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模糊优选法1. 简介模糊优选法（Fuzzy Optimization）是一种基于模糊数学理论的优化方法，用于处理具有模糊性质的决策问题。
它将模糊集合理论与优化方法相结合，能够有效地处理不确定性和模糊性信息，提供了一种有效的决策支持工具。
模糊优选法适用于那些无法用传统的确定性方法进行准确建模和求解的问题。
它能够处理输入参数的模糊性和不确定性，通过建立模糊数学模型，对不同决策方案进行评估和比较，从而找到最优解或者最优解的一组可行解。
2. 模糊数学理论基础模糊数学是一种用于处理不确定性和模糊性信息的数学理论。
它通过引入模糊集合、模糊关系和模糊逻辑等概念，对模糊性信息进行建模和处理。
2.1 模糊集合模糊集合是一种特殊的集合，其元素的隶属度不是二元的0或1，而是在[0,1]之间的一个实数。
模糊集合用隶属函数来描述元素的隶属度，隶属函数的取值范围表示元素的隶属程度。
2.2 模糊关系模糊关系是一种描述元素间模糊关联的数学工具。
模糊关系用隶属函数矩阵来表示，矩阵的元素表示元素之间的模糊关联程度。
2.3 模糊逻辑模糊逻辑是一种基于模糊集合的逻辑推理方法，用于处理模糊性信息的推理和决策。
模糊逻辑通过模糊命题和模糊推理规则来描述和推理模糊性信息。
3. 模糊优选法的基本步骤模糊优选法的基本步骤包括问题建模、模糊评估、模糊比较和优化求解。
3.1 问题建模在问题建模阶段，需要明确问题的目标、约束和决策变量。
目标是指问题的优化目标，约束是指问题的限制条件，决策变量是指可以调整的决策参数。
3.2 模糊评估在模糊评估阶段，需要对决策变量进行模糊化处理，将其转化为模糊集合。
可以使用模糊数学中的隶属函数来描述决策变量的模糊性质。
3.3 模糊比较在模糊比较阶段，需要对不同决策方案进行模糊比较，确定它们之间的优劣关系。
可以使用模糊关系来描述决策方案之间的模糊关联程度。
3.4 优化求解在优化求解阶段，需要通过建立数学模型，将模糊优选问题转化为优化问题。
《模糊集合理论及其应用》论文
《模糊集合理论及其应用》
模糊集合（Fuzzy Set,FS）是属于模糊数学（Fuzzy Mathematics）领域的一门研究，它以广义的语言和表述形式描述客观事物。
该理论可以处理模糊不确定性和词语本身的模糊性，为表达模糊语义提供新的方法。
模糊集合理论最早由美国著名数学家Zadeh提出，1967年提出了模糊集合的概念，认为“实数集的元素可以不是绝对明确的，而可能有不同的模糊性，即模糊的真实值”。
从而为模糊0和1的综合计算提供了基础。
模糊集合理论应用于不确定领域，被用来处理决策分析，尤其是处理决策者所面临的大量模糊信息。
随着深度学习技术的发展，模糊集合理论已被广泛用于知识挖掘和分类算法，帮助企业把握客户的行为趋势。
此外，模糊集合理论也可以应用于智能控制，医疗诊断，信息服务，市场营销，证券投资等多种领域，为智能决策提供强有力的支持。
模糊集合理论的发展和应用，将推动未来智能决策、智能管理和智能控制，为构建智能社会做出更大贡献。
总之，模糊集合理论是一种可以用来处理不确定领域的理论，它为解决模糊不确定领域提供了许多有用的思维方法和工具，已经在许多领域如决策分析、知识挖掘和智能控制等中得到了
广泛的应用，并且在未来的智能决策、智能管理和智能控制方面发挥着重要作用。
模糊数学与图像处理模糊数学，顾名思义，就是研究和处理模糊性现象的数学。
1965年，美国控制论专家、数学家L.A.zadeh 发表了论文《模糊集合论》，标志着模糊数学这门学科的诞生。
经典数学是对界限分明的清晰事物作出非此即彼的判断，其逻辑基础是传统的二值逻辑，即论域中的任一元素要么属于集合A ，要么不属于集合A ，两者必居其一，且仅居其一。
然而在日常生活中，很多事物往往不能简单的以“是”或“否”来界定，比如，年轻与年老，高个子与矮个子等。
模糊数学就是以没有明确界限的模糊事物为研究对象的，逻辑基础是连续逻辑，即元素对集合的隶属关系不一定只有“否”或“是”两种情况，而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度。
比如“年老”是个模糊概念，其隶属度函数可以用如下公式表示⎪⎩⎪⎨⎧≤<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤≤=--10050,5501500,0)(12x x x x O 40岁的人肯定不算老人，它的隶属程度为 0，55岁属于“老”的程度为0.5，60岁属于“老”的程度为0.8。
