省实验中学2015届高三上学期阶段性测试(一)(文数)

广东实验中学2015届高三阶段考试（一）文 科 数 学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1. 从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是 A ．5，10，15，20，25 B.3，13，23，33，43 C ．1，2，3，4，5 D.2，4，6，16，322．如图，设全集为U=R ，{|(2)0},{|1(1)}A x x x B x y n x =-<==-，则图中阴影部分表示的集合为 A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{}|01x x <≤D ．{}|1x x ≤3.已知复数12,z z 在复平面上对应的点分别为()()211,2,1,3,z A B z -=则A.1i +B.iC.1i -D.i -4．如图是2013年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为A ．84，85B ．84，84C ．85，84D ．85，855.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面” 表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面， 那么这个正方体的前面是 A.定B.有C.收D.获6.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于 A.1 B.53C.2D.37.在ABC ∆中，若sin sin cos cos sin A A C A C -=，则ABC ∆的形状是A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角形7 8 9 94 56 47 3 第4题图8.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则“m l //”是“αβ⊥”的 A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分又不必要条件9.已知m 是两个正数2和8的等比中项,则圆锥曲线122=+my x 的离心率是 A ．23或25 B ．23C ．5D ．23或5 10.各项互不相等的有限正项数列{}n a ,集合{},,2,1,...n a aa A =,集合{(,)i j B a a =},,,1,i j i j a A a A a a A i j n ∈∈-∈≤≤,则集合B 中的元素至多有( )个.A ．2)1(-n n B ．121--nC ．2)1)(2(-+n n D ．1-n二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11.各项都是正数的等比数列{}23111,,2n a q a a a ≠的公比，且成等差数列，则3445a aa a ++的值为_________.12. 在ABC ∆中，1=AB ，2=AC ，21=∆ABC S ，则=BC .13.已知点()()1212,,x x A x aB x a 、是函数xy a=的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论121222x x x x a a a ++＞成立.运用类比思想方法可知，若点()()()1122,sin ,sin sin 0,A x x B x x y x x π=∈⎡⎤⎣⎦、是函数图象上的不同两点，则类似地有________________成立.（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） (二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图,点A 、B 、C 都在⊙O 上,过点C 的切线交A B 的延长线于点D ,若AB = 5, BC = 3,CD = 6,则线段AC 的长为_______。

山东省实验中学2015届高三上学期第一次段考数学试卷（文科）一.选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a=（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．2．（5分）已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B=B D．A∪B=B3．（5分）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知等比数列{a n}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则a n=（）A．B．C．D．5．（5分）如图给出的是计算…的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞11 D．i＜116．（5分）函数的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（l，2）C．（2，3）D．（3，4）7．（5分）某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界），则针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为（）A．B．C．D．以上全错8．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2： x2=2py（p ＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y9．（5分）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足+λ（）（（λ≥0），则P点轨迹一定通过三角形ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心10．（5分）已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+6）+f（x）=0，y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，且f（2）=4，则f=（）A．0 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣16二、填空题（本题包括5小题，共25分）11．（5分）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为m3．12．（5分）已知函数f（x）=﹣x3+ax﹣4（a∈R）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a=．13．（5分）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n个等式为．14．（5分）若点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为．15．（5分）已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16．（12分）已知向量（ω＞0），函数的最小正周期为π．（I）求函数f（x）的单调增区间；（II）如果△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且满足，求f（A）的值．17．（12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）高校相关人数抽取人数A 18 xB 36 2C 54 y（1）求x，y；（2）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率．18．（12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，求三棱锥P﹣QBM的体积．19．（12分）设数列{a n}为等差数列，且a3=5，a5=9；数列{b n}的前n项和为S n，且S n+b n=2．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若，T n为数列{c n}的前n项和，求T n．20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点Q（﹣1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=﹣4于点E，=λ，=μ．判断λ+μ是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2alnx+（a﹣2）x，a∈R．（I）当a=1时，求函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2有＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．山东省实验中学2015届高三上学期第一次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a=（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵复数===是纯虚数，∴=0，≠0，解得a=．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．2．（5分）已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B=B D．A∪B=B考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：先求出集合A，从而找出正确选项．解答：解：∵|x|≥0，∴|x|﹣1≥﹣1；∴A={y|y≥﹣1}，又B={x|x≥2}∴A∩B={x|x≥2}=B．故选C．点评：注意描述法所表示集合的元素．3．（5分）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：φ=⇒f（x）=Acos（ωx+）⇒f（x）=Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数．f（x）为奇函数⇒f（0）=0⇒φ=kπ+，k∈Z．所以“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．解答：解：若φ=，则f（x）=Acos（ωx+）⇒f（x）=﹣Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数；若f（x）是奇函数，⇒f（0）=0，∴f（0）=Acos（ω×0+φ）=Acosφ=0．∴φ=kπ+，k∈Z，不一定有φ=“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．故选B．点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵活运用．4．（5分）已知等比数列{a n}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则a n=（）A．B．C．D．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得（a+1）2=（a﹣1）（a+4），解得 a=5，由此可得首项和公比，从而得到通项公式．解答：解：∵已知等比数列{a n}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则（a+1）2=（a﹣1）（a+4），解得 a=5，故此等比数列的首项为4，公比为=，故通项公式为，故选C．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式的应用，属于中档题．5．（5分）如图给出的是计算…的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞11 D．i＜11考点：循环结构．专题：计算题．分析：要计算的值，由S=S，推出最后一次进行循环时的条件为i=10，当i＞10应退出循环输出S的值，由此不难得到判断框中的条件．解答：解：∵S=，并由流程图中S=S循环的初值为1，终值为10，步长为1，所以经过10次循环就能算出S=的值，故i≤10，应不满足条件，继续循环所以i＞10，应满足条件，退出循环判断框中为：“i＞10？”．故选A．点评：本题考查直到型程序框图的应用，是2015届高考常考题型，易错点是不能准确理解流程图的含义而导致错误．6．（5分）函数的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（l，2）C．（2，3）D．（3，4）考点：函数的零点；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可得f（1）＜0，f（2）＞0，故有f（1）•f（2）＜0．根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间．解答：解：由函数，可得f（1）=﹣1＜0，f（2）=1﹣=＞0，∴f（1）•f（2）＜0．根据函数零点的判定定理可得，函数的零点所在的区间为（1，2），故选B．点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．7．（5分）某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界），则针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为（）A．B．C．D．以上全错考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：先明确是几何概型中的面积类型，分别求三角形与圆的面积，然后求比值即可．解答：解：设落在阴影部分内接正三角形上的概率是P，圆的半径为R，∵S圆=πR2，正三角形的面积S A=3××R2×sin120°=R2∴P===．故选B．