第八讲-马尔科夫预测法
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马尔科夫预测法的原理
马尔科夫预测法的原理
马尔科夫预测法是一种基于马尔科夫链的预测方法。
其原理是利用过去的一系列观测值，通过构建一个马尔科夫链模型来预测未来的观测值。
马尔科夫链是一种具有状态转移概率的数学模型，其特点是当前状态的转移只依赖于前一个状态，与其他历史状态无关。
马尔科夫预测法假设未来的观测值只与过去的观测值有关，而与其他因素无关。
具体实施马尔科夫预测法的步骤如下：
1. 收集并整理历史数据，将其分为一系列观测值的序列。
2. 根据历史数据计算每个状态之间的转移概率。
即计算每个观测值之间的转移概率，这可以通过统计历史数据中观测值之间的频率来进行估计。
3. 根据已知的初始状态分布，选择一个初始状态作为预测的起点。
4. 根据转移概率和初始状态，依次生成未来的观测值，直到达到所需的预测长度。
马尔科夫预测法的关键在于确定状态和计算状态之间的转移概率。
这可以通过统计方法、最大似然估计或其他相应的方法来实现。
然后，使用马尔科夫链的转移概率来模拟未来的状态转移，从而得到未来观测值的预测。
第八讲 马尔可夫预测
P 11 P ( L xnt) ) 21 L Pn1
P L Pn 12 1 P22 L P2n L L L Pn2 L Pnn
例2:已知市场上有A、B、C三种品牌的洗
衣粉，上月的市场占有率分布为（0.3 0.4 0.3），并且转移概率矩阵为：
0.6 0.2 P = 0.1 0.7 0.1 0.1 0.2 0.2 0.8
用 Ri (k) 表示从状态Si开始,经K步转移后的期望利润。那么,当k=1 时,期望利润为
Ri = Pi1ri1 + Pi2ri2 +L+ Pinrin = ∑Pij rij , i =1,2L, n
(1)
n
于是K步转移后的期望利润为两次转移(一步转移和K-1步转移) 期望利润之和,即
j=1
Ri
记
(k )
= ∑ Pij rij + ∑ Pij R j
j =1 j =1
n
n
( k −1)
R(k) = (R1 , R2 ,LRn )T
(k ) (k ) (k )
则可表为矩阵形式:
R(k ) = R(1) + PR(k−1)
例4:设某商品连续两个月畅销时,可获利8万元;连续滞销时,亏
损2万元;由畅销转滞销时可获利3万元;滞销转畅销时可获利4万 元,试预测4个月后总期望利润。
预测第21月的销售额
• 因为第20月的销售属状态3，而状态3经 过一步转移达到状态1、2、3的概率分别 为2/7、0、5/7，P33>P31>P32，所以第21月 仍处于状态3的概率最大，即销售额超过 100万元的可能性最大。
§2 马尔可夫预测应用
• 一、市场占有率预测
计量地理学第8章 马可尔夫预测方法
3 C公司的300名顾客中有255 名继续订货，有25名转向A公司 订货，20名转向B公司订货。
如果三个公司在这个地区的初 始占有率为A=22%，B=49%， C=29% ， 且它们都不改变营业 状态和规模，问：
（1）明年和后年，三个公司在这 个地区市场占有率为如何？
（2）稳定状态下，三个公司的 市场占有率？
可能的状态的概率，即 (k) ，从而就得到该事件在
第k个时刻（时期）的状态概率预测。
(1) (0)P
(2) (1)P (0)P2
............
(k) (k 1)P (0)Pk
例题2:
将例题1中1999年的农业收
成状态记为 (0) =[0,1,0] ，将
状态转移概率矩阵，代入递推 公式，可求得2000—2010年可 能出现的各种状态的概率。
2＝0.352 5， 3 ＝0.279 9。 结论：该地区农业收成的变化过程，在无 穷多次状态转移后，“丰收”和“平收”状态 出现的概率都将大于“歉收”状态出现的概率。
归纳:马尔可夫预测方法的应用思路
第一步 求状态转移概率矩阵。 第二步 预测未来某时刻的状态概率。 第三步 预测终极状态概率。
(i, j 1,2,, n) (i 1,2,, n)
一般地，将满足上述条件的任何矩阵都称为随
机矩阵，或概率矩阵。
状态转移概率矩阵的计算 计算状态转移概率矩阵P，就是求从每
个状态转移到其他任何一个状态的状态转移 概率：
Pij (i,j 1,2, , n)
为了求出每一个 Pij (i,j 1,2, , n) ，一般
今年的市场占有率 u=（0.22,0.49,0.29） 明年的市场占有率up=
0.80 0.10 0.10 （0.22,0.49,0.29） 0.07 0.90 0.03
如果三个公司在这个地区的初 始占有率为A=22%，B=49%， C=29% ， 且它们都不改变营业 状态和规模，问：
（1）明年和后年，三个公司在这 个地区市场占有率为如何？
（2）稳定状态下，三个公司的 市场占有率？
可能的状态的概率，即 (k) ，从而就得到该事件在
第k个时刻（时期）的状态概率预测。
(1) (0)P
(2) (1)P (0)P2
............
