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二次函数专题竞赛讲

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初中数学竞赛二次函数专题

【一、求二次函数的解析式,各项系数及相关代数式的值】

例1 二次函数2y ax bx c =++,当12

x =时,有最大值25,而方程20ax bx c ++=的两根α、β,满足3319αβ+=,求a 、b 、c 。

例2(07年全国联赛)n m ,为正整数,且2≠m ,二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ,二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立,求n m ,的值.

1、(2011全国竞赛乙卷)已知对任意的实数x ,二次函数y = ax 2 + bx + c 满足x 2 + 2x + 2≤y ≤2x 2 + 4x + 3,且当x = 9时,y = 121.求a + b + c 的值.

2、证明:无论a 取任何实数值时,抛物线211(1)24y x a x a =+++

+是通过一个定点,而且这些抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上。

【二、二次函数根的分步及整数解问题】

例3、(2003年全国联赛)设m 是整数且方程3x 2+mx -2=0的两根都大于59-而小于73,则m =

例4、(05年全国联赛)a 、b 、c 为实数,ac <0,证明:一元二次方程ax 2+bx +c =0有大于34

而小于1的根.

例5、已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c 的系数a 、b 、c 都是整数,并且f (19)=f (99)=1999,|c |<1000,则c = .

例6、(2007年全国联赛)设a 是正整数,二次函数2(17)38y x a x a =+++-,反比例函数56y x

=

,如果两个函数图像的交点都是整点(横坐标和纵坐标都是整数的点),求a 的值.

例7、(2010年全国联赛)已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ,Q (2,10)a .

(1)如果,,a b c 都是整数,且8c b a <<,求,,a b c 的值.

(2)设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ,与y 轴的交点为C .如果关于x 的方程2

0x bx c +-=的两个根都是整数,求△ABC 的面积.

3、(2013希望杯)若关于x 的二次函数221y x mx =-+的图像与端点在(-1,1)和(3,4)点线段只有一个交点,则m 的取值范围是____ ______.

【三、二次函数与几何结合的综合问题】

例8、(2013全国竞赛甲)如图,抛物线y =23ax bx +-,顶点为E ,该抛物线与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,且OB =OC =3OA .直线11

3

y x =-

+与y 轴交于点D .求∠DBC -∠CBE .

例9、(2011全国竞赛甲卷).如图,已知A 为y 轴正半轴上一点,点A 、

B 关于x 轴对称,过A 任作直线与抛物线223

y x =交于P 、Q 两点. (1)求证:∠ABP =∠ABQ ;

(2)若点A (0,1),且∠PBQ = 60°,试求所有满足条件的直线PQ 的

解析式.

例11、(2003年全国联赛)抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C .若△ABC 是直角三角形,则ac =________ __.

例12、(2010全国竞赛).如图,抛物线2y ax bx =+(a >0)与双曲线k y x

=相交于点A ,B . 已知点A 的坐标为(1,4),点B 在第三象限内,且△AOB

的面积为3(O 为坐标原点).

(1)求实数a ,b ,k 的值;

(2)过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴,交抛物线于另一点C ,

求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.

4、(2010年全国联赛)二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ,B 两点,与y

轴正方向交于点C .已知AC AB 3=,?=∠30CAO ,则c = .

5、(2011年全国联赛)二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ,与x 轴正方向从左至右依次交于A ,B 两点,与y 轴正方向交于C 点,若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形(O 为坐标原点),则=+c b 2 .

6、(2012年全国竞赛乙卷)如图,在平面直角坐标系xOy 中,AO

= 8,AB = AC ,sin ∠ABC =.CD 与y 轴交于点E ,且S △COE = S △ADE .

已知经过B ,C ,E 三点的图象是一条抛物线,求这条抛物线对应的

二次函数的解析式.

例13、(2012年全国联赛A 卷)已知抛物线216

y x bx c =-++的顶点为P ,与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x (12x x <)两点,与y 轴交于点C ,PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2

-,若AM//BC ,求抛物线的解析式.

7.如图,抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点(A 点在B 点左侧),直线l 与抛物线交于A 、C 两点,其中C 点的横坐标为2.

(1)求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式;

(2)P 是线段AC 上的一个动点,过P 点作y 轴的平行线交抛物线于

E 点,求线段PE 长度的最大值;

(3)点G 是抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点F ,使A 、C 、F 、G

这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满 足条件的F 点坐标;如果不存在,请说明理由.

