高考纠错笔记-不等式

高三不等式知识点归纳总结不等式在高中数学中占有重要的地位，它是数学中一种常见的关系式。

在高三数学学习过程中，我们需要掌握并灵活运用各种不等式知识点，以提升解题能力。

本文将对高三不等式相关知识进行归纳总结，帮助大家系统地掌握不等式的内容。

一、基本不等式基本不等式是不等式的基础，它通过对大小关系的描述，为其他类型不等式的证明提供了依据。

常见的基本不等式有以下几种：1. 正数不等式：若a>0，则a的平方大于0，即a²>0；a与-b的乘积小于0，即ab<0。

2. 负数不等式：若a<0，则a的平方大于0，即a²>0；a与-b的乘积小于0，即ab>0。

3. 平方不等式：若a>b≥0，则a的平方大于b的平方，即a²>b²。

4. 平均不等式：若a1，a2，...，an为正数，则它们的算术平均大于等于它们的几何平均，即(a1+a2+...+an)/n≥(a1*a2*...*an)^(1/n)。

二、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a和b为常数。

我们可以通过移项和分析a的正负来求解不等式。

1. 求解步骤：a) 对不等式进行变形，将不等式变为ax>c的形式，其中c为常数。

b) 根据a的正负确定不等式的方向，若a>0，则不等式为单调递增，解集为x>c/a；若a<0，则不等式为单调递减，解集为x<c/a。

2. 注意事项：a) 在乘以或除以负数的过程中，需注意不等式方向的变化。

b) 当a为0时，不等式变为bx>c，若b>0，则不等式为恒成立；若b<0，则不等式无解。

三、一元二次不等式一元二次不等式是形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0的不等式，其中a、b和c为常数。

我们可以通过求解二次方程和分析a的正负来求解不等式。

高考数学不等式的解法知识点高考数学不等式的解法知识点在年少学习的日子里，大家都背过各种知识点吧？知识点也可以通俗的理解为重要的内容。

哪些知识点能够真正帮助到我们呢？以下是店铺帮大家整理的高考数学不等式的解法知识点，仅供参考，希望能够帮助到大家。

不等式的解法：(1)一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注：要对进行讨论：(2)绝对值不等式：若，则 ; ;注意：(1)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;(2).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。

(3).含有多个绝对值符号的不等式可用按零点分区间讨论的方法来解。

(4)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式;(5)不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。

(6)解含有参数的不等式：解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△)，比较两个根的大小,设根为 (或更多)但含参数，要讨论。

不等式与不等式组1.定义：用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

2.性质：①不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号方向不变。

②不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

③不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

3.分类：①一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

高三不等式知识点归纳总结不等式在高中数学中占据着重要的地位，特别是在高三阶段，不等式的应用和解题技巧成为了必须掌握的知识点之一。

本文将对高三阶段涉及的不等式知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。

一、基本概念1. 不等式符号：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤），这些符号用于表示大小关系。

2. 不等式的解：使不等式成立的所有实数构成的集合。

二、一元一次不等式1. 解一元一次不等式的基本步骤：a. 将不等式化为等式；b. 解得不等式的解集；c. 根据不等式符号确定解集。

三、一元二次不等式1. 解一元二次不等式的基本步骤：a. 将不等式化为二次函数的标准形式；b. 求出二次函数的零点，确定抛物线的开口方向；c. 根据抛物线与 x 轴的位置确定不等式的解集。

四、不等式的性质及运算法则1. 不等式的性质：a. 两个不等式的和（或差）仍然是不等式；b. 两个不等式的积（或商）仍然是不等式，但要注意分母不能为零；c. 不等式两边同时加减一个数，不等号的方向不变；d. 不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；e. 不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向相反。

五、绝对值与不等式1. 绝对值的定义与性质：a. |x|表示 x 的绝对值，即 x 的非负值；b. |x|≥a 等价于x≥a 或x≤-a；c. |x|＜a 等价于 -a＜x＜a。