(k) (k 1)P (0)Pk
例题2:
将例题1中1999年的农业收
成状态记为 (0) =[0,1,0] ，将
状态转移概率矩阵，代入递推 公式，可求得2000—2010年可 能出现的各种状态的概率。
2＝0.352 5， 3 ＝0.279 9。 结论：该地区农业收成的变化过程，在无 穷多次状态转移后，“丰收”和“平收”状态 出现的概率都将大于“歉收”状态出现的概率。
归纳:马尔可夫预测方法的应用思路
第一步 求状态转移概率矩阵。 第二步 预测未来某时刻的状态概率。 第三步 预测终极状态概率。
(i, j 1,2,, n) (i 1,2,, n)
一般地，将满足上述条件的任何矩阵都称为随
机矩阵，或概率矩阵。
状态转移概率矩阵的计算 计算状态转移概率矩阵P，就是求从每
个状态转移到其他任何一个状态的状态转移 概率：
Pij (i,j 1,2, , n)
为了求出每一个 Pij (i,j 1,2, , n) ，一般
今年的市场占有率 u=（0.22,0.49,0.29） 明年的市场占有率up=
0.80 0.10 0.10 （0.22,0.49,0.29） 0.07 0.90 0.03
决策与预测第八章马尔可夫预测
决策与预测第八章马尔可夫预测马尔可夫预测（Markov Prediction）是一种基于马尔可夫模型的预测方法。
马尔可夫模型是一种具有状态转移特性的随机过程，即当前状态的发生只与前一个状态有关，与之前的状态无关。
马尔可夫预测依据这一性质，通过对已有的状态序列进行分析，来预测未来可能的状态。
马尔可夫预测在许多领域都有应用，比如天气预测、股市预测、自然语言处理等。
在天气预测中，我们可以将天气分为晴天、阴天、雨天等若干个状态，通过观察历史天气数据，建立马尔可夫模型，从而预测未来几天的天气情况。
在股市预测中，我们可以将股票价格分为涨、跌、平稳等若干个状态，通过分析历史股价数据，建立马尔可夫模型，从而预测未来股票价格的走势。
马尔可夫预测的关键是确定马尔可夫链的阶数。
马尔可夫链的阶数决定了当前状态只与前几个状态有关。
一般情况下，阶数越高，预测的准确性越高，但计算复杂度也越高。
选择合适的阶数需要根据具体问题进行权衡。
马尔可夫预测的关键步骤包括状态定义、状态转移矩阵的估计和预测结果生成。
首先，需要将观测序列转化为状态序列。
状态定义需要根据具体问题确定，通常是将连续的观测值离散化为若干个状态。
然后，需要估计马尔可夫链的状态转移矩阵。
状态转移矩阵描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。
可以通过历史数据来估计状态转移矩阵，常用的方法有最大似然估计和贝叶斯估计。
最后，通过状态转移矩阵和当前的状态，可以通过马尔可夫链进行状态的预测。
马尔可夫预测有一些优点和限制。
优点是简单易用，不需要太多的领域知识，只需要一些历史数据。
同时，马尔可夫预测可以处理非线性和非平稳的数据，具有一定的适应性。
然而，马尔可夫预测也有一些限制。
首先，马尔可夫模型假设当前状态只与前一个状态相关，而与之前的状态无关，这个假设在一些情况下可能不成立。
其次，马尔可夫模型对于状态转移矩阵的估计需要大量的历史数据，否则预测的准确性可能较低。
在实际应用中，马尔可夫预测通常与其他方法结合使用，以提高预测的准确性。
马尔可夫预测方法
年份 序号 状态 年份 序号 状态 年份 序号 状态 年份 序号 状态 1960 1 E1 1970 11 E3 1980 21 E3 1990 31 E1 1961 2 E1 1971 12 E1 1981 22 E3 1991 32 E3 1962 3 E2 1972 13 E2 1982 23 E2 1992 33 E2 1963 4 E3 1973 14 E3 1983 24 E1 1993 34 E1 1964 5 E2 1974 15 E1 1984 25 E1 1994 35 E1 1965 6 E1 1975 16 E2 1985 26 E3 1995 36 E2 1966 7 E3 1976 17 E1 1986 27 E2 1996 37 E2 1967 8 E2 1977 18 E3 1987 28 E2 1997 38 E3 1968 1969 9 E1 1978 19 E3 1988 29 E1 1998 39 E1 10 E2 1979 20 E1 1989 30 E2 1999 40 E2