8、(2012年全国联赛C 卷)已知抛物线21

6y x bx c =-++的顶点为P ,与x 轴的正半轴交

于A 1(,0)x 、B 2(,0)x (12x x <)两点,与y 轴交于点C ,PA 是△ABC 的外接圆的切线.

将抛物线向左平移1)个单位,得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ,且∠QBO =∠OBC.求抛物线的解析式.

【四、二次函数最值问题】

例14 已知二次函数22962y x ax a a =---+1

1

()33x -≤≤有最大值-3,求实数a 的值。

例15、(2013年全国联赛初赛)已知二次函数c bx ax y ++=2和一次函数bx y -=,其中a 、b 、c 满足c b a ,0=++c b a .()R c b a ∈,,.

(1)求证:两函数的图象有两个不同的交点A 、B ;(2)过(1)中的两点A 、B 分别作x 轴的垂线,垂足为1A 、1B .求线段11B A 的长的取值范围.

9、求函数243y x x =--在区间25x -≤≤中的最大值和最小值。

10、求分式22365

11

2x x x x ++++的最小值

A

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图:在平面直角坐标系中,直线l :y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ,经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 . (1)求抛物线的解析式; (2)平移直线l 经过原点O ,得到直线m ,点P 是直线m 上任意一点,PB ⊥x 轴于点B ,PC ⊥y 轴于点C ,若点E 在线段OB 上,点F 在线段OC 的延长线上,连接PE ,PF ,且PE=3PF .求证:PE ⊥PF ; (3)若(2)中的点P 坐标为(6,2),点E 是x 轴上的点,点F 是y 轴上的点,当PE ⊥PF 时,抛物线上是否存在点Q ,使四边形PEQF 是矩形?如果存在,请求出点Q 的坐标,如果不存在,请说明理由. 【答案】(1)抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4;(2)证明见解析;(3)点Q 的坐标为(﹣2,6)或(2,﹣6). 【解析】 【分析】 (1)先求得点A 的坐标,然后依据抛物线过点A ,对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可; (2)设P (3a ,a ),则PC=3a ,PB=a ,然后再证明∠FPC=∠EPB ,最后通过等量代换进行证明即可; (3)设E (a ,0),然后用含a 的式子表示BE 的长,从而可得到CF 的长,于是可得到点F 的坐标,然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=,22 y y y y Q P F E ++=,从而可求得点Q 的坐标(用含a 的式子表示),最后,将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可. 【详解】

二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)

二次函数专项复习经典试题集锦(含答案) 一、选择题: 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( ) A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点 ),(a c b M 在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2,且0+-c b a ,则一定有( ) A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式 是532+-=x x y ,则有( ) A. 3=b ,7=c B. 9-=b ,15-=c C. 3=b ,3=c D. 9-=b ,21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( ) B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线( ) A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x

7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是( ) A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,若 c b a M ++=24c b a N +-=,b a P -=4,则( ) A. 0>M ,0>N ,0>P B. 0N ,0>P C. 0>M ,0P D. 0N ,0

x 时,求使y ≥2的x 的取值围.

二次函数的定义专项练习30题有答案

二次函数的定义专项练习30题(有答案) 1.下列函数中,是二次函数的有() 2y=③y=x(1﹣x)④y=﹣x(②1﹣2x)(1+2x)①y=1 A.1个B.2 个C.3个D.4 个 2.下列结论正确的是() 2.A是二次函数y=ax B.二次函数自变量的取值范围是所有实数C.二次方程是二次函数的特例 D.二次函数自变量的取值范围是非零实数 3.下列具有二次函数关系的是() A.正方形的周长y与边长x B.速度一定时,路程s与时间t C.三角形的高一定时,面积y与底边长x D.正方形的面积y与边长x )是二次函数,则m等于()4.若y=(2﹣m ±2 B.2 C.﹣2 D.不A.能确定 2)是二次函数,则m的值是((m+m)5.若y= B.m =2 C.m=﹣A.1或m=3 D.m =3 ±2m=1

