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2019-2020学年陕西省西安市西北工业大学附中高二上学期12月月考数学（理）试题一、单选题1．若{},,a b c r r r为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）A ．{},,a a b a b +-r r r r rB ．{},,b a b a b +-r r r r rC ．{},,c a b a b +-r r r r rD ．{},,2a b a b a b +-+r r r r r r【答案】C【解析】利用共面向量的性质，结合空间向量的基底的性质，进行求解即可. 【详解】A ：因为()()2a b a b a r r r r r ++-=，所以向量,,a a b a b r r r r r+-是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；B ：因为()(1)()2a b a b b r r r r r ++--=，所以向量,,b a b a b r r r r r+-是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；C ：因为{},,a b c r r r为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若,,c a b a b r r r r r+-不构成一组基底，则有()()()()c x a b y a b c x y a x y b r r r r r r r r =++-⇒=++-，所以向量,,a b c r r r是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此,,c a b a b r r r r r+-能构成一组基底，D ：因为312()()22a b a b a b r r r r r r +=+++，所以向量,,2a b a b a b r r r r r r+-+是共面向量，因此,,2a b a b a b r r r r r r+-+不能构成一组基底.故选：C 【点睛】本题考查了空间向量基底的性质，考查了共面向量的性质，属于基础题. 2．若2()2(1)f x xf x '=+，则(0)f '=（ ） A ．-4 B ．-2C ．0D ．2【答案】A【解析】∵()()212f x f x '='+，∴()()1212f f '='+，∴()12f '=-，∴()42f x x '=-+，∴()04f '=-，故选A.3．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点．若AB a =u u u v v，AD b =u u u v v ，1AA c =u u u v v ，则下列向量中与BM u u u u v相等的向量是（ ）A ．1122a b c -++v v vB ．1122a b c ++v v vC ．1122a b c --+v v vD ．1122a b c -+v v v【答案】A【解析】连接AC ,BD 交于点N ,()11122BM BD NM AD AB AA =+=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r,代入整理即可 【详解】由题,连接AC ,BD 交于点N ,则()()11111122222BM BD NM AD AB AA b a c a b c =+=-+=-+=-++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r故选：A 【点睛】本题考查向量的线性运算,考查空间向量,属于基础题4．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，12,AB P =为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ）A ．18B ．24C ．36D ．48【答案】C【解析】解：设抛物线的解析式为y2=2px （p ＞0）， 则焦点为F （2p ，0），对称轴为x 轴，准线为x=-2p∵直线l 经过抛物线的焦点，A 、B是l 与C 的交点， 又∵AB ⊥x 轴 ∴|AB|=2p=12 ∴p=6又∵点P 在准线上 ∴DP=（2p +|-2p|）=p=6 ∴S △ABP=12（DP•AB ）=12×6×12=36 故选C ．5．已知双曲线22214x y b -=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A．B．C ．3D ．5【答案】A 【解析】【详解】因为抛物线的焦点是3,0F （），所以双曲线的半焦距3c =，224+3b ∴=，4b a ∴==，所以一条渐近线方程为2y x =，20y -=，d ∴== A.【点考点定位】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关系，考查推理论证能力、逻辑思维能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想6．点P 是曲线2ln 0x y x --=上的任意一点，则点P 到直线20x y --=的最小距离为（ ） A ．1 B ．(74ln 28+ CD【答案】D【解析】求出函数2ln y x x =-的定义域，设出点P 的坐标，求函数2ln y x x =-进行求导，求出过点P 的切线方程，当该切线与直线20x y --=平行时，点P 到直线20x y --=的距离最小，利用点到直线距离求解即可.【详解】函数2ln y x x =-的定义域为：{}0x x >.设000(,)(0)P x y x >，2'1()ln ()2y f x x x f x x x==-⇒=-，当过点P 的切线与直线20x y --=平行时，点P 到直线20x y --=的距离最小，直线20x y --=的斜率为1，因此有'0001()21f x x x =-=，解得01x =，或012x =-（舍去），因此点P 的坐标为：(1,1)，所以点P 到直线20x y --=的最小距离为22111(1)221(1)??-=+-.故选：D 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求曲线上一点到直线距离最小值问题，考查了数学运算能力.7．长方体1111ABCD A B C D -中12,1AB AA AD ===，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为（ ）A 10B 30C 215D 310【答案】B【解析】建立坐标系如图所示．则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)，1BC u u u u r＝(－1,0,2)，AE u u u r＝(－1，2,1)．cos 〈1BC u u u u r ，AE u u u r〉＝30. 所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010. 8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为A ．22182x y +=B ．221126x y +=C ．221164x y +=D ．221205x y +=【答案】D 【解析】【详解】由题意，双曲线221x y -=的渐近线方程为y x =±，∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上，∴22441a b+=， ∵32e =，∴22234a b a -=，∴224b a =， ∴22205a b ==， ∴椭圆方程为：221205x y +=.故选D.【考点】椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.9．等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数128()()()()f x x x a x a x a L =---，则(0)f '=A ．62B ．92C ．122D ．152【答案】C【解析】将函数看做x 与()()()128x a x a x a --⋅⋅⋅-的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入0x =可求得()1280f a a a '=⋅⋅⋅；根据等比数列性质可求得结果. 【详解】()()()()128f x x a x x a x a --⋅''=⎡⋅-⎤⎣⎦⋅ ()()()()()()128128x a x a x a x a x a x a x x ''=+--⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦- ()()()()()()128128x x a x a x a x a x a x a --⋅⋅⋅---⋅⋅'=+⎡⎤-⎡⎤⎣⎦⎣⎦⋅ ()1280f a a a '∴=⋅⋅⋅又18273645a a a a a a a a ===()()441218082f a a '∴===本题正确选项：C 【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.10．抛物线22y px =与直线20x y a ++=交于,A B 两点，其中(1,2)A ，设抛物线焦点为F ，则||||FA FB +的值为（ ）A ．B ． 5C ．6D ． 7 【答案】D【解析】试题分析：把点A （1，2）代入直线2x+y+a=0，可得2+2+a=0，解得a=-4．把点A （1，2）代入抛物线22y px =可得4=2p ，解得p=2．联立直线与抛物线，化为：2540x x -+=，解得x=1或4，∴|FA|+|FB|=1+4+2=7．【考点】抛物线的简单性质11．如图，在大小为45°的二面角A EF D --中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是（ ）A 3B 32+C ．1D 32-【答案】D【解析】利用空间向量基本定理写出向量DB uuu r的表达式，利用正方形的性质和二面角的定义，结合空间向量数量积的定义进行求解即可 【详解】因为四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，所以有0DE EF EF FB u u u r u u u r u u u r u u u r⋅=⋅=， 因为四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，所以有,BF EF CF EF ^^，因为二面角A EF D --大小为45°，所以有45BFC ︒∠=，因此()211cos 180452DE FB u u u r u u u r ︒︒⋅=⨯⨯-=- 因为DB DE EF FB u u u r u u u r u u u r u u u r=++，所以222222232DB DE EF FB DE EF DE FB EF FB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=+++⋅+⋅+⋅=32BD -.故选：D 【点睛】本题考查了空间向量基本定理的应用，考查了空间向量数量积的定义，考查了二面角的定义，考查了数学运算能力.12．已知P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到直线:230l x y -+=和y 轴的距离之和的最小值是（ ） A 3B 5C 51D ．2【答案】C【解析】由题抛物线焦点为()1,0F ，准线方程为1x =- ，如图，点P 到直线l 距离为PA ，根据抛物线定义P 到y 轴距离等于1PF -，所以P 到直线l 距离和y 轴距离之和等于1PA PF +-，由于11PA PF AF +-≥-，所以当,,P A F 三点共线时，距离最小，即FB ，经计算点F 到直线l 的距离5，所以最小距离为51-，故选择C.点睛：与抛物线有关的最值问题的求解问题一般情况下都与抛物线定义有关，实现点到点的距离与点到线的距离的转化，解体策略为（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得以解决；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“直线上所有点的连线中的垂线段最短”解题，这类问题主要考查划归转化能力的应用.