个时刻（ 第k个时刻（时期）的状态概率预测 个时刻 时期）
如果某一事件在第0个时刻（或 时期）的初始状态已知，即π ( 0 ) 已知， 则利用递推公式(3.7.8)，就可以求得 它经过k次状态转移后，在第k个时刻 （时期）处于各种可能的状态的概率， 即 ，从而就得到该事件在第k个 π (k ) 时刻（时期）的状态概率预测。
状态转移： 状态转移： 事件的发展，从一种状态转变为另一种状态， 称为状态转移。例如某产品在当前考察时处于畅 销阶段，过了一段时间，我们再来考察时，犹豫 市场竞争等多种因素，产品可能不再畅销，比如 处于滞销，则其状态从1转移到了2；某产品当前 装有是其市场占有率的20%，假如在下一个考察 时间点其市场占有率为25%，则其装有从20%转移 到了25%；某机器设备当前状态处于正常运转， 下一个考察时间点其状态有可能仍然是正常运转， 也可能处于待修状态。
个时刻（ 第k个时刻（时期）的状态概率预测 个时刻 时期）
如果某一事件在第0个时刻（或 时期）的初始状态已知，即π ( 0 ) 已知， 则利用递推公式(3.7.8)，就可以求得 它经过k次状态转移后，在第k个时刻 （时期）处于各种可能的状态的概率， 即 ，从而就得到该事件在第k个 π (k ) 时刻（时期）的状态概率预测。
状态转移： 状态转移： 事件的发展，从一种状态转变为另一种状态， 称为状态转移。例如某产品在当前考察时处于畅 销阶段，过了一段时间，我们再来考察时，犹豫 市场竞争等多种因素，产品可能不再畅销，比如 处于滞销，则其状态从1转移到了2；某产品当前 装有是其市场占有率的20%，假如在下一个考察 时间点其市场占有率为25%，则其装有从20%转移 到了25%；某机器设备当前状态处于正常运转， 下一个考察时间点其状态有可能仍然是正常运转， 也可能处于待修状态。
08马尔柯夫预测法
2 7
0 7 3
5 5 7
所以
3 7 1 P 5 2 7
4 4 1 5 0
3 5 5 7 0
18
第四步，预测第21个月的销售情况。由于第20个月销售量处 于畅销状态，而经由一次转移到达三种状态的概率分别为
p 31 2 7 p 32 0 7
p 33 5 7
15
fi M i M
就是Ei出现的
频率，这里用它近似地表示Ei出现的概率。即
– 第三步，计算状态转移概率。仍然以频率近似地表示概率进行计算。 首先计算状态
Ei E j
(由Ei转移到Ej)的频率
f ij f ( E j E i )
从第二步知道Ei出现了Mi次，接着从Mi个Ei出发，计算下一步转 移到Ej的个数Mij，于是得到
P
j 1
ij
( m , m k ) 1, i 1, 2 ,
6
当转移概率
Pij ( m , m k )
只与i，j及时间间距k有关时，即
Pij ( m , m k ) Pij ( k )
时，称转移概率具有平稳性，同时也称
此链是齐次的或时齐的，本章只限于讨论齐次马氏链。
f ij M
ij
并令 f p ij ij
M
i
– 第四步，根据转移概率进行预测。由第三步可得状态转移概率矩阵 P。如果目前预测对象处于状态Ei。这时 p ij 就描述了目前状态Ei在 未来将转向状态 Ej(j=1，2，…，N)的可能性。按最大概率原则， 这里选择 ( p i 1 , p i 2 , , p iN ) 中最大者对应的状态为预测结果。即当
为一步转移概率矩阵。 一步转移概率矩阵具有如下性质：
0 7 3
5 5 7
所以
3 7 1 P 5 2 7
4 4 1 5 0
3 5 5 7 0
18
第四步，预测第21个月的销售情况。由于第20个月销售量处 于畅销状态，而经由一次转移到达三种状态的概率分别为
p 31 2 7 p 32 0 7
p 33 5 7
15
fi M i M
就是Ei出现的
频率，这里用它近似地表示Ei出现的概率。即
– 第三步，计算状态转移概率。仍然以频率近似地表示概率进行计算。 首先计算状态
Ei E j
(由Ei转移到Ej)的频率
f ij f ( E j E i )
从第二步知道Ei出现了Mi次，接着从Mi个Ei出发，计算下一步转 移到Ej的个数Mij，于是得到