222中,二次函数的个数为(x),y=(x﹣1)6.,下列函数y=3x﹣x,,y=x(﹣2)5个4个D..A.2个B.3个 C )7.下列结论正确的是( 二次函数中两个变量的值是非零实数A. xB.二次函数中变量的值是所有实数 2. C +bx+cy=ax的函数叫二次函数形如2 D .c的值均不能为零二次函数y=axa+bx+c中,b, )8.下列说法中一定正确的是( 2.A c为常数)一定是二次函数,函数y=ax(其中+bx+ca,b B.圆的面积是关于圆的半径的二次函数路程一定时,速度是关于时间的二次函数. C 圆的周长是关于圆的半径的二次函数.D 2)是二次函数的条件是(m﹣n)x+mx+n.函数9y=(n ≠n是常数,且m≠0 B.m、A.m、n是常数,且m 可以为任何常数m、nn≠0 D.C.m、n是常数,且 ).下列两个量之间的关系不属于二次函数的是(10 .速度一定时,汽车行使的路程与时间的关系 A .质量一定时,物体具有的动能和速度的关系 B .质量一定时,运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 C .从高空自由降落的物体,下降的高度与下降的时间的关系D )11.下列函数中,y是x二次函数的是(22 DC..A.y=x﹣1 B.1 y﹣=x+2x =xy210 y=x+﹣ 个函数:12.下面给出了6 222 y=y=;﹣②y=xy=x﹣3x;③;y=④(x⑥+x+1);⑤①y=3x.﹣1;)其中是二次函数的有(个D.4 C2A.1个B.个.3个 2)之间的关系是(t(g为常量),h13.自由落体公式与h=gt 以上答案都不对D.一次函数C.二次函数A.正比例函数 B. 的值一定是_________+kx+1是二次函数,那么k.﹣14.如果函数y=(k3 )

人教版数学九年级上册《二次函数》综合练习题及答案

二次函数综合练习题附答案 ●基础巩固 1.如果抛物线y =-2x 2+mx -3的顶点在x 轴正半轴上,则m =______. 2.二次函数y =-2x 2+x - 2 1,当x =______时,y 有最______值,为______.它的图象与x 轴______交点(填“有”或“没有”). 3.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示. ①这个二次函数的表达式是y =______;②当x =______时,y =3;③根据图象回答:当x ______时,y >0. 4.某一元二次方程的两个根分别为x 1=-2,x 2=5,请写出一个经过点(-2,0),(5,0)两点二次函数的表达式:______.(写出一个符合要求的即可) 5.不论自变量x 取什么实数,二次函数y =2x 2-6x +m 的函数值总是正值,你认为m 的取值范围是______,此时关于一元二次方程2x 2-6x +m =0的解的情况是______(填“有解”或“无解”). 6.某一抛物线开口向下,且与x 轴无交点,则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个),此类函数都有______值(填“最大”“最小”). 7.如图2,一小孩将一只皮球从A 处抛出去,它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ,球路的最高点B (8,9),则这个二次函数的表达式为______,小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m). 8.若抛物线y=x 2-(2k+1)x+k 2+2,与x 轴有两个交点,则整数 k 的最小值是______. 9.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图1所示,由抛物线的特征你能得到含有a 、b 、c 三个字母的等式或不等式为______(写出一个即可). 10.等腰梯形的周长为60 cm ,底角为60°,当梯形腰x=______

初中二次函数计算题专项训练与答案

初中二次函数计算题专项训练及答案 :___________班级:________考号:_______ 1、如下图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点 的坐标为(3,4),B点在轴上. (1)求的值及这个二次函数的关系式; (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点,设线段PE的长为,点P的横坐标为,求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值围; (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由. 2、如图,在平面直角坐标系中,坐标原点为O,A点坐标为(4,0),B点坐标为(-1,0),以AB的中点P为圆 心,AB为直径作⊙P与轴的正半轴交于点C。 (1)求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式。 (2)设M为(1)中抛物线的顶点,求直线MC对应的函数表达式。 (3)试说明直线MC与⊙P的位置关系,并证明你的结论。 3、已知;函数是关于的二次函数,求: (1)满足条件m的值。 (2)m为何值时,抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标,这时为何值时y随的增大而增大? (3)m为何值时,抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时,y随的增大而减小. 4、如图所示,在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AD⊥DB,AD=DC=CB,AB=4.以AB所在直线为轴,过D且垂直于AB 的直线为轴建立平面直角坐标系. (1)求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标; (2)求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L.

二次函数单元测试题A卷(含答案)

第22章二次函数单元测试题(A卷) (考试时间:120分钟满分:120分) 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.下列函数不属于二次函数的是() A.y=(x﹣1)(x+2)B.y=(x+1)2 C.y=2(x+3)2﹣2x2D.y=1﹣x2 2.二次函数y=2(x﹣1)2+3的图象的顶点坐标是() A.(1,3)B.(﹣1,3)C.(1,﹣3)D.(﹣1,﹣3)3.若将函数y=3x2的图象向左平行移动1个单位,再向下平移2个单位,则所得抛物线的解析式为() A.y=3(x﹣1)2﹣2 B.y=3(x+1)2﹣2 C.y=3(x+1)2+2 D.y=3(x﹣1)2﹣2 4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列说法不正确的是() A.b2﹣4ac>0 B.a>0 C.c>0 D. 5.给出下列函数:①y=2x;②y=﹣2x+1;③y=(x>0);④y=x2(x<﹣1).其中,y随x 的增大而减小的函数是() A.①②B.①③C.②④D.②③④6.在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是() A.B. C.D.

