高中数学必修一《几类不同增长的函数模型》教案设计

优质资料---欢迎下载“几种不同增长的函数模型”教学设计一、 教材分析（一） 、教学内容本节课的内容是高中数学必修1第三章《函数的应用》的第二节“几种不同增长的函数模型”第一课时，根据课程设置要求，“几种不同增长的函数模型”需用2个课时，因此我把教材中的例题1和例题2作为第一课时。

（二）教材的地位和作用本节课要求学生通过实例分析，体会“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”的含义及其在实际生活中的应用。

它既是第二章基本初等函数知识的延续，又为函数模型的应用打下了基础，起着承前起后的作用。

（三）、教学目标和要求1、知识目标：利用计算工具，比较指数函数、对数函数、幂函数间的增长差异，结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同函数增长的含义。

2、能力目标：通过对几种不同增长的函数模型的分析，体会它们间的差异，培养学生利用图表分析问题的能力和数据处理能力；了解函数模型的广泛应用；培养学习数学的兴趣。

3、情感目标：通过对几种不同增长的函数模型的探究，体验指数函数、对数函数、幂函数与现实世界的密切联系及其在刻划现实生活中的作用。

（四）、教学重难点：重点: 认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长；应用函数模型解决简单问题。

难点：学生对指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的认识还很少所以让学生比较这几种函数的增长差异会有一定困难；如何选择适当的函数模型分析解决实际问题是另一个困难。

二、教学方法：问题探究和启发式相结合的教学方法． 三、教学工具：电脑多媒体四、教学过程1、复习、引入：在《基本初等函数》中我们学习了哪几种函数？ 2、创设问题情境一： （展示细胞生长故事的课件）12222324回顾：某种细胞分裂时，由1个分裂成两个，两个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系是。

第一次第二次第三次第四次引导学生观察，思考，回答问题。

人教版高中数学教学设计案例《几类不同增长的函数模型》一、教学任务分析1．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，建立实际问题的函数模型是函数教学的一项重要任务．而要建立实际问题的函数模型，不仅就要理解具体函数的概念和性质，还要能区别它们之间的差异．特别是在选择函数模型描述实际问题增长变化的规律时，更要能比较各个函数在不同范围的增长差异．这对进一步理解函数的增减性、增长（减少）快慢、增长（衰减）率等性质，更好地认识函数模型都有促进作用．2．本节内容的教学目就是能利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异，并结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长的不同函数类型增长的含义．利用计算工具可以通过函数解析式、图象、表格等多元联系表示来比较函数增长的差异．3．本节内容的教学重点是通过实例比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异，并从中体会直线上升、指数爆炸、对数增长的不同函数类型增长的含义．由于一个函数在不同区间的增长情况会有所不同，所以学生要比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异，特别是要比较指数函数与幂函数的增长差异，可能会有困难．二、教学基本流程例1、例2体会直线上升、指数爆炸、对数增长的不同函数类型增长的含义比较y＝2x、y＝x2和y＝log2x的增长情况体会指数函数、对数函数、幂函数在不同区间的增长差异小结三、教学情景设计1．通过例1体会直线上升和指数爆炸的不同函数类型增长的含义（1）提出问题问题：对于例1的三种投资方案，你觉得哪种方案的回报多？为什么？问题设计意图：先让学生凭直觉做出判断，再建立三种方案的函数模型进行准确地分析．这样，学生便可通过对比，对直线上升和指数爆炸有深刻的体会．师生活动：教师引导学生阅读例1，然后让学生凭直觉尝试回答问题．（2）建立实际问题的函数模型问题：怎样才能较为准确地评价三种投资方案？问题设计意图：引导学生将实际问题转化为数学问题，建立三种投资方案所对应的函数模型．师生活动：教师提出问题，学生交流并回答问题．问题：例1中存在哪些变量？能否分别用函数描述三种方案中变量间的关系？问题设计意图：引导学生分别建立三种投资方案所对应的函数模型．师生活动：学生分析问题中的变量关系，并写出每个方案的函数解析式．在此过程中，当学生在分析变量关系以及求函数解析式遇到困难时，教师适时进行指导．问题：根据所得到的函数解析式，能否合理地选择投资方案？如果不能怎么办？问题设计意图：了解学生对所学函数模型的认知情况，并启发学生对函数进行多元联系表示，从而能直观地进行定性和定量分析．师生活动：学生根据解析式进行分析，并发表对方案选择的观点，教师引导学生将函数由解析式表示为数表和图象．（3）利用计算工具比较三种投资方案所对应的函数模型，并体会它们的增长特点问题：用计算器或计算机作出所得函数的数表和图象，看能否对选择投资方案提供帮助？问题设计意图：利用函数的数表和图象为选择投资方案提供依据，引导学生从局部和整体的角度，对三种方案所对应的函数模型的增长情况进行定量和定性分析．师生活动：学生用计算器或计算机作出三个函数的数表和图象．教师引导学生根据函数的数表和图象分析三种方案的增长情况，并依此对三种方案作出正确的选择．问题：用计算器或计算机求出三种方案每天的增加量和累计量，再对三个函数模型的增长情况作进一步的比较，看对三种函数模型是否有更清楚的认识？问题设计意图：引导学生从本质上对三个函数模型的增长情况作定量分析，为今后进一步研究函数的增长速度和增长率奠定基础．师生活动：教师引导学生利用增加量来刻画三个函数模型的增长速度．问题：对比三个函数模型的增长情况，重新描述一下三种方案的特点？问题设计意图：结合实际问题，让学生通过对比前后的选择方案，体会到直线上升和指数爆炸的不同函数类型增长的含义．师生活动：教师引导学生联系函数的解析式、数表和图象，对三种方案相应的函数模型的增长情况进行描述．2．通过例2体会对数增长的特点，并进一步体会直线上升和指数爆炸的不同函数类型增长的含义（1）提出问题问题：通过对例1的解决，你认为应该如何选择例2的三个函数模型？问题设计意图：让学生认识到，应该从定量和定性的角度对题目所给的三个函数进行对比分析．师生活动：教师引导学生阅读例2，学生在教师的引导下对解决问题的方法作出选择．问题：在例2的解决过程中，应该注意哪些问题？问题设计意图：让学生关注实际问题的条件对函数模型选择的约束，养成分析问题解决问题的良好习惯．师生活动：教师提出问题，学生通过对题目的进一步分析，得出在选择函数模型时应注意：在区间[10，1 000]上分析，y不大于5，y与x的比值不大于25%．（2）利用计算工具选择函数模型，并体会三个函数模型的增长特点问题：例2涉及到哪几类函数模型？对它们进行选择的本质是什么？问题设计意图：让学生认识到，问题的本质就是要比较三个函数的增长情况是否符合题目的要求．师生活动：教师引导学生进行分析，题目所涉及到的奖金是随利润的增加而增加，所以用以刻画这一变化规律的函数模型应该是增长型的．但题目所提供的三个模型都是增长型的，所以问题的本质就是要对它们的增长情况进行比较，从中挑选出符合题目要求的模型．问题：你是如何选择三个函数模型的？问题设计意图：引导学生认识到，虽然利用函数的数表和图象都可为选择投资方案提供依据，但数表利于从局部较为准确地定量反映函数的变化情况，而图象则利于从整体定性地描述函数变化的概貌．所以应结合问题的具体情况，选择从局部或整体的角度，对已知的三个函数模型的增长情况进行定量或定性分析．师生活动：引导学生用计算器或计算机作出已知的三个函数以及y＝5的图象，通过对图象的分析，初步选择函数y＝log7x＋1作为奖励模型．问题：你的选择一定正确吗？是否需要作进一步的说明？问题设计意图：让学生认识到，虽然利用计算工具能简捷地作出图象，并帮助我们直观地进行判断，但对所得出的判断结果，还需要进行严格的证明．以此帮助学生形成良好的思维品质．师生活动：教师引导学生通过计算和证明，说明函数y＝0.25x和y＝1.002x 都不符合奖励模型的要求，而只有函数y＝log7x＋1符合奖励模型的要求．问题：你对例1和例2所涉及到的函数模型的增长特点有何认识？问题设计意图：让学生通过对具体函数的分析，形成对其所涉及的各类函数模型增长特点的概括性认识，并通过归纳总结，加深对各类函数模型增长含义的体会．师生活动：学生进行交流，并归纳出：一次函数具有直线上升的增长特点，指数函数具有爆炸性上升的增长特点，对数函数具有平缓上升的增长特点．3．通过比较y＝2x、y＝x2和y＝log2x的增长情况，进一步认识指数函数、幂函数、对数函数在不同区间的增长差异问题：作出函数y＝2x、y＝x2和y＝log2x的数表和图象，看它们有何增长差异？问题设计意图：学生通过作函数的数表和图象，在一定区间范围对三个函数的增长差异形成初步的认识．师生活动：先让每个学生独立地用计算器或计算机作出三个函数的数表和图象，然后大家进行交流．对函数y＝log2x分别与函数y＝2x、y＝x2的增长差异形成统一认识．由于不同学生研究的区间范围不同，所以大家对函数y＝2x和y＝x2增长差异的认识会有所不同．教师组织学生对所得到的不同结论展开讨论．问题：你所作的函数数表和图象是否全面地反映出了这几个函数的增长差异？通过例1知道，函数在不同区间的增长情况会有所不同，这对分析这几个函数的增长差异有何启发？问题设计意图：引导学生在不同的区间范围，多角度地对函数y＝2x和y＝x2的增长差。