这样的判断结果让人们更易接受，也更符合人类的思维判断方式。
模糊数学的应用极其广泛，尤其是在计算机仿真技术、多媒体辨识等领域的应用取得突破性进展，如图像和文字的自动辨识、人工智能、音频信号辨识与处理等领域均借助了模糊数学的基本原理和方法，甚至在生物、农业、文化教育、体育等看似与数学无缘的学科，也开始应用模糊数学的原理和方法，如传染病控制与评估、人体心理及生理特点分析、农作物品种选择与种植、教学质量评估、语言词义查找等均有一些应用模糊数学的实践，并取得很好效果。
随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性。
人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处理模糊现象。
但计算机对模糊现象识别能力较差，为了提高计算机识别模糊现象的能力，就需要运用模糊数学的理论把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断，从而提高自动识别和控制模糊现象的效率。
模糊数学概述任何事物都具有质和量两个侧面。
在分析和解决问题时，我们既可以考察对象的性质、属性等质的方面，也可以对对象的数量关系与空间位置进行分析。
数学就是研究现实世界中量的关系和空间形式的学科。
现实世界中，客观现象在质的表现上具有确定性和不确定性，而不确定性又分为随机性和模糊性。
这种属性反映在量的方面，自然导致研究量的数学学科要按照如下三种划分来分别刻画客观现象：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧模糊数学研究的领域—模糊性的量随机数学研究的领域—随机性的量不确定性的量精确数学研究的领域—确定性的量量因而，与精确数学和随机数学一样，模糊数学创立并发展为一门独立的数学学科，也是科学技术发展和社会实践需求的历史必然。
模糊数学是从量上来研究和处理模糊现象的一个数学分支，它以“模糊集合论”为基础。
模糊数学提供了一种处理不肯定性和不精确性问题的新方法，是描述模糊信息的有力工具，其应用范围已遍及自然科学和社会科学的几乎所有的领域。
由于模糊性数学发展的主流在于它的应用，因此人们也常称之为“模糊系统理论”、“模糊集与系统理论”或“模糊理论”。
1．模糊数学的产生现代数学是建立在集合论基础之上的。
集合论的重要意义就在于它能将数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处：用集合来描述概念，用集合的关系和运算表达判断和推理，从而将一切现实的理论系统都纳入集合描述的数学框架中。
毫无疑问，以经典集合论为基础的精确数学和随机数学在描述自然界多种客观现象的内在规律中，获得了显著的效果。
但是，和随机现象一样，在自然界和人们的日常生活中普遍存在着大量的模糊现象，如多云，阴天，小雨，大雨，贫困，温饱等。
由于经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的现象和概念上，它要求元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可，因而对于那些经典集合无法反映的外延不分明的概念，以前人们都是尽量回避它们。
然而，随着现代科技的发展，我们所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现；此外人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向，也把模糊性的数学处理问题推向中心地位；更重要的是，计算机科学、控制理论、系统科学的迅速发展，要求电脑要像人脑那样具备模糊逻辑思维和形象思维的功能。
模糊决策的三种方法模糊决策是一种基于模糊理论的决策方法，其目标是针对现实生活中的不确定性和模糊性进行决策。
模糊决策的核心思想是将决策问题中的模糊信息和不确定性进行数学建模和分析，以求得合理的决策结果。
常见的模糊决策方法有模糊集合理论、模糊数学和模糊逻辑。
下面将详细介绍这三种方法。
1.模糊集合理论模糊集合理论是模糊决策的基础，它通过引入模糊概念来描述现实世界中的模糊性和不确定性。
