第九章 定积分

例 1. 已知函数 f ( x ) = x 在区间 [0, b] (b > 0 ) 上可积 .用定义求积分 x dx .
2
∫
0
b
2
解： 取 n 等分区间 [0, b] 作为分法 T , ∆xi =
b 2 n 2 i n
b ib . 取 ξ i = xi = n n
2 3
n ⎛ ib ⎞ ⎛ ib ⎞ (1 ≤ i ≤ n) . ∫ x dx = lim ∆ = ∆ = lim lim x i2⎜ ⎟ x x ⎜ ⎟ ∑ ∑ ∑ i i n→∞ n→∞ n→∞ ⎝n⎠ i =1 i =1 ⎝ n ⎠ i =1 0
b
a
f ( x) g ( x)dx = g (b) ∫ f ( x)dx 。
η
b
13. 设函数 f ( x ) 在 [ a , b] 上可积，函数 g ( x ) 在 [ a , b] 上单调，则 ∃ξ ∈ [ a, b ] ，使得
a
f ( x) g ( x)dx = g (a ) ∫ f ( x)dx + g (b) ∫ f ( x)dx 。
⎛b⎞ = lim⎜ ⎟ n→∞ n ⎝ ⎠
3 n
b3 ⎛b⎞ 1 2 ( )( ) . 1 2 1 ＝ ⋅ + + = n n n lim i ⎜ ⎟ ∑ n →∞ n 3 ⎝ ⎠ 6 i =1
π π
n
3
例 2
计算 J n = sin xdx = cos xdx .
n 0 0
∫
2
∫
2
π
解： J n = sin
Φ ( x ) = x 2 的连续性，就有积分不等式
α ε
β
β
15. 若 u ( x ) 、 v ( x ) 为 [ a , b] 上的连续可微函数，则有定积分的分部积分公式：
-2-
∫
或 三、基本要求
b
a b
u ( x)v ′( x)dx = u ( x)v( x) − ∫ u ′( x)v( x)dx ，
a a b a
b
b
∫ u( x)dv( x) = u( x)v( x)
12. 设 f ( x ) 在 [ a , b] 上可积。 （1） 若函数 g ( x ) 在 [ a , b] 上单调递减，且 g ( x ) ≥ 0 ，则 ∃ξ ∈ [ a, b ] ，使得
∫
∫ ∫
b
b
a
f ( x) g ( x)dx = g (a) ∫ f ( x)dx 。
a
ξ
（2） 若函数 g ( x ) 在 [ a , b] 上单调递增，且 g ( x ) ≥ 0 ，则 ∃η ∈ [ a, b] ，使得
∫
x
a
f (t )dt 在 [a, b] 上连续。
11. 若 函 数 f ( x ) 在 [ a , b] 上 连 续 ， 则 Φ( x) =
∫
x
a
f (t )dt 在 [a, b] 上 处 处 可 导 ， 且
Φ ′( x ) =
d x f (t ) dt = f ( x) ， x ∈ [ a, b] 。 dx ∫a
例 3
证明不等式 ln (n + 1) < 1 +
证明： 考虑函数 f ( x ) =
1 1 , n ≤ x < n + 1, n = 1,2, L , g ( x ) = , x ∈ [1,+∞ ]. x n
,
易见对任何 n ,
在区间 [1, n + 1] 上 g ( x ) 和 f ( x ) 均单调, 因此可积,且有 g ( x ) ≤ f ( x )
T = {∆x1 , ∆x 2 , L, ∆x n } ，任取点 ξ i ∈ ∆xi ， i = 1,2, L , n ，并作和式 ∑ f (ξ i )∆xi 。称此和
i =1
n
式为 f ( x ) 在[ a.b ]关于分割 T 的一个积分和，也称黎曼和。 二、基本定理 1. 若函数 f ( x ) 在 [ a , b] 上连续，且存在原函数 F ( x ) ，则 f ( x ) 在 [ a , b] 上可积，且
T = {x0 , x1 ,L , x n } ，或 T = {∆x1 , ∆x 2 , L, ∆x n } 并称为区间 [ a.b ] 的一个分割。同时也用 ∆xi = xi − xi −1 ， i = 1,2, L , n ，并记 T = max{∆xi } 称为分割 T 的模。
1≤i ≤ n
2. 设 f ( x ) 是 定 义 在 [ a.b ] 上 的 一 个 函 数 ， 对 于 [ a.b ] 的 一 个 分 割
∫
积分第一中值定理的几何意义：
b
a
f ( x)dx = f (ξ )(b − a) 。
如右图，若 f ( x ) 在 [ a , b] 上非负连续，则 y = f ( x ) 在
[a, b] 上的曲边梯形的面积等于以 f (ξ ) =
1 b f ( x ) dx 为高， [a, b] 为底的矩形的面积。 b − a ∫a
⎡ b f ( x )g ( x )dx ⎤ ≤ b f ∫a ⎢ ⎥ ⎣ ∫a ⎦
证法一： (由 Cauchy 不等式
2
2
(x )dx ⋅ ∫a g 2 (x )dx .