二、填空题13．已知()2,1,3a =v，()4,2,b x =-v ，且a b ⊥v v ，则a b -=v v ________.38【解析】由a b ⊥r r 可得0a b ⋅=r r ,即可求得2x =,则()6,1,1a b -=-r r ,进而求模即可【详解】由题,因为a b ⊥r r ,所以8230a b x ⋅=-++=r r ,即2x =,所以()4,2,2b =-r ,则()6,1,1a b -=-rr ,所以()2261138a b -=+-+=r r 38【点睛】本题考查已知向量垂直求坐标,考查坐标法向量的模14．已知点E F 、分别在正方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 、1CC 上，且12B E EB =，12CF FC =，侧面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于_______.【答案】23【解析】由题意画出正方体的图形，延长CB 、FE 交点为S 连接AS ，过B 作BP AS ⊥连接PE ，所以面AEF 与面ABC 所成的二面角就是BPE ∠，求出BP 与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值． 【详解】由题意画出图形如图：因为E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 、1CC 上， 延长CB 、FE 交点为S 连接AS ，过B 作BP AS ⊥连接PE ， 所以面AEF 与面ABC 所成的二面角就是BPE ∠， 因为12B E EB =，12CF FC =，所以:1:2BE CF =，所以:1:2SB SC =， 设正方体的棱长为a ，所以2AS a =，2BP =，3a BE =， 在RT PBE V 中，23322aBE tan EPB PB a∠===， 2. 【点睛】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力．15．过双曲线()2222105x y a a a-=>-的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是_________．【答案】【解析】先求出渐近线的斜率在(2,3)，再根据离心率的公式进行求解即可. 【详解】方程()2222105x y a a a -=>-表示焦点在横轴上的双曲线，所以有2500a a ->?双曲线的渐近线方程为：y x =?，由题意可知：2225112349112a a a a a-<<?<?<?双曲线的离心率为：c e a ==e <<.故答案为： 【点睛】本题考查了双曲线离心率的取值范围，考查了双曲线渐近线方程和性质，考查了数学运算能力.16．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 2y x =+的切线，则b =_________．【答案】1【解析】设出函数ln 2y x =+的切点，对函数求导，求出曲线ln 2y x =+的切线方程，同理求出曲线()ln 2y x =+的切线方程，根据题意这两条切线方程与直线y kx b =+重合进行求解即可. 【详解】曲线ln 2y x =+的切点坐标为：11(,)x y ，因此有11ln 2y x =+''1111()ln 2()()y f x x f x f x x x ==+⇒=⇒=，所以过该切点的切线方程为： 1111111()ln 1y y x x y x x x x -=-?++，曲线()ln 2y x =+的切点坐标为：22(,)x y ，因此有22ln(2)y x =+''2211()ln(2)()()22y g x x g x g x x x ==+⇒=⇒=++，所以过该切点的切线方程为：222222211()ln(2)222x y y x x y x x x x x -=-?++-+++，由题意可知：11222122111211ln 1ln(2)21x k x x x x b b x x x k =⎧⎧==⎪⎪+=-⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=+=+-⎪⎪+=⎩⎩. 故答案为：1 【点睛】本题考查了两条曲线公切线问题，考查了导数的几何意义，考查了数学运算能力.三、解答题17．求下列函数的导数：(1)()*()2+1ny x n N ∈＝，；(2)(ln y x =；(3)11x x e y e +=-；(4)2)2(+5y xsin x ＝． 【答案】（1）()1'221n y n x -=+；（2）'y =；（3）()221xx e y e -'=-；（4）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.【解析】根据求导法则进行求导即可。
2008年西工大附中第六次适应性训练数 学 试 卷（理 科）第一卷：选择题一．选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
）1．已知集合M= {|lg(1)}x y x =-，集合e R x e y y N x }(,|{∈==为自然对数的底数），则N M =A ．}1|{<x xB ．}1|{>x xC ．}10|{<<x xD ．φ2．函数()3sin ,[0,1)x f x x x =+∈的反函数的定义域是：A ．[0,1)B ．[1,3sin1)+C ．[0,4)D ．[0,)+∞ 3． 一个容量为64的样本数据，分组后，组别与频数如下表：则样本在(]50,70上频率为： Ａ．1332 Ｂ．1532Ｃ．12Ｄ．17324．数列{}n a 中，*112,(1)(1)(,n n a i i a i a n N +=+=-∈i 是虚数单位），则10a 的值为： Ａ．2Ｂ．2-Ｃ．2iＤ．1024i5．将函数sin(6)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数的一个对称中心是： Ａ． (,0)2πＢ． (,0)4πＣ． (,0)9πＤ．(,0)16π6．已知n 为等差数列 ,0,2,4--中的第8项，则二项式n x x )2(2+展开式中常数项是：A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项7．已知(2,0),(0,1)A B ，O 是坐标原点，动点M 满足(1)OM OB OA λλ=+-，并且2OM AB >，则实数λ的取值范围是：Ａ．2λ>Ｂ．65λ>Ｃ．625λ<<Ｄ．12λ<<8．已知函数38(2)2()10(2)2(2)x x x f x x x x ⎧-<⎪-⎪⎪==⎨⎪+>⎪⎪⎩，则2lim ()x f x -→的值是： Ａ．不存在Ｂ．4Ｃ．10Ｄ． 129．命题p ：在ABC ∆中，B C ∠>∠是B C sin sin >的充分不必要条件；命题q ：ba >是22bc ac >的充分不必要条件，则 （ ）A ．p 真q 假B ．p 假q 真C ．“p 或q ”为假D ．“p 且q ”为真10．矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为： Ａ．12512π Ｂ．1259π Ｃ．1256π Ｄ．125311．已知||2||0≠a =b ，且关于x 的方程2||0x x ++=a a b 有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是 A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,3 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,3ππ D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,6 12．设曲线2y x =上任一点(,)x y 处的切线的的斜率为()g x ，则函数()()cos h x g x x = 的部分图象可以为：第二卷：非选择题二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
陕西西工大附中2019年高三第六次适应性练习试题（数学理）数学(理科)本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，总分值150分。
考试时间120分钟第一卷〔选择题共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1、i 是虚数单位，复数212i i +-=〔〕A 、iB 、i -C 、1i -+D 、12i -2、设a ,b 是单位向量，那么“a ·b =1”是“a =b ”的〔〕 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件3、执行如下图的程序框图，输出的M 的值为〔〕 A 、17B 、53C 、161D 、4854、抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线22154y x -=的一个焦点重合，那么该抛物线的标准方程可能是()A 、x 2=4y B 、x 2=–4y C 、y 2=–12x D 、x 2=–12y5、平面,,αβ直线l ，假设,,l αβαβ⊥=那么〔〕A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α B 、垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α C 、垂直于平面β的平面一定平行于直线l D 、垂直于直线l 的平面一定与平面,,αβ都垂直6、函数()sin (0)f x x x ωωω=->的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于2π，假设将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度得到函数()y g x =的图象，那么()y g x =的解析式是〔〕A 、2sin(2)6y x π=-B 、2sin 2y x =C 、2sin(4)6y x π=-D 、2sin 4y x =7.右图是一个空间几何体的三视图， 那么该几何体的表面积是〔〕 A.12+πB.16+πC.12+2πD.162π+8、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R ∈x 都有)4()(+=x f x f ，当），（20∈x 时，x x f 2)(=，那么)2011()2012(f f -的值为〔〕A 、2B 、2-C 、21D 、21-9.：()0,x ∈+∞，观看以下式子：221442,322x x x x x x x +≥+=++≥类比有()1n a x n n N x *+≥+∈,那么a 的值为〔〕 A.n n B.n C.2n D.1n +10.某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的发出提早录取通知单，假设这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，那么仅有两名学生录取到同一所大学〔其余三人在其他学校各选一所不同大学〕的概率是〔〕 A 、15B 、24125C 、96125D 、48125【二】填空题：〔本大题共5小题，每题5分，共25分。