六、不等式的应用1. 不等式在几何中的应用：a. 根据不等式条件确定线段长的范围；b. 判断几何图形的位置关系。

2. 不等式在实际问题中的应用：a. 长方形的周长与面积问题；b. 求解简单的最值问题，如求最大面积、最小周长等。

七、常用不等式1. 阿贝尔不等式：对于非负实数 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)² ≤ (a1² + a2² + ... + an²)(b1² + b2² + ... + bn²)。

n a ab 3 abc ab ≤第三章：不等式1、不等式的基本性质①（对称性） a > b ⇔ b > a ②（传递性） a > b , b > c ⇒ a > c③（可加性） a > b ⇔ a + c > b + c（同向可加性）a > b ,c > d ⇒ a + c > b + d （异向可减性）a > b ,c < d ⇒ a - c > b - d ④（可积性）a > b ,c > 0 ⇒ ac > bc a > b ,c < 0 ⇒ ac < bc ⑤（同向正数可乘性） a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd（异向正数可除性） a > b > 0, 0 < c < d ⇒ a > bcd⑥（平方法则） a > b > 0 ⇒ a n > b n (n ∈ N ,且n > 1)⑦（开方法则） a > b > 0 ⇒ > n b (n ∈ N ,且n > 1)⑧（倒数法则） a > b > 0 ⇒ 1 a 2、几个重要不等式22< 1 ; a < b < 0 ⇒ 1 > 1b a ba 2 +b 2① a + b ≥ 2ab (a ，b ∈ R ) ,（当且仅当 a = b 时取" = " 号）. 变形公式： ab ≤ .2②（基本不等式）a + b2≥ (a ，b ∈ R + ⎛ a + b ⎫2) ,（当且仅当 a = b 时取到等号）.变形公式： a + b ≥ 2 ab ≤ ⎪ . 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意 ⎝ 2 ⎭满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式） a + b + c ≥ (a 、b 、c ∈ R + ) （当且仅当 a = b = c 时取到等号）.3④ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca (a ，b ∈ R ) （当且仅当 a = b = c 时取到等号）.⑤ a 3 + b 3 + c 3 ≥ 3abc (a > 0, b > 0, c > 0) （当且仅当 a = b = c 时取到等号）.⑥ 若ab > 0,则b + a≥ 2 （当仅当 a=b 时取等号） 若ab < a b 0,则 b + a ≤ - 2 （当仅当 a=b 时取等号） a b⑦ b < a b + m a + m< 1 <a + n <b + n a 其中(a > b > 0，m > 0，n > 0) 规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小. b ⑧当a > 0时，x > a ⇔ x 2 > a 2 ⇔ x < -a 或x > a ;x < a ⇔ x 2 < a 2 ⇔ -a < x < a .⑨绝对值三角不等式 a - b ≤ a ± b ≤ a + b .3、几个著名不等式①平均不等式：2 ≤ ≤a +b ≤ (a ，b ∈ R + ) ,（当且仅当 a = b 时取a -1 + b-12 " = " 号）.（即调和平均≤ 几何平均≤ 算术平均≤ 平方平均）.⎛ a + b ⎫2变形公式： ab ≤ ⎪ a 2 + b 2 ; a 2 + b 2 ≥ (a + b )2. ⎝ 2 ⎭2 2 ②幂平均不等式： a 2 + a 2 +... + a 2 ≥ 1(a + a +... + a )2.1 2③二维形式的三角不等式： n n 1 2n aba 2 +b 22x 2 + y 2 x 2 + y 2 ≥ (x - x )2 + ( y - y )2(, y , x , y ∈ R ).1 12 2 1 2 1 2 1 1 2 2k + k kk + k -1 kk + k +1⎩ ④二维形式的柯西不等式(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd )2 (a , b , c , d ∈ R ). 当且仅当 ad = bc 时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式： (a 2 + a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 + b 2 ) ≥ (a b + a b + a b )2 .1231231 12 23 3⑥一般形式的柯西不等式： (a 2 + a 2 +... + a 2 )(b 2 + b 2 +... + b 2 ) ≥ (a b + a b +... + a b )2 .12⑦向量形式的柯西不等式：n12n1 12 2 n n设,是两个向量，则 ⋅ ≤ , 当且仅当是零向量，或存在实数 k ，使= k 时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设 a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n , b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n 为两组实数. c 1 , c 2 ,..., c n 是b 1 , b 2 ,..., b n 的任一排列，则a 1b n + a 2b n -1 +... + a n b 1 ≤ a 1c 1 + a 2c 2 +... + a n c n ≤ a 1b 1 + a 2b 2 +... + a n b n . （反序和≤ 乱序和≤ 顺序和）当且仅当 a 1 = a 2 = ... = a n 或b 1 = b 2 = ... = b n 时，反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:（ 特例:凸函数、凹函数） 若定义在某区间上的函数f (x ) ,对于定义域中任意两点x 1 , x 2 (x 1 ≠ x 2 ), 有 f ( x 1 + x 2 ) ≤ f (x 1 ) + f (x 2 ) 或f (x 1 + x 2) ≥ f (x 1 ) + f (x 2 ) .则称 f(x)为凸（或凹）函数.222 24、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如(a + 1 )2 + 3 > (a + 1)2;24 2②将分子或分母放大（缩小），如1 < 1 , k2 k (k -1)1 > 1 , ( k2 k (k +1) =2 =) 1<2 , 1 >2(k ∈ N *, k > 1) 等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式 ax 2 + bx + c > 0(或< 0) (a ≠ 0, ∆ = b 2 - 4ac > 0) 解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原 .f (x )> 0 ⇔ f (x ) ⋅ g (x ) > 0 7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 g (x )f (x ) ≥ 0 ⇔⎧ f (x ) ⋅ g (x ) ≥ 0（ < 或≤” 时同理）g (x ) 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⎨g (x ) ≠ 022 k⎨f (x) >⎨f (x) <⎨⎩⎨⎩⎩⎨⎩⎨⎩⎨⎩⎩⎨∆< 0.