2021届江苏省常州市教育学会学业水平监测高三数学

常州市2020—2021学年度高三第一学期第一次学情调研数学学科试卷一、单选题（8小题，每题5分，共40分）1、已知集合A ＝{x ｜lg （x －2）＜1}，集合B ={x |x 2-2x -3<0}，则A ∪B 等于（）A．（2，12）B．（一l，3）C．（一l，12）D．（2，3）2、函数的零点所在的大致区间是（）A．B．C．D．3、函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（）A. B. C. D.4、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v （单位：/m s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ．科学研究发现v 与3log 100Q成正比.当1m /s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当2m /s v =时，其耗氧量的单位数为（）A ．1800B ．2700C ．7290D ．81005、已知2333211,,log 32a b c π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a B ．C ．c a b >>D ．c b a>>6、已知定义在R 上的函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2xf x e >的解集为（）A.(),0-∞ B.()0,∞+ C.(),2-∞ D.()2,+∞7、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=-，当[)2,0x ∈-时，()xf x e =，则()()()201820212022f f f ++等于（）A.1eB.1e-C.e- D.e 8、已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是()A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]二、多选题（4小题，每题5分，共20分）9.已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m -的值可能是A ．512πB ．712πC ．34πD ．1112π10.已知x>y>0,下列不等式成立的是（）A ．ln 1243ln x x+≥B ．23331x x x ++≥+C ．11x y yx +>+D ．44y y x x +<+11.对于函数()()1xf x x R x=∈+，下列判断正确的是（）A.()()110f x f x -++-=B.当()0,1m ∈时，方程()f x m =有唯一实数解C.函数()f x 的值域为(),-∞+∞ D.2x x ∀≠，()()1212-0f x f x x x >-12.设定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x 时，()f x x '<．已知存在22011|()(1)(1)22x x f x x f x x ⎧⎫∈----⎨⎬⎩⎭ ，且0x 为函数()(x g x e ex a a R =--∈，e 为自然对数的底数）的一个零点，则实数a 的取值可能是()A ．12B ．2e C ．2e D e三、填空题（4小题，每题5分，共20分）13.已知tan 2α=，则cos 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.14.已知0x >，0y >，且3x y xy +=，若23t t x y +<+恒成立，则实数t 的取值范围是________.15.函数在区间上有两个零点，则的取值范围是.16.已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )(x )，f (x )≥g (x )，(x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值范围是．四、解答题（6小题，共70分）17.（本题共10分）已知集合2{|20}A x x x =-->，集合2{|2(25)50}B x x k x k =+++<，k R ∈．（1）求集合B ；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数k 的取值范围．18.（本题共12分）已知函数()()2sin(2x )2cos (x )066f x a a ππ=--+>，且满足.⑴求函数()f x 的解析式及最小正周期；⑵若关于x 的方程()1f x =在区间[]0,m 上有两个不同解，求实数m 的取值范围.从①()f x 的最大值为1，②()f x 的图像与直线y=-3的两个相邻点的距离等于π，③()f x 的图像过点(,0)6π这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并解答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）19.（本题共12分）已知(),0,αβπ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，求：（1）求tan α的值.（2）求的角2αβ-.20.（本题共12分）设函数()2()23f x ax b x =+-+．（1）若(1)3f =，且0,0a b >>，求14a b+的最小值；（2）若(1)2f =，且()2f x >在(1,1)-上恒成立，求实数a 的取值范围．21.（本题共12分）设a ，b R ∈，函数()f x lnx ax =-，()bg x x=．（Ⅰ）若()f x lnx ax =-与()bg x x=有公共点(1,)P m ，且在P 点处切线相同，求该切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 有极值但无零点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当0a >，1b =时，求()()()F x f x g x =-在区间[1，2]的最小值．22.（本题共12分）已知函数32()3(2)f x x x t x =-+-，()f x '为()f x 的导函数，其中t R ∈．（1）当2t =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若方程()0f x =有三个互不相同的根0，α，β，其中αβ<．①是否存在实数t ，使得()()f f αββα''=成立？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．②若对任意的[x α∈，]β，不等式()16f x t - 恒成立，求t 的取值范围．常州市2020—2021学年度高三第一学期第一次学情调研数学学科试卷参考答案一、选择题1、C2、B3、A.4、D5、D6、A7、A8、D9、AB10、BCD11、ABD12、BD二、填空题13、45-14、()4,3-15、16、a ＞3518三、解答题17、解：（1）{|(25)()0}B x x x k=++<∴当52k-<-，即52k>时，5(,)2B k=--；当52k-=-，即52k=时，B=∅；当52k->-，即52k<时，5(,)2B k=--；（2）1k≥18、解：（Ⅰ）函数f （x）＝a sin（2x ﹣）﹣2cos2（x+）＝a sin（2x﹣）﹣cos（2x +）﹣1＝a sin（2x﹣）﹣sin（﹣2x+）﹣1＝（a+1）sin（2x﹣）﹣1，若满足①f（x）的最大值为1，则a+1＝2，解得a＝1，所以f（x）＝2sin （2x﹣）﹣1；f（x）的最小正周期为T＝＝π；（Ⅱ）令f（x）＝1，得sin（2x﹣）＝1，解得2x﹣＝+2kπ，k∈Z；即x＝+kπ，k∈Z；若关于x的方程f（x）＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x＝或；所以实数m的取值范围是[，）．若满足②f（x）的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，且f（x）的最小正周期为T＝＝π，所以﹣（a+1）﹣1＝﹣3，解得a＝1；以下解法均相同．若满足③f（x）的图象过点，则f（）＝（a+1）sin﹣1＝0，解得a＝1；以下解法均相同．19、19、解：⑴()()()tan tantan tan1tan tan11127113127ααββαββαββ=-+⎡⎤⎣⎦-+=--⋅⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭⑵22122tan33tan21tan4113ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭()()31tan2tan47tan21311tan2tan147αβαβαβ+--===+⎛⎫-⨯⎪⎝⎭()()1tan 0,10,3ααπ=∈∈ 且0,4πα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭20,2πα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()()13tan --1,00,,74πββπβπ⎛⎫=∈∈∴∈ ⎪⎝⎭ 且3--,-4πβπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭2-,-4παβπ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭32=-4παβ∴-20、解:（1）函数()2()23f x ax b x =+-+，由()1233f a b =+-+=，可得2a b +=，所以141141419()55)2222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当4b a a b =时等号成立，因为2a b +=，0,0a b >>，解得24,33a b ==时等号成立，此时14a b +的最小值是92.（2）由()1232f a b =+-+=，即1a b +=，又由()2232ax b x +-+>在(1,1)-上恒成立，即()2110ax a x -++>在(1,1)-上恒成立，等价于(1,1)-是不等式()(1)(1)0g x ax x =-->解集的子集，①当0a =时，不等式的解集为(,1)-∞，满足题意；②当0a <时，不等式的解集为1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭，则11a ≤-，解得1a ≥-，故有10a -≤<；③当01a <≤时，即11a ≥时，不等式的解集为1(,1)(,)a-∞⋃+∞，满足题意；④当1a >时，即11a <时，不等式的解集为1(,(1,)a-∞⋃+∞，不满足题意，（舍去），综上所述，实数a 的取值范围是[1,1]-.21、解：（Ⅰ）由题意，得(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即1a b a b -=-⎧⎨-=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．