陕西省西安市工业大学附属中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列各组不等式中，同解的一组是（）A．与 B．与C．与 D．与参考答案：B2. 已知=2， =3， =4，…， =6，…，（a，b均为实数），则可推测a，b的值分别为（）A．6，35 B．6，17 C．5，24 D．5，35参考答案：A【考点】归纳推理．【分析】根据题意，分析所给的等式，可归纳出等式=n?，（n≥2且n是正整数），将n=6代入可得答案．【解答】解：根据题意，分析所给的等式可得： =n?（n≥2且n是正整数）当n=6时，a=6，b=62﹣1=35；故选：A．3. 盒子中放有编号分别为1,2,3,4,5的形状和大小完全相同的5个白球和5个黑球，从中任意取出3个，则取出球的编号互不相同的概率为（）A. B. C. D.参考答案：D4. 如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为( )A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值参考答案：C考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解．解答：解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），故选：C．点评：本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化，属于基础题．5. 复数A. B. C. D.参考答案：C6. 已知函数f（x）=x3+bx2+cx的图象如图所示，则x12+x22等于（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】6C：函数在某点取得极值的条件；6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】先利用函数的零点，计算b、c的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为x1，x2，利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可【解答】解：由图可知，f（x）=0的三个根为0，1，2∴f（1）=1+b+c=0，f（2）=8+4b+2c=0解得b=﹣3，c=2又由图可知，x1，x2为函数f（x）的两个极值点∴f′（x）=3x2﹣6x+2=0的两个根为x1，x2，∴x1+x2=2，x1x2=∴=（x1+x2）2﹣2x1x2=4﹣=故选 C【点评】本题主要考查了导数在函数极值中的应用，一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值的思想方法7. “”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A8. 在棱长为4的正方体中，，分别是、的中点，长为2的线段的一个端点在线段上运动，另一个端点在底面上运动，则线段的中点的轨迹（曲面）与二面角所围成的几何体的体积为（）A. B. C. D.参考答案：D略9. 气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第天的维修保养费为元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了( )A.600天B.800天C.1000天D.1200天参考答案：B略10. 函数的一个单调递增区间为 ( )A． B． C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面直角坐标系xOy中，若D表示横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E表示到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D内随机地投一点，则落在E中的概率．参考答案：12. 函数在上的最小值是. 参考答案：－1 13. 如图，在正方体中，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角 .参考答案：60°14. 已知矩阵A=，矩阵B=，计算：AB=.参考答案：略15. 已知 a，b，c是两两不等的实数，点 P（b，b+c），点Q（a，c+a），则直线 PQ的倾斜角为．参考答案：45°【考点】直线的倾斜角．【分析】由经过两点直线的斜率公式，得PQ的斜率为﹣1，再根据斜率k与倾斜角α的关系，得tanα=1，结合直线倾斜角的取值范围即可得到直线PQ的倾斜角．【解答】解：∵点P（b，b+c），点Q（a，c+a），∴直线PQ的斜率为k==1设直线的倾斜角为α，则tanα=1∵α∈[0，π），∴α=45°，故答案是：45°．16. 已知F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A（1，1）是一定点，则PA+PF1的最大值为．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定A在椭圆内部，利用最大PA+PF1=2a+AF2，即可求得结论．解答：解：由题意，A（1，1）在椭圆内部，椭圆长轴2a=10，右焦点坐标F2（4，0），则AF2==所以最大PA+PF1=2a+AF2=10+故答案为：点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17. 若函数在处取极值，则__________参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年陕西省西安市西北大学附中高二上学期期中数学试题一、单选题1．下列命题：①x R ∀∈，2104x x -+≥；②0x ∃>，1ln 2ln x x+≤；③若命题p q ∨是真命题，则p 是真命题；④22xxy -=-是奇函数；其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】根据全称命题、特称命题的真假性判断①②的真假性.根据含有逻辑联结词命题的真假性判断③的真假性.根据函数的奇偶性判断④的真假性. 【详解】对于①，由于214y x x =-+开口向上且11404∆=-⨯=，所以①为真命题. 对于②，当x e =时，1ln 22ln e e+=≤，故②为真命题. 对于③，p q ∨为真命题，可能p 假q 真，故③为假命题.对于④，构造函数()22xxf x -=-，函数()f x 的定义域为R ，且()()()2222x x x x f x f x ---=-=--=-，所以()f x 为奇函数.故④为真命题.综上所述，真命题的个数有3个. 故选：C 【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题、含有逻辑联结词命题的真假性，考查函数的奇偶性，属于基础题.2．点B 是点(1,2,3)A 在坐标平面yoz 内的射影，则||OB 等于（ ）A ．B CD 【答案】B【解析】根据题意得A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的正射影B ，利用两点之间的距离公式得到结果． 【详解】∵点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的正射影， ∴B 在坐标平面yOz 上，竖标和纵标与A 相同，而横标为0，∴B 的坐标是（0，2，3），∴|OB |== 故选：B ． 【点睛】本题考查空间中的点的坐标，考查两点之间的距离公式，考查正投影的性质，是一个基础题．3．已知()():280,:340xp q x x ->--≥，则（ ）A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q ⌝的充分不必要条件C ．p 是q 的必要不充分条件D ．p 是q ⌝的必要不充分条件 【答案】D【解析】先分解化简命题p,q 再根据范围大小判断充分必要性. 【详解】:2803x p x ->⇒>()():3404q x x x --≥⇒≥或3x ≤34q x ⌝⇒<<所以p 是q 的既不充分也不必要条件p 是q ⌝的必要不充分条件故答案选D 【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，抓住范围的大小关系是解题的关键.4．已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A ．B ．2C ．2D ．【答案】D【解析】分析：由离心率计算出ba，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．详解：e c a ===Q 1ba∴= 所以双曲线的渐近线方程为x y 0±= 所以点（4，0）到渐近线的距离d ==故选D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．5．若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ） A ．2 BCD【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ．点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =o ，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A．3B．155C．105D．3【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D-，则所求角为21111,2,21221cos603,5 BC D BC BD C D AB∠==+-⨯⨯⨯︒=== Q，易得22211C D BD BC=+，因此111210cos55BCBC DC D∠===，故选C．平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．7．倾斜角为4π的直线经过椭圆22221(0)x ya ba b+=>>右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且2AF FB=u u u v u u u v，则该椭圆的离心率为（）A．3B．23C．22D3【答案】B【解析】设B到右准线距离为d，因为2AF FB=u u u v u u u v，所以A到右准线距离为2d，从而2,3AF ed BF ed AB ed==∴=Q倾斜角为4π，2cos43deedπ∴=∴=，选B. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c的方程或不等式，再根据,,a b c的关系消掉b得到,a c的关系式，而建立关于,,a b c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8．设1111ABCD A B C D -是边长为a 的正方体，1A C 与1B D 相交于点O ，则有（ ）A ．211A B AC a ⋅=u u u u r u u u r B．21AB AC ⋅=u u u r u u u r C ．21CD AB a ⋅=u u u r u u u rD ．112AB AO a ⋅=u u u r u u u r 【答案】A【解析】利用向量数量积的运算对选项逐一计算进行验证，由此确定正确选项. 【详解】对于A选项，1111,,,,4A B a AC A B AC AB AC π====u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r，所以211cos 4A B AC a a π⋅=⋅=u u u u r u u u r ，所以A 选项正确.对于B选项，11111,,,,AB a AC AB AC A B AC ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以222111111cos A B AB AC a CA B a A C ⋅=⋅∠=⋅==u u u r u u u r ，所以B 选项错误. 对于C选项，11113,,,,4CD a AB CD AB BA AB B AB ππ====-∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以213cos 4CD AB a a π⋅=⋅=-u u u r u u u r ，所以C 选项错误. 对于D选项，11111,,,,2AB a A O a AB A O A B A C ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以2221111111cos 2A B AB AO a CA B a AC ⋅=⋅∠=⋅==u u u r u u u r ，所以D 选项错误. 故选：A【点睛】本小题主要考查空间向量的数量积计算，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题.9．