平行线与三角形内角和的综合应用每日一题目及答案平行线与三角形内角和的综合应用（每日一题）1． 如图，在△ABC 中，D 为BC 边上一点， DF ⊥AB 于F ，ED ∥AC ，∠A =∠B ．求证：∠EDF =∠BDF ．F E DCA2． 已知：如图，AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∠1=∠2．求证：AB ∥DG ．21GF E DCBA3． 在△ABC 中，∠ACB =90°， E 是BC 边上的一点，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC ，交CF 的延长线于D ．若∠EAC =25°，求∠D 的度数．FEDCBA4． 已知：如图，AC 、EF 相交于点O ，∠E =∠F ，∠1=∠2．求证：AB ∥DG ．O21CGDFEBA5． 已知：如图，AD ∥EF ，BF ∥DG ，∠A =∠B =∠G =35°．求∠EFG 的度数．GFDCBA【参考答案】1.证明：如图，∵DE ∥AC （ 已知 ）∴∠A ＝∠FED （ 两直线平行，同位角相等 ） ∵∠A =∠B （ 已知 ）∴∠B ＝∠FED（ 等量代换 ） ∵DF ⊥AB （ 已知 ）∴∠FED +∠EDF =∠B +∠BDF =90°（ 直角三角形两锐角互余 ） ∴∠EDF =∠BDF （ 等角的余角相等 ） 2.证明：如图，∵EF ⊥BC （ 已知 ）∴∠B +∠1=90° （ 直角三角形两锐角互余 ） ∵AD ⊥BC （ 已知 ） ∴∠2+∠CDG =90° （ 垂直的性质 ） ∵∠1=∠2 （ 已知 ） ∴∠B =∠CDG （ 等角的余角相等 ） ∴AB ∥DG （ 同位角相等，两直线平行 ）3.解：如图，∵CF⊥AE（已知）∴∠EAC +∠ACD=90°（直角三角形两锐角互余）∵∠ACB=90°即∠DCB+∠ACD=90°（已知）∴∠DCB=∠EAC（等角的余角相等）∵∠EAC=25°（已知）∴∠DCB = 25°（等量代换）∵BD⊥BC（已知）∴∠D+∠DCB=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠D=90°-∠DCB=90°-25°= 65°（等式性质）4.证明：如图，∵∠E=∠F （已知）∴AE∥FC （内错角相等，两直线平行）∴∠CAE =∠FCA （两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2 （已知）∴∠1+∠CAE =∠2+∠FCA即：∠CAB=∠DCA（等式性质）∴AB∥DG （内错角相等，两直线平行）5.证明：如图，∵∠A=∠B=35°（已知）∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-35°-35°=110°（三角形的三个内角的和等于180°）∵∠DCF=∠ACB （对顶角相等）∴∠DCF=110°（等量代换）∵BF∥DG（已知）∴∠D+∠DCF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠D=70°（等式性质）∵AD∥EF （已知）∴∠D=∠FEG （两直线平行，同位角相等）∴∠FEG=70°（等量代换）∵∠G=35°（已知）∴∠EFG=180°-∠FEG-∠G=180°-70°-35°=75°（三角形的三个内角的和等于180°）。
学生做题前请先回答以下问题问题1：三角形的内角和等于_______；直角三角形两锐角_______．问题2：要求一个角的度数，我们可以怎么考虑？平行线与三角形内角和过程训练（内角和）（北师版）一、单选题(共8道，每道12分)1.已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=50°．求∠C的度数．①60°；②70°；③三角形的内角和等于180°；④平角的定义．以上空缺处依次所填正确的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④答案：B解题思路：在△ABC中，∠C=180°-60°-50°=70°，依据是三角形的内角和等于180°．所以空白处填②③．故选B．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理2.如图，在△ABC中，∠B=40°，AD平分∠BAC，且∠BAD=30°，求∠C的度数．①角平分线的定义；②∠BAD；③∠BAC；④平角的定义；⑤三角形的内角和等于180°．以上空缺处依次所填正确的是( )A.②③⑤B.①③⑤C.①③④D.②③④答案：B解题思路：因为AD平分∠BAC，且∠BAD=30°，所以∠BAC=2∠BAD=60°．已知∠B=40°，在△ABC中，利用三角形的内角和等于180°即可求出∠C的度数．