在模糊集合理论中，一个元素可以同时属于多个集合，并以一些隶属度来描述其在各个集合中的程度。
这使得模糊集合能够更好地处理复杂的、模糊的决策问题。
在模糊集合理论中，最常用的模糊决策方法是模糊综合评价和模糊层次分析。
模糊综合评价通过将决策问题转化为模糊评价问题，然后利用模糊集合运算来对待选方案进行评价和排序。
模糊层次分析将决策问题转化为多层次的模糊子问题，然后通过对每个子问题进行模糊比较和模糊一致性检测来确定权重和评价方案。
2.模糊数学模糊数学是将模糊理论应用于数学方法和技术的一门学科，它通过引入模糊集合和模糊逻辑等概念，对模糊决策问题进行建模和分析。
在模糊数学中，模糊数是一种介于0和1之间的数值，用来描述元素在一些模糊集合中的隶属度。
对于模糊决策问题，模糊数学提供了一系列有效的方法，如模糊规划、模糊优化和模糊最优化等。
模糊规划通过引入模糊目标和模糊约束，对决策变量进行模糊处理，从而求解满足一定模糊要求的最优方案。
模糊优化通过引入模糊目标函数和模糊约束条件，以及模糊偏导数和模糊梯度等概念，对决策变量进行模糊处理和优化，以求得最优解。
模糊最优化是模糊优化的一种特殊情况，它在模糊目标函数和模糊约束条件下求解最优解。
3.模糊逻辑模糊逻辑是一种能够处理模糊命题和模糊推理的逻辑系统，它通过引入模糊命题和模糊规则，对决策问题进行描述和推理。
在模糊逻辑中，命题的真值不再是0或1，而是一个介于0和1之间的模糊数，用来表示命题的隶属度。
对于模糊决策问题，模糊逻辑提供了一系列有效的方法，如模糊推理、模糊控制和模糊识别等。
AHP——模糊综合评价方法的理论根底1.层次分析法理论根底1970—1980年期间,着名学者Saaty最先开创性地建立了层次分析法,英文缩写为AHP.该模型可以较好地处理复杂的决策问题,迅速受到学界的高度重视.后被广泛应用到经济方案和治理、教育与行为科学等领域.AHP建立层次结构模型,充分分析少量的有用的信息,将一个具体的问题进行数理化分析, 从而有利于求解现实社会中存在的许多难以解决的复杂问题.一些定性或定性与定量相结合的决策分析特别适合使用AHP.被广泛应用到城市产业规划、企业治理和企业信用评级等等方面,是一个有效的科学决策方法.Diego Falsini、Federico Fondi 和Massimiliano M. Schiraldi〔2021〕运用AHP 与DEA的结合研究了物流供给商的选择；Radivojevi、Gordana和Gajovi, Vladimir 〔2021〕研究了供给链的风险因素分析；.Maniya和.Bhatt〔2021〕研究了多属性的车辆自动引导机制；朱春生〔2021〕利用AHP分析了高校后勤HR配置的风险治理；蔡文飞〔2021〕运用AHP分析了煤炭治理中的风险应急处理；徐广业〔2021〕研究了AHP与DEA的交互式应用；林正奎〔2021〕研究了城市保险业的社会责任.第一,递阶层次结构的建立一般来说,可以将层次分为三种类型：〔1〕最高层〔总目标层〕：只包含一个元素,表示决策分析的总目标,因此也称为总目标层.〔2〕中间层〔准那么层和子准那么层〕：包含假设干层元素,表示实现总目标所涉及的各子目标,包含各种准那么、约束、策略等,因此也称为目标层.〔3〕最低层〔方案层〕：表示实现各决策目标的可行方案、举措等,也称为方案层.典型的递阶层次结构如下列图1：一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要,因此,在建立递阶层次结构时,应注意到：〔1〕从上到下顺序地存在支配关系,用直线段〔作用线〕表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系,同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系.〔2〕整个结构不受层次限制.〔3〕最高层只有一个因素,每个因素所支配元素一般不超过9个,元素过多可进一步分层.〔4〕对某些具有子层次结构可引入虚元素,使之成为典型递阶层次结构.第二,构造比拟判断矩阵设有m个目标〔方案或元素〕,根据某一准那么,将这m个目标两两进行比较,把第i个目标.=1,2,…,m〕对第j个目标的相对重要性记为a i「这样构造的m 阶矩阵用于求解各个目标关于某准那么的优先权重,成为权重解析判断矩阵, 简称判断矩阵,记作A =〔a〕.ij m x nSatty于1980年根据一般人的认知习惯和判断水平给出了属性间相对重要性等级表〔见表1〕.