高中数学《几类不同增长的函数模型》说课稿一、教材分析《几类不同增长的函数模型》是高中数学课程中的重要内容之一。

该内容主要介绍了指数函数、幂函数和对数函数三种不同增长方式的函数模型。

在教学过程中，本节内容主要涉及以下几个方面：1.指数函数：介绍指数函数的基本概念，以及指数函数的图像、性质和应用。

2.幂函数：介绍幂函数的基本概念，以及幂函数的图像、性质和应用。

3.对数函数：介绍对数函数的基本概念，以及对数函数的图像、性质和应用。

4.三种函数模型的比较：通过对指数函数、幂函数和对数函数的增长方式的比较，使学生能够理解不同函数模型的特点和应用场景。

通过该节内容的学习，可以帮助学生深入理解函数与函数模型的概念，培养学生的数学思维和推理能力，为后续学习提供基础。

二、教学目标1.知识与技能：了解指数函数、幂函数和对数函数的定义、图像、性质和应用，能够运用所学知识分析和解决实际问题。

2.过程与方法：培养学生的观察能力和数学建模能力，引导学生发现问题、分析问题、解决问题的方法。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和热爱，培养学生合作意识和探究精神。

三、教学重难点1.教学重点：指数函数、幂函数和对数函数的定义、图像、性质和应用。

2.教学难点：如何引导学生理解不同函数模型的特点和应用场景。

四、教学过程1. 导入引入（5分钟）首先，引入本节课的主题，通过一个生活案例，让学生了解函数与函数模型的重要性。

例如：假设有一个人的财富增长的速度可以用一个函数来表示，让学生思考财富增长速度与人们的人生选择有怎样的关系。

2. 知识讲解与示例分析（25分钟）2.1 指数函数首先，介绍指数函数的定义和图像，并通过一些具体的例子，让学生理解指数函数的性质和应用。

例如：讲解指数函数的增长趋势和应用于科学计算领域的案例。

2.2 幂函数然后，介绍幂函数的定义和图像，并通过一些实际问题的分析，让学生理解幂函数的性质和应用。

例如：讲解幂函数在物理学、化学等领域中的应用。

§3.2.1 几类不同增长的函数模型一、教学目标:1. 知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.2. 过程与方法 能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用.3. 情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.二、 教学重点、难点：1. 教学重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2．教学难点 选择合适的数学模型分析解决实际问题.三、 学法与教学用具：1. 学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.2．教学用具：多媒体.四、教学设想：（一）引入实例，创设情景.教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.（二）互动交流，探求新知.1. 观察数据，体会模型.教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流.2. 作出图象，描述特点.教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据.（三）实例运用，巩固提高.1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益. 学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.2. 教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异.3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。

