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高考数学重要章节串讲及经典试题

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高考指引串讲（试题有答案）第一套：高考解题三引第二套：解三角形第三套：直线平面简单几何体第四套：直线圆圆锥曲线第五套：应用问题高考数学串讲（六） 高考解题三引在高考解题时,若能恰到好处地引入一些有力的工具,会对解题带来很大的帮助.下面 我们来探讨一下几种常用解题工具的引入. 一,引入函数函数是联系运动与静止,变化与定值的有力工具.解题时,若能恰到好处地引入她,会对 我们的解题工作带来很大的帮助.问题1,(2005全国Ⅲ)若ln 22a =,ln 33b =,ln 55c =,则 A.a b c << B.c b a << C.c a b << D.b a c <<问题2,若实数,,,a b c d 满足1a b <≤;1c d <≤.求证:c d a b +≥d c a b +.问题3,(2005华师附中测试题)已知函数()ln f x x =,()g x x =. (Ⅰ)若1x >,求证:1()2()1x f x g x ->+. (Ⅱ)是否存在实数k ,使方程221()(1)2g x f x k -+=有四个不同的实根?若若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由.解答:问题1,解析:由题之模型,我们引入函数ln ()(0)x f x x x=>,可得'21ln ()xf x x-=. 有(1)当0x e <<时,'()0f x >,()f x 为增函数;(2)当e x <时,'()0f x <,()f x 为减函数.于是得c b <,删除A,D 又8lnln 2ln 33ln 22ln 3902366a b --=-==<,知a b <,于是选C.问题2,分析:将所证的不等式作差变形得1d c dca b b a +-≤,由1c d <≤, 我们设(1,0)d c x c x =+>≥,这样引入了函数()c x c c xca b b f x a+++-=,现考虑它的单调性即可.解:由1a b <≤;1c d <≤.设(1,0)d c x c x =+>≥,引入函数()c x c c x c a b b f x a +++-=,可得'(ln ln )()x c x c cc a a b b f x a++-=. 而1a b <≤,得0x c x c a b ++<≤,0ln ln a b <≤,得'()f x ≤0.(在a b =时取等号) 所以()f x 在[0,)+∞上为减函数,得()(0)f x f ≤=1,即1x c c x c ca b b a+++-≤,于是得c d d ca b a b +≥+. 问题3,解:(Ⅰ)令12(1)()()2()ln 11x x F x f x g x x x --=-=-++. 则'12(1)2(1)()1x x F x x x +--=-+=22(1)(1)x x x -+ 由1x >,得'()0F x >,知()F x 在(1,)+∞上为增函数. 又()F x 在1x =处连续,得()F x 在[1,)+∞上为增函数, 而1x >,得()(1)F x F >=0,即1()2()1x f x g x ->+. (Ⅱ)由原方程得221ln(1)2x x k -+= ①,令2t x =,并变形得1ln(1)2t k t -=+ ② 要方程①有四个不同实根,则要方程②有两个不同正根.ABCa令112y t k =-,2ln(1)y t =+它们的图象如右图所示 当两曲线在点t =0t 处相切时,由'211y t=+,得1121t =+,于是01t =,得切点为(1,ln 2),这时 切线方程为11ln 2(1)2y t -=-,即111(ln 2)22y t =+-, 与y 轴的交点为1(0,(ln 22-,要两曲线在y 轴右边有两个不同交点,则10ln 22k <-<-,即1ln 202k -<<.所以当1ln 202k -<<时,原方程有四个不同的实根.评注:本题在解答过程中,3处引入了函数,从而为问题的解决带来了方便.二,引入直角坐标系直角坐标系实现了数与形之间的真沟通.引入她,可使我们的解题工作左右逢源.问题4.(2005山东)设,x y 满足约束条件532120304x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩,则使得目标函数65z x y =+的值最大的点(,x y )是 .问题5.(2004湖北)如图,在Rt ABC ∆中,已知BC a =.若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点,问PQ 与BC 的夹角θ取何值时BP CQ ⋅的值最大?并求出这个最大值.BxCy AQPABCEA 1B 1C 1问题6.(2005天津)某人在山坡P 处观看对面山崖顶上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80 (米),塔所在的山高OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山坡可视为直线l ,且点P 在直 线l 上,l 与水平地面的夹角为α,1tan 2α=.试问,此人距水平地面多远时,观看塔的视角 BPC ∠最大(不计此人的身高)?问题7,(05重庆) 如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1，已知AB=2，BB 1=2，BC=1，∠BCC 1=3π，求： （Ⅰ）异面直线AB 与EB 1的距离；（Ⅱ）二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值.解答;问题4,(2,3) 引入平面直角坐,解决线性规划问题. 问题5,解:如图,建立平面直角坐标系,设AB c =,AC b =,则A (0,0),B (,0)c ,(0,)C b .且2PQ a =, BC a =. 设点(,)P x y ,则(,)Q x y --.由(,),(,)BP x c y CQ x y b =-=---,(,)BC c b =-,(2,2)PQ x y =--.得()()()BP CQ x c x y y b ⋅=--+--=22()x y cx by -++-.又2cos PQ BC cx by aPQ BCθ⋅-==⋅,得2cos cx by a θ-=.