g ∴'（1）12=，g （1）12=-，在点1(1,)2P -的切线方程为11(1)22y x +=-，即220x y --=；（Ⅱ）当0a 时，由1()0f x a x'=->恒成立，可知函数()f x 在定义域(0,)+∞单调递增，此时无极值；当0a >时，由1()0f x a x '=-=，得10x a=>．由1()0f x a x '=->，得1(0,x a ∈；1()0f x a x '=-<，得1(,)x a ∈+∞．于是，1x a =为极大值点，且1()(1max f x f lna a==--．由于函数()f x 无零点，因此1()(10max f x f lna a ==--<，解得1a e>；（Ⅲ）不妨设1()F x lnx ax x =--，得22211(1)()ax x F x a x x x ---'=-+=．设2()1h x ax x =--，0a > ，∴△140a =+>，设()0h x =的两根为1x ，2x ，且12x x <，由1210x x a =-< ，得10x <，20x >，且2x =．∴122()()()a x x x x F x x ---'=．由()0F x '=，得2x x =．∴当()0F x '>时，20x x >>；当()0F x '<时，2x x >．()F x ∴在(0，2]x 单调递增，在2[x ，)+∞上单调递减．①当201x < ，即112(1)0a h ⎧<⎪⎨⎪⎩ ，即2a 时，[1，22][x ⊆，)+∞，()F x 在[1，2]递减，()min F x F ∴=（2）1222ln a =--；②当22x ，即h （2）0 ，即304a < 时，[1，2](0⊆，2]x ，()F x 在[1，2]递增，()min F x F ∴=（1）1a =--；③当212x <<，即324a <<时，()F x 在[1，2]x 递增，2[x ，2]递减，F ∴（2）F -（1）11221222ln a a ln a =--++=+-．()i 当1222ln a +< 时，F （2）F （1），()min F x F ∴=（2）1222ln a =--；()ii 当31242a ln <<+时，F （2）F >（1），()min F x F ∴=（1）1a =--．综合①、②、③得，()()()F x f x g x =-在区间[1，2]的最小值为：11,(02)2()1122,(2)22mina a ln F x ln a a ln ⎧--<<+⎪⎪=⎨⎪--+⎪⎩ ．22、解：（1）当2t =时，2()36f x x x '=-，令2()360f x x x '=->，得2x >或0x <，所以()f x 的单调增区间为(,0)-∞和(2,)+∞；令2()360f x x x '=-<，得02x <<，所以()f x 的单调减区间为(0,2)．（2）①由题意知α，β是方程23(2)0x x t -+-=的两个实根，所以21(3)4(2)0t =---> ，得14t >-．且3αβ+=，2t αβ=-，2252t αβ+=+，由()()f f αββα''=成立得，()()f f ααββ''=，化简得223()6()(2)0t ααββαβ++-++-=，代入得3(522)63(2)0t t t ++--⨯+-=，即520t +=，解得52t =-，因为14t >-，所以这样的实数t 不存在．②因为对任意的[x α∈，]β，()16f x t - 恒成立．由3αβ+=，2t αβ=-，且αβ<，当124t -<<时，有0αβ<<，所以对[x α∈，]β，()0f x ，所以016t - ，解得16t ．所以124t -<<．当2t >时，有0αβ<<，2()36(2)f x x x t '=-+-，其判别式△2(6)12(2)12(1)0t t =---=+>．由()0f x '>，得x <或x >此时()f x 存在极大值点1(,0)x α∈，且1x =．由题得321111()3(2)16f x x x t x t =-+-- ，将1x =代入化简得(72t +，解得11t ．因此211t < ．综上，t 的取值范围是1(,2)(2,11]4-⋃．。

江苏省常州市2021届高三下学期学业水平监测期初联考数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合}22230A x x ax a =+-=，{}230B x x x =->，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A.{0}B.{1,3}-C.(,0)(3,)-∞⋃+∞D.(,1)(3,)-∞-+∞2.i对应的点的坐标为（ ），12-)，32-)12-)32-)3.已知a ，b ，c 是实数，则“a ≥b ”是“ac 2≥bc 2”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件4.设函数2()ln f x a x bx =+，若函数()f x 的图象在点(1，(1)f )处的切线方程为y =x ，则函数()y f x =的增区间为（ ）A.(0，1)B.(0，2) C.(2，+∞) D.(2，1) 5.用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（ ）A.3345B.4345C.3445D.44456.如果在一次实验中，测得(x ，y )的四组数值分别是(1，2.2)，(2，3.3)，(4，5.8)，(5，6.7)，则y 对x 的线性回归方程是（ ）A.0.15 4.05y x =+B. 1.45y x =+C. 1.05 1.15y x =+D. 1.15 1.05y x =+ 7.令202020202019201812320202021(1)x a x a x a x a x a +=+++++(x ∈R ) ，则23202022019a a a +++20212020a +=（ ）A.201920192⨯B.202020192⨯C.201920202⨯D.202020202⨯8.函数()Asin(2)f x x kx b ϕ=+++，A >0，ϕ>0，k ，b ∈R ，则函数()f x 在区间(﹣π，π)上的零点最多有（ ） A.4个B.5个C.6个D.7个第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9.圆柱上､下底面的圆周都在一个体积为5003π的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的表面积为___________.10.函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-的最小正周期T =___________. 11.已知函数21()ln 245f x x x x =---+，则使不等式(21)(2)f t f t +>+成立的实数t 的取值范围是___________.三、解答题（题型注释）12.设等比数列n a 的公比为q (q ≠1)，前n 项和为n S .（1）若11a =，6398S S =，求3a 的值；（2）若q >1，2152m m m a a a +++=，且29m m S S =，m N *∈，求m 的值. 13.已知ABC 中，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2223332b c a bc +=+. （1）求sin A 的值；（2）若sin 2sin B C =，求tan C 的值. 14.已知某射手射中固定靶的概率为34，射中移动靶的概率为23，每次射中固定靶､移动靶分别得1分､2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次.（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；（2）求该射手的总得分X 的分布列和数学期望.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是矩形，2AB AP BC ==，平面PAB ⊥平面ABCD ，二面角P BC A --的大小为45.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求直线PB 与平面PAC 所成的角的正弦值. 16.已知函数()ln bf x x a x x=-+，a ，b ∈R . （1）若a >0，b >0，且1是函数()f x 的极值点，求12a b+的最小值； （2）若b =a +1，且存在0x ∈[1e，1]，使0()0f x <成立，求实数a 的取值范围.17.已知等轴双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)经过点，12).（1）求双曲线C 的标准方程； （2）已知点B (0，1).①过原点且斜率为k 的直线与双曲线C 交于E ，F 两点，求∠EBF 最小时k 的值；②点A 是C 上一定点，过点B 的动直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，AP AQ k k +为定值λ，求点A 的坐标及实数λ的值.四、新添加的题型18.已知a ，b 是平面上夹角为3π的两个单位向量，c 在该平面上，且(a ﹣c )·(b ﹣c )=0，则下列结论中正确的有（ ） A.1a b += B.1a b -=C.3c <D.a b +，c 的夹角是钝角19.已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布()110,81N ，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有（附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()220.9545P μσξμσ-<<+=）（ ）A.该校学生成绩的期望为110B.该校学生成绩的标准差为9C.该校学生成绩的标准差为81D.该校学生成绩及格率超过95%20.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论中正确的有（ ） A.821a = B.732S =C.135212n n a a a a a -++++=D.22212202120222021a a a a a +++= 21.设函数()y f x =的定义域为D ，若存在常数a 满足[﹣a ，a ]⊆D ，且对任意的1x ∈[﹣a ，a ]，总存在2x ∈[﹣a ，a ]，使得12()()1f x f x ⋅-=，称函数()f x 为P (a )函数，则下列结论中正确的有（ ）A.函数()3x f x =是(1)P 函数B.函数3()f x x =是(2)P 函数C.若函数12()log ()f x x t =+是(2)P 函数，则t =4D.若函数()tan f x x b =+是P (4π)函数，则b =22.已知椭圆C 1：2211x y m m+=+的右焦点F 也是抛物线C 2：y 2=nx 的焦点，且椭圆与抛物线的交点到F 的距离为53，则实数n =___________，椭圆C 1的离心率e =___________.参考答案1.D【解析】1.先求得集合(,0)(3,)B =-∞+∞，根据方程22230x ax a +-=，求得x a =或3x a =-，分0a =，0a >和0a <三种情况，结合A B ⊆，列出不等式组，即可求解. 由不等式23(3)0x x x x -=->，解得0x <或3x >，即(,0)(3,)B =-∞+∞，又由22(3)()230x x ax a a a x =+-+-=，解得x a =或3x a =-，当0a =时，可得集合{}0A =，此时不满足A B ⊆； 当0a ≠时，可得集合{},3A a a =-， 若0a >，要使得A B ⊆，则满足303a a -<⎧⎨>⎩，解得3a >；若0a <，要使得A B ⊆，则满足033a a <⎧⎨->⎩，解得1a <-，综上可得，实数a 的取值范围是(,1)(3,)-∞-+∞.