点评：本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率．8．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p ＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y考点：抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．解答：解：双曲线C1：的离心率为2．所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8．抛物线C2的方程为x2=16y．故选D．点评：本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力．9．（5分）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足+λ（）（（λ≥0），则P点轨迹一定通过三角形ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心考点：平面向量的基本定理及其意义．分析：过A作BC边的垂线AD，作中线AE，则=，根据向量的加法即可知道P点在中线AE 所在直线上，即P点的轨迹经过△ABC的重心．解答：解：如图，过A作BC的垂线，垂足为D，则，∴=，AE为△ABC的中线；向量2λ与共线，∴根据向量的加法知P在中线AE所在直线上；∴P点的轨迹经过三角形ABC的重心．故选D．点评：考查正弦值的几何意义，向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，向量加法的几何意义，以及三角形的中线经过重心..10．（5分）已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+6）+f（x）=0，y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，且f（2）=4，则f=（）A．0 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣16考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（x+6）+f（x）=0，得到f（x+12）=﹣f（x+6）=f（x），则f（x）为周期为12的函数，再由y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，得到f（﹣x）=﹣f（x），运用周期，化简f=f（﹣2）=﹣f（2），即可得到答案．解答：解：f（x+6）+f（x）=0，即f（x+6）=﹣f（x），则f（x+12）=﹣f（x+6）=f（x），则f（x）为周期为12的函数，由于y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，则y=f（x）的图象关于（0，0）对称，即有f（﹣x）=﹣f（x），则f=f（12×167+10）=f（10）=f（﹣2），由于f（2）=4，则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣4．故选B．点评：本题考查抽象函数及应用，考查函数的周期性和对称性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．二、填空题（本题包括5小题，共25分）11．（5分）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为4m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；压轴题．分析：由三视图可知几何体是三棱锥，明确其数据关系直接解答即可．解答：解：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，体积等于×2×4×3=4故答案为：4点评：本题考查三视图求体积，三视图的复原，考查学生空间想象能力，是基础题．12．（5分）已知函数f（x）=﹣x3+ax﹣4（a∈R）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a=4．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先求出函数f（x）的导函数，然后根据函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率等于1，建立关于a的方程，解之即可．解答：解：∵f（x）=﹣x3+ax﹣4，∴f'（x）=﹣3x2+a，∵函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为45°，∴﹣3+a=1，∴a=4．故答案为：4．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率与倾斜角的关系，考查运算能力．13．（5分）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．考点：归纳推理．专题：计算题．分析：观察所给的等式，等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2，左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，写出结果．解答：解：观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2，故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2点评：本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．14．（5分）若点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为4．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；转化思想．分析：求出圆心坐标，圆的半径，结合题意，利用圆的到直线的距离，半径，|PM|满足勾股定理，求出|PM|就是最小值．解答：解：：（x﹣5）2+y2=16的圆心（5，0），半径为4，则圆心到直线的距离为：=4，点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值：=4．故答案为：4点评：本题是基础题，考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用．15．（5分）已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为7．考点：基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，利用直线平移法求出当x=3且y=4时，z=ax+by取得最大值为7，即3a+4b=7．再利用整体代换法，根据基本不等式加以计算，可得当a=b=1时的最小值为7．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，并观察直线l在x轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值．∴z max=F（3，4）=7，即3a+4b=7．因此，=（3a+4b）（）=[25+12（）]，∵a＞0，b＞0，可得≥2=2，∴≥（25+12×2）=7，当且仅当a=b=1时，的最小值为7．故答案为：7点评：本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=ax+by的最大值为7的情况下求的最小值．着重考查了简单的性质规划、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16．（12分）已知向量（ω＞0），函数的最小正周期为π．（I）求函数f（x）的单调增区间；（II）如果△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且满足，求f（A）的值．考点：余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．专题：综合题．分析：（I）利用向量的数量积公式、二倍角公式及辅助角公式化简函数．利用f（x）的最小正周期为π，可求ω的值，从而可得函数的解析式，利用三角函数的单调性，即可得到函数f（x）的增区间；（II）由，及，可求得，进而可求f（A）的值．解答：解：（I）==…（3分）∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0．∴，解得ω=1，…（4分）∴．由≤≤…（5分）得f（x）的增区间为…（6分）（II）由，∴，又由=…（8分）∴在△ABC中，…（9分）∴=…（12分）点评：本题考查三角函数式的化简，考查数量积公式的运用，考查余弦定理的运用，解题的关键是三角函数式的化简．17．（12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）高校相关人数抽取人数A 18 xB 36 2C 54 y（1）求x，y；（2）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率．考点：分层抽样方法；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据分层抽样的方法，有，解可得答案；（Ⅱ）根据题意，可得从5人中抽取两人的情况数目与二人都来自高校C的情况数目，根据等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：（Ⅰ）根据分层抽样的方法，有，解可得x=1，y=3；（Ⅱ）根据题意，从高校B、C抽取的人共有5人，从中抽取两人共=10种，而二人都来自高校C的情况有=3种；则这二人都来自高校C的概率为．点评：本题考查分层抽样的方法与等可能事件概率的计算，难度不大，注意组合数公式的运用．18．（12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，求三棱锥P﹣QBM的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ））由PA=PD，得到PQ⊥AD，又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，得BQ⊥AD，利用线面垂直的判定定理得到AD⊥平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，得PQ⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，得PQ⊥BC，得BC⊥平面PQB，即得到高，利用椎体体积公式求出．解答：（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD∴PQ⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PQ⊥BC，又BC⊥BQ，QB∩QP=Q，∴BC⊥平面PQB，又PM=2MC，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题给出特殊四棱锥，求证面面垂直并求锥体体积，着重考查了平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质和体积公式等知识，属于中档题．19．（12分）设数列{a n}为等差数列，且a3=5，a5=9；数列{b n}的前n项和为S n，且S n+b n=2．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若，T n为数列{c n}的前n项和，求T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由题意可得数列{a n}的公差，进而得通项，由S n+b n=2可得S n=2﹣b n，当n=1时，可解b1=1，当n≥2时，可得，由等比数列的通项公式可得答案；（II）由（I）可知c n==（2n﹣1）•2n﹣1，由错位相减法可求和．解答：解：（I）由题意可得数列{a n}的公差d=（a5﹣a3）=2，故a1=a3﹣2d=1，故a n=a1+2（n﹣1）=2n﹣1，由S n+b n=2可得S n=2﹣b n，当n=1时，S1=2﹣b1=b1，∴b1=1，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2﹣b n﹣（2﹣b n﹣1），∴，∴{b n}是以1为首项，为公比的等比数列，∴b n=1•=；（II）由（I）可知c n==（2n﹣1）•2n﹣1，∴T n=1•20+3•21+5•22+…+（2n﹣3）•2n﹣2+（2n﹣1）•2n﹣1，故2T n=1•21+3•22+5•23+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n，两式相减可得﹣T n=1+2•21+2•22+…+2•2n﹣1﹣（2n﹣1）•2n=1+2﹣（2n﹣1）•2n=1﹣4+（3﹣2n）•2n，∴T n=3+（2n﹣3）•2n点评：本题考查错位相减法求和，涉及等比数列的通项公式和求和公式，属中档题．20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点Q（﹣1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=﹣4于点E，=λ，=μ．判断λ+μ是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意可得，解得即可．（2）易知直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），E（﹣4，y0）．与椭圆的方程联立化为（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4=0，可得根与系数的关系，由=λ，=μ．利用向量的线性运算即可得出．解答：解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆的方程为=1．（2）易知直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），E（﹣4，y0）．