广东省汕头市潮南区陈店实验学校2014-2015学年高一下学期第一次月考数学(文)试卷 (Word版含答案)

f ( x2 ) f ( x1 ) 0,即f ( x2 ) f ( x1 ), 该函数在定义域R上是减函数.
由f (t 2 2t ) f (2t 2 k) 0,得 f (t2 2t) f (2t 2 k)
f ( x)是奇函数 f (t2 2t) f (k 2t 2 ) (III)又 f ( x)是R上的减函数, t2 2t k 2t2 , 即3t 2 2t k 0对任意的t R恒成立, 4 12k 0,解得k 1 ,
三．解答题 （本题共 6 道小题，须写出必要的解答和证明过程。共 70 分） 17．
解 : (1) f ( x) 1 cos 2x 2 3 sin x cos x 3 sin 2x cos 2x 1 2sin(2x ) 1,
6
所以 f ( x) 的最小正周期T 2 . 2
故有 a＋blog33100＝0，
即 a＋b＝0；当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s，故 a＋blog31900＝1，
整理得 a＋2b＝1.
解方程组a＋b＝0， 得a＝－1， a＋2b＝1， b＝1.
(II)由(1)知，v＝－1＋log31Q0.所以要使飞行速度不低于 2 m/s，则有 v≥2，即－1＋log31Q0≥2，
(1)f(x)＝x3－x；
(2)f(x)＝(x＋1)
11－ ＋xx；
(3)f(x)＝－x2＋x2＋x，x， x>0. x<0，
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
11．设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m， ∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则 A，B 两点的距离为( )

+
＝1（a＞b＞0）的
﹣y2＝1 共顶点．P 为椭圆 C
（2）若点 P 的坐标为（0，b） ，求过 P、Q、F2 三点的圆的方程； （3）若 ＝λ ，且 λ∈[ ，2]，求 的最大值．
20． （14 分）已知函数 f（x）＝lnx﹣ ax2﹣2x（a＜0） （1）若函数 f（x）在定义域内单调递增，求 a 的取值范围； （2）若 a＝﹣ 且关于 x 的方程 f（x）＝﹣ x+b 在[1，4]上恰有两个不相等的 实数根，求实数 b 的取值范围； （3）设各项为正的数列{an}满足：a1＝1，an+1＝lnan+an+2，n∈N*，求证：an≤ 2n﹣1．
6． （5 分）函数 y＝f（x）在定义域（﹣ ，3）内可导，其图象如图所示，记 y ＝f（x）的导函数为 y′＝f′（x） ，则不等式 f′（x）≤0 的解集为（ ）
A．[﹣ ，1]∪[2，3）
B．[﹣1， ]∪[ ， ]
第 1 页（共 16 页）
C．[﹣ ， ]∪[1，2]
D．[﹣ ，﹣ ]∪[ ， ] ＝（ ，
A．必要而不充分条件 C．充分必要条件
3． （5 分） 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 若 S3＝9， S5＝20， 则 a7+a8+a9＝ （ A．63 B．45 C．27 D．36
4． （5 分）用数学归纳法证明“n3+（n+1）3+（n+2）3（n∈N*）能被 9 整除” ， 要利用归纳假设证 n＝k+1 时的情况，只需展开（ A． （k+3）3 C． （k+1）3 5． （5 分）已知椭圆 值为（ A． ） B． C．4 D．10 B． （k+2）3 D． （k+1）3+（k+2）3 与双曲线 有相同的焦点，则 a 的 ）

陈店实验学校2014—2015学年度下学期第一次月考高二年级数学（文）试卷考试说明：本卷总分150分，考试时间为120分钟，请在答题卡上认真作答！参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=用回归方程系数公式1221ˆˆˆni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑，. 第一部分 选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、函数2)1ln()(--=x x x f 的定义域是A ．)2,1(B ．),2()2,1(+∞C ．),1(+∞D ．),2()2,1[+∞2、命题：0,2≥+∈∀x x R x 的否定是A ．0,2≤+∈∃x x R xB ．0,2≤+∈∀x x R xC ．0,2<+∈∃x x R xD ．0,2<+∈∀x x R x3．下列说法不正确的是A ．函数关系是一种确定性关系B ．相关关系是一种非确定性关系C ．回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法D ．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法 4. 1x =是2320x x -+=的A ．充分不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分必要条件5．用反证法证明命题“若,022=+b a 则a 、b 全为0”（a 、b ）R ∈，其反设正确的是学校 姓名 ________ 班级 __ 考场 考号密 封 线 内 不 要 答 题A ．a 、b 至少有一个为0B ．a 、b 至少有一个不为0C ．a 、b 全不为0D ．a 、b 中只有一个为06．在古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形1 3 6 10 15 则第n 个三角形数为A ．n B.)1(21+n n C.12-n D.)1(21-n n7、已知x 与y 之间的一组抽样数据如下：则y 与x 的线性回归方程ˆˆybx a =+必过点 A ．(2,2) B ．()0,5.1 C ．(1,2) D ．()4,5.18．双曲线221124x y -=的焦距是A ．8B ．4C ． ．2 9.函数3()1f x x x =+-在()0,4上零点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 10.某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的k 的值是A ．4B ．5C ．6D ．7第二部分 非选择题部分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．已知平面向量(1,2),(2,),a b m ==-且a b ⊥ ，则a b + = 12．曲线33y x x ＝－＋在点()1,3处的切线方程为________ 13．若数列{}n a 中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++则10____a =。