7.二次函数y=ax2+bx+c图象上部分的对应值如下表,则y>0时,x的取值范围是() A.﹣1<x<2 B.x>2或x<﹣1 C.﹣1≤x≤2D.x≥2或x≤﹣1 8.抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为() A.二个交点B.一个交点C.无交点D.三个交点9.在半径为4cm的圆中,挖去一个半径为xcm的圆面,剩下一个圆环的面积为ycm2,则y 与x的函数关系式为() A.y=πx2﹣4 B.y=π(2﹣x)2C.y=﹣(x2+4)D.y=﹣πx2+16π10.如图,已知:正方形ABCD边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为s,AE为x,则s关于x的函数图象大致是() A.B.C.D. 二、填空题(每小题3分,共18分) 11.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),则二次函数的解析式是. 12.二次函数y=x2﹣4x+5的最小值为. 13.抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为. 14.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时,每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加了1个,为了获得最大利润,则应降价元,最大利润为元.

初中二次函数计算题专项训练及答案

初中二次函数计算题专项训练及答案 姓名:___________班级:________考号:_______ 1、如下图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点 的坐标为(3,4),B点在轴上. (1)求的值及这个二次函数的关系式; (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点,设线段PE的长为,点P的横坐标为,求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围; (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由. 2、如图,在平面直角坐标系中,坐标原点为O,A点坐标为(4,0),B点坐标为(-1,0),以AB的中点P为圆 心,AB为直径作⊙P与轴的正半轴交于点C。 (1)求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式。 (2)设M为(1)中抛物线的顶点,求直线MC对应的函数表达式。 (3)试说明直线MC与⊙P的位置关系,并证明你的结论。 3、已知;函数是关于的二次函数,求: (1)满足条件m的值。 (2)m为何值时,抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标,这时为何值时y随的增大而增大? (3)m为何值时,抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时,y随的增大而减小. 4、如图所示,在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AD⊥DB,AD=DC=CB,AB=4.以AB所在直线为轴,过D且垂直于AB 的直线为轴建立平面直角坐标系. (1)求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标; (2)求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L.

人教版初中数学九年级上册 二次函数综合题训练及答案

二次函数中考综合题 1、如图11,抛物线与轴 相交于A、B两点(点A在点B右侧),过点A的直线交抛物 线于另一点C,点C的坐标为(-2,6). (1)求a的值及直线AC的函数关系式; (2)P是线段AC上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛 物线于点M,交x轴于点N. ①求线段PM长度的最大值; ②在抛物线上是否存在这样的点M,使得△CMP与 △APN相似?如果存在,请直接写出所有满足条件的点M的 坐标(不必写解答过程);如果不存在,请说明理由. 解:(1)由题意得6=a(-2+3)(-2-1)∴a=-21分 ∴抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x轴交于B(-3,0)、 A(1,0) 设直线AC为y=kx+b,则有0=k+b 6=-2k+b解得k=-2 b=2 ∴直线AC为y=-2x+2 (2)①设P的横坐标为a(-2≤a≤1),则P(a,-2a+2),M(a,-2a2-4a+6)4分 ∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92 =-2a+122+92 ∴当a=-12时,PM的最大值为92 ②M1(0,6) M2(-14,678) 2、如图9,已知抛物线y=x2–2x+1的顶点为P, A为抛物线与y轴的交点,过A与y轴垂直的直线与抛物线的另 一交点为B,与抛物线对称轴交于点O′,过点B和P的直线l 交y轴于点C,连结O′C,将△ACO′沿O′C翻折后,点A落在 点D的位置. (1) (3分) 求直线l的函数解析式; 图9 (2) (3分) 求点D的坐标; (3) (3分) 抛物线上是否存在点Q,使得S△DQC= S△DPB? 若存在,求出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的

中考二次函数大题综合训练(附答案)