联立，化为（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4=0，△＞0．，，（*）∵，∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=λ（x2+1，y2），可得﹣（x1+1）=λ（x2+1）．得．由=μ，可得（﹣4﹣x1，y0﹣y1）=μ（x2+4，y2﹣y0），可得﹣（x1+4）=μ（x1+4），得．∴λ+μ=﹣=﹣，把（*）代入分子=+8=0，∴λ+μ=0．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2alnx+（a﹣2）x，a∈R．（I）当a=1时，求函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2有＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出a=1时函数f（x）的导数，求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；（Ⅱ）对a讨论：①当a=﹣2，②﹣2＜a＜0时，③当a＜﹣2时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（Ⅲ）假设存在这样的实数a满足条件，不妨设x1＜x2．条件转化为f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1成立，令g（x）=f（x）﹣ax=x2﹣2aln x﹣2x，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g′（x）=x﹣﹣2≥0，即2a≤x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1在（0，+∞）上恒成立．求出不等式右边的最小值，令2a不大于它即可．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=x2﹣2alnx+（a﹣2）x，f′（x）=x﹣+（a﹣2）=（x＞0）当a=1时，f′（x）=，f′（1）=﹣2，则所求的切线方程为：y﹣f（1）=﹣2（x﹣1），即4x+2y﹣3=0；（Ⅱ）①当﹣a=2，即a=﹣2时，f′（x）=≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当﹣a＜2，即﹣2＜a＜0时，由0＜x＜﹣a，或x＞2时，f′（x）＞0，﹣a＜x＜2时，f′（x）＜0．则f（x）在（0，﹣a），（2，+∞）单调递增，在（﹣a，2）上单调递减；③当﹣a＞2，即a＜﹣2时，由0＜x＜2或x＞﹣a时，f′（x）＞0；2＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2），（﹣a，+∞）上单调递增，在（2，﹣a）上单调递减；（Ⅲ）假设存在这样的实数a满足条件，不妨设x1＜x2．由知f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1成立，令g（x）=f（x）﹣ax=x2﹣2aln x﹣2x，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g′（x）=x﹣﹣2≥0，即2a≤x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1在（0，+∞）上恒成立．，则a≤﹣，故存在这样的实数a满足题意，其范围为（﹣∞，﹣]．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，同时考查构造函数，运用导数求单调性和最值，考查分类讨论和参数分离的思想方法，属于中档题．。

广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习 方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移. 一．选择题(5*8=40分)1．设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【知识点】交集及其运算；子集与真子集．A1【答案解析】A 解析：∵集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，∴x 24＋y 216＝1为椭圆和指数函数y ＝3x 图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A 1、A 2，则A∩B 的子集应为∅，{A 1}，{A 2}，{A 1，A 2}共四种，故选A ．【思路点拨】由题意集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，画出A ，B 集合所表示的图象，看图象的交点，判断A∩B 的子集的个数． 【题文】2． 22log sinlog cos1212ππ+的值为（ ）A .-2B .–l C.12D .1 【知识点】对数的运算性质．B7 【答案解析】A 解析：====﹣2．故选A ．【思路点拨】利用对数的运算法则进行计算即可．先结合对数运算法则：log a （MN ）=log a M+log a N ，利用二倍角的正弦公式将两个对数式的和化成一个以2为底的对数的形式，再计算即得.【题文】3．已知x ，y ∈R ，则“1x y +=”是“14xy ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 【答案解析】A 解析：∵x，y ∈R ，当1x y +=时，y=1﹣x ，∴xy=x（1﹣x ）=x ﹣x 2=2111424x ，∴充分性成立； 当xy≤时，如x=y=0，x+y=0≠1，∴必要性不成立；∴“1x y +=”是“14xy ≤”的充分不必要条件．故选：A ． 【思路点拨】由1x y +=，推出14xy ≤，判定充分性成立；由14xy ≤，不能得出1x y +=，判定必要性不成立即可． 【题文】4．已知函数cos21()sin 2x f x x-=，则有（ ）A ．函数()f x 的图像关于直线2x π=对称 B ．函数()f x 的图像关关于点(,0)2π对称C ．函数()f x 的最小正周期为2πD ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递减【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4【答案解析】B 解析：∵cos21()sin 2x f x x-==∴函数f （x ）不是轴对称图形，∴A 不正确； ∵函数f （x ）的最小正周期为π，∴C 不正确； ∵函数在区间(0,)π不单调，∴D 不正确； ∵函数f （x ）的对称中心为（）k ∈Z ，∴函数f （x ）的图象关关于点(,0)2π对称正确，故选B ．【思路点拨】分析函数cos21()sin 2x f x x-=性质，要先利用公式化成正弦型、余弦型或正切型函数的标准形式，然后再研究性质． 【题文】5．已知0<a<b<l ．则（ ） A.11b a > B. 11()()22a b < C. 22(lg )(lg )a b < D.11lg lg a b > 【知识点】不等式的基本性质．E1【答案解析】D 解析：∵0＜a ＜b ＜1，∴，可得； ；（lga ）2＞（lgb ）2；lga ＜lgb ＜0，可得．综上可知：只有D 正确．故选：D ．【思路点拨】利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性即可得出．【题文】6．已知函数 2()2cos f x x x =+，若 '()f x 是 ()f x 的导函数，则函数 '()f x 在原点附近的图象大致是（ ）A B C D【知识点】函数的图象．B8【答案解析】A 解析：函数f （x ）=x 2+2cosx ，∴f′（x ）=2x ﹣2sinx=2（x ﹣sinx ）， f′（﹣x ）=﹣2x+2sinx=﹣（2x ﹣2sinx ）=﹣f′（x ），导函数是奇函数， ∵x∈（0，），x ＞sinx ＞0，∴B、C 、D 不正确．故选：A ．【思路点拨】由题可得f′（x ）=2x ﹣2sinx ，判断导函数的奇偶性，利用特殊值的函数值推出结果即可．【题文】7.已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m≤-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） 111.(,].(,][1,).[1,).[,1]444A B C D -∞--∞-+∞+∞-【知识点】分段函数的应用．B1【答案解析】B 解析：对于函数f （x ）=，当x≤1时，f （x ）=﹣（x ﹣）2+；当x ＞1时，f （x ）=＜0．则函数f （x ）的最大值为．则要使不等式f （x ）≤m 2﹣m 恒成立， 则m 2﹣m 恒成立，即m 或m≥1．故选B ．【思路点拨】求出分段函数的最大值，把不等式f （x ）≤m 2﹣m 恒成立转化为m 2﹣m 大于等于f （x ）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m 的取值范围． 【题文】8．已知关于x 的方程cos xk x=在(0,)+∞有且仅有两根，记为,()αβαβ<，则下列的四个命题正确的是（ ） A ．2sin 22cosααα= B ．2cos 22sin ααα= C ．2sin 22sin βββ=- D ．2cos 22sin βββ=-【知识点】余弦函数的图象．C3【答案解析】C 解析：∵cos xk x=，∴|cosx|=kx， ∴要使方程cos xk x=（k ＞0）在（0，+∞）上有两个不同的解，则y=|cosx|的图象与直线y=kx （k ＞0）在（0，+∞）上 有且仅有两个公共点，所以直线y=kx 与y=|cosx|在（，π）内相切，且切于点（β，﹣cosβ），此时y=|cosx|=﹣cosx ．∴切线的斜率为sinβ=，∴βsinβ=﹣cosβ，∴2βsinβsinβ=2sinβcosβ，∴sin 2β=﹣2βsin 2β，故选：C ．【思路点拨】将方程cos xk x=转化为|cosx|=kx ，作出两个函数的图象，利用数形结合，以及导数的几何意义即可得到结论．二．填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

河南省实验中学2014——2015学年上期期中试卷高三 文科数学（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围是 ( ) A ．}{2a a ≤ B ．}{1a a ≤ C ．}{1a a ≥ D ．}{2a a ≥ 2．函数2(44)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值是 （ ）A ． 4B ．13或C ．3D ．13．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥ B ．若m αγ=，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥ 4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若59355,9a Sa S ==则 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知变量x 、y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是 ( )A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[)9,6,5⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．(][),36,-∞+∞D ．[]3,66．1e →、2e →是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke →→→=-，122CB e e →→→=+，123CD e e →→→=-，若D B A ,,三点共线，则k 的值是 （ ）A ．1B ．2C ． 1-D ．2-7．已知函数)0(cos sin 3)(>+=ωωωx x x f ，)(x f y =的图像与直线2=y 的两个相邻交点的距离等于π，则)(x f 的一条对称轴是 （ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．6x π=-D ．6x π=B ．如果命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题.C ．若命题p ：2,10x R x x ∃∈-+<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≥；D ．“1sin 2θ=”是“30θ=︒”的充分不必要条件； 10．已知函数()sin(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象 ( )A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度11．函数()f x 在定义域R 上的导函数是()f x '，若()()2f x f x =-，且当(),1x ∈-∞时，()()10x f x '-<，设()0a f =、b f =、()2log 8c f =，则 ( )A ．a b c <<B ．a b c >>C ．c a b <<D ．a c b <<12．若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，则函数3()log y f x x =-的零点个数是 ( )A ．0B ．2C ．4D ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．如果函数()f x 的图象与函数1()()2xg x =的图象关于直线y x =对称，则2(3)f x x -的单调递减区间是14．已知tan()3,tan()2,tan 4παβαβ+=+==那么15．,0cos 420,()log ,0x a a x a f x x x ⎧<==⎨≥⎩函数，则211()(log 46f f +的值等于16. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时写出证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知向量)3,cos 2(2x a =→-，)2sin ,1(x b =→-，函数→-→-⋅=b a x f )(． （Ⅰ）求函数()f x 的对称中心；（Ⅱ）在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．18．（本小题满分12分）为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C 万元与隔热层厚度x cm 满足关系：()35kC x x =+(010x ≤≤，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（I ）求k 的值及()f x 的表达式；（II ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值．19．（本小题满分12分）直三棱柱11154ABC A BC AB AC -==中，，， 134BC AA ==，，D 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：1AC BC ⊥； （Ⅱ）求证：11AC B CD 平面． 20．（本小题满分12分）数列}{n b 满足：.221+=+n n b b ，,1n n n a a b -=+且122,4a a ==（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列}{n a 的前n 项和n S . 21．（本小题满分12分）已知函数)(ln )(R a xxa x f ∈+=（Ⅰ）若4=a ，求曲线)(x f 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数)(x f 的图象与函数1)(=x g 的图象在区间],0(2e 上有公共点，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲如图,已知四边形ABCD 内接于O ,且AB 是O 的直径, 过点D 的O 的切线与BA 的延长线交于点M .（I ）若MD 6=，MB 12=，求AB 的长； （II ）若AM AD =，求DCB ∠的大小.23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 已知椭圆C 的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 312+=，点12F F 、为其左，右焦点，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22222( t t R ∈为参数，)． （I ）求直线l 和曲线C 的普通方程；（II ）求点12F F 、到直线l 的距离之和.24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数a x a x x f -+-=2)(,a ∈R ,0a ≠．（I ）当1=a 时,解不等式: ()2f x >；（II ）若b ∈R 且0≠b ,证明：()()f b f a ≥，并说明等号成立时满足的条件。

山东省实验中学2015届高三上学期第一次段考数学试卷（理科）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a=（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．2．（5分）已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B=B D．A∪B=B3．（5分）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知等比数列{a n}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则a n=（）A．B．C．D．5．（5分）如图给出的是计算…的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞11 D．i＜116．（5分）函数的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（l，2）C．（2，3）D．（3，4）7．（5分）某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界），则针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为（）A．B．C．D．以上全错8．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p ＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y9．（5分）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足+λ（）（（λ≥0），则P点轨迹一定通过三角形ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心10．（5分）已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+6）+f（x）=0，y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，且f（2）=4，则f=（）A．0 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣16二、填空题（本题包括5小题，共25分）11．（5分）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为m3．12．（5分）在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x4的项的系数是．13．（5分）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n个等式为．14．（5分）若点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为．15．（5分）已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16．（12分）已知向量（ω＞0），函数的最小正周期为π．（I）求函数f（x）的单调增区间；（II）如果△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且满足，求f（A）的值．17．（12分）甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为（Ⅰ）求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；（Ⅱ）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得﹣1分，求乙所得分数η的概率分布和数学期望．18．（12分）如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A1C=A1B=BC，B1C1∥BC，B1C1=BC．（Ⅰ）求证：AB1∥面A1C1C；（Ⅱ）求二面角C﹣A1C1﹣B的余弦值的大小．19．（12分）设数列{a n}为等差数列，且a3=5，a5=9；数列{b n}的前n项和为S n，且S n+b n=2．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若，T n为数列{c n}的前n项和，求T n．20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点Q（﹣1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=﹣4于点E，=λ，=μ．判断λ+μ是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由．21．（14分）已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范围．山东省实验中学2015届高三上学期第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a=（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵复数===是纯虚数，∴=0，≠0，解得a=．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．2．（5分）已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B=B D．A∪B=B考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：先求出集合A，从而找出正确选项．解答：解：∵|x|≥0，∴|x|﹣1≥﹣1；∴A={y|y≥﹣1}，又B={x|x≥2}∴A∩B={x|x≥2}=B．故选C．点评：注意描述法所表示集合的元素．3．（5分）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：三角函数的图像与性质．分析：φ=⇒f（x）=Acos（ωx+）⇒f（x）=Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数．f（x）为奇函数⇒f（0）=0⇒φ=kπ+，k∈Z．所以“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．解答：解：若φ=，则f（x）=Acos（ωx+）⇒f（x）=﹣Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数；若f（x）是奇函数，⇒f（0）=0，∴f（0）=Acos（ω×0+φ）=Acosφ=0．∴φ=kπ+，k∈Z，不一定有φ=“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．故选B．点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵活运用．4．（5分）已知等比数列{a n}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则a n=（）A．B．C．D．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得（a+1）2=（a﹣1）（a+4），解得 a=5，由此可得首项和公比，从而得到通项公式．解答：解：∵已知等比数列{a n}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则（a+1）2=（a﹣1）（a+4），解得 a=5，故此等比数列的首项为4，公比为=，故通项公式为，故选C．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式的应用，属于中档题．5．（5分）如图给出的是计算…的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞11 D．i＜11考点：循环结构．专题：计算题．分析：要计算的值，由S=S，推出最后一次进行循环时的条件为i=10，当i＞10应退出循环输出S的值，由此不难得到判断框中的条件．解答：解：∵S=，并由流程图中S=S循环的初值为1，终值为10，步长为1，所以经过10次循环就能算出S=的值，故i≤10，应不满足条件，继续循环所以i＞10，应满足条件，退出循环判断框中为：“i＞10？”．故选A．点评：本题考查直到型程序框图的应用，是2015届高考常考题型，易错点是不能准确理解流程图的含义而导致错误．6．（5分）函数的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（l，2）C．（2，3）D．（3，4）考点：函数的零点；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可得f（1）＜0，f（2）＞0，故有f（1）•f（2）＜0．根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间．解答：解：由函数，可得f（1）=﹣1＜0，f（2）=1﹣=＞0，∴f（1）•f（2）＜0．根据函数零点的判定定理可得，函数的零点所在的区间为（1，2），故选B．点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．7．（5分）某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界），则针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为（）A．B．C．D．以上全错考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：先明确是几何概型中的面积类型，分别求三角形与圆的面积，然后求比值即可．解答：解：设落在阴影部分内接正三角形上的概率是P，圆的半径为R，∵S圆=πR2，正三角形的面积S A=3××R2×sin120°=R2∴P===．故选B．点评：本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率．8．（5分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p ＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y考点：抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．解答：解：双曲线C1：的离心率为2．所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8．抛物线C2的方程为x2=16y．故选D．