2014-2015学年广东省汕头市潮南区陈店实验学校高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A．2 B．﹣2 C．D．2．设集合M={x||x﹣1|＜2}，N={x|x（x﹣3）＜0}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S5=20，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．27 D．364．用数学归纳法证明“n3+（n+1）3+（n+2）3（n∈N*）能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只需展开（）A．（k+3）3 B．（k+2）3 C．（k+1）3 D．（k+1）3+（k+2）35．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为（）A．B．C．4 D．106．函数y=f（x）在定义域（﹣，3）内可导，其图象如图所示，记y=f（x）的导函数为y′=f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为（）A．[﹣，1]∪[2，3）B．[﹣1，]∪[，]C．[﹣，]∪[1，2] D．[﹣，﹣]∪[，]7．动点P在函数y=sin2x的图象上移动，动点Q（x，y）满足=（，0），则动点Q的轨迹方程为（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）8．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，过点F1作垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，△ABF2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（1，5）D．（，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是．10．从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自图中非阴影部分的概率为．11．如图，在四边形ABCD中，=，E为BC的中点，且=x﹒+y，则3x﹣2y=．12．函数的单调递减区间为．13．由定积分的几何意义可知dx=．14．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）（2009秋•揭阳期末）已知：△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求c边的长．16．（12分）（2014春•化州市期中）已知等差数列{b n}中，，且已知a1=3，a3=9．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n．17．（14分）（2015•兰州二模）如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（1）求证：FG∥平面PED；（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小．18．（14分）（2014春•化州市期中）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+b在x=﹣1处的切线与x 轴平行（1）求a的值和函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象与抛物线y=x2﹣15x+3恰有三个不同交点，求b的取值范围．19．（14分）（2015春•潮南区校级期中）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1、F2焦距为2，且与双曲线﹣y2=1共顶点．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F2三点的圆的方程；（3）若=λ，且λ∈[，2]，求的最大值．20．（14分）（2015春•潮南区校级期中）已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x（a＜0）（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若a=﹣且关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）设各项为正的数列{a n}满足：a1=1，a n+1=lna n+a n+2，n∈N*，求证：a n≤2n﹣1．2014-2015学年广东省汕头市潮南区陈店实验学校高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A．2 B．﹣2 C．D．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a的值．解答：解：复数==，它是纯虚数，所以a=2，故选A点评：本题是基础题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．设集合M={x||x﹣1|＜2}，N={x|x（x﹣3）＜0}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：整理两个集合中包含的不等式，化简为最简形式，观察两个集合之间的关系，看出是M⊇N，根据两个集合之间的包含关系得到结果．解答：解：∵集合M={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}N={x|x（x﹣3）＜0}={x|0＜x＜3}∴M⊇N，∴a∈M是a∈N必要不充分条件，故选A．点评：本题考查条件问题，本题解题的关键是根据所给的集合判断两个集合之间的关系，利用集合的关系来判断条件问题是最常用的一种解题方法．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S5=20，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．27 D．36考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质和已知可得a2和a3，可得公差，进而可得a8，而要求的式子等于3a8，代值计算可得．