2020湖南省中考数学专题复习函数图象及性质探究题

函数图象及性质探究题(郴州近两年考查)类型一纯函数性质探究＝(郴州 2019、2018.24)x －21. (2018 郴州 24 题 10 分)参照学习函数的过程与方法，探究函数 y ＝ (x ≠0)的图象与性质．因为 yxx －2 2 2 2 ＝1－ ，即 y ＝－ ＋1，所以我们对比函数 y ＝－ 来探究．x x x x列表：x2y ＝－x……－41 2－32 3－21－12－4121 2－41－22－13－2 34－1 2……x －2 y ＝x…3 25 32 3 5－3－1 01 31 2…x －2描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以 y ＝ 相应的函数值为纵坐标，描出相x 应的点，如图所示．(1)请把 y 轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；(2)观察图象并分析表格，回答下列问题：①当 x <0 时，y 随 x 的增大而________；(填“增大”或“减小”)x －2 2②y ＝ 的图象是由 y ＝－ 的图象向________平移________个单位而得到；x x ③图象关于点________中心对称．(填点的坐标)x －2(3)设 A (x ，y )，B (x ，y )是函数 y ＝ 的图象上的两点，且 x ＋x ＝0，试求 y ＋y ＋3 的值．1 12 2 1 2 1 2第 1 题图2. (2019 郴州 24 题 10 分)若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的x－ （x ≤－1），函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数 y ＝ 的图象与性 |x －1| （x >－1）质．列表：x…－3－52－23 －2－11 －2yxy…1 21 22 314 53 21 21214 35 23 22323 2……1描点：在平面直角坐标系中，以自变量 x 的取值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标，描出相应的点， 如图所示．(1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；第 2 题图(2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：7 5①点 A (－5，y )，B (－ ，y )，C (x ， )，D (x ，6)在函数图象上，则 y ________y ，x ________x ；(填“>”， 2 2“＝”或“<”)②当函数值 y ＝2 时，求自变量 x 的值；③在直线 x ＝－1 的右侧的函数图象上有两个不同的点 P (x ，y )，Q (x ，y )，且 y ＝y ，求 x ＋x 的值； ④若直线 y ＝a 与函数图象有三个不同的交点，求 a 的取值范围．3. 某班“数学兴趣小组”对函数 y ＝x 2－2|x |的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量 x 的取值范围是全体实数，x 与 y 的几组对应值列表如下：2 x1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 4 4 3 4 3 4x…－3－5 2－2－1125 23…y…35 4m－1－15 43…其中，m ＝________．(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数 图象的另一部分．(3)观察函数图象，写出两条函数的性质．(4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与 x 轴有________个交点，所以对应的方程 x 2－2|x |＝0 有________个实数根； ②方程 x 2－2|x |＝2 有________个实数根；③关于 x 的方程 x 2－2|x |＝a 有 4 个实数根时，a 的取值范围是________．第 3 题图（－5≤x <0） x －1 4. 已知函数 y ＝，－（x －2）2＋4（x ≥0） 4m1下表是 y 与 x 的几组值：xyxy－51 2 24－43 5 315 4－33 443－215n－13 263……115 4探究函数图象和性质过程如下：(1)解析式中的 m ＝______，表格中的 n ＝________；(2)在平面直角坐标系中描出表格中各点，并画出 函数图象；第 4 题图(3)若 A (x ，y )、B (x ，y )、C (x ，y )为函数图象上的三个点，其中 x ＋x ＞4 且－1＜x ＜0＜x ＜2＜x1 12 23 3 2 3 1 2 3＜4，则 y 、y 、y 之间的大小关系是____________；(4)若直线 y ＝k ＋1 与该函数图象有且仅有一个交点，则 k 的取值范围为____________．15. 某“兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数 y ＝x ＋ 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，x 请补充完整．1(1)函数 y ＝x ＋ 的自变量取值范围是________；x(2)下表是 x 与 y 的几组对应值：1 2 3x…－3－2－1－12－141412123…y…－103－52－2－5217－417452252m…则表中m的值为________；(3)根据表中数据，在如图所示平面直角坐标xOy中描点，并画出函数的一部分，请画出该函数的图象的另一部分；(4)观察函数图象：写出该函数的一条性质：________________________________________________________________________；11(5)进一步探究发现：函数y＝x＋图象与直线y＝－2只有一个交点，所以方程x＋＝－2只有1个实x x1数根，若方程x＋＝k(x<0)有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．x第5题图6. 某数学兴趣小组在探究函数y＝x2－2|x|＋3 的图象和性质时，经历了以下探究过程；(1)列表(完成下列表格)；x…－3－2－11－212123…y…632236…(2)描点，并在下图中画出函数的大致图象；第6题图(3)根据函数图象，完成以下问题：①观察函数y＝x2－2|x|＋3的图象，以下说法正确的有______________(填写正确的选项)． A.对称轴是直线x＝1B.函数y＝x2－2|x|＋3的图象有两个最低点，其坐标分别是(－1，2)、(1，2)C.当－1＜x＜1时，y 随x 的增大而增大D.当函数y＝x2－2|x|＋3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点E. 函数y＝(x－2)2－2|x－2|＋3的图象可以看作是函数y＝x2－2|x|＋3的图象向右平移2个单位得到②结合图象探究发现，当m 满足____________时，方程x2－2|x|＋3＝m有四个解；③设函数y＝x2－2|x|＋3的图象与其对称轴相交于P点，当直线y＝n和函数y＝x2－2|x|＋3图象只有两个交点时，且这两个交点与点P所构成的三角形是等腰直角三角形，求n的值．类型二结合几何动点探究函数性质7.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D，E 分别为BC，AB的中点，连接AD.在线段AD上任取一点P，连接PB，P E.若BC＝4，AD＝6，设PD＝x(当点P与点D重合时，x的值为0)，P B＋PE＝y.小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)通过计算，得到了x与y的几组值，如下表：x y5.214.524.234.645.957.66m经计算，m的值是________(说明：补全表格时，相关数值保留一位小数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，10≈3.162)；(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表格中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)函数y的最小值为________(保留一位小数)，此时点P在图中的位置为________．第7题图8.如图①，点O是矩形ABCD的中心(对角线的交点)，AB＝4cm，AD＝6cm，点M是边AB上的一动点，过点O作ON⊥OM，交BC于点N.