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+?C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 【答案】B【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒>10．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点,则C 的方程为（ ）A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x = 【答案】C【解析】∵抛物线C 方程为22(0)y px p =>,∴焦点(,0)2pF ， 设(,)M x y ,由抛物线性质52p MF x =+=,可得52px =-，因为圆心是MF 的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为52， 由已知圆半径也为52,据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4， 即(5,4)2pM -,代入抛物线方程得210160p p -+=，所以p=2或p=8. 所以抛物线C 的方程为24y x =或216y x =. 故答案C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF ,以MF 为直径的圆交抛物线于点(0,2)，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出p 的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键.11．记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，则λ的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．1(,1)3C ．1(0,)3D ．(1,3)【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，利用∠APC 不是平角，可得∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＜0，即 ，从而可求λ的取值范围．【详解】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则有A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），1D （0，0，1） ∴ =（1，1，-1），∴ =（λ，λ，-λ），∴=+=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1） =+ =（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＜0∴ 0PA PC ⋅<u u u r u u u r∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得 ＜λ＜1 因此，λ的取值范围是（ ，1），故选B.点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题． 12．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则AB DE +的最小值为（ ） A ．16 B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设出直线1l ，2l 的方程，联立直线1l ，2l 的方程与抛物线方程，写出韦达定理，根据抛物线的弦长公式，求得AB DE +的表达式，再结合基本不等式求得AB DE +的最小值. 【详解】抛物线的焦点坐标为()1,0F ，依题意可知直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线1l 的方程为()1y k x =-，则直线2l 的方程为()11y x k=--. 由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 得()2222240k x k x k -++=，所以2222442A B k x x k k++==+，所以244A B AB x x p k =++=+. 同理可求得244C D CD x x p k =++=+.所以22484816AB k k DE =++≥+=+，当且仅当2244,1k k k ==±时取得最小值. 故选：A 【点睛】本小题主要考查直线和抛物线相交所得弦长公式，考查基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题13．若命题“2,0x R x x a ∃∈-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 【答案】1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】根据特称命题是假命题进行转化即可 【详解】Q 命题“20x R x x a ∃∈-+<，”是假命题，则命题“20x R x x a ，∀∈-+≥”是真命题， 则140a =-≤n ，解得14a ≥则实数a 的取值范围是14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 故答案为14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【点睛】本题主要考的是命题的真假判断和应用，熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式的关系是解题的关键，属于基础题．14．设x ∈R ，则21x -<是220x x +->的_______________条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要） 【答案】充分不必要【解析】求出两个不等式的解集，根据集合的包含关系说明．【详解】2113x x -<⇔<<，2202x x x +->⇔<-或1x >，∵(1,3)(,2)(1,)-∞-+∞U Ü，∴21x -<是220x x +->的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的概念是解题关键．充分必要条件与集合的包含之间关系：命题p 对应集合是A ，命题q 对应集合是B ，则A B ⊆⇔p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，A B =⇔p 是q 的充要条件，A B Ü⇔p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件．15．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AC AA === ,E F 分别是,BA 11A C 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所成角的余弦值为10，则线段BD 的长为_______．【答案】2【解析】以E 为原点，EA,EC 为x,y 轴建立空间直角坐标系，设(0,,2)(11)D t t -≤≤，用空间向量法求得t ，进一步求得BD. 【详解】以E 为原点，EA,EC 为x,y 轴建立空间直角坐标系，如下图．31(0,0,0),(,2),(0,1,0),(0,,2)(11)2E F B D t t --≤≤ 31,2),(0,1,2)2EF BD t ==+u u u v u u u v2(1)4102cos 5(1)4t EF BD EF BD t θ++⋅===⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v 解得t=1，所以22BD =，填22．【点睛】利用空间向量求解空间角与距离的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.16．已知直线1l 是抛物线C ：28y x =的准线，P 是C 上的一动点，则P 到直线1l 与直线2l ：34240x y -+=的距离之和的最小值为________. 【答案】6【解析】将P 到准线的距离，转化为到焦点的距离，由此利用焦点到直线34240x y -+=的距离求得所求的最小值.【详解】依题意，抛物线的准线为2x =-，焦点坐标为()2,0F .由于P 到准线的距离等于到焦点的距离，所以P 到直线1l 与直线2l ：34240x y -+=的距离之和，等于P 到焦点与直线2l 的距离之和，最小值为焦点F 到直线34240x y -+=的距离，即最小值为32402465⨯-⨯+=.故答案为：6 【点睛】本小题主要考查抛物线上的点到准线和到定直线的距离之和，考查抛物线的定义，属于基础题.三、解答题17．设命题p ：实数x 满足22230(0)x ax a a --<>，命题q ：实数x 满足204xx -≥-． （I ）若1a =，p q ∧为真命题，求x 的取值范围；（II ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）[)23，；（II ）43⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 【解析】分析：（1）将问题转化为当1a =时求不等式组的解集的问题．（2）将p ⌝是q ⌝的充分不必要条件转化为两不等式解集间的包含关系处理，通过解不等式组解决． 详解：（1）当1a =时， 由2230x x --<得13x -<<，由204xx -≥-得24x ≤<， ∵p q ∧为真命题，∴命题,p q 均为真命题， ∴13,24,x x -<<⎧⎨≤<⎩解得23x ≤<，∴实数x 的取值范围是[)2,3．（2）由条件得不等式22230x ax a --<的解集为(),3a a -， ∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件， ∴[)()2,4,3a a -，∴2,34,a a -<⎧⎨≥⎩解得43a ≥，∴实数a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．点睛：根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，由此得到不等式（组）后再求范围．解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．18．求适合下列条件的曲线的标准方程：（1）4,1a b ==，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程； （2）4,3a b ==，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程；（3）焦点在x 轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程.【答案】(1)22116x y +=；(2)2211625y x -=；(3)24x y =或24x y =-.【解析】试题分析：（1）利用几何元素的值和焦点位置直接写出椭圆的标准方程；（2）利用几何元素的值和焦点位置直接写出双曲线的标准方程；（3）利用抛物线的定义（抛物线22(0)y px x =>的焦点到准线的距离等于p ）进行求解.试题解析：（1）根据题意知4,1a b ==， 焦点在x 轴上， ∴2216,1a b ==，故椭圆的标准方程为：221161x y +=，即22116x y +=.（2）解:由题意，设方程为()222210,0y x a b a b-=>>，∵4,5a b ==， ∴2216,25a b ==，所以双曲线的标准方程是2211625y x -=.（3）∵焦点到准线的距离是2， ∴24p =，∴当焦点在y 轴上时，抛物线的标准方程为24x y =或24x y =-.19．如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线都等于1，点,,E F G 分别是,,AB AD CD 的中点，设,,,AB a AC b AD c a b c ===u u u v u u u v u u u v v v v v v v，，为空间向量的一组基底，计算：（1）EF BA ⋅u u u v u u u v ;（2）EG u u u v .