(浙江专用)高中数学第三章直线与方程3.23.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程学案新人教A版必修2

3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程目标定位 1.掌握直线方程的两点式的形式，了解其适用范围.2.了解直线方程截距式的形式，特征及其适用范围.3.能正确理解直线方程一般式的含义，会进行直线方程不同形式的转化.自 主 预 习1.两点确定一条直线.经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)且x 1≠x 2，y 1≠y 2的直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，叫做直线的两点式方程. 2.直线l 与x 轴交点A (a ，0)；与y 轴交点B (0，b )，其中a ≠0，b ≠0，则得直线方程x a ＋y b＝1，叫做直线的截距式方程.3.若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22y ＝y 1＋y 22. 4.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式.5.对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－C B；当B ＝0时，在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－C B.即 时 自 测1.判断题(1)经过任意两点的直线都可以用(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)来表示.(√) (2)不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示.(×)(3)一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程可以写成两点式或斜截式或点斜式.(√) (4)若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A ·B ≠0.(×)提示 (2)若直线垂直于坐标轴，此时a 或b 不存在，不能用x a ＋y b＝1表示.(4)方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件是A ，B 不同时为0，若A ＝0，B ≠0，或A ≠0，B ＝0时，方程也表示直线.2.过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为( ) A.y ＝x ＋3 B.y ＝－x ＋1 C.y ＝x ＋2D.y ＝－x －2解析 代入两点式得直线方程y －14－1＝x ＋21＋2，整理得y ＝x ＋3.答案 A3.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A.A ≠0 B.B ≠0 C.A ·B ≠0D.A 2＋B 2≠0解析 方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0. 答案 D4.直线3x －2y ＝4的截距式方程是________.解析 将3x －2y ＝4两边同除以4得，3x 4－y 2＝1，化成截距式方程为x 43＋y－2＝1.答案 x 43＋y－2＝1类型一 直线的两点式方程【例1】 已知A (－3，2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程.解 (1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)，∴由两点式得y －（－4）（－2）－（－4）＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0.故BC 边的方程为2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5). (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝5＋02＝52，y 0＝（－4）＋（－2）2＝－3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3， 又BC 边上的中线经过点A (－3，2).∴由两点式得y －2－3－2＝x －（－3）52－（－3），即10x ＋11y ＋8＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.规律方法 (1)首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式的要求，对含有字母的则需分类讨论；(2)注意问题叙述的异同，本题中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则表示的是直线.【训练1】 已知△ABC 三个顶点坐标A (2，－1)，B (2，2)，C (4，1)，求三角形三条边所在的直线方程.解 ∵A (2，－1)，B (2，2)，A 、B 两点横坐标相同， ∴直线AB 与x 轴垂直，故其方程为x ＝2.∵A (2，－1)，C (4，1)，由直线方程的两点式可得直线AC 的方程为y －1－1－1＝x －42－4，即x －y －3＝0.同理可由直线方程的两点式得直线BC 的方程为y －21－2＝x －24－2，即x ＋2y －6＝0.类型二 直线的截距式方程【例2】 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程. 解 设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b . ①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋y b＝1. ∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线的方程为x ＋y －1＝0. 若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，直线的方程为x －y －7＝0. ②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0.规律方法 (1)当直线与两坐标轴相交时，一般可考虑用截距式表示直线方程，用待定系数法求解.(2)选用截距式时一定要注意条件，直线不能过原点.【训练2】 求过定点P (2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程. 解 设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线为y ＝kx ，将P (2，3)代入得k ＝32，∴l ∶3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a ，把P (2，3)代入得a ＝5，∴l ：x ＋y ＝5.∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.类型三 直线的一般式与其他形式的转化(互动探究)【例3】 已知直线l 经过点A (－5，6)和点B (－4，8)，求直线l 的一般式方程和截距式方程，并画出图形. [思路探究]探究点一 两点式方程的适用条件是什么？两点的坐标满足什么条件？提示 两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，两点的坐标应满足x 1≠x 2且y 1≠y 2.探究点二 直线Ax ＋By ＋C ＝0能化为截距式的条件是什么？ 提示 当A ，B ，C ≠0时，直线Ax ＋By ＋C ＝0能化为截距式.解 因为直线l 经过点A (－5，6)，B (－4，8)，所以由两点式，得y －68－6＝x ＋5－4＋5，整理得2x －y ＋16＝0，化为截距式得x －8＋y16＝1，所以直线l 的一般式方程为2x －y ＋16＝0，截距式方程为x －8＋y16＝1.图形如图所示：规律方法 (1)一般式化为斜截式的步骤： ①移项得By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －C B. (2)一般式化为截距式的步骤： 方法一：①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ； ②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③化为截距式：x －C A ＋y－C B＝1.方法二：①令x ＝0求直线在y 轴上的截距b ； ②令y ＝0求直线在x 轴上的截距a ；③代入截距式方程x a ＋y b＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.【训练3】 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A.3x ＋4y ＋7＝0B.4x ＋3y ＋7＝0C.4x ＋3y －42＝0D.3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A. 3B.－5C.95D.－3 3解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项.又y ＝－43x ＋14过点(0，14)即直线过第一象限，所以只有B 项正确. (2)令y ＝0则x ＝－3 3. 答案 (1)B (2)D [课堂小结]1.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系. 2.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式方程的逆向应用.3.一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)的特殊情况1.经过P (4，0)，Q (0，－3)两点的直线方程是( ) A.x 4＋y 3＝1 B.x 3＋y 4＝1 C.x 4－y3＝1D.x 3－y4＝1 解析 因为由点坐标知直线在x 轴，y 轴上截距分别为4，－3，所以直线方程为x4＋y－3＝1. 答案 C2.已知ab ＜0，bc ＜0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限解析 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b ，∵ab ＜0，∴直线的斜率k ＝－a b＞0， ∵bc ＜0，∴直线在y 轴上的截距c b＜0. 