故选：D. 2.A【解析】2.把复数化为代数形式，可得对应点坐标．12i i i i ===-，对应点坐标为1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 故选：A ． 3.B【解析】3.根据不等式的性质及充分条件、必要条件求解. 因为a ≥b ⇒ac 2≥bc 2, 而ac 2≥bc 2a ≥b ，例如0c，所以“a ≥b ”是“ac 2≥bc 2”的充分不必要条件，故选：B 4.C【解析】4.由()f x 的图象在点(1，(1)f )处的切线方程为y =x ，，得到(1)=1(1)=1f f '，，求出a 、b ，直接利用导数求出增区间.2()ln f x a x bx =+的定义域为()0+∞，，()2af x bx x'=+ ∵函数()f x 的图象在点(1，(1)f )处的切线方程为y =x ，∴()()11121f b f a b ⎧='=⎪⎨=+=⎪⎩解得：11b a =⎧⎨=-⎩∴1()2f x x x'=-+ 欲求()y f x =的增区间只需()120f x x x +'=->，解得：2x >即函数()y f x =的增区间为(2，+∞) 故选：C 5.A【解析】5.求出所有涂色方法数为45，再求出在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同的方法数，可先从中间一个三角形涂色，然后再涂其他三个三角形． 5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色方法数为54，有公共边的三角形为同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，其他三个三角形在剩下的4色中任意涂色均可，方法为354⨯，所以所求概率为334354455P ⨯==． 故选：A ． 6.D【解析】6.根据题中数据，求得,x y ，再代入公式，可求得,b a ，即可求得方程.根据四组数据，可得1245 2.2+3.3+5.8+6.73,=4.544x y +++===，所以1=1 2.2+2 3.3+4 5.8+5 6.7=65.5ni ii x y =⨯⨯⨯⨯∑，221222=1+2+4+5=46nii x=∑，所以12221·65.543 4.511.5=1.15464310ˆni ii nii x y nx y bxnx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，所以ˆ 4.5 1.153 1.05a y bx=-=-⨯=， 所以回归直线方程为： 1.15 1.05y x =+. 故选：D 7.C【解析】7.运用二项式性质，然后两边求导即可. 由题知，12021a a =，22020a a =，即 2022k k a a -=其中12021,k k Z ≤≤∈所以202020202019201820212020201921(1)x a x a x a x a x a +=+++++对上式左右两边求导得2019201920182017202120202019322020(1)2020201920182x a x a x a x a x a +=++++再令1x =得23202022019a a a +++20192021202020202a +=⨯故选：C 8.B【解析】8.根据函数零点可转化为两个函数图象交点，画出函数大致图象即可求解. 由()sin(2)0f x A x kx b ϕ=+++=，可得sin(2)A x kx b ϕ+=--， sin(2)y A x ϕ=+的周期22T ππ==， 故sin(2)y A x ϕ=+在区间(﹣π，π)上恰好2个周期， 作出sin(2)y A x ϕ=+与y kx b =--函数的大致图象如图，由图象可知，最多有5个交点，故函数()f x 在区间(﹣π，π)上的零点最多有5个. 故选：B 9.80π【解析】9.作出圆柱的轴截面，求出圆柱的高，即可得表面积． 如图ABCD 是圆柱的轴截面，其外接圆O 是球的大圆， 由3450033R ππ=得5R =，10BD =，又8AB =，∴6AD =， ∴圆柱表面积为22424680S πππ=⨯+⨯⨯=． 故答案为：80π．10.2π【解析】10. 由题可得()2f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可判断()f x 是以2π为周期的函数，再讨论()f x 在0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的单调性可得出结论.()sin cos sin cos 22222f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos sin cos sin x x x x =-++sin cos sin cos ()x x x x f x =++-=，()f x ∴是以2π为周期的函数， 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos cos sin 2cos f x x x x x x =++-=，函数单调递减， 当,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()sin cos sin cos 2sin f x x x x x x =++-=，函数单调递增， ∴在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内不存在小于2π的周期，2π∴是()f x 的最小正周期.故答案为：2π. 11.111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】11.利用()f x 的图象关于直线2x =对称，且在2x >时为减函数，可解不等式．21()ln 2(2)1f x x x =---+， 21(2)ln 1f t t t -=-+，21(2)ln (2)f t t f t t+=-=-，所以()f x 的图象关于直线2x =对称，2x >时，21()ln(2)(2)1f x x x =---+设122x x <<，则22120(2)1(2)1x x <-+<-+，221211(2)1(2)1x x >-+-+，12022x x <-<-，12ln(2)ln(2)x x -<-，所以12221211ln(1)ln(1)(2)1(2)1x x x x -->---+-+，即12()()f x f x > 即()f x 是减函数，所以2x <时函数为增函数，因此由(21)(2)f t f t +>+得2122221222t t t t ⎧+-<+-⎪+≠⎨⎪+≠⎩，解得113t <<且12t ≠．．故答案为：111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.（1）14；（2）3m =.【解析】12.（1）由已知根据等比数列的求和公式得()3631S q S =+，可求得公比12q =，由此可求得3a 的值；.（2）由已知和等比数列的通项公式得2510,2q q -+=可求得公比 2.q =代入可求得m 的值.解：（1）()3333612345612312331S a a a a a a a a a a q a q a q S q =+++++=+++++=+，()()6333339.811S S S q S q =∴+=+解得12q =，所以23114a a q ==. （2）22155++,22m m m m m m a a a a a q a q ++=∴=得2510,2q q -+=因为1q >，所以 2.q = 由()()211212129,9,1212mmmm a a SS --==⨯--又10,a≠所以()212912m m -=-，即()()()1212912,mmm-+=-因为*,m N ∈则120,m-≠所以129m +=，解得3m =.13.（1；（2）5.【解析】13.（1）根据题设条件，利用余弦定理，求得1cos 3A =，进而求得sin A 的值； （2）由()12sin sin sin sin 3C B A C C C ==+=+，得到sin C C =，进而求得tan C 的值.（1）在ABC 中，因为2223332b c a bc +=+，即22223b c a bc +-=由余弦定理可得2221cos 23b c a A bc +-==，因为()0,A π∈，所以sin A ===. （2）在ABC 中，可得()B AC π=-+，可得 sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+，由()12sin sin sin sin cos cos sin cos sin 33C B A C A C A C C C ==+=+=+，可得sin cos 5C C =，又由sin 2sin B C =，则sin 1C ≠，则cos 0C ≠，所以sin tan cos 5C C C ==. 14.（1）13；（2）分布列答案见解析，数学期望：4112.【解析】14.（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ，得到D ABC BC A =+，结合互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，根据互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解. （1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ， 则()34P A =，()()23P B P C ==， D ABC BC A =+，其中ABC C AB +互斥，,,,,A B C B C 相互独立，从而()()()()322114336P ABC P A P B P C ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭， 则()()()()13P D P ABC ABC P ABC P ABC =+=+=，所以该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为13. （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5， 则()()()()()3221011143336P X P ABC P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()3111143312P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=，1211121(2)()()()()()()()4334339P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=，()()()()()()()()321312134334333P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=()()()()()122144339P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,3221(5)()()()()4333P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,该射手的总得分X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012345.3612939312E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=15.