高宏(8)11月6日 高级宏观(1)2007年版张延

•通知•高宏期中考试时间：11月24日•晚上6:30 —8:30，在1教101。

•第二次习题课课件放在：院网站•讲义下载/硕博/高级宏观(1)2007年版2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有2•三、家庭的约束条件•1、家庭的收入和支出2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有3•2、用有效劳动数量（经济中的最小单位）对有关变量进行正规化。

•如索洛模型一样，为方便起见，我们用有效劳动数量对有关变量进行正规化。

为此，我们需要用每单位有效劳动的平均消费和平均劳动收入来表示该预算约束。

2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有4•设c(t)为每单位有效劳动的平均消费，家庭在t期的总消费：•C(t)／A(t) = c(t) ─→C(t) = A(t)c(t)•K(0)／[A(0)L(0)] = k(0)•─→K(0) = k(0)A(0)L(0)2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有5•这样，我们可将(2.5)改写为：•C(t)K(0)•╭╯╰╮╭─╯╰─╮•∫∞[e-R(t)c(t)A(t)L(t)／H] dt≤k(0)A(0)L(0)／H t=0•+ ∫t=0∞[ e-R(t)A(t)w(t)L(t)／H] dt(2.6)2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有6•A(t)L(t)= A(0)e gt L(0)e nt•= A(0)L(0)e(n+g)t 代入(2.6)：∞[ e -R(t)c(t)A(0)L(0)e(n+g)t／H ] dt •∫t=0•≤k(0)A(0)L(0)／H +•∫t=0∞[ e -(t)A(0)L(0)e(n+g)t w(t)／H ] dt2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有7•两边同除以A(0)L(0)／H ，得到：•∫t=0∞e-R(t) c(t) e(n+g)t dt•≤k(0) + ∫t=0∞e-R(t) w(t) e(n+g)t dt(2.7)•在许多情况下，难以求出(2.7)中的积分。

幸运的是，我们可以依据家庭资本持有量的极限行为来表示该预算约束；即使(2.7)中的积分无法计算，通常也可以描述经济的极限行为。

2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有8•下面就以这种方式重写该预算约束。

首先将(2.6)中所有项移到同一边，并将两个积分结合起来可得：•k(0) + ∫t=0∞e-R(t)[ w(t)-c(t)]e( n + g )t dt≥0•∵A(t)L(t)／[A(0)L(0)] = e ( n+g) t•∴k(0) +∫∞e-R(t)[ w(t)-c(t)] A(t)L(t)／[A(0)L(0)] dt≥0 t=02007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有9•两边同乘以A(0)L(0)＞0 ，得到：k(0)A(0)L(0) +∫t=0∞e-R(t)[ w(t)-c(t)]A(t)L(t) dt≥0•初始财富一生储蓄的贴现值•╭╯╰╮╭──────╯╰─────╮•K(0)／H+ ∫t=0∞e-R(t)[w(t)-c(t)]A(t)L(t)／H dt≥0 •(2.8) 2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有10•我们可把从t = 0 到t =∞的积分写为一个极限。

这样(2.8)等价于：•lim{ K(0)／H +s→∞s e -R(t)[w(t) -c(t)]A(t)L(t)／H dt} ≥0•∫t=0•(2.9)2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有11•现在注意s 期家庭的资本持有量为：K(s)／H, K(s)为s期全社会的资本量.•现在(0期) 未来(s期)• 1 e R(s) —s期本利和2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有120未来某一时期的效用s未来+∞u(Ct)t 现在2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有13•K(s)／H = e R(s)[( 2.9 )] =e R(s)K(0)／H+∫t=0s e R(s) -R(t)[w(t)-c(t)]A(t)L(t)／H dt •╰─╮╭─╯╰╮╭╯╰───╮╭───╯•初始财富对其储蓄的价值t 期的储蓄(它可能为负)•s期财富的贡献从t 期到s 期•如何变化(2.10) 2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有14•为理解(2．10)，注意e R(s)K(0)／H为家庭持有的初始财富对其s期财富的贡献。

家庭在t 期的储蓄为[w(t)-c(t)]A(t)L(t)／H(它可能为负)；e R(s)-R(t)表明该储蓄的价值从t期到s期如何变化。

•( 2.9 )= e -R(s) K(s)／H= e -R(s)×[(2.10)] ≥0 2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有15•这样，我们可以把预算约束的贴现值简写为•( 2.9 ) = lime -R(s) K(s)／H≥0 (2.11)s→∞•以这种形式表示之后，该预算约束表明，家庭一生资产持有量的贴现值的极限不能为负。

