A．46 B．40 C．38 D．58【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【解答】解：由表格得（，）为：（10，38），又（，）在回归方程=bx+a中的b=﹣2，∴38=10×（﹣2）+a，解得：a=58，∴=﹣2x+58，当x=6时，=﹣2×6+58=46．故选：A．【点评】本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，属于中档题．7．（2016秋•冀州市校级期中）已知向量，满足||=1，=（1，﹣），且⊥（+），则与的夹角为（）A．60°B．90°C．120°D．150°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】设与的夹角为θ，0°＜θ＜180°，由垂直可得数量积为0，可得cosθ，可得夹角．【解答】解：设与的夹角为θ，0°＜θ＜180°∵=（1，﹣），∴||=2，又⊥（+），∴•（+）=0，∴=0，∴12+1×2×cosθ=0，解得cosθ=，∴θ=120°故选：C【点评】本题考查向量的夹角公式，涉及数量积的运算，属基础题．8．（2016秋•冀州市校级期中）下列有关命题：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆否命题为假命题；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充要条件．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；定义法；简易逻辑．【分析】判断原命题的真假，根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断①；写出原命题的否定，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③【解答】解：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”在m=0时不成立，故为假命题，故它的逆否命题为假命题；即①正确；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ，正确；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充分不必要条件，即③错误．故选：A．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题命题，空间线面关系，充要条件，特称命题的否定等知识点，难度中档．9．（2016秋•冀州市校级期中）已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A．4πB．3πC．2πD．π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；简单空间图形的三视图；球内接多面体．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】由已知可得，该几何体为三棱锥，其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，进而得到答案．【解答】解：由已知可得，该几何体为三棱锥，其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，故球半径R满足2R=，故球的表面积S=4πR2=3π，故选：B．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的体积和表面积，由三视图判断几何体的形状，难度不大，属于基础题．10．（2013•浙江二模）“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】当时，由诱导公式化简可得图象充分；而当图象重合时可得，k∈Z，由充要条件的定义可得．【解答】解：当时，可得函数g（x）=sin（x+）=cosx，故图象重合；当“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”时，可取，k∈Z即可，故“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的充分不必要条件．故选A【点评】本题考查充要条件的判断，涉及三角函数的性质，属基础题．11．（2016秋•冀州市校级期中）已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时，都有a i+b j=a k+b l，则的值是（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015【考点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由已知可得，==a1+b2013，要求原式的值，转化为求解b2013，根据已知可先去b2，b3，b4，据此规律可求【解答】解：∵i+j=k+l时，都有a i+b j=a k+b l，则==×2013=a1+b2013∵a1=1，a2=2，b1=2，∴a1+b2=a2+b1∴b2=3同理可得，b3=a2+b2﹣a1=4b4=a2+b3﹣a1=5…∴b2013=2014=a1+b2013=2015即=2015故选D【点评】本题主要考查了数列的求和，解题的关键是发现试题中数列的项的规律12．（2016•衡水模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1=，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，=，∴S△ABC∴V=××=，故选：A．【点评】本题考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离是关键．13．（2015•日照一模）已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．4【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z=2×1+1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=．故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）14．（2016•通州区一模）（x2+）6的展开式中x3的系数是20．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数．=•x12﹣3r，【解答】解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1令12﹣3r=3，解得r=3，故展开式中x3的系数是=20，故答案为：20．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．15．（2011•江苏校级模拟）若由不等式组，（n＞0）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m=．【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题主要考查不等式组确定的平面区域与三角形中的相关知识，三角形的外接圆的圆心在x轴上，说明构成的平面区域始终为直角三角形．【解答】解：由题意，三角形的外接圆的圆心在x轴上所以构成的三角形为直角三角形所以直线x=my+n与直线x﹣相互垂直，所以，解得，所以，答案为．【点评】这是不等式与平面几何相结合的问题，属于中档题16．（2013•自贡模拟）某城市新修建的一条路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能相邻的两盏灯，则熄灭灯的方法有56种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】应用题；排列组合．【分析】根据题意，先将亮的9盏灯排成一排，分析可得有8个符合条件的空位，用插空法，再将插入熄灭的3盏灯插入8个空位，用组合公式分析可得答案．【解答】解：本题使用插空法，先将亮的9盏灯排成一排，由题意，两端的灯不能熄灭，则有8个符合条件的空位，进而在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，有C83=56种方法，故答案为56．【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．17．（2016秋•冀州市校级期中）设x、y均为正实数，且，以点（x，y）为圆心，R=xy 为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=256．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】由已知的关于x与y的等式，用y表示出x，将表示出的x代入xy中，设z=y﹣1，用z表示出y，代入表示出的xy中，整理后利用基本不等式得到xy的最小值，以及此时z的值，进而确定出此时x与y的值，确定出所求圆的圆心与半径，写出所求圆的标准方程即可．【解答】解：∵+=1，∴x=，令z=y﹣1，则y=z+1，∴xy====z++10≥6+10=16，当且仅当z=，即z=3时取等号，此时y=4，x=4，半径xy=16，则此时所求圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=256．故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2=256【点评】此题考查了圆的标准方程，以及基本不等式的运用，利用了换元的数学思想，求出圆心坐标与半径是解本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（10分）（2016秋•冀州市校级期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且．（1）求角B的大小；（2）若b=2，△ABC的面积为，求a+c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用．【分析】（1）由已知利用平面向量共线的性质可得，由正弦定理，同角三角函数基本关系式，结合sinA＞0，化简可得，结合B的范围可求B的值．（2）由已知及三角形面积公式可解得ac=4，进而利用余弦定理整理可求a+c的值．【解答】解：（1）∵，∴，∴由正弦定理，得，∵sinA＞0，∴，即，∵0＜B＜π，∴．（2）∵由三角形面积公式，得，∴解得ac=4，∵由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，可得：4=a2+c2﹣2ac×=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣12，∴a+c=4．【点评】本题主要考查了平面向量共线的性质，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（12分）（2010•全国卷Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由b n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：∴a n=2n﹣1（6分）（2）∴b n的前n项和T n=（12分）【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质20．（12分）（2015•衡阳校级模拟）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；（Ⅱ）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）欲证A1O∥平面AB1C，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1O与平面AB1C 内一直线平行，连接CO、A1O、AC、AB1，利用平行四边形可证A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C，满足定理所需条件；（Ⅱ）根据面面垂直的性质可知D1O⊥底面ABCD，以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，求出平面C1CDD1的一个法向量，以及平面AC1D1的一个法向量，然后求出两个法向量夹角的余弦值即可求出锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图（1），连接CO、A1O、AC、AB1，（1分）则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，所以，四边形A1B1CO为平行四边形，（3分）所以A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C所以A1O∥平面AB1C（6分）（Ⅱ）因为D1A=D1D，O为AD中点，所以D1O⊥AD又侧面A1ADD1⊥底面ABCD，所以D1O⊥底面ABCD，（7分）以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图（2）所示的坐标系，则C （1，0，0），D（0，1，0），D1（0，0，1），A（0，﹣1，0）．（8分）所以，（9分）设为平面C1CDD1的一个法向量，由，得，令z=1，则y=1，x=1，∴．（10分）又设为平面AC1D1的一个法向量，由，得，令z1=1，则y1=﹣1，x1=﹣1，∴，（11分）则，故所求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值为（12分）【点评】本题主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量的方法求解二面角等有关知识，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于中档题．21．（12分）（2016秋•冀州市校级期中）10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现以下结果：（1）4只鞋子没有成双的；（2）4只恰好成两双；（3）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；排列组合．【分析】（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得，（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，问题得以解决（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得．【解答】解：（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得：C104×2×2×2×2=3360，（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，故有C102=45，（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得：C101×C92×2×2=1440．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是审清题意，本题考查了推理判断的能力及计数的技巧．22．（12分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【考点】圆的切线方程；点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．【解答】解：（1）联立得：，解得：，∴圆心C（3，2）．若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，解得：k=0或k=﹣，则所求切线为y=3或y=﹣x+3；（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．23．（12分）（2013•宁波模拟）休假次数0 1 2 3人数 5 10 20 15某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如表所示：根据上表信息解答以下问题：（1）从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；函数的零点；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题．【分析】（1）由题意有函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点，进行等价转化为不等式组解出，在有互斥事件有一个发生的概率公式求解即可；（2）由题意利用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，利用随机变量的定义及随机变量分布列的定义列出随机变量ξ的分布列，在利用随机变量期望的定义求出其期望．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣ηx﹣1过（0，﹣1）点，在区间（4，6）上有且只有一个零点，则必有，解得：η＜，所以，η=4或η=5当η=4时，，当η=5时，，又η=4与η=5 为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式，所以；（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，于是=，，，从而ξ的分布列：ξ0 1 2 3Pξ的数学期望：．【点评】此题考查了学生对于题意的理解能力及计算能力，还考查了互斥事件一个发生的概率公式及离散型随机变量的定义及其分布列和期望的定义与计算．24．（12分）（2016秋•冀州市校级期中）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B 的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．【专题】空间角；空间向量及应用．【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得出；（2）先求出两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得，B（0，0，0），，，，．（1）易得于是===．∴异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（2）易知．设平面AA1C1的法向量，则，即，不妨令，则z=，可得．同样可设面A1B1C1的法向量，得．于是===，∴．∴二面角A﹣A1C﹣B1的正弦值为．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系并利用异面直线的方向向量的夹角求异面直线所成的角、两个平面的法向量的夹角求二面角的方法是解题的关键．。