⎨∆< 0.>a(a > 0) ⇔⎧f (x) ≥ 0⎩<a(a > 0) ⇔⎧f (x) ≥ 0⎩⎧f (x) >0⎧f (x) ≥0⎧f (x) ≥ 0>g(x) ⇔⎪g(x) ≥ 0⎪f (x) > [g(x)]2⎧f (x) ≥ 0>⇔⎪g(x) ≥ 0⎪f (x) >g(x)或⎨g(x) < 0<g(x) ⇔⎪g(x) > 0⎪f (x) < [g(x)]2规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.、指数不等式的解法：⑴当a >1 时, a f ( x) >a g ( x) ⇔ f (x) >g(x) ⑵当0 <a < 1时, a f ( x) >a g ( x) ⇔ f (x) <g(x)规律：根据指数函数的性质转化.、对数不等式的解法⎧f (x) > 0⎧f (x) > 0⑴当a >1 时, logaf (x) > logag(x) ⇔⎪g(x) > 0⎪f (x) >g(x)⑵当0 <a <1时, logaf (x) > logag(x) ⇔⎪g(x) > 0 .⎪f (x) <g(x)规律：根据对数函数的性质转化.⎧a (a ≥ 0) 2211、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：a =⎨-a. ⑵平方法：(a < 0)f (x) ≤ g(x) ⇔f (x) ≤g (x).⑶同解变形法，其同解定理有：① x ≤a ⇔-a ≤x ≤a(a ≥ 0); ② x ≥a ⇔x ≥a或x ≤-a(a ≥ 0);③ f (x) ≤g(x) ⇔-g(x) ≤ f (x) ≤g(x) (g(x) ≥ 0) ④ f ( x) ≥g ( x) ⇔f ( x) ≥g ( x) 或f ( x) ≤-g ( x) ( g ( x) ≥ 0)规律：关键是去掉绝对值的符号.、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如ax2+bx +c > 0 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a 与 0 的大小；⑵讨论∆与 0 的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式ax2+bx +c > 0 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当a = 0 时⇒b = 0, c > 0; ②当a ≠ 0 时⇒⎧a > 0⎩⑵不等式ax2+bx +c < 0 的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当a = 0 时⇒b = 0, c < 0; ②当a ≠ 0 时⇒⎧a < 0⎩⑶ f (x) <a 恒成立⇔ f (x)max <a; f (x) ≤a 恒成立⇔ f (x)max ≤a;⑷ f (x ) > a 恒成立⇔ f (x )min > a ; f (x ) ≥ a 恒成立⇔ f (x )min ≥ a .15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线 Ax + By + C = 0 的同一侧的所有点的坐标代入 Ax + By + C 后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点(x 0 , y 0 ) （如原点），由Ax 0 + By 0 + C 的正负即可判断出 Ax + By + C > 0 ( 或< 0) 表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据 Ax + By + C > 0 ( 或< 0) ，观察 B 的符号与不等式开口的符号，若同号， Ax + By + C > 0 ( 或< 0) 表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.⑵二元一次不等式组所表示的平面区域： 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.⑶利用线性规划求目标函数 z = Ax + By ( A , B 为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数 z = Ax + By （x 、y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都 在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应 z 值，最大的那个数为目标函数 z 的最大值，最小的那个数为目标函数 z 的最小值 法二：画——移——定——求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线l 0 : Ax + By = 0 ，平移直线l 0 （据可行域，将 直线l 0 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(x , y ) ；第四步，将最优解(x , y ) 代入目标函数 z = Ax + By 即可求出最大值或最小值 .第二步中最优解的确定方法：利用 z 的几何意义： y = - A x + z , z为直线的纵截距.B B B①若 B > 0, 则使目标函数 z = Ax + By 所表示直线的纵截距最大的角点处， z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处， z 取得最小值；②若 B < 0, 则使目标函数 z = Ax + By 所表示直线的纵截距最大的角点处， z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处， z 取得最大值.⑷常见的目标函数的类型：①“截距”型： z = Ax + By ;②“斜率”型： z = y 或 z = y - b ;x x - a③“距离”型： z = x 2+ y 2或 zz = (x - a )2+ ( y - b )2或 z .在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.ab 35. 利用均值不等式：⎛ a + b ⎫ 2a 2 +b 2 ≥ 2ab (a ，b∈R + )；a + b ≥ 2 ab ；ab ≤ ⎝ 2 ⎪⎭求最值时，你是否注意到“a ，b ∈R + ”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a + b)其中之一为定值？（一正、二定、三相等）注意如下结论：当且仅当a = b 时等号成立。