P
j 1
ij
( m , m k ) 1, i 1, 2 ,
6
当转移概率
Pij ( m , m k )
只与i，j及时间间距k有关时，即
Pij ( m , m k ) Pij ( k )
时，称转移概率具有平稳性，同时也称
此链是齐次的或时齐的，本章只限于讨论齐次马氏链。
f ij M
ij
并令 f p ij ij
M
i
– 第四步，根据转移概率进行预测。由第三步可得状态转移概率矩阵 P。如果目前预测对象处于状态Ei。这时 p ij 就描述了目前状态Ei在 未来将转向状态 Ej(j=1，2，…，N)的可能性。按最大概率原则， 这里选择 ( p i 1 , p i 2 , , p iN ) 中最大者对应的状态为预测结果。即当
为一步转移概率矩阵。 一步转移概率矩阵具有如下性质：
《马尔可夫预测》PPT课件
Байду номын сангаас
二、状态和状态转移 1、状态：系统在某时刻出现的某种结果。 常用Ei表示（i=1，2，…，N）。 2、状态变量Xt=i：表示系统在时刻t处于 Ei 。 3、状态转移：系统由一种状态转移为另一种状态 。常用Ei →Ej表示。
状态举例： 例1：人民生活水平可分为三种水平状态：温 饱、小康、富裕。 例2：企业经营状况可分为：盈利、不盈不亏、 亏损。 例3：商品销售状况可分为：畅销、平销、滞 销。 状态转移举例： 例4：营业情况由盈利→亏损。
例：设一步转移矩阵为：
0.5 0.5 P 求P(2) 0.6 0.4 0.5 0.5 解： P(2) 0.6 0.4 0.5 0.5 0.5 0.6 0.5 0.5 0.5 0.4 = 0.6 0.5 0.4 0.6 0.6 0.5 0.4 0.4 0.55 0.45 = 0.54 0.46
0≤ Pij ≤1 ∑ Pij =1
所有Pij构成的矩阵为：
P 11 P P 21 PN 1 P 12 P22 PN 2 P 1N P2 N P ij N N PNN
称为一步转移概率矩阵。
在多步转移中，k步转移概率记为：
解：状态转移概率为
400 P 0.8 11 500 20 P21 0.05 400 10 P31 0.1 100 50 P 0.1 12 500 300 P22 0.75 400 10 P32 0.1 100 50 P 0.1 13 500 80 P23 0.2 400 80 P33 0.8 100
五、状态转移概率和转移概率矩阵
设系统有N个状态Ei（i=1，2，…，N），以状态变量 xt=i表示在时刻t处于Ei（i=1，2，…，N），如果系统在时 刻t处于Ei而在时刻t+1转移到Ej的概率只与Ei有关而与t以 前处的状态无关，则此概率可表示为： Pij=P（Ei→Ej）=P（ xt+1 =j∣xt =i） 并称为一步转移概率。
二、状态和状态转移 1、状态：系统在某时刻出现的某种结果。 常用Ei表示（i=1，2，…，N）。 2、状态变量Xt=i：表示系统在时刻t处于 Ei 。 3、状态转移：系统由一种状态转移为另一种状态 。常用Ei →Ej表示。
状态举例： 例1：人民生活水平可分为三种水平状态：温 饱、小康、富裕。 例2：企业经营状况可分为：盈利、不盈不亏、 亏损。 例3：商品销售状况可分为：畅销、平销、滞 销。 状态转移举例： 例4：营业情况由盈利→亏损。
例：设一步转移矩阵为：
0.5 0.5 P 求P(2) 0.6 0.4 0.5 0.5 解： P(2) 0.6 0.4 0.5 0.5 0.5 0.6 0.5 0.5 0.5 0.4 = 0.6 0.5 0.4 0.6 0.6 0.5 0.4 0.4 0.55 0.45 = 0.54 0.46
0≤ Pij ≤1 ∑ Pij =1
所有Pij构成的矩阵为：
P 11 P P 21 PN 1 P 12 P22 PN 2 P 1N P2 N P ij N N PNN
称为一步转移概率矩阵。
在多步转移中，k步转移概率记为：
解：状态转移概率为
400 P 0.8 11 500 20 P21 0.05 400 10 P31 0.1 100 50 P 0.1 12 500 300 P22 0.75 400 10 P32 0.1 100 50 P 0.1 13 500 80 P23 0.2 400 80 P33 0.8 100