2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y2=8x的焦点坐标（）A．（0，2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，4）2．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则￢p为（）A．∀x＞0，总有2x≤1 B．∀x≤0，总有2x≤1C．D．3．（5分）点A（a，1）在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是（）A．B．C．（﹣2，2）D．（﹣1，1）4．（5分）若双曲线﹣=1（b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（）A．2 B．1 C．D．5．（5分）若椭圆+=1的离心率为，则m=（）A．B．4 C．或4 D．6．（5分）已知平面α的一个法向量=（2，1，2），点A（﹣2，3，0）在α内，则P（1，1，4）到α的距离为（）A．10 B．4 C．D．7．（5分）空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）8．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6 C．12 D．79．（5分）双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线与抛物线y2=4x交于O，A，B三点，O 为坐标原点，则|AB|等于（）A．4 B．6 C．8 D．1610．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．（5分）正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．有以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直平面CB1D1；③AH=；④点H到平面A1B1C1D1的距离为．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足，则a+b取值范围为（）A．（0，2]B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知=（1，﹣3，1），=（﹣1，1，﹣3），则|﹣|=．14．（5分）抛物线y=4x2的准线方程为．15．（5分）已知两定点M（﹣2，0），N（2，0），若直线kx﹣y=0上存在点P，使得|PM|﹣|PN|=2，则实数k的取值范围是．16．（5分）如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题p：空间两向量=（1，﹣1，m）与=（1，2，m）的夹角不大于；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）已知抛物线y2=4x和点M（6，0），O为坐标原点，直线l过点M，且与抛物线交于A，B两点．（1）求•；（2）若△OAB的面积等于12，求直线l的方程．19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别是面对角线A1B 与B 1D1的中点，设=，=，=．（1）以{，，}为基底，表示向量；（2）求证：MN∥平面BCC1B1；（3）求直线MN与平面A1BD所成角的正弦值．20．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP=1，AD=2，E为线段PD上一点，记=λ．当λ=时，二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为．（1）求AB的长；（2）当时，求异面直线BP与直线CE所成角的余弦值．22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，m）、Q（2，﹣m）（m＞0）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y2=8x的焦点坐标（）A．（0，2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，4）【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点在x轴上，且p=4，∴=2，∴抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0）故选：B．2．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则￢p为（）A．∀x＞0，总有2x≤1 B．∀x≤0，总有2x≤1C．D．【解答】解：命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则¬p：∃，故选：D．3．（5分）点A（a，1）在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是（）A．B．C．（﹣2，2）D．（﹣1，1）【解答】解：点A（a，1）在椭圆的内部，即为+＜1，即有a2＜2，解得﹣＜a＜，故选：A．4．（5分）若双曲线﹣=1（b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于=b，∵双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，∴b=，∴b==，∴b=1，∴该双曲线的虚轴长是2．故选：A．5．（5分）若椭圆+=1的离心率为，则m=（）A．B．4 C．或4 D．【解答】解：当焦点在x轴上时，a2=3，b2=m，c2=3﹣m，由，得，即，解得m=；当焦点在x轴上时，a2=m，b2=3，c2=m﹣3，由，得，即，解得m=4．∴m=或4．故选：C．6．（5分）已知平面α的一个法向量=（2，1，2），点A（﹣2，3，0）在α内，则P（1，1，4）到α的距离为（）A．10 B．4 C．D．【解答】解：=（3，﹣2，4），则P（1，1，4）到α的距离d===4，故选：B．7．（5分）空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）【解答】解：∵点E，F分别为线段BC，AD的中点，∴=，，=．∴=﹣==[（3，﹣5，﹣2）+（﹣7，﹣1，﹣4）]==（﹣2，﹣3，﹣3）．故选：B．8．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6 C．12 D．7【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x ﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故选：C．9．（5分）双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线与抛物线y2=4x交于O，A，B三点，O 为坐标原点，则|AB|等于（）A．4 B．6 C．8 D．16【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线方程为y=±x，代入抛物线的方程y2=4x，可得A（4，4），B（4，﹣4），可得|AB|=8．故选：C．10．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．11．（5分）正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．有以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直平面CB1D1；③AH=；④点H到平面A1B1C1D1的距离为．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵正方体AC1的棱长为1，AH⊥平面A1BD，∴①点H是△A1BD的垂心，正确；②AH垂直平面CB1D1，正确；③AH=AC1=，正确；④点H到平面A1B1C1D1的距离为，错误．故选：C．12．（5分）设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足，则a+b取值范围为（）A．（0，2]B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），当x，y≥0时，化为ax+by=1；当x≥0，y≤0时，化为ax﹣by=1；当x≤0，y≥0时，化为﹣ax+by=1；当x≤0，y≤0时，化为﹣ax﹣by=1．画出图象：表示菱形ABCD．由，即+．设M（﹣1，0），N（1，0），则2|PM|≤2，|BD|≤2，∴，，解得b≥1，，∴a+b≥1+1=2．∴a+b取值范围为[2，+∞）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知=（1，﹣3，1），=（﹣1，1，﹣3），则|﹣|=6．【解答】解：∵=（1，﹣3，1），=（﹣1，1，﹣3），∴﹣=（2，﹣4，4），∴|﹣|==6．故答案为：6．14．（5分）抛物线y=4x2的准线方程为．【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=﹣故答案为：．15．（5分）已知两定点M（﹣2，0），N（2，0），若直线kx﹣y=0上存在点P，使得|PM|﹣|PN|=2，则实数k的取值范围是（﹣，）．【解答】解：由题意可得|MN|=4，|PM|﹣|PN|=2＜|MN|，由双曲线的定义可得P的轨迹为以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，由a=1，c=2，可得b2=c2﹣a2=3，可得方程为x2﹣=1（x＞0），由y=kx代入双曲线的方程，可得：（3﹣k2）x2=3，由题意可得3﹣k2＞0，解得﹣＜k＜．故答案为：（﹣，）．16．（5分）如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为．【解答】解：如图所示，过点E作EH⊥AB，垂足为H．∵E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为4，∴OH=EH=2．∴OE=2．在平面CED内建立直角坐标系如图．设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），F为抛物线的焦点．C（2，4），∴16=2p•（2），解得p=2．F（，0）．即OF=，EF=，∵PB=4，PE=2，∴该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为==，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题p：空间两向量=（1，﹣1，m）与=（1，2，m）的夹角不大于；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若￢q与p ∧q均为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若命题p为真，则有0，即，解得m≤﹣1或m≥1，若命题q为真，则有1＜＜4，解得：0＜m＜15，∵￢q与p∧q均为假命题，∴q为真命题，p为假命题．则有解得0＜m＜1．故所求实数m的取值范围是0＜m＜1．18．（12分）已知抛物线y2=4x和点M（6，0），O为坐标原点，直线l过点M，且与抛物线交于A，B两点．（1）求•；（2）若△OAB的面积等于12，求直线l的方程．【解答】解：（1）设直线l的方程为x=my+6，A（x1，y1），B（x2，y2），由x=my+6与抛物线y2=4x得y2﹣4my﹣24=0，显然△＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣24，x1x2=36可得•=x1x2+y1y2=12．…（6分）=|OM|•|y1﹣y2|=3=12=12，（2）S△OAB∴m2=4，m=±2．那么直线l的方程为x+2y﹣6=0和x﹣2y﹣6=0…（12分）19．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别是面对角线A1B 与B1D1的中点，设=，=，=．（1）以{，，}为基底，表示向量；（2）求证：MN∥平面BCC1B1；（3）求直线MN与平面A1BD所成角的正弦值．【解答】（1）解：．（2）证明：连A1C1、BC1，则N为A1C1的中点，又M为A1B的中点，∴MN∥BC1，又MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．（3）解：∵DA、DC、DD1两两垂直，∴可以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz．设正方体棱长为2，则M（2，1，1），N（1，1，2），A1（2，0，2），B（2，2，0），D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，2，2），∴，，，，∵，，∴，，∴为平面A1BD的法向量，设直线MN与平面A1BD所成的角为θ，则，所以直线MN与平面A1BD所成角的正弦值为．20．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP=1，AD=2，E为线段PD上一点，记=λ．当λ=时，二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为．（1）求AB的长；（2）当时，求异面直线BP与直线CE所成角的余弦值．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，∴AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则D（0，2，0），E（0，1，），=（0，1，）设B（m，0，0）（m＞0），则C（m，2，0），=（m，2，0）．设=（x，y，z）为平面ACE的法向量，则，取z=2，得=（，﹣1，2）．…（4分）又=（1，0，0）为平面DAE的法向量，…（4分）∵二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为，∴由题设知|cos＜＞|=，即，解得m=1，即AB=1．…（7分）（2），∴，，…（10分），∴异面直线BP与直线CE所成角的余弦值为．…（12分）22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，m）、Q（2，﹣m）（m＞0）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【解答】解：（1）设C方程为，则，由，a2=b2+c2，得a=4，∴椭圆C的方程为．（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t2﹣12=0，由△＞0，解得﹣4＜t＜4，由韦达定理得x1+x2=﹣t，．∴，由此可得：四边形APBQ的面积，∴当t=0，．②当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB 的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），由整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0，∴，同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），可得∴，，，所以直线AB的斜率为定值．第23页（共23页）。

2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=z，A={x|x2﹣x﹣2＜0，x∈Z}，B={﹣1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合等于（）A．{﹣1，2}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}2．（5分）复数z满足，则z对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，且x≥0时，f（x）=e x+m （m为常数），则f（﹣ln5）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣64．（5分）如图，在空间四边形ABCD（A，B，C，D不共面）中，一个平面与边AB，BC，CD，DA分别交于E，F，G，H（不含端点），则下列结论错误的是（）A．若AE：BE=CF：BF，则AC∥平面EFGHB．若E，F，G，H分别为各边中点，则四边形EFGH为平行四边形C．若E，F，G，H分别为各边中点且AC=BD，则四边形EFGH为矩形D．若E，F，G，H分别为各边中点且AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形5．（5分）等差数列{a n}中，S n是其前n项和，a1=﹣9，=2，则S10=（）A．0 B．﹣9 C．10 D．﹣106．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知实数x，y满足，记z=mx+y，若z的最大值为f（m），则当m∈[2，4]时，f（m）最大值和最小值之和为（）A．4 B．10 C．13 D．149．（5分）在边长为1的正△ABC中，D，E是边BC的两个三等分点（D靠近于点B），则等于（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线对称且，如果存在实数x0，使得对任意的x都有，则ω的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．1211．（5分）已知边长为的菱形ABCD中，∠A=60°，现沿对角线BD折起，使得二面角A﹣BD﹣C为120°，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π12．（5分）已知方程|lnx|=kx+1在（0，e3）上有三个不等实根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）命题“∃x0∈R，asinx0+cosx0≥2”为假命题，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知，则=．15．（5分）已知正实数a，b满足a+b=4，则的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）=﹣f'（0）e x+2x，点P为曲线y=f（x）在点（0，f （0））处的切线l上的一点，点Q在曲线y=e x上，则|PQ|的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有a n=+2成立．（1）记b n=log2a n，求数列{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且=1．（1）求角A；（2）若a=4，求b+c的取值范围．19．（12分）在如图所示的三棱锥ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）若△ABC为正三角形，且AB=AA1，M为AB上的一点，，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．20．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax，a＞0．