于是22cos BP CQ a a θ⋅=-+. 故当cos 1θ=,即cos 0θ=(PQ 与BC 同向)时,BP CQ ⋅最大,其最大值为0. 问题6,解:如图所示,建立平面直角坐标系,则A(200,0) B(0,220),C(0,300).直线l 的方程为tan (200)y x α=-,即1(200)2y x =-.设点(,)P x y ,则1(,(200))2P x x -(200)x >.由经过两点的直线的斜率公式得1(200)30080022PC x x k x x---==, 1(200)20064022PB x x k x x---==.又由直线PC 到直线PB 的角的公式得 2160642tan 8006401280160640122PB PC PB PC k k x x BPC x x k k x x x x-∠===--+⋅-+⨯+⋅ =64(200)160640288x x x>⨯+-.要使tan BPC ∠达到最大,只须160640288x x⨯+-达到最小.由均值不等式得160640288288x x⨯+-≥.当且仅当160640x x⨯=时,上式取得等号,故当320x =时,tan BPC ∠最大.这时,点P 的纵坐标y 为320200602y -==.由此实际问题知,02BPC π<∠<,所以tan BPC ∠最大时,BPC ∠最大.故当此人距水平地面60米高时,观看铁塔的视角BPC ∠最大.问题7,解:（I ）以B 为原点,1BB 、BA 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系. 由于BC=1，BB 1=2，AB=2，∠BCC 1=3π， 在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有B （0，0，0），A （0，0，2），B 1（0，2，0），)0,23,23(),0,21,23(1C C -设即得由,0,),0,,23(11=⋅⊥EB EA EB EA a E )0,2,23()2,,23(0a a --⋅--=,432)2(432+-=-+=a a a a .,04343)02323()0,21,23()0,21,23(),(2321,0)23)(21(11EB BE EB BE E a a a a ⊥=+-=⋅⋅-⋅=⋅===--即故舍去或即得又AB ⊥面BCC 1B 1，故AB ⊥BE. 因此BE 是异面直线AB 、EB 1的公垂线， 则14143||=+=，故异面直线AB 、EB 1的距离为1. （II ）由已知有,,1111EB A B EB ⊥⊥故二面角A —EB 1—A 1的平面角θ的大小为向量A B 与11的夹角.111(0,0,2),(2B A BA EA ===--因 11112cos ||||3EA B A EA B A θ⋅==故tan 2θ=即 三,引入向量向量既有方向,又有大小.她是研究现代数学的有力工具.在解高考题时,我们若能引入她,可使解题工作妙不可言.问题8, 若异面直线,a b 所成的角为060,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线,a b 上到A,B 距离为2和1的两点,当3EF =时,线段AB 的长为 .问题9, 已知,a b 都是正数,,x y R ∈且1a b +=,1ax by +=,则函数22(,)f x y ax by =+的最小值是 .ABCDEFA 1B 1C 1D 1 abA BE F21问题10,(04广东)如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, 已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段 AB 、BC 上的点，且EB= FB=1. (I) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (II) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值. 解答问题8,解:如图, 由EF EA AB BF =++,得22222cos EF EA AB BF EA BF θ=+++⋅⋅(1)当060θ=时,有219412212AB =+++⋅⋅⋅,得2AB =(2)当0120θ=时,有219412212AB =++-⋅⋅⋅,得6AB =问题9,由已知,我们作向量12(,),,)z ax z a b ==,则1z =21z ==,121z z ax by ⋅=+=.又222222121212cos z z z z z z θ⋅=⋅⋅≤⋅,得222()()()ax by ax by a b +≤+⋅+.即22(,)1f x y ax by =+≥,于是所求的最小值为1.问题10,解: （I ）以A 为原点，1,,AA 分别为x 轴, y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系,则有D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1(4,3,2) 于是,)2,2,4(),2,3,1(),0,3,3(11-==-=FD EC DE 设向量),,(z y x =与平面C 1DE 垂直，则有22tan 36400411220101||||cos ,)2,0,0(,),2,1,1(0),2,1,1(2),2,2(21023033101011011001=∴=++⨯++⨯+⨯-⨯-=⨯=--∴=--=>--=--=∴-==⇒⎭⎬⎫=++=-⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥θθθAA n C DE C AA n CDE AA DE C n n z zz z z z y x z y x y x EC n DE n 的平面角为二面角所成的角与垂直与平面向量垂直的向量是一个与平面则取其中（II ）设EC 1与FD 1所成角为β，则142122)4(2312223)4(1||||cos 2222221111=++-⨯++⨯+⨯+-⨯=⨯=FD EC β.BCabcA高考数学串讲（五） 解三角形一，基础知识1，三角形中的常用公式如图，ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =，外接圆 半径为R ，内切圆半径为r ，半周长为2a b cp ++=。