专题03不等式易错点一：忽略不等式变号的前提条件（等式与不等式性质的应用）1．比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较b a 0 b a )0(1 b a b a ，或)0(1 b a b a ，b a 0 b a )0(1 b baba 0b a )0(1 b a b a ，或)0(1 b a ba ，2．．等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性ab b a a b b a ；传递性c a c b b a c a c b b a ，；，可加性cb c a b a 可乘性b ac c b a bc ac c b a 00，；，同向可加性db c a d c c a ，同向同正可乘性bdac d c b a 00，可乘方性nn b a N n b a *0，类型1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．类型2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．A ．若a b ，则20242024a bB ．若a b ，则20242024a bC ．若20242024ax bx ，则a bD ．若a b ，则20242024ax bx ，b ，，若，则下列不等式成立的是（）A ．11a bB ．3311a bC ．2222a bc cD ．22ac bc 2．若0b a ，则下列结论不正确的是（）A ．11a bB ．2ab a C ．33a bD ．a b a b3．已知a b ，c d ，则下列不等式一定成立的是（）A ．ac bdB ．e e c da b C ．e e e e a c b d D ． ln ln a c d b c d 4．若110a b，则下列不等式中正确的是（）A ．a b B ．a b C ．a b ab D ．2b a a b5．若a 、b 、c R ，且a b ，则下列不等式一定成立的是（）A ．a c b cB ． 2a b c C ．ac bcD ．2c a b6．下列命题中正确的是（）A ．若a b ，则22ac bc B ．若a b ，c d ，则a b c dC ．若a b ，c d ，则a c b dD ．若0ab ，a b ，则11a b7．设x R ，则“1x ”是“x x ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件集问题）解一元二次不等式的步骤：第一步：将二次项系数化为正数；第二步：解相应的一元二次方程；第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．对含参的不等式，应对参数进行分类讨论具体模型解题方案：1、已知关于x 的不等式02 c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0 mn ），解关于x 的不等式02 a bx cx ．由02 c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2 c x b x a 的解集为)11(m n ，，即关于x 的不等式02 a bx cx 的解集为11(mn ，．已知关于x 的不等式02 c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02 a bx cx ．由02 c bx ax 的解集为)(n m ，，得:011(2 c x b x a 的解集为)1[]1( ，，m n 即关于x 的不等式02 a bx cx 的解集为)1[]1( ，，mn ．2、已知关于x 的不等式02 c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0 m n ），解关于x 的不等式02 a bx cx ．由02 c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2 c x b x a 的解集为11(n m ，即关于x 的不等式02 a bx cx 的解集为)11(nm，．3．已知关于x 的不等式02 c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02 a bx cx ．由02 c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2 c x b x a 的解集为)1[1( ，，nm 即关于x 的不等式02 a bx cx 的解集为)1[]1(，，nm ，以此类推．4、已知关于x 的一元二次不等式02 c bx ax 的解集为R ，则一定满足00a ；5、已知关于x 的一元二次不等式02 c bx ax 的解集为 ，则一定满足00a ；6、已知关于x 的一元二次不等式02 c bx ax 的解集为R ，则一定满足00a ；7、已知关于x 的一元二次不等式02 c bx ax 的解集为 ，则一定满足0a ．易错提醒：一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ，其中24b ac ，12,x x 是方程20(0)ax bx c a 的两个根，且12x x （1）当0a 时，二次函数图象开口向上．（2）①若0 ，解集为21|x x x x x 或．②若0 ，解集为|2b x x R x a且．③若0 ，解集为R ．(2)当0a 时，二次函数图象开口向下．①若0 ，解集为 12|x x x x ②若0 ，解集为 。