设AM＝x，ON＝y.今天我们将根据学习函数的经验，研究函数值y 随自变量x的变化而变化的规律．下面是某同学做的一部分研究结果，请你一起参与解答：(1)自变量x的取值范围是________；(2)通过计算，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm y/cm2.400.52.2412.111.52.032 2.532.113.52.2442.40请你补全表格(说明：补全表格时，相关数值保留两位小数，参考数据：9.25≈3.04，37≈6.08)；(3)在如图②所示的平面直角坐标系中，画出该函数的大致图象；(4)根据图象，请写出该函数的一条性质．第8题图参考答案类型一1. 解：(1)画图如解图所示：纯函数性质探究第 1 题解图(2)①增大；②上，1；2 x －2 2【解法提示】反比例函数 y ＝－ 图象的对称中心是原点，函数 y ＝ ＝1－ 图象的对称中心是(0，1)，x x x x －2 2则函数 y ＝ 是由函数 y ＝－ 向上平移 1 个单位得到的．x x③(0，1)；x －2(3)∵点(x ，y )，(x ，y )是函数 y ＝ 图象上的两点， 1 1 2 2x －2 2 x －2 2 ∴y ＝ ＝1－ ，y ＝ ＝1－ ， x x x x1 12 22 2 2 2∴y ＋y ＋3＝(1－ )＋(1－ )＋3＝5－( ＋ )， x x x x 1 2 1 2∵x ＋x ＝0，且 x ≠0，x ≠0， 2 2 2（x ＋x ）∴ ＋ ＝ ＝0，x x x x 1 2 1 2∴y ＋y ＋3＝5.2. 解：(1)函数图象如解图①；第 2 题解图①(2)①＜，＜；2 2②在 y ＝－ 中，当 y ＝2 时，2＝－ ，解得 x ＝－1.满足 x ≤－1.∴x ＝－1 符合题意． xx在 y ＝|x －1|中，当 y ＝2 时，2＝|x －1|，x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2∴x －1＝±2.解得 x ＝－1 或 3.∵x ＞－1，∴x ＝3.综上所述，当 x ＝－1 或 3 时，y ＝2； ③设 y ＝y ＝t .在 y ＝|x －1|(x >－1)中， 当 y ＝t 时，t ＝|x －1|.∴x －1＝±t .∴x ＝－t ＋1 或 t ＋1. 设 x ＝－t ＋1，x ＝t ＋1.∴x ＋x ＝－t ＋1＋t ＋1＝2； ④如解图②，在直角坐标系中作直线 y ＝a 的图象．由图象可知，当 0＜y ＜2 时，直线 y ＝a 与函数图象有三个不同的交点． ∵y ＝a ，∴0＜a ＜2.第 2 题解图②3. 解：(1)0；(2)画出函数图象如解图所示；第 3 题解图(3)①函数图象有两个最低点，坐标分别是(－1，－1)、(1，－1)；②函数图象是轴对称图形，对称轴是直线 x ＝0(y 轴)；③从图象信息直接看出：当 x ＜－1 或 0＜x ＜1 时，函数值随自变量的增大而减小；当－1＜x ＜0 或 x ＞1 时，函数值随自变量的增大而增大；④在 x ＜－2 或 x ＞2 时，函数值大于 0，在－2＜x ＜0 或 0＜x ＜2 时，函数值小于 0 等；(答案不唯一， 合理即可)(4)① 3，3；② 2; ③－1＜a ＜0.【解法提示】①观察图象可知函数图象与 x 轴有 3 个交点，∴方程 x 2－2|x |＝0 有 3 个不相等的实数根；3 4 3 4 3 4②把抛物线 y ＝x 2－2|x |向下平移 2 个单位，得抛物线 y ＝x 2－2|x |－2，∵抛物线 y ＝x 2－2|x |－2 与 x 轴只有 2 个交点，∴方程 x 2－2|x |＝2 有 2 个不相等的实数根；③把抛物线 y ＝x 2－2|x |向上平移 a (0＜a ＜1)个单位时，抛物线与 x 轴有 4 个交点，∴方程 x 2－2|x |＝a 有 4 个实数根时，a 的取值范围为－1<a <0.7 4. 解：(1)－3， ； 4 1 m 【解法提示】将表格中(－5， )代入函数 y ＝ 中，得 m ＝－3.将 2 x －11 7 7 x ＝5 代入函数 y ＝－ (x －2)2＋4 中，得 y ＝ ，即 n ＝ . 4 4 4(2)画出函数图象如解图所示；第 4 题解图(3)y <y <y ； 1 3 23 【解法提示】∵－1<x <0<x <2<x <4，则根据题意可得 <y <3，3<y <4，3<y <4， 1 2 3 1 2 3∴y >y ，y >y ，又∵x ＋x ＞4，0<x ＜2＜x <4 且根据函数图象可得(2－x )－(x －2)＝4－(x ＋x )＜0. ∴2－x ＜x －2， ∴y ＜y .综上所述，y ＜y ＜y . 1 (4)k <－ 或 k ＝3. 2【解法提示】直线 y ＝k ＋1 为平行于 x 轴的直线，1 观察图象可知，当 k ＋1＜ 或 k ＋1＝4 时，直线 y ＝k ＋1 与该函数图象有且仅有一个交点， 21 ∴k ＜－ 或 k ＝3. 25. 解：(1)x ≠0；10 (2) ； 32 2 13 1 2 3 2 3 2 3 2 32 33 2 1 3 2(3)画出函数图象如解图；第 5 题解图(4)①该函数无最大值，也无最小值；②函数图象关于原点对称；③当x <－1 时，y 随 x 增大而增大；④ 当 x >1 时，y 随 x 增大而增大；⑤当－1<x <0 时，y 随 x 增大而减小；⑥当 0<x <1 时，y 随 x 增大而减小；⑦ 当 x <0 时，该函数的最大值为－2；⑧当 x >0 时，该函数的最小值为 2；(写出一条即可)(5)k <－2.9 9 6. 解：(1) ，3， ； 4 4 (2)画出函数图象如解图；第 6 题解图(3)①B ，D ，E ；②2<m <3；③由题可知函数的对称轴为 x ＝0，∴点 P 的坐标为(0，3)．设直线 y ＝n 与函数 y ＝x 2 －2|x |＋3 的图象在第一象限交点坐标为(x ，y )，∵三角形为等腰直角三角形，∴|y －3|＝x ，当 y >3 时，有 y －3＝x ，即 x 2 －2x ＋3－3＝x ，解得 x ＝3，x ＝0(舍去)，此时 y ＝3 2－2×3＋3＝6，即 n ＝6；当 y <3 时，有 3－y ＝x ，即 3－(x 2－2x ＋3)＝x ，解得 x ＝1，x ＝0(舍去)， 此时 y ＝1 2－2×1＋3＝2，即 n ＝2.综上所述，n 的值为 6 或 2.1 2 1 2类型二结合几何动点探究函数性质7. 解： (1)9.5；【解法提示】当 x ＝6 时，此时点 P 与点 A 重合，y ＝PB ＋PE ＝AB ＋AE ，∵AB ＝AC ，点 D 为 BC 的中 1 点，∴BD ＝ BC ＝2，AD ⊥BC ，∴在 △R t ABD 中，AB ＝ BD 2＋AD 2＝ 2 22 ＋6 2＝2 10，∵点 E 为 AB 的中 1 点，∴AE ＝ AB ＝ 10，∴y ＝AB ＋AE ＝2 10＋ 10＝3 10≈9.5，即 m ≈9.5. 2(2)根据(1)中表格中的数据描出函数图象如解图①；第 7 题解图①(3)4.2，点 P 是 AD 与 CE 的交点．【解法提示】如解图②，连接 CE ，与 AD 交于点 P ，此时 y 值最小，过点E 作 EF ⊥BC ，垂足为点 F ，第 7 题解图②∵AB ＝AC ，点 D 为 BC 的中点，1∴AD ⊥BC ，BD ＝DC ＝ BC ＝2，2∴PB ＝PC ，EF ∥AD ，∴y ＝PB ＋PE ＝PC ＋PE ＝CE ，∵点 E 为 AB 的中点，1 1∴EF ＝ AD ＝3，BF ＝DF ＝ BD ＝1，2 2 ∴CF ＝3，∴在 △R t CEF 中，CE ＝ CF 2＋EF 2＝ 3 2 ＋3 2＝3 2≈4.2.8. 解：(1)0≤x ≤4；(2)2.00，2.03；1【解法提示】当x＝2时，即AM＝2＝AB，易得四边形OMBN为矩形，∴ON＝BM＝2，即y＝2.00，2当x＝2.5 时，如解图①，过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，第8 题解图①∴∠OEM＝∠OFN＝90°，易得四边形OEBF为矩形，∵点O为矩形ABCD对角线的中点，1∴OE＝BF＝BC＝3，21BE＝OF＝AB＝2，2∵AM＝2.5，∴EM＝0.5，∴OM＝OE2＋EM2＝32＋（0.5）237＝，2∵∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∴△OEM∽△OFN，37OE OM32∴＝，即＝OF ON2ON37∴y＝ON＝≈2.03.3(3)画出函数的大致图象如解图②所示；第8 题解图②(4)①该函数的图象是轴对称图形；②函数的最小值为2；③当0＜x＜2时，y随x的增大而减小；④当2＜x＜4时，y 随x的增大而增大等．(答案不唯一)。