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高考数学重点知识点串讲及练习 (39)

高考数学重点知识点串讲及练习 (39)

[基础题组练]1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( )A ．±1B ．±12C. 2D ．± 2解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x ＋m 消去y 并整理，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2m 2－23.由题意，得2（x 1＋x 2）2－8x 1x 2＝423，解得m ＝±1.2．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.43B.53C.54D.103解析：选B.由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43，所以S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪－2－43＝53，故选B. 3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1.两式相减，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0.因为线段AB 的中点坐标为(1，－1)，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2.将其代入上式，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2.因为直线AB 的斜率为0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12，所以a 2＝2b 2.因为右焦点为F (3，0)，所以a 2－b 2＝c 2＝9，解得a 2＝18，b 2＝9.所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.故选D.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线y ＝x ＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为55，则椭圆C 的方程为( ) A.4x 225＋y 25＝1 B.x 25＋y 24＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 225＋y 220＝1 解析：选B.将直线方程y ＝x ＋3代入C 的方程并整理得(a 2＋b 2)x 2＋6a 2x ＋9a 2－a 2b 2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝(6a 2)2－4(a 2＋b 2)(9a 2－a 2b 2)＝0，化简得a 2＋b 2＝9.又由椭圆的离心率为55，所以c a ＝a 2－b 2a ＝55，则b 2a 2＝45，解得a 2＝5，b 2＝4，所以椭圆方程为x 25＋y 24＝1.5．已知点M ⎝⎛⎭⎫22，233在椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，且点M 到两焦点的距离之和为4 3.(1)求椭圆G 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△P AB 的面积．解：(1)因为2a ＝43，所以a ＝2 3. 又点M ⎝⎛⎭⎫22，233在椭圆G 上，所以23＋43b 2＝1，解得b 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 的中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4.因为AB 是等腰三角形P AB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0，解得x 1＝－3，x 2＝0， 所以|AB |＝1＋12|x 1－x 2|＝3 2.此时，点P (－3，2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.6．已知椭圆x 22＋y 2＝1，(1)过A (2，1)的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程； (2)求过点P ⎝⎛⎭⎫12，12且被P 点平分的弦所在直线的方程． 解：(1)设弦的端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，其中点是M (x ，y )．⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1，①x222＋y 22＝1，②①－②得y 2－y 1x 2－x 1＝－x 2＋x 12（y 2＋y 1）＝－x2y ，所以－x 2y ＝y －1x －2，化简得x 2－2x ＋2y 2－2y ＝0(包含在椭圆x 22＋y 2＝1内部的部分)．(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k ＝－x 2y ＝－12，因此所求直线方程是y －12＝－12⎝⎛⎭⎫x －12，化简得2x ＋4y －3＝0.[综合题组练]1．