解答：解：由等差数列的性质可得S3=3a2=9，S5=5a3=20，解得a2=3，a3=4，∴公差d=4﹣3=1，∴a8=a2+6d=3+6=9，∴a7+a8+a9=3a8=27故选：C点评：本题考查等差数列的性质，求出公差d和a8是解决问题的关键，属中档题．4．用数学归纳法证明“n3+（n+1）3+（n+2）3（n∈N*）能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只需展开（）A．（k+3）3 B．（k+2）3 C．（k+1）3 D．（k+1）3+（k+2）3考点：数学归纳法．专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：本题考查的数学归纳法的步骤，根据归纳假设，只需展开（k+3）3．解答：解：n=k+1时，证明“（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3能被9整除”，根据归纳假设，n=k时，证明“k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除”，所以只需展开（k+3）3．故选：A．点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．5．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为（）A．B．C．4 D．10考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到c的值，然后根据椭圆的定义得到a，最后利用a，b，c的关系即可求出a的值．解答：解：双曲线方程化为，（1分）由此得a=2，b=，（3分）c=，焦点为（﹣，0），（，0）．（7分）椭圆中，则a2=b2+c2=9+7=16．（11分）则a的值为4．故选C．点评：此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，会求椭圆的标准方程，是一道综合题．本题还考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用条件求出a，b，c值，是解题的关键．6．函数y=f（x）在定义域（﹣，3）内可导，其图象如图所示，记y=f（x）的导函数为y′=f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为（）A．[﹣，1]∪[2，3）B．[﹣1，]∪[，]C．[﹣，]∪[1，2] D．[﹣，﹣]∪[，]考点：函数的单调性及单调区间．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：不等式f′（x）≤0的解即为函数y=f（x）的单调递减区间，所以通过图象写出f（x）的单调减区间即可．解答：解：根据导数符号和函数单调性的关系即知：f′（x）≤0的解为函数f（x）的单调减区间；所以根据图象可写出f（x）的减区间，即f′（x）≤0的解为：[]∪[2，3）．故选：A．点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，从而明白不等式f′（x）≤0的解即为f（x）的单调递减区间，根据f（x）的图象能够找到其递减区间．7．动点P在函数y=sin2x的图象上移动，动点Q（x，y）满足=（，0），则动点Q的轨迹方程为（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）考点：轨迹方程；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：设出P的坐标，利用=（，0），直接求出动点Q的轨迹方程．解答：解：设P（a，b），∵=（，0），动点Q（x，y）∴x﹣a=，y﹣b=0，可得，∵动点P在函数y=sin2x的图象上移动，∴y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣），动点Q的轨迹方程为y=sin（2x﹣）．故选：D．点评：本题考查轨迹方程的求法，相关点方法的应用，考查计算能力．8．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，过点F1作垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，△ABF2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（1，5）D．（，+∞）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，求出AB=，F1F2=2c，△ABF2是锐角三角形，只要∠AF2B为锐角，即AF1＜F1F2即可，从而可得结论．解答：解：根据题意，易得AB=，F1F2=2c，由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，△ABF2是锐角三角形，只要∠AF2B为锐角，即AF1＜F1F2即可；所以有＜2c，即4a2＞c2﹣a2，解出e∈（1，），故选：B．点评：本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是﹣4＜m＜2．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；压轴题．分析：先把x+2y转化为（x+2y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2+2m求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．解答：解：∵，∴x+2y=（x+2y）=4++≥4+2=8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故答案为：﹣4＜m＜2．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．10．从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自图中非阴影部分的概率为．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：分别计算长方形区域的面积，阴影部分的面积，从而可得图中非阴影部分的面积，以面积为测度，可得结论．解答：解：长方形区域的面积为3×1=3，阴影部分的面积为==1∴图中非阴影部分的面积为3﹣1=2∴点M取自图中非阴影部分的概率为，故答案为：点评：本题考查几何概型，考查面积的计算，正确求阴影部分的面积是关键．