【答案】(1)14；（2）22. 【解析】（1）先根据条件确定,a b c v v v，的模以及相互之间的夹角，再根据向量共线以及加减法表示EF BA u u u v u u u v ，，最后根据向量数量积求结果，（2）根据向量减法表示EG u u u v，再根据向量模的定义以及向量数量积求结果. 【详解】(1） 因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线都等于1，所以π1,,,,3a b c a b b c c a ======v v v v v v v v v ，因为点,E F 分别是,AB AD 的中点，所以111()()222EF BD AD AB c a ==-=-u u u v u u u v u u u v u u u v v v，EF BA∴⋅u u u v u u u v 1111=()()(111)2224c a a -⋅-=-⨯⨯+=v v v （2）因为11()22EG EF FG c a b =+=-+u u u v u u u v u u u v vv v ，所以21111112||()1112112112112222222EG c a b =-+=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯u u u v v v v【点睛】本题考查向量表示以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.20．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为63，焦距为2斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C 、D 和点71,44Q ⎛⎫-⎪⎝⎭ 共线，求k .【答案】（Ⅰ）2213x y +=；（Ⅱ；（Ⅲ）1. 【解析】（Ⅰ）根据题干可得,,a b c 的方程组，求解22,a b 的值，代入可得椭圆方程；（Ⅱ）设直线方程为y x m =+，联立，消y 整理得2246330x mx m ++-=，利用根与系数关系及弦长公式表示出||AB ，求其最值；（Ⅲ）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合C D Q 、、三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率k . 【详解】（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=；（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12AB x =-=， 易得当20m =时，max ||AB =AB ； （Ⅲ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②， 又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由()122213y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=，则2113211213kx xk+=-+，即2131211213kx xk=--+，又1112ykx=+，代入①式可得13171247xxx--=+，所以13147yyx=+，所以11117124747x yCx x⎛⎫--⎪++⎝⎭,，同理可得22227124747x yDx x⎛⎫--⎪++⎝⎭,．故3371,44QC x y⎛⎫-⎪⎭=+⎝uuu v，4471,44QD x y⎛⎫-⎪⎭=+⎝uuu v，因为,,Q C D三点共线，所以344371714444x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将点,C D的坐标代入化简可得12121y yx x-=-，即1k=．【点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到,,a b c三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式2211AB k x x=+-变形为221212||1()4AB k x x x x=+⋅+-，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.21．如图，在四棱锥S ABCD-中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，2SA AB BC===，1AD=.（1）若M为棱SB的中点，求证：AM//平面SCD；（2）当2SM MB=时，求平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；（3）在第（2）问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求当sinθ取最大值时点N的位置.【答案】（1）见解析；（2）66（3）即点N在线段CD上且115ND=【解析】（1）取线段SC 的中点E ，连接ME ，ED ．可证AMED 是平行四边形，从而有//AM DE ，则可得线面平行；（2）以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出两平面AMC 与平面SAB 的法向量，由法向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值；（3）设()N x,2x 2,0-，其中1x 2<<，求出MN u u u u r，由MN 与平面SAB 所成角的正弦值为MN u u u u r与平面SAB 的法向量夹角余弦值的绝对值可求得结论． 【详解】（1）证明：取线段SC 的中点E ，连接ME ，ED ．在中，ME 为中位线，∴//ME BC 且12ME BC =， ∵//AD BC 且12AD BC =，∴//ME AD 且ME AD =， ∴四边形AMED 为平行四边形． ∴//AM DE ．∵DE ⊂平面SCD ，AM ⊄平面SCD ， ∴//AM 平面SCD ．（2）解：如图所示以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()A 0,0,0，()B 0,2,0，()C 2,2,0，()D 1,0,0，()S 0,0,2，由条件得M 为线段SB 近B 点的三等分点．于是2142(0,,)3333AM AB AC =+=u u u u r u u u r u u u r ，即42M 0,,33⎛⎫⎪⎝⎭，设平面AMC 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则00AM n AC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v vu u u v v ， 将坐标代入并取1y =，得(1,1,2)n =--r．另外易知平面SAB 的一个法向量为m u r()1,0,0=，所以平面AMC 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦为m nm n ⋅u r ru r r 66=． （3）设()N x,2x 2,0-，其中1x 2<<．由于42M 0,,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以MN u u u u r 102x,2x ,33⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．所以22sin 401041041401553993MN m MN m x x x xθ⋅===-+⋅-⋅+u u u u r u r u u u u r u r ， 可知当401153208x 269-=-=，即26x 15=时分母有最小值，此时有最大值，此时，2622N ,,01515⎛⎫⎪⎝⎭，即点N 在线段CD 上且115ND =． 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查求二面角与线面角．求空间角时，一般建立空间直角坐标系，由平面法向量的夹角求得二面角，由直线的方向向量与平面法向量的夹角与线面角互余可求得线面角．。
2018学年陕西省西安市西工大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：若由资料可知y对x呈线性相关关系，则y与x的线性回归方程=bx+a必过的点是（）A．（2，2） B．（1，2） C．（3，4） D．（4，5）2．（3分）（n﹣3）（n﹣4）…（n﹣9）（n﹣10）（n∈N，n＞10）可表示为（）A．A B．A C．A D．C3．（3分）已知随机变量X的分布列为：其中a，b，c为等差数列，若，则DX为（）A．B．C．D．4．（3分）已知（1+3x）n展开式中，各项系数的和与其各二项式系数的和之比64，则n等于（）A．4 B．5 C．6 D．75．（3分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜116．（3分）已知X∽B（n，p），且E（X）=2，D（X）=，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．87．（3分）已知随机变量X的方差D（X）=m，设Y=3X+2，则D（Y）=（）A．9m B．3m C．m D．3m+28．（3分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，89．（3分）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（X≤4）=0.84，则P（0≤X≤2）=（）A．0.64 B．0.16 C．0.32 D．0.3410．（3分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．11．（3分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．1512．（3分）有5双不同的鞋中任取4只，其中至少有一双取法共有（）种A．130种B．140种C．250种D．205种二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）6展开式中x2项的系数为．14．（3分）（x2﹣）6展开式中的常数项为．（用数字作答）15．（3分）某班全体学生参加英语成绩的频率分布直方图如图，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是．16．（3分）一个袋子中装有9个白球和3个红球，每次“有放回”的取一个球，连续取6次，则取中红球次数ξ的期望E （ξ）= ．17．（3分）两圆C 1：（x ﹣4）2+（y ﹣3）2=R 2与C 2：x 2+y 2=4总有公共点，则圆C 1半径R 的取值范围是 ．18．（3分）袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回的摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为 ．三、解答题（本题共46分） 19．（8分）已知（﹣）n 的展开式中，第四项的二项式系数与第三项的二项式系数的比为4：3． （1）求n 的值．（2）求展开式中所有有理项．20．（8分）某班主任对全班48名学生学习积极性和对待班级活动的态度进行了调查，数据如表：（1）如果随机抽查这个班的一名学生，求抽到学习积极性高且积极参加班级活动的学生的概率．（2）该班主任据此推断该班学习学习的积极性与对待班级活动的态度有关，则这种推断出错的概率祭超过多少？ 附：x 2=21．（10分）已知箱中装有个4白球和2个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．（1）求X的分布列．（2）求X的数学期望E（X）22．（10分）某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展，每位教师可以选择参一项培训、参加两项培训或不参加培训．现知全市教师中，有选择心理学培训，有选择计算机培训，每位教师对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（1）任选1名教师，求该教师选择两项培训的概率．