由此可知直线通过第一、三、四象限. 答案 C3.直线mx ＋3y －5＝0经过连接点A (－1，－2)，B (3，4)的线段的中点，则m ＝________. 解析 线段AB 的中点坐标是(1，1)，代入直线方程得m ＋3－5＝0，所以m ＝2. 答案 24.求过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程. 解 ①若直线过原点，则k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a . ∴a ＝3＋(－4)＝－1，∴x ＋y ＋1＝0. 故直线方程为4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0.基 础 过 关1.一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A.可以写成两点式或截距式 B.可以写成两点式或斜截式或点斜式 C.可以写成点斜式或截距式D.可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式解析 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式.由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式.故选B. 答案 B2.直线x a ＋yb＝1过第一、二、三象限，则( ) A.a ＞0，b ＞0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0D.a ＜0，b ＜0解析 因为直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，且经过第一、二、三象限，故a ＜0，b ＞0. 答案 C3.在直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是( ) A.30° B.60° C.150°D.120°解析 直线斜率k ＝－33，所以倾斜角为150°，故选C. 答案 C4.已知A (3，0)，B (0，4)，动点P (x 0，y 0)在线段AB 上移动，则4x 0＋3y 0的值等于________. 解析 AB 所在直线方程为x 3＋y 4＝1，则x 03＋y 04＝1，即4x 0＋3y 0＝12.答案 125.已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________.解析 把(3，0)代入已知方程得：(a ＋2)×3－2a ＝0，∴a ＝－6. ∴直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0，令x ＝0，得y ＝－415.答案 －4156.求过点P (－2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的条数.解 设过点P (－2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k ，则有直线的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，它与坐标轴的交点分别为M (0，2k ＋3)、N ⎝⎛⎭⎪⎫－2－3k ，0.再由12＝12|OM |·|ON |＝12|2k ＋3|×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－3k ，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k ＋9k ＋12＝24，即4k ＋9k ＋12＝24，或4k ＋9k ＋12＝－24.解得k ＝32或k ＝－9－622或k ＝－9＋622，故满足条件的直线有3条.7.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率为3，且经过点A (5，3)； (2)过点B (－3，0)，且垂直于x 轴； (3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； (5)经过C (－1，5)，D (2，－1)两点； (6)在x 轴，y 轴上截距分别是－3，－1. 解 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 即3x －y ＋3－53＝0. (2)x ＝－3，即x ＋3＝0. (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0. (4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －（－1）2－（－1），即2x ＋y －3＝0.(6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0.能 力 提 升8.已知△ABC 三顶点坐标A (1，2)，B (3，6)，C (5，2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( ) A.2x ＋y －8＝0 B.2x －y ＋8＝0 C.2x ＋y －12＝0D.2x －y －12＝0解析 由中点坐标公式可得M (2，4)，N (3，2)，再由两点式可得直线MN 的方程为y －42－4＝x －23－2，即2x ＋y －8＝0. 答案 A9.直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )解析 将l 1与l 2的方程化为斜截式得：y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C. 答案 C10.已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2，3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________.解析 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求. 答案 2x ＋3y ＋4＝011.设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别求m 的值. (1)在x 轴上的截距为1； (2)斜率为1；(3)经过定点P (－1，－1). 解 (1)∵直线过点P ′(1，0)， ∴m 2－2m －3＝2m －6.解得m ＝3或m ＝1. 当m ＝3时不合题意，故m ＝1.(2)由斜率为1，得⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝43.(3)直线过定点P (－1，－1)，则－(m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6， 解得m ＝53或m ＝－2.探 究 创 新12.已知直线l ：y ＝－12x ＋1，试求：(1)点P (－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程；(3)直线l 关于点A (1，1)对称的直线方程.解 (1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点M 在直线l 上，且PP ′⊥l .∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋1x 0＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y 0－12＝－12·x 0－22＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝25，y 0＝195，即P ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，195. (2)法一 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋1，x －y －2＝0，得l 与l 1的交点A (2，0)，在l 1上任取一点B (0，－2)，设B 关于l 的对称点B ′为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋2x 0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y 0－22＝－12·x 02＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－2＝0，x 0＋2y 0－8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝125，y 0＝145，即B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫125，145，∴l 2的斜率为k AB ′＝145125－2＝7. ∴l 2的方程为y ＝7(x －2)，即7x －y －14＝0.法二 直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 2上任一点P 1(x ，y )关于l 的对称点P 1′(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立.由⎩⎪⎨⎪⎧y －y ′x －x ′×（－12）＝－1，y ＋y ′2＝－12·x ＋x ′2＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －4y ＋45，y ′＝－4x －3y ＋85.把(x ′，y ′)代入方程y ＝x －2并整理，得：7x －y －14＝0， 即直线l 2的方程为7x －y －14＝0.(3)设直线l 关于点A (1，1)的对称直线为l ′，直线l 上任一点P 2(x 1，y 1)关于点A 的对称点P 2′(x ，y )一定在直线l ′上，反之也成立.11 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝2－y . 将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得：x ＋2y －4＝0， ∴直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.。