（1）记f（x）的极小值为g（a），求g（a）的最大值；（2）若对任意实数x恒有f（x）≥0，求f（a）的取值范围．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AC，PA⊥平面ABCD．（1）若E为棱PC的中点，求证PD⊥平面ABE；（2）若AB=3，求点B到平面PCD的距离．22．（12分）已知f（x）=sinx﹣cosx﹣ax．（1）若f（x）在上单调，求实数a的取值范围；（2）证明：当时，f（x）≥﹣1在x∈[0，π]上恒成立．2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=z，A={x|x2﹣x﹣2＜0，x∈Z}，B={﹣1，0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合等于（）A．{﹣1，2}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}【解答】解：∵A={x|x2﹣x﹣2＜0，x∈Z}={0，1}，B={﹣1，0，1，2}，全集U=z，由图象可知阴影部分对应的集合为B∩（∁U A）={﹣1，2}．故选：A．2．（5分）复数z满足，则z对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z满足==，则z对应的点位于复平面第一象限．故选：A．3．（5分）已知f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，且x≥0时，f（x）=e x+m （m为常数），则f（﹣ln5）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6【解答】解：∵f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，故f（﹣x）=﹣f（x），故f（0）=0∵x≥0时，f（x）=e x+m，∴f（0）=1+m=0，m=﹣1，即x≥0时，f（x）=e x﹣1，则f（ln5）=4f（﹣ln5）=﹣f（ln5）=﹣4，故选：B．4．（5分）如图，在空间四边形ABCD（A，B，C，D不共面）中，一个平面与边AB，BC，CD，DA分别交于E，F，G，H（不含端点），则下列结论错误的是（）A．若AE：BE=CF：BF，则AC∥平面EFGHB．若E，F，G，H分别为各边中点，则四边形EFGH为平行四边形C．若E，F，G，H分别为各边中点且AC=BD，则四边形EFGH为矩形D．若E，F，G，H分别为各边中点且AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形【解答】解：作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形EFGH，由中位线的性质知，EH∥FG，EF∥HG故四边形EFGH是平行四边形，又AC=BD，故有HG=AC=BD=EH，故四边形EFGH是菱形．故选：C．5．（5分）等差数列{a n}中，S n是其前n项和，a1=﹣9，=2，则S10=（）A．0 B．﹣9 C．10 D．﹣10【解答】解：设公差为d，∵=2，∴d﹣d=2，∴d=2，∵a1=﹣9，∴S10=10×（﹣9）+=0，故选：A．6．（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A．7．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知可得该几何体是一个圆柱与圆锥的组合体，其表面积相当于圆锥的表面积与圆柱侧面积的和，圆柱的底面直径为2，半径r=1，高h=2，故侧面积为：2πrh=4π；圆锥的底面直径为4，半径r=2，高h=1，母线长为：，故表面积为：πr（r+l）=（4+2）π；故组合体的表面积S=（8+2）π；故选：A．8．（5分）已知实数x，y满足，记z=mx+y，若z的最大值为f（m），则当m∈[2，4]时，f（m）最大值和最小值之和为（）A．4 B．10 C．13 D．14【解答】解：由题意作平面区域如下，化目标函数z=y+mx为y=﹣mx+z，结合图象可知，当2≤m≤4时，目标函数z=y+mx的最大值始终可在点A上取得，由解得，x=2，y=1；即A（2，1）；故z=2m+1，∵2≤m≤4，∴5≤2m+1≤9，即f（m）最大值和最小值之和为5+9=14，故选：D．9．（5分）在边长为1的正△ABC中，D，E是边BC的两个三等分点（D靠近于点B），则等于（）A．B．C．D．【解答】解：如图，，＜＞=60°，∵D，E是边BC的两个三等分点，∴====．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线对称且，如果存在实数x0，使得对任意的x都有，则ω的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．12（ω＞0）的图象关于直线对称且，【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）∴ω+φ=kπ…①，﹣ω+φ=kπ…②，ωx0+φ且（ωx0+φ）≥+2kπ…③由①②解得ω=8，φ=kπ+，（k∈Z）当k=0时，ω=8，φ=，③成立，满足题意．故得ω的最小值为8．故选：C．11．（5分）已知边长为的菱形ABCD中，∠A=60°，现沿对角线BD折起，使得二面角A﹣BD﹣C为120°，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π【解答】解：如图所示，∠AFC=120°，∠AFE=60°，AF==3，∴AE=，EF=设OO′=x，则∵O′B=2，O′F=1，∴由勾股定理可得R2=x2+4=（+1）2+（﹣x）2，∴R2=7，∴四面体的外接球的表面积为4πR2=28π，故选：C．12．（5分）已知方程|lnx|=kx+1在（0，e3）上有三个不等实根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：令f（x）=kx+1，g（x）=lnx，∵y=kx+1与y=|lnx|的图象在（0，1）一定有一个交点，依题意只需f（x）=kx+1，g（x）=lnx在（1，e3）上有2个交点即可．作f（x）=kx+1与g（x）=lnx的图象如下设直线f（x）=kx+1与g（x）=lnx相切于点（a，b）；则⇒k=e﹣2且对数函数g（x）=lnx的增长速度越来越慢，直线f（x）=kx+1过定点（0，1）方程|lnx|=kx+1中取x=e3得k=2e﹣3，∴则实数k的取值范围是2e﹣3＜k＜e﹣2．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）命题“∃x0∈R，asinx0+cosx0≥2”为假命题，则实数a的取值范围是（﹣，）．【解答】解：原命题“∃x0∈R，asinx0+cosx0≥2”为假命题，则原命题的否定为真命题，命题否定为：∀x0∈R，asinx0+cosx0＜2；asinx0+cosx0=sin（x0+θ）＜2；则：＜2⇒﹣＜a＜；也即：原命题否定为真命题时，a∈（﹣，）；故原命题为假时，a的取值范围为∈（﹣，）．故答案为：（﹣，）．14．（5分）已知，则=．【解答】解：∵，∴sin（﹣θ）=±=±，∴=sin（﹣θ）=±，故答案是：．15．（5分）已知正实数a，b满足a+b=4，则的最小值为．【解答】解：∵正实数a，b满足a+b=4，∴a+1＞1，b+3＞3，a+1+b+3=8，∴=（）[（a+1）+（b+3）]=（++2）≥（2+2）=．当且仅当时，取等号，∴的最小值为．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=﹣f'（0）e x+2x，点P为曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线l上的一点，点Q在曲线y=e x上，则|PQ|的最小值为．【解答】解：f（x）=﹣f'（0）e x+2x，可得f′（x）=﹣f'（0）e x+2，即有f′（0）=﹣f'（0）e0+2，解得f′（0）=1，则f（x）=﹣e x+2x，f（0）=﹣e0+0=﹣1，则切线l：y=x﹣1，y=e x的导数为y′=e x，过Q的切线与切线l平行时，距离最短．由e x=1，可得x=0，即切点Q（0，1），则Q到切线l的距离为=．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有a n=+2成立．（1）记b n=log2a n，求数列{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）在中令n=1得a1=8，因为对任意正整数n，都有成立，所以，两式相减得a n﹣a n=a n+1，+1=4a n，所以a n+1又a1≠0，所以数列{a n}为等比数列，所以a n=8•4n﹣1=22n+1，所以b n=log2a n=2n+1，（2）c n===（﹣）所以18．（12分）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且=1．（1）求角A；（2）若a=4，求b+c的取值范围．【解答】解：（1）∵=1．∴由正弦定理可得：=1，整理可得：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵A=，a=4，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc，可得：48=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，解得：bc≤48，当且仅当b=c=4时等号成立，又∵48=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，可得：（b+c）2=48+3bc≤192，∴可得：b+c≤8，又∵b+c＞a=4，∴b+c∈（4，8]．19．（12分）在如图所示的三棱锥ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）若△ABC为正三角形，且AB=AA1，M为AB上的一点，，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．【解答】证明：（1）取AB的中点F，连接DF，EF…（1分）在△ABC中，因为D，F分别为BC，AB的中点，所以DF∥AC，DF⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，所以DF∥平面ACC1A1…（3分）在矩形ABB1A1中，因为E，F分别为A1B1，AB的中点，所以EF∥AA1，EF⊄平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以EF∥平面ACC1A1…（4分）因为DF∩EF=F，所以平面DEF∥平面ACC1A1…（5分）因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面ACC1A1…（6分）解：（2）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以平面ABC⊥平面ABB1A1，连接CF，因为△ABC为正三角形，F为AB中点，所以CF⊥AB，所以CF⊥平面ABB1A1，取BF的中点G，连接DG，EG，可得DG∥CF，故DG⊥平面ABB1A1，又因为，所以EG∥A1M，所以∠DEG即为直线DE与直线A1M所成角…（9分）设AB=4，在Rt△DEG中，，所以，故直线DE与直线A1M所成角的正切值为．…（12分）20．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax，a＞0．（1）记f（x）的极小值为g（a），求g（a）的最大值；（2）若对任意实数x恒有f（x）≥0，求f（a）的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（﹣∞，+∞），f'（x）=e x﹣a，令f'（x）＞0，得x＞lna，所以f（x）的单调递增区间是（lna，+∞）；令f'（x）＜0，得x＜lna，所以f（x）的单调递减区间是（﹣∞，lna），函数f（x）在x=lna处取极小值，…（3分）g'（a）=1﹣（1+lna）=﹣lna，当0＜a＜1时，g'（a）＞0，g（a）在（0，1）上单调递增；当a＞1时，g'（a）＜0，g（a）在（1，+∞）上单调递减，所以a=1是函数g（a）在（0，+∞）上唯一的极大值点，也是最大值点，所以g（a）max=g（1）=1…（6分）（2）当x≤0时，a＞0，e x﹣ax≥0恒成立，…（7分）当x＞0时，f（x）≥0，即e x﹣ax≥0，即…（8分）令，当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当x＞1时，h'（x）＞0，故h（x）的最小值为h（1）=e，所以a≤e，故实数a的取值范围是（0，e]…（10分）f（a）=e a﹣e2，a∈（0，e]，f'（a）=e a﹣2a，由上面可知e a﹣2a≥0恒成立，故f（a）在（0，e]上单调递增，所以f（0）=1＜f（a）≤f（e）=e e﹣e2，即f（a）的取值范围是（1，e e﹣e2]…（12分）21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABC为正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AC，PA⊥平面ABCD．（1）若E为棱PC的中点，求证PD⊥平面ABE；（2）若AB=3，求点B到平面PCD的距离．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．∵AC=PA，E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，由面面垂直的性质定理可得BA⊥平面PAD，AB⊥PD，又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．（2）解法一：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴，由（1）的证明知，CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，∵AB⊥AD，△ABC为正三角形，∴∠CAD=30°，∵AC⊥CD，∴．设点B的平面PCD的距离为d，则．在△BCD中，∠BCD=150°，∴．∴，=V P﹣BCD，∴，解得，∵V B﹣PCD即点B到平面PCD的距离为．解法二：由（1）可知：建立如图所示的空间直角坐标系，AB为x轴，AD为y 轴，AP为z轴．过点C作CM⊥AD，垂足为M，则A（0，0，0），B（3，0，0），C（，，0），D（0，2，0），P（0，0，3），=（﹣，，0），=（0，2，﹣3），=．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，即，取=（1，，2）．∴点B到平面PCD的距离d===．22．（12分）已知f（x）=sinx﹣cosx﹣ax．（1）若f（x）在上单调，求实数a的取值范围；（2）证明：当时，f（x）≥﹣1在x∈[0，π]上恒成立．【解答】解：（1）…（1分）若f（x）在上单调递增，则当，f'（x）≥0恒成立，当时，，此时a≤﹣1；…（4分）若f（x）在上单调递减，同理可得…（5分）所以a的取值范围是…（6分）（2）时，…（7分）当x∈[0，π]时，f'（x）在上单调递增，在上单调递减，…（9分）∴存在，使得在[0，x0）上f'（x）＞0，在（x0，π]上f'（x）＜0，所以函数f（x）在[0，x0）上单调递增，在（x0，π]上单调递减…（11分）故在[0，π]上，f（x）min=min{f（0），f（π）}=﹣1，所以f（x）≥﹣1在x∈[0，π]上恒成立…（12分）。

2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题1．设不等式x2﹣x≤0的解集为M，函数f（x）=ln（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N 为（）A．[0，1）B．（0，1）C．[0，1]D．（﹣1，0]2．已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A．B．2 C．4 D．63．设a=0.5，b=0.9，c=log50.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c4．已知||=，||=3，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m，n∈R），则等于（）A．B．3 C．D．5．定义在R上的函数f（x）满足则f（8）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）A．7 B．6 C．5 D．47．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣ C．D．28．数列{a n}的首项为1，{b n}为等比数列且b n=（n∈N*），若b4b5=2，则a9=（）A．16 B．32 C．4 D．89．已知α∈（0，π），cos（α+）=﹣，则tan2α=（）A．B．﹣或﹣C．﹣D．﹣10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且对∀x∈R，有f（x）≤f（）成立，则f（x）的一个对称中心坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）11．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种12．在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（）A．B．C．D．13．（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．180 B．90 C．45 D．36014．设定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．C．（1，2）D．15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案直接答在答题纸上）16．（4分）在△ABC中，a=3，b=2，A=30°，则cosB=．17．（4分）已知a，b均为正数，且直线ax+by﹣6=0与直线2x+（b﹣3）y+5=0互相平行，则2a+3b的最小值是．18．（4分）设x，y满足约束条件的取值范围是．19．（4分）已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a n=．若不等式≤对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为．20．（4分）若（1+x）（2﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015+a2016x2016，则a2+a4+…+a2014+a2016等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（10分）已知函数f（x）=2|x﹣2|+ax（x∈R）．（1）当f（x）有最小值时，求a的取值范围；（2）若函数h（x）=f（sinx）﹣2存在零点，求a的取值范围．22．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对边的长依次为a，b，c，若cosA=，cosC=（Ⅰ）求a：b：c；（Ⅱ）若|+|=，求△ABC的面积．