（1）证明见解析；（2【解析】15.（1）利用面面垂直的性质定理得出BC ⊥平面PAB ，可得出BC PA ⊥，推导出PAC △为等腰直角三角形，可得出PA AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可证得PA ⊥平面ABCD ；（2）在底面ABCD 内，过点B 作BH AC ⊥，垂足为H ，连接PH ，设BC a =，推导出BPH ∠为直线PB 与平面PAC 所成角，计算出BH 、PB ，进而可计算得出sin BPH ∠.（1）四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，所以BC AB ⊥，又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，BC ⊂平面.ABCD 所以BC ⊥平面PAB ，又因为AB 、PA 、PB ⊂平面PAB ，所以BC AB ⊥，BC PA ⊥，BC PB ⊥， 从而PBA ∠是二面角P BC A --的平面角，因为二面角P BC A --的大小为45，所以45PBA ∠=，在PAB △中，AB PA =，所以45BPA PBA ∠∠==，所以90PBA ∠=， 即AB AP ⊥，又因为BC PA ⊥，AB BC B ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ；（2）在底面ABCD 内，过点B 作BH AC ⊥，垂足为H ，连接PH ，由（1）知PA ⊥平面ABCD ，又BH ⊂平面ABCD ，所以PA BH ⊥， 又因为BH AC ⊥，PAAC A =，所以BH ⊥平面PAC ，从而BPH ∠为直线PB 与平面PAC 所成角，设BC a =，则2AB AP a ==，AC ==，所以，BA BC BH AC ⋅==PB ==， 所以直线PB 与平面PAC所成角的正弦值为sin BH BPH PB ∠===16.（1）最小值3+；（2）()211e a e e +<-+.【解析】16.（1）由1是函数()f x 的极值点得1a b +=，对12a b+用基本不等式中“1的代换”求最值； （2）把“存在0x ∈[1e ，1]，使0()0f x <成立”转化为函数()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值小于0，利用导数讨论单调性，找到最小值，解出a 的范围即可. 解：（1）()21,a bf x x x=--'因为1是函数()f x 的极值点，所以 ()110,f a b '=--=即 1.a b +=此时()()()()222222111x b x b x x b a b x ax b f x x x x x x----+--=--=='= 当()01,0;x f x '<<<当()1,0,x f x >'>所以函数()f x 在1x =处取极小值.所以()121223b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭因为0,0a b >>，所以2b a a b +≥=(当且仅当21a b =-=时等号成立) 此时12a b+有最小值3+. （2）当1b a =+时，()1ln a f x x a x x+=-+，存在01,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使()00f x <成立，即函数()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值小于0.()()()221111(0)x x a a a f x x x x x ⎡⎤+-'++⎣⎦=-==> ①当11,a +≥即0a ≥时，() f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()11120f a a =++=+<， 所以2a <-，不符，舍去；②当11,a e +≤即11a e 时，() f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()()111110,f a e a e a e e e e⎛⎫=+++=+++< ⎪⎝⎭所以()211e a e e +<-+，又11,a e≤-所以()211e a e e +<-+；（3）当111a e <+<时，即110a e-<<时， ()f x 在1,1a e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,1a +上单调递减，所以()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()()()111ln 11ln 12f a a a a a a ⎡⎤+=++-+=-++⎣⎦因为111,a e<+<所以()1ln 10,a -<+<所以()11ln 12a <-+< 所以()1ln 12a a a a ⎡⎤>-+>⎣⎦，所以()()11ln 12220,f a a a a ⎡⎤+=-++>+>⎣⎦不符，舍去，综上可得，a 的取值范围是()211e a e e +<-+. 17.（1）221x y -=；（2）①0k =；②),A λ=(),A λ=【解析】17.（1）由题意a b =，代入已知点建立方程，解之可得双曲线C 的标准方程.（2）①由对称性可设()(),,,E x y F x y --，且1≥x ，运用向量数量积的坐标运算表示221BE BF x y ⋅=--+，又由221y x =-可得()2210BE BF x ⋅=-≤，由此可得EBF ∠最小时，k 的值.②设(),,A m n 过点B 的动直线为： 1.y tx =+设()()1122,,,,P x y Q x y 与双曲线的方程联立得()221220txtx ---=，根据根的判别式和根与系数的关系可求得22t <且21t ≠，由直线的斜率公式得121211tx n tx nx m x mλ+-+-+=--，再由恒等式的思想可求得点A 的坐标及实数λ的值.解：（1）由题意a b =，且2251441a b -=解得1a b ==， 所以双曲线C 的标准方程为221.x y -=（2）①由对称性可设()(),,,E x y F x y --，且1≥x ，则()()22,1,11BE BF x y x y x y ⋅=-⋅---=--+，因为E 点在双曲线C 上，所以221x y -=，所以221y x =-，所以()2210BE BF x ⋅=-≤，当1x =时，0,BE BF EBF ∠⋅=为直角， 当1x >吋，0,BE BF EBF ∠⋅<为钝角. 因此，EBF ∠最小时，1,0x k ==.②设(),,A m n 过点B 的动直线为： 1.y tx =+设()()1122,,,,P x y Q x y 联立2211x y y tx ⎧-=⎨=+⎩得()221220t x tx ---=，所以()22212212210Δ48102 121t t t t x x t x x t ⎧-≠⎪=+->⎪⎪-⎨+=-⎪-⎪⎪=--⎩，由210t -≠且Δ0>，解得22t <且21t ≠，AP AQ k k λ+=，即1212,y n y n x m x m λ--+=--即121211tx n tx nx m x mλ+-+-+=--， 化简得()()()2121221220t x x mt n m x x m mn m λλλ-+-+-++-+-=，所以()()222222122011t t mt n m m mn m t tλλλ--+-+-+-+-=--， 化简得()()2222212220mmn t m n t m mn m λλλλ-+--+-+-=，由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立，所以2220102220m mn m n m mn m λλλλ⎧-=⎪--=⎨⎪-+-=⎩如果0,m =那么1,n =-此时()0,1A -不在双曲线C 上，舍去.因此0,m ≠从而22,m n =代入21m n =+解得1,n m ==.此时()A 在双曲线C 上.综上，),A λ=或者(),A λ=.18.BC【解析】18.在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，3AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断各选项，特别是CD ． 由向量加法和减法法则判断AB ．如图，OA a =，OB b =，1OA OB ==，3AOB π∠=，则1AB OA ==，即1a b -=，B 正确；OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．AB 中点是M ， 则23a b OM +==，A 错；c OC =的最大值为12OM MC +=<C 正确；a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．D 错误．故选：BC ．19.ABD【解析】19.根据正态分布的数字特征可判断ABC 选项的正误，计算出()900.97725P ξ≥>，可判断D 选项的正误.因为该校学生的成绩服从正态分布()110,81N ，则110μ=，方差为281σ=，标准差为9σ=，21102992μσ-=-⨯=，()()()()11909222222P P P P ξξξμσμσξμσ≥>≥=≥-=+-<<+110.95450.977250.9522=+⨯=>.所以，该校学生成绩的期望为110，该校学生成绩的标准差为9，该校学生成绩及格率超过95%.所以，ABD 选项正确，C 选项错误. 故选：ABD. 20.ACD【解析】20.根据斐波那契数列的递推关系21n n n a a a ++=+进行判断． 由题意斐波那契数列前面8项依次为1,1,2,3,5,8,13,21，8721,1123581333a S ==++++++=，A 正确，B 错误； 22122212324212332212331n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ---------=+=++==++++=++++，C 正确；22222212121222121222122222321222223()()n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ---------------=+=+=++=++2222222221223322122321n n n n a a a a a a a a a a ----=++++=+++++，1011n =时，得20212221220212022a a a a a +++=，D 正确．故选：ACD ． 21.AD【解析】21.根据题中所给定义，结合条件，逐一检验各个选项，分析整理，即可得答案. 