上海市闵行区2008学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷文

上海市黄浦区2008学年高三年级第一次质量调研数学试卷(理)一．填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，请将结果直接填在答题纸规定的横线上，每题填对得5分，否则一律得零分．1．线性方程组21202x z x y y z -=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的增广矩阵是__________________．2．α：与整数的差为12的数；β：整数的12． 若1{|,},{|,}22nA x x n n ZB x x n Z ==+∈==∈，则___A B .所以α是β的________条件 3．已知集合2{|560,},{|2|2,}A x x x x R B x x a x R =-+>∈=-≤∈，若A B R = ，则实数a 的取值范围是___________．4．方程141log (122)2x x +-=+的解x =____________．5．三角方程2sin 10x +=的解集是_____________．6．已知复数z 满足1(z i iz i +=-是虚数单位)，则z =_____________．7．若圆锥的底面半径和高都是2，则圆锥的侧面积是_____________． 8. 掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于4”的概率为____________.9．若用样本数据10-1213、、、、、来估计总体的标准差，则总体的标准差点估计值是____________． 10．若球的体积是392m π，则球的表面积是____________2m ． 11. 函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，当0x <时，13()21xf x x =+-，则函数的解析式()f x =________________.(结果用分段函数表示)12.若,a b R ∈、且2249,a b ≤+≤则22a ab b -+的最大值与最小值之和是_____________.二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须在答题纸上按正确填涂的方法用2B 铅笔将正确结论的字母代号框涂黑，每题涂对得 4分，否则一律得零分． 13.2{sin ,cos ,1},{sin,sin cos ,0}A B ααααα==+，且A B =，则20092009sin cos αα+=( )A.0B.1C.1-D.1±14．给出下列命题：(1)三点确定一个平面；(2)在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行；(3)若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；(4)若直线a b c 、、满足,a b a c ⊥⊥、则//b c .其中正确命题的个数是 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 15．1642()x x+的二项展开式中，有理项共有 （ ）A 2项 B. 3项 C. 4项 D. 5项 16. 已知数列{}n a 满足*11133,(2,)n n n a a a n n N a --==-≥∈，记M 为下列程序框图的输出结果，则行列式1 1 M-1 1 M 1 1 1中元素1-的代数余子式的值是( )A. 2B.2-C.132 D.132- 三．解答题（满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.在长方体1111ABCD A B C D -中，112,,AB a BC BB a B C ===与1BC 交于O 点. (1)求异面直线1AB 与1BC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；(2)求证：1B O ⊥平面11ABC D ；(3)求二面角11B AD O --的大小(结果用反三角函数值表示).AB C DA 1B 1C 1D 1O18．（本题满分14分）第1小题满分8分，第2小题满分6分.△ABC 中，已知3A π∠=，边23BC =，设B x ∠=，△ABC 的周长为y .(1)求函数()y f x =的解析式，并写出函数的定义域；(2)求函数()y f x =的值域.n >4 M ←a n开始输入a 1,a 2,a 3,a 4n ←1,M ←a 1 n ←n+1输出M结束a n >M是是否否19．（本题满分12分）某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为a 千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.75元/千瓦时之间，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时(该市电力成本价为0.30元/千瓦时)经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为0.2a .试问当地电价最低为多少时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%. 20．（本题满分16分）第1小题满分8分，第2小题满分8分.已知函数11(0,)1bx y a x ax a+=>≠-+的图像关于直线y x =对称. (1)求实数b 的值；(2)设A B 、是函数图像上两个不同的定点，记向量12,(1,0)e AB e ==，试证明对于函数图像所在的平面早任一向量c ，都存在唯一的实数12λλ、，使得1122c e e λλ=+成立.21．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分5分,第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1(a a a =为常数，)a R ∈，*123()n n n a a n N +=-∈， 设*()2n n n a b n N =∈. (1)求数列{}n b 所满足的递推公式；(2)求常数c q 、使得1()n n b c q b c +-=-对一切*n N ∈恒成立；(3)求数列{}n a 通项公式，并讨论：是否存在常数a ，使得数列{}n a 为递增数列？若存在，求出所有这样的常数a ；若不存在，说明理由.参考答案一、1. 2 0 -1 -11 2 0 00 1 1 2⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭2.；Ø充分非必要条件(第一空2分，第二空3分)3.122a ≤≤4.15.{|(1),}6kx x k k Z ππ=--∈ (只要正确，允许没有化简) 6.i - 7.42π 8.569.2 10.9π 11.13132 1 (0)() 0 (0)2 1 (0)x x x x f x x x x -⎧-+>⎪⎪==⎨⎪⎪+-<⎩12.312二、13.C 14.B 15.D 16.A 三、17.解：(1)10arccos ;10(2)略； (3)2arctan.418.解：(1)△ABC 的内角和A+B+C=π，且,,03A B x C π==> ，220,0.33C x x ππ∴=-><< 由正弦定理，知23,2sin sin sin()33b c x x ππ==-即4s i n24s i n ()3b x c x π=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以224sin 4sin()2 3 (0)33y x x x ππ=+-+<< (2)由(1)知，224sin 4sin()2 3 (0)33y x x x ππ=+-+<<6s i n 23c o s 23x x =++ 543s i n ()23()6666x x ππππ=++<+<由正弦函数的图像知，当5666x πππ<+<时，有1s i n ()126x π<+≤. 于是，4343s i n ()23636x π<++≤， 所以，函数224sin 4sin()2 3 (0)33y x x x ππ=+-+<<的值域是(43,63]19. 解：设新电价为x 元/千瓦时(0.550.75)x ≤≤，则新增用电量为0.20.4ax -千瓦时.依题意，有 0.2()(0.3)(0.80.3)(120%)0.4aa x ax +-≥-+-， 即(0.2)(0.3)0.6(x x x --≥-，整理，得21.10.30,x x -+≥ 解此不等式，得0.6x ≥或0.5x ≤，又0.550.75x ≤≤, 所以，0.60.75x ≤≤，因此，m i n 0.6x =，即电价最低为0.6元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加20%.20. (1) 函数11(0,)1bx y a x ax a+=>≠-+的图像关于直线y=x 对称， ∴当点0001(,)()x y x a ≠-在函数的图像上时，点0001(,)()y x y a≠-也在函数的图像上，即0000001111bx y ax by x ay +⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩，化简，得2200()(1)10.a ab x b x b ++---=此关于0x 的方程对01x a≠-的实数均成立，即方程的根多于2个，201010a ab b b +=⎧⎪∴-=⎨⎪--=⎩，解之，得 1.b =-(2)由(1)知，11(0,)1x y a x ax a-=>≠-+，又点A 、B 是该函数图像上不同两点，则它们的横坐标必不相同，于是，可设112212(,)(,)()A x y B x y x x ≠、，所以12, (1,0)e AB e ==都是非零向量.又1212121111x x y y ax ax ---=-++211212(1)()(,0)(1)(1)a x x x x a ax ax +-=≠>++12y y ∴≠，12121(,)e A B x x y y ∴==--与2(0,1)e =不平行， 即1e 与2e为函数图像所在坐标平面上所有向量的一组基.根据平面向量的分解定理，可知，函数图像所在僄平面上任一向量c，都存在唯一实数12λλ、，使得1122c e e λλ=+成立. 21. (1)*11,23()n n n a a a a n N +==-∈11132222n nn na a ++∴=- ,又,2n n n a b = 11322n n b b +∴=-.∴数列{}n b 的递推公式是1*1213()22n na b b b n N +⎧=⎪⎪⎨⎪=-∈⎪⎩ .(2)*1()()n n b c q b c n N +-=-∈ 1.n n b qb c qc +∴=+- 又由(1)可知，11322n n b b +=- 3212q c qc ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解之，得3215q c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，*1131()()525n n b b n N +∴-=--∈ (3)由(2)知，数列1{}5n b -是首项为11,5b -公比为32-的等比数列.1*1113()()()552n n b b n N -∴-=--∈1*11322[()()]()5252n n n n n a a b n N -∴==+--∈为所求的通项公式.考察数列{}n a ，1112123[()()(1)]5325n n n n a a --=+--1O .当1025a -=，即25a =时，125nn a = ，此时数列{}n a 是递增数列.2O .当1025a -≠，即25a ≠时，11()(1)25n a ---是正负相间出现，其绝对值是正常数1||25a -，而112lim ()053n n -→∞= .故当n 充分大时，1112123[()()(1)]5325n n n n a a --=+-- 的值的符号与11()(1)25n a ---的值的符号相同，即数列的项的值是正负相间出现的，故数列{}n a 不可能是单调数列.综上所述，当且仅当2{}5a ∈时，数列{}n a 是递增数列.。

上海市卢湾区2008学年高三年级第一次质量调研数学试卷2009.1一．填空题（本大题满分55分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，请将结果直接填在答题纸规定的横线上，每题填对得5分，否则一律得零分． 1．函数123(1)x y x -+=->的反函数为____________．2．函数2,[2,0)(0,2]y x x x=+∈-U 的单调递减区间为_____________ ． 3．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为4arccos5，则该圆锥的体积为___________． 4．在长方体1111ABCD A B C D -中，若12,1,3AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成的角θ可用反三角函数值表示为θ=____________．5．若取地球的半径为6371米，球面上两点A 位于东经O12127'，北纬O 318'，B 位于东经O 12127'，北纬O 255'，则A B 、两点的球面距离为_____________千米(结果精确到1千米)．6．在二项式9的展开式中，第四项为_____________．7．若集合2{|(3)50,},A x x k x k x R A R +=+-++=∈≠ΦI ，则实数k 的取值范围为___________．8.若()y f x =为定义在D 上的函数，则“存在0x D ∈，使得2200[()][()]f x f x -≠”是“函数()y f x =为非奇非偶函数”的__________________条件.9．已知函数()y f x =既为偶函数，又是以6为周期的周期函数，若当[0,3]x ∈时，2()24,f x x x =-++则当[3,6]x ∈时，()f x =____________．10．若集合*{|100,3,}A a a a k k N =≤=∈，集合*{|100,2,}B b b b k k N =≤=∈，在A B U 中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在A B I 中的概率为____________． 11.记123n a a a a L 为一个n 位正整数，其中12,,,n a a a L 都是正整数，119,09(2,3,,)i a a i n ≤≤≤≤=L .若对任意的正整数(1)j j n ≤≤，至少存在另一个正整数(1)k k n ≤≤，使得j k a a =，则称这个数为“n 位重复数”.根据上述定义，“五位重复数”的个数为.____________.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须在答题纸上按正确填涂的方法用2B 铅笔将正确结论的字母代号框涂黑，每题涂对得 5分，否则一律得零分．12．函数2sin 2y x =是一个（ ）A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数13．若α为第二象限角，则cot cos sin = ( )A ．22sin αB ．22cos α-C ．0D ．214．24222222k nn n n n C C C C +++++L L 的值为 （ ）A.2nB.212n -C.21n -D.2121n --15.已知函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的1212,()x x D x x ∈≠，都有1212()()()22x x f x f x f ++<，则称()y f x =为D 上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为 ( )A.2log y x =B.y =2y x = D.3y x =三．解答题（满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分10分）解不等式：221122log (325)log (45)x x x x --≤+-.17．（本题满分15分）第1小题满分4分，第2小题满分11分设函数2()|2|(,f x x x a x R a =+-∈为实数).(1)若()f x 为偶函数，求实数a 的值； (2)设2a >，求函数()f x 的最小值.18．（本题满分16分）第1小题满分6分，第2小题满分10分.已知四边形OABC 为直角梯形，O 90AOC OAB PO ∠=∠=⊥，平面AC ，且3,6,2, 3.OA AB OC PO ====(理)若13PD PB =u u u r u u u r，求：(1)点D 的坐标；(2)异面直线PC AD 与所成的角θ(用反三角函数值表示).(文)(1)求证：AB PA ⊥；(2)求异面直线PB 与OA 所成的角θ(用反三角函数值表示).19．（本题满分16分）第1小题满分10分，第2小题满分6分.(理)袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：.(1)随机变量ξ的概率分布律；(2)随机变量ξ的数学期望与方差.(文)袋中有同样的球9个，其中6个红色，3个黄色，现从中随机地摸6球，求：(1)红色球与黄色球恰好相等的概率(用分数表示结果) (2)红色球多于黄色球的不同摸法的和数.ABCOP20．（本题满分18分）第1小题满分8分，第2小题满分10分.在△ABC 中，已知OO45,75,A B ∠=∠=点D 在AB 上，且10CD =. (1)若点D 与点A 重合，试求线段AB 的长；(2)在下列各题中，任选一题，并写出计算过程，求出结果.①(解答本题，最多可得6分)若CD AB ⊥，求线段AB 的长；②(解答本题，最多可得8分)若CD 平分ACB ∠，求线段AB 的长；③(解答本题，最多可得10分)若点D 为线段AB 的中点，求线段AB 的长.参考答案一、1.21log (3)(32)y x x =-+-<<2.[U3.16π4.arcsin55.6736.-7.(,1]-∞- 8.充分且非必要条件 9.21020x x -+- 10.166711.62784 二、12.D 13.B 14.D 15.C三、16.解：原不等式的解集为5{|3}4x x -≤<-17.解：(1)由已知()(),|2||2|,0f x f x x a x a a -=-=+=即解得；(2)2212,2()12,2x x a x a f x x x a x a ⎧+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩， 当12x a ≥时，22()2(1)(1)f x x x a x a =+-=+-+， 由12,,2a x a >≥得1x >，从而1x >-， 故()f x 在12x a ≥时单调递增，()f x 的最小值为2()24a a f =；当12x a <时，22()2(1)(1)f x x x a x a =-+=-+-， 故当12ax <<时，()f x 单调递增，当1x <时，()f x 单调递减， 则()f x 的最小值为(1)1f a =-；由22(2)(1)044a a a ---=>，知()f x 的最小值为1a -.18. (理)解：(1)(1,2,2)D ；(2)θ=. (文)解：(1)略；(2)θ=。