23．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，D在底面ABC上的射影为E，AB ⊥BC，DF⊥AB于F（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．24．（12分）某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A、B、C刚好是边长分别为的三角形的三个顶点．（Ⅰ）该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5，8.5）内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5，10.5）内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a和b）进行技术分析．求事件“|a﹣b|＞1”的概率．（Ⅱ）第四次射击时，该运动员瞄准△ABC区域射击（不会打到△ABC外），则此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）25．（12分）已知数列{a n }中，a 1=3，a 2=5，其前n 项和S n 满足S n +S n ﹣2=2S n ﹣1+2n ﹣1（n ≥3）．令b n =．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若f （x ）=2x ﹣1，求证：T n =b 1f （1）+b 2f （2）+…+b n f （n ）＜（n ≥1）．26．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 1：（x +3）2+（y ﹣1）2=4和圆C 2：（x ﹣4）2+（y ﹣5）2=4（1）若直线l 过点A （4，0），且被圆C 1截得的弦长为2，求直线l 的方程（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标．2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（2009•陕西）设不等式x2﹣x≤0的解集为M，函数f（x）=ln（1﹣|x|）的定义域为N，则M∩N为（）A．[0，1）B．（0，1）C．[0，1]D．（﹣1，0]【考点】函数的定义域及其求法；元素与集合关系的判断．【专题】计算题．【分析】先求出不等式的解集和函数的定义域，然后再求两个集合的交集．【解答】解：不等式x2﹣x≤0转化为x（x﹣1）≤0解得其解集是{x|0≤x≤1}，而函数f（x）=ln（1﹣|x|）有意义则需：1﹣|x|＞0解得：﹣1＜x＜1所以其定义域为{﹣1＜x＜1}，所以M∩N=[0，1），故选A【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法和绝对值不等式的解法及集合的运算．2．（2016•张家口模拟）已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A．B．2 C．4 D．6【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x+1）为偶函数，说明其定义域关于“0”对称，函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，说明f（x）的定义域（3﹣2a，a+1）关于“1”对称，由中点坐标公式列式可求a的值．【解答】解：因为函数f（x+1）为偶函数，则其图象关于y轴对称，而函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称．又函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），所以（3﹣2a）+（a+1）=2，解得：a=2．故选B．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了函数奇偶性的性质，函数的图象关于y轴轴对称是函数为偶函数的充要条件，此题是基础题．3．（2015秋•太和县期末）设a=0.5，b=0.9，c=log50.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c【考点】指数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由幂函数的性质比较a，b的大小，再由对数函数的性质可知c＜0，则答案可求．【解答】解：∵0＜＜0.50=1，c=log50.3＜log51=0，而由幂函数y=可知，∴b＞a＞c．故选：D．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了幂函数与对数函数的性质，是基础题．4．（2016•中山市校级模拟）已知||=，||=3，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m，n∈R），则等于（）A．B．3 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】解三角形；平面向量及应用．【分析】将向量分解到，，可得=+，由解直角三角形知识和向量共线定理，可得m，n，即可得到所求值．【解答】解：如图所示，将向量分解到，，可得=+，由||=||cos30°=||，||=||sin30°=||，则m==，n==，即有=3．故选：B．【点评】本题考查向量垂直的条件：数量积为0，考查向量的分解，以及向量共线定理的运用，属于基础题．5．（2011秋•枣庄期末）定义在R上的函数f（x）满足则f（8）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】根据分段函数f（x）的解析式所给的自变量x的取值范围可判断出8的所属区间然后代入相应的解析式即可得解．【解答】解：∵满足且8＞0∴f（8）=f（7）﹣f（6）∵7＞0∴f（7）=f（6）﹣f（5）∴f（8）=﹣f（5）∵5＞0∴f（8）=﹣f（5）=﹣[f（4）﹣f（3）]∵4＞0∴f（8）=﹣[f（4）﹣f（3）]=f（2）∵2＞0∴f（2）=f（1）﹣f（0）∴f（8）=f（1）﹣f（0）∵1＞0∴f（1）=f（0）﹣f（﹣1）∴f（8）=f（1）﹣f（0）=﹣f（﹣1）∵﹣1＜0∴f（﹣1）==1∴f（8）=﹣1故选A【点评】本题主要考察了已知分段函数求值，属常考题型，较易．解题的关键是判断出8的所属区间然后代入相应的解析式然后如此继续最终得出f（8）=﹣f（﹣1）！6．（2015•怀化二模）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果为（）A．7 B．6 C．5 D．4【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=2059时，不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，S=0满足条件S＜100，S=1，k=1满足条件S＜100，S=1+2=3，k=2满足条件S＜100，S=3+8=11，k=3满足条件S＜100，S=11+2048=2059，k=4不满足条件S＜100，退出循环，输出k的值为4．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．7．（2016春•金昌校级期末）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣ C．D．2【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式．【专题】转化思想；转化法；直线与圆．【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．8．（2016秋•冀州市校级月考）数列{a n}的首项为1，{b n}为等比数列且b n=（n∈N*），若b4b5=2，则a9=（）A．16 B．32 C．4 D．8【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质结合已知得到，代入b n=得到=16．从而求得答案．【解答】解：∵数列{b n}为等比数列，∴b1b8=b2b7=b3b6=b4b5=2，∴．则=16．∴a9=16a1=16．故选：A．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比数列的性质，训练了累积法求数列的通项，是中档题．9．（2014•金水区校级二模）已知α∈（0，π），cos（α+）=﹣，则tan2α=（）A．B．﹣或﹣C．﹣D．﹣【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的正切．【专题】三角函数的求值．【分析】由已知求得α+∈（，），从而可求sin（α+）的值，进而可求tan（α+）=±1，从而解得tanα=﹣2或+2，从而由二倍角公式可求tan2α的值．【解答】解：∵α∈（0，π），∴α+∈（，），∵cos（α+）=﹣，∴sin（α+）=±=±，∴tan（α+）====±1，从而解得tanα=﹣2或+2，∴tan2α===﹣或tan2α===﹣．故选：C．【点评】本题考查二倍角的正切，求得tanα的值是关键，考查运算能力，属于基本知识的考查．10．（2016•安徽一模）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且对∀x∈R，有f（x）≤f（）成立，则f（x）的一个对称中心坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意，利用周期公式可求．由f（x）≤f（）恒成立，结合范围|φ|＜，可求φ=，令=kπ（k∈Z），即可解得f（x）的对称中心，即可得解．【解答】解：由f（x）=sin（ωx+φ）的最小正周期为4π，得．因为f（x）≤f（）恒成立，所以f（x），即+φ=+2kπ（k∈Z），由|φ|＜，得φ=，故f（x）=sin（）．令=kπ（k∈Z），得x=2kπ﹣，（k∈Z），故f（x）的对称中心为（2kπ﹣，0）（k∈Z），当k=0时，f（x）的对称中心为（﹣，0），故选：A．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．11．（2015•菏泽一模）某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】分类讨论，最前排甲；最前只排乙，最后不能排甲，根据加法原理可得结论．【解答】解：最前排甲，共有=120种，最前只排乙，最后不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选：B．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（2014•达州模拟）在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【专题】压轴题．【分析】先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2ax ﹣b2+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵a，b使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点，∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω={（a，b）|﹣π≤a≤π，﹣π≤b≤π}∴S=（2π）2=4π2，而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，∴s=4π2﹣π2=3π2，由几何概型公式得到P=，故选B．【点评】高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到．13．（2014•河南模拟）（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．180 B．90 C．45 D．360【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：由于（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，故n=10，=•2r•，令5﹣=0，求得r=2，故（+）10展开式的通项公式为T r+1∴展开式中的常数项是•22=180，故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．14．（2010•眉山一模）设定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．C．（1，2）D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；数形结合．【分析】题中原方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有5个不同实数解，即要求对应于f （x）=某个常数有3个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有当f （x）=a时，它有三个根；再结合2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有两个不等实根，即可求出结论．【解答】解：∵题中原方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有且只有5个不同实数解，∴即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，∴故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，只有当f（x）=a时，它有三个根．所以有：1＜a＜2 ①．再根据2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a=0有两个不等实根，得：△=（2a+3）2﹣4×2×3a＞0⇒②结合①②得：1＜a＜或a＜2．故选：D．【点评】本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，属于难题，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．15．（2016•太原一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，求出相应数据即可求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，ABCD的面积为2×=2，△SAD中，SD=AD=，SA=2，∴cos∠SDA==，∴sin∠SDA=，==2∴S△SAD设S到平面ABCD的距离为h，则=2，∴h=所以几何体的体积是=，故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案直接答在答题纸上）16．（4分）（2015•江西校级一模）在△ABC中，a=3，b=2，A=30°，则cosB=．．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】正弦定理可求sinB，由三角形中大边对大角可得∠B＜∠A，即∠B为锐角，由同角三角函数关系式即可求cosB．【解答】解：由正弦定理可得：sinB===，∵a=3＞b=2，∴由三角形中大边对大角可得∠B＜∠A，即∠B为锐角．∴cosB==．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，考查了三角形中大边对大角的应用，属于基本知识的考查．17．（4分）（2015•淮安一模）已知a，b均为正数，且直线ax+by﹣6=0与直线2x+（b﹣3）y+5=0互相平行，则2a+3b的最小值是25．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】直线与圆．【分析】由两直线平行的条件得到，由2a+3b=（2a+3b）（）展开后利用基本不等式求得最值．【解答】解：∵直线ax+by﹣6=0与直线2x+（b﹣3）y+5=0互相平行，∴a（b﹣3）﹣2b=0且5a+12≠0，∴3a+2b=ab，即，又a，b均为正数，则2a+3b=（2a+3b）（）=4+9+．当且仅当a=b=5时上式等号成立．故答案为：25．【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．18．（4分）（2010•河南二模）设x，y满足约束条件的取值范围是[，11] ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合．【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与（﹣1，﹣1）构成的直线的斜率问题，求出斜率的取值范围，从而求出目标函数的取值范围．【解答】解：由z==1+2×=1+2×，考虑到斜率以及由x，y满足约束条件所确定的可行域．而z表示可行域内的点与（﹣1，﹣1）连线的斜率的2倍加1．数形结合可得，在可行域内取点A（0，4）时，z有最大值11，在可行域内取点B（3，0）时，z有最小值，所以≤z≤11．故答案为：[，11]．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与（﹣1，﹣1）的斜率，属于线性规划中的延伸题，解题的关键是对目标函数的几何意义的理解．19．（4分）（2016•安庆二模）已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a n=．若不等式≤对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为9．【考点】数列与函数的综合；数列的求和．【专题】计算题；规律型；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列求和公式化简已知条件，求出数列的通项公式，然后化简不等式，分离变量λ，利用函数的单调性求解函数的最值即可．【解答】解：，⇒a n=2n﹣1，n∈N*．就是．在n≥1时单调递增，其最小为9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9．故答案为：9．【点评】本题考查数列与函数的综合应用，函数的单调性以及函数最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．20．（4分）（2015秋•荆门期末）若（1+x）（2﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015+a2016x2016，则a2+a4+…+a2014+a2016等于﹣22015．【考点】二项式定理的应用．【专题】方程思想；转化思想；二项式定理．【分析】（1+x）（2﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015+a2016x2016，可得：当x=﹣1时，0=a0﹣a1+a2+…﹣a2015+a2016，当x=1时，2=a0+a1+a2+…+a2015+a2016，当x=0时，22015=a0．即可得出．