课时训练(十三) 二次函数的图象与性质(一)(限时:40分钟)|夯实基础|1.[2019·衢州]二次函数y=(x -1)2+3的图象的顶点坐标是 ( ) A .(1,3) B .(1,-3)C .(-1,3)D .(-1,-3)2.[2019·重庆B 卷]抛物线y=-3x 2+6x +2的对称轴是 ( ) A .直线x=2 B .直线x=-2 C .直线x=1D .直线x=-13.关于抛物线y=x 2-4x +1,下列说法错误的是 ( ) A .开口向上B .与x 轴有两个不同的交点C .对称轴是直线x=2D .当x>2时,y 随x 的增大而减小4.[2019·攀枝花]在同一坐标系中,二次函数y=ax 2+bx 与一次函数y=bx -a 的图象可能是( )图K13-15.[2019·河南]已知抛物线y=-x 2+bx +4经过(-2,n )和(4,n )两点,则n 的值为 ( ) A .-2B .-4C .2D .46.[2019·陕西]在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x 2+(2m -1)x +2m -4与y=x 2-(3m +n )x +n 关于y 轴对称,则符合条件的m ,n 的值为 ( ) A .m=57,n=-187B .m=5,n=-6C .m=-1,n=6D .m=1,n=-27.[2019·烟台]已知二次函数y=ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如下表:x -1 0 2 3 4 y 5 0 -4 -3 0下列结论:① 抛物线的开口向上;② 抛物线的对称轴为直线x=2;③当0<x<4时,y>0;④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4;⑤若A (x 1,2),B (x 2,3)是抛物线上两点,则x 1<x 2. 其中正确的个数是 ( )A .2B .3C .4D .58.[2019·株洲]若二次函数y=ax 2+bx 的图象开口向下,则a 0(填“=”或“>”或“<”). 9.[2019·武威]将二次函数y=x 2-4x +5化成y=a (x -h )2+k 的形式为 .10.[2019·无锡]某个函数具有性质:当x>0时,y 随x 的增大而增大,这个函数的表达式可以是 (只要写出一个符合题意的答案即可).11.已知A (0,3),B (2,3)是抛物线y=-x 2+bx +c 上两点,该抛物线的顶点坐标是 .12.[2018·武汉]飞机着陆后滑行的距离y (单位:m)关于滑行时间t (单位:s)的函数解析式是y=60t -32t 2.在飞机着陆滑行中,最后4 s 滑行的距离是 m . 13.[2018·宁波]已知抛物线y=-12x 2+bx +c 经过点(1,0),0,32.(1)求抛物线的函数表达式;(2)将抛物线y=-12x 2+bx +c 平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.14.[2019·威海]在画二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:x … -1 0 1 2 3 … y 甲…63236…乙写错了常数项,列表如下:x … -1 0 1 2 3 … y 乙…-2-12714…通过上述信息,解决以下问题:(1)求原二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的表达式;(2)对于二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0),当x 时,y 的值随x 值的增大而增大; (3)若关于x 的方程ax 2+bx +c=k (a ≠0)有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.|拓展提升|15.[2019·遂宁]如图K13-2,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,点A,点C分别在x轴,y的轴的正半轴上,G为线段OA上一点,将△OCG沿CG翻折,点O恰好落在对角线AC上的点P处,反比例函数y=12x 图象经过点B,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过C(0,3),G,A三点,则该二次函数的解析式为(填一般式).图K13-216.[2019·淮安]如图K13-3,已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点,D为顶点,其中点B的坐标为(5,0),点D的坐标为(1,3).(1)求该二次函数的表达式;(2)点E是线段BD上的一点,过点E作x轴的垂线,垂足为F,且ED=EF,求点E的坐标;?若存在,求出点G的坐标;若(3)试问在该二次函数图象上是否存在点G,使得△ADG的面积是△BDG的面积的35不存在,请说明理由.图K13-3【参考答案】1.A2.C3.D4.C5.B6.D [解析]∵抛物线y=x 2+(2m -1)x +2m -4与y=x 2-(3m +n )x +n 关于y 轴对称, ∴{2x -1=3x +x ,2x -4=x ,解得{x =1,x =-2.故选D . 7.B [解析]先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线,由图象可以看出抛物线开口向上,所以结论①正确,由图象(或表格)可以看出抛物线与x 轴的两个交点分别为(0,0),(4,0),所以抛物线的对称轴为直线x=2且抛物线与x 轴的两个交点间的距离为4,所以结论②和④正确,由图象可以看出当0<x<4时,y<0,所以结论③错误,由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时,对应的点均有两个,若A (x 1,2),B (x 2,3)是抛物线上两点,既有可能x 1<x 2,也有可能x 1>x 2,所以结论⑤错误. 8.<9.y=(x -2)2+1 10.y=x 2(答案不唯一)11.(1,4) [解析]∵A (0,3),B (2,3)是抛物线y=-x 2+bx +c 上两点,∴{x =3,-4+2x +x =3,解得{x =2,x =3,∴y=-x 2+2x +3=-(x -1)2+4,顶点坐标为(1,4).12.24 [解析]∵y=60t -32t 2=-32(t -20)2+600,∴当t=20时,滑行到最大距离600 m 时停止;当t=16时,y=576,∴最后4 s 滑行的距离是24 m . 13.解:(1)把(1,0)和0,32代入y=-12x 2+bx +c ,得{-12+x +x =0,x =32,解得{x =-1,x =32, ∴抛物线的函数表达式为y=-12x 2-x +32. (2)∵y=-12x 2-x +32=-12(x +1)2+2, ∴顶点坐标为(-1,2),∴将抛物线y=-12x 2-x +32平移,使其顶点恰好落在原点的一种平移方法:先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度(答案不唯一), 平移后的函数表达式为y=-12x 2.14.解:(1)根据甲同学的错误可知x=0时,y=c=3是正确的, 由甲同学提供的数据,选择x=-1,y=6;x=1,y=2代入y=ax 2+bx +3,得{x -x +3=6,x +x +3=2,解得a=1是正确的.根据乙同学提供的数据,选择x=-1,y=-2;x=1,y=2代入y=x 2+bx +c ,得{1-x +x =-2,1+x +x =2,解得b=2是正确的, ∴y=x 2+2x +3.(2)抛物线y=x 2+2x +3的对称轴为直线x=-1,∵二次项系数为1,∴抛物线开口向上, ∴当x ≥-1时,y 的值随x 值的增大而增大. 故答案为≥-1.(3)∵方程ax 2+bx +c=k (a ≠0)有两个不相等的实数根,即x 2+2x +3-k=0有两个不相等的实数根,∴Δ=4-4(3-k )>0,解得k>2.15.y=12x 2-114x +3 [解析]∵矩形OABC 中,C (0,3),∴点B 的纵坐标为3.∵反比例函数y=12x 的图象经过点B ,∴B (4,3),A (4,0),∴OA=4.∵C (0,3),∴OC=3,∴Rt △ACO 中,AC=5.设G (m ,0),则OG=m ,∴GP=OG=m ,CP=OC=3,∴AP=2,AG=4-m ,∴Rt △AGP 中,m 2+22=(4-m )2,∴m=32,∴G 32,0.∵A (4,0),C (0,3),G32,0,∴解析式为y=12x 2-114x +3.16.[解析](1)利用顶点式求二次函数表达式;(2)设对称轴与x 轴的交点为C ,利用DC ⊥x 轴,EF ⊥x 轴证明△BEF ∽△BDC ,利用对应边成比例求出BF ,EF 的长度,进而确定点E 的坐标; (3)分两种情况求交点坐标.