闵行区2011学年第一学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文理科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名及准考证号等填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题时客观题用2B 铅笔按要求涂写，主观题用黑色水笔填写． 2．本试卷共有23道题，共4页．满分150分，考试时间120分钟． 3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若{3,2,1,0,1,2,3}U =---,2{10,}A x x x =-≤∈Z ,{|13,}B x x x =-≤≤∈Z ,则()U A B = ð ． 2．已知扇形的面积为316π，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是 ． 3．已知a b ∈R 、，命题“若2a b +=，则222a b +≥”的否命题是 ．4．若α为第二象限角，且sin 204παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ααcos sin +的值为 ．5．椭圆221(1)x y t t+=>上一焦点与短轴两端点形成的三角形的面积为1，则t = ．6．设向量a b 、满足(2,1)a =，b = b 与a 的方向相反，则b 的坐标为 ．7．已知直线:1l y kx =+与两点(1,5)(4,2)A B --、，若直线l 与线段AB 相交，则k 的取值范围是 ．8．若*111()1()2331f n n n =++++∈-N ，则对于*k ∈N ，(1)()f k f k +=+ ．9．在ABC △中，若a b ≠，且22tan tan a b A B=，则C ∠的大小为 ． 10．执行右图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为 ． 11．(文)已知数列{n a }的前n 项和21nn S =-*()n ∈N ，则2limn n na S →∞+= ．(理)设等差数列{}n a 的首项及公差均是正整数，前n 项和为n S ，且11a >，46a >，312S ≤，则2012a = ．E12．(文) 若函数()y f x =()x ∈R 满足()(2)f x f x =+，且当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，则函数()()lg g x f x x =-的零点个数为 个．（理）若偶函数()y f x =()x ∈R 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，则函数()()lg g x f x x =-的零点个数为 个．13．（文）如图，矩形OABC 中，AB =1，OA =2，以BC 中点E 为圆心、以1为半径在矩形内部作四分之一圆弧CD （其中D 为OA 中点），点P 是弧CD 上一动点，PM BC ⊥，垂足为M ，PN AB ⊥，垂足为N ，则四边形PMBN 的周长的最大值为 ．(理)如图，矩形OABC 中，AB =1，OA =2，以B 为圆心、BA 为半径在矩形内部作弧，点P 是弧上一动点，PM OA ⊥，垂足为M ，PN OC ⊥，垂足为N ，则四边形OMPN 的周长的最小值为 ．14．（文）在一圆周上给定1000个点，如图，取其中一点，标记上数1，从这点开始按顺时针方向数到第二个点，标记上数2，从标记上2的点开始按顺时针方向数到第三个点，标记上数3……，继续这个过程直到1，2，3，…，2012都被标记到点上，圆周上这些点中有些可能会标记上不止一个数，在标上2012的那一点上 的所有数中最小的数是 ．（理）已知线段AB 上有10个确定的点（包括端点A 与B ）．现对这些点进行往返标数（从A →B →A →B →…进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）．如图：在点A 上标1，称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数n 的点称为点n ），……，这样一直继续下去，直到1，2，3，…，2012都被标记到点上．则点2012上的所有标数中，最小的是 ．二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．抛物线22y x =的准线方程是 [答]（ ） （A ）12x =-． (B) 12y =-． (C) 18x =-． （D ）18y =-． 16．若函数()y f x =的图像与函数12x y +=的图像关于y x =对称，则()f x =[答]（ ）(A) 2log x ． (B) 2log (1)x -． (C) 2log 1x -． (D)2log (1)x +．17．已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，记12121(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是 [答]（ ）N MP C BAOA B123564(A) 0a b c ++= ． (B) a b c 、、两两平行． (C) a b //． (D) a b c 、、方向都相同．18．（文）设1x 、2x 是关于x的方程20x mx +=的两个不相等的实数根，那么过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与圆122=+y x 的位置关系是 [答]（ ）（A ）相离． （B ）相切． （C ）相交． （D ）随m 的变化而变化．（理）设1x 、2x 是关于x 的方程220x mx m m ++-=的两个不相等的实数根，那么过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与圆()2211x y -+=的位置关系是 [答]（ ）（A ）相离． （B ）相切． （C ）相交． （D ）随m 的变化而变化．三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）对于1122(,),(,)m x y n x y == ，规定向量的“*”运算为：1212(,)m n x x y y *=.若12(,1),(1,),(1,0),(0,1)a x b x e e ==-== ．解不等式12(*)11(*)1a b e a b e ⋅+>⋅+．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．（文）设双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的虚轴长为渐近线方程是y =，O 为坐标原点，直线(),y kx m k m =+∈R 与双曲线C 相交于A 、B 两点，且OA OB ⊥．（1）求双曲线C 的方程； （2）求点(),P k m 的轨迹方程．（理）设双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>，12,R R 是它实轴的两个端点，I 是其虚轴的一个端点.已知其渐近线的方向向量是(1,，12IR R ∆O 为坐标原点，直线(),y kx m k m =+∈R 与双曲线C 相交于A 、B 两点，且OA OB ⊥．（1）求双曲线C 的方程； （2）求点(),P k m 的轨迹方程．21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．某地政府为改善居民的住房条件，集中建设一批经适楼房．用了1400万元购买了一块空地，规划建设8幢楼，要求每幢楼的面积和层数等都一致，已知该经适房每幢楼每层建筑面积均为250平方米，第一层建筑费用是每平方米3000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加80元． （1）若该经适楼房每幢楼共x 层，总开发费用为()y f x =万元，求函数()y f x =的表达式（总开发费用=总建筑费用+购地费用）；（2）要使该批经适房的每平方米的平均开发费用最低，每幢楼应建多少层？22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．（文）将边长分别为1、2、3、…、n 、n +1、…（*n ∈N ）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第n 个阴影部分图形.容易知道第1个阴影部分图形的周长为8，设前n 个阴影部分图形的周长的平均值为()f n ，记数列{}n a 满足()1(),,n n f n n a f a n -⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数当为偶数. （1）求()f n 的表达式；（2）写出1,a 23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式； （3）记()n n b a s s =+∈R ，若不等式1120n n n nb b b b +++>有解，求s 的取值范围.（理）将边长分别为1、2、3、4、…、n 、n +1、…（*n ∈N ）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形.由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第n 个阴影部分图形.设前n 个阴影部分图形的面积的平均值为()f n ．记数列{}n a 满足11a =,()+1(),,n n f n n a f a n ⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数当为偶数.（1）求()f n 的表达式；（2）写出23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；（3）记()n n b a s s =+∈R ，若不等式211110000nn n n n b b b b b ++++>有解，求s 的取值范围.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． （文）记函数()f x 在区间D 上的最大值与最小值分别为{}max ()|f x x D ∈与{}min ()|f x x D ∈． 设函数[]2,1,(),(,3]x b x b f x b x b ⎧-+∈⎪=⎨∈⎪⎩（13b <<），()(),[1,3]g x f x ax x =+∈，令{}{}()max ()|[1,3]min ()|[1,3]h a g x x g x x =∈-∈，记{}()min ()|d b h a a =∈R ． （1）若函数()g x 在[1,3]上单调递减，求a 的取值范围； （2）当12b a -=时，求()h a 关于a 的表达式； （3）试写出()h a 的表达式，并求(){}max ()|1,3d b b ∈．（理）记函数()f x 在区间D 上的最大值与最小值分别为{}max ()|f x x D ∈与{}min ()|f x x D ∈． 设函数[]2,1,(),(,3]x b x b f x b x b ⎧-+∈⎪=⎨∈⎪⎩，13b <<．()(),[1,3]g x f x ax x =+∈， （1）若函数()g x 在[1,3]上单调递减，求a 的取值范围； （2）若[0,1]a ∈.令{}{}()max ()|[1,3]min ()|[1,3]h a g x x g x x =∈-∈．记{}()min ()|d b h a a R =∈．试写出()h a 的表达式，并求(){}max ()|1,3d b b ∈．(3)令{}{}()max [()]|min [()]|k a g f x x I g f x x I =∈-∈(其中I 为[()]g f x 的定义域)．若I 恰好为[1,3]，求b 的取值范围，并求{}min ()|k a a R ∈．闵行区2011学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．{}2,3； 2．83π； 3．若2a b +≠，则222a b +<； 4．12； 5．2； 6．(4,2)--； 7．(]3,4,4⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭； 8．11133132k k k ++++； 9．90o；10．23； 11．(文)12、(理) 4024； 12．10； 13．(文)2+、(理)6- 14．（文）12、(理)3.二. 选择题 15． D ；16．C ；17．B ；18．（文）B 、（理）D三. 解答题19.（本题满分12分）解：12(*)1(,)(1,0)111(,)(0,1)11(*)1a b e x x x x x x a b e ⋅+-⋅+-+==>-⋅++⋅+（8分） 121001011x xx x x -+⇔->⇔<⇔-<<++． （12分） 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．解：（1）（文）由题意，有b =b =，1a ∴= （4分）故双曲线C 的方程为2213y x -=. （6分）（理）由题意，双曲线的渐近线方程为y =，则有b =又12IR R ∆a b ⋅，得1,a b ==（4分）所以双曲线C 的方程为2213y x -=. （6分） （2）设()()2211,,,y x B y x A ，直线AB ：m kx y +=与双曲线2213y x -=联立消去y ， 得222(3)230k x kmx m ----= （8分）由题意230k -≠，且()()()2221222122243302333km k m km x x k m x x k ⎧∆=---->⎪⎪⎪+=⎨-⎪⎪--=⎪-⎩又由O A O B ⊥ 知12120x x y y +=（10分）而()()2212121212121212()x x y y x x kx m kx m x x k x x km x x m +=+++=++++所以22222223320333m m km k km m k k k+++++=--- ，（12分）化简得22233m k -=① 由0∆>可得223k m <+② 由①②可得22233m k -=故点P的轨迹方程是22233(y x x -=≠ （14分）21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．（1）由已知，每幢经适楼房最下面一层的总建筑费用为：3000250750000⨯=（元）75=（万元），从第二层开始，每幢每层的建筑总费用比其下面一层多：8025020000⨯=（元）2=（万元），每幢楼房从下到上各层的总建筑费用构成以75为首项，2 为公差的等差数列，（2分）所以函数表达式为： 2*(1)()8[752]140085921400()2x x y f x x x x x -==+⨯+=++∈N ； （6分） （2）由（1）知经适楼房每平方米平均开发费用为：2()40(74175)()100008250f x x x g x x x++=⨯=⨯ （10分）()175407440744018x x ⎛⎫=++≈ ⎪⎝⎭≥（元） （12分）当且仅当175x x=，即13.2x ≈时等号成立，但由于*x ∈N ，验算：当13x =时，175()401374401813g x ⎛⎫=++≈ ⎪⎝⎭，当14x =时，175()401474402014g x ⎛⎫=++≈ ⎪⎝⎭．答：该经适楼建为13层时，每平方米平均开发费用最低． （14分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．解：（文）（1）第n 个阴影部分图形的周长为8n , （2分）故(88)()442n nf n n n+⨯==+⋅． （4分）（2）1(1)8a f ==，21()(8)36a f a f ===，3(3)16a f == （7分）当n 为奇数时，()44n a f n n ==+当n 为偶数时，[]11()4444(1)44164n n n a f a a n n --==+=-++=+ 故44,164,n n n a n n +⎧=⎨+⎩当为奇数当为偶数． （9分）（3）44,164,n n n s n b a s n s n ++⎧=+=⎨++⎩当为奇数当为偶数1120n n n nb b b b +++>有解11212()0n n n n n n n b b b b b b b +++++⇔-=->有解，当n 为奇数时，12()0n n n b b b ++->即[]()16(1)4444(2)40n s n s n s +++++-+++>⎡⎤⎣⎦ ，亦即16200n s ++<有解，故()max 162036s n <--=- （12分） 当n 为偶数时，12()0n n n b b b ++->即[]()4(1)416416(2)40n s n s n s +++++-+++>⎡⎤⎣⎦ ，于是480n s ++<，故()max 4816s n <--=-． （14分） 综上所述：16s <-． （16分）（理）解：（1）由题意，第1个阴影部分图形的面积为2221-，第2个阴影部分图形的面积为2243-，……，第n 个阴影部分图形的面积为()222(21)n n --.（2分）故()()()22222221432(21)()n n f n n⎡⎤-+-+--⎣⎦=1234(21)221n n n n+++++-+==+ （4分）（2）11a =，2(1)3a f ==，32()2317a f a ==⨯+=， （7分） 当n 为偶数时，(1)21n a f n n =-=-，当n 为大于1的奇数时，[]11()2122(1)1145n n n a f a a n n --==+=--+=-，故1,121,45,1n n a n n n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩当当为偶数当为大于的奇数． （9分）（3）由（2）知1,121,45,1n s n b n s n n s n +=⎧⎪=-+⎨⎪-+⎩当当为偶数当为大于的奇数．又21111000nn n n n b b b b b ++++>11212()0n n n n n n n b b b b b b b +++++⇔-=->． （ⅰ）当n =1时，即213()(3)(6)0b b b s -=+->，于是303s s +<⇒<- （ⅱ）当n 为偶数时，即[]()()4(1)5(21)2(2)141(4)0n s n s n s n s +-+-+-+-+=-+->⎡⎤⎣⎦于是410n s -+<，()max 426s n <-+=-． （12分） （ⅲ）当n 为大于1的奇数时，即[]()()()()2(1)1454(2)52180n s n s n s n s +-+⋅-+-+-+=++⋅->⎡⎤⎣⎦于是210n s ++<，max (21)7s n <--=-． （14分）综上所述：3s <-． （16分）23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．解：（文）（1）(1)2,[1,](),(,3]a x b x b g x ax b x b -+∈⎧=⎨+∈⎩（2分）由题意1000a a a -<⎧⇒<⎨<⎩． （4分）（2）当21b a =+时，01a <<，(1)42,[1,21]()21,(21,3]a x a x a g x ax a x a -++∈+⎧=⎨++∈+⎩，显然g (x )在[1,21]a +上单调递减，在[21,3]a +上单调递增，又此时(1)(3)51g g a ==+ 故{}max ()|[1,3](1)(3)51g x x g g a ∈===+， （6分）{}2min ()|[1,3](21)231g x x g a a a ∈=+=++ （8分）从而：()h a =()222,0,1a a a -+∈． （10分） （3）(1)2,[1,](),(,3]a x b x b g x ax b x b -+∈⎧=⎨+∈⎩．1）当0a ≤时，{}max ()|[1,3]g x x ∈=g(1)=a +2b -1, {}min ()|[1,3]g x x ∈=g(3)=3a +b此时，()21h a a b =-+-．2) 当1a ≥时，{}max ()|[1,3]g x x ∈=g(3)=3a +b , {}min ()|[1,3]g x x ∈= g(1)=a +2b -1此时，()21h a a b =-+． （12分） 3) 当102b a -<≤时，{}max ()|[1,3]g x x ∈= g(1)=a +2b -1,{}min ()|[1,3]g x x ∈= g (b )=ab +b ， 此时，()1h a a b ab =+--．4) 当112b a -<<时，{}max ()|[1,3]g x x ∈=g (3)=3a +b ,{}min ()|[1,3]g x x ∈= g (b )=ab +b ， 此时，()3h a a ab =-．故21,01(1)1,02()1(3),1221,1a b a b b a b a h a b b a a a b a -+-≤⎧⎪-⎪-+-<≤⎪=⎨-⎪-<<⎪⎪-+≥⎩， （14分）因()h a 在1(,]2b --∞上单调递减，在1[,)2b -+∞单调递增，故{}()m i n ()|d b h a a R=∈=h (12b -)=(3)(1)2b b --, （16分） 故当2b =时，得(){}1max ()|1,32d b b ∈=． （18分）（理）（1）(1)2,[1,](),(,3]a x b x b g x ax b x b -+∈⎧=⎨+∈⎩，（2分）由题意1000a a a -<⎧⇒<⎨<⎩．（4分） （2） (1)2,[1,](),(,3]a xb x b g x ax b x b -+∈⎧=⎨+∈⎩．（ⅰ）当102b a -≤≤时，{}max ()|[1,3]g x x ∈= g(1)=a +2b -1, {}min ()|[1,3]g x x ∈= g (b )=ab +b ， 此时，()1h a a b ab =+--．（ⅱ）当112b a -<≤时，{}max ()|[1,3]g x x ∈=g (3)=3a +b , {}min ()|[1,3]g x x ∈= g (b )=ab +b ， 此时，()3h a a ab =-．故1(1)1,02()1(3),12b b a b a h a b b a a -⎧-+-≤≤⎪⎪=⎨-⎪-<≤⎪⎩， （6分）因()h a 在1[0,]2b -上单调递减，在1[,1]2b -单调递增，故{}()min ()|d b h a a R =∈=h (12b -)=(3)(1)2b b --, （8分） 故当2b =时，得(){}1max ()|1,32d b b ∈=． （10分）（3）（ⅰ）当(,3]x b ∈时，f(x)=b , [()]g f x ab b =+（ⅱ）当[1,]2[1,]x b x b b ∈⎧⎨-+∈⎩，即x b =时，[()]g f x ab b =+（ⅲ）当[1,]2(,3]x b x b b ∈⎧⎨-+∈⎩时，即[1,][23,)x b x b b ∈⎧⎨∈-⎩（*）， （13分）①若2b -3>1即b >2, 由（*）知[23,)x b b ∈-，但此时{}[23,)(,3][1,3]I b b b b =-⋃⋃≠，所以b >2不合题意．②若2b -31≤即b ≤2, 由（*）知[1,)x b ∈，此时{}[1,)(,3][1,3]I b b b =⋃⋃=， 故12b <≤， （15分）且2,[1,][()],(,3]ax ab b x b g f x ab b x b -++∈⎧=⎨+∈⎩，于是，当0a ≤时，()()(2)(1)k a ab b ab b a b a =+-+-=-第 11 页 共 11 页 当0a >时，()(2)()(1)k a ab b a ab b b a =+--+=-即(1),0()(1),0b a a k a b a a -≤⎧=⎨->⎩ （17分） 从而可得当a =0时，{}min ()|k a a R ∈=0. （18分）。