【解答】解：∵（1+x）（2﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015+a2016x2016，∴当x=﹣1时，0=a0﹣a1+a2+…﹣a2015+a2016，当x=1时，2=a0+a1+a2+…+a2015+a2016，当x=0时，22015=a0．∴a2+a4+…+a2014+a2016=﹣22015．故答案为：﹣22015．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（10分）（2016秋•冀州市校级月考）已知函数f（x）=2|x﹣2|+ax（x∈R）．（1）当f（x）有最小值时，求a的取值范围；（2）若函数h（x）=f（sinx）﹣2存在零点，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理．【专题】常规题型；函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）首先把f（x）写出分段函数，要使得f（x）有最小值，a+2≥0且a﹣2≤0；（2）函数h（x）=f（sinx）﹣2存在零点等价于“方程（a﹣2）sinx+2=0有解“，亦即有解．【解答】解：（1），要使函数f（x）有最小值，需∴﹣2≤a≤2，故a的取值范围为[﹣2，2]．（2）∵sinx∈[﹣1，1]，∴f（sinx）=（a﹣2）sinx+4，“h（x）=f（sinx）﹣2=（a﹣2）sinx+2存在零点”等价于“方程（a﹣2）sinx+2=0有解“，亦即有解，∴，解得a≤0或a≥4，∴a的取值范围为（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【点评】本题主要考查了绝对值函数与分段函数性质、函数零点、等价转化思想，属中等题．22．（12分）（2016秋•冀州市校级月考）已知△ABC的三个内角A，B，C所对边的长依次为a，b，c，若cosA=，cosC=（Ⅰ）求a：b：c；（Ⅱ）若|+|=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）A，C为三角形内角，先求出sinA，sinC，由cosB=cos[π﹣（A+C）]展开即可求出cosB的值，从而可求出sinB，由正弦定理即可求出a：b：c的值；（Ⅱ）由正弦定理和已知可求出a，b，c的值，即可求出△ABC的面积．【解答】解：（I ）依题设：sinA===，sinC===，故cosB=cos[π﹣（A+C）]=﹣cos （A+C）=﹣（cosAcosC+sinAsinC）=﹣（﹣）=．故sinB===，从而有：sinA：sinB：sinC=：：=4：5：6再由正弦定理易得：a：b：c=4：5：6．（II ）由（I ）知：不妨设：a=4k，b=5k，c=6k，k＞0．故知：||=b=5k，||=a=4k．依题设知：||2+||2+2||||cosC=46⇒46k2=46，又k＞0⇒k=1．故△ABC的三条边长依次为：a=4，b=5，c=6．=absinC==．故有S△ABC【点评】本题主要考察了两角和与差的余弦函数，同角三角函数间的基本关系，正弦定理余弦定理的综合应用，考察学生的计算能力，属于基础题．23．（12分）（2016•温州一模）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，D在底面ABC 上的射影为E，AB⊥BC，DF⊥AB于F（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）由DE⊥平面得出DE⊥AB，又DF⊥AB，故而AB⊥平面DEF，从而得出平面ABD⊥平面DEF；（II）以E为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和平面DAB的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，又AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF=D，∴AB⊥平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．（Ⅱ）∵DA=DC，DE⊥AC，AC=4，AD⊥CD，∴E为AC的中点，DE==2．∵AB⊥BC，AC=4，∠BAC=60°，∴AB=．以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（0，﹣2，0），D（0，0，2），B（，﹣1，0）．∴=（0，﹣2，﹣2），=（，﹣1，﹣2），=（，﹣1，0）．设平面DAB的法向量为=（x，y，z）．则，∴，令z=1，得=（，﹣1，1）．∴=2，||=，||=2，∴cos＜＞==．∴BE与平面DAB所成的角的正弦值为．【点评】本题考查了了面面垂直的判定，空间角的计算，空间向量的应用，属于中档题．24．（12分）（2015秋•黄冈期末）某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A、B、C刚好是边长分别为的三角形的三个顶点．（Ⅰ）该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5，8.5）内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5，10.5）内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a和b）进行技术分析．求事件“|a﹣b|＞1”的概率．（Ⅱ）第四次射击时，该运动员瞄准△ABC区域射击（不会打到△ABC外），则此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）【考点】古典概型及其概率计算公式；几何概型．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为x1，x2，x3，后三次成绩依次记为y1，y2，y3，从这6次射击成绩中随机抽取两个，利用列举法求出基本事件个数，并找出可使|a﹣b|＞1发生的基本事件个数．由此能求出事件“|a﹣b|＞1”的概率．（Ⅱ）因为着弹点若与x1、x2、x3的距离都超过y1、y2、y3cm，利用几何概型能求出此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率．【解答】解：（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为x1，x2，x3，后三次成绩依次记为y1，y2，y3，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y2，y3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x1，y3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x2，y3}，{x3，y1}，{x3，y2}，{x3，y3}，共15个，…（3分）其中可使|a﹣b|＞1发生的是后9个基本事件．故．…（6分）（Ⅱ）因为着弹点若与x1、x2、x3的距离都超过y1、y2、y3cm，则着弹点就不能落在分别以6为中心，半径为{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}cm的三个扇形区域内，只能落在扇形外的部分…（7分）因为，…（9分）满足题意部分的面积为，…（11分）故所求概率为．…（12分）【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法和几何概型概率计算公式的合理运用．=2S n 25．（12分）（2015•广东模拟）已知数列{a n}中，a1=3，a2=5，其前n项和S n满足S n+S n﹣2+2n﹣1（n≥3）．令b n=．﹣1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若f（x）=2x﹣1，求证：T n=b1f（1）+b2f（2）+…+b n f（n）＜（n≥1）．【考点】数列递推式；数列的函数特性；不等式的证明．【专题】计算题；证明题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意知a n=a n﹣1+2n﹣1（n≥3）（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a3﹣a2）+a2=2n+1．（Ⅱ）由于=．故T n=b1f（1）+b2f（2）+…+b n f（n）=，由此可证明Tn=b1f （1）+b2f（2）+…+b n f（n）＜（n≥1）．【解答】解：（Ⅰ）由题意知S n﹣S n﹣1=S n﹣1﹣S n﹣2+2n﹣1（n≥3）即a n=a n﹣1+2n﹣1（n≥3）∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a3﹣a2）+a2=2n﹣1+2n﹣2+…+22+5=2n+1（n≥3）检验知n=1、2时，结论也成立，故a n=2n+1．（Ⅱ）由于b n=，f（x）=2x﹣1，∴=．故T n=b1f（1）+b2f（2）+…+b n f（n）==．【点评】本题考查数列的性质和综合应用，解题时要认真审题．仔细解答．26．（12分）（2016•河南模拟）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．【专题】综合题．【分析】（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l 的方程．（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l1与l2的方程．【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）（1分）圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2∴d==1（2分）d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（5分）（2）设点P（a，b）满足条件，由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等即=（8分）整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5因k的取值有无穷多个，所以或（10分）解得或这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，）（12分）【点评】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．。

2017-2018学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共15个小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合 A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1}，则集合A∩B=（）A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4} C．{x|﹣2≤x＜﹣1} D．{x|﹣1≤x≤3} 2．已知直线y=kx+b经过一、二、三象限，则有（）A．k＜0，b＜0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b＞0 D．k＞0，b＜03．下列各角中，与60°角终边相同的角是（）A．﹣60°B．600°C．1020°D．﹣660°4．已知函数f（x）是定义在区间，不等式s•f（x）≥2x﹣1恒成立，求实数s的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=，若关于x的方程g（2x）﹣mg（x）=0有唯一实数解，求实数m 的取值范围．2017-2018学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合 A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1}，则集合A∩B=（）A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4} C．{x|﹣2≤x＜﹣1} D．{x|﹣1≤x≤3} 【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1}，∴A∩B={x|﹣2≤x＜﹣1}，故选：C．2．已知直线y=kx+b经过一、二、三象限，则有（）A．k＜0，b＜0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b＞0 D．k＞0，b＜0【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】根据直线对应图象经过的象限，确定直线斜率和截距的取值范围即可．【解答】解：∵直线y=kx+b经过一、二、三象限，∴直线y=kx+b的斜率k＞0，∴f（0）=b＞0，故选：C．3．下列各角中，与60°角终边相同的角是（）A．﹣60°B．600°C．1020°D．﹣660°【考点】终边相同的角．【分析】与60°终边相同的角一定可以写成 k×360°+60°的形式，k∈z，检验各个选项中的角是否满足此条件．【解答】解：与60°终边相同的角一定可以写成 k×360°+60°的形式，k∈z，令k=﹣2 可得，﹣660°与60°终边相同，故选 D．4．已知函数f（x）是定义在区间=2n﹣1，当n=1时，2n﹣1=1≠a1，∴．答案：．19．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC且AB=BC=1，SA=，则球O的表面积是4π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，可得SA⊥AC，SB⊥BC，则SC的中点为球心，由勾股定理解得SC，再由球的表面积公式计算即可得到．【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC，SA=，AB⊥BC且AB=BC=1，∴AC==，∴SA⊥AC，SB⊥BC，SC==2，∴球O的半径R=SC=1，∴球O的表面积S=4πR2=4π．故答案为4π．20．已知公差为d等差数列{a n}满足d＞0，且a2是a1，a4的等比中项．记b n=a（n∈N+），则对任意的正整数n均有++…+＜2，则公差d的取值范围是[）．【考点】数列与不等式的综合．【分析】因为a2是a1和a4的等比中项，所以（a1+d）2=a1（a1+3d），继而求得a1=d，从而的式子即可求得，列式求解即得到d的取值范围．【解答】解：因为a2是a1和a4的等比中项，所以（a1+d）2=a1（a1+3d），解得a1=d＞0，所以a n=nd，因此，b n=2n d，故， ==，所以，，故答案为：[）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．已知a，b，c为△ABC的三个内角的对边，向量=（2cosB，1），=（1﹣sinB，sin2B﹣1），⊥．（1）求∠B的大小；（2）若a=1，c=2，求b的值．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由便得到，进行数量积的坐标运算便可得到cosB=，从而得出B=；（2）根据余弦定理便有b2=a2+c2﹣2accosB，这样即可求出b的值．【解答】解：（1）∵；∴；即2cosB（1﹣sinB）+sin2B﹣1=2cosB﹣2sinBcosB+sin2B﹣1=2cosB﹣1=0；∴；又B∈（0，π）；∴；（2）在△ABC中，；∴由余弦定理得， =1+4﹣2=3；∴．22．设数列{a n}是公比为正数的等比数列，a1=2，a3﹣a2=12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和．【分析】（1）依题意，可求得等比数列{a n}的公比q=3，又a1=2，于是可求数列{a n}的通项公式；（2）可求得等差数列{b n}的通项公式，利用分组求和的方法即可求得数列{a n+b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公比为q，由a1=2，a3﹣a2=12，得：2q2﹣2q﹣12=0，即q2﹣q﹣6=0．解得q=3或q=﹣2，∵q＞0，∴q=﹣2不合题意，舍去，故q=3．∴a n=2×3n﹣1；（2）∵数列{b n}是首项b1=1，公差d=2的等差数列，∴b n=2n﹣1，∴S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）=+=3n﹣1+n2．23．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足为点A，PA=AB=2，点M，N分别是PD，PB的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：MN⊥平面PAC；（Ⅲ）求四面体A﹣MBC的体积．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（I）证明PB∥平面ACM，利用线面平行的判定定理，只需证明线线平行，利用三角形的中位线可得MO∥PB；（II）证明MN⊥平面PAC，由于MN∥BD，只要证明BD⊥平面PAC，利用线面垂直的判定定理，即可证得；（III）利用等体积，即，从而可得结论．【解答】证明：（I）连接AC，BD，AM，MC，MO，MN，且AC∩BD=O∵点O，M分别是PD，BD的中点∴MO∥PB，∵PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM∴PB∥平面ACM．…（II）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD∴PA⊥BD∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD又∵PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC…在△PBD中，点M，N分别是PD，PB的中点，∴MN∥BD∴MN⊥平面PAC．…（III）∵，…∴．…24．已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），利用CA=CB，建立方程，求出a，即可求圆C的方程；（Ⅱ）分类讨论，利用圆心到直线的距离公式，求出斜率，即可得出直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），依题意，有，即a2﹣6a+9=a2+2a+1，解得a=1，所以r2=（1﹣1）2+（3﹣1）2=4，所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，所以直线x=2符合题意．设直线l方程为y+2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣2=0，则，解得，所以直线l的方程为，即4x+3y﹣2=0．综上，直线l的方程为x﹣2=0或4x+3y﹣2=0．25．