对于A ：()3xf x =，定义域为R ，当1a =时，有[1,1]R -∈， 对任意1[1,1]x ∈-，11()3xf x =，因为1[1,1]x ∈-，存在21[1,1]x x =∈-，使1101211()()()()3331x xf x f x f x f x -⋅-=⋅-=⋅==，所以函数()3xf x =是(1)P 函数，故A 正确；对于B ：3()f x x =，定义域为R ，当2a =时，有[2,2]R -∈， 当10x =时，1()0f x =，所以不存在2[2,2]x ∈-，使得12()()1f x f x ⋅-=，此时12()()0f x f x ⋅-=，故B 错误； 对于C ：当t =4时，12()log (4)f x x =+，定义域为(4,)-+∞，2a =， 因为12[2,2],[2,2]x x ∈-∈-，则2[2,2]x -∈-， 所以4[2,6]x +∈，又12()log (4)f x x =+为增函数， 所以1212()[log 2,log 6]f x ∈，又因为121212log 6log 121,log 20<=>，所以()(0,1)f x ∈， 所以12()(0,1),()(0,1)f x f x ∈-∈，所以12()()(0,1)f x f x ⋅-∈，即12()()1f x f x ⋅-≠，故C 错误； 对于D ：当 44x ππ-≤≤时，1tan 1x -≤≤， 所以()[1,1]f x b b ∈-+， 因为函数()tan f x x b =+是P (4π)函数， 所以对任意1[,]44x ππ∈，总存在2[,]44x ππ∈使12()()1f x f x ⋅-=， 又2[,]44x ππ-∈，当21x x =时，11()()1f x f x ⋅-=，当14x π=时，有(1)(1)1b b -+=，解得b=，故D 正确.故选：AD 22.4 12【解析】22.依题意可得椭圆与抛物线的焦点为()1,0F ，根据抛物线的定义即可求出n ，再设椭圆与抛物线在第一象限的交点为(),A x y ，由抛物线的定义求出A 的坐标，最后代入椭圆方程，求出参数m ，即可求出椭圆离心率；解：椭圆C 1：2211x y m m+=+，所以右焦点()1,0F ，又()1,0F 也为22:C y nx =的焦点，所以14n=，所以4n =，即抛物线22:4C y x =，则抛物线的准线为1x =-，设椭圆与抛物线在第一象限的交点为(),A x y ，则513x +=，所以23x =，又点A 在22:4C y x =上，所以2243y =⨯，解得y =，所以23A ⎛ ⎝⎭，所以222311m m⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭+=+，解得3m =或89m =-（舍去）所以椭圆方程为22143x y +=，所以24a =，23b =，2221c a b =-=，所以离心率12c e a == 故答案为：4；12。

常州市教育学会学业水平测试高一数学 2021 年 1月注意事项:1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题 卡上. 写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将答题卡交回.一、选择题: 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. 命题“112>>∀x x ，”的否定是 A. 112≤>∀x x ， B. 112≤≤∃x x ， C. 112≤≤∀x x ， D. 112≤>∃x x ， 【答案】D【考点】全称量词命题的否定【解析】由题意，全称量词命题的否定需要将“∀”改为“∃”，结论否定即可，所以答案选D.2. 已知集合()(){}02|=--=a x x x M ，{}31，=N ，若∅=N M ，{}321，，=N M ，则实数a 的值为A. 1B. 2C. 3D.4 【答案】B【考点】集合的运算【解析】由题意可知当集合M 为双元素集合时，{}a M ，2=，因为{}31，=N ，∅=N M ，{}321，，=N M ，则不符合题意，所以集合M 为单元素集合，即2=a ，故答案选B.3. 学校操场上的铅球投郑落球区是一个半径为10米的扇形，并且沿着扇形的弧是长度 为约6米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为 A. rad 6.0 B. rad 6 C. rad 06 D. rad 006 【答案】A【考点】弧度制与角度制、扇形的弧长【解析】由题意可知弧长6=l ，且10=R ，所以rad R l 6.0106===α，故答案选A. 4. 若函数()3lg -+=x x x f 的零点所在的区间为()1+a a ，，则整数a 的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C【考点】函数的零点概念及零点存在性定理的应用【解析】由题意可知()021<-=f ，()012lg 2<-=f ，()03lg 3>=f ，所以满足()()032<⋅f f ，所以零点所在的区间为()32，，故答案选C. 5. 函数()541xx x f -=的图象大致为【答案】D【考点】函数的图象识别与判断【解析】由题意可知该函数()541x x x f -=，满足()()()()x f x x x x x f -=--=---=-545411，则函数为奇函数，所以选项A 、C 错误，可排除；因为()3215221254-=-=f ，()43280331354-=-=f ，显然()()32f f <，所以排除选项B ，故答案选D.6. 已知a ，b 都是正数，则“4≥ab ”是“ab b a =+”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B【考点】逻辑用语中条件的判断【解析】由题意可知当4≥ab 时，可取41==b a ，，显然不满足ab b a =+；当ab b a =+时，且00>>b a ，，所以ab ab b a 2≥=+，即()ab ab 42≥，解得04≤≥ab ab 或，所以“4≥ab ”是“ab b a =+”的必要不充分条件，故答案选B.7. 17 世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了叉数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”. 已知3010.02lg ≈，4771.03lg ≈，设105274⨯=N ，则N 所在的区间为A. ()16151010，B. ()17161010， C. ()18171010， D. ()19181010，【答案】C【考点】指对数的运算【解析】由题意对N 取常用对数，得27lg 104lg 527lg 4lg 274lg lg 105105+=+=⨯=N =323.173lg 302lg 103lg 102lg 532≈+=+，则()181717.323101010，∈=N ，故答案选C.8.已知()x f 是定义在[]11，-上的奇函数，且()11-=-f ，当[]11，，-∈b a 且0≠+b a 时，()()0>++b a b f a f .已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππθ，，若()θθ2cos 2sin 34-+<x f 对[]11，-∈∀x 恒成立，则θ的取值范围是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-26ππ， B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛--32ππ， C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23ππ， D. ⎪⎭⎫⎝⎛-62ππ，【答案】A【考点】函数的性质综合【解析】由题意()x f 是在[]11，-上的奇函数，且当[]11，，-∈b a 且0≠+b a 时，即b a -≠，()()0>++b a b f a f 可化为()()()()0>--=--+b a b f a f b a b f a f ，则()x f 在[]11，-上单调递增，又()11-=-f ，所以()11=f ，所以()()11max ==f x f ，则⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππθ，时，()θθ2max cos 2sin 34-+<x f 对[]11，-∈∀x 恒成立，即θθ2cos 2sin 341-+<对⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππθ，恒成立，此时()11sin ，-∈θ，则化简为01sin 3sin 22>++θθ对⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππθ，恒成立，即()()01sin 1sin 2>++θθ，因为()11sin ，-∈θ，所以21sin ->θ解得⎪⎭⎫⎝⎛-∈26ππθ，，故答案选A. 二、选择题: 本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 下列命题中，正确的有 A. 若0>>b a ，则22bc ac >B. 若0<<b a ，则22b ab a >>C. 若0>>b a 且0>c ，则abc a c b >++ D. 若0<<b a 且0<c ，则22bca c < 【答案】BC【考点】不等式的基本性质 【解析】法一：由题意可取特殊值验证，对于A 选项，取12==b a ，，当0=c 时，不能推出22bc ac >，故选项A 错误；对于选项B ，取12-=-=b a ，，则22b ab a >>，故选项B 正确；对于选项C ，取212===c b a ，，，可得2143=>=++a b c a c b ，故选项C 正确；对于选项D ，取112=-=-=c b a ，，，可得114122=<=b c a c ，故选项D 正确；所以答案选BC.法二：由题意，对于A 选项，由不等式的基本性质可得，当0=c 时，不22bc ac >能推出，故选项A 错误；对于选项B ，因为0<<b a ，所以ab a >2且2b ab >，则22b ab a >>，故选项B正确；对于选项C ，因为0>>b a 且0>c ，所以()()()()()0>+-=++-+=-++c a a b a c c a a c a b c b a a b c a c b ，所以abc a c b >++，故选项C 正确；对于选项D ，因为0<<b a 且0<c ，所以022>>b a ，所以22110b a <<，所以22bca c >，故选项D 正确；所以答案选BC.10. 某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行价就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为 A. 2.5元 B. 3元 C. 3.2元 D. 3.5元 【答案】BC【考点】解决实际问题【解析】由题意可设杂志最高定价为x 元，总销售收入为y 元，则x x x x y 150002500050002.021000002+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯--=，因为销售收入不少于22.4万元时，可得到22400015000250002≥+-=x x y ，解得2.38.2≤≤x ，所以答案选BC.11. 对于函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6cos πωx x f (其中0>ω)，下列结论正确的有 A. 若()⎪⎭⎫⎝⎛≤12πf x f 恒成立，则ω的最小值为2 B. 当21=ω时，()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛034，π中心对称 C. 