3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题.课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的.三维目标1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.2.恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题.3.让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣.重点难点教学重点:认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同.教学难点:应用函数模型解决简单问题.课时安排2课时教学过程第1课时几类不同增长的函数模型导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n 次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n=20时它们的厚度.你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度:f(n)=0.01·2n(cm),n块砖的厚度:g(n)=10n(cm),f(20)≈105 m,g(20)=2 m.也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解.思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的增长差异.推进新课新知探究提出问题①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为x，面积为y,把y表示为x的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y,把y表示为x的函数.④分别用表格、图象表示上述函数.⑤指出它们属于哪种函数模型.⑥讨论它们的单调性.⑦比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.①总价等于单价与数量的积.②面积等于边长的平方.③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….④列表画出函数图象.⑤引导学生回忆学过的函数模型.⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性.⑦让学生自己比较并体会.⑧另外还有与对数函数有关的函数模型.讨论结果：①y=x.②y=x2.③y=(1+5%)x,④如下表x 1 2 3 4 5 6 y=x 1 2 3 4 5 6 y=x2 1 4 9 16 25 36y=(1+5%)x 1.05 1.01 1.16 1.22 1.28 1.34 它们的图象分别为图3-2-1-1，图3-2-1-2，图3-2-1-3.图3-2-1-1 图3-2-1-2 图3-2-1-3⑤它们分别属于：y=kx+b(直线型),y=ax2+bx+c(a≠0,抛物线型)，y=ka x+b(指数型).⑥从表格和图象得出它们都为增函数.⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数.⑧另外还有与对数函数有关的函数模型,形如y=log a x+b,我们把它叫做对数型函数.应用示例思路1例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述.三个模型中，第一个是常函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它的增长情况进行分析.我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元1 40 10 0.42 40 0 20 10 0.8 0.43 40 0 30 10 1.6 0.84 40 0 40 10 3.2 1.65 40 0 50 10 6.4 3.26 40 0 60 10 12.8 6.47 40 0 70 10 25.6 12.88 40 0 80 10 51.2 25.69 40 0 90 10 102.4 51.210 40 0 100 10 204.8 102.430 40 0 300 10 214748364.8107374182.4再作出三个函数的图象(3-2-1-4).图3-2-1-4由表和图(3214)可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的.从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天方案二最多;第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.下面再看累积的回报数.通过计算机或计算器列表如下：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11一40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二10 30 60 100 150 210 180 360 450 550 660三0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4409.2818.8因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三.针对上例可以思考下面问题：①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数. ②课本把两种回报数都列表给出的意义何在？ ③由此得出怎样结论.答案:①选择哪种方案依据的是累积回报数. ②让我们体会每天回报数增长变化.③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异. 变式训练某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先缴50元基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；神州行不交月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x 分钟，两种通讯业务的费用分别为y 1元和y 2元，那么 (1)写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象；(3)求出或寻求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同； (4)若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算.思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变 化情况，为选择哪种通讯提供依据.(1)全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；(2)运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；(3)可利用方程组求解，也可以根据图象回答；(4)寻求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大.解：(1)y 1=50＋0.4x(x≥0)，y 2=0.6x(x≥0). (2)图象如图(3-2-1-5)所示.图3-2-1-5(3)根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同. (4)当通话费为200元时，由图象可知，y 1所对应的自变量的值大于y 2所对应的自变量的值,即选取全球通更合算.另解：当y 1=200时有0.4x ＋50=200,∴x 1=375； 当y 2=200时有0.6x=200,x 2=31000.显然375>31000, ∴选用全球通更合算.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型. 例2某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log 7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果.解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x,y=log 7x+1,y=1.002x的图象(图3-2-1-6).图3-2-1-6观察函数的图象，在区间［10,1 000］上，模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log 7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log 7x+1进行奖励时才符合公司的要求. 下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x ，它在区间［10,1 000］上递增，而且当x=20时，y=5,因此,当x>20时，y>5,所以该模型不符合要求；对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x 0满足1.002x 0=5,由于它在区间［10,1 000］上递增，因此当x>x 0时，y>5，所以该模型也不符合要求；对于模型y=log 7x+1，它在区间［10,1 000］上递增，而且当x=1 000时，y=log 71 000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log 7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈［10,1 000］时，是否有x y =xx 1log 7+≤0.25成立.图3217令f(x)=log 7x+1-0.25x,x∈［10,1 000］.利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象(图3217)，由函数图象可知它是递减的，因此 f(x)<f(10)≈-0.316 7<0,即log 7x+1<0.25x. 所以当x∈［10,1 000］时，xx 1log 7+<0.25. 说明按模型y=log 7x+1奖励，奖金不超过利润的25%. 综上所述，模型y=log 7x+1确实能符合公司的要求. 变式训练市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系做数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%(x>0)，销售数量就减少kx%(其中k 为正常数).目前，该商品定价为a 元，统计其销售数量为b 个. (1)当k=21时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？ (2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k 的取值范围. 