11．如图，在四边形ABCD中，=，E为BC的中点，且=x﹒+y，则3x﹣2y=1．考点：向量的线性运算性质及几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理和向量的三角形法则及其多边形法则即可得出．解答：解：∵E为BC的中点，∴，又=，∴=，∴==．而=x﹒+y，∴，．∴3x﹣2y=2﹣1=1．故答案为：1．点评：本题考查了向量共线定理和向量的三角形法则及其多边形法则、平面向量基本定理，属于基础题．12．函数的单调递减区间为（0，1]．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：根据题意，先求函数的定义域，进而求得其导数，即y′=x﹣=，令其导数小于等于0，可得≤0，结合函数的定义域，解可得答案．解答：解：对于函数，易得其定义域为{x|x＞0}，y′=x﹣=，令≤0，又由x＞0，则≤0⇔x2﹣1≤0，且x＞0；解可得0＜x≤1，即函数的单调递减区间为（0，1]，故答案为（0，1]点评：本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域．13．由定积分的几何意义可知dx=2π．考点：定积分．专题：计算题．分析：本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与x轴所围成的图形的面积即可．解答：解：根据定积分的几何意义，则dx表示圆心在原点，半径为2的圆的上半圆的面积，故dx=×π×22=2π．故答案为：2π．点评：本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．14．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖4n+2块考点：归纳推理．专题：探究型．分析：通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可．解答：解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；…设第n个图案中有白色地面砖n块，用数列{a n}表示，则a1=6，a2=10，a3=14，可知a2﹣a1=a3﹣a2=4，…可知数列{a n}是以6为首项，4为公差的等差数列，∴a n=6+4（n﹣1）=4n+2．故答案为4n+2．点评：由已知的几个图案找出规律转化为求一个等差数列的通项公式是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（12分）（2009秋•揭阳期末）已知：△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求c边的长．考点：解三角形；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：（1）利用两角和公式和诱导公式整理题设等式求得sin（A+B）=sin2C，进而整理求得cosC的值，进而求得C．（2）利用sinA，sinC，sinB成等差数列求得三者的关系式，利用正弦定理转化成边的关系式，利用求得ab的值，进而分别代入余弦定理求得c．解答：解：（1）由cos（﹣A）•cosB+sinB•sin（+A）=sin（π﹣2C）得sinA•cosB+sinB•cosA=sin2C∴sin（A+B）=sin2C，∵A+B=π﹣C，∴sin（A+B）sinC∴sinC=sin2C=2sinCcosC，∵0＜C＜π∴sinC＞0∴cosC=∴C=（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，由正弦定理得2c=a+b∵，即abcosC=18，ab=36由余弦弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab，∴c2=4c2﹣3×36，c2=36，∴c=6点评：本题主要考查了解三角形问题，三角函数恒等变换及化简求值．考查了考生分析问题的能力和基本的运算能力．16．（12分）（2014春•化州市期中）已知等差数列{b n}中，，且已知a1=3，a3=9．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意易得数列{b n}的首项和公差，进而可得通项；（2）由（1）的结论可得数列{a n}的通项公式为，由等差和等比数列的求和公式可得答案．解答：解：（1）设等差数列{b n}的公差为d．由a1=3，a3=9，得b1=log z（a1﹣1）=log22=1，b3=log2（a3﹣1）=log28=3，∴b3﹣b1=2=2d，∴d=1，…3 分，∴b n=1+（n﹣1）×1=n．…6 分，（2）由（1）知b n=n，∴log2（a n﹣1）=n，∴，∴．…9 分，∴=…11 分，=2n+1+n﹣2…12 分．点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．17．（14分）（2015•兰州二模）如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（1）求证：FG∥平面PED；（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（1）利用三角形的中位线的性质证明FG∥PE，再根据直线和平面平行的判定定理证得结论；（2）建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小解答：（1）证明：∵F，G分别为PB，BE的中点，∴FG∥PE，∵FG⊄平面PED，PE⊂平面PED，∴FG∥平面PED；（2）解：∵EA⊥平面ABCD，EA∥PD，∴PD⊥平面ABCD，∵AD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥CD．∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD．以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设EA=1∵AD=PD=2EA，∴D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1），∴=（2，2，﹣2），=（0，2，﹣2）．∵F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，∴F（1，1，1），G（2，1，0.5），H（0，1，1），∴=（﹣1，0，0.5），=（﹣2，0，0.5）设=（x，y，z）为平面FGH的一个法向量，则，得=（0，1，0）同理可得平面PBC的一个法向量为=（0，1，1），∴cos＜，＞=||=，∴平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为45°．