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二次函数专题竞赛讲

初中数学竞赛二次函数专题

【一、求二次函数的解析式，各项系数及相关代数式的值】

例1 二次函数2y ax bx c =++，当12

x =时，有最大值25，而方程20ax bx c ++=的两根α、β，满足3319αβ+=，求a 、b 、c 。

例2（07年全国联赛）n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.

1、（2011全国竞赛乙卷）已知对任意的实数x ，二次函数y = ax 2 + bx + c 满足x 2 + 2x + 2≤y ≤2x 2 + 4x + 3，且当x = 9时，y = 121．求a + b + c 的值．

2、证明：无论a 取任何实数值时，抛物线211(1)24y x a x a =+++

+是通过一个定点，而且这些抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上。

【二、二次函数根的分步及整数解问题】

例3、（2003年全国联赛）设m 是整数且方程3x 2+mx -2=0的两根都大于59-而小于73，则m =

例4、（05年全国联赛）a 、b 、c 为实数，ac ＜0，证明：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有大于34

而小于1的根.

例5、已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c 的系数a 、b 、c 都是整数，并且f (19)=f (99)=1999，|c |<1000，则c = ．

例6、（2007年全国联赛）设a 是正整数，二次函数2(17)38y x a x a =+++-，反比例函数56y x

，如果两个函数图像的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值.

例7、（2010年全国联赛）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .

（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.

（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C .如果关于x 的方程2

0x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.

3、（2013希望杯）若关于x 的二次函数221y x mx =-+的图像与端点在（-1,1）和（3,4）点线段只有一个交点，则m 的取值范围是____ ______．

【三、二次函数与几何结合的综合问题】

例8、（2013全国竞赛甲）如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线11

y x =-

+与y 轴交于点D ．求∠DBC -∠CBE ．

例9、（2011全国竞赛甲卷）．如图，已知A 为y 轴正半轴上一点，点A 、

B 关于x 轴对称，过A 任作直线与抛物线223

y x =交于P 、Q 两点．（1）求证：∠ABP =∠ABQ ；

（2）若点A (0，1)，且∠PBQ = 60°，试求所有满足条件的直线PQ 的

解析式．

例11、（2003年全国联赛）抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若△ABC 是直角三角形，则ac =________ __．

例12、（2010全国竞赛）．如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线k y x

=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB

的面积为3（O 为坐标原点）.

（1）求实数a ，b ，k 的值；

（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，

求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.

4、（2010年全国联赛）二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y

轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，?=∠30CAO ，则c = ．

5、（2011年全国联赛）二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 ．

6、（2012年全国竞赛乙卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，AO

= 8，AB = AC ，sin ∠ABC =．CD 与y 轴交于点E ，且S △COE = S △ADE .

已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的

二次函数的解析式.

例13、（2012年全国联赛A 卷）已知抛物线216

y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2

-，若AM//BC ，求抛物线的解析式.

7．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．

（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；

（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于

E 点，求线段PE 长度的最大值；

（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G

这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

8、（2012年全国联赛C 卷）已知抛物线21

6y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交

于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.

将抛物线向左平移1)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线的解析式.

【四、二次函数最值问题】

例14 已知二次函数22962y x ax a a =---+1

()33x -≤≤有最大值－3，求实数a 的值。

例15、（2013年全国联赛初赛）已知二次函数c bx ax y ++=2和一次函数bx y -=，其中a 、b 、c 满足c b a ，0=++c b a ．()R c b a ∈，，．

（1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A 、B ；（2）过（1）中的两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为1A 、1B ．求线段11B A 的长的取值范围.

9、求函数243y x x =--在区间25x -≤≤中的最大值和最小值。

10、求分式22365

2x x x x +++＋的最小值

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 ．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=，22 y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】