2 1、如图,抛物线 y x bx c 与x 轴交与A (1,0),B (- 3 ,0)两点, (1 )求该抛物线的解析式; (2 )设( 1 )中的抛物线交 y 轴与 C 点,在该抛物线的对称轴上是否存在 点 Q ,使得△QAC 的周长最小?若存在,求出 Q 点的坐标;若不存在,请 说明理由 . 2、(2009 年兰州) 如图 17 ,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 . (1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标; (2)求这条抛物线的解析式; (3)若要搭建一个矩形“支撑架” AD- DC- CB , 使 C 、D 点在抛物线上, A 、B 点在地面 OM 上, 则这个“支撑架”总长的最大值是多少? 二次函数综合训练 6 米, 底部宽度 OM 为 12 米. 现以 O 点为原点, OM

y 3 x 6 y 5x 3、如图,直线4分别与 x轴、y轴交于 A、B两点,直线4与AB 交于点 C,与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D.点 E从点 A 出 发,以每秒 向左运动.过点 E 作 x 轴的垂线,分别交直线 AB 、OD 于 P、Q 两点, 形 PQMN ,设正方形 PQMN 与△ACD 重叠部分(阴影部分)的面 积为 运动时间为 t (秒). 1 )求点 C 的坐 标.( 1 分) 2)当 0

2017二次函数应用题专题训练

作品编号:DG13485201600078972981 创作者:玫霸* 2017二次函数应用题专题训练 1.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价下降10元时,月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元,设每吨材料售价为x元,该经销店的月利润为y元. (1)当每吨售价为240元时,计算此时的月销售量; (2)求y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围); (3)该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元? (4)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由. 2.(2010德州)为迎接第四届世界太阳城大会,德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯.已知太阳能路灯售价为5000元/个,目前两个商家有此产品.甲商家用如下方法促销:若购买路灯不超过100个,按原价付款;若一次购买100个以上,且购买的个数每增加一个,其价格减少10元,但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个.乙店一律按原价的80℅销售.现购买太阳能路灯x个,如果全部在甲商家购买,则所需金额为y1元;如果全部在乙商家购买,则所需金额为y2元. (1)分别求出y1、y2与x之间的函数关系式; (2)若市政府投资140万元,最多能购买多少个太阳能路灯?

3.(2010恩施)恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力,其中香菇 远销日本和韩国等地.上市时,外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克 香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香 菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在冷库中最多保存110天,同时,平均每 天有6千克的香菇损坏不能出售. (1)若存放x 天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为y 元,试写出y 与x 之间的函数关系式. (2)李经理想获得利润22500元,需将这批香菇存放多少天后出售?(利润=销售总金额-收购成本-各种费用) (3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少? 4(2010河北)某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.若只在国内销售,销售价格y (元/件)与月销量x (件)的函数关系式为y =100 1 x +150,成本为20元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费62500元,设月利润为w 内(元)(利润 = 销售额-成本-广告费).若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a 元/件(a 为常数,10≤a ≤40),当月销量为x (件)时,每月还需缴纳100 1x 2 元的附加费,设月利润为w 外(元)(利润 = 销售额-成本-附加费). (1)当x = 1000时,y = 元/件,w 内 = 元; (2)分别求出w 内,w 外与x 间的函数关系式(不必写x 的取值范围); (3)当x 为何值时,在国内销售的月利润最大?若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a 的值; (4)如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在国内