已知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析：设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，① 将y 2＝b 2－b 2a2x 2代入①式解得x 2＝（2c 2－b 2）a 2c 2＝（3c 2－a 2）a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，所以2c 2≤a 2≤3c 2， 所以e ＝c a ∈⎣⎡⎦⎤33，22.答案：⎣⎡⎤33，22 2．(综合型)设直线l ：2x ＋y ＋2＝0关于原点对称的直线为l ′，若l ′与椭圆x 2＋y 24＝1的交点为A ，B ，点P 为椭圆上的动点，则使△P AB 的面积为12的点P 的个数为________．解析：直线l ′的方程为2x ＋y －2＝0，所以交点分别为椭圆顶点(1，0)和(0，2)，则|AB |＝5，由△P AB 的面积为12，得点P 到直线AB 的距离为55，而平面上到直线2x ＋y －2＝0的距离为55的点都在直线2x ＋y －1＝0和2x ＋y －3＝0上，而直线2x ＋y －1＝0与椭圆相交，2x ＋y －3＝0与椭圆相离，所以满足题意的点P 有2个．答案：23．(2019·洛阳市第一次统考)已知短轴的长为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线n 的横、纵截距分别为a ，－1，且原点O 到直线n 的距离为32. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 经过椭圆E 的右焦点F 且与椭圆E 交于A ，B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足OA →＋3OB →－2OC →＝0，求直线l 的方程．解：(1)因为椭圆E 的短轴的长为2，故b ＝1. 依题意设直线n 的方程为xa－y ＝1，由11a2＋1＝32，解得a ＝3，故椭圆E 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， 当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意．当直线l 的斜率不为0或直线l 的斜率不存在时，F (2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，x ＝ty ＋2，得(t 2＋3)y 2＋22ty －1＝0， 所以y 1＋y 2＝－22t t 2＋3，y 1y 2＝－1t 2＋3，①因为OA →＋3OB →－2OC →＝0，所以x 3＝12x 1＋32x 2，y 3＝12y 1＋32y 2，又点C 在椭圆E 上，所以x 233＋y 23＝13⎝⎛⎭⎫12x 1＋32x 22＋⎝⎛⎭⎫12y 1＋32y 22＝14⎝⎛⎭⎫x 213＋y 21＋34⎝⎛⎭⎫x 223＋y 22＋32⎝⎛⎭⎫13x 1x 2＋y 1y 2＝1，又x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1，所以13x 1x 2＋y 1y 2＝0，② 将x 1＝ty 1＋2，x 2＝ty 2＋2及①代入②得t 2＝1，即t ＝1或t ＝－1. 故直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x －y －2＝0.4．(2019·辽宁鞍山一中模拟)已知过点A (0，1)的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆C 上的任意一点，且3|BF 1|，|F 1F 2|，3|BF 2|成等差数列．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l ：y ＝k (x ＋2)交椭圆C 于P ，Q 两点，若点A 始终在以PQ 为直径的圆外，求实数k 的取值范围．解：(1)因为3|BF 1|，|F 1F 2|，3|BF 2|成等差数列，所以2|F 1F 2|＝3|BF 1|＋3|BF 2|＝ 3(|BF 1|＋|BF 2|)，由椭圆定义得2×2c ＝3×2a ，所以c ＝32a .又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点A (0，1)，所以b ＝1，所以c 2＝a 2－b 2＝a 2－1＝34a 2，得a ＝2，c ＝ 3.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 2＝1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋16k 2x＋16k 2－4＝0.因为直线l ：y ＝k (x ＋2)恒过点(－2，0)，且此点为椭圆C 的左顶点，所以不妨设x 1＝ －2，y 1＝0.由一元二次方程根与系数的关系可得，x 1＋x 2＝－16k 21＋4k 2， 所以x 2＝2－8k 21＋4k 2，又y 1＋y 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)＝k (x 1＋x 2)＋4k ， 所以y 2＝4k1＋4k2. 由点A 在以PQ 为直径的圆外，得∠P AQ 为锐角，即AP →·AQ →>0， 因为AP →＝(－2，－1)， AQ →＝(x 2，y 2－1)，所以AP →·AQ →＝－2x 2－y 2＋1>0，即4－16k 21＋4k 2＋4k 1＋4k2－1<0，整理得，20k 2－4k －3>0，解得k <－310或k >12.所以实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－310∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.。