利用该表取的a^值,称为1-9标度方法.表1目标重要性判断矩阵A中元素的取值假设决策者能够准确估计a..,那么有：a二-1,a=a *a ,a=1 ,其根本的定1]ij a ij ik kj li理如下：第一,设A=(a ij)mxm,A>0,(即2产0间=12・.・加),如果满足条件(1)a ii =1 (i =12・・・,m)；⑵a ij=1/a ji(i,j =1,2,…,m),那么称矩阵A为互反正矩阵.第二,设A=(a ij)mxm,A>0,如果满足条件a j= a ik-a kj(i,j,k=12・・・,m)那么称矩阵A为一致性矩阵.第三,对于任何一个m阶互反正矩阵A,均有X ma x Nm,其中勺曲是矩阵A 的最大特征值.第三,m阶互反正矩阵A为一致性矩阵的充分必要条件是A的最大特征根为m.第三,单准那么下的排序层次分析法的信息根底是比拟判断矩阵.由于每个准那么都支配下一层假设干因素,这样对于每一个准那么及它所支配的因素都可以得到一个比拟判断矩阵. 因此根据比拟判断矩阵如何求得各因素w1,w2,…,w m对于准那么A的相对排序权重的过程称为单准那么下的排序.这里设A=(a ij)mxm,A>0.方法一：本征向量法利用AW=九W求出所有九的值,其中！_为九的最大值,求出X max对应的特征向量W*,然后把特征向量W*规一化为向量W,那么W=[W],w2, ・・.w m]T为各个目标的权重.求九需要解m次方程,当mN3时,计算比拟麻烦,可以利用matlab 来求解.(2)判断矩阵的近似解法判断矩阵是决策者主观判断的定量描述,求解判断矩阵不要求过高的精度. 这里,介绍三种近似计算方法：根法、和法及幂法.幂法适于在计算机上运算.第一,根法①A中每行元素连乘并开m次方,得到向量W* =(狡*,狡*,...,狡*)T其中,12 mw* = 1r m a. ml%「1j j=②对W*作归一化处理,得到权重向量W=(w1,w2,…w )T,其中w = w*/£w* 12m l lll=1③对A中每列元素求和,得到向量S=(s1,s2,…s m),其中s j= E a j l=1④计算入max的值,九max=£s w = SW = -!-£ (AW：l=1l=1l方法二：和法①将A的元素按列作归一化处理,得矩阵QXqJmm.其中,q j = ajZa jk=1②将Q的元素按行相加,得向量a = (a ,a,…,a ).其中,a =£q12 mljjT③对向量a作归一化处理,得权重向量W=(w/w2, ・・.w m)T,其中w^a. /£a kk=1④求出最大特征值九=1£〞乜max m ,w ,方法三：幂法幂法是一种逐步迭代的方法,经过假设干次迭代计算,根据规定的精度,求出判断矩阵A的最大特征值及其对应的特征向量.设矩阵A=(a..)mxm,A>0,那么lim2土= CW,其中,W是A的最大特征值对应的的特征向量,C为常数, e T A k e k-8向量 e=(1,1,…,1)T .幂法的计算步骤是：①任取初始正向量X (0)=(x 1(0), x 2(0),…,X m (0))T ,计算=max { X 〔0〕}, Y 〔0〕= X 〔0〕/ mi②迭代计算,对于k=0,1,2,…计算X 〔 k +i 〕= AY 〔 k 〕, m = |X 〔 k +i 〕I = max { X 〔8i③精度检查.当|m k +1 -m j<£时,转入步骤④；否那么,令卜=卜+1,转入步骤②. ④求最大特征值和对应的特征向量,将Y (k+1)归一化,即： W = Y (k +1) / £ y ( k +1),九 =mi =1第四,单准那么下的一致性检验由于客观事物的复杂性,会使我们的判断带有主观性和片面性,完全要求 每次比拟判断的思维标准一致是不太可能的.因此在我们构造比拟判断矩阵时, 我们并不要求n(n-1)/2次比拟全部一致.但这可能出现甲与乙相比明显重要,乙 与丙相比极端重要,丙与甲相比明显重要,这种比拟判断会出现严重不一致的 情况.我们虽然不要求判断具有一致性,但一个混乱的,经不起推敲的比拟判 断矩阵有可能导致决策的失误,所以我们希望在判断时应大体一致.而上述计 算权重的方法,当判断矩阵过于偏离一致性时,其可靠程度也就值得疑心了. 因此,对于每一层次作单准那么排序时,均需要作一致性的检验.