解：依题意，价格上涨x%后，销售总金额为y=a(1+x%)·b(1-kx%)=10000ab ［-kx 2+100(1-k)x+10 000］.(1)取k=21,y=10000ab (21-x 2+50x+10 000),所以x=50,即商品价格上涨50%，y 最大为89ab.(2)因为y=10000ab ［-kx 2+100(1-k)x+10 000］,此二次函数的开口向下，对称轴为x=kk )1(50-，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{x|x>0}的一个子集内增大时，y 也增大. 所以kk )1(50->0,解得0<k<1. 点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.思路2例1某工厂有216名工人接受了生产1000台GH 型高科技产品的总任务，已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置.现将工人分成两组同时开始．．．．加工，每组分别加工一种装置.设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为g(x)，其余工人加工完H 型装置所需时间为h(x)(单位：小时，可不为整数). (1)写出g(x),h(x)解析式；(2)比较g(x)与h(x)的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？解：(1)由题意,知需加工G 型装置4000个，加工H 型装置3000个，所用工人分别为x 人，216-x 人. ∴g(x)=x64000,h(x)=3)216(3000•-x ,即g(x)=x 32000,h(x)=x-21610000 (0<x<216,x∈N *). (2)g(x)-h(x)=x 32000x--21610000=)216(3)5432(1000x x x --•.∵0<x<216,∴216-x>0.当0<x≤86时,432-5x>0,g(x)-h(x)>0,g(x)>h(x)； 当87≤x<216时,432-5x<0,g(x)-h(x)<0,g(x)<h(x).∴f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧N ∈<≤-N ∈≤<.,21687,2161000;,860,32000**x x xx x x(3)完成总任务所用时间最少即求f(x)的最小值.当0<x≤86时，f(x)递减， ∴f(x)≥f(86)=86320000⨯=1291000.∴f(x)min =f(86),此时216-x=130. 当87≤x<216时，f(x)递增. ∴f(x)≥f(87)=872161000-=1291000.∴f(x)min =f(87),此时216-x=129, ∴f(x)min =f(86)=f(87)=1291000, ∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86，130或87，129. 变式训练1.某农产品去年各季度的市场价格如下表：季度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 每吨售价 (单位：元)195.52000.5204.5199.5今年某公司计划按去年各季度市场价格的“平衡价m”(平衡价m 是这样的一个量：m 与各季度售价差的平方和最小)收购该种农产品，并按每个100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万吨，政府为了鼓励公司多收购这种农产品，决定将税率降低x 个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点，(1)根据题中条件填空，m=________(元/吨)； (2)写出税收y(万元)与x 的函数关系式；(3)若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围.解：(1)∵f(m)=(m -195.5)2+(m-200.5)2+(m-204.5)2+(m-199.5)2=4m 2-1 600m+160 041,∴m=200.(2)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1+2x%)万吨，收购总金额为200a(1+2x%),故y=200a(1+2x%)(10-x)%=10000200a(100+2x)(10-x)=501a(100+2x)(10-x)(0<x<10).(3)原计划税收为200a×10%=20a(万元)， 依题意得501a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%,即x 2+40x-84≤0. 解得-42≤x≤2.又0<x<10,∴0<x≤2. ∴x 的取值范围是0<x≤2.2.假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫税率为8%)，计划可收购m 万担(其中m 为正常数)，为了减轻农民负担，如果税率降低x%，预计收购量可增加(2x)%.(1)写出税收y(万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，求x 的取值范围.解：(1)y=120m×104［1+(2x)%］×(8-x)%=120m(-2x 2-84x+800).(2)由题意知120m(-2x 2-84x+800)≥0.78×120m×104×8%, 解得0<x≤2.所以x 的取值范围是0<x≤2.例2某民营企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图3-2-1-8，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图3-2-1-9,(注：利润与投资单位：万元)(1)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式.(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元?(精确到1万元)图3-2-1-8 图3-2-1-9解：(1)设投资为x 万元，A 产品的利润为f(x)万元，B 产品的利润为g(x)万元. 由题设f(x)=k 1x,g(x)=k 2x ，由图知f(1)=41,∴k 1=41. 又g(4)=25,∴k 2=54. 从而f(x)=41x(x≥0),g(x)=54x(x≥0).(2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10-x 万元,企业利润为y 万元. 则y=f(x)+g(10-x)=4x +5410-x(0≤x≤10), 令x -10=t,则y=4102t -+54t=41-(t 25-)2+1665(0≤t≤10),当t=25时,y max =1665≈4,此时x=10425-=3.75(万元). ∴当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时,企业获得最大利润约为4万元. 变式训练某商场计划投入一笔资金采购一批紧销商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可获利30%，但要付出仓储费用700元，请根据商场情况，如何购销获利较多？解：设商场投资x 元，在月初出售，到月末可获利y 1元，在月末出售，可获利y 2元，则 y 1=15%x ＋10%(x ＋15%x)=0.265x, y 2=0.3x －700.图3-2-1-10利用函数图象比较大小，在直角坐标系中，作出两函数的图象如图3-2-1-10所示，得两图象的交点坐标为(20000,5300). 由图象,知当x>20000时，y 2>y 1.当x=20000时，y 1=y 2；当x<20 000时，y 2<y 1.∴当投资小于20000元时,月初出售;当投资等于20000元时,月初、月末出售均可;当投资大于20000元时,月末出售. 知能训练光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k ，通过x 块玻璃以后强度为y. (1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的31以下.(lg3≈0.4771). 解：(1)光线经过1块玻璃后强度为(1－10%)k=0.9k ；光线经过2块玻璃后强度为(1－10%)·0.9k=0.92k;光线经过3块玻璃后强度为(1－10%)·0.92k=0.93k;光线经过x 块玻璃后强度为0.9xk.∴y=0.9x k(x∈N *). (2)由题意：0.9xk ＜3k .∴0.9x＜31.两边取对数，xlg0.9＜lg 31.∵lg0.9＜0，∴x＞9.0lg 31lg.∵9.0lg 31lg =3lg 213lg ≈10.4，∴x min =11. ∴通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的31以下. 拓展提升某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象(如图3-2-1-11所示).假设其关系为指数函数，并给出下列说法： ①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m 2；③野生水葫芦从4 m 2蔓延到12 m 2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m 2、3 m 2、6 m 2所需的时间分别为t 1、t 2、t 3,则有t 1+t 2=t 3； ⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度.哪些说法是正确的？图3-2-1-11解：①说法正确.∵关系为指数函数,∴可设y=a x(a>0且a≠1).∴由图知2=a1.∴a=2,即底数为2.②∵25=32>30,∴说法正确.③∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确.④t1=1,t2=log23,t3=log26,∴说法正确.⑤∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确.课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.答案:(1)建立函数模型;(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题.作业课本P107习题3.2A组1、2.设计感想本节设计由学生熟悉素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣.课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，是课本的补充和提高，其难度适中是各地高考模拟经常选用的素材.其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点,是一个不可多得的素材.。