当2=ω时，()x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π，上是单调函数D. 当1=ω时，()x f 的图象可由()x x g sin =的图象向左平移3π个单位长度得到 【答案】ABD【考点】三角函数的图象与性质及变换 【解析】由题意，对于选项A ，若()⎪⎭⎫⎝⎛≤12πf x f 恒成立，则1612cos 12=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πωππf ，则Z k k ∈=-，ππωπ2612，解得Z k k ∈+=，242ω，因为0>ω，所以ω的最小值为2，故选项A 正确；对于选项B ，当21=ω时，函数解析式为()⎪⎭⎫⎝⎛-=62cos πx x f ，且02cos 63421cos 34==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππf ，所以()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛034，π中心对称，故选项B 正确；对于选项C ，当2=ω时，函数解析式为()⎪⎭⎫⎝⎛-=62cos πx x f ，因为⎪⎭⎫⎝⎛∈20π，x ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-65662πππ，x ，则函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62cos πx x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-06，π上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛650π，上单调递减，故选项C 错误；对于选项D ，当1=ω时，函数解析式为()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 26sin 6cos ππππx x x x f ，所以()x f 的图象可由()x x g sin =的图象向左平移3π个单位长度得到，故选项D 正确；所以答案选ABD. 12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著, 狄利克雷函数就以其名命名，其解析 式为()⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x D 01关于函数()x D 有以下四个命题，其中真命题有A.()x D 既不是奇函数也不是偶函数B. ()()x D r x D Q r =+∈∀，C. ()()1=∈∀x D D R x ，D. ()()()y D x D y x D R y x +=+∈∃，， 【答案】BCD【考点】新定义函数的性质及应用【解析】由题意，对于选项A ，当x 为有理数时，x -为有理数，则()()1==-x D x D ，同理当x 为无理数时，x -为无理数，则()()0==-x D x D ，所以当R x ∈时，()()x D x D =-，所以函数为偶函数，故选项A 错误；对于选项B ，当x 为有理数时，r x +为有理数，所以()()1==+x D r x D ，x 为无理数时，r x +为无理数，()()0==+x D r x D ，所以()()x D r x D Q r =+∈∀，，故选项B 正确；对于选项C ，当x 为有理数时，()()()11==D x D D ，当x 为无理数时，()()()10==D x D D ，所以()()1=∈∀x D D R x ，，故选项C 正确；对于选项D ，当x 、y 均为无理数，可令32==y x ，时，y x +为无理数，则()0=+y x D ，()()000=+=+y D x D 满足()()()y D x D y x D +=+，所以()()()y D x D y x D R y x +=+∈∃，，，故选项D 正确；所以答案选BCD.三、填空题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 若角α的终边经过点()43，-P ，则()=+πα2021sin 【答案】54-【考点】三角函数的概念、诱导公式 【解析】由题意()54434sin 22=+-=α，则()()54sin sin 2021sin -=-=+=+απαπα，故答案为54-. 14. 计算:()=+⎪⎭⎫⎝⎛--326log 125.0212【答案】10【考点】指对数运算【解析】由题意，原式()104686868123232326log 2=+=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-，故答案为10.15. 已知函数()()mm xm m x f 42222---=是幂函数，且()∞+∈，0x 时，()x f 单调递减，则 m 27log 的值为【答案】31【考点】幂函数的概念及性质【解析】由题意可得1222=--m m ，解得13-==m m 或，当3=m 时，()3-=x x f 在()∞+，0上单调递减，满足题意，所以313log 313log log 33273===m ；当1-=m 时，()5x x f =在()∞+，0上单调递增，不满足题意，故舍去，综上，3=m ，31log 27=m . 16. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤=11102x xx x x f ，，若关于x 的方程()()02=--m f x f 在[0，4]上有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范固是 .【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛2141，【考点】用数形结合思想解决函数的零点问题【解析】由题意()212=f ，则原方程可化为()021=--m x f 在[0，4]上有3个不相等的实数根，即函数()()2f x f -的图象与函数m y =的图象在[0，4]上有三个交点，所以()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=-12111021221x x x x x f ，，，可作出函数()()2f x f -的图象，由图像可知在[0，4]上有三个交点，得到⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2141，m .或函数()()2f x f -的图象可先作出函数()x f 的图象，再向下平移21个单位长度，最后再把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方得到.四、解答题: 本大题共 6 小题，共 70 分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

常州市教育学会学业水平监测高二数学2024年6月注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2230M x x x =--<，{}2ln 5N x x =-≤≤，则M N ⋂=（）A ．[)ln 5,3B ．(]1,ln 5-C ．[)2,1-D ．[)2,3-2．已知曲线()2ay x a x=-∈R 在2x =处的切线斜率为2，则=a （）A ．18-B ．18C ．8-D ．83．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．从3名男生与2名女生中选出2人担任班委，则“恰有1名男生与1名女生当选”的概率是（）A ．310B ．25C ．35D ．235．某市为了解高一新生的身高情况，抽取了10000位高一新生的身高作为样本.若高一新生的身高X 近似服从正态分布()2165,N σ，且()1800.1P X ≥=，则在10000位高一新生中身高在区间[]150,180内的人数约为（）A ．2000B ．4000C ．6000D ．80006．已知0x >，0y >，且21x y +=，则22x yxy+的最小值为（）A ．172B．1+C ．4D．4+7．已知函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则5π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．33B．CD．2+8．已知函数()f x 及其导数()f x '的定义域均为R ，对任意实数x ，()()2f x f x x =--，且当0x ≥时，()10f x x '++>.不等式()()232232xf x f x x --<-+的解集为（）A ．(),2-∞B ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知符号函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则（）A ．()sgn x 是周期函数B ．对任意的x ∈R ，()sgn x x x =--C ．函数()2sgn xy x =的值域为(][)1,01,-+∞ D ．函数()2sgn ln y x x =-的值域为{1y y <-或}01y ≤<10．现有编号分别为1，2，3的三个袋子，装有质地均匀且大小相同的小球.1号袋中有10个小球，其中红球3个；2号袋中有10个小球，其中红球4个；3号袋中有20个小球，其中红球5个.现将所有小球标记后放入一个袋中混合均匀，从中随机抽取一个小球，记事件M ：该球为红球，事件i A ：该球出自编号为()1,2,3i i =的袋子，则（）A ．()1310P M A =B ．()1920P M =C ．()223P A M =D ．()318P MA =11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A B 的中点，点Q 在正方形11CC D D 内部及其边界上运动，则下列说法正确的有（）A ．当PQ =Q 的轨迹长度为πB ．若//PQ 平面1A BD ，则PQ 长度的最小值为2C ．当PQ =Q AB P --D ．记直线PQ 与平面11AA B B 所成角为θ，则sin θ的取值范围是2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数()1e x f x +=，()3g x x =，若存在实数a ，b ，使得()()f a g b =，请写出b a -的一个可能值：.13．如图，在半径为8的半圆形纸片中，O 为圆心，AB 为直径，C 是弧AB 的中点，D 是弧AC 的中点，将该纸片卷成一个侧面积最大的无底圆锥后，异面直线OA 与CD 所成角的余弦值是.14．定义{}min ,,a b c 表示,,a b c中最小的数，已知实数,,a b c 满足0a b ++=，2=-，则{}min ,,a b c 的最大值是.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知a ∈R ，命题p ：x ∀∈R ，220x x a ++>为真命题.实数a 的取值集合记为A .(1)求集合A ；(2)设()1ln1x m f x m x--=--的定义域为集合B ，若B A ⊆，求实数m 的取值范围.16．如图，直线PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是梯形，//AB CD ，CD PA ⊥，F 为线段PA 上异于端点的一点，112PD AB AD CD ====，四边形PDCE 是平行四边形.