一致性指标〔Consistency Index,CI 〕 : CI =九 maxmm — 1 随机指标〔Random Index,RI 〕一致性比率〔Consistency Rate,CR 〕 :CR=CI/RI当CR 取时,最大特征值为=CI ・〔m-1〕+m=・RI ・〔m-1〕+mmaxm = ||X 〔0〕X 〔k +1〕}, Y 〔k +1〕=X 〔 k +i 〕/ m k +1表2随机指标RI ,九 取值表max表中当n=1,2时,RI=0,这是由于1,2阶判断矩阵总是一致的.当nN3时,假设CR^P X ma x＜认为比拟判断矩阵的一致性可以接受,否那么应对判断矩阵作适当的修正,直到X max小于X max通过一致性检验时,求得的W 才有效.第五,层次总排序计算同一层次中所有元素对最高层(总目标)的相对重要性标度(又称权重向量)称为层次总排序.(1)层次总排序的步骤为：第一,计算同一层次所有因素对最高层相对重要性的权重向量,这一过程是自上而下逐层进行；第二,设已计算出第k-i层上有叱1个元素相对总目标的权重向量为K-1W(k-1)=(W1(k-1), W2(k-1),…,W n(k-1)(k-1))T第三,第k层有个n k个元素,他们对于上一层次(第k-1层)的某个元素j 的单准那么权重向量为p j(k)=(w1j(k), W2j(k),…,W nkj)(k))T (对于与k-1层第j个元素无支配关系的对应W j取值为0)；第四,第k层相对总目标的权重向量为W k= (p1(k), p2(k),…p k-1(k),)W(k-1)(2)层次总排序的一致性检验人们在对各层元素作比拟时,尽管每一层中所用的比拟尺度根本一致,但各层之间仍可能有所差异,而这种差异将随着层次总排序的逐渐计算而累加起来,因此需要从模型的总体上来检验这种差异尺度的累积是否显着,检验的过程称为层次总排序的一致性检验.第k 层的一致性检验指标CIk=(CI1(k-1), CI2(k-1),・・・, CIn K(k-1))W(k-1)RI k=(RI1(k-1), RI2(k-1),・・・, RIn K(k-1))W(k-1)CR k=CR k-1+CI k/RI k(34k4n)当CR k ＜,可认为评价模型在第k层水平上整个到达局部满意一致性.第六,递阶层次结构权重解析过程(1)树状结构目标体系目标可分为多个层次,每个下层目标都隶属于一个而且只隶属一个上层目标,下层目标是对上层目标的具体说明.对于树状结构的目标体系,需由上而下逐步确定权重,即由树干向树梢,求树杈各枝相对于树杈的权重.〔2〕网状结构目标体系网状结构的目标也分为多个层次,每个下层目标隶属于某几个上层目标〔至少有一个下层目标隶属于不止一个上层目标〕.AHP方法的根本步骤：层次分析法大体分为以下六个步骤：〔1〕明确问题；〔2〕建立层次结构；〔3〕两两比拟,建立判断矩阵；〔4〕层次单排序及其一致性检验；〔5〕层次总排序及其一致性检验；〔6〕根据分析计算结果,考虑相应的决策.2.模糊综合评价方法理论根底模糊综合评价是以模糊数学为根底.应用模糊关系合成的原理,将一些边界不清,不易定量的因素定量化,进行综合评价的一种方法.在校园环境质量综合评价中,涉及到大量的复杂现象和多种因素的相互作用,而且,评价中存在大量的模糊现象和模糊概念.因此,在综合评价时,常用到模糊综合评价的方法进行定量化处理,评价出校园环境的质量等级,取得了良好的效果.但权重确实定需要专家的知识和经验,具有一定的缺陷,为此,本文采用层次分析法来确定各指标的权系数.使其更有合理性,更符合客观实际并易于定量表示, 从而提升模糊综合评判结果的准确性.此外,模糊综合评价中常取的取大取小算法,信息丧失很多,常常出现结果不易分辨〔即模型失效〕的情况.模糊综合评价方法和步骤的流程如下列图2：模糊综合评价是通过构造等级模糊子集把反映被评事物的模糊指标进行量化〔即确定隶属度〕,然后利用模糊变换原理对各指标综合.流程如下：〔1〕确定评价对象的因素论域P个评价指标,u=k u2,, u｝.〔2〕确定评语等级论域v = 11,\,・・・・・・,V p｝,即等级集合.每一个等级可对应一个模糊子集.〔3〕建立模糊关系矩阵R在构造了等级模糊子集后,要逐个对被评事物从每个因素ui〔i = 1,2, ・・・・・・,p〕上进行量化,即确定从单因素来看被评事物对等级模糊子集的隶属度〔R I u.〕, 进而得到模糊关系矩阵：一u r r• • •r11112 1 mR I u r r• • •rR =2一2122 2 m• •*• • •• • •« • ••rR I u r r• • •p 1 p 2pm」p . m矩阵R 中第i 行第/列元素r j,表示某个被评事物从因素4来看对匕等级模糊子 集的隶属度.