数列{a n}是公差为正数的等差数列，a2、a5且是方程x2﹣12x+27=0的两根，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=1﹣，（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】（1）依题意，解方程x2﹣12x+27=0可得a2、a5，从而可得数列{a n}的通项公式；由T n=1﹣b n可求得数列{b n}的通项公式；（2）c n=a n•b n，利用错位相减法可求数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的公差d＞0，a2、a5且是方程x2﹣12x+27=0的两根，∴a2=3，a5=9．∴d==2，∴a n=a2+（n﹣2）d=3+2（n﹣2）=2n﹣1；又数列{b n}中，T n=1﹣b n，①∴T n+1=1﹣b n+1，②②﹣①得： =，又T1=1﹣b1=b1，∴b1=，∴数列{b n}是以为首项，为公比的等比数列，∴b n=•；综上所述，a n=2n﹣1，b n=•；（2）∵c n=a n•b n=（2n﹣1）••，∴S n=a1b1+a2b2+…+a n b n=1×+3××+…+（2n﹣1）××，③∴S n=×+3××+…+（2n﹣3）××+（2n﹣1）××，④∴③﹣④得： S n=+ [+++…+]﹣（2n﹣1）××，S n=1+2[+++…+]﹣（2n﹣1）×=1+2×﹣（2n﹣1）×=2﹣×=2﹣（2n+2）×．26．已知函数f（x）=1﹣（a为常数）为R上的奇函数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）对x∈（0，1]，不等式s•f（x）≥2x﹣1恒成立，求实数s的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=，若关于x的方程g（2x）﹣mg（x）=0有唯一实数解，求实数m 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）根据f（0）=0可求得a的值，然后验证a的取值满足函数为奇函数；（2）分离参数法，将问题转化为函数的最值问题求解；（3）可先将方程化简，然后问题转化为一元二次方程在指定区间上根的分布问题，然后再进一步求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=0．即，所以a=2．此时f（x）=，而f（﹣x）=，所以f（x）为奇函数，故a=2为所求．3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因为x∈（0，1]，所以2x﹣1＞0，2x+1＞0，故s•f（x）≥2x﹣1恒成立等价于s≥2x+1恒成立，因为2x+1∈（2，3]，所以只需s≥3即可使原不等式恒成立．故s的取值范围是[3，+∞）．…（Ⅲ）由题意g（x）=，化简得g（x）=2x+1，方程g（2x）﹣mg（x）=0，即22x﹣m•2x+1﹣m=0有唯一实数解令t=2x，则t＞0，即等价为t2﹣mt+1﹣m=0，（t＞0）有一个正根或两个相等正根…设h（t）=t2﹣mt+1﹣m，则满足h（0）≤0或由h（0）≤0，得1﹣m≤0，即m≥1当m=1时，h（t）=t2﹣t，满足题意…由得m=2﹣2，综上，m的取值范围为m≥1或m=2﹣2…2018年10月20日。

2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高一（下）期中数学试卷（文科）（A卷）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）2cos275°﹣1的值为（）A．B．﹣C．﹣D．2．（5分）如图，正六边形ABCDEF中，++=（）A．B．C．D．3．（5分）直线kx﹣y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点（）A．（0，0）B．（0，1）C．（3，1）D．（2，1）4．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．5．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．26．（5分）在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣1），sin（﹣2α）=（）A．B．﹣C．D．﹣7．（5分）将函数y=cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（）A．B．C．D．8．（5分）已知||=，||=2，（﹣）•=0，则向量与的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°9．（5分）已知某几何的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．8C ．D ．410．（5分）在△ABC 中，若sin （A ﹣B ）=1+2cos （B +C ）sin （A +C ），则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形 B ．不含60°的等腰三角形 C ．钝角三角形D ．直角三角形11．（5分）函数y=﹣sin 2x ﹣3cosx +3的最小值是（ ） A ．2B ．0C ．D ．612．（5分）已知直线x +y ﹣k=0（k ＞0）与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有，那么k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）若tanα=，则tan （﹣α）= ．14．（5分）已知圆x 2+y 2=m 与圆x 2+y 2+6x ﹣8y ﹣11=0相内切，则实数m 的值为 ．15．（5分）梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=DC=1，若⊥，则•= ．16．（5分）设常数a 使方程sinx +cosx=a 在闭区间[0，2π]上恰有三个解x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3= ．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设=（﹣1，1），=（x，3），=（5，y），=（8，6），且∥，（4+）⊥．（1）求和；（2）求在方向上的投影．18．（12分）（1）已知α∈（，π），且sin+cos=，求cosα的值；（2）已知sin（θ+）=，求cos（﹣θ）．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，求圆C的方程（2）若过原点的直线m与圆C有公共点，求直线m的斜率k的取值范围．20．（12分）如图，已知正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直）ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E．（Ⅰ）求证：AE⊥D1B；（Ⅱ）求三棱锥B﹣AEC的体积．21．（12分）已知函数f（x）=cos2（x﹣x．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，]，都有f（x）≤c，求实数c的取值范围．22．（12分）如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=，cos ∠ADC=﹣．（1）求sin∠BAD的值；（2）求AC边的长．2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高一（下）期中数学试卷（文科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）2cos275°﹣1的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：2cos275°﹣1=cos150°=﹣cos30°=﹣，故选：B．2．（5分）如图，正六边形ABCDEF中，++=（）A．B．C．D．【解答】解：正六边形ABCDEF中，∵=，=；∴++=++=++=．故选：D．3．（5分）直线kx﹣y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点（）A．（0，0）B．（0，1）C．（3，1）D．（2，1）【解答】解：由kx﹣y+1=3k得k（x﹣3）=y﹣1对于任何k∈R都成立，则，解得x=3，y=1，故选：C．4．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，则与向量同方向的单位向量为=，故选：A．5．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．2【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．6．（5分）在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣1），sin（﹣2α）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣1），∴r=|OP|=2，x=﹣，∴cosα===﹣，sin（﹣2α）=cos2α=2cos2α﹣1=，故选：C．7．（5分）将函数y=cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（）A．B．C．D．【解答】解：将函数y=cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度得函数的图象，即的图象；再向上平移1个单位长度得得图象；故选：C．8．（5分）已知||=，||=2，（﹣）•=0，则向量与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：∵，∴=0，∴=0．解得，∵．∴．故选：D．9．（5分）已知某几何的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．8C．D．4【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，如图：由侧视图得棱锥的高为=2，四棱锥的底面是边长为2的正方形，∴几何体的体积V=×22×2=．故选：A．10．（5分）在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．不含60°的等腰三角形C．钝角三角形D．直角三角形【解答】解：∵sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），∴sinAcosB﹣cosAsinB=1﹣2cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB=1，∴sin（A+B）=1，∴sinC=1．∵C∈（0，π），∴．∴△ABC的形状一定是直角三角形．故选：D．11．（5分）函数y=﹣sin2x﹣3cosx+3的最小值是（）A．2B．0C．D．6【解答】解：y=﹣sin2x﹣3cosx+3=cos2x﹣1﹣3cosx+3=（cosx﹣）2﹣，∵﹣1≤cosx≤1，令cosx=t，则﹣1≤t≤1，f（t）=（t﹣）2﹣，在[﹣1，1]上单调减，∴f（t）min=f（1）=0故选：B．12．（5分）已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O 是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：设AB中点为D，则OD⊥AB∵，∴∴∵∴∵直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，∴∴4＞∴4＞∵k＞0，∴故选：C．二、填空题：（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若tanα=，则tan（﹣α）=．【解答】解：∵tanα=，则tan（﹣α）===，故答案为：．14．（5分）已知圆x2+y2=m与圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0相内切，则实数m的值为1或121．【解答】解：圆x2+y2+6x﹣8y﹣11=0 即（x+3）2+（y﹣4）2=36，表示以（﹣3，4）为圆心，半径等于6的圆．再根据两个圆相内切，两圆的圆心距等于半径之差，可得=|6﹣|，解得m=1，或m=121，故答案为1或121．15．（5分）梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=DC=1，若⊥，则•=﹣3．【解答】解：如图，由题意可知，，，．，，∴•=（）•（）==1﹣4=﹣3．故答案为：﹣3．16．（5分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．【解答】解：常数a使方程sinx+cosx=a，即2sin（x+）=a，即方程sin（x+）=在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，根据x+∈[，]，sin（x+）∈[﹣1，1]，∴=，∴a=1．则根据正弦函数的图象的对称性可得x1++x2+=2•=π，x3+=，∴x1+x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=，故答案为：．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设=（﹣1，1），=（x，3），=（5，y），=（8，6），且∥，（4+）⊥．（1）求和；（2）求在方向上的投影．【解答】解：（1）∵∥，∴6x﹣24=0，得x=4，∵4+=（4，10），（4+）⊥．∴（4+）•=4×5+10y=0，得y=﹣2，即=（4，3），=（5，﹣2）．（2）∵cos＜，＞=，∴在方向上的投影为||cos＜，＞===﹣．18．（12分）（1）已知α∈（，π），且sin+cos=，求cosα的值；（2）已知sin（θ+）=，求cos（﹣θ）．【解答】解：（1）由sin+cos=，可得：（sin+cos）2=1+sinα=，∴sinα=，α∈（，π），∴cosα=．（2）由sin（θ+）=cos[﹣（）]=，∴cos（﹣θ）=．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，求圆C的方程（2）若过原点的直线m与圆C有公共点，求直线m的斜率k的取值范围．【解答】解：（1）联立，解得．∴圆心坐标为（3，2），由半径r=1，∴圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=1；（2）如图，设直线m的方程为y=kx，由圆心（3，2）到直线kx﹣y=0的距离d=，解得k=．∴过原点的直线m与圆C有公共点，直线m的斜率k的取值范围是[]．20．（12分）如图，已知正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直）ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E．（Ⅰ）求证：AE⊥D1B；（Ⅱ）求三棱锥B﹣AEC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵正四棱柱（底面为正方形，侧棱与底面垂直）ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1⊥平面ABB1A1，AE⊂平面ABB1A1，∴A1D1⊥AE，∵过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E，∴AE⊥A1B，∵A1D1∩A1B=A1，∴AE⊥平面A1D1B，∵D1B⊂平面A1D1B，∴AE⊥D1B．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（3，0，0），B（3，3，0），A1（3，0，4），设E（3，3，t），=（0，3，t），=（0，3，﹣4），∵AE⊥A1B，∴=9﹣4t=0，解得t=，∴BE=，∴三棱锥B﹣AEC的体积：V B﹣AEC=V E﹣ABC====．21．（12分）已知函数f（x）=cos2（x﹣x．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，]，都有f（x）≤c，求实数c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数，∴．…（5分）（Ⅱ）∵…（7分）=…（8分）=．…（9分）因为，所以，…（10分）所以当，即时，f（x）取得最大值．…（11分）所以，f（x）≤c等价于．故当，f（x）≤c时，c的取值范围是．…（13分）22．（12分）如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=，cos ∠ADC=﹣．（1）求sin∠BAD的值；（2）求AC边的长．【解答】解：（1）因为cosB=，所以sinB=．又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=，所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB=×﹣（﹣）×=．（2）在△ABD中，由=得=，解得BD=2．故DC=2，从而在△ADC中，由AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cos∠ADC=32+22﹣2×3×2×（﹣）=16，得AC=4．。