（2）任选3名教师，记X为3人中选择不参加培训的人数，求随机变量X的分布列和期望．23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．附加题（全对记分）：24．已知数列{a n}满足：a1=1，a2=，且a n+2=（n∈N*）．求下表中前n行所有数的和S n2018学年陕西省西安市西工大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）假设关于某设备使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：若由资料可知y对x呈线性相关关系，则y与x的线性回归方程=bx+a必过的点是（）A．（2，2） B．（1，2） C．（3，4） D．（4，5）【解答】解：∵，==4，∴这组数据的样本中心点是（3，4）∵线性回归方程过样本中心点，∴线性回归方程一定过点（3，4）故选：C．2．（3分）（n﹣3）（n﹣4）…（n﹣9）（n﹣10）（n∈N，n＞10）可表示为（）A．A B．A C．A D．C【解答】解：根据题意，（n﹣3）（n﹣4）…（n﹣9）（n﹣10）==故选：B．3．（3分）已知随机变量X的分布列为：其中a，b，c为等差数列，若，则DX为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知：，解得a=，b=，c=，∴DX=（﹣1﹣）2×+（0﹣）2×+（1﹣）2×=．故选：C．4．（3分）已知（1+3x）n展开式中，各项系数的和与其各二项式系数的和之比64，则n等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：令x=1，可得各项系数的和为4n，二项式系数的和为2n，∴=64，∴n=6，故选：C．5．（3分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S＜9．若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符．故选：B．6．（3分）已知X∽B（n，p），且E（X）=2，D（X）=，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵X∽B（n，p），且E（X）=2，D（X）=，∴，解得n=6，p=，∴n=6．故选：B．7．（3分）已知随机变量X的方差D（X）=m，设Y=3X+2，则D（Y）=（）A．9m B．3m C．m D．3m+2【解答】解：∵随机变量X的方差D（X）=m，Y=3X+2，∴D（Y）=D（3X+2）=32D（X）=9m．故选：A．8．（3分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．9．（3分）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（X≤4）=0.84，则P（0≤X≤2）=（）A．0.64 B．0.16 C．0.32 D．0.34【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），μ=2，得对称轴是X=2，P（X≤4）=0.84，∴P（X≥4）=P（X≤0）=1﹣0.84=0.16，∴P（0≤X≤2）=0.5﹣0.16=0.34．故选：D．10．（3分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B．11．（3分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．15【解答】解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且n∈z，故做问卷B的人数为10，故选：C．12．（3分）有5双不同的鞋中任取4只，其中至少有一双取法共有（）种A．130种B．140种C．250种D．205种【解答】解：根据题意，从5双不同鞋子取出4只鞋的取法种数是C104=210，取出的四只鞋都不成双的方法有C54×2×2×2×2=80种，则其中至少有一双取法共有210﹣80=130种，故选：A．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）6展开式中x2项的系数为35．【解答】解：因为（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）6展开式的第一项没有x2的项，所以：展开式中x2的系数：=1+3+6+10+15=35．因此，本题正确答案是：35．故答案为：35．14．（3分）（x2﹣）6展开式中的常数项为15．（用数字作答）=（﹣1）r C6r x12﹣3r【解答】解：展开式的通项公式为T r+1令12﹣3r=0得r=4∴展开式中的常数项为C64=15故答案为1515．（3分）某班全体学生参加英语成绩的频率分布直方图如图，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是50．【解答】解：由图可知，低于60分的频率为：（0.005+0.01）×20=0.3，故该班人数为．故答案为：50．16．（3分）一个袋子中装有9个白球和3个红球，每次“有放回”的取一个球，连续取6次，则取中红球次数ξ的期望E（ξ）=2．【解答】解：由题可知随机变量X满足独立重复实验，取得红球的概率为：，可知：X∽B（6，），∴取中红球次数ξ的期望E（ξ）=6×=2．故答案为：2．17．（3分）两圆C1：（x﹣4）2+（y﹣3）2=R2与C2：x2+y2=4总有公共点，则圆C1半径R的取值范围是[3，7] ．【解答】解：圆C1：（x﹣4）2+（y﹣3）2=m2的圆心为C1（4，3），半径r1=|R|，C2：x2+y2=4的圆心为C2（0，0），半径r2=2，两圆有公共点，则两圆的位置关系为相交或相切，圆心距d=|C1C2|==5，两圆半径分别为|R|，2，由||R|﹣2|≤d≤2+|R|，得||R|﹣2|≤5≤2+|R|，解得﹣7≤R≤﹣3或3≤R≤7．∵R是圆C1的半径，∴3≤R≤7，∴圆C1半径R的取值范围是[3，7]．故答案为：[3，7]．18．（3分）袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回的摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率为．【解答】解：记事件A为“第一次取到黑球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“第一次取到黑球、第二次取到白球”，根据题意知，P（A）=，P（AB）=，∴在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率是：P（B|A）===．故答案为：．三、解答题（本题共46分）19．（8分）已知（﹣）n的展开式中，第四项的二项式系数与第三项的二项式系数的比为4：3．（1）求n的值．（2）求展开式中所有有理项．【解答】解：（1）∵第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为4：3，∴：=4：3，∴=，∴n=6．（2）（﹣）n =（﹣）6的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣2）r •，根据3﹣为有理数，可得r=0，6，故第1，7项是有理项，即有理项分别为x3，64x﹣2．20．（8分）某班主任对全班48名学生学习积极性和对待班级活动的态度进行了调查，数据如表：（1）如果随机抽查这个班的一名学生，求抽到学习积极性高且积极参加班级活动的学生的概率．（2）该班主任据此推断该班学习学习的积极性与对待班级活动的态度有关，则这种推断出错的概率祭超过多少？附：x2=【解答】解：（1）全班48名学生学习积极性和对待班级活动的态度调查，抽到学习积极性高且积极参加班级活动的学生26人，所以P==．（2）x2==≈5.04＞3.841，∴有95%的概率认为有关系，∴推断出错的概率会不超过95%．21．（10分）已知箱中装有个4白球和2个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．（1）求X的分布列．（2）求X的数学期望E（X）【解答】解：（1）由题意得X取4，5，6，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）==，∴X的分布列为：（2）由X的分布列，得：E（X）==5．22．（10分）某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展，每位教师可以选择参一项培训、参加两项培训或不参加培训．现知全市教师中，有选择心理学培训，有选择计算机培训，每位教师对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（1）任选1名教师，求该教师选择两项培训的概率．（2）任选3名教师，记X为3人中选择不参加培训的人数，求随机变量X的分布列和期望．【解答】解：（1）任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件A，“该教师选择计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P（A）=0.6，P（B）=0.75．任选1名，该教师只选择参加一项培训的概率是：P=P（A）+P（B）=0.6×0.25+0.4×0.75=0.45．（2）任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是：P=P（）=P（）P（）=0.4×0.25=0.1．∵每个人的选择是相互独立的，∴3人中选择不参加培训的人数ξ服从二项分布B（3，0.1），∴P（ξ=0）==0.729，P（ξ=1）==0.243，P（ξ=2）==0.027，P（ξ=3）==0.001，∴ξ的分布列是：E（ξ）=3×0.1=0.3．23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）圆的方程可写成（x﹣6）2+y2=4，所以圆心为Q（6，0），过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2．代入圆方程得x2+（kx+2）2﹣12x+32=0，整理得（1+k2）x2+4（k﹣3）x+36=0．①直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△=[4（k﹣3）2]﹣4×36（1+k2）=42（﹣8k2﹣6k）＞0，解得，即k的取值范围为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由方程①，②又y1+y2=k（x1+x2）+4．③而．所以与共线等价于（x1+x2）=﹣3（y1+y2），将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数k．附加题（全对记分）：24．已知数列{a n}满足：a1=1，a2=，且a n+2=（n∈N*）．求下表中前n行所有数的和S n【解答】解：根据a1=1，a2=，且a n+2=（n∈N*）．得到a3==×=，a4==××=，…，根据图表可知S n=++…+=2+6+14+…+2n+1﹣2=（4+8+…+2n+1）﹣2n=﹣2n=2n+2﹣2n﹣4．因此，本题正确答案为2n+2﹣2n﹣4．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