一个 被评事物在某个因素4方面的表现,是通过模糊向量 〔R ।匕〕=〔/%,……,0来刻画的,而在其他评价方法中多是由一个指标实际值来刻画的,因此,从这个角度讲模糊综合评价要求更多的信息［10. 〔4〕确定评价因素的权向量在模糊综合评价中,确定评价因素的权向量：A = 〔a ,a ,・・・・・・,a 〕.权向量A12p中的元素a.本质上是因素u 对模糊子｛对被评事物重要的因素｝的隶属度.本文使 用层次分析法来确定评价指标间的相对重要性次序.从而确定权系数,并且在 合成之前归一化.即寸a .=1,a0 , i = 1,2,・・・・・・,n i =1〔5〕合成模糊综合评价结果向量利用适宜的算子将4与各被评事物的R 进行合成,得到各被评事物的模糊 综合评价结果向量B .即：AoR =C a ,a ,……,a ) p r11 r21• • •r 12 r22 • • •• • • • • • • • •r 1 m r2 m• • •=(b , b , (12)•••, b m )=BL r r• • •rp 1 p 2pm」其中?是由4与R 的第j 列运算得到的,它表示被评事物从整体上看对匕等级模 糊子集的隶属程度.〔6〕对模糊综合评价结果向量进行分析实际中最常用的方法是最大隶属度原那么,但在某些情况下使用会有些很勉 强,损失信息很多,甚至得出不合理的评价结果.提出使用加权平均求隶属等 级的方法,对于多个被评事物并可以依据其等级位置进行排序.多级模糊综合评价方法的步骤如下,以二级模糊评价为例：(1)进行一级因素的综合评价即按某一类中的各个因素进行综合评价.设对第i(1=12,,N)类中的第川=12加)元素进行综合评价,评价对象隶属于评价集合中的第k(k=1,2〃,m)个元素的隶属度为争(i=1,2,,,N；j=1,2,,,n；k=1,2〃,m),那么该综合评价的单因素隶属度矩阵为：Ci11 …RmR=()i C ... C in i inm于是第i类因素的模糊综合评价集合为：C11…C i i mB — W .R —(w , w ,.... w ).()i i ii1i2 in C ... Cin i inm同理确定B i.....B n的单因素模糊评价行向量：B -(,,,,) B；=(,,,,) ...B n -(,,,,)I=1,2,,,N,Bi为B层第i个指标所包含的各下级因素对于它的综合模糊运算结果, b 为B层第i个指标下级各因素相对于它的权重；R为模糊评价矩阵.i(2)进行二级因素的模糊综合评价最底层模糊综合评价仅仅是对某一类中的各个因素进行综合,为了考虑各类因素的综合影响,还必须在类之间进行综合.进行类之间因素的综合评价时, 所进行的评价为单因素评价,而单因素评价矩阵应为最底层模糊综合评价矩阵：B i ii - B i i mA — W .R —(w , w,….w ).()i i ii1 i2 in B ... Bin1inm。
模糊数学的基础理论本章将简要介绍相关的模糊数学理论，包括模糊集、区间数、模糊数、模糊测度及Choquet 积分等。
模糊数学是本书研究模糊合作对策的主要理论工具，是将经典合作对策推广到模糊合作对策的主要依据。
因此，本章对模糊数学相关概念做简单回顾是十分必要的，这将为后续几章的研究提供理论基础。
一模糊集本节重点介绍模糊集的定义、模糊集的运算、模糊集与经典集合的互相转化关系（分解定理与表现定理）及模糊集的扩张原理等。
（一）模糊集的概念与运算在经典集合论中，论域X上的子集A可以由特征函数唯一确定。
该特征函数指明了X中每个元素x的隶属程度，若x∈A，则特征函数χ（x）=1；若x∉A，则χ（x）=0。
也就是说，对于X中的每个元素x，要么x∈A，要么x∉A，二者必居其一。
这说明，经典集合只能表现具有明确外延的概念，然而现实生活中很多现象（或者概念）都具有模糊的性质，因此经典集合论在模糊概念面前显得无能为力。
为了定量地刻画模糊现象和模糊概念，Zadeh[141]在经典集合论的基础上将集合、运算的概念加以扩充，相应地把特征函数取值范围从值域｛0，1｝推广到区间[0，1]，其具体定义如下。
定义2.1[141]设X为论域，x为X中的元素，是X到[0，1]的一个映射，即称是X上的模糊集（fuzzy set），称为模糊集的隶属函数（mem⁃bership function）[或将称为元素x对模糊集的隶属度（grade of membership）]。