点评：本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力．9．（5分）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足+λ（）（（λ≥0），则P点轨迹一定通过三角形ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心考点：平面向量的基本定理及其意义．分析：过A作BC边的垂线AD，作中线AE，则=，根据向量的加法即可知道P点在中线AE 所在直线上，即P点的轨迹经过△ABC的重心．解答：解：如图，过A作BC的垂线，垂足为D，则，∴=，AE为△ABC的中线；向量2λ与共线，∴根据向量的加法知P在中线AE所在直线上；∴P点的轨迹经过三角形ABC的重心．故选D．点评：考查正弦值的几何意义，向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，向量加法的几何意义，以及三角形的中线经过重心..10．（5分）已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+6）+f（x）=0，y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，且f（2）=4，则f=（）A．0 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣16考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（x+6）+f（x）=0，得到f（x+12）=﹣f（x+6）=f（x），则f（x）为周期为12的函数，再由y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，得到f（﹣x）=﹣f（x），运用周期，化简f=f（﹣2）=﹣f（2），即可得到答案．解答：解：f（x+6）+f（x）=0，即f（x+6）=﹣f（x），则f（x+12）=﹣f（x+6）=f（x），则f（x）为周期为12的函数，由于y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，则y=f（x）的图象关于（0，0）对称，即有f（﹣x）=﹣f（x），则f=f（12×167+10）=f（10）=f（﹣2），由于f（2）=4，则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣4．故选B．点评：本题考查抽象函数及应用，考查函数的周期性和对称性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．二、填空题（本题包括5小题，共25分）11．（5分）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为4m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；压轴题．分析：由三视图可知几何体是三棱锥，明确其数据关系直接解答即可．解答：解：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，体积等于×2×4×3=4故答案为：4点评：本题考查三视图求体积，三视图的复原，考查学生空间想象能力，是基础题．12．（5分）在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x4的项的系数是10．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为4求得r，再代入系数求出结果．解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，，要求x4的项的系数∴10﹣3r=4，∴r=2，∴x4的项的系数是C52（﹣1）2=10故答案为：10点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．13．（5分）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．考点：归纳推理．专题：计算题．分析：观察所给的等式，等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2，左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，写出结果．解答：解：观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2，故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2点评：本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．14．（5分）若点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为4．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；转化思想．分析：求出圆心坐标，圆的半径，结合题意，利用圆的到直线的距离，半径，|PM|满足勾股定理，求出|PM|就是最小值．解答：解：：（x﹣5）2+y2=16的圆心（5，0），半径为4，则圆心到直线的距离为：=4，点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值：=4．故答案为：4点评：本题是基础题，考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用．15．（5分）已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为7．考点：基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，利用直线平移法求出当x=3且y=4时，z=ax+by取得最大值为7，即3a+4b=7．再利用整体代换法，根据基本不等式加以计算，可得当a=b=1时的最小值为7．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，并观察直线l在x轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值．∴z max=F（3，4）=7，即3a+4b=7．因此，=（3a+4b）（）=[25+12（）]，∵a＞0，b＞0，可得≥2=2，∴≥（25+12×2）=7，当且仅当a=b=1时，的最小值为7．故答案为：7点评：本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=ax+by的最大值为7的情况下求的最小值．着重考查了简单的性质规划、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16．（12分）已知向量（ω＞0），函数的最小正周期为π．（I）求函数f（x）的单调增区间；（II）如果△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且满足，求f（A）的值．考点：余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．专题：综合题．分析：（I）利用向量的数量积公式、二倍角公式及辅助角公式化简函数．利用f（x）的最小正周期为π，可求ω的值，从而可得函数的解析式，利用三角函数的单调性，即可得到函数f（x）的增区间；（II）由，及，可求得，进而可求f（A）的值．解答：解：（I）==…（3分）∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0．∴，解得ω=1，…（4分）∴．由≤≤…（5分）得f（x）的增区间为…（6分）（II）由，∴，又由=…（8分）∴在△ABC中，…（9分）∴=…（12分）点评：本题考查三角函数式的化简，考查数量积公式的运用，考查余弦定理的运用，解题的关键是三角函数式的化简．17．（12分）甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为（Ⅰ）求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；（Ⅱ）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得﹣1分，求乙所得分数η的概率分布和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（Ⅰ）甲至多命中2个且乙至少命中2个包含的两个事件是相互独立事件，分别做出甲至多命中2个球的概率和乙至少命中两个球的概率，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（II）乙所得分数为η，η可能的取值﹣4，0，4，8，12，当变量是﹣4时，表示一个球也没进，当变量是0时，表示只进一个球，当变量是4时，表示进了2个球，当变量是8时，表示进了3个球，当变量是12时，表示进了4个球，结合变量对应的事件和独立重复试验写出分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）甲至多命中2个且乙至少命中2个包含的两个事件是相互独立事件，设“甲至多命中2个球”为事件A，“乙至少命中两个球”为事件B，由题意得：∴甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为：（Ⅱ）乙所得分数为ηη可能的取值﹣4，0，4，8，12，P（η=﹣4）==，P（η=0）==P（η=4）=C42=P（η=8）==P（η=12）==分布列如下：∴Eη=﹣．点评：本题考查独立重复试验，考查离散型随机变量的分布列和期望，是一个综合题，解题时注意进球的个数对应的是乙所得的分数，注意分数与进球个数的对应．18．（12分）如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A1C=A1B=BC，B1C1∥BC，B1C1=BC．（Ⅰ）求证：AB1∥面A1C1C；（Ⅱ）求二面角C﹣A1C1﹣B的余弦值的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取BC中点E，连结AE，C1E，B1E，由已知得四边形CEB1C1是平行四边形，AEC1A1是平行四边形，由此能证明AB1∥面A1C1C．（Ⅱ）由已知得A1A=AB=AC=1，A1A⊥AB，A1A⊥AC，从而A1A⊥面ABC，以A为原点，以AC为x 轴建立坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣A1C1﹣B的余弦值的大小．解答：（Ⅰ）证明：取BC中点E，连结AE，C1E，B1E，∵B1C1∥BC，，∴，∴四边形CEB1C1是平行四边形，∴B1E∥C1C，B1E=C1C，∵C1C⊂面A1C1C，B1E不包含于平面A1C1C，∴B1E∥面A1C1C，又ABB 1A1是正方形，∴A1A C1E，∴AEC1A1是平行四边形，∴AE∥A1C1∵A1C1⊂面A1C1C，AE⊄面A1C1C，∴AE∥面A1C1C，∵AE∩B1E=E，∴面B1AE∥面A1C1C，∵AB1⊂面B1AE，∴AB1∥面A1C1C．（Ⅱ）∵四边形ABB1A1为正方形，∴A1A=AB=AC=1，A1A⊥AB，∴，∵A 1C=A1B，∴，由勾股定理可得：∠A1AC=90°，∴A1A⊥AC，∵AB∩AC=A，∴A1A⊥面ABC，∵A1C=A1B=BC，∴，由勾股定理，得∠BAC=90°，∴AB⊥AC，故以A为原点，以AC为x轴建立坐标系如图，C（1，0，0），A1（0，0，1），，B（0，1，0），∴=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，﹣1，1），=（），设面A1C1C的法向量为=（x，y，z），由•=0，=0，∴，令z=1，则=（1，﹣1，1），设面A1C1B的法向量为，则则，令k=1，则…（10分）所以，设二面角C﹣A1C1﹣B的平面角为α，，所以．…（12分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）设数列{a n}为等差数列，且a3=5，a5=9；数列{b n}的前n项和为S n，且S n+b n=2．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若，T n为数列{c n}的前n项和，求T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由题意可得数列{a n}的公差，进而得通项，由S n+b n=2可得S n=2﹣b n，当n=1时，可解b1=1，当n≥2时，可得，由等比数列的通项公式可得答案；（II）由（I）可知c n==（2n﹣1）•2n﹣1，由错位相减法可求和．解答：解：（I）由题意可得数列{a n}的公差d=（a5﹣a3）=2，故a1=a3﹣2d=1，故a n=a1+2（n﹣1）=2n﹣1，由S n+b n=2可得S n=2﹣b n，当n=1时，S1=2﹣b1=b1，∴b1=1，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2﹣b n﹣（2﹣b n﹣1），∴，∴{b n}是以1为首项，为公比的等比数列，∴b n=1•=；（II）由（I）可知c n==（2n﹣1）•2n﹣1，∴T n=1•20+3•21+5•22+…+（2n﹣3）•2n﹣2+（2n﹣1）•2n﹣1，故2T n=1•21+3•22+5•23+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n，两式相减可得﹣T n=1+2•21+2•22+…+2•2n﹣1﹣（2n﹣1）•2n=1+2﹣（2n﹣1）•2n=1﹣4+（3﹣2n）•2n，∴T n=3+（2n﹣3）•2n点评：本题考查错位相减法求和，涉及等比数列的通项公式和求和公式，属中档题．20．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点Q（﹣1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=﹣4于点E，=λ，=μ．判断λ+μ是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意可得，解得即可．