高考数学重点知识点串讲及练习 (23)

高考数学重点知识点串讲及练习 (23)

[基础题组练]1．已知异面直线a ，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝c ，那么直线c 一定( ) A ．与a ，b 都相交B ．只能与a ，b 中的一条相交C ．至少与a ，b 中的一条相交D ．与a ，b 都平行解析：选C.若c 与a ，b 都不相交，则c 与a ，b 都平行，根据公理4，知a ∥b ，与a ，b 异面矛盾．2．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( ) A ．空间四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形解析：选B.如图所示，易证四边形EFGH 为平行四边形． 因为E ，F 分别为AB ，BC 的中点， 所以EF ∥AC . 又FG ∥BD ，所以∠EFG 或其补角为AC 与BD 所成的角． 而AC 与BD 所成的角为90°，所以∠EFG ＝90°，故四边形EFGH 为矩形．3．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A.若直线a ，b 相交，设交点为P ，则P ∈a ，P ∈b .又a ⊂α，b ⊂β，所以P ∈α，P ∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a ，b 可能相交，也可能异面或平行．故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．4．(2019·广州市高中综合测试(一))在四面体ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，则异面直线EF 与AB 所成角的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选B.取BD 的中点O ，连接OE ，OF ，因为E ，F 分别为AD ，BC 的中点，AB＝CD ，所以EO ∥AB ，OF ∥CD ，且EO ＝OF ＝12CD ，又AB ⊥CD ，所以EO ⊥OF ，∠OEF 为异面直线EF 与AB 所成的角，由△EOF 为等腰直角三角形，可得∠OEF ＝π4，故选B.5．已知棱长为a 的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是________________________________________________________．解析：如图，由题意可知MN ∥AC .又因为AC ∥A ′C ′， 所以MN ∥A ′C ′.答案：平行6．给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α内的一条直线a 与平面β内的一条直线b 相交，则α与β相交； ③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面； ④若三条直线两两相交，则这三条直线共面． 其中真命题的序号是________．解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点．②正确，a ，b 有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面．④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内．答案：①②③7.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．证明：如图，连接BD ，B 1D 1， 则BD ∩AC ＝O ， 因为BB 1綊DD 1，所以四边形BB 1D 1D 为平行四边形， 又H ∈B 1D ， B 1D ⊂平面BB 1D 1D ， 则H ∈平面BB 1D 1D ，因为平面ACD 1∩平面BB 1D 1D ＝OD 1，所以H ∈OD 1.即D 1、H 、O 三点共线． 8．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， (1)求AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．解：(1)如图，连接B 1C ，AB 1，由ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角．因为AB 1＝AC ＝B 1C ， 所以∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)连接BD ，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1. 因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点， 所以EF ∥BD ，所以EF ⊥AC . 所以EF ⊥A 1C 1.即A 1C 1与EF 所成的角为90°.[综合题组练]1．如图所示，平面α∩平面β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是( )A ．直线ACB ．直线ABC ．直线CDD ．