解:(1)∵二次函数图象的顶点D 的坐标为(1,3),∴设二次函数的表达式为y=a (x -1)2+3. ∵函数图象过点B (5,0), ∴a (5-1)2+3=0,∴a=-316,∴该二次函数的表达式为y=-316(x -1)2+3,即y=-316x 2+38x +4516. (2)设对称轴与x 轴的交点为C ,如图①所示. ∵D (1,3),B (5,0), ∴DC=3,BC=4,BD=5.∵DC ⊥x 轴,EF ⊥x 轴, ∴△BEF ∽△BDC ,∴xx xx =xx xx =xxxx. 设EF=ED=m ,则5-x 5=x 3=xx 4,∴m=158,BF=43×158=52,∴OF=5-52=52,∴E52,158.(3)存在.根据题意知A (-3,0),A ,B 两点到直线DG 的距离之比为3∶5,分两种情形:①A ,B 两点在直线DG 的同旁,如图②,直线DG 与x 轴交于点H ,过点A 作AN ⊥DG 于点N ,过点B 作BM ⊥DG 于点M ,则有AN ∥BM ,xx xx =35,∴△HAN ∽△HBM , ∴xx xx =xxxx, ∴AH=12, ∴H (-15,0).设直线DG 的表达式为y=kx +b , 则{-15x +x =0,x +x =3,解得{x =316,x =4516,∴直线DG 的表达式为y=316x +4516.∵点G 为直线DG 与抛物线y=-316x 2+38x +4516的另一个交点, ∴{x =316x +4516,x =-316x 2+38x +4516,解得{x =0,x =4516或{x =1,x =3.∴G 0,4516.②A ,B 两点在直线DG 的两旁,如图③,过点A 作AN ⊥DG 于点N ,过点B 作BM ⊥DG 于点M ,则有AN ∥BM ,xx xx =35.∵xx xx =35, ∴直线DG 经过点O ,其表达式为y=3x.∵点G 为直线DG 与抛物线y=-316x 2+38x +4516的另一个交点,∴{x =3x ,x =-316x 2+38x +4516,解得{x =-15,x =-45或{x =1,x =3.∴G (-15,-45).综上所述,点G 的坐标为0,4516或(-15,-45).。

2020中考数学题位复习系统之解答题专练5函数的图象与性质探究1. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；（3）已知函y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集．2．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数y＝﹣2|x|的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A，B的坐标和函数y＝﹣2|x+2|的对称轴．（2）探索思考：平移函数y＝﹣2|x|的图象可以得到函数y＝﹣2|x|+2和y＝﹣2|x+2|的图象，分别写出平移的方向和距离．（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数y＝﹣2|x﹣3|+1的图象．若点（x1，y1）和（x2，y2）在该函数图象上，且x2＞x1＞3，比较y1，y2的大小．3. 有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当x≥﹣1时，y＝，当x＜﹣1时y＝；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝的图象；（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质：．（4）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1＝的只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：．4. 有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；的值为；（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；（4）观察图象，写出该函数的一条性质：；（5）若函数y＝的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为：；5. 小邱同学根据学习函数的经验，研究函数y＝的图象与性质．通过分析，该函数yy﹣1﹣2﹣3.4﹣7.5 2.4（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；（2）在图中补全当1≤x＜2的函数图象；（3）观察图象，写出该函数的一条性质：；（4）若关于x的方程＝x+b有两个不相等的实数根，结合图象，可知实数b的取值范围是．6.若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与﹣﹣﹣标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值y＝2时，求自变量x的值；③在直线x＝﹣1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3+x4的值；④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．7.有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当x≥3时，y＝，当x＜3时y＝；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1＝只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：．。

2020中考数学 函数的定义及其图象专题练习（含答案）典例探究例1： 一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y （千米）与快车行驶时间t （小时）之间的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．例2： 2018年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利到家．其中x 表示童童从家出发后所用时间，y 表示童童离家的距离．下图能反映y 与x 的函数关系式的大致图象是（ ）例3： 函数自变量取值范围是（ ） A ．且 B ． C ． D ． 且例4： 已知二次函数2(1)y a x c =--的图像如图2所示，则一次函数y ax c =+的大致图像可能是（ ）3y x =-x 1x ≥3x ≠1x ≥3x ≠1x >3x≠巩固练习【确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围】1.函数12y x =-的自变量x 的取值范围是 2.在函数12-=x xy 中，自变量x 的取值范围是______________________3.在函数52-=x y 中，自变量x 的取值范围是4.在函数21-=x y 中，自变量x 的取值范围是___________________5.函数y =中，自变量的取值范围是 ． 6. 在函数xx y 2-=中，自变量x 的取值范围是_______________________________ 7.在函数y =中，自变量的取值范围是 ．【求函数值】8.如果一次函数y=-x+b 经过（0，-4），则b=9.函数13y x =+中，当x=-1时，y= 10.函数21y x=中，当x=-4时，y=11.已知函数y=kx+b 的函数图像与y 轴交点的纵坐标为-5，且当x=1时，y=2,则x=3时， y=【用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系】12.水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h 随时间t 的变化规律如图所示（图中OABC 为一折线)，这个容器的形状是图中（ ）xx13.如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回.点P 在运动过程中速度大小不变.则以点A 为圆心，线段AP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图象大致为（ ）14. 如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形的边上有一动点沿运动一周，则的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是（ ）15.