（2）易知直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），E（﹣4，y0）．与椭圆的方程联立化为（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4=0，可得根与系数的关系，由=λ，=μ．利用向量的线性运算即可得出．解答：解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆的方程为=1．（2）易知直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），E（﹣4，y0）．联立，化为（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4=0，△＞0．，，（*）∵，∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=λ（x2+1，y2），可得﹣（x1+1）=λ（x2+1）．得．由=μ，可得（﹣4﹣x1，y0﹣y1）=μ（x2+4，y2﹣y0），可得﹣（x1+4）=μ（x1+4），得．∴λ+μ=﹣=﹣，把（*）代入分子=+8=0，∴λ+μ=0．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=1时，先对函数求导，然后求出 f'（0），即取消在原点处的切线斜率，可求得曲线y=f（x）在原点处的切线方程（Ⅱ）先对函数求导，然后根据导数的符号可判断函数的单调区间（III）由（Ⅱ）中函数的单调区间，可求出函数的最值取得的条件，然后可求a的范围解答：（Ⅰ）解：当a=1时，，．…（2分）由 f'（0）=2，得曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x﹣y=0．…（3分）（Ⅱ）解：对函数求导可得，…（4分）①当a=0时，．所以f（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减．…（5分）当a≠0，．②当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=﹣a，，f（x）与f'（x）的情况如下：x （﹣∞，x1）x1（x1，x2） x2（x2，+∞）f'（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘f（x1）↗f（x2）↘故f（x）的单调减区间是（﹣∞，﹣a），；单调增区间是．…（7分）③当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：x （﹣∞，x2）x2（x2，x1） x1（x1，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗f（x2）↘f（x1）↗所以f（x）的单调增区间是；单调减区间是（，﹣a），（﹣a，+∞）．…（9分）（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，a=0时不合题意．…（10分）当a＞0时，由（Ⅱ）得，f（x）在单调递增，在单调递减，所以f（x）在（0，+∞）上存在最大值．设x0为f（x）的零点，易知，且．从而x＞x0时，f（x）＞0；x＜x0时，f（x）＜0．若f（x）在[0，+∞）上存在最小值，必有f（0）≤0，解得﹣1≤a≤1．所以a＞0时，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（0，1]．…（12分）当a＜0时，由（Ⅱ）得，f（x）在（0，﹣a）单调递减，在（﹣a，+∞）单调递增，所以f（x）在（0，+∞）上存在最小值f（﹣a）=﹣1．若f（x）在[0，+∞）上存在最大值，必有f（0）≥0，解得a≥1，或a≤﹣1．所以a＜0时，若f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪（0，1]．…（14分）点评：本题主要考查了函数的导数的几何意义的应用，导数在函数的单调区间及函数的最值求解中的应用，属于中档试题。

河南省实验中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{A=x|1＜x＜2}，{B=x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（）A．{a|a≥2} B．{a|a＞2} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}2．（5分）函数y=（a2﹣4a+4）a x是指数函数，则a的值是（）A．4B．1或3 C．3D．13．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1 C．2D．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，3]∪[6，+∞）D． [3，6] 6．（5分）是平面内不共线两向量，已知，若A，B，D三点共线，则k的值是（）A．1B．2C．3D．47．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的一条对称轴是（）A．x=﹣B．x=C．x=﹣D．x=8．（5分）已知体积为的正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为（）A．B．C．1D．9．（5分）下列说法错误的是（）A．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”B．如果命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题C．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0D．“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件10．（5分）已知函数的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度11．（5分）函数f（x）在定义域R上的导函数是f′（x），若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0、b=f（）、c=f（log28），则（）A．a＜b＜c B．a＞b＞c C．c＜a＜b D．a＜c＜b12．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）=log3|x|的零点个数是（）A．多于4个B．4个C．3个D．2个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）如果函数f（x）的图象与函数g（x）=（）x的图象关于直线y=x对称，则f（3x ﹣x2）的单调递减区间是．14．（5分）已知tan（α+β）=3，tan（α+）=2，那么tanβ=．15．（5分）设α=cos420°，函数f（x）=，则f（）+f（log2）的值等于．16．（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时写出证明过程或演算步骤．17．（12分）已知向量，函数．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，且a＞b，求a，b的值．18．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．19．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD．20．（12分）数列{b n}满足：b n+1=2b n+2，b n=a n+1﹣a n，且a1=2，a2=4．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n的前n项和S n．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）若a=4，求曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的极值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知四边形ABCD内接于ΘO，且AB是的ΘO直径，过点D的ΘO的切线与BA的延长线交于点M．（1）若MD=6，MB=12，求AB的长；（2）若AM=AD，求∠DCB的大小．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．（坐标系与参数方程选做题）已知椭圆C的极坐标方程为，点F1、F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，a∈R，a≠0．（Ⅰ）当a=1时，解不等式：f（x）＞2；（Ⅱ）若b∈R且B≠0，证明：f（b）≥f（a），并说明等号成立时满足的条件．河南省实验中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{A=x|1＜x＜2}，{B=x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（）A．{a|a≥2} B．{a|a＞2} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：在数轴上画出图形，结合图形易得a≥2．解答：解：在数轴上画出图形易得a≥2．故选A．点评：本题考查集合的包含关系，解题时要作出图形，结合数轴进行求解．2．（5分）函数y=（a2﹣4a+4）a x是指数函数，则a的值是（）A．4B．1或3 C．3D．1考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：指数函数是形式定义，即y=a x，（a＞0，且a≠1），从而求a．解答：解：由题意得，，解得，a=3，故选C．点评：本题考查了指数函数的定义，属于基础题．3．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：由m⊂β，α⊥β，可得m与α的关系有三种说明A错误；由α∩γ=m，β∩γ=n，且m∥n 得到α与β的位置关系有两种说明B错误；利用线面平行的性质结合面面垂直的判定说明C 正确；由α⊥γ，α⊥β，得到β与γ可能平行也可能相交说明D错误．解答：解：对于A，m⊂β，α⊥β，则m与α的关系有三种，即m∥α、m⊂α或m与α相交，选项A错误；对于B，α∩γ=m，β∩γ=n，若m∥n，则α∥β或α与β相交，选项B错误；对于C，m⊥β，m∥α，则α内存在与m平行的直线与β垂直，则α⊥β，选项C正确；对于D，α⊥γ，α⊥β，则β与γ可能平行，也可能相交，选项D错误．故选：C．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中的线与线、线与面、面与面的关系，是中档题．4．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1B．﹣1 C．2D．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．点评：本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，3]∪[6，+∞）D． [3，6]考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围．解答：解：约束条件对应的平面区域如下图示：三角形顶点坐标分别为（1，3）、（1，6）和（），表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（）时取最小值，故的取值范围是故选A．点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．6．（5分）是平面内不共线两向量，已知，若A，B，D三点共线，则k的值是（）A．1B．2C．3D．4考点：向量的共线定理．专题：计算题．分析：由A，B，D三点共线，可构造两个向量共线，再利用两个向量共线的定理求解即可．解答：解：∵A，B，D三点共线，∴与共线，∴存在实数λ，使得=；∵=3e1﹣e2﹣（2e1+e2）=e1﹣2e2，∴e1﹣ke2=λ（e1﹣2e2），∵e1、e2是平面内不共线的两向量，∴解得k=2．故选B点评：本题考查三点共线和向量共线的转化和向量共线的条件，属基本题型的考查．7．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的一条对称轴是（）A．x=﹣B．x=C．x=﹣D．x=考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：化简函数f（x）=sinωx+cosωx为f（x）=2sin（ωx+），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，求出函数的周期，推出ω，得到函数解析式，从而可求f （x）的一条对称轴．解答：解：函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），因为y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，函数的周期T=π，所以ω=2，所以f（x）=2sin（2x+），因为2x+=+kπk∈Z，解得x=，k∈Z，当k=0时，有x=．故选：D．点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于基础题．8．（5分）已知体积为的正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为（）A．B．C．1D．考点：由三视图还原实物图．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，几何体的体积，直接求出几何体的高即可．解答：解：由三视图可知正三棱柱的底面边长为2，设正三棱柱的高为：h，正三棱柱的体积为：=，解得h=1．故选C．点评：本题考查三视图与直观图的关系，几何体的体积的应用，考查计算能力．9．（5分）下列说法错误的是（）A．命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”B．