OABP第7题图上海普陀区2008学年度高三第一学期质量调研测试数学试题（文科）说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。

本套试卷另附答题纸，每道题的解答必．须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

一、填空题（本大题满分55分）本大题共有11小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中．每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分． 1．已知集合{}15,N I x x x =<<∈，集合{}2,3A =,则A C 1 ．2．抛物线28y x =-的焦点坐标为 ．3．已知函数2()321x x f x =⋅+，则11()4f -= ． 4．设定义在R 上的函数()f x 满足()()23f x f x ⋅+=，若()12f =，则()2009f = ．5．已知两直线方程分别为1:210l x y --=、2:20l ax y ++=，若12l l ⊥，则直线2l 的一个法向量为n =r． 6．已知sin 2m πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则()cos πα-= ． 7．在120︒的二面角内放一个半径为6的球，使球与两个半平面各只有一个公共点（其过球心且垂直于二面角的棱的直截面如 图所示），则这两个公共点AB 之间的球面距离为 ． 8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若272k S =，且118k k a a +=-，则正整数k = ．9．一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高．现用水 将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于 水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容 器中水面的高度为 cm ．（精确到0.1cm ）第9题10．已知函数2()f x x x =-，若()()3log 1(2)f m f +<，则实数m 的取值范围是 ． 11．下列有关平面向量分解定理的四个命题．．．．中，所有正确命题的序号是 ．（填写命题所对应的序号即可）①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基； ②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基； ③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合． 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中．每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分． 12．若角α和角β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是 （ ）A ．sin sin αβ=；B ．cos cos αβ=；C ．tan tan αβ=；D ．cot cot αβ=．13．若平面向量(1,)a x =r和(23,)b x x =+-r 互相平行，其中x R ∈．则a b -=r r （ ）A ． 2-或0；B ．C ． 2或D ．2或10． 14．设a 、b 为两条直线，α、β为两个平面．下列四个命题中，正确的命题是 （ ）A ．若a 、b 与α所成的角相等，则a b ∥；B ．若b a b a ⊥⊂⊥≠则.,,αα；C ．若βαβαβα//,//,,则≠≠⊂⊂b a ;D ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥.15．已知不等式||1x m -<成立的一个充分非必要条件是2131<<x ，则 实数m 的取值范围是( ) A ．41,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； B ．14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．三、解答题（本大题满分79分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤．16．（本题满分12分）设点F 为椭圆1121622=+y x 的左焦点，点P 是椭圆上的动点．试求FP u u u r的模的最小值，并求此时点P 的坐标．17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈．（1）当k 变化时，试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A Z B =I （其中Z 为整数集）．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．18．（本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12CC AC BC ===，90ACB ∠=︒．（1） 下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图，请据此画出它的左视图和俯视图； （2） 若P 是1AA 的中点，求四棱锥111B C A PC -的体积．19．（本题满分16分，第1小题10分，第2小题6分）在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化． 现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数()f n 可近似地用函数()()()100cos 2f n A n k ω=⋅++来刻画．其中：正整数n 表示月份且[]1,12n ∈，例如1n =时表示1月份；A 和k 是正整数；0ω>．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ① 各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人； ③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的()f n 的表达式；（2） 一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．20．（本题满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列．已知无穷等比数列{}n a 的首项、公比均为12． （1）试求无穷等比子数列{}31k a -（*N k ∈）各项的和；（2）是否存在数列{}n a 的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为17？若存在，求出满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；ABC1A 1B 1C 第18题图（3）试设计一个数学问题，研究：是否存在数列{}n a的两个不同的无穷等比子数列，使得其各项和之间满足某种关系．请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论．【第3小题说明：本小题将根据你所设计的问题的质量分层评分；问题的表达形式可以参考第2小题的表述方法．】参考答案一、填空题：（5’×11＝55’）三、解答题：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）16．解：由条件，可得2224c a b =-=，故左焦点F 的坐标为()2,0-．设),(y x P 为椭圆上的动点，由于椭圆方程为1121622=+y x ，故44≤≤-x ． 因为()2,FP x y =+u u u r ，所以22222(2)(2)12(1)16x FP x y x =++=++⨯-u u u r2211416(8)44x x x =++=+,[]4,4x ∈- 由二次函数性质可知，当4x =-时，2FP u u u r 取得最小值4．所以，FP u u u r的模的最小值为2，此时点P 坐标为(4,0)-．17．解：（1）当0k =时，(,4)A =-∞；当0k >且2k ≠时，4(,4)(,)A k k=-∞++∞U ； 当2k =时，(,4)(4,)A =-∞+∞U ；（不单独分析2k =时的情况不扣分）当0k <时，4(,4)A k k=+． （2）由（1）知：当0k ≥时，集合B 中的元素的个数无限；当0k <时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集．因为44k k+≤-，当且仅当2k =-时取等号，所以当2k =-时，集合B 的元素个数最少．此时()4,4A =-，故集合{}3,2,1,0,1,2,3B =---．18．（本题满分15分，第．1．小题．．6．分，．．第．2．小题．．9．分．） 解：（2）解：如图所示．由1111B C A C ⊥，111B C CC ⊥，则11B C ⊥面11ACC A ． 所以，四棱锥111B C A PC -的体积为()111111111121222332B C A PC C A PC V B C S -⎡⎤=⋅⋅=⋅⋅+⋅=⎢⎥⎣⎦．19．解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12．由此可得，2126T ππωω==⇒=；由规律②可知，max ()(8)100100f n f A k ==+，min ()(2)100100f n f A k ==-+(8)(2)2004002f f A A -==⇒=；又当2n =时，(2)200cos(22)1001006f k π=⋅⋅++=，所以， 2.99k ≈，由条件k 是正整数，故取3k =． 综上可得，()200cos 23006f n n π⎛⎫=++⎪⎝⎭符合条件． （2） 解法一：由条件，200cos 23004006n π⎛⎫++>⎪⎝⎭，可得 1cos 262n π⎛⎫+> ⎪⎝⎭222363k n k πππππ⇒-<+<+，k Z ∈66222233k n k ππππππ⎛⎫⎛⎫⇒--<<+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k Z ∈ ABC1A 1B 1C P1212122122k n k ππ⇒--<<+-，k Z ∈．因为[]1,12n ∈，*N n ∈，所以当1k =时，6.1810.18n <<，故7,8,9,10n =，即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”．故一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”． 20．解：（1）依条件得：*31311(N )2k k a k --=∈ 则无穷等比数列31{}k a -各项的和为：223122177128a ==-； （2）解法一：设此子数列的首项为1a ，公比为q ，由条件得：102q <≤， 则1112q ≤-<，即 1121q <≤- 1111(1)[,)7147a q ∴=-∈ 而 *11(N )2m a m =∈ 则 111,88a q ==. 所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为18， 其通项公式为18nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，*N n ∈.解法二：由条件，可设此子数列的首项为1a ，公比为12m q =*(N )m ∈． 由*N m ∈⇒10112m <-<⇒1111712m a a <=-………… ① 又若1116a ≤，则对每一*N m ∈ 都有11111161611187111222m m a ≤≤=<---………… ②从①、②得111167a <<⇒118a =；则11181171122m m a ==--⇒1711288m q ==-=； 因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为18无穷等比子数列，通项公式为18nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，*N n ∈．（3）以下给出若干解答供参考，评分方法参考本小题阅卷说明：问题一：是否存在数列{}n a 的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和互为倒数？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由．解：假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和之积为1。