五、状态转移概率和转移概率矩阵
设系统有N个状态Ei（i=1，2，…，N），以状态变量 xt=i表示在时刻t处于Ei（i=1，2，…，N），如果系统在时 刻t处于Ei而在时刻t+1转移到Ej的概率只与Ei有关而与t以 前处的状态无关，则此概率可表示为： Pij=P（Ei→Ej）=P（ xt+1 =j∣xt =i） 并称为一步转移概率。
精编第8章马尔柯夫预测法资料
N
p (k ) ij
1
j 1
i, j 1,2,, N
i
1,2,,
N
（8.1.5）
第八章 马尔可夫预测与决策法
第8.1 马尔柯夫链简介
3. 状态转移矩阵
从状态转移概率矩阵的性质可知，2 步状态转移概率矩阵可由一步状态转移概率矩阵 求出。
N
p (2) ij
pik pkj
p22 p2N p21
pN2
p NN
pN1
p12 p1N
p22 p2N
pN2
p NN
p11 = p21 pN1
p12 p22
pN2
2
p1N p2N
＝
P2
pNN
P X mk E j X m Ei
£¨8.1.2£©
ÔÚ ¸Å ÂÊ ÂÛ ÖÐ £¬ Ìõ ¼þ ¸Å ÂÊ P( A | B) ± í ´ï ÁË ÓÉ × ´ ̬ £Â Ïò × ´ ̬ £Á × ª ÒÆ µÄ ¸Å ÂÊ £¬ ¼ò ³Æ Ϊ × ´ ̬ × ª ÒÆ ¸Å
第八章 马尔可夫预测与决策法
第8章 马尔柯夫预测法
马尔柯夫预测法是应用随机过程中马尔 柯夫链的理论和方法研究分析有关经济现 象变化规律并籍此对未来进行预测的一种 方法。
在经济现象中存在一种“无后效性”。 即“系统在每一时刻的状态仅仅取决于前 一时刻的状态，而与其过去的历史无关。”
第八章 马尔可夫预测与决策法
5 7
3 4 0
7 7
马尔可夫预测
1. 马尔可夫矩阵一般式
（十）均匀马尔可夫链
若
P(k) ij
Pij
k 1,2,
则称该马尔可夫链为均匀马尔可夫链。
用下式表示：
Pij
P(E j
/ Ei )
P
A(j k )
/
A( k 1) i
（十一）预测模型
前提：必须是均匀马尔可夫链。
S (0) ：初始状态；
S (k 1) ：经（K+1）次转移后的状态；
机变量,称为随机过程。 定义：在给定的概率空间( ,F,P)及实数集
T,其中 为样本空间,F为分布函数,P为概率, 对于
每一个 t T , 有定义在( ,F,P)上的随机变量
(t, w), w
与之对应,则称为 (t, w);t T 随机过程,一
般简化为 (t) 。
特点：
1. 随机性：确切的未来状态是不可预测；
2. 局限性：只适合于马尔可夫过程；
3. 简便性：有率、选 择服务点、设备更新等的预测。
（六）马尔可夫链
定义：设随机过程 (t)只能取可列个值 r1, r2 ,rn ,, 把 (t) rn 称为在时刻 t 系统处于状态 En (n 1,2,)
我厂牌子
0.8
0.2
别厂牌子
0.3
0.7
问:从经济效益的角度决定要否做这个广告?
定义：设随机过程(t) ,如果在已知时间t系统
处于状态x的条件下,在时刻 ( >t)系统所处
状态和时刻t以前所处的状态无关,则称 (t)为 马尔可夫过程。 从定义可知马尔可夫过程只与t时刻有关,与t 时刻以前无关。
（五）马尔可夫预测法
马尔科夫预测法 期望利润预测45页 文档
P11(2)
= P11(2)
P11(2) P11(2)
三.稳态概率：
用于解决长期趋势预测问题。
即：当转移步数的不断增加时，转移 概率[k] 矩阵 P 的变化趋势。
1.正规概率矩阵。
定义：若一个概率矩阵P，存在着某 一个正整数m,使P 的所有元素均为正数 （Pij >o），则该矩阵称为正规概率矩阵
例：
→ U1 = 0.5 → U2 = 0.25
-0.2U2 + 0.3 = U3 → U3 = 0.25
∴ U = [0.5 0.25 0.25]
则
0.5 0.25 0.25
T = 0.5 0.25 0.25
0.5 0.25 0.25
说明：
不管系统的初始状态如何，当系统运行时间较长时，转 移到各个状态的概率都相等。（列向量各元素相等）
列： ∑Pi = 1
对于连续型随机变量，有 ∫P(x)dx = 1
在试验过程中，随机变量可能随某一参数（不一定 是时间）的变化而变化.