数学高一不等式知识点笔记在高中数学的学习中，不等式是一个重要且基础的概念。

它在数学问题的解决中发挥着重要的作用。

本文将从基本不等式开始，逐步深入讨论数学高一不等式知识点。

一、基本不等式在解决不等式问题之前，我们需要了解一些基本的不等式，这些不等式成为我们学习不等式的基石。

1. 两边的大小关系：当a＞b时，不等号方向指向a，当a＜b 时，不等号方向指向b。

2. 加减法不等式：若a＞b，则a±c＞b±c。

3. 乘法不等式：若a＞b，c＞0，则ac＞bc；若a＜b，c＜0，则ac＞bc。

4. 除法不等式：若a＞b，c＞0，则a/c＞b/c；若a＜b，c＜0，则a/c＞b/c。

二、一元一次不等式一元一次不等式是高中数学中最常见的不等式形式。

它们的求解方法和一元一次方程是一样的。

对于一元一次不等式ax + b ＞ cx + d（a,b,c,d均为常数），我们可以按照以下步骤进行求解：1. 将不等式转化为一元一次方程：ax + b = cx + d。

2. 解方程，得到x的解。

3. 根据x的解，确定不等式的解集。

在解一元一次不等式的过程中，我们常用到以下方法：1. 去分母法：若不等式中存在分母，可以通过乘以分母的方式来去除分母，从而将不等式转化为一个整式不等式。

2. 另外一个常用的方法是区间判断法。

当解集是以区间表示时，我们可以使用区间判断法来确定不等式的解集。

三、二次不等式二次不等式是高一阶段不等式的一个重要内容，它比一元一次不等式更复杂一些。

对于一般的二次不等式ax^2 + bx + c ＞ 0（a, b, c均为常数），我们需要掌握以下求解方法：1. 利用一元二次函数图像求解：将二次不等式转化为一元二次函数的图像来求解。