设论域X上全体模糊集构成的集合为，X上全体经典集合构成的集合为。
若，且，则为经典集合，即，因此经典集合可视为模糊集的特例，即有。
将经典集合间的关系和运算进行拓展，可定义模糊集的相等、包含关系及并集、交集、补集[141-149]。
下面我们用取大（∨）和取小（∧）运算定义模糊集间的各种运算。
定义2.2设，是论域X上的模糊集，则模糊集的相等、包含关系及并集、交集、余集表示为：在研究和处理时，我们往往希望对模糊概念有个明确的认识和归属，这就涉及模糊集与经典集合的互相转化问题，模糊集的截集和强截集[141-149]是处理这种转化问题的两种比较满意的手段。
定义2.3设，任取λ∈[0，1]，记称为模糊集的λ截集（λ⁃cut set）或λ水平集（λ⁃level set）。
而称为模糊集的λ强截集（strongλ⁃cut set）或λ开截集；λ称为阈值（thresh⁃old value）或置信水平（brief level）。
特别地，称为模糊集的核，记作，即而称0强截集为模糊集的支撑集（support set），记为，即根据以上定义，λ截集和λ强截集具有下列性质[141-149]。
性质2.1设，是论域X上的模糊集，对于任意的λ∈[0，1]，则有：注意：性质2.1对任意可列个或有限个模糊集运算均成立。
性质2.2设，是论域X上的模糊集，对于任意的λ，β∈[0，1]，则有：（二）分解定理、表现定理和扩张原理分解定理、表现定理和扩张原理是模糊集理论的三个基本定理与原理，也是本书后续几章解决模糊合作对策问题的基本方法。
为此，本小节将逐一介绍模糊集的分解定理、表现定理和扩张原理[141-149]，首先我们引入模糊集的数积和集合套的概念。
定义2.4设λ∈[0，1]，，定义，其隶属函数为称为λ与的数积（scalar product）。
定义2.5设有映射，若对于∀λ1，λ2∈[0，1]，H具有性质则称H是X上的集合套（nest of sets）。
根据性质2.2可知，模糊集的截集族和强截集族都是集合套。
定理2.1（分解定理）设，则定理2.2（表现定理）设映射为X上的集合套，记则，而且对于∀λ∈[0，1]，有：分解定理表明，一个模糊集可由集合套表示，因此可将模糊集转化为经典集合来处理；表现定理说明，任何一个集合套都刻画了一个模糊集，因此可通过求得的经典问题的解来研究模糊问题的求解方法。
因此，分解定理和表现定理为我们求解模糊问题提供了有效的途径。
模糊集理论中，两个模糊集之间的关系是通过下面的扩张原理[141-151]来实现的。
定义2.6（扩张原理Ⅰ）设论域为X和Y，由映射f：X→Y可以诱导出如下两个映射，分别记为：其中称是在f下的像，而是关于f的逆像。
由定义2.6可知，扩张原理Ⅰ是通过经典集合X和Y的映射关系来研究模糊集与的对应关系的。
进一步，可将扩张原理Ⅰ推广到多元情形中去，为此，首先给出模糊集的笛氏积集的定义[141-151]。
定义2.7设X1，X2，…，X n为n个论域，，i=1，2，…，n，则，，…，的笛氏积集记作定义为定义2.8（扩张原理Ⅱ）设X1，X2，…，X和Y1，Y2，…，Y均为论域，多元映射f：X1×X2×…×X n→Y1×Y2×…×Y，则f可诱导出映射和映射且对于∀y∈Y1×Y2×…×Y，有对于∀x∈X1×X2×…×X，有由定义2.6、定义2.7和定义2.8可知：根据扩张原理Ⅱ，可构造实数域R上的模糊集的加（+）、减（-）、乘（·）、除（÷）、取大（∨）和取小（∧）6种二元运算[141-149]。
定义2.9设R为实数域，R上全体模糊集构成的集合为，，∗∈｛+，-，·，÷，∨，∧｝，则模糊集的隶属函数为二区间数与模糊数在实际问题中，由于所涉及的数据本身带有模糊性或者希望用带模糊性的数字进行刻画，人们很难用精确的数字表示模糊信息，因此往往使用诸如下列的表达：总收益大约是20万，预计销售量在200件左右，投资总额不低于80万，等等。
为了保证在实际问题中既得到包含精确结果的范围，又能不丢失模糊信息，人们提出了“区间数”和“模糊数”。
本节主要介绍区间数和模糊数的相关概念，以便后续几章表示和处理模糊信息。
（一）区间数及其运算模糊数是区间数的推广，而区间数是模糊数的特例，因此在讨论模糊数之前，我们先简单介绍区间数及其相关运算[141-151]。
定义2.10设R为实数域，R上的有界闭集称为区间数（interval number），记为a=[a-，a+]。
若0≤a-≤a+，则为非负区间数。