3.2.1 几类不同增长的函数模型●三维目标1．知识与技能在掌握好函数基本性质的前提下，使学生探求函数在实际中的应用，并学会利用函数知识建立数学模型解决实际问题．2．过程与方法(1)培养学生应用数学的意识分析问题、解决问题的能力；(2)培养学生的综合实践和自主学习的能力．3．情感、态度与价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，认识事物之间的普遍联系与相互转化，在实践研究中，培养学生的创新精神，团结协作精神，激发学生学习数学的兴趣．二、重点与难点重点：将实际问题转化为函数模型，训练学生通过实践探求函数在实际中的应用．难点：怎样选择适当的数学模型分析解决实际问题．重难点突破：主要利用信息技术从图、表两方面对知识讲解．首先对具体函数y＝2x，y ＝x2，y＝log2x的增长的差异性进行比较．在比较函数y＝2x，y＝x2的增长的差异性时，分别选择了三个不同的步长进行研究，这样就更能反映了这两类函数的增长的特点，在教学时要让学生体会到为什么要选择三种不同的步长加以研究，能让学生在解决具体问题时可以针对不同的情况进行合理的选择．在比较幂函数与对数函数的增长的差异性时可利用类比的方法．然后将结论推广到一般的指数函数y＝a x(a＞1)、对数函数y＝log a x(a＞1)、幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)的增长的差异性，即存在一个x0，当x＞x0时，a x＞x n＞log a x，充分体现了“指数爆炸”、“直线上升”、“对数增长”的特点．整个过程向学生渗透从具体到一般、数形结合的数学思想方法，培养学生全面分析问题、解决问题的能力．【问题导思】函数y＝2x，y＝log2x及y＝x2的图象如图所示.1．当x∈(2,4)时，函数y＝x2与y＝2x哪一个增长得更快一些？【提示】y＝x2.2．当x∈(4，＋∞)时，函数y＝x2与y＝2x哪一个增长得更快一些？【提示】y＝2x.3．是否存在一个x0，使x>x0时恒有2x>x2>log2x成立？【提示】存在．1．三种函数模型的性质(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝a x(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．(3)存在一个x0，使得当x>x0时，有log a x<x n<a x.【思路探究】解答本题的关键是在同一坐标系中画出它们的图象，结合图象说明它们的增长情况．【自主解答】分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图，从图象上可以看出函数y＝0.5e x－2的图象首先超过了函数y＝ln(x＋1)的图象，然后又超过了y＝x2－1的图象，即存在一个满足0.5e x0－2＝x20－1的x0，当x>x0时，ln(x＋1)<x2－1<0.5e x－2.规律方法1．判断不同函数增长模型的差异有两种方法，一是根据图象判断，二是根据函数的变化量的情况判断．2．三种函数模型的表达形式及其增长特点(1)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝ab x＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝m log a x＋n(m，n，a为常数，m≠0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，c，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型．变式训练三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3 C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2【解析】通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.【答案】 C，例B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图象示意图，判断f(6)，g(6)，f(2012)，g(2012)的大小．【思路探究】根据指数函数、幂函数增长差异进行判断．【自主解答】(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<6<x2,2012>x2.从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，∴f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2012)>g(2012)．又∵g(2012)>g(6)，∴f(2012)>g(2012)>g(6)>f(6)．规律方法1．解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”、“对数增长”等函数增长差异，需注意幂函数的增长是介于两者之间的．2．体会数形结合思想，明确图形是函数关系的直观反映．互动探究本例中若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a、b的值，并说明理由．【解】a＝1，b＝9.理由如下：令φ(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x3，则x1，x2为函数φ(x)的零点，由于φ(x)在[1,13]上为连续函数，φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0，所以函数φ(x)＝f(x)－g(x)的两个零点x1∈[1,2]，x2∈[9,10]，因此a＝1，b＝9.例3案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？【思路探究】作出函数图象→观察图象得到结论【自主解答】借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x 的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．规律方法不同的函数增长模型描述增长速度的差异：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．变式训练某债券市场发行三种债券，A 种面值为100元，一年到期本息和为103元；B 种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C 种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为( )A ．B ，A ，C B ．A ，C ，B C ．A ，B ，CD ．C ，A ，B【解析】 A 种债券的收益是每100元收益3元；B 种债券的利率为51.4－5050，所以100元一年到期的本息和为100×⎝⎛⎭⎫1＋51.4－50502≈105.68(元)，收益为5.68元；C 种债券的利率为100－9797，100元一年到期的本息和为100⎝⎛⎭⎫1＋100－9797≈103.09(元)，收益为3.09元． 【答案】 B数形结合思想在函数中的应用典例 (12分)电信局为了配合客户的不同需要，现设计A ，B 两种优惠方案，这两种方案的应付电话费y (元)与通话时间x (分钟)之间的关系如图3－2－2所示(实线部分)．(注：图中MN ∥CD )图3－2－2(1)若通话时间为2小时，则按方案A ，B 各付话费多少元？ (2)方案B 从500分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案B 才会比方案A 优惠？【思路点拨】 两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形可求出函数的解析式，然后再根据题意解题．【规范解答】 由图可知M (60,98)，N (500,230)，C (500，168)，MN ∥CD .1分 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为f A (x )，f B (x )， 则f A (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 310x ＋x ，f B (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 310x ＋x 3分(1)易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元.4分 (2)因为f B (n ＋1)－f B (n )＝310(n ＋1)＋18－310n －18＝0.3(n >500)，6分所以方案B 从500分钟以后，每分钟收费0.3元.7分 (3)由图可知，当0≤x ≤60时，有f A (x )<f B (x )． 当x >500时，f A (x )>f B (x ).9分当60<x ≤500时，168＝310x ＋80，解得x ＝8803.当60<x <8803时，f B (x )>f A (x )；当8803≤x ≤500时，f A (x )>f B (x ).11分即当通话时间在⎝⎛⎭⎫8803，＋∞时，方案B 才会比方案A 优惠.12分 思维启迪1．对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．2．对于借助函数图象表达题目信息的问题，读懂图象是解题的关键．课堂小结1．直线上升、指数爆炸、对数增长对于直线y ＝kx ＋b (k ≥0)、指数函数y ＝a x (a >1)、对数函数y ＝log b x (b >1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变．2．函数模型选取的择优意识解题过程中究竟选用哪种增长的函数模型，要根据题目的具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．3．要注意化归思想和数形结合思想的运用．当堂检测1．下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝1 B ．y ＝x C ．y ＝3xD ．y ＝log 3x【解析】 结合函数y ＝1，y ＝x ，y ＝3x 及y ＝log 3x 的图象可知，随着x 的增大，增长速度最快的是y ＝3x .【答案】 C2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用()A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数【解析】结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条件，故选D.【答案】 D3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：【解析】指数型函数呈“爆炸式”增长．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4的值越来越小，但是减小的速度很慢，故变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3的值都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.【答案】y24．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图3－2－3所示．图3－2－3(1)试根据函数增长差异找出曲线C1，C2对应的函数；(2)比较函数增长差异〔以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较〕．【解】(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x).课后检测一、选择题1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是() A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x【解析】显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.【答案】 D2．某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图3－2－4所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是()图3－2－4A．310元B．300元C．290 D．280元【解析】由射线线经过点(1,800)，(2,1 300)得其解析式为y＝500x＋300(x≥0)，∴当x＝0时，y＝300.【答案】 B3．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是()【解析】 观察图象A ，体温逐渐降低，不合题意；图象B 不能反映“下午体温又开始上升”；图象D 不能体现“下午体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫”．故选C.【答案】 C4．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．2x >x 12>lg xB ．2x >lg x >x 12C ．x 12>2x >lg xD ．lg x >x 12>2x【解析】 如图所示，由图可知当x ∈(0,1)时，2x >x 12>lg x .【答案】 A5．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y (万公顷)关于年数x (年)的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110x2＋2xC．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x 【解析】取x＝1,2,3代入各选项函数解析式中检验即可．【答案】 C二、填空题6．函数y＝2x与函数y＝x2的图象共有________个交点．【解析】如图所示，函数y＝2x与函数y＝x2的图象共有3个交点．【答案】 37．若a>1，n>0，那么当x足够大时，a x，x n，log a x的大小关系是________．【解析】由三种函数的增长特点可知，当x足够大时，总有log a x<x n<a x.【答案】log a x<x n<a x8．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图3－2－5所示．现给出下列说法：图3－2－5①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．其中正确的说法是________．(填序号)【解析】因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．【答案】②④三、解答题9．画出函数f (x )＝x 与函数g (x )＝14x 2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．【解】 函数f (x )与g (x )的图象如下．根据图象易得：当0≤x <4时，f (x )>g (x )；当x ＝4时，f (x )＝g (x )；当x >4时，f (x )<g (x )．10．为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (分)与通话费y 1(元)、y 2(元)的关系分别如图3－2－6(1)、图(2)所示．图(1) 图(2)图3－2－6(1)分别求出通话费y 1，y 2与通话时间x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月(30天)内使用哪种卡便宜．【解】 (1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30,35)，C (30,15)分别代入y 1，y 2得k 1＝15，k 2＝12. ∴y 1＝15x ＋29(x ≥0)，y 2＝12x (x ≥0)． (2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623. 当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x <9623时，y 1>y 2，即便民卡便宜； 当x >9623时，y 1<y 2，即如意卡便宜． 11．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：(1)工厂每月生产3 000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6 000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？【解】 设工厂生产x 件产品时，依方案一的利润为y 1，依方案二的利润为y 2，由题意知y 1＝(50－25)x －2×0.5x －30 000＝24x －30 000，y 2＝(50－25)x －14×0.5x ＝18x .(1)当x ＝3 000时，y 1＝42 000，y 2＝54 000，∵y 1<y 2，∴应选择方案二处理污水．(2)当x ＝6 000时，y 1＝114 000，y 2＝108 000，∵y 1>y 2，∴应选择方案一处理污水.。