如测量大气中空气温度变化x = x(h),随高度变化。 这种随参变量而变化的随机变量称为随机函数。而以 时间t作参变量的随机函数称为随机过程。
也就是说：随机过程是这样一个函数，在每次试 验结果中，它以一定的概率取某一个确定的，但预先 未知的时间函数。
2.稳定性假设
若系统的一步状态转移概率不随时 间变化，即转移矩阵在各个时刻都相同， 称该系统是稳定的。
这个假设称为稳定性假设。蛙跳问 题属于此类，后面的讨论均假定满足稳 定性条件。
{2019/11/22}
3.k步状态转移矩阵 经过k步转移由状态i转移到状态j的概率记为
P(xt+k =j | xt = i) = Pij(k)
第八讲-马尔科夫预测法
马尔科链是具有“无后效性”的随机过程，即未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。该方法的核心是利用转移概率矩阵来预测未来某一特定期间可能出现的状态。首先，需要确定状态空间，即所有可能的状态集合。然后，根据历史数据计算一步转移概率矩阵，其元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。通过此矩阵，可以预测下一时刻的状态概率分布。此外，还可以进一步计算k步转移概率矩阵，以预测未来更远时间点的状态。马尔科夫预测法在多个领域有应用，如经济预测、市场趋势分析等，它提供了一种基于当前状态及转移概率来推测未来状态变化的统计方法。
马尔柯夫预测法.pptx
则称 X n , n 0为马尔柯夫链。
X n 所可能取到的每一个值 E1, E2 ,, Em ; E j 称为状态。
第4页/共75页
第8.1 马尔柯夫链简介
2. 状态转移概率
由定义 8.1.1 可知，马尔柯夫链的概率特性取决于条件概率
P X mk E j X m Ei
（8.1.2）
在概率论中，条件概率 P( A | B) 表达了由状态Ｂ向状态Ａ转移的概率，简称为状态
M11 3
M12 4
M13 0
M 21 1
M 22 1
M 23 3
M 31 2
M 32 0
M 33 5
第19页/共75页
从而
p11
3 7
3 p23 5
所以
p12
4 7
p13
0 7
p 21
1 5
2
0
p31 7 p32 7
5 p33 7
3 4 0
7 7
P
1 5
1 5
3 5
k 1 N
p2k pk2
k 1
N
pNk pk 2
N
k 1
N
k 1
N
p1k
p2k
p Nk
pkN pkN pkN
==
p11 p21
pN1
p12 p22
p1N p11 p2N p21
pN 2 pNN pN1
p12 p22
pN2
p1N p2N
转移概率。式（8.1.2）中条件概率的含义是，某系统在时刻 m 处于状态 Ei 的条件下，
到时刻 m k 处于状态 E j 的概率。
定义 8.1.2 称
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P(k) = Pk
➢ 举例
• 例6.7（130页） 为了解顾客对A，B，C三种 不同品牌洗衣粉的购买倾向，市场调查小组进 行了购买倾向调查。在本月购买A，B，C品牌 的顾客中分别调查了100人，150人和120人， 了解他们在下月的购买倾向。调查结果用矩阵 表示如下：
1A 2B 2B
1A 40 30 30 2B 60 30 60 3C 60 30 30
其中，第一行表示在本月购买A品牌的100 人中有40人在下月仍打算购买A品 牌，而打 算转向购买B和C品牌的人都是30。第二行 ，第三行类同。要求: ① 写出状态转移概率矩阵； ② 求购买 C品牌的顾客在未来第二个月购 买A品牌和B品牌的概率。 解：① 题中所给的矩阵也称状态转移频数矩阵， 用频数矩阵的各行频数分别除以各行频数之 和，得状态转移概率矩阵如下：
6.1.3 一步转移概率矩阵
➢ 一步转移概率
• 定义 设 Zt , t∈T 是一马尔科夫链，其中T={0，1 ，2，··· }； S={1，2， ···，n },则称在Zt = i的条 件下， Zt+1 = j的条件概率P{Zt+1 = j｜ Zt = i}称为由 状态i到状态j的一步转移概率。
➢ 平稳的马尔科夫链
第六章 马 尔 科 夫 预 测 法
• 马尔科夫链及转移概率 • 转移概率矩阵的固定点 • 马尔科夫链在经济预测
等方面的应用 • 吸收态马尔科夫链及其应用
6.1 马尔科夫链及转移概率
6.1.1 随机过程 ➢ 随机过程
• 定义 如果对每个给定的时间 t∈T，Z(t) 都是一 随机变量，我们就称 Z(t), t∈T是一个随机过程
• 定义 如果马尔科夫链的一步转移概率P{Zt+1 = j｜ Zt = i}与时间t无关，则称马尔科夫链是平稳的。以 后我们提到的马尔科夫链都是平稳的马尔科夫链。 并记一步转移概率P{Zt+1 = j｜ Zt = i}=为pij
➢ 一步转移概率矩阵