“五·一”期间，九年一班同学从学校出发，去距学校6千米的本溪水洞游玩，同学们分为步行和骑自行车两组，在去水洞的全过程中，骑自行车的同学比步行的同学少用40分钟，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍． （1）求步行同学每分钟．．．走多少千米？ （2）右图是两组同学前往水洞时的路程（千米） 与时间（分钟）的函数图象． 完成下列填空：①表示骑车同学的函数图象是线段 ； ②已知点坐标，则点的坐标为（ ）．ABCD P A B C D A →→→→P y Ps y x A (300)，B【理解具体问题中的数量关系和变化规律】16. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90C ∠=，6cm CD =，AD ＝2cm ，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿BA 、AD 、DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到C 点停止，两点运动时的速度都是1cm/s ，而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C ．设P 点运动的时间为(s)t ，BPQ △的面积为y 2(cm )．下图中能正确表示整个运动中y 关于的函数关系的大致图象是（ ）17.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 在BC 边上运动，联结DP ，过点A 作AE ⊥DP ，垂足为E ，设DP ＝x ，AE ＝y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）18.如图， A 、B 、C 、D 为的四等分点，动点从圆心出发，沿 路 线作匀速运动，设运动时间为（秒），∠APB=y （度），则下列图象中表示与之间函数 关系最恰当的是（ ）O P O O C D O ---y19. 如图,点E 、F 是以线段BC 为公共弦的两条圆弧的中点，6BC =. 点A 、D 分别为线段EF 、BC 上的动点. 连接AB 、AD ，设B D x =，22AB AD y -=，下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象是（ ）参考答案典例探究例1：【答案】C ．【解析】当时间为0时，两车均未出发，相距1000千米，即t ＝0时，y ＝1000，由此排除B 选项；当两车相遇时，得100t ＋150t ＝1000，解得t ＝4．接下来两车相遇后又分两种情况：一是两车相遇后均在行驶，二是两车相遇后，特快车到达终点地而只有快车在行驶．这时，联想现实情景，发现后者中y 的增大幅度明显会小于前者中y 的增大幅度．于是可知相遇前的函数图象是一条线段，相遇后的函数图象是一条折线段，且前段比后段陡．综合这些信息知答案选C ． 【易错警示】易漏掉203≤t ≤10这种情况的讨论，错误的认为相遇后的y 一直是匀速变大而选A ．对于A 中的时间8是如何产生的呢？这是由(100t ＋150t )－1000＝1000，解得t ＝8．可见这种错误的根本在于没认识到特快车是先到达终点地的，存在特快车停止行驶而快车仍在行驶这种情况．例2： 【答案】A【解析】时间x =0时，童童还在家里，所以图象必过原点；匀速步行前往，说明y 逐步变大，是正比例函数；等轻轨车，x 变化，而y 不变化，图象是水平线段；乘轻轨车匀速前往奥体中心，速度比步行时大，在相同时间内，函数值变化量比步行时大，所以图象是比步行时k 值大的一次函数，这样，就基本可以确定答案为A ．【易错警示】对函数图象的分段不准，对各个阶段相对的变化快慢忽视．例3： 【答案】A【解析】根据条件得，解得且，所以选A ．【易错警示】从分子中的二次根式看，容易误为x －1＞0，从而误选选项D ．例4： 【答案】A【解析】由二次函数图像知，抛物线开口向上，则0a >，因抛物线的顶点(1,)c -在第四象限，则0c >；据此，一次函数y ax c =+中，因，则图像自左向右是“上升”的，先排除C 、D 。

【备考2020】2020年湖南省中考数学精编精练5：二次函数姓名：__________班级：__________考号：__________一、、选择题1.（2020年湖南省益阳市）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（）A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4 D．y＝x2【考点】一次函数的性质，正比例函数的性质，二次函数的性质【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以得到y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．解：y＝4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，y＝﹣4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，y＝x﹣4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，y＝x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．2.（2020年湖南省益阳市）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②④【考点】二次函数图象与系数的关系【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，能得到：a＜0，c＞0，∴ac＜0，故①正确，②∵对称轴x＜﹣1，∴﹣＜﹣1，a＜0，∴b＜2a，∴b﹣2a＜0，故②正确．③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故③错误．④当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④错误，故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a 与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．3.（2020年湖南省娄底市）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（）①abc＜0②b2﹣4ac＜0③2a＞b④（a+c）2＜b2A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系【分析】由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点，即可得出b﹣2a＞0，b＜0，△＝b2﹣4ac＞0，再由图象可知当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，即可求解．解：由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点，∴b﹣2a＞0，b＜0，△＝b2﹣4ac＞0，abc＞0，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2，∴只有④是正确的，故选：A．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出a，b，c，△，对称轴的关系是解题的关键．4.（2020年湖南省岳阳市）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜D．c＜1【考点】二次函数图象与系数的关系【分析】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由x1＜1＜x2知，解之可得．解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，则．解得c＜﹣2，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式．二、、填空题5.（2020年湖南省株洲市）若二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，则a 0（填“＝”或“＞”或“＜”）．【考点】二次函数图象与系数的关系【分析】由二次函数y＝ax2+bx图象的开口向下，可得a＜0．解：∵二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，∴a＜0．