九年级数学《二次函数》综合练习题及答案

九年级数学《二次函数》综合练习题 一、基础练习 1把抛物线y=2x 2向上平移1个单位,得到抛物线 _____________ ,把抛物线y=-2x 2?向下平移3个单位,得到 抛物线 _________ . 2 ?抛物线y=3x 2-1的对称轴是 ______ ,顶点坐标为 ________ ,它是由抛物线 y=3x 2?向 _________ 平移 _____ 个单位得到的. 3 .把抛物线y=J 2x 2向左平移1个单位,得到抛物线 _____________ ,把抛物线y=-J2x 2?向右平移3个单位, 得到抛物线 __________ . 4. _____________________________________ 抛物线y=j 3 ( x-1 ) 2的开口向 _____________ ,对称轴为 ,顶点坐标为 __________________________________ , ?它是由抛物线 y=乔x 2向 _______ 平移 _______ 个单位得到的. 1 1 1 5 .把抛物线y=- 1 (X+1) 2向 __________ 平移 _______ 个单位,就得到抛物线 y=-」x 2. 3 2 3 6. _____________________________ 把抛物线y=4 (x-2 ) 2向 平移 个单位,就得到函数 y=4 (x+2) 2的图象. 1 2 1 7. ____________________________________ 函数y=- (x- 1) 2的最大值为 ________ ,函数y=-x 2- 1的最大值为 _________________________________________ . 3 3 &若抛物线y=a (x+m ) 2的对称轴为x=-3,且它与抛物线y=-2 x 2的形状相同,?开口方向相同,则点(a , m )关于原点的对称点为 __________________ . 9. ___________________________________________________________________ 已知抛物线y=a (x-3 ) 2过点(2, -5 ),则该函数y=a (x-3 ) 2当x= _______________________________________?时,?有最 __ 值 _______ . 10. ________________________________________________________________________________________ 若二次函数y=ax 2+b ,当x 取X 1, X 2 (X 1^x)时,函数值相等,则x 取x 什X 2时,函数的值为 ___________________ . 11. 一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是 x ,两年后这台机器的价格为 y?万元,则y 与x 的函数 关系式为( ) A . y=50 (1-x ) 2 B . y=50 (1-x ) 2 C . y=50-x 2 D . y=50 (1+x ) 2 12. 下列命题中,错误的是( ) 13 .顶点为(-5 , 0)且开口方向、形状与函数 1 1 A . y=- (x-5) 2 B . y=- x 2-5 C 3 3 .抛物线 y=- J 3X 2-1不与 x 轴相交; 2 .抛物线 尸孚2-1与 y= 3 (x-1 ) 2 2 形状相同,位置不同 .抛物线 .抛物线 1 y=-- 2 1 y= 2 (x- 1) 2 1 (x+ —) 2 2 的顶点坐标为 2 的对称轴是直线 1 , 0); 2 1 x=— 2 1 y=- =x 2的图象相同的抛物线是( ) 3 1 1 y=- (x+5) 2 D . y= (x+5) 2 3 3

二次函数综合题训练(含答案)

二次函数综合题训练 一、综合题(共24题;共305分) 1.如图,在平面直角坐标系中,二次函数图象的顶点坐标为,该图象与轴相交于点、,与轴相交于点,其中点的横坐标为1. (1)求该二次函数的表达式; (2)求. 2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交x轴于点A,B(点A在点B的左侧). (1)求点A,B的坐标,并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围; (2)把点B向上平移m个单位得点B1.若点B1向左平移n个单位,将与该二次函数图象上的点B2重合;若点B1向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点B3重合.已知m>0,n>0,求m,n 的值. 3.已知抛物线y=2x2-4x+c与x轴有两个不同的交点. (1)求c的取值范围; (2)若抛物线y=2x2-4x+c经过点A(2,m)和点B(3,n),试比较m与n的大小,并说明理由. 4.如图,已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3). (1)求a的值和图象的顶点坐标。 (2)点Q(m,n)在该二次函数图象上. ①当m=2时,求n的值;

②若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围. 5.若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上,则称 为的伴随函数,如:是的伴随函数. (1)若是的伴随函数,求直线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为4,求,的值. 6.已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点. (1)求k的值: (2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标. 7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点、点,与轴交于点. (1)求拋物线的解析式; (2)过点作直线轴,点在直线上且,直接写出点的坐标.8.在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上. (1)求点B的坐标(用含的式子表示); (2)求抛物线的对称轴; (3)已知点,.若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求的取值范围. 9.如图,直线与轴、轴分别交于两点,抛物线经过点 ,与轴另一交点为,顶点为. (1)求抛物线的解析式; (2)在轴上找一点,使的值最小,求的最小值;

(完整word版)初中数学二次函数应用题专题训练

页眉内容 二次函数应用题专题训练 1.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该 经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价下降10元时,月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家 及其它费用100元,设每吨材料售价为x元,该经销店的月利润为y元. (1)当每吨售价为240元时,计算此时的月销售量; (2)求y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围); (3)该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元? (4)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由. 2.(2010恩施)恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力,其中香菇 远销日本和韩国等地.上市时,外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不能出售. (1)若存放x天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为y元,试写出y与 x之间的函数关系式. (2)李经理想获得利润22500元,需将这批香菇存放多少天后出售?(利润=销售总金额-收购成本-各种费用) (3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少?