直线BC解析：选C.由题意知，D ∈l ，l ⊂β，所以D ∈β， 又因为D ∈AB ，所以D ∈平面ABC ， 所以点D 在平面ABC 与平面β的交线上． 又因为C ∈平面ABC ，C ∈β，所以点C 在平面β与平面ABC 的交线上， 所以平面ABC ∩平面β＝CD .2．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，|AB |＝2|BB 1|，则AB 1与BC 1所成角的大小为( ) A.π6B.π3C.5π12D.π2解析：选D.将正三棱柱ABC -A 1B 1C 1补为四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1，连接C 1D ，BD ，则C 1D ∥B 1A ，∠BC 1D 为所求角或其补角．设|BB 1|＝2，则|BC |＝|CD |＝2，∠BCD ＝120°，|BD |＝23，又因为|BC 1|＝|C 1D |＝6，所以∠BC 1D ＝π2.3.(2019·长沙模拟)如图，在三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，点E ，F ，H ，K 分别为AC ′，CB ′，A ′B ′，B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心．从K ，H ，G ，B ′四点中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为________．解析：取A ′C ′的中点M ，连接EM ，MK ，KF ，EF ，则EM 綊12CC ′綊KF ，得四边形EFKM 为平行四边形，若取点K 为P ，则AA ′∥BB ′∥CC ′∥PF ，故与平面PEF 平行的棱超过2条；因为HB ′∥MK ，MK ∥EF ，所以HB ′∥EF ，若取点H 或B ′为P ，则平面PEF 与平面EFB ′A ′为同一平面，与平面EFB ′A ′平行的棱只有AB ，不符合题意；连接BC ′，则EF ∥A ′B ′∥AB ，若取点G 为P ，则AB ，A ′B ′与平面PEF 平行．答案：G4．如图，已知圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，那么异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ， 因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点， 所以AD ∥BC ，所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC 所成角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD ， 因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形， 所以C 1D ＝2AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2， 所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2. 答案： 25.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．解：(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．又因为AC ⊥BD ，则FG ⊥EG .在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.6.(综合型)如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且AE ∶EB ＝AH ∶HD ＝m ，CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝n .(1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)m ，n 满足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？ (3)在(2)的条件下，若AC ⊥BD ，试证明：EG ＝FH . 解：(1)证明：因为AE ∶EB ＝AH ∶HD ，所以EH ∥BD . 又CF ∶FB ＝CG ∶GD ，所以FG ∥BD .所以EH ∥FG . 所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)当EH ∥FG ，且EH ＝FG 时，四边形EFGH 为平行四边形． 因为EH BD ＝AE AE ＋EB ＝m m ＋1，所以EH ＝m m ＋1BD .同理可得FG ＝n n ＋1BD ，由EH ＝FG ，得m ＝n .故当m ＝n 时，四边形EFGH 为平行四边形．(3)证明：当m ＝n 时，AE ∶EB ＝CF ∶FB ，所以EF ∥AC ，又EH ∥BD ，所以∠FEH 是AC 与BD 所成的角(或其补角)，因为AC ⊥BD ，所以∠FEH ＝90°，从而平行四边形EFGH 为矩形，所以EG ＝FH .。

高考数学重点知识点串讲及练习 (2)

高考数学重点知识点串讲及练习 (2)