如果命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题C．若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0D．“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用；特称命题；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：利用四种命题的逆否关系判断A的正误；复合命题的真假判断B的正误；命题的否定判断C的正误；充要条件判断D的正误；解答：解：对于A，命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”，满足否命题的定义，所以A正确；对于B，如果命题“￢p”是真命题，命题“p或q”是真命题，则p，q至少已改是真命题，所以那么命题q一定是真命题，所以B正确．对于C，若命题p：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，满足特称命题的否定是全称命题的形式，所以C正确；对于D，“sinθ=”是“θ=30°”的必要不充分条件，不是充分不必要条件，所以D不正确．故选：D．点评：本题考查命题的否定，充要条件，四种命题的逆否关系，复合命题的真假的判断，基本知识的考查．10．（5分）已知函数的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由周期函数的周期计算公式：，算得ω=2．接下来将f（x）的表达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．解答：解：由题知ω=2，所以，故选择A．点评：本题考点定位：本小题考查诱导公式，函数图象的变换，基础题．11．（5分）函数f（x）在定义域R上的导函数是f′（x），若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0、b=f（）、c=f（log28），则（）A．a＜b＜c B．a＞b＞c C．c＜a＜b D．a＜c＜b考点：函数的单调性与导数的关系．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：先由x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，得函数f（x）在（﹣∞，1）上为增函数；又f（x）=f（2﹣x）得f（x）图象关于x=1对称，则f（x）在（1，+∞）上为减函数，然后将f（0），f（），f（log28）化到同一单调区间内比较即可．解答：解：∵x∈（﹣∞，1）时，∴（x﹣1）f'（x）＜0，∴f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，又∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）图象关于x=1对称，∴f（x）在（1，+∞）上为减函数，又∵a=f（0）=f（2），b=f（），c=f（log28）=f（3），∴3＞2＞，∴c＜a＜b．故选：C．点评：解题的关键为由f（x）=f（2﹣x）得函数图象关于x=1对称，以及利用导数符号确定函数的单调性，属于常用解题技巧．12．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）=log3|x|的零点个数是（）A．多于4个B．4个C．3个D．2个考点：对数函数的图像与性质；函数的周期性．专题：压轴题；数形结合．分析：根据定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，我们易画出函数f（x）的图象，然后根据函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数，即为对应方程的根的个数，即为函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象交点的个数，利用图象法得到答案．解答：解：若函数f（x）满足f（x+2）=f（x），则函数是以2为周期的周期函数，又由函数是定义在R上的偶函数，结合当x∈[0，1]时，f（x）=x，我们可以在同一坐标系中画出函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象如下图所示：由图可知函数y=f（x）与函数y=log3|x|的图象共有4个交点，即函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数是4个，故选B点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，利用转化思想，将函数的零点个数问题，转化为函数图象交点个数问题，是解答本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）如果函数f（x）的图象与函数g（x）=（）x的图象关于直线y=x对称，则f（3x﹣x2）的单调递减区间是．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）的图象与函数g（x）=（）x的图象关于直线y=x对称，可得f（x）=，因此f（3x﹣x2）==的单调递减区间满足，解出即可．解答：解：∵函数f（x）的图象与函数g（x）=（）x的图象关于直线y=x对称，∴函数f（x）是g（x）的反函数，∴f（x）=，∴f（3x﹣x2）==的单调递减区间满足，解得．故答案为：．点评：本题考查了反函数、二次函数的单调性、对数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）已知tan（α+β）=3，tan（α+）=2，那么tanβ=．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和的正切可求得tanα的值，再利用两角差的正切即可求得tanβ=tan[（α+β）﹣α]的值．解答：解：∵tan（α+）=2，∴=2，解得tanα=；又tan（α+β）=3，tan（α+）=2，∴tanβ=tan[（α+β）﹣α]===．故答案为：．点评：本题考查两角和与差的正切函数，求得tanα=是关键，属于中档题．15．（5分）设α=cos420°，函数f（x）=，则f（）+f（log2）的值等于8．考点：分段函数的应用；对数的运算性质．专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：运用诱导公式求出a的值，再由对数的运算性质和对数恒等式a logaN=N，即可求出结果．解答：解：∵a=cos420°=cos60°=，∴f（x）=，∴f（）==2，f（）=（）log2=2log26=6，∴f（）+f（log2）=2+6=8．故答案为：8．点评：本题考查三角函数的求值，考查分段函数及应用，对数的运算和对数恒等式的运用，属于基础题．16．（5分）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；综合题．分析：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，球的半径，就是三棱锥的高，再求底面面积，即可求解三棱锥的体积．解答：解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，，a=该正三棱锥的体积：故答案为：点评：本题考查棱锥的体积，棱锥的外接球的问题，考查空间想象能力，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答时写出证明过程或演算步骤．17．（12分）已知向量，函数．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，且a＞b，求a，b的值．考点：余弦定理的应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题；解三角形．分析：（1）通过向量的数量积以及二倍角的余弦函数，两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的对称性求函数f（x）的对称中心；（2）通过，求出C的大小，以及余弦定理求出a，b的值．解答：解：（1），=．…（4分）令得，，∴函数f（x）的对称中心为．…（6分）（2），∵C是三角形内角，∴即：…（8分）∴即：a2+b2=7．将代入可得：，解之得：a2=3或4，…（10分）∵a＞b，∴．…（12分）∴或2，∴．点评：本题考查向量的数量积的应用，余弦定理以及两角和的正弦函数与二倍角公式的应用，考查计算能力．18．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．考点：函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：应用题．分析：（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．解答：解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）=8，得k=40，因此．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）=0，即．解得x=5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．19．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；数形结合．分析：（Ⅰ）利用勾股定理可得AC⊥BC，由直三棱柱的性质可得CC1⊥AC，从而得到AC⊥平面BB1C1C，进而得到AC⊥B1C．（Ⅱ）取B1C中点E，得到DE为△ABC1的中位线，得到DE∥AC1，由线面平行的判定定理证得AC1∥平面B1CD．解答：证明：（Ⅰ）在△ABC中，因为AB=5，AC=4，BC=3，所以AC⊥BC．因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以，CC1⊥AC．因为BC∩AC=C，所以AC⊥平面BB1C1C．所以AC⊥B1C．（Ⅱ）连接BC1，交B1C于E．因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以侧面BB1C1C为矩形，且E为B1C中点．又D是AB中点，所以DE为△ABC1的中位线，所以DE∥AC1．因为DE⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，所以，AC1∥平面B1CD．点评：本题考查证明线线垂直、线面平行的方法，线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，取B1C中点E，得到DE为△ABC1的中位线是解题的关键．20．（12分）数列{b n}满足：b n+1=2b n+2，b n=a n+1﹣a n，且a1=2，a2=4．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出数列{b n+2}是首项为4，公比为2的等比数列，由此能求出．（Ⅱ）由a n﹣a n﹣1=b n=2n﹣2，n≥2，得，由此累加得a n=2n+1﹣2n，由此能求出数列{a n的前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）∵b n+1=2b n+2，∴b n+1+2=2（b n+2），∴，又b1+2=a2﹣a1+2=4，∴数列{b n+2}是首项为4，公比为2的等比数列．即b n+2=4•2n﹣1=2n+1，所以．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a n﹣a n﹣1=b n=2n﹣2，n≥2，∴，令n=2，3，4，…，n﹣1，赋值累加得a n﹣2=（22+23+…+2n）﹣2（n﹣1），∴==2n+1﹣2n，∴S n==2n+2﹣（n2+n+4）．…（12分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）若a=4，求曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的极值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；分类讨论；转化思想．分析：（Ⅰ）求直线方程一般用点斜式，本题中已知切点，故可以根据导数的几何意义，求出该点的导数值，即得曲线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可（Ⅱ）求出函数的导函数，令导数大于0解出增区间，令导数小于0，解出函数的减区间，然后由极值判断规则确定出极值即可．（Ⅲ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上有公共点，即在区间（0，e2]上，函数f（x）存在自变量取某个值时，函数值等于1，故问题可以转化为求出函数f（x）最值，保证函数的最大值大于等于1，最小值小于等于1即可得到关于参数a的不等式，解之即得．解答：解：（Ⅰ）∵a=4，∴且．（1分）又∵，∴．（3分）∴f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为：，即4x+e2y﹣9e=0．（4分）（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），，（5分）令f'（x）=0得x=e1﹣a．当x∈（0，e1﹣a）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（e1﹣a，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数；（7分）∴f（x）在x=e1﹣a处取得极大值，即f（x）极大值=f（e1﹣a）=e a﹣1．（8分）（Ⅲ）（i）当e1﹣a＜e2，即a＞﹣1时，由（Ⅱ）知f（x）在（0，e1﹣a）上是增函数，在（e1﹣a，e2]上是减函数，∴当x=e1﹣a时，f（x）取得最大值，即f（x）max=e a﹣1．又当x=e﹣a时，f（x）=0，当x∈（0，e﹣a]时，f（x）＜0，当x∈（e﹣a，e2]时，f（x）∈（0，e a﹣1]，所以，f（x）的图象与g（x）=1的图象在（0，e2]上有公共点，等价于e a﹣1≥1，解得a≥1，又因为a＞﹣1，所以a≥1．