b
Schwarz 不等式 .)
设
{a1 , a 2 ,L, a n }和 {b1 , b2 ,L, bn } 为两组实数,
n n ⎛ n ⎞ ⎜ ∑ ai bi ⎟ ≤ ∑ ai2 ⋅ ∑ bi2 . i =1 i =1 ⎝ i =1 ⎠ 2
a
− ∫ v( x)du ( x) 。
a
b
1 知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等， 以及解决这些实际问 题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用 定义解决问题； 2. 深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分； 3. 理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类， 能独立地证明可积性的问题；理解并熟练地应用定积分的性质； 4. 熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 四、典型例题
⇒
1+
1 1 + L + < 1 + ln n . 2 n
有不等式 ln (n + 1) < 1 +
综上 ,
1 1 + L + < 1 + ln n . 2 n
例 4
证明 Schwarz 不等式 ( 亦称为 Cauchy–Буняковский不等式 ): 则有不等式
设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在区间 [a, b ] 上连续 ( 其实只要可积就可 ).
=
(n − 1)(n − 3)L5 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ π = (n − 1)!! ⋅ π ; 2 2 n(n − 2)L 4 ⋅ 2 n!!
有 Jn =
当 n 为奇数时,
(n − 1)!! . 4 2 n −1 n − 3 ⋅L ⋅ ⋅ J1 = ⋅ 5 3 n!! n n−2
1 1 + L + < 1 + ln n . 2 n a.b ]内有 n − 1 个点，依次为
a = x 0 < x1 < x 2 < L < x n −1 < x n = b ，
将 闭 区 间 [ a.b ] 分 成 n 个 小 区 间 ， 记 为 ∆xi = [ xi −1 , xi ] ， i = 1,2, L , n ， 简 记 为
a
ξ
b
ξ
14. 若函数 f ( x ) 在 [ a , b] 上连续， ϕ ( x ) 在 [α , β ] 上连续可微，且满足
ϕ (α ) = a ， ϕ ( β ) = b ， a ≤ ϕ (t ) ≤ b ， t ∈ [α , β ] ，
则有定积分的换元积分公式：
∫
b
a
f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt = ∫ f (ϕ (t ))dϕ (t ) 。
n b−a b−a n 2 b−a⎞ ⎛ n ⋅ ∑ g (ξ i ) ， ⎜ ∑ f (ξ i )g (ξ i ) ⎟ ≤ ∑ f 2 (ξ i ) n n i =1 n ⎠ i =1 ⎝ i =1
2
令 n → ∞ , 注意到函数 f
2
(x ) 、 g 2 (x ) 和 f (x )g (x ) 在区间 [a, b] 上的可积性以及函数
∫ g (x )dx =
1
n +1
∫
1
1 n +1 dx = ln x 1 = ln (n + 1) x
.
因此有 ln (n + 1) <
∑ i = 1+ 2 +L+ n .
i =1
n
1
1
1
-4-
取 f (x ) =
1 1 , n ≤ x < n + 1, n = 1,2, L , g ( x ) = , x ∈ [1,+∞ ) . x n +1
S (T ) − s (T ) = ∑ ω i ∆xi 。
i =1
n
4. 函数 f ( x ) 在 [ a , b] 上可积 ⇔ 对 ∀ε > 0 ， ∃T ，使得
∑ ω ∆x
i =1 i
n
i
<ε 。
5. 若函数 f ( x ) 为 [ a , b] 上的连续函数，则 f ( x ) 在 [ a , b] 上可积。