故答案是：＜．【点评】考查了二次函数图象与系数的关系．二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口，当a＜0时，抛物线向下开口，|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．6.（2020年湖南省衡阳市）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2020的坐标为．【考点】二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y＝x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2020的坐标．解：∵A点坐标为（1，1），∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），∵A1A2∥OA，∴直线A1A2为y＝x+2，解得或，∴A2（2，4），∴A3（﹣2，4），∵A3A4∥OA，∴直线A3A4为y＝x+6，解得或，∴A4（3，9），∴A5（﹣3，9）…，∴A2020（﹣1010，10102），故答案为（﹣1010，10102）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．7.（2020年湖南省常德市）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形，②平行四边形是广义菱形，③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形，④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是．（填序号）【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，正方形的性质【分析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确，②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误，③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误，④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1），由股沟定理可得PQ＝MP＝+1，MP＝PQ和MN∥PQ，所以四边形PMNQ是广义菱形．④正确，解：①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确，②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误，③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误，④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1），∴MP＝＝，PQ＝+1，∵点P在第一象限，∴m＞0，∴MP＝+1，∴MP＝PQ，又∵MN∥PQ，∴四边形PMNQ是广义菱形．④正确，故答案为①④，【点评】本题考查新定义，二次函数的性质，特殊四边形的性质，熟练掌握平行四边形，菱形，二次函数的图象及性质，将广义菱形的性质转化为已学知识是求解的关键．三、、解答题8.（2020年湖南省张家界市）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标,（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形,（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标, （4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值,若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即可求解,（2）AM＝MB＝ABsin45°＝＝AD＝BD，则四边形ADBM为菱形，而∠AMB＝90°，即可求解, （3）S△PBC＝PH×OB，即可求解,（4）过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，则HQ＝CQ，AQ+QC 最小值＝AQ+HQ＝AH，即可求解．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即：3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则顶点D（2，﹣1）,（2）∵OB＝OC＝4，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，AM＝MB＝ABsin45°＝＝AD＝BD，则四边形ADBM为菱形，而∠AMB＝90°，∴四边形ADBM为正方形,（3）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），则S△PBC＝PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），∵﹣＜0，故S△PBC有最大值，此时x＝，故点P（，﹣）,（4）存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，则HQ＝CQ，AQ+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，直线HC所在表达式中的k值为，直线HC的表达式为：y＝x+3…①则直线AH所在表达式中的k值为﹣，则直线AH的表达式为：y＝﹣x+s，将点A的坐标代入上式并解得：则直线AH的表达式为：y＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝，故点H（，），而点A（1，0），则AH＝，即：AQ+QC的最小值为．【点评】本题是二次函数综合运用，涉及到一次函数、特殊四边形性质、图形的面积计算等，其中（4），过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，则HQ＝CQ，是本题的难点．9.（2020年湖南省益阳市）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A（1，4），B（3，0）．（1）求抛物线对应的二次函数表达式，（2）探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE 的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由，（3）应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA．PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．提示：若点A．B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（，）．【考点】二次函数综合题【分析】（1）函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B坐标的坐标代入上式，即可求解，（2）利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解，（3）由（2）知：点N是PQ的中点，即可求解．解：（1）函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3，（2）OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM，∴S△OME＝S△OBM，∴S四边形OMAD＝S△OBM，（3）设点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，解得：m＝﹣1或4，故点P（4，﹣5），如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，由（2）知：点N是PQ的中点，将点C（﹣1，0）、P（4，﹣5）的坐标代入一次函数表达式并解得：直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，同理直线AC的表达式为：y＝2x+2，直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D（0，3），同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，联立①②并解得：x＝﹣，即点Q（﹣，），∵点N是PQ的中点，由中点公式得：点N（，﹣）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中（3）直接利用（2）的结论，即点N是PQ的中点，是本题解题的突破点．