[基础题组练]1．已知a ，b ∈R ，若a >b ，1a <1b 同时成立，则( )A ．ab >0B ．ab <0C ．a ＋b >0D ．a ＋b <0解析：选A.因为1a <1b ，所以1a －1b ＝b －aab <0，又a >b ，所以b －a <0，所以ab >0.2．若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n <m <n <－m B ．－n <m <－m <n C ．m <－n <－m <nD ．m <－n <n <－m解析：选D.法一(取特殊值法)：令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n <0⇒m <－n ⇒n <－m ，又由于m <0<n ，故m <－n <n <－m 成立． 3．设a <b <0，c >0，则下列不等式中不成立的是( ) A.c a >cb B.c a －b >c a C ．|a |c >－bcD.－a c >－b c解析：选B.由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a ⇒c a －b <ca ，所以B 中式子不成立．4．(2019·湖北黄冈检测)已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：选C.因为x >y >z ，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0， 所以x >0，z <0，由⎩⎨⎧x >0，y >z得xy >xz .故选C. 5．(2019·扬州模拟)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________． 解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)， 因为a 1<a 2，b 1<b 2， 所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0， 即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 16．已知a ，b ∈R ，则a <b 和1a <1b同时成立的条件是________．解析：若ab <0，由a <b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a <1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b. 所以a <b 和1a <1b 同时成立的条件是a <0<b .答案：a <0<b7．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是________．解析：因为－π2<α<π，－π2<β<π，所以－π<－β<π2，所以－3π2<α－β<3π2.又因为α<β，所以α－β<0，从而－3π2<α－β<0.答案：⎝⎛⎭⎫－3π2，08．已知12<a <60，15<b <36，求a －b ，ab 的取值范围．解：因为15<b <36，所以－36<－b <－15. 又12<a <60，所以12－36<a －b <60－15， 所以－24<a －b <45，即a －b 的取值范围是(－24，45)． 因为136<1b <115，所以1236<a b <6015，所以13<ab<4，即ab的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，4. [综合题组练]1．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A.2．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0 C.⎝⎛⎭⎫12x－⎝⎛⎭⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0解析：选C.1x －1y ＝y －x xy <0；当x ＝π，y ＝π2时，sin x －sin y <0；函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上单调递减，所以⎝⎛⎭⎫12x<⎝⎛⎭⎫12y，即⎝⎛⎭⎫12x－⎝⎛⎭⎫12y<0.当x ＝1，y ＝12时，ln x ＋ln y <0. 3．设a >b ，有下列不等式：①a c 2>b c 2；②1a <1b ；③|a |>|b |；④a |c |≥b |c |，其中一定成立的有________．(填正确的序号)解析：对于①，1c 2>0，故①成立；对于②，a >0，b <0时不成立； 对于③，取a ＝1，b ＝－2时不成立； 对于④，|c |≥0，故④成立． 答案：①④4．(综合型)已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________． 解析：因为ab 2>a >ab ， 所以a ≠0， 当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎨⎧b 2<1，b >1无解． 综上可得b <－1. 答案：(－∞，－1)。

高考数学重点知识点串讲及练习 (20)

高考数学重点知识点串讲及练习 (20)


A(0，1)，
所以 OA2＝( 02＋12)2＝1， OB2＝( 12＋22)2＝5，所以 z 的取值范围是[1，5]．
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第七章 不等式
[迁移探究 1] 取值范围．
y－ 1 (变问法)本例条件不变，求目标函数 z＝ 的 x－1
y－ 1 解：z＝ 可以看作过点 P(1，1)及(x，y)两点的直线的斜率． x－1 所以 z 的取值范围是(－∞，0]．
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第七章 不等式
[迁移探究 2]
(变问法)本例条件不变，求目标函数 z＝x2＋y2
－2x－2y＋3 的最值．
解：z＝x2＋y2－2x－2y＋3 ＝(x－1)2＋(y－1)2＋1， 而(x－1)2＋(y－1)2 表示点 P(1， 1)与 Q(x， y)的距离的平方 PQ2，
2 2 PQ2 max＝(0－1) ＋(2－1) ＝2，
名称 可行解 可行域 最优解 线性规 划问题
意义 满足线性约束条件的解(x，y)
可行解 组成的集合 所有__________ 可行解 使目标函数取得最大值或最小值的___________
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小 值问题
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第七章 不等式
常用知识拓展 1． 利用“同号上， 异号下”判断二元一次不等式表示的平面区 域 对于 Ax＋By＋C>0 或 Ax＋By＋C<0，则有 (1)当 B(Ax＋By＋C)>0 时， 区域为直线 Ax＋By＋C＝0 的上方； (2)当 B(Ax＋By＋C)<0 时， 区域为直线 Ax＋By＋C＝0 的下方． 2．最优解和可行解的关系 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一 定唯一，有时唯一，有时有多个．