(1)若F 是PA 的中点，求证：//AC 平面DEF ；(2)求二面角F PB C --的大小.17．在①()f x 在区间2π7π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，②0π12f ⎛-⎫= ⎪⎝⎭，③()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面题目中，并解答.已知函数()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，___________.(1)当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()1f x m -≤恒成立，求实数m 的取值范围；(2)将函数()f x 的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为12倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调增区间.18．某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为0.8；如果出现语法错误，机器人作答正确的概率为0.3.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立.该研发团队成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的10个问题中随机抽取5个作答.已知在这10个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中9个问题.(1)对抽出的5个问题，求小王能全部答对的概率；(2)求聊天机器人答对题数X 的数学期望；(3)答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率.19．已知函数()()e ln 1xf x x ax =++-，a ∈R .(1)若()f x 在区间()1,-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)当3a =时，判断关于x 的方程()1f x =实数根的个数，并证明.1．B【分析】先将集合M 化简，再利用交集运算的定义求解.【详解】集合{}{}2230|13M x x x x x =--<=-<<，因为21ln 5ln e 2lne =<<=，所以{|1ln 5}M N x x ⋂=-<≤，即(1,ln 5]M N ⋂=-.故选：B 2．C【分析】借助导数的运算法则求出导数后，结合导数的几何意义计算即可得.【详解】22a y x x '=+，由题意22222a⨯+=，解得8a =-.故选：C.3．B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 考点：不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．4．C【分析】求出从5人中选2人的方法数，再求出选的两人恰有1名男生与1名女生的方法数，然后由古典概型的概率公式求解即可.【详解】因为从3名男生与2名女生中选出2人有25C 10=种选法，选的两人恰有1名男生与1名女生的有1132C C 6=种选法，所以所求的概率为63105=.故选：C 5．D【分析】借助正态分布的对称性可得()150180P X ≤≤，即可得解.【详解】由()2165,X N σ ，()1800.1P X ≥=，则()150180120.10.8P X ≤≤=-⨯=，100000.88000⨯=，故人数约为8000人.故选：D.6．D【分析】借助“1”的活用，结合基本不等式计算即可得.【详解】()22222224=2x y x y xyxy xy xyx y x y +++++⋅=4≥==+，当且仅当222x y =，即47x =，2217y =时，等号成立.故选：D.7．B【分析】利用正切型函数的图像得出T ，再算出,ωϕ，从而得解.【详解】由图像可知：ππ2π2263T T =-⇒=，所以π32T ω==，把π,02⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式得：()3π3πtan 0π224k k ϕϕ⎛⎫⋅+=⇒=-∈ ⎪⎝⎭Z ，因为π2ϕ<，取1k =得π4ϕ=，所以()3πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则5π35ππ2πtan tan1821843f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.8．B【分析】构造函数()()212g x f x x x =++，从而结合导数与所给条件得到函数()g x 的单调性与对称性，在将所给不等式中()f x 化为()g x 即可得解.【详解】令()()212g x f x x x =++，则()()1g x f x x ''=++，由题意可得，当0x ≥时，()10f x x '++>，即()g x 在()0,∞+上单调递增，由()()2f x f x x =--，则()()2211222g x x x g x x x x --=--+-，即()()g x g x =-，故()g x 为偶函数，故()g x 在(),0∞-上单调递减，则不等式()()232232x f x f x x --<-+可化为：()()()()2221132222223222x g x x x g x x x x ------++<-+，即()()22g x g x -<，则有22x x -<，即()2222x x -<，即()()22220x x x x -+--<，即()()3220x x --<，解得2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数()()212g x f x x x =++，从而结合导数与所给条件得到函数()g x 的单调性与对称性.9．BD【分析】对A ：利用周期函数性质举出反例即可得；对B ：将x 与()sgn x 都写成分段形式即可得；对C 、D ：利用符号函数，将所给函数化为分段函数形式后结合指数与对数函数的性质分段计算其值域即可得.【详解】对A ：由()sgn 00=，当0x ≠时，()sgn 0x ≠，故()sgn x 不是周期函数，故A 错误；对B ：,00,0,0x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，由()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则(),0sgn =0,0,0x x x x x x x >⎧⎪--=⎨⎪-<⎩，故对任意的x ∈R ，()sgn x x x =--，故B 正确；对C ：()2,02sgn 0,02,0x xx x y x x x ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩，当0x >时，()21,x y =∈+∞，当0x =时，0y =，当0x <时，()21,0xy =-∈-，综上所述，函数()2sgn xy x =的值域为(]()1,01,⋃-+∞，故C 错误；对D ：()222,01sgn ln =0,1,1x x y x x x x x ⎧<<⎪=-=⎨⎪->⎩，则01x <<时，()20,1y x =∈，当1x =时，0y =，当1x >时，()2,1y x =-∈-∞-，故函数()2sgn ln y x x =-的值域为{1y y <-或}01y ≤<，故D 正确.故选：BD.10．ACD【分析】根据条件概率的计算公式即可结合选项逐一求解.【详解】由题意可知()345310102010P M ++==++，()11011010204P A ==++故()()1113()3401104P MA P M A P A ===,()2235()2403()310P A M P A M P M +===,()33351()(),103458P MA P M P A M =⋅=⨯=++故选：ACD 11．AD【分析】建立适当空间直角坐标系后，设出Q 点坐标，对A ：利用空间两点间距离公式计算即可得点Q 轨迹，即可得其长度；对B ：借助空间向量求出平面1A BD 法向量可得点Q 轨迹，即可得其长度的最小值；对C ：借助空间向量求出两平面的法向量后可得其夹角的余弦值，结合点Q 轨迹即可得其范围；对D ：求出平面11AA B B 法向量后借助空间向量夹角公式计算即可得.【详解】以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,0D ，()2,1,2P ，设()0,,Q m n ，02m ≤≤，02n ≤≤，对A ：PQ ==()()22121m n -+-=，则点Q 的轨迹为以()0,1,2为圆心，1为半径，且在正方形11CC D D 内部的半圆，则点Q 的轨迹长度为12π1π2⨯⨯=，故A 正确；对B ：()2,1,2PQ m n =---，()12,0,2A ，()2,2,0B ，则()12,0,2DA = ，()2,2,0DB = ，令平面1A BD 的法向量为()111,,m x y z =，则有11111220220m DA x z m DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，可令11x =，则111y z ==-，即()1,1,1m =-- ，由//PQ 平面1A BD ，则有()()()()2111210PQ m m n ⋅=-⨯+-⨯-+-⨯-=，即1m n +=，则PQ ===≥，故B 错误；对C ：()2,0,0A ，()2,,AQ m n =- ，()2,2,BQ m n =--，设平面ABQ 的法向量为()222,,x y z α=，则有()22221220220AQ x my nz BQ x m y nz αα⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩ ，可令2x n =，则20y =，22z =，即(),0,2n α=，易得x 轴⊥平面ABP ，故平面ABP 的法向量可为()1,0,0β=，则cos ,αβαβαβ⋅==⋅ 由A 知()()22121m n -+-=，故()()221120m n -=--≥，即[]1,2n ∈，则52cos ,,52αβ=⎥⎣⎦ ，故二面角Q AB P --C 错误；对D ：()2,1,2PQ m n =--- ，平面11AA B B 法向量为()1,0,0β=，则sin cos ,PQ PQ PQ βθββ⋅===⋅由02m ≤≤，02n ≤≤，则()()[]22120,5m n -+-∈，故2sin ,13θ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于建立适当空间直角坐标系，从而借助平面的法向量研究位置关系，借助空间向量的夹角公式研究二面角或线面角.12．2（答案不唯一）【分析】取1,1a b =-=即可代入求解.【详解】取1,1a b =-=，则()()()()01e 1,11f a f g b g =-====，满足()()f a g b =，此时2b a -=，故答案为：2（答案不唯一）13．24【分析】根据圆锥的几何特征，结合异面直线所成角的几何法，即可利用三角形的边角关系求解.【详解】如图，设圆锥的底面圆半径为r ，则8π2π4r r =⇒=，D 是弧AC 的中点，ADC △为等腰直角三角形，故2DC r ===过A 作//AM DC 交底面圆于M ，则M 为弧AC 中点，故22222AM AC r ==⨯=,又8OA OM ==,所以12cos 84AMOAM OA ∠==，故异面直线OA 与CD ．