3.(2010德州)为迎接第四届世界太阳城大会,德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯.已知太阳能路灯售价为5000元/个,目前两个商家有此产品.甲商家用如下方法促销:若购买路灯不超过100个,按原价付款;若一次购买100个以上,且购买的个数每增加一个,其价格减少10元,但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个.乙店一律按原价的80℅销售.现购买太阳能路灯x 个,如果全部在甲商家购买,则所需金额为y 1元;如果全部在乙商家购买,则所需金额为y 2元. (1)分别求出y 1、y 2与x 之间的函数关系式; (2)若市政府投资140万元,最多能购买多少个太阳能路灯? 4(2010河北)某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.若只在国内销售,销售价格y (元/件)与月销量x (件)的函数关系式为y =100 1 x +150,成本为20元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费62500元,设月利润为 w 内(元)(利润 = 销售额-成本-广告费).若只在国外销售,销售价格为150元/件,受 各种不确定因素影响,成本为a 元/件(a 为常数,10≤a ≤40),当月销量为x (件)时,每月还需缴纳100 1x 2 元的附加费,设月利润为w 外(元)(利润 = 销售额-成本-附加费). (1)当x = 1000时,y = 元/件,w 内 = 元; (2)分别求出w 内,w 外与x 间的函数关系式(不必写x 的取值范围); (3)当x 为何值时,在国内销售的月利润最大?若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a 的值; (4)如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大?

人教版数学中考复习二次函数专题练习题含答案

人教版数学 初三中考复习 二次函数 专题练习题 一、选择题 1 抛物线y =x 2+2x +3的对称轴是( ) A .直线x =1 B .直线x =-1 C .直线x =-2 D .直线x =2 2.在平面直角坐标系中,将抛物线y =x 2-x -6向上(下)或向左(右)平移m 个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则|m|的最小值为( ) A .1 B .2 C .3 D .6 3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =12x 2经过平移得到抛物线y =12 x 2-2x ,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( ) A .2 B .4 C .8 D .16 4. 如图,已知顶点为(-3,-6)的抛物线y =ax 2+bx +c 经过点(-1,-4),则下列结论中错误的是( ) A .b 2 >4ac B .ax 2+bx +c≥-6 C .若点(-2,m),(-5,n)在抛物线上,则m >n D .关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =-4的两根为-5和-1 5. 如图,观察二次函数y =ax 2+bx +c 的图象,下列结论:①a +b +c >0;②2a +b >0;③b 2-4ac >0;④ac >0.其中正确的是( ) A .①② B .①④ C .②③ D .③④ 6. 如图,一次函数y 1=x 与二次函数y 2=ax 2+bx +c 的图象相交于P ,Q 两点,则函数y =ax 2 +(b -1)x +c 的图象可能是( )

7. 如图,在正方形ABCD 中,AB =8 cm ,对角线AC ,BD 相交于点O ,点E ,F 分别从B ,C 两点同时出发,以1 cm /s 的速度沿BC ,CD 运动,到点C ,D 时停止运动,设运动时间为t(s ),△OEF 的面积为S(cm 2),则S(cm 2)与t(s )的函数关系可用图象表示为( ) 二、填空题 8.若y =(2-m)xm 2-3是二次函数,且开口向上, 则m 的值为 . 9.已知点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在二次函数y =(x -1)2+1的图象上,若x 1>x 2>1,则y 1____y 2.(填“>”“<”或“=”) 10.已知二次函数y =-2x 2-4x +1,当-3≤x ≤0时,它的最大值是____,最小值是____. 11.一个足球被从地面向上踢出,它距地面的高度h(m )与足球被踢出后经过的时间t(s )之间具有函数关系h =at 2+19.6t ,已知足球被踢出后经过4 s 落地,则足球距地面的最大高度是____m . 12. 如图,抛物线y =-x 2+2x +3与y 轴交于点C ,点D(0,1),点P 是抛物线上的动点.若△PC D 是以CD 为底的等腰三角形,则点P 的坐标为 . 三、解答题 13.如果抛物线y =ax 2+bx +c 过定点M(1,1),则称此抛物线为定点抛物线. (1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写出一条定点抛物线的一个解析式.小敏写出了一个答案:y =2x 2+3x -4,请你写出一个不同于小敏的答案; (2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线y =-x 2+2bx +c +1,求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式,请你解答.