《函数与方程》第2课时几类不同增长的函数模型导入新课思路1情景导入国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么.发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.思路2直接导入我们知道，对数函数y=log ax(a>1),指数函数y=a x(a>1)与幂函数y=x n(n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.推进新课新知探究提出问题①在区间(0，+∞)上判断y=log2x,y=2x,y=x2的单调性.②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.③结合函数的图象找出其交点坐标.④请在图象上分别标出使不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围.⑤由以上问题你能得出怎样结论？讨论结果：①在区间(0，+∞)上函数y=log2x,y=2x,y=x2均为单调增函数.x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4y=2x 1.149 1.516 2 2.639 3.482 4.959 6.063 8 10.556y=x20.04 0.36 1 1.96 3.24 4.84 6.67 9 11.56y=log2x -2.322 -0.737 0 0.485 0.848 1.138 1.379 1.585 1.766图3-2-1-12③从图象看出y=log2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16).④不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的自变量x的取值范围分别是(2，4)和(0，2)∪(4，+∞).⑤我们在更大的范围内列表作函数图象(图3-2-1-13),x 0 1 2 3 4 5 6 7 8y=2x 1 2 4 8 16 32 64 128 256y=x20 1 4 9 16 25 36 49 64图3-2-1-13容易看出：y=2x的图象与y=x2的图象有两个交点(2，4)和(4，16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x<x2，有时x2<2x.但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图3-2-1-14和下表所示.x 0 10 20 30 40 50 60 70 80y=2x 1 1024 1.05E+06 1.07E+09 1.10E+12 1.13E+15 1.15E+18 1.18E+21 1.21E+24 y=x20 100 400 900 1600 2500 3600 4900 6400图3-2-1-14一般地，对于指数函数y=a x(a>1)和幂函数y=x n(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有a x>x n.同样地，对于对数函数y=log ax(a>1)和幂函数y=x n(n>0)，在区间(0，+∞)上，随着x的增大，log ax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内，log ax可能会大于x n，但由于log ax的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有log ax<x n.综上所述，尽管对数函数y=log ax(a>1),指数函数y=a x(a>1)与幂函数y=x n(n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增大，y=a x (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x n (n>0)的增长速度，而y=log ax (a>1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x 0，当x>x 0时，就会有log ax <x n <a x .虽然幂函数y=x n (n>0)增长快于对数函数y=log ax (a>1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”. 应用示例思路1例1某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：设摊主每天从报社买进x 份，显然当x ∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价－付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20·0.30x ；②可卖出250份的10天里，收入为10·0.30·250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10·0.05·(x-250).付给报社的总价为30·0.20x.解：设摊主每天从报社买进x 份，显然当x ∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.于是每月所获利润y 为 y=20·0.30x+10·0.30·250+10·0.05·(x-250)-30·0.20x=0.5x+625，x ∈［250，400］. 因函数y 在［250，400］上为增函数，故当x=400时，y 有最大值825元.例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？图3-2-1-15解：(1)依题意,得y=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤.101,32032,10,6t t t t (2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则32-t 1+320=4,t 1=4.因而第二次服药应在11:00；设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有32-t 2+32032-(t 2-4)+320=4,解得t 2=9小时，故第三次服药应在16:00；设第四次服药在第一次后t 3小时(t 3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，32-(t 2-4)+32032-(t 2-9)+320=4,解得t 3=13.5小时，故第四次服药应在20:30.变式训练通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力〔f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强〕，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式：f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-.3016.1073,1610.59,100.436.21.02x x x x x x(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？ 解：(1)当0<x≤10时，f(x)=-0.1x 2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9， 由f(x)的图象,知当x=10时，［f(x)］max =f(10)=59；当10<x≤16时，f(x)=59；当16<x≤30时，f(x)=-3x+107， 由f(x)的图象,知f(x)<-3×16+107=59.因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟. (2)∵f(5)=-0.1×(5-13)2+59.9=53.5，f(20)=-3×20+107=47<53.5, ∴开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强.点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练.思路2例3 2007山东滨州一模，文20一工厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100时,每多订购1个,订购的全部零件的单价就降低0.02元,但最低出厂单价不低于51元.(1)一次订购量为多少个时,零件的实际出厂价恰为51元?(2)设一次订购量为x 个时,零件的实际出厂价为p 元,写出p=f(x).(3)当销售商一次订购量分别为500、1 000个时,该工厂的利润分别为多少? (一个零件的利润=实际出厂价-成本)解：(1)设一次订购量为a 个时,零件的实际出厂价恰好为51元,则a=100+02.05160-50个. (2)p=f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-≤<,550,51,550100,5062,1000,60x x x x 其中x ∈N *.(3)当销售商一次订购量为x个时,该工厂的利润为y,则y=(p-40)x=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-≤<.550,11,550100,5022,100,202x x x x x x x 其中x ∈N *,故当x=500时,y=6000;当x=1000时,y=11000.点评：方程中的未知数设出来后可以参与运算，函数解析式为含x 、y 的等式. 例4甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到甲、乙两图：图3-2-1-16甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只. 乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个. 请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数.(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由.(3)哪一年的规模(即总产量)最大?请说明理由.活动：观察函数图象，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示: 先观察图象得出相关数据，利用数据找出函数模型. 解：由题意可知,甲图象经过(1,1)和(6,2)两点, 从而求得其解析式为y 甲=0.2x+0.8, 乙图象经过(1,30)和(6,10)两点, 从而求得其解析式为y 乙=-4x+34. (1)当x=2时，y 甲=0.2×2+0.8=1.2,y 乙=-4×2+34=26， y 甲·y 乙=1.2×26=31.2.所以第2年鱼池有26个,全县出产的鳗鱼总数为31.2万只. (2)第1年出产鳗鱼1×30=30(万只),第6年出产鳗鱼2×10=20(万只),可见,第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了.(3)设当第m 年时的规模总产量为n, 那么n=y 甲·y 乙=(0.2m+0.8)(-4m+34)=-0.8m 2+3.6m+27.2=-0.8(m 2-4.5m-34)=-0.8(m-2.25)2+31.25.因此,当m=2时,n max =31.2, 即当第2年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为31.2万只. 知能训练2007山东高考样题，文18某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图(2)的抛物线段表示.(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)； 写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(1) (2)图3-2-1-17(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)活动：学生在黑板上书写解答.教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正. 解：(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)=⎩⎨⎧≤<-≤≤-.300200,3002,2000.3000t t t t由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=2001(t-150)2+100,0≤t≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)-g(t).即h(t)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025722001,2000,2175********t t t t t t当0≤t≤200时，配方整理,得h(t)=2001-(t-50)2+100, 所以当t=50时，h(t)取得区间［0，200］上的最大值100； 当200<t≤300时，配方整理,得h(t)=2001-(t-350)2+100, 所以当t=300时，h(t)取得区间［200，300］上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大. 点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力. 拓展提升 探究内容①在函数应用中如何利用图象求解析式. ②分段函数解析式的求法.③函数应用中的最大值、最小值问题.举例探究：(2007山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图3-2-1-18(1)、图3-2-1-18(2)、图3-2-1-18(3)所示.其中图3-2-1-18(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3-2-1-18(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图3-2-1-18(3)的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系.图3-2-1-18(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A 上市时间t 的关系式；(2)第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元? 分析：1.利用图象求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式. 2.在t ∈［0,40］上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段. 3.回忆函数最值的求法.解：(1)f(t)=⎩⎨⎧≤<+-≤≤,4030,2406,300,2t t t t g(t)=203-t 2+6t(0≤t≤40).(2)每件A 产品销售利润h(t)=⎩⎨⎧≤≤≤≤.4020,60,200,3t t t .该公司的日销售利润F(t)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤+-≤≤--,4030),240203(60,3020),8203(60,200),8203(3222t t t t t t t t t ,当0≤t≤20时，F(t)=3t(203-t 2+8t),先判断其单调性. 设0≤t 1＜t 2≤20,则F(t 1)-F(t 2)=3t 1(203-t 12+8t 1)-3t 2(203-t 22+8t 2)=209-(t 1+t 2)(t 1-t 2)2.∴F(t)在［0,20］上为增函数.∴F(t)max =F(20)=6 000<6 300.当20<t≤30时，令60(203-t 2+8t)>6 300，则370<t<30; 当30<t≤40时，F(t)=60(203-t 2+240)<60(203-×302+240)=6 300,故在第24、25、26、27、28、29天日销售利润超过6 300万元.点评：1.利用图象求解析式,先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式,重点是找出关键点.2.在t∈［0,40］上，有几个分界点,t=20,t=30两点把区间分为三段.3.二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一.课堂小结本节学习了:①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异.②幂函数、指数函数、对数函数的应用.作业课本P107习题3.2A组3、4.设计感想本节设计从精彩的故事开始，让学生从故事中体会数学带来的震撼，然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异.接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力;并且重点训练了由图象转化为函数解析式的能力，因为这是高考的一个重点.本节的每个例题都很精彩，可灵活选用.。