陕西省西安中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.抛物线x2=-8y的准线方程是（）A. B. C. D.2.已知向量=（1，1，0），则与共线的单位向量=（）A. B. 1， C. D. 1，3.下列说法中正确的是( )A. 若，则四点构成一个平行四边形B. 若，，则C. 若和都是单位向量，则D. 零向量与任何向量都共线4.给出如下三个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”．正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 35.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.6.“”是“的最小正周期为”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.若曲线表示椭圆，则的取值范围是( )A. B. C. D. 或8.已知平面α内有一点M（1，-1，2），平面α的一个法向量=（2，-1，2），则下列点P在平面α内的是（）A. 4，B. 0，C. 3，D.9.若点O和点F（-2，0）分别为双曲线（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为A. [3-,）B. [3+,）C. [,）D. [,）10.已知动圆P与定圆C：（x-2）2+y2=1相外切，又与定直线l：x=-1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（）A. B. C. D.11.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=x+2y+3z，则x+y+z=（）A. 1B.C.D.12.方程与的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）．A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=8，则|AB|=______；14.已知，且，，，则=______；15.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是_________.16.如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面底面,且，分别为棱的中点，则点到平面的距离为______.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥B1C；（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值．19.如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，（1）求证：CF∥平面A1DE；（2）求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．20.已知抛物线的焦点，抛物线上一点点纵坐标为2，.（1）求抛物线的方程；（2）已知抛物线与直线交于两点，轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.21.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD=2，E、F分别为CD、PB的中点．（1）求证：EF⊥平面PAB；（2）设，求直线AC与平面AEF所成角θ的正弦值．22.已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）直线过点，且与椭圆交于两点，求面积的最大值.陕西省西安中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.抛物线x2=-8y的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据题意，求得抛物线x2=-8y的p，即可求出准线方程.【详解】抛物线x2=-8y可得2p=8所以故准线方程为y=2故选B【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题.2.已知向量=（1，1，0），则与共线的单位向量=（）A. B. 1， C. D. 1，【答案】C【解析】【分析】先根据题意，设出与共线的单位向量可为，再利用单位向量的模长为1，求得a的值即可得出答案. 【详解】因为向量=（1，1，0）所以与共线的单位向量可为且解得所以可得与共线的单位向量为或故选C【点睛】本题主要考查了向量共线的单位向量，属于基础题.3.下列说法中正确的是( )A. 若，则四点构成一个平行四边形B. 若，，则C. 若和都是单位向量，则D. 零向量与任何向量都共线【答案】D【解析】【分析】结合向量的性质，对选项逐个分析即可选出答案。
绝密★启用前2020年陕西省西安市西工大附中高考数学模拟试卷（理科）（3月份）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合22(,)|12xA x y y⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，{(,)|3}xB x y y==，则A BI中的元素的个数是()A．1B．2C．3D．42．复数2312izi+=+-在复平面内对应的点到原点的距离是()A．2B．5C．10D．233．虚拟现实()VR技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR技术后，VR市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番，据统计该地区VR市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是()A．该地区2019年的VR市场总收入是2017年的4倍B．该地区2019年的VR硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多C．该地区2019年的VR软件收入是2018年的软件收入的3倍D．该地区2019年的VR软件收入是2017年的软件收入的6倍4．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为0，则中可填入()A．2m m=+B．1m m=+C．1m m=-D．2m m=-5．设124 a-=，141log5b=，4log3c=，则a，b，c的大小关系是() A．a b c<<B．a c b<<C．c a b<<D．c b a<<6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别且只能标记数字1，2，3，4，相邻区域标记的数字不同，其中，区域A和区域B标记的数字丢失．若在图上随机取一点，则该点恰好取自标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是()A．115B．110C．13D．1307．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论不正确的是()A．卫星向径的最小值为a c-B．卫星向径的最大值为a c+C．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大8．已知在斜三棱柱111ABC A B C-中，点E，F分别在侧棱1AA，1BB上（与顶点不重合），11AE BFEA FB =，14AA =，ABC ∆的面积为5，截面1C EF 与截面CEF 将三棱柱111ABC A B C -分成三部分．若中间部分的体积为4，则1AA 与底面所成角的正弦值为( ) A ．12B ．35C ．45D9．已知()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<…是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间[,]2211ππ-内是单调函数，则()(6f π= ) A．B ．12-C ．12D10．已知直线l 与曲线x y e =相切，切点为P ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点．若OAB ∆的面积为3e，则点P 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．411．知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的右支上，1MF 与y 轴交于点A ，2MAF ∆的内切圆与边2AF 切于点B ．若12||4||F F AB =，则C 的渐近线方程为( ) A0y ±=B．0x ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=12．已知符号函数1,00,01,0x sgnx x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[0x ∈，1]时，()f x x =，则( )A ．(())0sgn f x >B ．4041()12f = C ．((2))0()sgn f k k Z =∈D ．(())||()sgn f k sgnk k Z =∈二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(3,2)a =-r，(1,1)b =-r ，若()a b a μ+⊥r r r ，则实数μ的值为 ；若()//(2)a b a b μ++r rr r ，则实数μ的值为 ． 14．若对12233(1)1n n nn n n n x C x C x C x C x+=++++⋯+两边求导，可得112321(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x--+=+++⋯+．通过类比推理，有723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，可得1234567234567a a a a a a a ++++++的值为 ．15．已知数列{}n a 中，111a =，121n n a a n n+=++，若对任意的[1m ∈，4]，存在*n N ∈，使得2n a t mt >+成立，则实数t 的取值范围是 ．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长是a ，S 是11A B 的中点，P 是11A D 的中点，点Q 在正方形11DCC D 及其内部运动，若//PQ 平面1SBC ，则点Q 的轨迹的长度是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图所示，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，且90DAC ∠=︒，22cos DAB ∠=，6AB =．（1）若3sin C =，求BC 的值； （2）若BC 边上的中线2AE =，求AC 的值．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，//AB CD ，AD CD ⊥，22CD AB AD ==，四边形ADEF 是矩形，平面BDE ⊥平面ABCD ，AF AD λ=． （1）证明：DE ⊥平面ABCD ； （2）若二面角B CF D --25，求λ的值．19．（12分）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，圆22:(3)(2)16E x y -+-=与C 交于M ，N 两点，且M ，E ，F ，N 四点共线． （1）求抛物线C 的方程；（2）设动点P 在直线1x =-上，存在一个定点(T t ，0)(0)t ≠，动直线l 经过点T 与C 交于A ，B 两点，直线PA ，PB ，PT 的斜率分别记为1k ，2k ，3k ，且1232k k k +-为定值，求该定值和定点T 的坐标．20．（12分）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助．某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）．按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．（1）求这300名员工日行步数x （单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数ξ（单位：千步）服从正态分布2(,)N μσ，其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数(14ξ∈，18]的人数；（3）用样本估计总体，将频率视为概率．若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8~14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元．求工会慰问奖励金额X （单位：元）的分布列和数学期望．附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈…，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈…，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈…．21．（12分）已知函数21()()f x alnx a R x=+∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，212()x x x <是()f x 的两个零点，求证：212()10ealn x x a-++<．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），直线2C 的参数方程为2(x ata y t =-+⎧⎨=⎩为常数且0a ≠，t 为参数）．（1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 和2C 相交于A 、B 两点，以线段AB 为一条边作1C 的内接矩形ABCD ，当矩形ABCD 的面积取最大值时，求a 的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|||22|()f x x a x a R =+--∈． （1）证明：()||1f x a +…；（2）若2a =，且对任意x R ∈都有(3)()k x f x +…成立，求实数k 的取值范围．。