2. 利用求根条件判断法：利用二次不等式的解的性质，通过判断一元二次函数的图像在x轴的位置与曲线的开口方向，来确定二次不等式的解集。

对于一般的二次不等式，可以分为以下几种情况：a) 当a＞0时，二次函数开口向上，解集为一对开区间。

高考数学不等式知识点归纳在高考数学中，不等式是一个重要的知识点，占据了相当大的比例。

不等式是数学中的一种关系，用于描述数值之间的大小关系。

它在解决实际问题、推导证明以及优化等方面都具有重要的作用。

在这篇文章中，我们将对高考数学中的不等式知识点进行归纳总结，以便学生们更好地掌握这一内容。

首先，我们先回顾一下基本的不等式种类。

在高考数学中常见的不等式有三种形式：线性不等式、分式不等式和多项式不等式。

线性不等式是最基本的不等式形式，通常可以用一次函数的图像来表示。

对于一元线性不等式，我们可以通过解一元一次不等式的方法来求解。

一元线性不等式的解集通常是实数集的一个子集。

分式不等式在高考数学中出现频率较高。

它的解集通常需要考虑分母与零的关系，并且需要对不等号进行翻转。

解分式不等式时，我们需要将不等式转化为一个或多个分子分母恒正（负）的不等式，并结合分母与零点的关系进行讨论，最后得到合理的解集。

多项式不等式是高考数学的难点之一。

在解决多项式不等式时，我们需要使用一些特殊的方法，如配方法等，来处理等式的变形问题。

对于高次多项式不等式，我们常常需要借助于图像分析的方法来确定不等式的解集。

接下来，我们继续介绍不等式的一些重要性质和定理。

这些性质和定理是帮助我们更好地理解和解决不等式问题的重要工具。

首先是不等式的保号性质。

不等式的保号性质指的是在不等式的两侧同时加上或减去一个正数，不等号方向不变。

这个性质在不等式推导和解决问题时经常使用。

其次是不等式的传递性质。

不等式的传递性质是指如果 a > b，b > c，则有 a > c。

这个性质可以帮助我们更好地理解不等式的大小关系，从而简化问题的解决过程。

还有不等式的加减乘除性质。

不等式的加减乘除性质是指在不等式两侧同时乘以一个正数时不等号方向不变，在不等式两侧同时乘以一个负数时不等号方向改变。

这个性质可以帮助我们在解决不等式时进行运算的简化，特别是在多项式不等式中经常使用。

高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.(1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“="）2. (1）若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） （3）若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- （当且仅当1x =-时取“="） 若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“="） 3.若0>ab ，则2≥+ab ba （当且仅当b a =时取“=”)若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 （当且仅当b a =时取“=”） 4。

若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正,二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋错误! （2)y ＝x ＋错误!解：（1)y ＝3x 2＋错误!≥2错误!＝错误! ∴值域为［错误!，+∞) （2）当x ＞0时，y ＝x ＋错误!≥2错误!＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋错误!= －(－ x －错误!）≤－2错误!=－2 ∴值域为（－∞,－2]∪［2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项例1：已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。

高三不等式的知识点总结高三是学生们备战高考的重要一年，数学是其中重要的一门科目。

在数学中，不等式是一个重要的分支，也是高考常考的内容之一。

掌握不等式的知识点对于高三学生来说至关重要，因此本文将对高三不等式的知识点进行总结。

一、基础概念不等式是数学中表示大小关系的一种特殊符号。

常见的不等式符号有“<”、“>”、“≤”和“≥”。

例如：4 < 5，表示4小于5；7 ≥ 3，表示7大于等于3。

二、一元一次不等式一元一次不等式是指只有一个未知数的一次方程中含有不等号的形式。

解一元一次不等式时，需要根据不等式的性质进行移项和合并同类项，得到解的区间。

三、二元一次不等式二元一次不等式是指含有两个未知数的一次方程中含有不等号的形式。

解二元一次不等式常用区域图法，即画出平面直角坐标系，并根据不等式的条件在平面直角坐标系上绘制出对应的区域，最后找出可行解所在的区域。

四、绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。

解绝对值不等式时，需要分两种情况讨论，具体分析绝对值的取值范围，然后解出不等式。

五、高次不等式高次不等式是指不等式中含有幂函数的形式。

解决高次不等式时，可以根据不等式的特点进行分类讨论，或者利用数学函数的性质进行推导，最后得到解的区间。

六、不等式的证明不等式的证明是数学推理的一种形式，常见的证明方法有直接证明法、反证法和数学归纳法。

在高考中，常考的不等式证明有柯西不等式、均值不等式等。

七、不等式的应用不等式的应用广泛，涉及到生活、经济、科学等各个领域。

例如在物理中，不等式可以用来描述力学问题中物体的位置、速度和加速度之间的关系；在经济学中，不等式可以用来描述供求关系、市场均衡等。

总结：高三不等式的知识点是高考数学中的重要内容，掌握不等式的方法和技巧对解题有着重要的帮助。

通过对一元一次不等式、二元一次不等式、绝对值不等式、高次不等式等基础概念的理解，以及对不等式的证明和应用的掌握，学生们将能够更好地应对高三数学的挑战，提高解题的能力。

我的高考数学错题本 第8章 不等式易错题易错点1．随意消项致误【例1】解不等式;22(1025)(43)0x x x x -+-+≥．易错点2．认为分式不等式与二次不等式等价致误 【例2】解不等式;102x x -≤+．易错点3．不等式两边同乘一个符号不确定的数致误 【例3】解不等式;122x x -≤+．易错点4．漏端点致误【例4】集合{}{}2|20,|3A x x x B x a x a =--≤=<<+，且A B φ=，则实数的取值X 围是______易错点5．忽视基本不等式成立的前提“正数” 【例5】求函数1y x x=+的值域．易错点6．忽视基本不等式取等的条件 【例6】求函数2y =的最小值．易错点7．多次使用基本不等式，忽视等号是否同时成立 【例7】已知两个正实数,x y ，满足4x y +=，求14x y+的最小值．纠错巩固1.已知0απ<<，4π-<β<2π，求函αβ-的取值X 围。

