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1 w = ω C Dk
( 21)
( 22)
52ω 52ω + D , 2 5 x2 5 y2
( 23)
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922
吴 晖 俞 焕 然
D1ν 53ω 5ω 2 + Dk ( 24) ψ = + ・ 5y 5 x2 5 y C 由此 , w 和ψ均由单一位移函数ω表出 ・ 显然 , 对任意函数 ω, 由式 ( 23) 和 ( 24) 给出的 w 和ψ
将自动满足方程 ( 15) ・
引 言
夹层板已广泛用于航空航天和现代结构工程的许多领域・ 在过去的几十年里关于夹层结 构的研究受到了研究人员的广泛关注 ,一些相关的专著也已问世 [1～3 ] ・ 文献 [ 4 ～5 ] 用有限元 和有限条法研究了正交异性夹层板的弯曲和振动问题・ 然而 ,由于涉及的控制方程的复杂性 , 大多数现有的准确解主要是各向同性材料的夹层板壳・ 例如 ,文献 [ 3 ] 曾给出了包含两个未知 函数的各向同性夹层板的自由振动方程及四边简支矩形夹层板的精确解・ 本文给出了一种把 具有波纹型夹心的正交各向异性夹层板的控制方程组化为仅包含一个位移函数的单一方程的 简单方法 ,从而获得了在四边简支条件下其自由振动固有频率的精确解・ 同时还对两种具有 重要实际意义的特殊情况进行了讨论・
D1
( 25)
( 26) ( 27)
52ω 54ω = 0, 2 = 0, 5x 5 x4 52ω 当 y = 0 , b ;ω = 0 , 2 = 0・ 5y 需要指出的是 ,在 x = const 的边界上有 3 个边界条 件 , 而在 y = const 的边界上只有 2 个边界条件 ・ 当 x = 0 , a ;ω = 0 , 其原因是在 x = const 的边界上有 3 个广义位移 , 5w ψ 即 w, 和 , 而在 y = const 的边界上只有两个 5x 广义位移 , 即 w 和ψ ・ 另一方面 , 这也可从关于 ω 的控制方程看出 ; 即 ω 对 x 的最高阶导数为 6 阶 , 而对 y 的最高阶导数是 4 阶 ・ 显然 , 满足边界条 件 ( 28) 和 ( 29) 的控制方程 ( 25) 的解具有如下形 式 πx πy m n ω = A nvt sin sin sinΩt ,
Dk
可由 ω 表出 , 且控制方程组 ( 15) 和 ( 16) 将简化为仅含有位移函数 ω 的单一方程 ・
2 位移函数的导出
式 ( 15) 可以写成 L 1 其中 L 1 = 1 + L 2 = 1 令 w = L 2ω, 于是由式 ( 17) 可得
1
C D1ν 52 2 + Dk ・ C 5 x2 Dk ( 18) ( 19) ( 20)
2 运动方程
由于我们关心的只是夹层板的自由弯曲振动 ,故面内惯性力可忽略不计 ,由此可得运动方 程如下 : 5 M x 5 M xy ( 6) + - Qx = 0 , 5x 5y 5 M xy 5 M y ( 7) + - Qy = 0 , 5x 5y 5 Q x 5 Qy 52 w ( 8) + - ρ 2 = 0, 5x 5y 5t ρ 式中 ρ = h t f ,ρ h 为夹心厚度 , t 为表面厚度 ・ c + 2ρ c ,ρ f 分别表示夹心及表层的材料密度 ・
四边简支正交各向异性波纹型夹心矩形夹层板的固有频率
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在 C → ∞的极限情况下 , 上式即退化为单层正交各向异性板的固有频率 : π 4 1 m Ω2 = ρ D1 + 2 ( D1ν 2 + 2 Dk ) × a π 2 n π 2 π 4 m n + D2 ・
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四边简支正交各向异性波纹型夹心矩形夹层板的固有频率
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对于如图 1 所示的具有波纹夹心的夹层板 ,夹心在 xz 平面内的剪切刚度通常很大可近似 假定为无限大 [ 3 ] , 即假设 ψx = 5 w ・ C1 → ∞, 5x 在上述假定下并记 ψy = ψ, C2 = C , 刚内力与广义应变间的关系简化为如下方程 : M x = - D1
1
C
π m a
π n b
4
2
+ D2
+
π m a
2
2
D1 D k
π m a
ν + ( D1 D2 - D1ν 2 ( D1 2 + 2 Dk ) ) × π n b
4
π m a
π n b
2
+ D2 D k
・
( 31)
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( 9)