我们将全体区间数记为IR，全体非负区间数记为IR+。
如不特别声明，n维区间向量是指每个分量均为区间数的n维向量。
一般意义下，我们可定义区间数的序关系和基本运算[141-151]如下。
定义2.11若a=[a-，a+]，b=[b-，b+]，则有下面性质成立：（1）且a+≤b+；（2）且a+≤b+；（3）且a+=b+。
定理2.3若，，则由扩张原理Ⅱ可得：（1）加法：a+b=[a-+b-，a++b+]；（2）减法：；（3）乘法：，a-b-∨a-b+∨a+b-∨a+b+]；（4）除法：，；（5）数乘：，∀m∈R；（6）取大：；（7）取小：。
特别地，若，则有：（3）乘法：；（4）除法：；（5）数乘：m（a+b）=[ma-+mb-，ma++mb+]。
一般来说，区间数的运算不满足可逆性。
例如，对于区间数[1，2]，[2，3]，[3，5]，根据定理2.3可知：[1，2]+[2，3]=[3，5][3，5]-[2，3]=[0，3]≠[1，2]为此，我们给出区间数的另一种减法运算——Hukuhara差[151-163]。
定义2.12设，若存在，使得，则称为和的Hukuhara差，简称H-差，记为。
需要说明的是，如果区间数[c-，c+]为区间数[a-，a+]和[b-，b+]的H-差，则根据区间数的加法运算可知c-=a--b-，c+=a+-b+即可以看出，区间数的H-差是不一定存在的，因为无法保证a--b-≤a+-b+。
定理2.4设，则和的H-差存在的充要条件是（二）模糊数及其运算基于区间数的定义和基本运算，我们引入如下模糊数及其相关运算[141-151]。
定义2.13若实数域R上的模糊集满足条件：（1）是正规的，即存在x0∈R，使得；（2）对于∀λ∈（0，1]，是闭区间。
则称为模糊数（fuzzy number）。
若为有限集，则模糊数为有界模糊数。
若⊆[0，+∞），则称模糊数为非负模糊数。
全体有界模糊数构成的集合记为FR，全体非负有界模糊数构成的集合记为FR+。
对于∀λ∈（0，1]，有界模糊数的λ截集为区间数，表示为。
如不特别声明，本书的模糊数皆为有界模糊数，n维模糊向量是指每个分量均为有界模糊数的n维向量。
下面的定理给出了用隶属函数判定模糊数的充要条件[141-151]。
定理2.5令模糊集，当且仅当存在m，n∈R，m≤n，有：（1）在[m，n]上，；（2）在（-∞，m），为右连续的增函数，，；（3）在（n，+∞），为左连续的减函数，，。
根据定理2.5可知，不同隶属函数所确定的模糊数是不同的，因此模糊数的类型是非常多的。
在对实际问题的模糊信息进行表示时，一般采用区间数、三角模糊数、梯形模糊数。
其中，区间数和三角模糊数可被看作特殊的梯形模糊数，为此，我们先介绍梯形模糊数的定义[142-149，155，161-163]。
定义2.14设，a，b，l，r∈R，a≤b，l，r≥0，若的隶属函数满足则称为梯形模糊数（trapezoidal fuzzy number），记为（a，b，l，r）。
特别地，若l=r=0，则梯形模糊数退化为区间数[a，b]。
由梯形模糊数的定义可知，区间数是一种特殊的梯形模糊数，而梯形模糊数可被看作区间数的推广。
定义2.15设为梯形模糊数，若a=b，即的隶属函数满足则称为三角模糊数（triangular fuzzy number），记为（a，l，r）T。
特别地，若l=r，则称为对称三角模糊数（symmetric triangular fuzzy number），记为（a，l，l）T或者（a，l）T，其隶属函数为进一步，若l=0，则对称三角模糊数的隶属函数为此时对称三角模糊数退化为实数a。
我们将所有三角模糊数组成的集合记作R T，并将所有对称三角模糊数组成的集合记作R ST。
显然，R⊂R ST⊂R T⊂FR。
因此，实数是一种特殊的模糊数，而模糊数可被看作实数的推广。
由于模糊数是实数域R上特殊的模糊集，因此根据模糊集的二元运算，可得到如下模糊数的扩张运算[141-149]。
定义2.16设，∗∈｛+，-，·，÷，∨，∧｝，则的隶属函数为分别称，，，，，为与的扩张加法，扩张减法，扩张乘法，扩张除法，扩张极大，扩张极小运算（exten⁃sion addition，subtraction，multiplication，division，maximum，minimum）。
直接运用式（2.9）对模糊数进行运算并不是很容易，为了方便运算，下面我们介绍模糊数的一些运算性质[141-149]。