点评：本题考查了线面平行的判定，考查了面面角，训练了利用平面法向量求解二面角的大小，解答此类问题的关键是正确建系，准确求用到的点的坐标，此题是中档题．18．（14分）（2014春•化州市期中）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+b在x=﹣1处的切线与x 轴平行（1）求a的值和函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象与抛物线y=x2﹣15x+3恰有三个不同交点，求b的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据已知得f′（﹣1）=0，得到a，利用导数研究函数的单调性的步骤求单调区间；（2）把给定方程做适当的等价变换，得到g（x）的图象与x轴有3个交点；求出单调区间，求出函数的极值，依题意极大值大于0，极小值小于0，进而解出b的取值范围．解答：解：（1）由已知得f′（x）=3x2﹣6x+a，∵在x=﹣1处的切线与x轴平行∴f′（﹣1）=0，解得a=﹣9．这时f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3）由f′（x）＞0，解得x＞3或x＜﹣1；由f′（x）＜0，解﹣1＜x＜3．∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调减区间为（﹣1，3）．（2）令g（x）=f（x）﹣（x2﹣15x+3）=x3﹣x2+6x+b﹣3，则原题意等价于g（x）图象与x轴有三个交点∵g′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2）∴由g′（x）＞0，解得x＞2或x＜1；由g′（x）＜0，解得1＜x＜2．∴g（x）在x=1时取得极大值g（1）=b﹣；g（x）在x=2时取得极小值g（2）=b﹣1．故，∴＜b＜1．点评：本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，应熟练掌握利用可导函数研究函数的单调性的步骤．19．（14分）（2015春•潮南区校级期中）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1、F2焦距为2，且与双曲线﹣y2=1共顶点．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F2三点的圆的方程；（3）若=λ，且λ∈[，2]，求的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；圆的标准方程；椭圆的标准方程．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意得c=1，a2=2，可得椭圆C的方程；（2）先求出点Q的坐标，再利用待定系数法，即可求过P、Q、F2三点的圆的方程；（3）利用，结合向量的数量积公式，结合基本不等式，即可求的最大值．解答：解：（1）由题意得c=1，a2=2…（2分）故椭圆的方程为．…（3分）（2）因为P（0，1），F1（﹣1，0），所以PF1的方程为x﹣y+1=0由，解得点Q的坐标为．…（5分）设过P，Q，F2三点的圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0…（6分）则解得所以圆的方程为…（8分）（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即所以，解得…（10分）所以=…（12分）因为，所以，当且仅当，即λ=1时，取等号．最大值为．…（14分）点评：本题考查椭圆的方程，考查圆的方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（14分）（2015春•潮南区校级期中）已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x（a＜0）（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若a=﹣且关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）设各项为正的数列{a n}满足：a1=1，a n+1=lna n+a n+2，n∈N*，求证：a n≤2n﹣1．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；数列的求和．专题：导数的综合应用．分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题．（3）设h（x）=lnx﹣x+1然后求导，可判断函数h（x）的单调性，再由数学归纳法得证．解答：解：（1）f′（x）=﹣，（x＞0）依题意f'（x）≥0在x＞0时恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立．则a≤=（﹣1）2﹣1在x＞0恒成立，即a≤（（﹣1）2﹣1）min（x＞0）当x=1时，（﹣1）2﹣1取最小值﹣1，∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（2）a=﹣，f（x）=﹣x+b，∴x2﹣x+lnx﹣b=0设g（x）=x2﹣x+lnx﹣b（x＞0）则g'（x）=，列表：∴g（x）极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，g（x）极大值=g（1）=﹣b﹣，又g（4）=2ln2﹣b﹣2∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．则，得：ln2﹣2＜b≤﹣．（3）设h（x）=lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则h'（x）=﹣1≤0∴h（x）在[1，+∞）为减函数，且h（x）max=h（1）=0，故当x≥1时有lnx≤x﹣1．∵a1=1，假设a k≥1（k∈N*），则a k+1=lna k+a k+2＞1，故a n≥1（n∈N*）从而a n+1=lna n+a n+2≤2a n+1，∴1+a n+1≤2（1+a n）≤…≤2n（1+a1）即1+a n≤2n，∴a n≤2n﹣1．点评：本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．。