2.已知函数2()f x ax bx =+，且1(1)2,2(1)4f f ≤-≤≤≤，求(2)f -的取值X 围。

3.()()0312<-++-y x y x 表示的平面区域是（）4.若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩求目标函数2z x y =-的最大值。

5.某公司招收男职员x 名，女职员y 名，须满足约束条件51122239211x y x y x -≥-⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则1010z x y =+的最大值是（ ） A. 80 B. 85 C. 90 D. 956.解不等式2601x x x ---＞7.解关于x 的不等式212x a -≤-8.设0x π<<，求函数4()sin sin f x x x=+的最小值。

例题错因精析例 1.【错解】原不等式可化为：2(5)(1)(3)0x x x ---≥，因为2(5)0x -≥，所以(1)(3)0x x --≥，所以31x x ≥≤或，故原不等式的解集为：{}|31x x x ≥≤或．【错因】错误是由于随意消项造成的，事实上，当2(5)0x -=时，原不等式亦成立． 【正解】原不等式可化为：50(1)(3)0x x x -≠⎧⎨--≥⎩或50x -=，解得3x ≥或1x ≤或5x =．所以原不等式的解集为：{}315x x x ≥≤=x|或或例2.【错解】原不等式可化为：(1)(2)0x x -+≤，解得21x -≤≤，所以原不等式的解集为[2,1]-．【错因】没有考虑分母不能为0【正解】原不等式可化为：(1)(2)02x x x -+≤⎧⎨≠-⎩，解得21x -<≤，所以原不等式的解集为(2,1]-．例3.【错解】不等式两边同乘以2x +得：12(2)x x -≤+，解得5x ≥-，所以原不等式的解集为[5,)-+∞．【错因】两边同乘以2x +，导致错误 【正解】原不等式可化为：1520022x x x x -+-≤⇒≥++，解得5x ≤-或2x >-，所以原不等式的解集为(,5](2,)-∞--+∞．例 4.【错解】{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤ ，若使AB φ=，需满足231a a >+<-或．解得24a a ><-或，所以实数a 的取值X 围是24a a ><-或．【错因】忽视了集合{}|12A x x =-≤≤的两个端点值-1和2，其实当2a =时{}|25B x x =<<，满足A B φ=；当31a +=-时，即4a =-时也满足A B φ=．【正解】{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤若使AB φ=，需满足231a a ≥+≤-或，解得24a a ≥≤-或，所以实数a 的取值X 围是24a a ≥≤-或．例5.【错解】因为12y x x =+≥=，所以函数1y x x=+的值域为[2,)+∞． 【错因】没有考虑为负数的情形． 【正解】由题意，函数1y x x=+的定义域为{|0}x x ≠．当0x >时，12y x x =+≥=，当1x =时取得等号；当0x <时，11()2y x x x x =+=--+≤-=--，当1x =-时取得等号． 综上，求函数1y x x=+的值域是(,2][2,)-∞-+∞．例6.【错解】函数222y ===≥，所以函数的最小值为2．【错因】使用基本不等式求函数的最值时，一定验证等号成立的条件即a b a b +≥=才能取等号．上述解法在等号成立时，在实数X 围内是不成立的．【正解】22y ===令2t ≥，1y t t =+在2t ≥时是单调递增的，115222y t t ∴=+≥+=．故函数的最小值是52．例6.【错解】由已知得44x y xy =+≥≤，142x y +≥=≥，所以14x y +最小值是2．【错因】两次使用基本不等式，其中4xy ≤等号成立必须满足x y =，而14x y +≥的等号成立时，必须有4x y =，因为均为正数，所以两个等号不会同时成立，所以上述解法是错误的． 【正解】141444()()()59x y x y x y x y y x +=++=++≥，当且仅当14x y=且4x y +=，即48,33x y ==时取等号，1494x y ∴+≥，即14x y +最小值为94．纠错巩固 1.5(,)24ππ-2.利用待定系数法或线性规划求解，(2)f -的X 围为[5，10]。