2008年上海市静安区高考数学二模试卷（文理合卷）一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，每题4分，只要求直接填写结果． 1. 不等式x 1−x>0的解为________．2. 若z 1=1+i ，z 1⋅z 2¯=2，则z 2=________．3. 若集合A ={x|x 2−2x −3≤0}，B ={x|x >a}，且A ∩B =φ，则实数a 的取值范围是________．4. 方程4x −2x+1−3＝0的解是________．5. 若函数f(x)=xx+2的反函数是y =f −1(x)，则f −1(12)=________．6. 若直线ax +by =1与圆x 2+y 2=1相切，则实数ab 的取值范围是________．7. 在△ABC 中，若∠B =60∘，AC =3，AB =√6，则∠A =________．8. 过抛物线y =14x 2焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程为________．9. 已知三棱锥V −ABC ，底面是边长为2的正三角形，VA ⊥底面△ABC ，VA =2，D 是VB 中点，则异面直线VC ，AD 所成角的大小为________（用反三角函数表示）． 10. 无穷等比数列{a n }的首项是某个自然数，公比为单位分数（即形如：1m 的分数，m 为正整数），若该数列的各项和为3，则a 1+a 2=________．11. 某校一学习小组有6名同学，现从中选2名同学去参加一项活动，至少有1名女生参加的概率为45，则该学习小组中的女生有________名．12. 某校一学习小组有6名同学，现从中选2名同学去参加一项活动，至少有1名女生参加的不同选法有12种，则该学习小组中的女生有________名．13. 若曲线的参数方程为{x =|cos θ2+sin θ2|y =12(1+sinθ)(θ为参数，0≤θ≤π)，则该曲线的普通方程为________．14. 若x 、y 满足{−x +y ≤0−x +2y ≥2，则函数u =log 12(x +y)的最大值为________．15. 若正方形ABCD 的边长为1，点P 在线段AC 上运动，则AP →⋅(PB →+PD →)的取值范围是________．二、选择题（本大题满分32分）本大题共有4题，每小题有且只有一个正确的答案，请将选出的答案的代码写在括号内．每小题填写正确得4分，否则得0分． 16. 对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l( ) A 平行 B 相交 C 垂直 D 互为异面直线17. 函数f(x)=x 2−2ax −3在区间[1, 2]上存在反函数的充分必要条件是（ ） A a ∈(−∞, 1] B a ∈[2, +∞) C α∈[1, 2] D a ∈(−∞, 1]∪[2, +∞)18. 设函数f(x)的定义域为R ，且f(x)是以3为周期的奇函数，f(1)>1，f(2)=log a 2(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是（ ）A a >1B 0<a <1或a >2C 12<a <1 D 0<a <119. 以S n ，T n 分别表示等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若S n T n=7n n+3，则a5b 5的值为（ ）A 7B 214C 378D 2320. 在极坐标系中，曲线ρ=4sin(θ−π3)关于（ ） A 直线θ=π3轴对称 B 点(2,π3)中心对称 C 直线θ=5π6轴对称 D 极点中心对称21.如图，在直三棱柱A 1B 1C 1−ABC 中，∠BAC =π2，AB =AC =A 1A =1，已知G 与E 分别是棱A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别是线段AC 与AB 上的动点（不包括端点）．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围是（ ） A [√5 1) B [15, 2) C [1, √2) D [√5√2)三、解答题（本大题满分120分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．22.在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，（如图）E 是棱C 1D 1的中点，F 是侧面AA 1D 1D 的中心．（1）求三棱锥A 1−D 1EF 的体积；（2）求EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的角的大小．（结果可用反三角函数表示）23. 已知复数z 1=2cosθ+i ⋅sinθ，z 2=1−i ⋅(√3cosθ)，其中i 是虚数单位，θ∈R ． （1）当cosθ=√33时，求|z 1⋅z 2|；（2）当θ为何值时，z 1=z 2．24. 设函数F(x)={f(x),f(x)≥g(x)g(x),f(x)<g(x)，其中f(x)=log 2(x 2+1)，g(x)=log 2(|x|+7)．（1）在实数集R 上用分段函数形式写出函数F(x)的解析式；（2）求函数F(x)的最小值．25. 建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为60∘（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为6√3平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段BC 与两腰长的和）要最小． （1）求外周长的最小值，此时防洪堤高ℎ为多少米？（2）如防洪堤的高限制在[3, 2√3]的范围内，外周长最小为多少米？26. （理）已知向量a →=(x 2+1,−x)，b →=(1,2√n 2+1)（n 为正整数），函数f(x)=a →⋅b →，设f(x)在(0, +∞)上取最小值时的自变量x 取值为a n ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }，对任意正整数n ，都有b n •(4a n 2−5)=1成立，设S n 为数列{b n }的前n 项和，求lim n →∞S n；（3）在点列A 1(1, a 1)、A 2(2, a 2)、A 3(3, a 3)、…、A n (n, a n )、…中是否存在两点A i ，A j （i ，j 为正整数）使直线A i A j 的斜率为1？若存在，则求出所有的数对(i, j)；若不存在，请你写出理由．27. （文）已知向量a →=(x 2+1,−x)，b →=(1,2√n 2+1) （n 为正整数），函数f(x)=a →⋅b →，设f(x)在(0, +∞)上取最小值时的自变量x 取值为a n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }，其中b n =a n+12−a n 2，设S n 为数列{b n }的前n 项和，求lim n →∞S n C n2； （3）已知点列A 1(1, a 12)、A 2(2, a 22)、A 3(3, a 32)、…、A n (n, a n 2)、…，设过任意两点A i ，A j （i ，j 为正整数）的直线斜率为k ij ，当i =2008，j =2010时，求直线A i A j 的斜率．28. （理）在平面直角坐标系xoy 中，若在曲线C 1的方程F(x, y)=0中，以(λx, λy)（λ为正实数）代替(x, y)得到曲线C 2的方程F(λx, λy)=0，则称曲线C 1、C 2关于原点“伸缩”，变换(x, y)→(λx, λy)称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比． （1）已知曲线C 1的方程为x 29−y 24=1，伸缩比λ=2，求C 1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C 2的方程； （2）射线l 的方程y =√22x(x ≥0)，如果椭圆C 1:x 216+y 24=1经“伸缩变换”后得到椭圆C 2，若射线l 与椭圆C 1、C 2分别交于两点A 、B ，且|AB|=√2，求椭圆C 2的方程；（3）对抛物线C 1:y 2=2p 1x ，作变换(x, y)→(λ1x, λ1y)，得抛物线C 2:y 2=2p 2x ；对C 2作变换(x, y)→(λ2x, λ2y)得抛物线C 3:y 2=2p 3x ，如此进行下去，对抛物线C n :y 2=2p n x 作变换(x, y)→(λn x, λn y)，得抛物线C n+1:y 2=2p n+1x ，…．若p 1=1，λn =(12)n ，求数列{p n }的通项公式p n ．29. （文）在平面直角坐标系xoy 中，若在曲线C 1的方程F(x, y)=0中，以(λx, λy)（λ为正实数）代替(x, y)得到曲线C 2的方程F(λx, λy)=0，则称曲线C 1、C 2关于原点“伸缩”，变换(x, y)→(λx, λy)称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比． （1）已知曲线C 1的方程为x 29−y 24=1，伸缩比λ=2，求C 1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C 2的方程；（2）已知抛物线C 1:y 2=2x ，经过伸缩变换后得抛物线C 2:y 2=32x ，求伸缩比λ． （3）射线l 的方程y =√22x(x ≥0)，如果椭圆C 1:x 216+y 24=1经“伸缩变换”后得到椭圆C 2，若射线l 与椭圆C 1、C 2分别交于两点A 、B ，且|AB|=√2，求椭圆C 2的方程．2008年上海市静安区高考数学二模试卷（文理合卷）答案1. {x|0<x <1}2. 1+i3. [3, +∞)4. x ＝log 235. 26. [−12，12]7. 75∘ 8. y =12x 2+1 9. arccos 14（等）10. 8311. 3 12. 313. x 2=2y(1≤x ≤√2,12≤y ≤1) 14. −2 15. [−2,14]16. C 17. D 18. C 19. B 20. C 21. A22. 解：（1）V A 1−D 1EF =V E−A 1D 1F =13⋅1⋅1=13．（体积公式正确3分）（2）取A 1D 1的中点G ，则FG ⊥平面A 1B 1C 1D 1，EF 在底面A 1B 1C 1D 1的射影为GE ，所求的角的大小等于∠GEF 的大小， 在Rt △GEF 中tan∠GEF =√22，所以EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的角的大小是arctan √22． 23. 解：(1)|z 1⋅z 2|=|z 1||z 2|=√4cos 2θ+sin 2θ√1+3cos 2θ， ∵ cosθ=√33，∴ cos 2θ=13，sin 2θ=23∴ |z 1⋅z 2|=2， （2）∵ z 1=z 2．∴ 2cosθ=1，−sinθ=√3cosθ， ∴ θ=2kπ±π3且θ=kπ−π3，k ∈z ， ∴ θ=2kπ−π3，k ∈z24. 解：（1）F(x)={log 2(x 2+1)，log 2(x 2+1)≥log 2(|x|+7)log 2(|x|+7)，log 2(x 2+1)<log 2(|x|+7)，令log 2(x 2+1)≥log 2(|x|+7)，得x 2−|x|−6≥0，解得：x ≤−3或x ≥3，∴ F(x)={log 2(x 2+1)，x ≥3或x ≤−3log 2(|x|+7)，−3<x <3．（写出F(x)={log 2(x 2+1)，x 2+1≥|x|+7log 2(|x|+7)，x 2+1<|x|+74分）（2）当x ≥3或x ≤−3时，F(x)=log 2(x 2+1)，设u =x 2+1≥10，y =log 2u 在[10, +∞)上递增，所以F(x)min =log 210；（说明：设元及单调性省略不扣分） 同理，当−3<x <3，F(x)min =log 27；又log 27<log 210∴ x ∈R 时，F(x)min =log 27．或解：因为F(x)是偶函数，所以只需要考虑x ≥0的情形，当0≤x <3，F(x)=log 2(x 2+7)，当x =0时，F(x)min =log 27；当x ≥3时，F(x)=log 2(x 2+1)，当x =3时，F(x)min =log 210；∴ x ∈R 时，F(x)min =log 27．25. 解：（1）6√3=12(AD +BC)ℎ，AD =BC +2×ℎcot60∘=BC +2√33ℎ，6√3=12(2BC +2√33ℎ)ℎ，解得BC =6√3ℎ−√33ℎ． 设外周长为l ，则l =2AB +BC =2ℎsin60∘+6√3ℎ−√33ℎ=√3ℎ+6√3ℎ≥6√2；当√3ℎ=6√3ℎ，即ℎ=√6时等号成立．外周长的最小值为6√2米，此时堤高ℎ为√6米．（2）√3ℎ+6√3ℎ=√3(ℎ+6ℎ)，设3≤ℎ1<ℎ2≤2√3，则ℎ2+6ℎ2−ℎ1−6ℎ1=(ℎ2−ℎ1)(1−6ℎ1ℎ2)>0，l 是ℎ的增函数，∴ l min =√3×3+6√33=5√3（米）．（当ℎ=3时取得最小值）．26. 解：（1）f(x)=(x 2+1)−2x√n 2+1…函数y =f(x)的图象是一条抛物线，抛物线的顶点横坐标为x =√n 2+1>0， 开口向上，在(0, +∞)上，当x =√n 2+1时函数取得最小值，所以a n =√n 2+1；…（2）将（1）中{a n }的表达式代入，得b n =14(n 2+1)−5=14n 2−1=1(2n+1)(2n−1)=12[12n−1−12n+1]．…∴ S n =12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]，…所以所求的极限为：lim n →∞S n =lim n →∞12(1−12n+1)=12；… （3）任取A i 、A j (i 、j ∈N ∗, i ≠j)，设A i A j 所在直线的斜率为k ij ， 则k ij =a i −a j i−j=√i 2+1−√j 2+1i−j=22(i−j)(√i 2+1+√j 2+1)=√i 2+1+√j 2+1<1．因此不存在满足条件的数对(i, j)，使直线A i A j 的斜率为1．…27. 解：（1）f(x)=a →⋅b →=(x 2+1,−x)⋅(1,2√n 2+1)=x 2−2√n 2+1x +1 抛物线的顶点横坐标为x =√n 2+1>0，开口向上，在(0, +∞)上当x =√n 2+1时函数取得最小值，所以a n =√n 2+1；（2）∵ b n =a n+12−a n 2=(n +1)2+1−(n 2+1)=2n +1． 是首项为3，公差为2的等差数列， 所以：S n =n(3+2n+1)2=n 2+2n ； ∴ S nc n2=n 2+2nn(n−1)2=2n+4n−1=2+4n 1−1n．∴lim n →∞S nC n2=2． （3）∵ A 2008(2008, a 20082)，A 2010(2010, 2010n 2)，∴ k =a 20102−a 200822010−2008=20102+1−(20082+1)2010−2008=4018．28. 解（1）由条件得(2x)29−(2y)24=1，得C 2:x 294−y 2=1；（2）∵ C 2、C 1关于原点“伸缩变换”，对C 1作变换(x, y)→(λx, λy)(λ>0)，得到C 2λ2x 216+λ2y 24=1，解方程组{y =√22x(x ≥0)x 216+y 24=1得点A 的坐标为(4√33，2√63)；解方程组{y =√22x(x ≥0)λ2x 216+λ2y 24=1得点B 的坐标为(4√33λ，2√63λ)；|AB|=(4√33λ4√33)(2√63λ2√63)=2√2|λ−1||λ|=√2，化简后得3λ2−8λ+4=0，解得λ1=2，λ2=23，因此椭圆C 2的方程为x 24+y 2=1或x 236+y 29=1．（漏写一个方程扣2分）（3）（理）对C n :y 2=2p n x 作变换(x, y)→(λn x, λn y)得抛物线C n+1：(λn y)2=2p n λn x ，得y 2=2p n λnx ，又∵ y 2=2p n+1x ，∴ p n+1=p n λn，即p n+1p n=1λn=2n ，p 2p 1⋅p 3p 2⋅p 4p 3⋅…⋅pn−1p n−2⋅p npn−1=2⋅22⋅23•…•2n−1，则pn p 1=21+2+3+⋯+(n−1)=212n(n−1)，（或解：p n+1=2n p n ，p n =2n−1p n−1=⋯=2(n−1)+(n−2)+⋯+2+1p 1=212n(n−1)p 1）p 1=1， ∴ p n =212n(n−1)．29. 解：（1）曲线C 1的方程为x 29−y 24=1，伸缩比λ=2，∴ C 1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C 2的方程为：4x 29−4y 24=1，即4x 29−y 21=1；（2）抛物线C 1:y 2=2x ，经过伸缩变换后得抛物线C 2:λ2y 2=λx ，⇒y 2=1λx1λ=32，⇒则伸缩比λ=132； （3）∵ C 2、C 1关于原点“伸缩变换”，对C 1作变换(x, y)→(λx, λy)(λ>0)， 得到C 2λ2x 216+λ2y 24=1，解方程组{y =√22x(x ≥0)x 216+y 24=1得点A 的坐标为(4√33，2√63)解方程组{y =√22x(x ≥0)λ2x 216+λ2y 24=1得点B 的坐标为(4√33λ，2√63λ)|AB|=√(4√33λ−4√33)2+(2√63λ−2√63)2=2√2|λ−1||λ|=√2，化简后得3λ2−8λ+4=0，解得λ1=2，λ2=23， 因此椭圆C 2的方程为x 24+y 2=1或x 236+y 29=1．（漏写一个方程扣2分）。