二次函数中考选择填空题专题训练

二次函数——选择填空题 1、(2013陕西)已知两点),3(),,5(21y B y A -均在抛物线)0(2 ≠++=a c bc ax y 上, 点),(00y x C 是该抛物线的顶点,若021y y y ≥>,则0x 的取值范围是( ) A .50->x B .10->x C .150-<<-x D .320<<-x 考点:二次函数图象性质的应用及对称性的考查。 解析:由点),(00y x C 是该抛物线的顶点,且021y y y ≥>,所以0y 为函数的最小值,即得出抛物线的开口向上,因为021y y y ≥>,所以得出点A 、B 可能在对称轴的两侧或者是在对称轴的左侧,当在对称轴的左侧时,y 随x 的增大而减小,因此0x >3,当在对称轴的两侧时,点B 距离对称轴的距离小于点A 到对称轴的距离,即得0x -(-5)>3-0x ,解得10->x ,综上所得:10->x ,故选B 2、(2013济宁)二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是( ) A .a >0 B .当﹣1<x <3时,y >0 C .c <0 D .当x ≥1时,y 随x 的增大而增大 考点:二次函数图象与系数的关系. 分析:由抛物线的开口方向判断a 与0的关系,由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 解答:解:A .抛物线的开口方向向下,则a <0.故本选项错误; B .根据图示知,抛物线的对称轴为x=1,抛物线与x 轴的一交点的横坐标是﹣1,则抛物线与x 轴的另一交点的横坐标是3, 所以当﹣1<x <3时,y >0.故本选项正确; C .根据图示知,该抛物线与y 轴交与正半轴,则c >0.故本选项错误; D .根据图示知,当x ≥1时,y 随x 的增大而减小,故本选项错误. 故选B . 点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定. 3、(2013杭州)给出下列命题及函数y=x ,y=x 2和y=

求二次函数的解析式--专题练习题-含答案

求二次函数的解析式专题练习题 姓名:班级: 1.如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2,点A,C分别在y 轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B和D(4,-2 3 ), 求抛物线的解析式. 2.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中点A(-1,0),点C(0,5),D(1,8)都在抛物线上,M为抛物线的顶点. (1)求抛物线的函数解析式; (2)求直线CM的解析式; (3)求△MCB的面积. 3.已知一个二次函数,当x=1时,y有最大值8,其图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同,则这个二次函数的解析式是( ) A.y=-2x2-x+3 B.y=-2x2+4 C.y=-2x2+4x+8 D.y=-2x2+4x+6 4.已知某二次函数的最大值为2,图象的顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(2,1),求二次函数的解析式. 2

(2)画出此函数图象; (3)结合函数图象,当-4<x≤1时,写出y的取值范围. 6.已知一个二次函数的图象经过点A(-1,0),B(3,0)和C(0,-3)三点; (1)求此二次函数的解析式; (2)对于实数m,点M(m,-5)是否在这个二次函数的图象上?说明理由.7.已知抛物线在x轴上截得的线段长是4,对称轴是x=-1,且过点(-2,-6),求该抛物线的解析式. 8.已知y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的图象对应的函数解析式为y=x2-2x-3. (1)b=____,c=____; (2)求原函数图象的顶点坐标; (3)求两个图象顶点之间的距离. 9.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线x=1,且与x轴的一个交点为(3,0),那么它对应的函数解析式.

2017二次函数应用题专题训练Word版

2017二次函数应用题专题训练 1.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价下降10元时,月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元,设每吨材料售价为x元,该经销店的月利润为y元. (1)当每吨售价为240元时,计算此时的月销售量; (2)求y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围); (3)该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元? (4)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由. 2.(2010德州)为迎接第四届世界太阳城大会,德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯.已知太阳能路灯售价为5000元/个,目前两个商家有此产品.甲商家用如下方法促销:若购买路灯不超过100个,按原价付款;若一次购买100个以上,且购买的个数每增加一个,其价格减少10元,但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个.乙店一律按原价的80℅销售.现购买太阳能路灯x个,如果全部在甲商家购买,则所需金额为y1元;如果全部在乙商家购买,则所需金额为y2元. (1)分别求出y1、y2与x之间的函数关系式; (2)若市政府投资140万元,最多能购买多少个太阳能路灯?

3.(2010恩施)恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力,其中香菇 远销日本和韩国等地.上市时,外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克 香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香 菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在冷库中最多保存110天,同时,平均 每 天有6千克的香菇损坏不能出售. (1)若存放x 天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为y 元,试写出y 与x 之间的函数关系式. (2)李经理想获得利润22500元,需将这批香菇存放多少天后出售?(利润=销售总金额-收购成本-各种费用) (3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少? 4(2010河北)某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.若只在国内销售,销售价格y (元/件)与月销量x (件)的函数关系式为y =1001-x +150,成本为20元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费62500元,设月利润为w 内(元)(利润 = 销售额-成本-广告费).若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a 元/件(a 为常数,10≤a ≤40),当月销量为x (件)时,每月还需缴纳100 1x 2 元的附加费,设月利润为w 外(元)(利润 = 销售额-成本-附加费). (1)当x = 1000时,y = 元/件,w 内 = 元; (2)分别求出w 内,w 外与x 间的函数关系式(不必写x 的取值范围); (3)当x 为何值时,在国内销售的月利润最大?若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a 的值; (4)如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大? 参考公式:抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a --.

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