第一个空：由AD平分∠BAC，得∠BAC=2∠BAD，所以依据是角平分线的定义，①正确；在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=60°，求∠C的度数，所以∠C=180°-∠BAC-∠B，依据是三角形的内角和等于180°，因此第二个空填∠BAC，③正确；第三个空的依据是三角形的内角和等于180°，⑤正确．综上所述，依次所填正确的是①③⑤，故选B．试题难度：三颗星知识点：角平分线3.已知：如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=20°，∠COD=100°．求∠C的度数．①∠D；②∠C；③三角形的内角和等于180°；④平角的定义．以上空缺处依次所填正确的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④答案：A解题思路：由AB∥CD，∠A=20°，利用两直线平行，内错角相等可求得∠D=20°．在△OCD中，结合∠COD=100°，利用三角形内角和等于180°，即可求出∠C的度数．第一个空：条件是AB∥CD，依据是两直线平行，内错角相等，结合结论的前半部分，所以应填∠D，①正确；第二个空：在△COD中，∠COD=100°，∠D=20°，得∠C=180°-∠D-∠COD=180°-20°-100°=60°，所以依据是三角形的内角和等于180°，③正确．综上所述，依次所填正确的是①③，故选A．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理4.已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，求∠A的度数．①∠AED；②∠E；③∠ADE；④两直线平行，同位角相等；⑤同位角相等，两直线平行．以上空缺处依次所填正确的是( )A.②⑤B.③⑤C.①④D.③④答案：C解题思路：由DE∥BC，根据两直线平行，同位角相等，可以得到∠AED=∠C．已知∠AED=40°，所以∠C=40°．在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，由三角形的内角和等于180°，可得∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-40°=80°．故选C．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理5.已知：如图，BE交CD于点F，∠B=125°，∠D=45°，∠E=80°．求证：AB∥CD．①平角的定义；②三角形的内角和等于180°；③对顶角相等；④两直线平行，同旁内角互补；⑤同旁内角互补，两直线平行．以上空缺处依次所填正确的是( )A.②③④B.②③⑤C.①③④D.①③⑤答案：B解题思路：在△DEF中，已知∠D=45°，∠E=80°，利用三角形内角和等于180°，可求出∠DFE；进而利用对顶角相等求出∠BFC；结合∠B=125°，利用同旁内角互补，两直线平行，可以证明AB∥CD．第一个空：在△DEF中，已知∠D=45°，∠E=80°，求得∠DFE=180°-∠D-∠E=180°-45°-80°=55°，所以依据是三角形的内角和等于180°，②正确；第二个空：由对顶角的定义可知，∠BFC和∠DFE是对顶角，所以依据是对顶角相等，③正确；第三个空：∠BFC和∠B是直线AB和直线CD被直线BE所截得到的同旁内角，由同旁内角和等于180°，得两直线平行，因此依据是同旁内角互补，两直线平行，⑤正确．综上所述，依次所填正确的是②③⑤，故选B．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理6.已知：如图，直线AB∥DE，∠1=55°，∠2=65°，求∠3的度数．①∠D=55°；②∠CDE=55°；③内错角相等，两直线平行；④两直线平行，内错角相等；⑤平角的定义；⑥三角形的内角和等于180°．以上空缺处依次所填正确的是( )A.①④⑤B.②④⑤C.①③⑤D.②④⑥答案：D解题思路：如图，由对顶角相等，可得∠1=∠CDE．已知∠1=55°，所以∠CDE=55°．因为AB∥DE，根据两直线平行，内错角相等，可得∠2=∠CED，已知∠2=65°，所以∠CED=65°．在△CDE中，∠CDE=55°，∠CED=65°，由三角形的内角和等于180°，可得∠3=180°-∠CDE-∠CED=180°-55°-65°=60°．故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理7.已知：如图，将Rt△ABC的直角顶点C放在直线a上，∠1=50°，∠2=60°，∠3=70°．求证：a∥b．①三角形的内角和等于180°；②平角的定义；③∠3=∠4；④∠3=∠D；⑤同位角相等，两直线平行；⑥两直线平行，同位角相等．