上海市第二学期高三教学质量检测本试卷包括试题纸和答题纸两部分．在本试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，每题5直接填写结果．1．直线013=+-y x 的倾斜角为 ．2．已知全集R U =，集合{}0542>--=x x x M ，{}1≥=x x N ， 则)(N C M U ⋂= ．3．若复数z 满足iiz +=3 (其中i 是虚数单位)，则z = ．4．二项式6)21(x -展开式中3x 系数的值是 ．5．市场上有一种“双色球”福利彩票，每注售价为2元，中奖 概率为6.71%，一注彩票的平均奖金额为14.9元．如果小王购 买了10注彩票，那么他的期望收益是 元． 6．把αα5cos 3cos +化为积的形式，其结果为 ． 7．已知)(y x P ，是椭圆191622=+y x 上的一个动点，则 y x +的最大值是 ．8．已知21tan 1tan 2=-xx （]0[π，∈x ），则x 的值是 ． 9．如图是输出某个数列前10项的框图，则该数列第3项 的值是 ．10. 在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ．11．如图，用一平面去截球所得截面的面积为π2cm 2，已知球心到该截面的距离为1 cm ，则该球的体积是 cm 3.12．在△ABC 中，5=AB ，7=AC ，D 是BC 边的中点，则⋅的值 是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题4分．每题只有一个正确答案，选择正确答案的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置．13．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++78615304z y x z y x z y x 的增广矩阵是………………………………………………（ ）．A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛786115130411B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--786115130411 C ． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛861513411 D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛854611131 14．在直角坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点)01(，-A 和)01(，C ，顶点B 在椭圆13422=+y x 上，则BCA sin sin sin +的值是…………………………………………………………………（ ）．A ．23B ．3C ．2D ．415. 以c b a 、、依次表示方程232212=+=+=+x x x x x x 、、的根，则c b a 、、的大小顺 序为…………………………………………………………………………………………（ ）．第9理第11题A ．c b a <<B ．c b a >>C ．b c a <<D ．c a b >>16．已知数列{}n a ，对于任意的正整数n ，⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅-≤≤=-)2010(.)31(2)20091(12009n n a n n ，，设n S 表示数列{}n a 的前n 项和．下列关于n n S +∞→lim 的结论，正确的是……………………………………（ ）．A ．1lim -=+∞→n n SB ．2008lim =+∞→n n SC ．⎩⎨⎧≥-≤≤=+∞→)2010(.1)20091(2009lim n n S n n ，（*N n ∈） D ．以上结论都不对三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域写出必要的步骤.17．(本题满分12分)动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室（如图所 示）．如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽x 为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.在长方体D C B A ABCD ''''-中，2=AB ，1=AD ，1='A A ．求： （1）顶点D '到平面AC B '的距离； （2）二面角B AC B '--的大小．（结果用反三角函数值表示）19．(本题满分15分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.设数列{}n a 的前n 和为n S ，已知311=S ，3132=S ，3163=S ，3644=S ，一般地，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-++=-)().12(3412)(),12(3412)1(212为偶数时当为奇数时当n n n n S n n n （*N n ∈）．（1）求4a ；（2）求n a 2；（3）求和：n n a a a a a a a a 212654321-++++ ．20．(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分.已知a 为实数，函数3sin )(++=a f θθ，1sin )1(3)(+-=θθa g （R ∈θ）．（1）若θθcos )(=f ，试求a 的取值范围； （2）若1>a ，求函数)()(θθg f +的最小值．A ' D 'B 'C ' B CD A21．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分. 已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．（1）设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B 且斜率1的直线2l 相交于点P(4，4)，求直线AB 的斜率；（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A 、B 所作的两条直线21l l 、相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB 的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；（3）线段AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点)0(0，x Q ．若50=x ，试用线段AB 中点的纵坐标表示线段AB 的长度，并求出中点的纵坐标的取值范围．1．3π； 2．{}1-<x x ； 3．10； 4．160-； 5．（理）66.8-元；（文）0.7； 6．（理）ααcos cos42⋅； （文）200赫兹； 7．（理）5； （文）p=4．8．（理）858ππ==x x 或； （文）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ9．2113； 10．（理）cos 3ρθ=； （文）方程为01=+-y x ．11．（理）π34； （文）21； 12．12．13——16：A ； C ； C ； 理B 文A17．设熊猫居室的总面积为y 平方米，由题意得：)100()330(<<-=x x x y ．… 6分解法1：75)5(32+--=x y ，因为)10,0(5∈，而当5=x 时，y 取得最大值75． 10分 所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． …… 12分 解法2：2]2)330(3[31)]330(3[31)330(x x x x x x y -+≤-=-==75，当且仅当x x 3303-=，即5=x 时，y 取得最大值75． 所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． （1）在平面AC B '取一点A ，可得)1,0,1(-='D A ，于是顶点D '到平面AC B '的距离34==d ，所以顶点D '到平面AC B '的距离为34， （2）因为平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(1=n ，设n 与1n 的夹角为α，则32cos -==α， 结合图形可判断得二面角B AC B '--，它的大小为32arccos．A文：（1）圆锥底面积为π9 cm 2， 设圆锥高为h cm ，由体积h V ⋅⋅=π931， 由π12=V cm 3得4=h cm ； （2）母线长5=l cm ，设底面周长为c ，则该圆锥的侧面积=cl 21， 所以该圆锥的侧面积=π15cm 2． 19．（理）（1）164=a ； （2）当k n 2=时，（*N k ∈）k k k k k k k k S S a 22222212222)]12(3412)2([)12(3412)2(=-+--+=-=--，所以，nn a 42=（*N n ∈）． （3）与（2）同理可求得：)12(3112-=-n a n ，设n n a a a a a a a a 212654321-++++ =n T ，则]4)12(45434[3132nn n T ⨯-++⨯+⨯+= ，（用等比数列前n 项和公式的推导方法）]4)12(45434[3141432+⨯-++⨯+⨯+=n n n T ，相减得]4)12()444(24[313132+⨯--++++=-n n n n T ，所以94)14(2732491211--⨯-⨯-=-+n n n n T ．（文）（1）设数列前n 项和为n S ，则n n n n S n -=-+=22)220(． ……3分 （2）公比121<=q ，所以由无穷等比数列各项的和公式得：数列{}n b 各项的和为21121-=1．（3）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，当n 为奇数时，n n n b a b a b T +++++=-1321 =2)1())41(1(32221-+-+n n ；当n 为偶数时，n n n a b b a b T +++++=-1321 =2))41(1(3222n n+-． 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+-+-=+为偶数时当，为奇数时当n n n n T n n n 322)21(32,322)1()21(3222)1(． 20．（1）θθcos )(=f 即a --=-3cos sin θθ，又)4sin(2cos sin πθθθ-=-，2分所以232≤+≤-a ，从而a 的取值范围是]23,23[+---．（2）21sin )1(3)1(sin )()(+++-++=+a a g f θθθθ，令x =+1sin θ，则20≤<x ，因为1>a ，所以)1(32)1(3-≥-+a xa x ，当且仅当)1(3-=a x 时，等号成立，8分 由2)1(3≤-a 解得37≤a ，所以当371≤<a 时，函数)()(θθg f +的最小值是2)1(32++-a a ；下面求当37>a 时，函数)()(θθg f +的最小值．当37>a 时，2)1(3>-a ，函数xa x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数．所以函数)()(θθg f +的最小值为2)1(522)1(32+=++-+a a a ． [当37>a 时，函数xa x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数的证明：任取2021≤<<x x ，])1(31)[()()(121212x x a x x x h x h ---=-，因为4012≤<x x ，4)1(3>-a ，所以0)1(3112<--x x a ，0)()(12<-x h x h ，由单调性的定义函数xa x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数．] 于是，当371≤<a 时，函数)()(θθg f +的最小值是2)1(32++-a a ；当37>a 时，函数)()(θθg f +的最小值2)1(5+a ． ……15分21．（1）由⎩⎨⎧==-+.4,082x y y x 解得)8,16(-A ；由⎩⎨⎧==+.4,02x y y x 解得)0,0(B ．由点斜式写出两条直线21l l 、的方程，0:;08:21=-=-+y x l y x l ，所以直线AB 的斜率为21-． ……4分（2）推广的评分要求分三层一层:点P 到一般或斜率到一般,或抛物线到一般（3分，问题1分、解答2分）例：1．已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B 且斜率为1的直线2l 相交于抛物线x y 42=上的一定点P ),4(2t t ，求直线AB 的斜率；2．已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．设过点A 且斜率为-k 1的直线1l ，与过点B 且斜率为k 的直线2l 相交于抛物线x y 42=上的一点P （4，4），求直线AB 的斜率；3．已知B A 、是抛物线)0(22>=p px y 上的相异两点．设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B且斜率为1的直线2l 相交于抛物线)0(22>=p px y 上的一定点P ),2(2t pt ，求直线AB 的斜率； AB的斜率的值．二层:两个一般或推广到其它曲线（4分，问题与解答各占2分）例：4．已知点P 是抛物线x y 42=上的定点．过点P 作斜率分别为k 、k -的两条直线21l l 、，分别交抛物线于A 、B 两点，试计算直线AB 的斜率．三层:满分（对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法．）（7分，问题3分、解答4分） 例如：5.已知抛物线px y 22=上有一定点P ，过点P 作斜率分别为k 、k -的两条直线21l l 、，分别交抛物线于A 、B 两点，试计算直线AB 的斜率．过点P （00,y x ），斜率互为相反数的直线可设为00)(y x x k y +-=，00)(y x x k y +-=，其中0202px y =。

宜昌市2008届高三年级第二次调研考试数学试趣（文科）命题人：三峡高中祁宇涛考试时间:2008 年 3 月12 0 15:00-17:00考生注意：本试卷满分150分・考试时间12G分钟，请考生将答案填写在答卷上.其它址方书写一律无分一、选择题：本大題共10小题，每小题5分.共50分。