• 定义 设 Zt , t∈T 是一平稳的马尔科夫链， 其中T={0，1，2，··· }； S={1，2， ···，n
0.425
0.255 0.26 0.2625
0.315
0.3
0.3125
所以，购买C品牌的顾客在未来第二个月购买A
品牌、B品牌的概率分别为0.42初始分布与绝对分布 ➢ 初始分布与绝对分布
• 定义 设马尔科夫链Zt , t∈T={0,1,2, ···} 的状态 空间为 S={1，2， ···，n }，则Z0的概率分布
➢ “无后效性”
• 定义 “无后效性”是指时间序列将来处于什么状 态只与它现在所处的状态有关，与它过去处于什么 状态无关。
马尔可夫预测方法
马尔科夫预测方法就是根据某些变量的现在 状态及其变化趋向，来预测它在未来某一特 定期间可能出现的状态，从而提供某种决策 的依据。 马尔科夫预测基本方法是用转移概率矩阵进 行预测和决策。
1A 2B
1A 0.4 0.3 2B 0.4 0.2 3C 0.5 0.25
2B
0.3
0.4
0.25
0.4 0.3 0.3 0.4 0.3 0.3
② 因为 P(2) P2 0.4 0.2
0.4
0.4
0.2
0.4
0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25
0.43
0.44
• 类型 随机过程可分为以下四类： ① 连续型随 机过程； ② 离散型随机过程；③ 连续型随机 序列；④ 离散型随机序列，离散型随机序列也 称时间序列。
6.1.2 马尔科夫链
➢ 马尔科夫链
• 定义 具有“无后效性”的时间序列 Z(t) ，t∈T称 为马尔科夫链。马尔科夫链的时间参数空间通常取 T={0，1，2，··· }， Z(t) 习惯上记为Zt , Zt的所有 可能取值构成的集合称为时间序列的状态空间，记 为S。通常设S是一个整数集合。
}步,则转称移由概一率步矩转阵移。概率pij构成的矩阵Pjn1 p为ij 一
• 性质 一步转移概率矩阵P具有如下两条性
质：⑴ pij≥0；⑵
n
pij 1
j 1
• 含义 一步转移概率矩阵P的第i 行元素描述
了t 时刻状态 i 向t+1 时刻系统内各状态转移
的可能性。
6.1.4 k步转移概率矩阵
➢ K步转移概率矩阵
• 定义 设 Zt , t∈T 是一平稳的马尔科夫链，状态 空间为 S={1，2， ···，n },称pij （k）=P{Zt+k= j｜ Zt = i} 为马尔科夫链的k步转移概率，由pij （k）， i=1,2, ···，n , j=1,2, ···，n 构成的矩阵P(k)为马尔 科夫链的k步转移概率矩阵。即
p10 P{Z0 1}, p20 P{Z0 2},
称为马尔科夫链Zt , t∈T的初始分布； Zt的概率 分布
p1t P{Zt 1}, p2t P{Zt 2},
称为马尔科夫链Zt , t∈T在t时刻的绝对分布。初始 分布和t时刻的绝对分布分别用行向量
p0 ( p10 , p20 ,, pn0 ) 和 pt ( p1t , p2t ,, pnt )
0.6 0.1 0.3
（1）若初始分布为（0.2，0.2，0.6），求t = 1 时的 绝对分布。 （2）初始分布为（0.5，0.25，0.25），求任意时 刻t 时的绝对分布。
解：（1） 因为
P11k
Pk
P21
k
PN1 k
P12 k P22 k
PN2 k
P1N k P2N k
PNN k
其中P(k)的第i 行元素描述的是在t 时刻Zt 处于i 状态的条件下，t+k 时刻Zt 处于各状
态的概率。 • 性质 设P是马尔科夫链的一步转移概率矩
阵， P(k)是马尔科夫链的K步转移概率矩 阵， 则
表示。并称概率分布构成的行向量为概率向量。 • 结论 马尔科夫链Zt , t∈T在t 时刻的绝对分布等
于初始分布与一步转移概率矩阵t次幂的乘积，即
pt p0Pt
其中P是一步转移概率矩阵。
• 举例 例6.8（133页）设马尔科夫链的一步转移概率矩阵 为
0.4 0.3 0.3 P 0.6 0.3 0.1
➢ 举例
• 例6.7（130页） 为了解顾客对A，B，C三种 不同品牌洗衣粉的购买倾向，市场调查小组进 行了购买倾向调查。在本月购买A，B，C品牌 的顾客中分别调查了100人，150人和120人， 了解他们在下月的购买倾向。调查结果用矩阵 表示如下：
1A 2B 2B
1A 40 30 30 2B 60 30 60 3C 60 30 30
其中，第一行表示在本月购买A品牌的100 人中有40人在下月仍打算购买A品 牌，而打 算转向购买B和C品牌的人都是30。第二行 ，第三行类同。要求: ① 写出状态转移概率矩阵； ② 求购买 C品牌的顾客在未来第二个月购 买A品牌和B品牌的概率。 解：① 题中所给的矩阵也称状态转移频数矩阵， 用频数矩阵的各行频数分别除以各行频数之 和，得状态转移概率矩阵如下：
6.1.3 一步转移概率矩阵
➢ 一步转移概率