（11分）（ii）当e1﹣a≥e2，即a≤﹣1时，f（x）在（0，e2]上是增函数，∴f（x）在（0，e2]上的最大值为，∴原问题等价于，解得a≥e2﹣2，又∵a≤﹣1∴无解综上，a的取值范围是a≥1．（14分）点评：本题考点是利用导数研究函数极值，考查了用导数研究函数的单调性以及借助单调性确定函数的极值、最值的位置，解决与极值、最值有关的一些问题，本题综合性较强，涉及到的知识与运算规则较多，题目难度较大，做题时要注意体会本题的这些特点．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知四边形ABCD内接于ΘO，且AB是的ΘO直径，过点D的ΘO的切线与BA的延长线交于点M．（1）若MD=6，MB=12，求AB的长；（2）若AM=AD，求∠DCB的大小．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题．分析：（1）利用MD为⊙O的切线，由切割线定理以及已知条件，求出AB即可．（2）推出∠AMD=∠ADM，连接DB，由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，通过AB是⊙O 的直径，四边形ABCD是圆内接四边形，对角和180°，求出∠DCB即可．解答：选修4﹣1：几何证明选讲解：（1）因为MD为⊙O的切线，由切割线定理知，MD2=MA•MB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB，…（2分），所以MA=3，AB=12﹣3=9．…（5分）（2）因为AM=AD，所以∠AMD=∠ADM，连接DB，又MD为⊙O的切线，由弦切角定理知，∠ADM=∠ABD，（7分）又因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB为直角，即∠BAD=90°﹣∠ABD．又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD，于是90°﹣∠ABD=2∠ABD，所以∠ABD=30°，所以∠BAD=60°．…（8分）又四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠BAD+∠DCB=180°，所以∠DCB=120°…（10分）点评：本题考查圆的内接多边形，切割线定理的应用，基本知识的考查．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．（坐标系与参数方程选做题）已知椭圆C的极坐标方程为，点F1、F2为其左，右焦点，直线l 的参数方程为（t为参数，t∈R）．（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和．考点：椭圆的参数方程；点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程．分析：（Ⅰ）通过两个表达式的消去参数t，即可将直线l的参数方程化简为普通方程．椭圆C的极坐标方程化成：12=3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ，最后再化成普通方程即可；（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，求出求点F1、F2到直线l的距离，最后求和即可．解答：解：（Ⅰ）直线l普通方程为y=x﹣2；…（2分）曲线C的普通方程为．…（4分）（Ⅱ）∵F1（﹣1，0），F2（1，0），∴点F1到直线l的距离，…（6分）点F2到直线l的距离，…（8分）∴．…（10分）点评：本题是基础题，考查简单曲线的极坐标方程，椭圆C的极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，考查计算能力，易考题型．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，a∈R，a≠0．（Ⅰ）当a=1时，解不等式：f（x）＞2；（Ⅱ）若b∈R且B≠0，证明：f（b）≥f（a），并说明等号成立时满足的条件．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）将a=1代入，不等式化为具体的绝对值不等式，然后讨论解之；（Ⅱ）由题知f（a）=|a|，f（b）=|b﹣2a|+|b﹣a|=|2a﹣b|+|b﹣a|≥|2a﹣b+b﹣a|=|a|，得证．解答：解：（Ⅰ）因为a=1，所以原不等式f（x）＞2为|x﹣2|+|x﹣1|＞2．当x≤1时，原不等式化简为1﹣2x＞0，即x＜；当1＜x≤2时，原不等式化简为1＞2，即x∈∅；当x＞2时，原不等式化简为2x﹣3＞2，即x＞．综上，原不等式的解集为{x|x＜或x＞}．…（5分）（Ⅱ）由题知f（a）=|a|，f（b）=|b﹣2a|+|b﹣a|=|2a﹣b|+|b﹣a|≥|2a﹣b+b﹣a|=|a|，所以f（b）≥f（a），（8分）又等号成立当且仅当2a﹣b与b﹣a同号或它们至少有一个为零．…（10分）点评：本题考查了绝对值不等式的解法；考查了讨论的数学思想．。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.设集合{}{}]2,0[,2|,2|1||∈==<-=x y y B x x A x ，则=B A （ ） A. ]2,0[ B.)3,1( C. )3,1[ D. )4,1(2.若复数2(23)(1)z a a a i =+-+-为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值为 A.3- B.3-或1 C.3或1- D.13. 已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >> 4.“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在[)50,60的汽车大约有A. 45B. 50C. 55D. 606. 函数()1312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点0x 属于区间A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭7. 一次试验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子. 经查数，落在正方形中的豆子的总数为N 粒，其中有m （m N <）粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π的值为 A.m N B.2m N C.3m N D.4mN8.若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）9.设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B. 23 C.0 D.21- 10.已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）A.()x f 是偶函数B. ()x f 是增函数C.()x f 是周期函数D.()x f 的值域为[)+∞-,111. 已知函数()21,().f x x g x kx =-+=若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A.1(0,)2B.1(,1)2C.(1,2)D.(2,)+∞12.函数)(x f 的导函数为)(x f '，对x ∀∈R ，都有()()f x f x '>成立，若2)2ln (=f ，则不等式()x f x e >的解是A.1x >B.01x <<C.ln 2x >D.0ln 2x <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若直线y=kx-3与y=2lnx 曲线相切，则实数K=_________ 14．某程序框图如图所示，现输入四个函数(1)f (x )＝x 2，(2)xx f 1)(=，(3)f (x )＝ln x ＋2x －6，(4)f (x )＝sin x ，则输出函数是 _________15. 已知正数x 、y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0x －3y ＋5≥0，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y的最小值为( 16. 已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共70分.17．已知集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1，或x >5}，全集U ＝R.(1)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围； (2)若∁U B A ，求实数a 的取值范围．18.(本小题满分12分)某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如下（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指数不低于70，说明孩子幸福感强）.（Ⅰ）根据茎叶图中的数据完成22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关？5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率.参考公式：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=；附表：19.已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，（1） 求y x z 2+=的最大和最小值。

山东省实验中学2015届高三第一次模拟考试2015山东省实验中学一模 文科数学试题说明：试题分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

试题答案请用2B 铅笔或0．5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

第I 卷 （共50分）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分。

每小题只有一个选项符合题意）1．i 为虚数单位，若),||i z i z +=-=则A ．1BC D ．22．已知集合，则为A ．（-2，3）B ．C ．D ．3．命题：“若x 2<1，则-1<x<1”的逆否命题是 A ．若B ．若-1<x<1，则x 2<1C ．若x>1或x<-1，则x 1>1D ．若4．某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A ．B ．C ．D ．5．某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．30B ．40C ．24D ．726．已知x ，y 满足的最小值为A ．5B ．-5C ．6D ．-67．函数的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f （x ）的图象A ．关于点对称B ．关于直线对称C ．关于点对称D ．关于直线对称8．已知双曲线，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是9．已知的各项排列成如下的三角形状：10．函数f （x ）的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f(x 1)=f(x 2)时总有x 1=x 2，则称f(x)为单函数．则 ①函数f （x ）=（x-1）3是单函数： ②函数是单函数③若f （x ）为单函数，④若函数f （x ）在定义域内某个区间D 上具有单调性，则f （x ）一定是单函数以上命题正确的是 A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．①③④第II 卷（非选择题，共1 00分）二、填空题（本题包括5小题，每小题5分，共25分） 11．已知a 、b ∈R +2a+b=2，则的最小值为 。

省实验中学2015届高三上学期阶段性测试（一）数学（理科）一．选择题(5*8=40分)1．设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 2． 22log sinlog cos1212ππ+的值为（ ）A .-2B .–l C. 12D .13．已知x ，y ∈R ，则“1x y +=”是“14xy ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知函数cos21()sin 2x f x x-=，则有（ ）A ．函数()f x 的图像关于直线2x π=对称 B ．函数()f x 的图像关关于点(,0)2π对称C ．函数()f x 的最小正周期为2πD ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递减5．已知0<a<b<l ．则（ ） A.11b a > B. 11()()22a b < C. 22(lg )(lg )a b < D. 11lg lg a b>6．已知函数 2()2cos f x x x =+，若 '()f x 是 ()f x 的导函数，则函数 '()f x 在原点附近的图象大致是（ ）A B C D7.已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m ≤-恒成立，则实数m的取值范围是（ ）111.(,].(,][1,).[1,).[,1]444A B C D -∞--∞-+∞+∞-AB C D P ME O 1 O 28．已知关于x 的方程cos xk x=在(0,)+∞有且仅有两根，记为,()αβαβ<，则下列的四个命题正确的是（ ）A ．2sin 22cos ααα= B ．2cos 22sin ααα= C ．2sin 22sin βββ=- D ．2cos22sin βββ=-二．填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。