2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有16•K(s) = k(s)A(s)L(s)•= k(s)A(0)e gs L(0)e ns= k(s)A(0)L(0)e (n+g)s •K(s) 全社会资本量；•k(s) 每单位有效劳动的平均资本量•K(s)／[ k(s)e(n+g)s] = A(0)L(0)——常数2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有17•由于K(s)与k(s)e(n+g)s成比例，我们也可把(2.11)写为：•lime -R(s) k(s) e(n+g)s≥0 (2.12)s→∞•——非庞茨博弈条件•( No -Ponzi-game condition)2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有18•非庞茨博弈条件的经济含义：•( No -Ponzi-game condition)•家庭一生资产持有量贴现值的极限不能为负。

2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有19•四、家庭的最大化问题•1、家庭最大化问题的一阶条件•家庭的问题是，在预算约束条件下选择c(t)的路径以最大化一生效用。

尽管这涉及选择每一时点上的c(而非像标准的最大化问题那样，仅选择有限的一组变量)，传统的最大化方法仍可使用。

2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有20•由于消费的边际效用总为正，所以家庭满足其预算约束的等号形式。

因此，我们可用目标函数(2.14)和预算约束(2.7)来构造拉格朗日函数：•目标函数：∞[ e -βt c(t)1-θ／(1-θ) ] dt(2.14) •U ≡B∫t=02007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有212007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有22•约束条件：•∫t =0∞e -R(t ) c(t ) e (n+g)t dt •≤k(0) + ∫t =0∞e -R(t ) w(t ) e (n+g)t dt (2.7)•L =B ∫t =0∞[e -βt c(t ) 1-θ／(1-θ)]dt +λ[ k(0) +•∫t =0∞e -R(t ) e (n+g)t w(t)dt -∫t =0∞e -R(t ) e (n+g)t c(t)dt ]•(2.15)•c(t)：选择变量，政策可控制。

如何选择，以最大化一生的效用。

•k(t)：状态变量。

•t ：时间变量。

2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有23•即以某一时期t为例，写出某一时期t的拉格朗日函数：•L =B e -βt c(t)1-θ／(1-θ) +•λ[ k(0) +e -R(t)e(n+g)t w(t) -e -R(t)e(n+g)t c(t) ]•存在极值的一阶条件为：•∂L ／∂c= B e -βt c(t)-θ-λe -R(t)e(n + g)t= 0 2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有24•传统的最大化问题是求一个确定的点值•现在的最大化问题是求一条道路，无数点的集合。

家庭选择每一时点上的c ；也就是说，它选择无限多个c(t)。

对单个c(t)的一阶条件是：•B e -βt c(t)-θ= λe -R(t)e(n+g)t(2.16) 2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有25•家庭的行为特征由(2.16)和预算约束(2.7)描述。

•要考虑(2.16)在消费行为方面的含义，首先对两边取对数：•ln B -βt –θln c(t) =lnλ-R(t) + (n + g)t •(2.17) 2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有26•现在注意，由于对于每一t(2.17)两边都相等，因此两边对t的导数也应相等。

两边对t 求导后，有•-β–θc˙(t)／c(t)•=-dR(t)／dt+ (n+g)•=-r(t) + (n+g) (2.18)2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有27•其中我们用了R(t)的定义，以求得dR(t)／dtt r(τ) dτ•R(t) = ∫τ=0•定式：如果g(x) =∫f(x)dx，•则g′(x) =f(x)2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有28•从(2.18)中求c˙(t)／c(t)，得到：•c˙(t)／c(t)•=[ r(t) –n –g –β]／θ(2.19)•={ r(t) -n –g –[ρ-n -( 1 -θ)g] }／θ•= [ r(t) -ρ–θg] ／θ2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有29•其中第二行用到了β的定义：•β≡ρ-n -( 1 -θ)g•这一步不大正规；问题在于(2.16)中各项在(2.15)中的阶为dt；也就是说，它们对该拉格朗日函数的影响为无穷小。

除了简单地“去掉”dt这种方法(我们在(2.16)中用的就是这种方法)之外，比较正规地探讨这一问题的方法有多种。

2007-11-6 高宏（8）《高宏》讲义，张延著。

版权所有30•比如，我们可以认为家庭在[ 0，Δt]、[ Δt，2Δt ]、[ 2Δt，3Δt ]……这一系列有限区间内选择消费，且要求在每一区间内消费不变，然后求Δt趋于0时的极限，这也可得(2.16)。

另一种方法是应用变分法(见70页注)。