西安中学2019-2020学年度第一学期期中考试高二（理科）数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的互斥事件是（）A. 2次都不中靶B. 2次都中靶C. 至多有1次中靶D. 只有1次中靶2.某学校为了解1000名新生的近视情况，将这些学生编号为000，001，002，…，999，从这些新生中用系统抽样的方法抽取100名学生进行检查，若036号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A. 008号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生3.某校从高二年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高二年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1204.342xx⎛-⎝⎭的展开式中的常数项为( )A.－3 2B.3 2C.6D.－65.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著，若在这四大名著中任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（）A. B. C. D.6.随机变量X服从正态分布（3，σ2），且P（X ≤4）=0.84，则P（2＜X ＜4）=（）A. B. C. D.7.若（2-3x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a1+a2+a3+…+a6等于（）A. B. 1 C. D.8.将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有（）A. 480种B. 240种C. 960种D. 720 种9.从3名男生和2名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案有（）A. 9种B. 12种C. 54种D. 72种10.某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A. B. C. D.11.以图中的8个点为顶点的三角形的个数是（） .A. 56B. 48C. 45D. 4212.已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次若发球成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止。
2019年西工大附中第六次模考数学试卷（考试时间：120分钟 满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．25-的绝对值是（ ）A ．25 B ．25-C ．52-D ．522．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的形状是（ ）A ．圆柱B ．圆台C ．长方体D ．圆锥3．如图，b ∥c ，a ⊥b ，∠1=130°，则∠2等于（ ） A ．30° B ．40° C ．50° D ．60°4．下列计算正确的是（ ）A 382± B ．3377-- C ．16493-=-D 4293±5．在平面直角坐标系中，点A 的坐标（3-，2），将点A 绕着O 顺时针旋转90°得到点B ，若正比例函数y kx =的图象经过点B ，则k 的值为（ ）A ．6B ．6-C ．23D ．326．如图，∠BAC =30°，AP 平分∠BAC ，GF 垂直平分AP ，交AC 于F ，Q 为射线AB 上一动点，若PQ 的最小值为3，则AF 的长为（ ）A ．6B ．33C ．3D ．97．如图，在平面直角坐标系中有一个等边△OAB ，OA =2，且OA 在x 轴上，点B 在第一象限，若△OAB 和△''OA B 关于y 轴对称，其中点A 的对称点为点'A ，点B 的对称点为点'B ，则直线AB 的表达式为（ ）A ．33y =+ B ．323y =C ．33y x =D ．233y x =-8．如图，O e 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，OD ∥BC 交O e 于点D ，交AC 于点E ，连接AD BD CD 、、，若10AB =，3cos 5ABC =∠，则tan DBC ∠的值是（ ）A ．12B ．13 C ．2D ．439．如图，在Rt ABC △中，ACB =∠90°，点E F 、分别是直角边BC AC 、的中点，且3AE =，4BF =．则AB =（ ）A ．23B ．32C ．5D ．510．已知：如图，抛物线23y ax bx =++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B 、点C ，连接AB ，以AB 为边向右作平行四边形ABDE ，点E 落在抛物线上，点D 落在x 轴上，若抛物线的对称轴恰好经过点D ，且∠ABD =60°，则这条抛物线的解析式为（ ） A ．22333y =++ B ．23233y x x =C ．23233y x x =-D ．23233y x x =二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 11．因式分解：39a a -= ．12．从一个多边形的一个顶点引出4条对角线，则此多边形的内角和是 ．13．如图，点A 是射线54y x=（0x >）上一点，过点A 作AB ⊥x 轴于B ，以AB 为边在其右侧作正方形ABCD ，过点A 的双曲线k y x =交CD 边于点E ，则DEBC 的值为 ．14．如图，已知线段9AB =，点C 为线段AB 上一点，3AC =，点D 为平面内一动点，且满足3CD =，连接BD ，将BD 绕点D 逆时针旋转90°到DE ．连接BE AE 、，则AE 的最大值为 ．三、解答题（本大题共11小题，共78分）15．（本题满分5分）计算：01312( 3.14)27()3π--+-+-．16．（本题满分5分）先化简，再求值：221()2112a a aa a a -÷-+-+，其中5a ．17．（本题满分5分）如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 向上折叠，请利用尺规作出折叠后得到的图形（保留作图痕迹，不写作法）．=，∠A=∠C，点E在BD的18．（本题满分5分）如图，AD与BC相交于点F，FA FC垂直平分线上．求证：∠FBE=∠FDE．19．（本题满分7分）：自2016年共享单车上市以来，给人们的出行提供了便利，受到了广大市民的青睐．某公司为了了解员工上下班回家的路程（设路程为x公里）情况，随机抽取了若干名员工进行了问卷调查，现将这些员工的调查结果分为四个等级：A：x<≤，D：9x>，并将调查结果绘制成如下两幅不<≤，C：6903x≤≤，B：36x完善的统计图．（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；其中扇形统计图中B D；（2）所抽取员工下班路程的中位数落在等级（填字母）．（3）若该公司有900名员工，为了方便员工上下班，在高峰期时规定路程在6公里以上可优先选择共享单车下班，请你估算该公司有多少人可优先选择共享单车．20．（本题满分7分）为了测量山坡上的电线杆PQ的高度，某数学小组的同学们带上自制的侧倾器和皮尺来到山脚下，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为30°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角为60°，求信号塔PQ的高度．21．（本题满分7分）某演唱会购买门票的方式有两种．方式一：若单位赞助广告费10万元，则该单位所购门票的价格为每张0.02万元；（注：方式一中总费用＝广告赞助费＋门票费）方式二：按如图所示购买门票方式．设购买门票x张，总费用为y万元，．（1）求按方式一购买时y与x的函数关系式．（2）若甲、乙两个单位分别采用方式一、方式二购买本场演唱会门票共400张，且乙单位购买超过100张，两单位共花费27.2万元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？22．（本题满分7分）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字2，3，4，5．图②是一个正五边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法继续跳动． （1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C 处的概率是 ． （2）随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终C 处的概跳动到点率．23．（本题满分8分）已知，点A 为O e 外一点，过A 作O e 的切线与O e 相切于点P ，连接PO 并延长至圆上一点B ，连接AB 交O e 于点C ，连接OA 交O e 于点D ，连接DP ，且∠OAP =∠DPA（1）求证：PO PD =；（2）若3AC =，求O e 的半径．24．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，−3）点．（1）求抛物线1C 的表达式；（2）分别写出抛物线1C 关于点B ，关于点A 的对称抛物线2C 、3C 的函数表达式； （3）设1C 顶点为D ，2C 与x 轴另一个交点为1A ，顶点为1D ，3C 与x 轴另一个交点为1B ，顶点为2D ，在以1112A B D A B D D 、、、、、、这七个点中的四个点为顶点的四边形中，求面积最大的四边形面积．陕西省西安工业大学附属中学2019-2020年初三（上）数学第六次模考试卷（Word 版无答案）11 / 1125．（本题满分12分）问题提出：如图①，菱形ABCD 中，4AB =，∠ABC =60°，点O 是菱形ABCD 两条对角线的交点，EF 是经过点O 的任意一条线段，容易知道线段EF 将菱形ABCD 的面积等分，那么线段EF 长度的最大值是 ，最小值是 ．问题探究：如图②，四边形中ABCD 中，AD BC ∥，2AD =，4BC =，∠B =∠C =60°，请你过点D 画出四边形ABCD 面积等分的线段DE ，并求出DE 的长．问题解决：如图③，四边形ABCD 是西安市城区改造过程中的一块不规则空地，为了美化环境，市规划办决定在这块地里种植两种花卉，打算过点C 修一条笔直的通道，以方便市民出行和观赏花卉，要求通道两侧种植的两种花卉面积相等经测量20AB =米，100AD =米，∠A =60°，∠ABC =150°，∠BCD =120°，若将通道记为CF ，请你画出通道CF ，并求出通道CF 的长．。