在每小趣4个选项中只有一项符合遗巨妾求.请将所选答案在答题卷相应位蚩填涂。

1. 函◎二缪旦的定义域为VX-1A、（l,+s）B、（一1,后）C、[一l,+oo）DJ [1,2）2. 在等差数列｛a…｝中♦①+3“s +«|5 = 1-0»则3”9 -仏的值为A. 6 Bs J2 C、24 Dx 483・将瑜数〉・=3sin（2x+ 的图象按向蚩方=（・丄厂】）平移后所徉图彖的斛析式是3 6A、y = 3sin(2x +罟)一1R、y = 3sin(2.x + —) + 1Cx y^3sin2x + l r D、y = 3sin(2x + -)-14.命ST； x = 2或『上3；命題乙：X十y弄5,则中是乙的A、充分非必要条件C、充要条件B、必裂爭充分条件D.既不充分又不必要条件. x = l + 5cos&5.若P (2. 1)为圖＜..y = 5sin &的弦中点.则该弦所在直线的方程是A、x+y-3 = 0B、x + 2y = 0C、x + y-} = 0D、2x-y-5 = 06. 球®上有A、B、C三点,AB=AC=2, BC=2 v2 ＞球心到平面ABC的距凝为1,则球的农面枳为■.A. 4兀B、6兀C、12兀D、4观兀7. 从6人屮选出4人参加数、理、化、英语比赛，毎人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加英语比赛，则不同的参赛方案种数共有A、96 •B、180C、240D、288数学文科试题•第1臾（共4贝）数#文科试题•弟2页（共4贞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

上海市静安区2008学年高三年级第一次质量调研数学试卷2009.1一．填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，请将结果直接填在答题纸规定的横线上，每题填对得5分，否则一律得零分．1．计算：2421lim(2)22n n n n n →∞+--=+______________． 2．设21()2nx x+的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为______________. 3．已知某铅球的表面积是2484cm π，则该铅球的体积是___________2cm ．4．(理)已知圆柱的体积是6π，点O 是圆柱的下底面圆心，底面半径为1，点A 是圆柱的上底面圆周上一点，则直线OA 与该圆柱的底面所成的角的大小是______(结果用反三角函数值表示)． (文)已知圆锥的母线长5l cm =，高4h cm =，则该圆锥的体积是____________3cm 5．已知复数z 满足方程2230z z -+=，则||z =_____________．6．若复数223333[(log )2log 3][(log )5log 6]z x x x x i =--+-+是纯虚数(i 为虚数单位)，则实数x =_____________．7．(理)8名同学排成前后两排，每排4人.如果甲、乙两同学必须排在前排，丙同学必须排在后排那么不同的排法共有_____________种(用数字作答)．(文)某班上午要排语文、数学、体育、英语四门课，如果体育课不排在第一节也不排在第四节，则不同的排法共有_____________种(用数字作答).8. (理)已知等差数列*{}()n a n N ∈的首项10a >，设n S 为{}n a 的前n 项和，且611S S =，则当n S 取得最大值时，n =____________.(文)已知数列{}n a 的通项公式为*13()2n a n n N =-∈，设n S 为{}n a 的前n =______. 9．(理)某工厂的一位产品检验员在检验产品时，可能把正品错误地检验为次品， 同样也会把次品错误地检验为正品.已知他把正品检验为次品的概率是0.02， 把次品检验为正品的概率为0.01.现有3件正品和1件次品，则该检验员将这4 件产品全部检验正确的概率是____________(结果保留三位小数)．(文)抛掷一枚均匀的骰子，则事件“出现的点数大于4”的概率是_____________. 10．已知周期为2的偶函数()f x 的定义域是实数集R ，且当[0,1]x ∈时，2()log (2)f x x =-，则当[2007,2009]x ∈时，()f x =____________．11. 执行右面的程序框图，如果输入的50k =，那么输出的S =12.(理)已知关于x 的不等式组2122kx x k ≤++≤有唯一实数解，则实数k 的取值集合是n ≤k开始 输入正整数k n ←-1,S ←0 S ←S+2n 输出S 结束是否 n ←n+1_________.(文)已知关于x 的不等式(1)(1)0ax x -+<的解集是1(,)(1,)a-∞-+∞U ，则实数a 的取值范围是___________.二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须在答题纸上按正确填涂的方法用2B 铅笔将正确结论的字母代号框涂黑，每题涂对得 4分，否则一律得零分．13.函数1()()2xf x =与函数12()log g x x =在(0,)+∞上的单调性为 ( )A.都是增函数B.都是减函数C.一个是增函数，另一个是减函数D.一个是单调函数，另一个不是单调函数14．下列以行列式表达的结果中，与sin()αβ-相等的是 ( )A ．sin sin cos cos αβαβ- B ．cos sin sin cos βαβα C ．sin sin cos cos αβαβ D ．cos sin sin cos ααββ-15．已知长方体的表面积是224cm ，过同一顶点的三条棱长之和是6cm ，则它的对角线长是（ ）B. 4cmC.D.16. 已知关于x 的不等式|2|3x x m -+-<的解集为非空集合，则实数m 的取值范围是( ) A. 1m < B.1m ≤ C.1m > D.1m ≥三．解答题（满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）第1小题满分5分，第2小题满分7分.(理)设(cos ,(1)sin ),(cos ,sin ),(0,0)2a b παλαββλαβ=-=><<<r r 是平面上的两个向量，若向量a b +r r 与a b -r r相互垂直，(1)求实数λ的值；(2)若45a b =r r g ，且4tan 3α=，求α的值(结果用反三角函数值表示)(文)已知(cos ,3sin ),(3cos ,sin ),(0)2a b πααβββα==<<<r r 是平面上的两个向量.(1)试用αβ、表示a b r rg ；(2)若3613a b =r r g ，且4cos 5β=，求α的值(结果用反三角函数值表示)18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，O O190,30,1,ACB BAC BC AA ∠=∠===点D E 、分别是△ABC 边AB AC 、的中点，求：(1)该直三棱柱的侧面积；(2)(理)异面直线1DB 与1EA 所成的角的大小(用反三角函数值表示) (文)异面直线DE 与11A B 所成的角的大小.19．（本题满分14分）(理)根据统计资料，某工艺品厂每日产品废品率p 与日产量x (件)之间近似地满足关系式2(,158)10p x N x x =∈≤≤-(日产品废品率=()()日废品件数日产量件数).已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元.该车间的日利润T 按照日正品赢利额减去日废品亏损额计算.(1)将该车间日利润T (千元)表示为日产量x (件)的函数；(2)当该车间的日产量为多少件时，日利润额最大？最大日利润额是几千元？(文)沪杭高速公路全长166千米.假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的时速匀速行驶到杭州.已知该汽车每小时的运输成本y (以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为220元.(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？(结果保留整数)ABCDEA 1B 1C 120．（本题满分16分）第1小题满分6分，第2小题满分10分.已知各项为正数的等比数列*{}()n a n N ∈的公比为(1)q q ≠，有如下真命题：若122n n p +=，则1212()n n p a a a =g (其中12n n p 、、为正整数). (1)若12122n n p +=+，试探究1212()n n a a g 与p a q 、之间有何等量关系，并给予证明； (2)对(1)中探究得出的结论进行推广，写出一个真命题，并给予证明.21．（本题满分18分）第1小题满分3分，第2小题满分6分,第3小题满分9分.已知0a >,函数()||1()f x x x a x R =-+∈. (1)当1a =时，求所有使()f x x =成立的x 的值；(2)当(0,3)a ∈时，求函数()y f x =在闭区间[1,2]上的最小值； (3)试讨论函数()y f x =的图像与直线y a =的交点个数.参考答案一、1.1 2.3 3.413313π⨯ 4.（理）(文)12π6.137.(理)5760；(文)12 8.(理)89n n ==或；(文)2852- 9.(理)0.932；(文)1310.22log (2006),[2007,2008)()log (2010),[2008,2009]x x f x x x -∈⎧=⎨-∈⎩ 11.2548 12.(理)1k k =+=；(文)10a -<<. 二、13.B 14.C 15.D 16.C三、17.(理)解：(1)由题设，得()()0a b a b +-=r r r r ，即22||||0,a b -=r r所以，222(1)sin sin 0λαα--=，即2(2)sin 0λλα-= 因为20,sin 0,02πααλ<<∴≠>又，所以20, 2.λλ-==即(2)由(1)知，(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==r r，cos cos sin sin cos()a b αβαβαβ∴=+=-r r g ，又45a b =r r g ，4cos()5αβ∴-=，(解法1)02παβ<<<Q ，则02παβ-<-<，33sin(),tan()54αβαβ∴-=--=-7tan tan[()]24ααββ=-+=，又0,2πα<<7arctan 24α∴=(解法2)33447sin sin[()]()555525ααββ=-+=-+=g g ，又0,2πα<<7arcsin 25α∴=(文)解：(1) 3cos cos 3sin sin 3cos()a b αβαβαβ=+=-r rg ；(2)3612,cos()1313a b αβ=∴-=r r Q g ，又4cos ,052πββα=<<<， 35sin ,sin(),513βαβ∴=-=(解法1) 33cos cos[()]65ααββ=-+=，33arccos 65α∴=(解法2) 56sin sin[()]65ααββ=-+=，56arcsin 65α∴=18.解：(1) S 侧=(2)(理)arccos 6； (文)O 6019. (理)解：(1)21422(1)1(,18)10x x T x p x p x N x x-=--=∈≤≤-g g； (2)令10,x t -=则29,,t t N ≤≤∈302[13()]T t t=-+，因为30t t +≥39,t t=即t =时取等号.而t N ∈， 所以当56t t ==或时，30t t+有最小值11，从而T 有最大值4，此时，45x =或即车间的生产量定为4件(或5件)时，该车间可获得最大利润4千元. (文)解：(1)2166220(2200.02)166(0.02),[60,120]y v v v v v=+=+∈(2)220166(0.02)2166696v v+≥⨯≈Q 当且仅当2200.02,v v=即105[60.120]v =≈∈时取等号， 所以，当汽车以105km/h 的速度行驶时，全程的运输成本最小，约为696元. 20. (1)因为12122n n p +=+，所以1221n n p +=+，又11n n a a q -= 121211111222(22)1122222111()()()()n n p p n n p a a a q a qa qq a q +--+-====g g g g即121122()n n p a a a q =g (2)以下列出推广命题的评分建议：命题证明部分的得分，不得超过推广部分的得分. 对于命题仅作形式上的变化(或者不是对(1)的推广)，不得分.如：若1221,n n p +=+则121122()n n p a a a q =g ； 第一层次：(仅对题目所列进行简单总结或结构简单变化) ┅┅1分如：①若*12(,,02)22n n rp p N r N r +=+∈∈≤<，则12122()rn n p a a a q =g ；②若*12121()23n n p n n p N +=+∈、、，则121132()n n p a a a q =g ；③若*12121()2n n p n n p s N s+=+∈、、、，则12112()s n n p a a a q =g .以下两个层次，可以根据学生的实际答题情况再作划分.第二层次：(对于确定项数(至少三项)给出一般性结论或部分推广常数12)┅┅3分 如：①若*1231231()33n n n p n n n p N ++=+∈、、、，则1231133()n n n p a a a a q =g g ；②若*123123(,,03)33n n n rp n n n p N r N r ++=+∈∈≤<、、、，则123133()rn n n p a a a a q =g g ； ③若*1212(,2n n tp n n p N s t s+=+∈、、、互素)，则1212()t s n n p a a a q =g第三层次：(进行一般化推广) ┅┅5分若12,,,mn n n a a a L 是公比为q 的等比数列{}n a 的任意m 项，则存在以下真命题：①若*12(,,0)m n n n rp m p N r N r m m m+++=+∈∈≤<L 、，则有1231()rmmn n n p a a a a q =g g L g 成立.②若*12(,m n n n tp m p N s t m s+++=+∈L 、、互素)，则有1231()tmsn n n p a a a a q =g g L g 成立.21. (1)|1|1x x x -+= 所以1x =-或1x =;(2)221, ()1,x ax x af x x ax x a⎧-+≥⎪=⎨-++<⎪⎩,1O.当01a <≤时，1x a ≥≥，这时，2()1,f x x ax =-+对称轴1122a x =≤<，所以函数()y f x =在区间[1,2]上递增，min ()(1)2f x f a ==-；2O.当12a <≤时，x a =时函数min ()()1f x f a ==；3O. 当23a <<时，2x a ≤<，这时，2()1,f x x ax =-++对称轴3(1,)22a x =∈，(1),(2)23,f a f a ==-(23)30a a a --=-<Q 所以函数min ()(2)23f x f a ==-； (3)因为0,a >所以2aa >， 所以211y x ax =-+在[,)a +∞上递增；221y x ax =-++在(,)2a -∞递增，在[,)2aa 上递减.因为()1f a =，所以当1a =时，函数()y f x =的图像与直线y a =有2个交点；又2()121,242a a af a =+≥=g g 当且仅当2a =时，等号成立. 所以，当01a <<时，函数()y f x =的图像与直线y a =有1个交点；当1a =时，函数()y f x =的图像与直线y a =有2个交点； 当12a <<时，函数()y f x =的图像与直线y a =有3个交点； 当2a =时，函数()y f x =的图像与直线y a =有2个交点；当2a >时，函数()y f x =的图像与直线y a =有3个交点.。

2008年全国高考模拟精选试题2008届高三年级第二次质量检测测试题 2019.91,500 mL KNO3和Cu(N03)2的混合溶液中c(NO3－)＝6．0 mol·L－1，用石墨作电极电解此溶液，当通电一段时间后，两极均收集到22．4 L气体（标准状况），假定电解后溶液体积仍为500 mL，下列说法正确的是A．原混合溶液中c(K＋)为2 mol·L－1 B．上述电解过程中共转移4 mol电子C．电解得到的Cu的物质的量为0．5 mol D．电解后溶液中c(H＋)为2 mol·L－12,设N A为阿伏加德罗常数。

