关于食堂就餐的建模问题

关于食堂就餐的建模问题【摘要】：学生食堂的就餐过程是一个典型的排队问题，但也有其特殊性。

因此，经典排队论的方法（如M/ M/ 1/∞等），难以反映高校食堂的主要特征及矛盾。

对于问题一，通过对学生食堂的抽样调查得到了与实际情况大致相符的所需数据。

对于问题二，根据自身亲身经历与观察，调查数据得出高峰时段就餐排队人数较多、菜品摆放不当、学生选择菜品不够及时、窗口数较少等诸多原因造成了拥挤排长队现象。

对于问题三，借助MATLAB仿真工具对学生食堂进行建模与仿真，所得到的仿真结果不但与实际数据相符合，而且解决了经典排队论不能反映顾客流动的动态变化过程的问题，拓展了一般排队论的应用范畴，文中所用的模型仿真结果，能够准确分析和评价学生食堂的排队与滞留状况及原因，为学生食堂的建模与管理者提供有利的决策支持，得出最适合进餐时间及窗口分配问题，座位安排问题的解决方案。

【关键词】：学生食堂；就餐过程；排队论一、问题重述食堂用餐时常常会有拥挤不堪的现象发生。

卖饭菜窗口因拥挤会时有碰撞并打翻饭菜的事情发生，严重时还会引起吵嘴打架，导致用餐者用餐时间过长。

这种现象在某些地方特别是学校、工厂等人员众多的单位食堂较为普遍。

为了解决这个问题，有关管理部门也想过许多办法，主要是增加窗口和工作人员，这又会导致成本的增加,从而引起饭菜价格的增加，这对用餐者是不利的。

为此，我们希望在不增加服务工作人员的情况下制定出缩短用餐时间、減少排长队现象的办法。

重点解决以下几个问题：（1）了解本校食堂买饭菜的问题的情况，并对实际情况进行调查、收集有关的数据(要注明调查的时间和地点)；（2）分析造成拥挤、用餐时间过长、排长队等现象的原因；（3）根据你所了解的情况，建立适当的数学模型，并据此提出解决（2）中问题的办法。

二、模型的基本假设1、假设每个窗口对不同的服务对象的服务时间相同；2、假设每个窗口的服务时间彼此相同；3、选择就地就餐的学生不需花费时间寻找和等待座位就餐；4、假设每个人进餐的时间满足正态分布。

三、符号说明N：学生二食堂里的食堂窗口总数；T：每个窗口单位服务时间；t：食堂排队就餐的某一段时间；n1(t)：t时段滞留在排队中的人数；n2(t)：t时段滞留在食堂进餐的人数；V i（t）：t时段到达食堂（开始排队）的人数；v1(t)：t时段完成排队的人数；v21（t）：t时段排队完成后在食堂就餐的人数；v22(t)：t时段排队完成后不在食堂就餐，直接离开食堂的人数；v31(t)：t时段离开食堂（在食堂就餐）的人数；v32(t)：t时段离开食堂（不在食堂就餐）的人数；v3(t)：t时段离开食堂的总人数；R a：学生就地就餐比率；N：食堂座位数；sT：学生平均就餐时间。

s四、问题分析由于现在我校红河校区的学生数量大量增加，所以食堂拥挤文亟待解决。

增加窗口和工作人员，这又会导致成本的增加，从而引起饭菜价格的增加，这对用餐者是不利的。

所以就要另辟蹊径,通过分析拥挤的源头找出解决的方案或办法,而方案或办法的提出有待于模型解答结果,所以关键还是在于模型的正确建立与求解。

问题一中，本校食堂买饭菜时常见的现象有用餐时间较长、排长队、拥挤、被其他同学打翻饭菜等；问题二中，造成拥挤、用餐时间过长、排长队等现象的原因如下：高峰时段就餐排队人数较多、菜品摆放不当、学生选择菜品不够及时、窗口数较少等；问题三中，排队人数由进入食堂和完成排队的人数来确定，单位时间内进餐的人数由开始进餐和完成进餐的人数决定，首先建立符合学生食堂就餐排队变化规律的数学模型，然后通过模型仿真，分析和评价学生食堂的排队与滞留状况。

五、模型的建立与求解模型的建立：学生二食堂里的食堂窗口总数N ,每个窗口单位服务时间T ，食堂排队就餐的某一段时间t ，t 时段滞留在排队中的人数n 1(t ),t 时段滞留在食堂进餐的人数n 2(t ),t 时段到达食堂（开始排队）的人数V i （t ），t 时段完成排队的人数v 1(t ),t 时段排队完成后在食堂就餐的人数v 21（t ），t 时段排队完成后不在食堂就餐，直接离开食堂的人数v 22(t ),t 时段离开食堂（在食堂就餐）的人数v 31(t ),t 时段离开食堂（不在食堂就餐）的人数v 32(t ),t 时段离开食堂的总人数v 3(t ),学生就地就餐比率R a 。