• 定义 设 Zt , t∈T 是一马尔科夫链，其中T={0，1 ，2，··· }； S={1，2， ···，n },则称在Zt = i的条 件下， Zt+1 = j的条件概率P{Zt+1 = j｜ Zt = i}称为由 状态i到状态j的一步转移概率。
➢ 平稳的马尔科夫链
第六章 马 尔 科 夫 预 测 法
• 马尔科夫链及转移概率 • 转移概率矩阵的固定点 • 马尔科夫链在经济预测
等方面的应用 • 吸收态马尔科夫链及其应用
6.1 马尔科夫链及转移概率
6.1.1 随机过程 ➢ 随机过程
• 定义 如果对每个给定的时间 t∈T，Z(t) 都是一 随机变量，我们就称 Z(t), t∈T是一个随机过程
• 定义 如果马尔科夫链的一步转移概率P{Zt+1 = j｜ Zt = i}与时间t无关，则称马尔科夫链是平稳的。以 后我们提到的马尔科夫链都是平稳的马尔科夫链。 并记一步转移概率P{Zt+1 = j｜ Zt = i}=为pij
➢ 一步转移概率矩阵
• 定义 设 Zt , t∈T 是一平稳的马尔科夫链， 其中T={0，1，2，··· }； S={1，2， ···，n
0.425
0.255 0.26 0.2625
0.315
0.3
0.3125
所以，购买C品牌的顾客在未来第二个月购买A
品牌、B品牌的概率分别为0.42初始分布与绝对分布 ➢ 初始分布与绝对分布
• 定义 设马尔科夫链Zt , t∈T={0,1,2, ···} 的状态 空间为 S={1，2， ···，n }，则Z0的概率分布
➢ “无后效性”
• 定义 “无后效性”是指时间序列将来处于什么状 态只与它现在所处的状态有关，与它过去处于什么 状态无关。
马尔可夫预测方法
马尔科夫预测方法就是根据某些变量的现在 状态及其变化趋向，来预测它在未来某一特 定期间可能出现的状态，从而提供某种决策 的依据。 马尔科夫预测基本方法是用转移概率矩阵进 行预测和决策。
1A 2B
1A 0.4 0.3 2B 0.4 0.2 3C 0.5 0.25
2B
0.3
0.4
0.25
0.4 0.3 0.3 0.4 0.3 0.3
② 因为 P(2) P2 0.4 0.2
0.4
0.4
0.2
0.4
0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25
0.43
0.44
• 类型 随机过程可分为以下四类： ① 连续型随 机过程； ② 离散型随机过程；③ 连续型随机 序列；④ 离散型随机序列，离散型随机序列也 称时间序列。
6.1.2 马尔科夫链
➢ 马尔科夫链
• 定义 具有“无后效性”的时间序列 Z(t) ，t∈T称 为马尔科夫链。马尔科夫链的时间参数空间通常取 T={0，1，2，··· }， Z(t) 习惯上记为Zt , Zt的所有 可能取值构成的集合称为时间序列的状态空间，记 为S。通常设S是一个整数集合。
}步,则转称移由概一率步矩转阵移。概率pij构成的矩阵Pjn1 p为ij 一
• 性质 一步转移概率矩阵P具有如下两条性
质：⑴ pij≥0；⑵
n
pij 1
j 1
• 含义 一步转移概率矩阵P的第i 行元素描述
了t 时刻状态 i 向t+1 时刻系统内各状态转移
的可能性。
6.1.4 k步转移概率矩阵
➢ K步转移概率矩阵
• 定义 设 Zt , t∈T 是一平稳的马尔科夫链，状态 空间为 S={1，2， ···，n },称pij （k）=P{Zt+k= j｜ Zt = i} 为马尔科夫链的k步转移概率，由pij （k）， i=1,2, ···，n , j=1,2, ···，n 构成的矩阵P(k)为马尔 科夫链的k步转移概率矩阵。即
p10 P{Z0 1}, p20 P{Z0 2},
称为马尔科夫链Zt , t∈T的初始分布； Zt的概率 分布
p1t P{Zt 1}, p2t P{Zt 2},
称为马尔科夫链Zt , t∈T在t时刻的绝对分布。初始 分布和t时刻的绝对分布分别用行向量
p0 ( p10 , p20 ,, pn0 ) 和 pt ( p1t , p2t ,, pnt )
0.6 0.1 0.3
（1）若初始分布为（0.2，0.2，0.6），求t = 1 时的 绝对分布。 （2）初始分布为（0.5，0.25，0.25），求任意时 刻t 时的绝对分布。
解：（1） 因为
P11k
Pk
P21
k
PN1 k
P12 k P22 k
PN2 k
P1N k P2N k
PNN k
其中P(k)的第i 行元素描述的是在t 时刻Zt 处于i 状态的条件下，t+k 时刻Zt 处于各状
态的概率。 • 性质 设P是马尔科夫链的一步转移概率矩
阵， P(k)是马尔科夫链的K步转移概率矩 阵， 则
表示。并称概率分布构成的行向量为概率向量。 • 结论 马尔科夫链Zt , t∈T在t 时刻的绝对分布等
于初始分布与一步转移概率矩阵t次幂的乘积，即
pt p0Pt
其中P是一步转移概率矩阵。
• 举例 例6.8（133页）设马尔科夫链的一步转移概率矩阵 为
0.4 0.3 0.3 P 0.6 0.3 0.1