下列叙述中正确的是A．标准状况下，22.4 LCO2和O2混合气体中含有的氧原子数约为N A B．常温常压下，0.1 mol铁在0.1 mol Cl2中充分燃烧，转移的电子数为0.3 N AC．2molSO2和1molO2混合在V2O5存在的条件下密闭容器中加热反应后，容器内物质分子数大于2 N AD．1 L 1 mol/L的K2CO3溶液中离子总数大于3N A3,有关3BrF3+5H2O=HBrO3+Br2+9HF+O2反应的叙述,正确的是A.还原剂与氧化剂的物质的量之比为5∶3B.HBrO3和HF是还原产物C.生成1molO2,转移了6mol电子D.BrF3既是氧化剂又是还原剂4,下列各组离子能大量共存，当溶液中C(H+)=10-1mol·L－1时，有气体产生；而当溶液中C(H+)=10-13mol·L－1时，又能生成沉淀。

则该组离子可能是：A．Na+、Cu2+、NO3-、CO32- B．Ba2+、K+、Cl-、HCO3-C．Fe2+、Na+、SO42-、NO3- D．Mg2+、NH4+、SO42-、Cl-5,下列用来表示物质变化的反应式中，错误的是A.NH4HCO3溶液与过量KOH溶液反应的离子方程式：NH4++ HCO3 -+2OH－＝ NH3·H2O+CO32-+ H2OB．向KHSO4溶液中滴入Ba(OH)2溶液使pH=7的离子方程式：D．K37ClO3与浓盐酸(HCl)在加热时生成氯气的化学方程式：K37ClO3 + 6HCl = K37Cl + 3Cl2↑+ 3H2O6,对下列定量实验中的基本操作和仪器的描述正确的是A.用托盘天平称取0.5molNaOH固体20.0g；B.将用水润湿的pH试纸，浸入稀盐酸溶液，测定溶液的pH值；C.用瓷坩锅灼烧各种钠的化合物D.在配制一定物质的量浓度的溶液时，定容后，经摇匀发现液面低于刻度线，此时无须再加入蒸馏水使其液面与刻度持平7,实验室有甲、乙两瓶丢失标签的无色溶液，其中一瓶是盐酸，另一瓶是碳酸钠溶液。