“几类不同增长的函数模型”的教学设计与反思台州市第一中学蒋茵一、教学内容与内容解析几类不同增长的函数模型是必修1第三章“函数的应用”的重要内容 .它比较指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异，并结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.对于函数增长的比较分为三个层次：(1)以实例为载体让学生切实感受不同函数模型的增长差异；(2)米用图、表两种方法比较三个函数(y =x2,y = 2,y = log x )的增长差异；(3)将结2论推广到一般的指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异其中(1)为第一课时的内容，(2)、( 3)为第二课时的内容•学生在本节内容学习之前，已经有了指数函数、对数函数以及幕函数的相关知识，在这里进一步研究几类不同增长的函数模型的增长差异有着承上启下的作用•让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幕函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点与差异，同时将感受到的这种差异应用在后续的函数模型实例中二、教学目标与目标解析1. 教学目标：(1) 借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异.(2) 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义(3) 恰当运用函数的三种表示法(解析式、图象、表格) ，并借助信息技术解决一些实际问题•(4) 在实际问题解决过程中，体会数学的作用与价值，形成分析问题、解决问题的能力•2. 教学目标解析：目标(1)、( 2)是教学的重点，落实好目标(1) . ( 2)是实现教学目标(3)、( 4)的前提与保证•落实目标(1)、( 2)的过程中可以创设问题情景，并通过层层递进的问题串，让学生在不断观察、思考和探究的过程中，弄清几个函数间的增长差异，并培养分析问题、解决问题的能力，实现目标(4).目标(3)要求“恰当运用”对于学生初学时是不易达到的目标，教学时通过学生自主探究，相互交流，教师适时提问引导，合作完成•另外利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幕函数的增长羌异.还使学生接触到更多的数学知识和思想方法三、教学问题诊断分析诊断1 :本课中，学生对指数爆炸的认识缺乏一定的基础，本课先让学生利用表格读表，并在分析表格的过程中发现要分析增加量，通过数据对指数爆炸有了一种感性认识，再结合图像分析，从感性认识上升到理性认识，实现自我完善•诊断2：在公司奖励模型问题的解决过程中，教材中对判断模型二=log +1y ? x 是否满足约束条+ <件log x 1 0.25x是采用了“构造函数的思想方法",我认为就高一年级学生而言,这种处理方法7在？I解上会有困难，匡以宜采畀两种方法进行求解：方法一，利用数形结合，学生能很直观地感受y 0.25x在图像y log? x 1的上方；有此基础后，再讲解方法二，即“构造函数的思想方法” 通过板书详细分析这一过程，帮助学生对“构造函数的思想方法”留下一个美好又深刻的第一印象.诊断3 :本节课教学的内容为教材中的例1、例2 ,为了激发学生的学习兴趣，并保障课堂的连续性，设计了“大学生自主创业情境”、“公司奖励情境”，可将例题的题意较好地表达出来，并符合学生的认知规律.诊断4 :学生在学习时，可能会因更多地关注解决数学计算问题而忽略数学思想的提炼，这个教学问题的解决，需要教师有目的地进行引导•四、教学支持条件1 .在进行几类不同增长的函数模型的教学时，学生已经学习了函数概念、表示法及性质，指数函数、对数函数以及幕函数的相关知识，这些内容是学生分析不同函数增长差异的重要条件，因此教学时应予以充分注意，引导学生多进行归纳与概括•2 .为了能很好地帮助学生理解、反思学习内容，体会新学知识的要点，教学中需要用函数表格、图象来帮助学生理解分析问题，所以ppt和几何画板是重要的支持条件•教学时充分注意这一条件不仅可以加强几何直观，节省大量时间用于学生思考，而且可以对实际问题中的数据不加“修饰”地进行分析.五、教学设计过程：1 •创设情景引入课题［问题1］在日常生活中，增长的话题比比皆是，而我们学过的函数中有没有呈增长态势发展的呢？如果都是增长型函数,那么它们增长的态势是否都一样呢？设计意图：通过提问比较自然地引导学生给出一次函数、指数函数、对数函数、幕函数，同时开门见山，直击主题“增长”师生活动：教师提问，自然引出课题•，学生回答，相互补充，教师点评并板书课题：儿类不同增长的函数模型・2•组织引导合作探究同学们，现在越来越多的大学生毕业以后选择了自主创业，将来你们中的一些也可能会办公司做老板•现在给大家一个模拟的投资情境 .案例假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报 10元，以后每天比前一天多回报 10元； 方案三：第一天回报 0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？［问题2］你会选择哪种投资方案？选择投资方案的依据是什么？请用数学语言呈现你的理由设计意图：提此问题让学生先选择好解题的依据，是每天回报量还是累计回报量？还让学生找出问题中的数量关系，也就是函数关系•师生活动：(1)教师提问，通过学生讨论，具体计算后让学生说说自己会选择哪种投资方案？选择投资方案 的依据是什么？用怎样的方式表达数量关系 ？区别：解析式较抽象，图表较直观・学生 1:选择累计回报量 ，用函数解析式表达数量关系; 学生 2：选择累计回报量 ,直接用函数图像表达数量关系; 学生3：选择每天回报量,先写出函数解析式再用列表的方式表达 (2) 可以先看每天回报量；另外 ，用解析式、表格及图像三种方式表达数量关系均可教师针对学生的回答，点评指出：选择投资方案的依据是累计回报量，但为了看累计回报量，，但表达的同吋有所设计意图：开始切入主题，通过引导使学生体会到表格中每一列数据增长的速度是不同的学生关注增加量，列出增加量，引出表2，同吋也为累计回报量与每天回报量之间的关系埋下伏笔 培养学生分析解决数学问题的能力师生活动:(3)教师引导，学生参与并利用计算器得出： 1 •函数解析式；2•每天回报表；3•结论X 天方案一 方案二 方案三v=40•卩\ 10\*V=O.4X2X1140 10 0.440 20 0.8 3 40 30 1.6 440 40 3.2 耳40 50 6.4 640 60 12.840 70 25.6 8 40 80 51.2 9 40 90 102.4 1040100204.8• • • • ■ • • • •30 40300214^48364［问题3 ］每天回报表(表1 )中“，”从每天的回报量看: 第1 ~ 3天,方案一最多; 第4天,方案一和方案二最多 第5~8天，方案二最多; 第9天以后，方案三最多•部分仍是方案三最大吗?，从而使 ，进而表1(1) 学生思考并回答：我发现到第9天的时候，方案三最多，那么只要方案三数据的增长最快或者说增加量最多，即可解决这一问题•(2) 教师适时给出表2 ，师生共同补充完整表格，让学生初步体会各种函数增长的差异・表2［问题4］你能根据表2中增加量的数据，概括岀这几种常见函数的增长特点吗？设计意图：进一步引导学生关注增加量，感受增长差异，尤其是对“指数爆炸”含义的理解；在与学生交流和解决问题的过程中，使学生体会函数列表法的优点 .师生活动：学生回答，教师加以完善.几种常见函数的增长特点：常数函数没有增长，一次函数匀速增长，指数函数爆炸增长.［问题5］通过表格比较了每天回报量的大小，得出相应结论，但这一案例解决完整了吗？设计意图：虽然本节课的主题是研究“增长”，但必须要回归问题本身，选择一个最佳的投资方案师生活动：教师利用幻灯片快速给出累计回报表(表3 )，学生根据表3得出相应结论・系乍十问扌良衣刚IU x；\衣«1234567H9IO 1 1_ 1 40HU1202<M> 2 402K<»53“440IO Jo loo 2 Ki 2 HU3f»o45055<»MAI0.4 1.2 2.H<>I 2.425.25<>.H102204.4"9・2HI H.8从若干天累计冋扌艮量看:扌殳说— 6疋.应•送t扌奔方案；•投资7夭，应选择方案一豉方案二; 扌殳资X ~ 1()夭.应选择方耒= 扌殳资11疋(含11夭)> 应选扌幸右聚三［问题6 ］通过列表法己经得出案例的结论及对常见函数增长特点的初步体会，能否通过图像法来进一步认识？请大家画出这三个函数的图像？并根据图像说明结论与增长特点？设计意图：本节课的主要教学任务就是要体会几类不同函数的增长差异•让学生自己去概括总结出从图像上直观体会到的增长特点是本节课的一个重要环节，也作为一种完整的小结•与此同时，培养学生良好的画图习惯，遵循列表、描点、连线画图三步骤，以及对函数定义域的关注，从中还能体会到数形结合思想是数学解题的一个重要的思想方法师生活动：（1）学生画图，教师纠错得出（图1）: 1.函数图像为什么是孤立点？