10.（2020年湖南省邵阳市）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）（1）求该二次函数的解析式，（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A．B两点，过A．B两点分别作x 轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值，（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A 时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值，若不能，请说明理由．【考点】二次函数综合题【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式，（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，进而可得出点C，D的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论，（3）由（2）可得出点A，B，C，D的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点E，F 的坐标，由AQ∥EF且以A．E、F、Q四点为顶点的四边形为平行四边形可得出AQ＝EF，分0＜t ≤4，4＜t≤7，7＜t≤8三种情况找出AQ，EF的长，由AQ＝EF可得出关于t的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论．解：（1）将（0，0），（8，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+x．（2）当y＝m时，﹣x2+x＝m，解得：x1＝4﹣，x2＝4+，∴点A的坐标为（4﹣，m），点B的坐标为（4+，m），∴点D的坐标为（4﹣，0），点C的坐标为（4+，0）．∵矩形ABCD为正方形，∴4+﹣（4﹣）＝m，解得：m1＝﹣16（舍去），m2＝4．∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4．（3）以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．由（2）可知：点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（6，4），点C的坐标为（6，0），点D的坐标为（2，0）．设直线AC的解析式为y＝kx+a（k≠0），将A（2，4），C（6，0）代入y＝kx+a，得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6．当x＝2+t时，y＝﹣x2+x＝﹣t2+t+4，y＝﹣x+6＝﹣t+4，∴点E的坐标为（2+t，﹣t2+t+4），点F的坐标为（2+t，﹣t+4）．∵以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQ∥EF，∴AQ＝EF，分三种情况考虑：①当0＜t≤4时，如图1所示，AQ＝t，EF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，∴t＝﹣t2+t，解得：t1＝0（舍去），t2＝4，②当4＜t≤7时，如图2所示，AQ＝8﹣t，EF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，∴8﹣t＝﹣t2+t，解得：t3＝4（舍去），t4＝6，③当7＜t≤8时，如图3所示，AQ＝8﹣t，EF＝﹣t+4﹣（﹣t2+t+4）＝t2﹣t，∴8﹣t＝t2﹣t，解得：t5＝2﹣2（舍去），t6＝2+2．综上所述：当以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4，6或2+2．．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式，（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程，（3）分0＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8三种情况，利用平行四边形的性质找出关于t的一元二次方程．11.（2020年湖南省长沙市）已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值，（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围，（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好≤≤，求m，n的值．【考点】二次函数综合题【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标和二次函数解析式y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）可知，y＝﹣2（x﹣1）2+1，易得b、c的值，（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入函数解析式，经过化简得到c＝2x02+2020，易得c≥2020，（3）由题意知，抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1，则y≤1．利用不等式的性质推知：，易得1≤m＜n．由二次函数图象的性质得到：当x＝m时，y最大值＝﹣2m2+4m﹣1．当x＝n时，y最小值＝﹣2n2+4n﹣1．所以＝﹣2m2+4m﹣1，＝﹣2n2+4n﹣1通过解方程求得m、n的值．解：（1）由题可知，抛物线解析式是：y＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1．∴．∴b＝6，c＝2020．（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入解析式可得：．∴两式相加可得：﹣4x02+2（c﹣2020）＝0．∴c＝2x02+2020，∴c＞2020，（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1．∴y≤1．∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，恰好≤≤，∴≤．∴．∴≤1，即m≥1．∴1≤m＜n．∵抛物线的对称轴是x＝1，且开口向下，∴当m≤x≤n时，y随x的增大而减小．∴当x＝m时，y最大值＝﹣2m2+4m﹣1．当x＝n时，y最小值＝﹣2n2+4n﹣1．又，∴．将①整理，得2n3﹣4n2+n+1＝0，变形，得2n2（n﹣1）﹣（2n+1）（n﹣1）＝0．∴（n﹣1）（2n2﹣2n﹣1）＝0．∵n＞1，∴2n2﹣2n﹣1＝0．解得n1＝（舍去），n2＝．同理，由②得到：（m﹣1）（2m2﹣2m﹣1）＝0．∵1≤m＜n，∴2m2﹣2m﹣1＝0．解得m1＝1，m2＝（舍去），m3＝（舍去）．综上所述，m＝1，n＝．【点评】主要考查了二次函数综合题，解答该题时，需要熟悉二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性，二次函数图象的增减性，二次函数最值的意义以及一元二次方程的解法．该题计算量比较大，需要细心解答．难度较大．12.（2020年湖南省常德市）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式，（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x 轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值，（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG 面积的？