2023学年第二学期初三年级学业质量调研数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．4．本次考试不能用计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 下列说法正确的是（ ）A. 无限小数都是无理数B. 没有立方根C. 正数的两个平方根互为相反数D. 没有平方根2. 已知，，而且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 下列成语所反映的事件中，是确定事件的是（ ）A. 十拿九稳B. 守株待兔C. 水中捞月D. 一箭双雕4. 方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据，，，…，，可用如下算式计算方差：，其中“5”是这组数据的（ ）A 最小值 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数5. “利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着研究函数，其图象位于（ ）A. 第一、二象限B. 第三、四象限C. 第一、三象限D. 第二、四象限6. 如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（ ）.1125-(13)--3a →=2b →=b →a →32a b →→=23a b →→=32a b →→=-23a b →→=-1x 2x 3x n x ()()()()2222212315555n s x x x x n ⎡⎤=-+-+-+⋅⋅⋅-⎣⎦21y x=ABCD O BD 60ABD ∠=︒E OB F OD ,E F O ,B D OE OF =E ,AD AB 12,E E F ,BC CD 12,F F 1212E E F FA. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B. 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 若函数是反比例函数，则的值是__．8. 为了考察闵行区15000名九年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试卷，每本试卷25份，那么样本容量是__．9. 如果关于的多项式在实数范围内因式分解，那么实数的取值范围是________．10. 某班共有6名学生干部，其中4名是男生，2名是女生，任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为_____．11. 如果二次函数图象的一部分是下降的，那么的取值范围是__．12. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______．13. 若点P 到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为__．14. 如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是边CD 中点，点N 是边BC 中点，设，，那么可用，表示为_____________．15. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为________．的的2m y x =-m x 22x x m -+m 241y x x =-+x 1080︒A A AB a = BC b = MN a bA B A B C A B a 60︒ 1.5km OA = AB km16. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P ，Q ，M 均为正六边形的顶点．若点P ，Q 的坐标分别为，，则点M 的坐标为__．17. 如图，为等腰直角三角形，为的重心，E 为线段上任意一动点，以为斜边作等腰（点D 在直线的上方），为的重心，设两点的距离为d ，那么在点E 运动过程中d 的取值范围是_________．18. 在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则________．()-()0,3-ABC 1906A AB G ∠=︒=，，ABC AB CE Rt CDE △BC 2G Rt CDE △12G G 、xOy x ()2(2)03y x x =-≤≤OABC ()21034y x bx c x =++≤≤OABC b =三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. 计算：．20. 解方程组：21. 如图，一次函数y 1=﹣x ﹣1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数图象的一个交点为M （﹣2，m ）．（1）求反比例函数解析式；（2）求点B 到直线OM 的距离．22. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30℃，流速为；开水的温度为100℃，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为60℃的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．23. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，OD 2 = OB ·OE ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC =BD ，AE ·AF =AD ·BF ，求证：△ABE ∽△ACD ．的(10383π++2256012x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩2k y x=20ml /s 15ml /s 280ml24. 蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中E 点为抛物线的拱顶且高，，，取中点O ，过点O 作线段的垂直平分线交抛物线于点E ，若以O 点为原点，所在直线为x 轴，为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．解决下列问题：（1）如图，求抛物线的解析式；（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；（3）如图，在某一时刻，太阳光线（太阳光线为平行线）透过A 点恰好照射到C 点，此时大棚截面的阴影为，求的长．25. 如图，已知在中，射线 ，P 是边上一动点，，交射线于点D ，连接．，，．的ABCD AED 4m 3m AB =4m BC =BC BC OE AED BC OE LFGT SMNR 0.75m FL NR ==GM BK ABC AM BC ∥BC APD B ∠=∠PD AM CD 4AB =6BC ==60B ∠︒（1）求证：；（2）如果以为半径的圆A 与以为半径的圆B 相切，求线段的长度；（3）将绕点A 旋转，如果点D 恰好与点B 重合，点C 落在点E 的位置上，求此时的余切值．2AP AD BP =⋅AD BP BP ACD BEP ∠2023学年第二学期初三年级学业质量调研数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 下列说法正确的是（ ）A. 无限小数都是无理数B. 没有立方根C. 正数的两个平方根互为相反数D. 没有平方根【答案】C【分析】根据无理数、立方根、平方根的定义解答即可．【详解】A 、无限循环小数是有理数，故不符合题意；B 、有立方根是，故不符合题意；C 、正数的两个平方根互为相反数，正确，故符合题意；D 、﹣（﹣13）＝13有平方根，故不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查了无理数、立方根、平方根，掌握无理数、立方根、平方根的定义是解题的关键．2. 已知，，而且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据，而且和的方向相反，可得两者的关系，即可求解.【详解】∵，而且和的方向相反∴故选D.【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.3. 下列成语所反映的事件中，是确定事件的是（ ）A. 十拿九稳B. 守株待兔C. 水中捞月D. 一箭双雕【答案】C【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事1125-(13)--1125-15-3a →=2b →=b →a →32a b→→=23a b →→=32a b →→=-23a b →→=-3,2a b == b a 3,2a b == b a 32a b =-件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．【详解】解：A. 十拿九稳是随机事件，不符合题意；B.守株待兔是随机事件，不符合题意；C.水中捞月是不可能事件，是确定事件，符合题意；D. 一箭双雕是随机事件，不符合题意；故选：C ．4. 方差是刻画数据波动程度的量．对于一组数据，，，…，，可用如下算式计算方差：，其中“5”是这组数据的（ ）A. 最小值B. 平均数C. 中位数D. 众数【答案】B【分析】根据方差公式的定义即可求解.【详解】方差中“5”是这组数据的平均数.故选B ．【点睛】此题主要考查平均数与方差的关系，解题的关键是熟知方差公式的性质.5. “利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着研究函数，其图象位于（ ）A. 第一、二象限B. 第三、四象限C. 第一、三象限D. 第二、四象限【答案】A【分析】根据的取值，判断的范围即可求解．【详解】解：当时，，此时点第一象限，当时，，此时点在第二象限，故选：A ．【点睛】本题主要考查函数的图像、描点法等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．6. 如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（ ）在1x 2x 3x n x ()()()()2222212315555n s x x x x n ⎡⎤=-+-+-+⋅⋅⋅-⎣⎦()()()()2222212315555n s x x x x n ⎡⎤=-+-+-+⋅⋅⋅-⎣⎦21y x =x y 0x >0y >0x <0y >ABCD O BD 60ABD ∠=︒E OB F OD ,E F O ,B D OE OF =E ,AD AB 12,E E F ,BC CD 12,F F 1212E E F FA. 菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B. 菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C. 平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形【答案】A【分析】根据题意，分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，即可求解．【详解】∵四边形是矩形，∴，，∴，，∵、，∴∵对称，∴，∴∵对称，∴，∴，同理，∴∴∴四边形是平行四边形，如图所示，1212E E F F ABCD AB CD ∥90BAD ABC ∠=∠=︒60BDC ABD ∠=∠=︒906030ADB CBD ∠=∠=︒-︒=︒OE OF =OB OD =DF EB=21DF DF BF BF ==，21,BE BE DE DE ==1221E F E F =260F DC CDF ∠=∠=︒130EDA E DA ∠=∠=︒160E DB ∠=︒160F BD ∠=︒11DE BF ∥1221E F E F ∥1212E E F F当三点重合时，，∴即∴四边形是菱形，如图所示，当分别为的中点时，设，则，，在中，，连接，，∵，∴是等边三角形，∵为中点，∴，，∴，根据对称性可得，∴，∴，∴是直角三角形，且，∴四边形是矩形，,,E F O DO BO =1212DE DF AE AE ===1212E E EF =1212E E F F ,E F ,OD OB 4DB =21DF DF ==13DE DE ==Rt △ABD 2,AB AD ==AE AO 602ABO BO AB ，∠=︒==ABO E OB AE OB ⊥1BE=AE ==1AE AE ==2221112,9,3AD DE AE ===22211AD AE DE =+1DE A 190E ∠=︒1212E E F F当分别与重合时，都是等边三角形，则四边形是菱形∴在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 若函数是反比例函数，则的值是__．【答案】【分析】本题考查反比例函数定义．根据反比例函数的定义：，列式计算即可．【详解】解：∵函数是反比例函数，∴，故答案为：8. 为了考察闵行区15000名九年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取50本试卷，每本试卷25份，那么样本容量是__．【答案】1250【分析】本题主要考查样本容量，掌握样本容量的概念是解题的关键．根据抽取的试卷的本数每本试卷的份数即可得出答案．【详解】样本容量是1250．故答案：1250．为,F E ,D B 11,BE D BDF 1212E E F F 1212E E F F 2m y x =-m 1-()10-=≠y kxk 2m y x =-1m =-1-⨯50251250⨯=∴9. 如果关于的多项式在实数范围内因式分解，那么实数的取值范围是________．【答案】【分析】原多项式在实数范围内能因式分解，说明方程=0有实数根，即转换为 不小于0，再代入求值即可．【详解】由题意知：∵关于的多项式在实数范围内因式分解，∴=0有实数根，∴a=1，b=-2，c=m ，则，解得：；故答案：．【点睛】本题考查因式分解，其实是考查一元二次方程根与判别式的关系，能够转换思维解题是关键．10. 某班共有6名学生干部，其中4名是男生，2名是女生，任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为_____．【答案】【详解】分析：根据概率公式用女生人数除以总人数即可得结论．详解：所有等可能结果共有6种，其中女生有2种，∴恰好是女生的概率为． 故答案为．点睛：本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．11. 如果二次函数的图象的一部分是下降的，那么的取值范围是__．【答案】【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数解析式可得抛物线开口向上，则当在对称轴左侧时，函数图象下降，所以求出函数的对称轴即可求解．【详解】解：，又抛物线开口向上，当时，随的增大而减小，图像下降；当时，随的增大而增大，图像上升；二次函数的图像的一部分是下降的，，故答案为：．12. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______．【答案】8为x 22x x m -+m 1m £22x x m -+24b ac ∆=-x 22x x m -+22x x m -+224(2)41440b ac m m ∆=-=--⨯⨯=-≥1m £1m £132163=13241y x x =-+x 2x ≤x ()224123y x x x =-+=--∴2x ≤y x 2x ≥y x 241y x x =-+∴2x ≤2x ≤1080︒【分析】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键；因此此题可根据多边形内角和公式进行求解即可．【详解】解：由题意得：，∴；故答案为8．13. 若点P 到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为__．【答案】或者【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P 在外和内两种情况讨论，当点P 在外时，最大距离与最小距离之差等于直径；当点P 在内时，最大距离与最小距离之和等于直径，即可得．【详解】解：点P 在外时，外一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是，的半径长等于；点P 在内时，内一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是，的半径长等于，故答案为：或者．14. 如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是边CD 中点，点N 是边BC 的中点，设，，那么可用，表示为_____________．【答案】【分析】根据平行四边形的性质和线段的中点，可用表示出，用表示出，再根据，即可用和表示出．【详解】∵，∴．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴，()2180n -⨯︒()21801080n -⨯︒=︒8n =A A 35A A A A A O P O 82O ∴ 8232-=A O P O 82O ∴ 8252+=35AB a = BC b = MN a b1122a b - a MC b CN MN MC CN =+ a b MN BC b = CB b =-u u r r CD AB a ==∵点M 是边CD 中点，点N 是边BC 的中点，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段的中点和向量的线性运算．利用数形结合的思想是解答本题的关键．15. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为________．【答案】##【分析】本题考查了切线的性质，求弧长，根据题意得出，将已知数据代入弧长公式，即可求解．【详解】解：∵过点，两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．∴，∴，∴圆曲线的长为故答案：．16. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P ，Q ，M 均为正六边形的顶点．若点P ，Q 的坐标分别为，，则点M 的坐标为__．的为1122MC AB a == 1122CN CB b ==- 1111()2222MN MC CN a b a b =+=+-=- 1122a b - A B A B C A B a 60︒ 1.5km OA = AB km 2π12π60AOB ∠=︒A B C A B a 60︒90CAO CBO ∠=∠=︒18060AOB ACB α∠=︒-∠==︒ AB ()603ππ18022km ⨯⨯=π2()-()0,3-【答案】【分析】设中间正六边形的中心为，连接．判断出，的长，可得结论．本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【详解】解：设中间正六边形的中心为，连接．点，的坐标分别为，，图中是7个全等的正六边形，，，，，，，故答案为：17. 如图，为等腰直角三角形，为的重心，E 为线段上任意一动点，以为斜边作等腰（点D 在直线的上方），为的重心，设两点的距离为d ，那么在点E 运动过程中d 的取值范围是_________．()2-D DB OCCM D DB P Q (-(0,3)-AB BC ∴==3OQ =OA OB ∴==OC ∴=2DQ DB OD == 1OD ∴=2QD DB CM ===()2M ∴-()2-ABC 1906A AB G ∠=︒=，，ABC AB CE Rt CDE △BC 2G Rt CDE △12G G 、【答案】【分析】当点E 与点B 重合时，，当点E 与点A 重合时，的值最大，利用重心的性质以及勾股定理求得，，证明，推出是等腰直角三角形，据此求解即可．【详解】解：当点E 与点B 重合时，，当点E 与点A 重合时，的值最大，如图，点分别为的中点，∵为等腰直角三角形，为的重心，∴，∴，同理，∴，，，，，即，∴，∴是等腰直角三角形，∴∴故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，重心的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．18. 在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最0d ≤≤0d =d 1CG =2CG =12CG G BCA ∽△△12CG G △0d =d FH BC AC 、ABC 1906A AB G ∠=︒=，，ABC 12AF BF FC BC =====113G F AF ==1CG ==11322DH AH HC AC AB =====2113G H DH ==2CG ==1245BAC G CG ∠=∠=︒AC BC ==21CG CG ==21CG AC CG BC =12CG G BCA ∽△△12CG G △122G G CG ==0d ≤≤0d ≤≤xOy x小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则________．【答案】或【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．【详解】由，当时，，∴，∵，四边形是矩形，∴，①当抛物线经过时，将点，代入，∴解得：②当抛物线经过点时，将点,代入，∴解得：综上所述，或，故答案为：或．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．()2(2)03y x x =-≤≤OABC ()21034y x bx c x =++≤≤OABC b =7122512-()3,0A ()3,4B ()0,4C ()2(2)03y x x =-≤≤0x =4y =()0,4C ()3,0A ABCO ()3,4B O B ，()0,0()3,4B ()21034y x bx c x =++≤≤019344c b c =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩712b =,A C ()3,0A ()0,4C ()21034y x bx c x =++≤≤419304c b c =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩2512b =-712b =2512b =-7122512-三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. 计算：．【答案】【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；原式第一项利用立方根的定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项分母有理化，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】．20. 解方程组：【答案】或【分析】利用因式分解法求，得到或，然后得到两个二元一次方程组，分别求出方程组的解即可.【详解】解：由（1）得或，或，解方程组得：， ，则原方程组的解为 和 .【点睛】本题主要考查解二元二次方程组，解此题的关键在于利用因式分解法将第一个方程求解，然后得到新的方程组.也可以利用代入消元法进行求解.21. 如图，一次函数y 1=﹣x ﹣1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数图象的一个交点为M （﹣2，m ）．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B 到直线OM 的距离．(10383π++4-(1383π+-+2321=+--+4=-2256012x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩1184x y =⎧⎨=⎩2293x y =⎧⎨=⎩22560x xy y -+=20x y -=30x y -=20x y -=30x y -=2012x y x y -=⎧⎨+=⎩3012x y x y -=⎧⎨+=⎩1184x y =⎧⎨=⎩2293x y =⎧⎨=⎩1184x y =⎧⎨=⎩2293x y =⎧⎨=⎩2k y x=【答案】（1）（2．【分析】（1）根据一次函数解析式求出M 点的坐标，再把M 点的坐标代入反比例函数解析式即可；（2）设点B 到直线OM 的距离为h ，过M 点作MC ⊥y 轴，垂足为C ，根据一次函数解析式表示出B 点坐标，利用△OMB 的面积=×BO×MC 算出面积，利用勾股定理算出MO 的长，再次利用三角形的面积公式可得OM•h，根据前面算的三角形面积可算出h 的值．【详解】解：（1）∵一次函数y1=﹣x ﹣1过M （﹣2，m ），∴m=1．∴M（﹣2，1）．把M （﹣2，1）代入得：k=﹣2．∴反比列函数为．（2）设点B 到直线OM的距离为h ，过M 点作MC ⊥y 轴，垂足为C ．∵一次函数y 1=﹣x ﹣1与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标是（0，﹣1）．∴．在Rt △OMC 中，，∵，∴．∴点B 到直线OM ．22. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30℃，流速为；开水的温度为100℃，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯22y x =-12122k y x =22y x=-OMB 1S 1212∆=⨯⨯===OMB 1S OM h 2∆=⋅⋅==20ml /s 15ml /s温度为60℃的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．【答案】该学生接温水的时间为，接开水的时间为【分析】本题考查一元一次方程的实际应用， 设该学生接温水的时间为，则接温水，开水，由物理常识的公式可得方程，解方程即可．【详解】解：设该学生接温水的时间为，根据题意可得：，解得，∴，∵，∴，∴该学生接温水的时间为，接开水的时间为．23. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，OD 2 = OB ·OE ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC =BD ，AE ·AF =AD ·BF ，求证：△ABE ∽△ACD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）由题意，得到，然后由AD ∥BC ，得到，则，即可得到AF//CD ，即可得到结论；（2）先证明∠AED=∠BCD ，得到∠AEB=∠ADC ，然后证明得到，即可得到△ABE ∽△ADC.【详解】证明：（1）∵OD 2 =OE · OB ，∴．∵AD//BC ，280ml 8s 8ss x 20ml x ()28020ml x -s x ()()()2060302802010060x x ⨯-=-⨯-8x =208160ml ⨯=（）280160120ml -=（）120158s ÷=（）8s 8s OE OD OD OB =OA OD OC OB =OA OE OC OD =AE AD BE DC =OE OD OD OB=∴．∴． ∴ AF//CD ．∴四边形AFCD 是平行四边形．（2）∵AF//CD ，∴∠AED=∠BDC ，．∵BC=BD ，∴BE=BF ，∠BDC=∠BCD∴∠AED=∠BCD ．∵∠AEB=180°∠AED ，∠ADC=180°∠BCD ，∴∠AEB=∠ADC ．∵AE·AF=AD·BF ，∴．∵四边形AFCD 是平行四边形，∴AF=CD ．∴． ∴△ABE ∽△ADC ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定和性质，以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，正确找到证明三角形相似的条件.24. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中E 点为抛物线的拱顶且高，，，取中点O ，过点O 作线段的垂直平分线交抛物线于点E ，若以O 点为原点，所在直线为x 轴，为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．解决下列问题：（1）如图，求抛物线的解析式；OA OD OC OB =OA OE OC OD=BE BF BD BC =--AE AD BF AF=AE AD BE DC=ABCD AED 4m 3m AB =4m BC =BC BC OE AED BC OE（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；（3）如图，在某一时刻，太阳光线（太阳光线为平行线）透过A 点恰好照射到C 点，此时大棚截面的阴影为，求的长．【答案】（1）； （2）；（3）【分析】（1）根据题意得到的坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据正方形性质得到，求出时，对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解；（3）设直线的解析式为，根据题意求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长．【小问1详解】解：由题知，E 点为抛物线顶点坐标为，LFGT SMNR 0.75m FL NR ==GM BK 2144y x =-+0.5m 97m 12E 24y ax =+A 3.75m HL HF FL =+= 3.75y =FN AC y kx b =+AC 34y x m =-+m K BK ()0,4设抛物线的解析式为，四边形为矩形，为的中垂线， ，，，，，将其代入中，有，，抛物线的解析式为；【小问2详解】解：四边形和为正方形，，，延长交于点，延长交于点，易知四边形和为矩形，，，，，当时，，解得，，，，；【小问3详解】解：为的中垂线， ，，，，24y ax =+ ABCD OE BC 4m BC =∴4m AD BC ==2m OB = 3m AB =∴()2,3A -24y ax =+344a =+14a ∴=-∴2144y x =-+ LFGT SMNR 0.75m FL NR ==∴0.75m MN FG FL NR ====LF BC H RN BC J FHJN ABFH ∴3m FH AB ==FN HJ =3.75m HL HF FL ∴=+= 2144y x =-+3.75y =214 3.754x -+=1x =±()1,0H ∴-()1,0J 2m FN HJ ∴==0.5m GM FN FG MN ∴=--= OE BC 4m BC =2m OB OC ==∴()2,0B -()2,0C设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，太阳光为平行线，设过点且平行于直线的解析式为，由题意得与抛物线相切，即只有一个交点，联立，整理得，则，解得，，当时，，，，．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，坐标与图形，中垂线性质，待定系数法求出函数解析式，正方形的性质，矩形的性质和判定．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．25. 如图，已知在中，射线 ，P 是边上一动点，，交射线于点D ，连接．，，．（1）求证：；AC y kx b =+2023k b k b +=⎧⎨-+=⎩3432k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴AC 3342y x =-+ K AC 34y x m =-+34y x m =-+234144y x m y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩234160x x m -+-=()()224344160b ac m -=---=7316m =∴373416y x =-+0y =7312x =73,012K ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭()2,0B - 73972m 1212BK ∴=+=ABC AM BC ∥BC APD B ∠=∠PD AM CD 4AB =6BC ==60B ∠︒2AP AD BP =⋅（2）如果以为半径的圆A 与以为半径的圆B 相切，求线段的长度；（3）将绕点A 旋转，如果点D 恰好与点B 重合，点C 落在点E 的位置上，求此时的余切值．【答案】（1）证明见解析（2）2 （3）【分析】（1）先由平行线证明，再由已知条件，证明，得出对应边成比例，即可得出结论；（2）设，作于H ，，先根据勾股定理求出，再由勾股定理得出，由两圆外切时，，得出方程，解方程即可；（3）作于G ；先根据题意得出，解方程求出，再证明为等边三角形求出，然后证明四边形为矩形得出，，求出，即可求的余切值，【小问1详解】，，，，，；【小问2详解】设，作于H ，如图所示∶，，，，根据勾股定理得∶，AD BP BP ACD BEP ∠APBDAP ∠=∠APD B ∠=∠ABP DPA ∽AP BP DA AP=BP x =AH BC ⊥AH 222AP PH AH =+AB AD BP =±PG AB ⊥2416 4.x x AD AB x-+===BP ABP PG ADCH BE CD AH ===90ABE ADC ∠=∠=︒BF BEP ∠ AM BC ∥APB DAP =∴∠∠ APD B ∠=∠ABP DPA ∴∽△△AP BP DA AP∴=∴2AP AD BP =⋅BP x =AH BC ⊥ =60B ∠︒4AB =30BAH ∴∠=︒122BH AB ∴==A H ==()(2222222416AP PH AH x x x =+=-+=-+，两圆相切时，，即，解得：，的长度为2；【小问3详解】根据题意得：，解得：，，，为等边三角形，，，，，∴四边形为矩形，，，作于G ，如图所示：则，，，．【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、两圆外切的条件、等边三角形的判定与性质、三角函数等知识；通过作辅助线运用勾股定理和证明等边三角形、矩形是解题的关键．22416AP x x AD BP x-+∴==AB AD BP =±24164x x x x-+=±2x =∴BP 2416 4.x x AD AB x-+===4x =4BP ∴=60ABP ∠=︒4AB BP ==ABP ∴ 4AD AB ==4CH BC BH =-=AD CH ∥90AHC ∠=︒ADCH BE CD AH ∴===90ABE ADC ∠=∠=︒PG AB ⊥PG BE ∥PG =PG BE ∴=∴112BF FG BG ===cot BE EBP BF ∴∠==。