2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）（B卷）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合P={x∈R|x2+2x＜0}，Q={x∈R|＞0}，则P∩Q=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，0）C．∅D．（﹣2，0）2．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2D．a23．若则下列不等式：（1）a+b＜a•b；（2）|a|＞|b|（3）a＜b中，正确的不等式有（）A．1个B．2个C．3个D．0个4．已知数列{a n}满足3a n+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）+1A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）的最大值和最小正周期分别是（）A．2，π B． +1，πC．2，2πD． +1，2π6．若按如图的算法流程图运行后，输出的结果是，则输入的N的值为（）A．5 B．6 C．7 D．87．一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．则该四棱锥的体积等于（）A． B．C．D．8．函数f（x）=﹣cosx•lg|x|的部分图象是（）A．B．C．D．9．在锐角△ABC中，a=2，b=2，B=45°，则A等于（）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°10．把y=ln（x+1）的图象的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的三倍，再向右移动一个单位，得到的函数解析式是（）A．y=ln3x B．y=ln C．y=ln D．y=ln（3x﹣2）11．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C．•=1 D．（4+）⊥12．若tanα=2tan，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若x，y满足则z=x+2y的最大值为．14．已知三棱锥S﹣ABC，所有顶点都在球O的球面上，侧棱SA⊥平面ABC，SA=AC=2，BC=2，∠A=90°，则球O的表面积为．15．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．16．如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，则mn的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3acosC=2ccosA ，tanA=，求B ． 18．设数列{a n }（n=1，2，3，…）的前n 项和S n 满足S n =2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n 项和为T n ，求使得|T n ﹣1|成立的n 的最小值． 19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，Q 为AD 的中点． （1）若PA=PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA=PD=AD=2，点M 在线段PC 上，且PM=3MC ，求三棱锥P ﹣QBM 的体积．20．已知函数f （x ）=sin cos +﹣（1）求f （x ）的最小正周期及其对称中心；（2）如果三角形ABC 的三边 a ．b ．c 满足b 2=ac ，且边b 所对角为 x ，试求x 的范围及此时函数f （3x ）的值域．21．已知首项是1的两个数列{a n }，{b n }（b n ≠0，n ∈N *）满足a n b n +1﹣a n +1b n +2b n +1b n =0．（1）令c n =，求数列{c n }的通项公式；（2）若b n =3n ﹣1，求数列{a n }的前n 项和S n ．22．已知函数f （x ）=log 9（9x +1）+kx （k ∈R ）为偶函数．（1）求k 的值；（2）解关于x 的不等式f （x ）﹣log 9（a +）＞0（a ＞0）．2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合P={x∈R|x2+2x＜0}，Q={x∈R|＞0}，则P∩Q=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，0）C．∅D．（﹣2，0）【考点】交集及其运算．【分析】分别求出P与Q中不等式的解集确定出P与Q，找出两集合的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：x（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜0，即P=（﹣2，0），由Q中不等式，得到x+1＞0，解得：x＞﹣1，即Q=（﹣1，+∞），则P∩Q=（﹣1，0）．故选：B．2．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2D．a2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知可求，，根据=（）•=代入可求【解答】解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，∴=a2，=a×a×cos60°=，则=（）•==故选：D3．若则下列不等式：（1）a+b＜a•b；（2）|a|＞|b|（3）a＜b中，正确的不等式有（）A．1个B．2个C．3个D．0个【考点】不等式的基本性质．【分析】由，可得b＜a＜0．利用不等式的性质即可得出．【解答】解：∵，∴b＜a＜0．则下列不等式：（1）a+b＜0＜a•b，正确；（2）|a|＞|b|，不正确；（3）a＜b不正确．故正确的不等式只有1个．故选：A．4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【考点】等比数列的前n项和．【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3a n+1+a n=0∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选C5．函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）的最大值和最小正周期分别是（）A．2，π B． +1，πC．2，2πD． +1，2π【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．【分析】利用两角和的正弦公式，二倍角公式，把函数y化为y=sin（2x+）+1，即可求出函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）的最大值和最小正周期．【解答】解：函数y=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1，故它的最大值为+1，最小正周期等于=π，．故选：B．6．若按如图的算法流程图运行后，输出的结果是，则输入的N的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：程序的功能是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，根据输出的结果是，可分析出判断框中的条件．【解答】解：进行循环前k=1，S=0，进行循环后S=，不满足退出循环的条件；k=2，S=，不满足退出循环的条件；k=3，S=，不满足退出循环的条件；k=4，S=，不满足退出循环的条件；k=5，S=，不满足退出循环的条件；k=6，S=，满足退出循环的条件；故满足条件的N值为6，故选B7．一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．则该四棱锥的体积等于（）A． B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面为上底2，下底四，高为4的梯形，锥体的高为=2，故锥体的体积V==×[×（2+4）×4]×2=8，故选：A8．函数f（x）=﹣cosx•lg|x|的部分图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性排除BD，再根据x的变化趋势排除C．【解答】解：由于f（x）=﹣cosx•lg|x|，∴f（﹣x）=﹣cos（﹣x）•lg|﹣x|=﹣cosx•lg|x|=f（x），故函数f（x）是偶函数，排除B，D；又当x→0时，lg|x|→﹣∞，cosx→1，∴f（x）→+∞，故排除C，故选：A．9．在锐角△ABC中，a=2，b=2，B=45°，则A等于（）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得sinA=，再由大边对大角可得A＞B=45°，从而求得A的值．【解答】解：由正弦定理可得=，∴sinA=．∵B=45°，a＞b，再由大边对大角可得A＞B，故B=60°或120°，故选，C．10．把y=ln（x+1）的图象的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的三倍，再向右移动一个单位，得到的函数解析式是（）A．y=ln3x B．y=ln C．y=ln D．y=ln（3x﹣2）【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据函数图象之间的变化关系即可得到结论．【解答】解：把y=ln（x+1）的图象的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的三倍，得到函数y=ln（），再向右移动一个单位，得到y=ln（）=ln，故选：C11．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C．•=1 D．（4+）⊥【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意，知道，，根据已知三角形为等边三角形解之．【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，∴的方向应该为的方向．所以，，所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选D．12．若tanα=2tan，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】三角函数的积化和差公式；三角函数的化简求值．【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可．【解答】解：tanα=2tan，则=============3．故答案为：3．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若x，y满足则z=x+2y的最大值为2．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使z最大，则直线在y轴上的截距最大，结合可行域可知当直线z=x+2y过点B时z最大，求出B的坐标，代入z=x+2y得答案．【解答】解：由足约束条件作出可行域如图，由z=x+2y，得y=﹣+．要使z最大，则直线y=﹣+的截距最大，由图可知，当直线y=﹣+．过点A时截距最大．联立，解得，∴A（0，1），∴z=x+2y的最大值为0+2×1=2．故答案为：2．14．已知三棱锥S﹣ABC，所有顶点都在球O的球面上，侧棱SA⊥平面ABC，SA=AC=2，BC=2，∠A=90°，则球O的表面积为16π．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据题意，三棱锥的外接球扩展为长方体的外接球，外接球的直径就是长方体的对角线的长度，求出长方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，侧棱SA⊥平面ABC，SA=AC=2，BC=2，∠A=90°，故三棱锥的外接球扩展为长方体的外接球，外接球的直径就是长方体的对角线的长度．∴球的半径R==2．球的表面积为：4πR2=4π×22=16π．故答案为：16π．15．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=1．【考点】余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．16．如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，则mn的最大值为18．【考点】二次函数的性质．【分析】函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[，2]上单调递减，则f′（x）≤0，即（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而y=（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．结合基本不等式求出mn的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[，2]上单调递减，∴f′（x）≤0，即（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而y=（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．即，由②得m≤（12﹣n），∴mn≤n（12﹣n）≤=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足①和②．∴mn的最大值为18．故答案为：18．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．【考点】正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）即可得出．【解答】解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=18．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|成立的n的最小值．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式得到a n=2a n﹣1（n≥2），再由已知a1，a2+1，a3成等差数列求出数列首项，可得数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列{}的通项公式，再由等比数列的前n项和求得T n，结合求解指数不等式得n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1（n≥2），从而a2=2a1，a3=2a2=4a1，又∵a1，a2+1，a3成等差数列，∴a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，∴．由，得，即2n＞1000．∵29=512＜1000＜1024=210，∴n≥10．于是，使|T n﹣1|成立的n的最小值为10．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA=PD=AD=2，点M 在线段PC 上，且PM=3MC ，求三棱锥P ﹣QBM 的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）由PA=PD ，得到PQ ⊥AD ，又底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，得BQ ⊥AD ，利用线面垂直的判定定理得到AD ⊥平面PQB 利用面面垂直的判定定理得到平面PQB ⊥平面PAD ；2）由平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PQ ⊥AD ，得PQ ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，得PQ ⊥BC ，得BC ⊥平面PQB ，即得到高，利用椎体体积公式求出；【解答】解：（1）∵PA=PD ，∴PQ ⊥AD ，又∵底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，∴BQ ⊥AD ，PQ ∩BQ=Q ，∴AD ⊥平面PQB又AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ；（2）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PQ ⊥AD ，∴PQ ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PQ ⊥BC ，又BC ⊥BQ ，QB ∩QP=Q ，∴BC ⊥平面PQB ，又PM=3MC ，∴V P ﹣QBM =V M ﹣PQB =20．已知函数f （x ）=sin cos +﹣ （1）求f （x ）的最小正周期及其对称中心；（2）如果三角形ABC 的三边 a ．b ．c 满足b 2=ac ，且边b 所对角为 x ，试求x 的范围及此时函数f （3x ）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性；余弦定理的应用．【分析】（1）先利用辅助角公式以及降幂公式把函数f （x ）化简为sin （），再利用周期和对称中心的求法代入即可求得结论．（2）先利用余弦定理以及基本不等式得到cosx===，求出x∈（0，]；再代入f（3x）利用正弦函数的单调性即可求出函数f（3x）的值域．【解答】解：（1）f（x）=sin cos+﹣=sin+=sin cos+cos sin=sin（）．∴f（x）的最小正周期T==3πf（x）的对称中心为（，0）（k∈Z）．（2）∵b2=ac，∴cosx===．又x∈（0，π），∴x∈（0，]，而f（3x）=sin（2x+），由2x+∈（，π]∴f（3x）=sin（2x+）∈[0，1]21．已知首项是1的两个数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0．（1）令c n=，求数列{c n}的通项公式；（2）若b n=3n﹣1，求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）由a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0，c n=，可得数列{c n}是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{c n}的通项公式；（2）用错位相减法来求和．【解答】解：（1）∵a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0，c n=，∴c n﹣c n+1+2=0，∴c n+1﹣c n=2，∵首项是1的两个数列{a n }，{b n }，∴数列{c n }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴c n =2n ﹣1；（2）∵b n =3n ﹣1，c n =，∴a n =（2n ﹣1）•3n ﹣1，∴S n =1×30+3×31+…+（2n ﹣1）×3n ﹣1，∴3S n =1×3+3×32+…+（2n ﹣1）×3n ，∴﹣2S n =1+2•（31+…+3n ﹣1）﹣（2n ﹣1）•3n ， ∴S n =（n ﹣1）3n +1．22．已知函数f （x ）=log 9（9x +1）+kx （k ∈R ）为偶函数． （1）求k 的值；（2）解关于x 的不等式f （x ）﹣log 9（a +）＞0（a ＞0）．【考点】函数奇偶性的性质；指、对数不等式的解法．【分析】（1）转化为log 9﹣log 9（9x +1）=2kx 恒成立求解．（2）利用（3x ﹣a ）（3x ﹣）＞0，分类讨论求解．【解答】解：（1）∵f （x ）为偶函数，∴f （﹣x ）=f （x ），即log 9（9﹣x +1）﹣kx=log 9（49+1）+kx ，∴log 9﹣log 9（9x +1）=2kx ，∴（2k +1）x=0，∴k=﹣，（2），（ I ）①a ＞1时⇒3x ＞a 或⇒{x |x ＞log 3a 或，②0＜a ＜1时或3x ＜a ，{x |x ＞log 或x ＜log 3a }， ③a=1时⇒3x ≠1，{x |x ≠0}．2016年11月4日。