则排队和进餐的人数n 1(t ) ，n 2(t )分别满足式（1）、式（2）)1()()(/)(11t v t V dt t dn i -= )2()()(/)(31211t v t v dt t dn -=单位时间完成排队的人数和食堂窗口数N 以及每个窗口单位服务时间T 有关，如式（3）所 示 )3()/()(1T t N t v ⨯=在进餐模型中，对于某个进餐者，完成进餐的过程需要一定的时间。

用平均就餐时间τ来讨论单位时间完成进餐的人数。

同时，由于每个人的进餐时间彼此各不相同，假设他们的进餐时间满足正态分布。

定义一个D 算子，表示以中心为μ，方差为σ的正态分布函数展开，再将所有的进餐人数考虑进来，则可以得到输出流（完成进餐的人数）。

如式（4）所示。

)4()()(21031ττv D t v ∑∞=⋅=当排队结束后，一部分学生直接离开食堂，另外一部分则在食堂进餐，已知在食堂进餐的学生人数比率为a R ，那么)1()()()()(122112a aR t v t v R t v t v -⨯=⨯=由于不在食堂就餐的学生直接离开而不产生延迟，则有)()(2232t v t v =最后，由完成进餐人数)(31t v 和直接离开食堂)(32t v 人数组成了食堂的总输出量，如式（5）所示)5()()()(32313t v t v t v +=模型的求解：1、用Matlab 计算在t 时段滞留在排队中的人数n 1(t)和t 时段滞留在食堂进餐的人数n 2(t)。

[t,n1]=ode45(inline('32*t-30.6*t','t','n1'),[0,20],0); plot(t,n1); title('n1'); xlabel('t'); ylabel('n1');[t,n2]=ode45(inline('13.5*t-3.5*t','t','n2'),[0,20],0); plot(t,n2);title('n2');xlabel('t');ylabel('n2');2、通过窗口数、调查的时间段和每个窗口的单位服务时间求出t 时段完成排队tn 10200400600800100012001400160018002000tn 2的人数v1(t)N=8;t=20;T=15;v1=N*(t*60/T)v1 =6403、通过Matlab程序求v21 、v22、v32的理论值v1=640;Ra=0.443;v21=v1*Rav21 =283.5200v22=v1*(1-Ra)v22 =356.4800v32=v22v32 =356.48004、通过Matlab程序求v31、v3的理论值a=1;A=1/sqrt(2*pi*a);syms t;t1=int(exp(-(t-0)^2/2),t,0,20)t1=vpa(t1,5)t1 =1.2534B=t1*A;v31=int(B*70/12,t,0,20)v31 =58.337329663101504139688380234928v32=v22;v3=v31+v32v3 =414.81732966310150413968838023493 5、窗口数与座位数的安排：对于供应固定，学生顾客稳定的学生食堂，把每个窗口和座位看成独立的服务台，那么每个窗口的服务流（速率）是t T ，每个座位的服务流是s t T ，为了使2个服务流动速度相适应，其服务窗口数、平均服务时间、食堂座位数与平均就餐时间之间的关系有：*(/)*s N t T N s （t/T )(6)对于研究的学生食堂，有效服务窗口数是8，平均服务时间是15s ，学生平均就餐时间是12min ，可以计算到该食堂需要384个座位，才能满足需要。

实际调查发现，学生食堂的座位数大于这个值。

模型的结果分析实际调查的数据中，N=8,T=15s,t=11:55-12:15,V 1(t)=680,n 1(t)=120,n 2(t)=200,v 1(t)=612,v 21(t)=270,v22(t)=340,v 31(t)=70,v 32(t)=340,v 3(t)=410,通过Matlab 计算得出,v1 =640，v3 = 414.81732966310150413968838023493，v22 = 356.4800，v32 =356.4800，v31 =58.337329663101504139688380234928，v21 = 283.5200，其理论值与实际值的相差比较小，说明理论值与实际值稳合得比较好。

对于学生食堂的座位数，其实际值比理论值大，这才满足学生的需要，也并没有浪费资源，因为部分座位也供于很多吃炒菜的同学使用。

六、模型评价模型的优点：(1)在食堂的设计过程中，通过事先调查附近食堂s T 、T 值，就可以通过式（6），得到将建设的食堂窗口数与座位数的配比关系。

通过合理的建设，可以最大限度地节约资源。

（2）在食堂就餐规律的预测过程中，本文能够根据实际情况，并利用调查数据仿真，通过微分方程思想构造排队、就餐等一系列的过程，建立了食堂就餐模型，求解出了就餐高峰期的排队人数和就餐人数，从而为食堂的餐饮部门的饭菜准备时间提供良好的依据。

模型的缺点：本模型的数据为随机仿真生成，并且在就餐人数的预测过程中，忽略了一些因素，因此同实际的真实值之间有一定的偏差。

参考文献：[1]程钊.潘越等.学生食堂就餐动态过程的数学模型及仿真研究[ N].武汉理工大学学报,2008(6):153-155.[2]胡良剑.孙晓君等.应用微积分[M].北京：高等教育出版社，2006.[3]姜启源.谢金星.叶俊.数学模型(第三版) [M].高等教育出版社,2003.。