故答案为：24.14．2-【分析】由题先分析出实数,,a b c ，一负两正，然后利用基本不等式放缩求出最小值的最大值即可.【详解】因为0a b ++=，2=-，所以,a b 两个数中有一个负数，不妔设a<0，所以{}min ,,a b c a =，由已知可得a b =-，所以(2b -+-，所以(2b +=，所以2(b =≥，所以31≤，所以1≤，由2a=≤-，故{}min ,,a b c 的最大值是2-.故答案为：2-15．(1){}|1a a >(2)[)2,+∞【分析】（1）根据Δ0<求出a 的取值范围，即可求出A ；（2）依题意可得101x m m x-->--，解得即可求出B ，再根据B A ⊆，得到11m -≥，解得即可.【详解】（1）因为命题p ：x ∀∈R ，220x x a ++>为真命题，所以2240a ∆=-<，解得1a >，所以{}|1A a a =>；（2）对于函数()1ln 1x m f x m x--=--，则101x m m x -->--，即()()110x m x m -+--<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因为11m m +>-，解得11m x m -<<+，所以{}|11B x m x m =-<<+，又B A ⊆，所以11m -≥，解得2m ≥，即实数m 的取值范围为[)2,+∞.16．(1)证明见解析(2)5π6【分析】（1）借助中位线的性质可得线线平行，结合线面平行的判定定理即可得；（2）结合所给位置关系，建立适当空间直角坐标系，借助空间向量夹角公式计算即可得.【详解】（1）连接PC ，设其与DE 交于M ，由四边形PDCE 是平行四边形，则M 为PC 中点，连接FM ，又F 是PA 的中点，则//FM AC ，由AC ⊄平面DEF ,FM ⊂平面DEF ,故//AC 平面DEF ；（2）由PD ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，则PD CD ⊥，PD AD ⊥，有CD PA ⊥，PA PD P = ，,PA PD ⊂平面PAD ，故CD ⊥平面PAD ，又AD ⊂平面PAD ，故CD AD ⊥，故PD 、DA 、DC 两两垂直，故可以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0D 、()0,0,1P 、()1,0,0A 、()1,1,0B 、()0,2,0C ，则()1,0,1PA =- 、()1,1,1PB =- 、()0,2,1PC =- ,令平面FPB 与平面PBC 的法向量分别为()111,,m x y z = 、()222,,n x y z = ，则有1111100m PA x z m PB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，22222020m PB x y z m PC y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令121x x ==，则有10y =，11z =，21y =，12z =，即()1,0,1m = ，()1,1,2n = ，则cos ,m n m n m n ⋅==⋅ 由图可知，二面角F PB C --为钝角，故二面角F PB C --的余弦值为，则二面角F PB C --的大小为5π6.17．(1)11,22⎤-⎢⎥⎣⎦(2)ππππ,,Z 21226k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）首先选出条件，再利用条件求出π6ϕ=，进而求出函数()f x 在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最值，再结合恒成立的不等式求解即得.（2）根据（1）的结论，利用三角函数图象变换求出()g x ，再利用正弦函数的性质求出递增区间.【详解】（1）选条件①()f x 在区间2π7π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，得ππ4π7π2,2233x ϕϕϕϕ⎛⎫-<<⇒+∈++ ⎪⎝⎭，所以满足条件π4π2π23,Z 7ππ2π32k k k ϕϕ⎧-≤+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩，得11π11π2π2π,Z 66k k k ϕ-≤≤-∈，又ππ22ϕ-<<，所以取1k =，所以π6ϕ=；选条件②0π12f ⎛-⎫= ⎪⎝⎭，得ππsin 0126f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又ππ22ϕ-<<，所以2πππ363ϕ-<-<，得π06ϕ-=，所以π6ϕ=选条件③()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，知π6x =是()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的一条对称轴，所以πππ,Z 32k k ϕ+=+∈，则ππ,Z 6k k ϕ=+∈又ππ22ϕ-<<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，π2π7π2,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()12f x -≤，由()1f x m -≤恒成立，得()()11f x m f x -≤≤+，当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()1f x -的最大值为12-，()1f x +的最小值为12，则1122m -≤≤所以实数m的取值范围11,22⎤-⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知()πsin 26f x x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位后，得πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将得到的图象上各点的横坐标变为12倍，得πsin 46y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π42π,Z 262k x k k -≤-≤+∈，得ππππ,Z 21226k k x k -≤≤+∈，()g x 的单调增区间是ππππ,,Z 21226k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦18．(1)12(2)3.75(3)11572048【分析】（1）根据组合知识求出相应的概率；（2）根据全概率公式得到聊天机器人作答正确的概率，从而得到()5,0.75X B ~，根据二项分布期望公式求出答案；（3）计算出机器人获胜和两者平局的概率，从而求出小王获胜的概率.【详解】（1）小王能全部答对的概率为59510C 1C 2=；（2）设每次输入的问题出现语法错误为事件A ，则()0.1P A =，聊天机器人作答正确为事件C ，则()()()()()()()P C P AC P AC P A P C A P A P C A =+=⋅+⋅0.10.30.90.80.75=⨯+⨯=，故聊天机器人答对题数()5,0.75X B ~，数学期望50.75 3.75EX =⨯=；（3）由题意可得小王最少答对4道题，小王能答对5道题的概率为59510C 1C 2=，答对4道题的概率为4191510C C 1C 2=，由（2）知，聊天机器人答对题数()5,0.75X B ~，故机器人能答对5道题的概率为5553243C 41024⎛⎫= ⎪⎝⎭，机器人能答对4道题的概率为44531405C 441024⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故机器人获胜的情况为机器人能答对5题且小王答对4题，故机器人获胜的概率为1243243210242048⨯=，小王和机器人平局的情况为小王和机器人都答对5道题和都答对4道题，其中都答对5道题的概率为1243243210242048⨯=，都答对4道题的概率为1405405210242048⨯=，所以小王获胜的概率为243243405115712048204820482048---=.19．(1)2a ≤(2)3，证明见解析【分析】（1）参变分离后可得1e 1x a x ≤++在()1,∞-+上恒成立，构造相应函数，借助导数研究其单调性即可得其最值，即可得解；（2）构造函数()()e ln 131x x x x μ=++--，结合导数讨论其单调性，可得其极值点，结合零点的存在性定理即可得其零点个数，即可得方程()1f x =的实数根的个数.【详解】（1）()1e 1x f x a x =+-+'，则有()1e 01x f x a x +'=+-≥在()1,∞-+上恒成立，即1e 1x a x ≤++在()1,∞-+上恒成立，令()1e 1x g x x =++，则()()21e 1x g x x =-+'，令()()()21e 1x h x g x x ==-+'，则()()32e 1x h x x =++'，则当()1,x ∞∈-+时，()()32e 01x h x x +'=+>恒成立，故()g x '在()1,∞-+上单调递增，又()()0210e 001g '=-=+，故当()1,0x ∈-时，()00g '<，当()0,x ∞∈+时，()00g '>，故()g x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，即有()()010e 201g x g ≥=+=+，故2a ≤；（2）当3a =时，关于x 的方程()1f x =有三个不同的实数根，证明如下：当3a =时，令()1f x =，即()e ln 131x x x ++-=，令()()e ln 131x x x x μ=++--，则()1e 31x x x μ=+-+'，由（1）知()1e 1x g x x =++在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()1e 31x x x μ=+-+'在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()010e 31001μ=+-=-<+'，()1151e 3e 0112μ=+-=-'>+，223321e 3e 02313μ--⎛⎫-=+-=> ⎪⎭+'⎝-，故存在12,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()20,1x ∈，使()()120x x μμ''==，由()()00e ln 013010μ=++-⨯-=，故0x =是方程()1f x =的一个根，则()10x μ>，()20x μ<，又1x →-时，()x μ∞→-，()()3333e ln 31331e ln 410e 90μ=++-⨯-=+->->故存在()11,m x ∈-，使()0m μ=，即x m =是方程()1f x =的一个根，存在()2,3n x ∈，使()0n μ=，即x n =是方程()1f x =的一个根，综上所述，当3a =时，关于x 的方程()1f x =有三个不同的实数根.【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于灵活利用零点的存在性定理判断函数是否在某个固定区间内有零点，从而得到方程的根的个数.。