一、选择题（本大题共15个小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}0,1,2,7A =，集合|B x y ⎧==⎨⎩，则A B =（ ） A ．{}1,2,7 B ．{}0,1,2 C ．{}2,7 D ．{}1,2 【答案】 C【解析】试题分析：因为|B x y ⎧==⎨⎩{}|1x x =>，{}0,1,2,7A =,所以A B ={}2,7，故选C.考点：1、集合的表示；2、集合的交集.2.求函数()[]246,0,5f x x x x =-+-∈的值域（ ）A ．[]6,2--B ．[]11,6--C ．[]11,2--D ．[]11,1-- 【答案】C考点：二次函数配方法求最值.3.若直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，则m 的值为（ ）A ．1B ．-2C ．1或-2D ．23-【答案】A试题分析：因为直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，所以11224m m +-=≠，可得1m =，故选A. 考点：两直线平行的性质.4.设{}n a 是等差数列，若27log 3a =，则68a a +=（ ）A ．6B ．16C ．9D ．8 【答案】B【解析】试题分析：因为27log 3a =，所以78a =，又因为{}n a 是等差数列，所以687216a a a +==，故选B.考点：1、对数的运算；2、等差数列的性质.5.若函数()f x 为偶函数，0x <时，()f x 单调递增，()(),,P f Q f e R f π=-==，则,,R P Q 的大小为（ ）A ．R Q P >>B ．Q R P >>C ．P R Q >>D ．P Q R >> 【答案】A考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.6.已知向量(),2a m =，向量()2,3b =-，若a b a b +=-，则实数m 的值是（ ） A ．-2 B ．-3 C ．43D ．3 【答案】D试题分析：因为a b a b +=-，所以22,026,3a b a b a b m m +=-∴==-=，故选D. 考点：1、向量的模；2、平面向量的数量积公式. 7.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22aa a 成等差数列，则91078a aaa +=+（ ） A．3+．1 C ．1D ．3-【答案】A【解析】试题分析：因为等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，所以21111222a a q a q +=⨯，得213q q==+91078a aa a +=+2q ==3+A.考点：1、等比数列的通项公式；2、等比、等差数列的性质. 8.已知向量()(),2,1,a x b y ==，其中0,0x y >>．若4a b =，则12x y+的最小值为（ ）A ．2B ．32C ．94D．【答案】C考点：1、平面向量数量积公式；2、基本不等式求最值. 9.在ABC ∆中，,BC 34ABC AB π∠===，则sin BAC ∠=（ ）A ．10 B ．10 C ．5D ．5【答案】B【解析】试题分析：因为ABC ∆中，,BC 34ABC AB π∠===，所以由余弦定理可得AC ==，再根据余弦定理可得cos 10BAC ∠==可得sin BAC ∠=，故选B. 考点：1、余弦定理的应用；2、同角三角函数之间的关系. 10.关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； 其中真命题的序号是（ ）A ．②③B ．③④C ．①④D ．①② 【答案】A考点：1、线面平行、线面垂直的性质；2、面面平行、面面垂直的性质.11.设,x y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．3D ．2 【答案】B【解析】试题分析：作出约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩的可行域，如图，平移直线2y x z =-，当直线2y x z =-经过点A 时z 有最大值，由70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩ 得()5,2A ，将()5,2A 代入2z x y=-得2528z =⨯-=，即2z x y =-的最大值为8，故选B.考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.12.直线2360x y +-=分别交x 轴和y 轴于,A B 两点，P 是直线y x =-上的一点，要使PA PB +最小，则点P 的坐标是（ ）A ．()1,1-B ．()1,1-C ．()0,0D ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C考点：1、直线的截距及对称点的求法；2、几何意义求最值.13.已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+= ⎪⎝⎭，且12A B A CA B A C =，则ABC ∆的形状为 （ ）A ．三边均不相等的三角形B ．等边三角形C ．等腰非等边三角形D ．直角三角形 【答案】B【解析】试题分析：因为,ABACAB AC是AB 与AC 上的单位向量，又由0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+= ⎪⎝⎭可知，AB AC ABAC+为BC 边上的高，所以ABC ∆为等腰三角形，由12AB AC AB AC=可得60A ︒∠=，故ABC ∆为等边三角形，故选B.考点：1、单位向量及向量的夹角；2、向量的加法运算、向量垂直的性质及正三角形的性质. 14.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A CD 【答案】D考点：1、几何体的三视图；2、棱锥的体积公式.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.15.若关于x 的方程20x x a -+=与()20x x b a b -+=≠的四个根组成首项为14的等差数列，则a b +的值是（ ）A ．1124B ．38C ．1324D ．3172【答案】D【解析】试题分析：依题意设四根分别为1234,,,a a a a 公差为d ，其中114a =，即1234112a a a a +++=+=，又1423a a a a +=+，所以14231a a a a +=+=，由此求得431,46a d ==，于是2357,1212a a ==，故14231357623144121214472a b aa aa +=+=⨯+⨯==，故选D.考点：1、韦达定理的应用；2、等差数列的性质.【方法点睛】本题主要考查韦达定理的应用、等差数列的性质，属于难题.等差数列的常用性质有：(1)通项公式的推广：();n m a a n m d =+- (2)若{}n a 为等差数列且2p q m n r +=+=，则2p q m n r a a a a a +=+=；(3)若{}n a 是等差数列，公差为d ，则2,,...k k m k m a a a ++是公差md 的等差数列；(4)数列232,,...m m m m m S S S S S --也是等差数列.本题的解答运用了性质（2）.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共5小题，每题4分，满分20分．）16.在等比数列{}n a 中，0n a >且153537225a a a a a a ++=，则35a a += ____________． 【答案】5考点：等比数列的性质. 17.0tan 600=___________．【解析】试题分析：用诱导公式将较大的角转化成锐角三角函数进行化简，tan600tan603==，考点：诱导公式及特殊角的三角函数.18.函数()12log ,12,1xx x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪<⎩的值域为____________． 【答案】(),2-∞【解析】试题分析：当1x ≥时，()1122log log 10f x x =≤=，当1x <时，()10222x f x <=<=，所以函数()12log ,12,1xx x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪<⎩的值域为(),2-∞，故答案为(),2-∞. 考点：1、分段函数的解析式及对数函数的值域；2、指数函数与对数函数的性质. 19.已知点(),p x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，PA PB 、是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A B 、是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为_____________． 【答案】2考点：1、直线的方程及圆的方程；2、切线的性质及根据几何性质求最值.【方法点晴】本题主要考查直线的方程及圆的方程、切线的性质及根据几何性质求最值，属于难题.解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用平面几何的有关结论求得四边形面积的最值后解出k 值的. 20.以下命题：①若a b a b =，则//a b ；②()1,1a =-在()3,4b =方向上的投影为15；③若ABC ∆中，5,8,7a b c ===，则20BC CA =；④若非零向量a b 、满足a b b +=，则22b a b >+，所有真命题的标号是_____________． 【答案】①②④【解析】试题分析：对于①，当a b a b =时，cos ,1a b <>=±，面向量的夹角为0或180,a b ∴，命题正确；对于②，()1,1a =-在()3,4b =方向上的投影是21cos ,53a b a a b b<>===，所以命题正确；对于③，ABC ∆中，如图所示，2222564495,8,7,cos ,2258a b c a b c BC CA ab +-+-===∴<>=-=-⨯⨯12=-，15820,2BC CA ⎛⎫=⨯⨯-=-∴ ⎪⎝⎭命题错误；对于④，因为非零向量,a b 满足a b b +=，220a a b ∴+=， 即()()22222222,42420a b a b a b a a b a aa =-∴-+=--=---=>，()2242b a b ∴>+，即22,b a b >+∴命题正确. 综上正确的命题是①②④,故答案为①②④.考点：1、平面向量的数量积公式及余弦定理；2、向量的模、向量的投影及向量的运算. 【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察平面向量的数量积公式、余弦定理、向量的模、向量的投影、向量的运算及数学化归思想，属于难题. 该题型往往出现在在填空题最后两题，考查知识点较多，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21.（本小题10分）设数列{}n a 满足()*1322,n n a a n n N -=+≥∈，且()132,log 1n n a b a ==+．（1）证明：数列{}1n a +为等比数列； （2）求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【答案】（1）证明见解析；（2）1n n S n =+.试题解析：（1）证明 ：因为132n n a a -=+， 所以()1131n n a a -+=+.又113a +=所以数列{}1n a +是公比为3的等比数列．（2）因为数列{}1n a +是首项为113a +=，公比为3的等比数列， 所以13n n a +=，即31n n a =-， 所以()3log 1n n b a n =+=， 所以11111n n b b n n +=-+， 所以11111122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 考点：1、等比数列的证明；2、裂项相消法求数列和. 22.（本题12分）ABC∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，已知()2cos cos cos C a B b A c +=．（1）求C ；（2）若ABC c ∆ABC ∆的周长． 【答案】（1）3C π=；（2）5试题解析：解：（1）由()2cos cos cos C a B b A c +=得()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=，即1cos 2C =，又()0,C π∈，∴3C π=；（2）22711cos ,sin 222ABC a b C S ab C ab ∆+-====∴226,13ab a b =+=，∴5a b +=，所以ABC ∆的周长为5考点：1、正弦定理及余弦定理 ；3、两角和与差的正弦函数公式及诱导公式. 23.（本题12分）已知集合()(){}222|110A y y a a y a a =-++++>，215|,0322B y y x x x ⎧⎫==-+≤≤⎨⎬⎩⎭．（1）若AB =∅，求a 的取值范围；（2）当a 取使不等式21x ax +≥恒成立的a 的最小值时，求()R C A B ．【答案】（12a ≤≤或a ≤（2）{}|24y y ≤≤.（1）当A B =∅时，2142a a ⎧+≥⎨≤⎩2a ≤≤或a ≤（2）由21x ax +≥，得210x ax -+≥，依题决240a ∆=-≤，∴22a -≤≤，∴a 的最小值为-2．当2a =-时，{}|25A y y y =<->或 ，∴{}|2y 5R C A y =-≤≤， ∴(){}|24R C A B y y =≤≤．考点：1、一元二次不等式的解法；2、补集、交集及其运算. 24.（本小题12分） 已知函数()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）π，()23k x k Z ππ=+∈；（2）⎡⎤⎢⎥⎣⎦.试题解析：（1）∵()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1cos 22sin cos sin cos 2x x x x x x =+-+2211cos 22sin cos cos 22cos 222x x x x x x x +-=- sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴周期22T ππ==，由()262x k k Z πππ-=+∈，得()23k x k Z ππ=+∈， ∴函数图象的对称轴方程为()23k x k Z ππ=+∈． （2）∵,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,636x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以当3x π=时，()f x 取最大值1，又∵11222f f ππ⎛⎫⎛⎫-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12x π=-时，()f x 取最小值所以函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 考点：1、三角函数的周期性及两角和与差的正弦和余弦公式；2、正弦函数的值域、正弦函数的对称性. 25.（本小题12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是060A ∠=、边长为a 的菱形，又PD ⊥底ABCD ，且PD CD =，点M N 、分别是棱AD PC 、的中点．（1）证明：//DN 平面PMB ； （2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5a.试题解析：解：（1）证明：取PB 中点Q ，连接MQ NQ 、， 因为M N 、分别是棱AD PC 、中点，所以////QN BC MD ，且QN MD =，于是//DN MQ ，////DN MQMQ PMB DN PMB DN PMB ⎫⎪⊆⇒⎬⎪⊄⎭平面平面平面． （2）PD ABCD PD MB MB ABCD ⊥⎫⇒⊥⎬⊆⎭平面平面，又因为底面ABCD 是060A ∠=、边长为a 的菱形，且M 为AD 中点，所以MB AD ⊥，又AD PD D =，所以MB PAD ⊥平面．MB PAD PMB PAD MB PMB ⊥⎫⇒⊥⎬⊆⎭平面平面平面平面．（3）因为M 是AD 中点，所以点A 与D 到平面PMB 等距离．过点D 作DH PM ⊥于H ，由（2）由平面PMB ⊥平面PAD ，所以DH ⊥平面PMB ．故DH 是点D 到平面PMB的距离a aDH ⨯==． ∴点A 到平面PMB． 考点：1、线面平行的判定定理；2、面面垂直的判定定理及点到面的距离.【方法点晴】本题主要考查、线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理及点到面的距离，属于难题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的. 26.（本小题12分）已知圆()22:x 44M y +-=，点P 是直线:20l x y -=上的一动点，过点P 作圆M 的切线,PA PB ，切 点为,A B ．（1）当切线PA 的长度为P 的坐标；（2）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 在直线l 上运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由． （3）求线段AB 长度的最小值．【答案】（1）()0,0P 或168,55P ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）圆过定点()840,4,,55⎛⎫⎪⎝⎭；（3.试题解析：（1）由题意知，圆M 的半径()2,0,4r M =，设()2,P b b ， ∵PA 是圆M 的一条切线，∴090MAP ∠=，∴4MP ===，解得80,5b b ==， ∴()0,0P 或168,55P ⎛⎫⎪⎝⎭．（2）设()2,P b b ，∵090MAP ∠=，∴经过,,A P M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭， 即()()222440x y b x y y +--+-=，由2224040x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩，解得04x y =⎧⎨=⎩或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴圆过定点()840,4,,55⎛⎫⎪⎝⎭，（3）因为圆N 方程为()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭， 即()222440x y bx b y b +--++=，圆()22:44M x y +-=，即228120x y y +-+=，②-①得：圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为：()241240bx b y b +-+-=，点M 到直线AB的距离d =，相交弦长即：AB ===， 当45b =时，AB． 考点：1、待定系数法求点的坐标；2、最值问题及曲线过定点问题.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求点的坐标、最值问题及曲线过定点问题，属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标. ②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.本题（2）是运用方法①列方程组求出定点坐标的.。