以上空缺处依次所填正确的是( )A.①③⑤B.①④⑤C.②④⑥D.②③⑥答案：A解题思路：在△ACD中，已知∠1与∠2，利用三角形内角和等于180°，可以求出∠ADC的度数；进而利用对顶角相等，求得∠4的度数；最后利用同位角相等，两直线平行证明a∥b．第一个空：在△ACD中，已知∠1=50°，∠2=60°，求得∠ADC=180°-∠1-∠2=180°-50°-60°=70°；所以依据是三角形的内角和等于180°，故①正确．第二个空：条件是∠4=70°，∠3=70°，依据是等量代换，所以第二个空中的结论为∠3=∠4，③正确；第三个空：∠3和∠4是直线a和直线b被直线AB截得的同位角，由同位角相等，得两直线平行，因此依据是同位角相等，两直线平行，⑤正确．综上所述，依次所填正确的是①③⑤，故选A．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理8.已知：如图，AB∥CD，∠B=120°，CE⊥BF，垂足为E．求∠ECF的度数．①∠BFC；②∠F；③两直线平行，同旁内角互补；④同旁内角互补，两直线平行；⑤直角三角形两锐角互余；⑥三角形的内角和等于180°．以上空缺处依次所填正确的是( )A.①④⑤B.①③⑤C.②④⑥D.②③⑥答案：B解题思路：由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠B+∠BFC=180°，因此第一个空填∠BFC，①正确；第二个空依据是两直线平行，同旁内角互补，③正确；看到垂直CE⊥BF，想直角三角形两锐角互余，所以∠C与∠BFC互余，故∠C=90°-∠BFC=30°，因此第三个空的依据是直角三角形两锐角互余，⑤正确．综上所述，依次所填正确的是①③⑤，故选B．试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余11。
平行线与三角形内角和的综合应用（讲义）➢ 课前预习1. 如图，在△ABC 中，如果∠C =90°，∠A =30°，那么∠B =_____，∠A +∠B =_______，也就是∠A 与∠B ________（填“互余”、“互补”）．ABC2. 如图，已知∠AOC =∠BOD =90°，求证：∠AOD =∠BOC ．DCB OA证明：如图，∵∠AOC =∠BOD =90° （_______________________） ∴∠AOD =∠BOC （_______________________）➢ 知识点睛1. 三角形的内角和等于__________．已知：如图，△ABC ．求证：∠BAC +∠B +∠C =180°．A MBC12N证明：_______，___________________________． ∵MN ∥BC （ 已作 ） ∴∠B =∠1，∠C =∠2（_______________________）∵∠BAC+∠1+∠2=180°（_______________________） ∴∠BAC +∠B +∠C =180°（_______________________）2. 直角三角形两锐角___________．➢ 精讲精练1. 如图，在△ABC 中，∠A =50°，∠C =72°，BD 是△ABC 的一条角平分线，则∠ABD=__________．DAC FED C BA第1题图 第2题图2. 如图，在△ABC 中，∠B =∠C ，E 是AC 上一点，ED ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别为D ，F ．若∠AED =140°，则∠C =_____，∠BDF =______，∠A =______．3. 如图，AE ∥BD ，∠1=110°，∠2=30°，则∠C =______．21EDCB A FDAEB第3题图 第4题图4. 如图，AD ∥BC ，AB ∥CD ，E 在CB 的延长线上，EF 经过点A ，∠C =50°，∠FAD =60°，则∠EAB =_______．5. 如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ．若∠A =75°，∠ADE =35°，则 ∠EDC =_________．6. 如图，在△ABC 中，∠B =40°，∠BAC =68°，AD ⊥BC 于点D ，求∠DAC 的度数．解：如图，在△ABC 中，∠B =40°，∠BAC =68°（已知） ∴∠C =180°-______-______ =180°-_____-_____=______（_______________________） ∵AD ⊥BC （已知）∴∠ADC =90°（垂直的定义） ∴∠C +_____=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠DAC =90°-______=90°-______=______（_______________________）7. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ．求证：∠A =∠BCD ．证明：如图， ∵∠ACB =90°（已知）∴∠A +_____=90°（直角三角形两锐角互余） ∵CD ⊥AB （已知）ABDABCDEDCBA∴∠CDB =90°（垂直的定义）∴_____+∠B =90°（______________________） ∴∠A =∠BCD （______________________）8. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 是边AC 上一点，DE ∥BC ，∠1=60°，求∠A 的度数．ADE1BC9. 如图，BD ∥AE 交△ABC 的边AC 于点F ，∠CAE =95°，∠CBD =30°，求∠C 的度数．AB CDEF10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交BC于点F．求证：∠1=∠2．【参考答案】➢课前预习1.60°，90°，互余2.已知，同角的余角相等➢知识点睛1.180°如图，过点A作MN∥BC两直线平行，内错角相等平角的定义等量代换2.互余➢精讲精练1.29°21FEDCB A2.50°，40°，80°3.40°4.70°5.35°6.解：如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=68°（已知）∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-68°=72°（三角形的内角和等于180°）∵AD⊥BC（已知）∴∠ADC=90°（垂直的定义）∴∠C+∠DAC=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠DAC=90°-∠C=90°-72°=18°（等式的性质）7.证明：如图，∵∠ACB=90°（已知）∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∵CD⊥AB（已知）∴∠CDB=90°（垂直的定义）∴∠BCD+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠A=∠BCD（同角的余角相等）8.解：如图，∵DE∥BC（已知）∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠1=60°（已知）∴∠B=60°（等量代换）∵∠C=90°（已知）∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠A=90°-∠B=90°-60°=30°（等式的性质）9.解：如图，∵BD∥AE（已知）∴∠CFD=∠CAE（两直线平行，同位角相等）∵∠CAE=95°（已知）∴∠CFD=95°（等量代换）∴∠CFB =180°-∠CFD=180°-95°=85°（平角的定义）在△CBF 中，∠CBD =30°，∠CFB =85°（已知） ∴∠C =180°-∠CBD -∠CFB =180°-30°-85°=65°（三角形的内角和等于180°） 10. 证明：如图，∵∠ACB =90°（已知）∴∠CAF +∠2=90°（直角三角形两锐角互余） ∵CD ⊥AB （已知）∴∠EDA =90°（垂直的定义）∴∠DAE +∠AED =90°（直角三角形两锐角互余） ∵AF 平分∠CAB （已知）∴∠CAF =∠DAE （角平分线的定义） ∴∠2=∠AED （等角的余角相等） ∵∠1=∠AED （对顶角相等） ∴∠1=∠2（等量代换）平行线与三角形内角和的综合应用（随堂测试）1. 已知：如图，AB ∥CD ，∠ABF =120°，CE ⊥BF ，垂足为E ，则∠ECF =___________．ABC D EF2. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =40°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ∥BA 交AC 于点E ，∠ADE =40°，求∠C 的度数．EDC BA【参考答案】1.30°2.解：如图，∵DE∥BA（已知）∴∠BAD=∠ADE（两直线平行，内错角相等）∵∠ADE=40°（已知）∴∠BAD=40°（等量代换）∵AD平分∠BAC（已知）∴∠BAC=2∠BAD=2×40°=80°（角平分线的定义）在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=80°（已知）∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-80°=60°（三角形的内角和等于180°）。