52 w ν 5ψ ( 10) + 2 5y , 5 x2 5ψ 52 w ( 11) M y = - D2 5 y + ν , 1 5 x2 52 w 5ψ ( 12) M xy = - Dk + , 5 x5 y 5 x 5w ψ ( 13) Qy = C , 5y 横向剪力 Qx 不能再由式 ( 4) 决定面须由运动方程组的第一式决定 , 即式 ( 6) , 于是我们有 53 w 53 w 52ψ ( ν ) ( 14) D D + D ・ k 2 1 k 5 x5 y 5 x3 5 x 5 y2 将式 ( 10) ～ ( 14) 代入运动方程组的最后两式 ,即式 ( 7) 和 ( 8) ,我们就得到了如下所示的具 Qx = - D1 有波纹夹心的夹层板的控制方程组 : 52ψ 52ψ ( ν 53 w 5w ψ ( 15) + C = 0, 2 + D2 2 + D2 1 + D k ) 2 5y 5x 5y 5x 5y 52 w 5ψ 54ψ 54 w 53ψ 52 w ν ( 16) D1 - C = - ρ 2・ 1 + Dk ) 2 4 + Dk 2 2 + ( D2 2 5y 5y 5x 5x 5y 5x 5y 5t 在上面的控制方程组中含有两个广义位移 w 和ψ ・ 我们将引进位移函数 ω使得 w 和ψ皆
应用数学和力学 ,第 22 卷 第 9 期 (2001 年 9 月)
Applied Mathematics and Mechanics
文章编号 :1000-0887 (2001) 09-0919-08
应用数学和力学编委会编 重 庆 出 版 社 出 版
四边简支正交各向异性波纹型夹心矩形 夹层板的固有频率
2) 假定夹心只提供横向剪切力 ,即在夹心中 σ x =σ y =τ xy = 0・ 3) 沿厚度方向无正应变・
Ξ
收稿日期 : 2000-04-04 ; 修订日期 : 2001-03-25 ) ,男 ,山西人 ,讲师 ,博士 作者简介 : 吴晖 (1969 — ) ,男 ,江苏人 ,教授 ,博导 . 俞焕然 (1938 —
5w = L 2ψ, 5y
( 17)
52 52 ・ 2 + D2 5x 5 y2
5 ( ω) 5ω L 2ψ = L 1 L = L2L1 , 5y 2 5y 由此我们有 5ω ψ = L 1 ・ 5y 将关于 L 1 和 L 2 的表达式代入 ( 20) 和 ( 22) , 可得
a b b
( 32)
下面我们将对两种在实际应用中较为重要的情形做进一步的讨论 ,然后再回到一般情形・
4 各向同性表层
对于由各向同性材料做成的表层 ,我们有
1 ν (1 - ν ) D, D1 = D2 = D , 1 =ν 2 = ν, D k = 2 式 ( 32) 可化为
Ξ
吴 晖, 俞焕然
( 兰州大学 力学系 ,兰州 730000)
( 王银邦推荐)
摘要 : 给出了一种把具有波纹型夹心的正交各向异性夹层板的控制方程组化为仅包含一个位移 函数的单一方程的简单方法 ,从而获得了在四边简支条件下其自由振动固有频率的精确解・ 同时 还对两种具有重要实际意义的特殊情况进行了讨论・ 关 键 词: 矩形夹层板 ; 波纹型 ; 正交各向异性 ; 固有频率 ; 位移函数 ; 精确解 中图分类号 : O34216 文献标识码 : A
1 基本方程
考虑一块由两层表层和波纹夹心所组成的正交各向异性板 ,如图 1 所示・ 坐标平面 xy 与 夹心中面一致 ・ 假定上下表层的材料性质和厚度相同 ・
Reissner 最早建立了具有极薄表层和软夹芯的各向同性夹层板理论 [6～7 ] ,正交各向异性夹
层板的理论首先是由 Libove 和 Batdorf [8 ] 提出的・ 其基本假定是 : 1) 由于表层很薄 ,故假定应力沿表层厚度是均匀分布的 ,即假定表层处于薄膜应力状态・
a b
图2 四边简支矩形波纹夹心板
( 28) 夹层板的固有频率 ・ 把式 ( 30) 代入方程 ( 25) ,我们得到 Ω2 = ρ 1 +
Dk m π C a
2
+
2
D2 n π C b
2
-1
× D1 π n b
4
π m a
4
+
2 ( D1ν 2 + 2 Dk )
3 固有频率
将式 ( 23) 和 ( 24) 代入方程 ( 16) ,我们就得到了关于 ω 的控制方程 54ω 54ω 54ω ( ν ) + 2 D + 2 D + D 1 2 k 2 5 x4 5 x 2 5 y2 5 y4 54ω 54ω 54ω 1 52 ν ν = 2 ( D1 2 + 2 Dk ) ] 4 + [ D1 D2 - D1 2 2 + D2 D k 2 D1 D k C 5x 5x 5x 5y 5 y4 52ω 52ω 52 1 Dk - ρ 2 ω ・ 2 + D2 C 5x 5 y2 5t 对于如图 2 所示的具有波纹夹心的四边简支矩形夹层板 ,其边界条件为 : 当 x = 0 , a ; w = 0 , M x = 0 ,ψ = 0 , 当 y = 0 , b ; w = 0 , M y = 0・ 利用式 ( 10) , ( 11) , ( 23) , ( 24) ,边界条件 ( 26) 和 ( 27) 便化为 :