（定义域为N）2 •为什么用光滑的虚线连接？（方便看增长趋势）（2）教师用多媒体动画演示连接孤立的点学生1通过图像得出案例结论：学生2通过图像用不同的语言概括增长特点：常数函数保持不变，一次函数直线上升，指数函数指数爆炸.过渡语：现在你已经建好了公司，公司寻求回报，你的员工也要寻求回报•为了激励员工你需要对他们实行奖励，你制定了这样一个公司奖励模型・公司奖励模型问题你的公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元吋，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润X （单位：万元）也增加而埋加，但睾金不超电5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y 0.25Xy l°g7X 1 y 1.002X.其中哪个模型能符合公司的要求？［问题7］大家认真审题，能否用数学符号语言将公司的要求（或条件）描述出来？设计意图：解决实际问题的第一步就是审题，并将之数学化•在此更进一步培养学生解决实际问题的能力•€< 师生活动：个别学生回答，教师在黑板上列出：条件1： x ［10,1000］；条件2： y 5；条件—<y ；条件4：增函数.3：0.25［问题8 ］我们可以如何验证y 5 ?设计意图：引导学生如何利用题目条件，从数和形两方而解决数学问题，既巩固应用前面学到的数学方法，又为下面问题的解决提供方向 ・= v师生活动：学生思考并个别回答： 一= — = +一学生1：根崩条件4：增函数；只需验证当x 1000时，y 5即可，通过计算发现:X' y 1.002 都不锋，<y 通过图像直观观察得由一・［问题9 ］如何验证log 仝10.25X?7上去，并充分体现数形结合、构造函数的思想方法0.25x学生2log 7 x 1 符合.设计意图：在log? x 10.25x 的验证过程中，始终不脱离本课主题，回归到函数的“增长特征”(1)学生1 :将图像放大后观察函数y =log7 x +1与y」).25x的图像,发现在x e[10,1000]都师生活动：学生思考并个别回答，教师适时提问:满足・(2)在教师的引导下，学生2加以补充.学生2：只需将X =10代入计算，是符合条件的；再结合图像发现直线的增长比对数函数快，对数函数增长较为平缓.所以xe ［10,1000］都满足・令yi =0・25x, y =2 log?= = X当x 10 时w 0.25 10yi y2 1.5 log? 10给合图⑵(3) 教师根据以上学生回答板书方法一：数形结合法x [10,1000]恒成立并通过儿何画板动画演示BC=y y的变化情况，1 2引导学生构造函数・€(4) 学生三回答，教师继续板书方法二：构造函数法由图⑶得F (电0.25冬log? x 1 在x+[1^,1000]上令F(x) 0.25x=log x^1,x ［W,100(^单调递增.所以F(x) F( 1 0 ,)即log x 1 0.25x 对7x ［10,1000］恒成立图33 •总结反思归纳提升［问题1 0 ］通过本节课的学习，你有哪些收获？请你对本节课作一总结•设计意图：归纳总结本节内容•师生活动：学生思考交流，教师帮助总结以下内容：(1) 知识：对函数的性质有了解：我们体会到同是增长型函数，但其增长差异却很大::常数函数没有增长，一次函数直线上升，指数函数爆炸增长，对数函数平缓增长•(2) 方法：建模的思想，数形结合思想，构造函数思想等等.六、目标检测设计1.教科书P98,练习1、2 .设计意图：让学生巩固函数增长特征这一知识点2•探究题：请利用计算器或计算机从图、表两方面对函数 =2X =x 2 y = | %2 的增长差异进行比较•设计意图::引出下一课时内容，为下面研究一般指数、对数、幕函数的增长差异奠定了探究的方向•七、教学体会与反思(1)数学问题解决教学应该从创设问题情景开始，本设计的情境创设比较成功 •“日常生活中， 增长的话题比比皆是，而我们学过的函数中有没有呈增长态势发展的呢？如果都是增长型函数，那 么它们增长的态势是否都一样呢？ ”短短几句话，不但交代了本课的研究主题，而且比较自然地引 导学生引出一次函数、指数函数、对数函数、幕函数，开门见山，直击“增长” .实际教学中大多以真实的或虚拟的“生活化”材料为载体创设教学情境，如用教材章头图中的兔子问题或其它情景作 为素材，以迎合“能让学生体会到数学源于生活，增长学生的应用意识”，注重“数学教育应该与现 实生活密切联系”这一现代教学理念•本课的教学内容是通过两个实际问题解决，让学生体会几类不 同类型的函数增长的差异，执教教师就地取材，将书本中的例1为素材得到了一个虚拟的“生活化” 材料，教学过程中不但自然地出示了例1,而且激发学生的学习和解决问题的兴趣，为学生的观察、归纳、猜想和证明提供了基础 (2)问题的解决围绕着“弄清问题拟定计划一实现计划一回顾”进行教学，教学中充分发挥了学生的主体作用•在例题教学中既有动手操作的实践活动，又有动脑思考和数学思维活动•例1的教 从函数表达的三种不同形式入手，建立函数模型，让学生经历从解析式到表格、图象的全过程 •在这个过程中，让学生感受到图表的直观，解析式的抽象 •在求累计回报量时，由于学生不会求等比数列的和，选取对函数模型列表计算作出判断和选择，处理有详有略，让学生体会到耳常藝函数、一次函数与指 数型函数的增长差异 •例2中在判断是否满足“约束条件log 7x 1 0.25x”时，考虑到教课书上介绍 的构造函数法学生理解比较困难,+教师先用利用数形结合，学生能很直观地感受y 0.25 在图像 y log 7x 1“累计回报量'学过程中，抓隹关键词“回报”，从不同的角度看待回报, 让学生辨别 “每天回报量”x的上方，有此基础后，再讲解方法二，即“构造函数法” ，通过板书详细分析求解过程，帮助学生对“构造函数法”的理解，给学生留下一个深刻的印象•整个例2教学让学生经历了观察、归纳、猜想、证明的完整过程，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程•商讨之处：(1) 教学内容不能只局限于课本中两个例题，要适当进行拓展延伸，不仅巩固新知，而且让学生感觉数学是有用的，数学就在我们身边•如果对例2进行拓展延伸，效果更佳.女口：为了实现1000万元利润的目标，在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x(单位：万元)的增加而增加，要求如下：10万〜50万，奖金不超过2万;50万〜200万，奖金不超过4万；200万〜1000万，奖金不超过20万•请选择适当的函数模型，用图象表达你的设计方案•(四人团队合作完成)(2) 更加重视与学生合作交流，让学生自己动手操作•例如，原设计中［案例］的列表画图过程，教师可事前设计好两张表格 (日回报表和累计回报表)及坐标系，在课堂上由学生两人小组合作完成，再让学生分析表格和图像有哪些区别，既培养学生分析问题、解决问题的能力，又提高了整个课堂学效率・性，更直观地体会到三个函数模型的增长差异。

3.2.1几类不同增长的函数模型（教学设计）教学目标：知识与技能：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．过程与方法：能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．情感、态度、价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．教学重点：重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题． 一、新课导入：材料：澳大利亚兔子数“爆炸”在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．二、师生互动，新课讲解：例1（课本P95例1），假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？ 探究：1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？ 2）分析解答（略）（见P95--97）3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？例2：（课本P97例2）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：x y 25.0= 1log 7+=x y x y 002.1=．问：其中哪个模型能符合公司的要求？探究：1）本例涉及了哪几类函数模型？2）本例的实质是什么？3）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？ 解答：（课本P97—98）幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数)0(>=n x y n、指数函数)1(>=a a y x 、对数函数)1(log >=a x y a 在区间),0(+∞上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结。