若存在，求出该点的横坐标，若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题【分析】（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B的坐标代入上式，即可求解，（2）矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，即可求解，（3）S△PNC＝＝×PK×CD＝×PH×sin45°×3，解得：PH＝＝HG，即可求解．解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B的坐标代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1，故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①，（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点N（2﹣x，﹣x2+2x+3），则MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，∵﹣2＜0，故当x＝﹣＝2，C有最大值，最大值为10，此时x＝2，点N（0，3）与点D重合，（3）△PNC的面积是矩形MNHG面积的，则S△PNC＝×MN×GM＝×2×3＝，连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH，过点P作PK∥⊥CD于点K，将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），S△PNC＝＝×PK×CD＝×PH×sin45°×3，解得：PH＝＝HG，则PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝，解得：x＝，故点P（，），直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝，即点P′、P″的坐标分别为（，）、（，），故点P坐标为：（，）或（，）或（，）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．13.（2020年湖南省长沙市）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标，（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE，②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．【考点】二次函数综合题【分析】（1）令y＝0，可得ax（x+6）＝0，则A点坐标可求出，（2）①连接PC，连接PB延长交x轴于点M，由切线的性质可证得∠ECD＝∠COE，则CE＝DE，②设OE＝m，由CE2＝OE•AE，可得，由∠CAE＝∠OBE可得，则，综合整理代入可求出的值．解：（1）令ax2+6ax＝0，ax（x+6）＝0，∴A（﹣6，0），（2）①证明：如图，连接PC，连接PB，延长交x轴于点M，∵⊙P过O、A．B三点，B为顶点，∴PM⊥OA，∠PBC+∠BOM＝90°，又∵PC＝PB，∴∠PCB＝∠PBC，∵CE为切线，∴∠PCB+∠ECD＝90°，又∵∠BDP＝∠CDE，∴∠ECD＝∠COE，∴CE＝DE．②解：设OE＝m，即E（m，0），由切割线定理得：CE2＝OE•AE，∴（m﹣t）2＝m•（m+6），∴①，∵∠CAE＝∠CBD，∠CAE＝∠OBE，∠CBO＝∠EBO，由角平分线定理：，即：，∴②，由①②得，整理得：t2+18t+36＝0，∴t2＝﹣18t﹣36，∴．【点评】本题是二次函数与圆的综合问题，涉及二次函数图象与x轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、切割线定理等知识．把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键．14.（2020年湖南省湘西州）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．（1）求抛物线的解析式，（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF 周长的最小值，（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由，（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．【考点】二次函数综合题【分析】（1）由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A（2，0），由OA＝2，且OA：AD＝1：3得AD＝6．由于四边形ABCD为矩形，故有AD⊥AB，所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点D坐标．由抛物线经过点D、E，用待定系数法即求出其解析式．（2）画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，得FM＝FM'、GN＝GN'．易得当M'、F、G、N'在同一直线上时N'G+GF+FM'＝M'N'最小，故四边形MNGF周长最小值等于MN+M'N'．根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M'、N、N'坐标，即求得答案．（3）因为OD可求，且已知△ODP中OD边上的高，故可求△ODP的面积．又因为△ODP的面积常规求法是过点P作PE平行y轴交直线OD于点E，把△ODP拆分为△OPE与△DPE的和或差来计算，故存在等量关系．设点P坐标为t，用t表示PE的长即列得方程．求得t的值要讨论是否满足点P在x轴下方的条件．（4）由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上，画出平移后的抛物线可知，点K由点O平移得到，点L由点D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，0）．易证KL平分矩形面积时，KL一定经过矩形的中心H且被H平分，求出H坐标为（4，﹣3），由中点坐标公式即求得m的值．解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2∴A（2，0）∵OA：AD＝1：3∴AD＝3OA＝6∵四边形ABCD是矩形∴AD⊥AB∴D（2，﹣6）∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E∴解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N'∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8∴抛物线对称轴为直线x＝4∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）∴y C＝y D＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称∴x C＝4+（4﹣x D）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）∴AB＝CD＝4，B（6，0）∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°∴∠BAM＝45°∴BM＝AB＝4∴M（6，﹣4）∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上∴M'（6，4），FM＝FM'∵N为CD中点∴N（4，﹣6）∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小∴C四边形MNGF＝MN+M'N'＝＝2+10＝12∴四边形MNGF周长最小值为12．（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为．过点P作PE∥y轴交直线OD于点E∵D（2，﹣6）∴OD＝，直线OD解析式为y＝﹣3x设点P坐标为（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t）①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧∴PE＝y E﹣y P＝﹣3t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+t∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE＝PE•x P+PE•（x D﹣x P）＝PE（x P+x D﹣x P）＝PE•x D＝PE＝﹣t2+t ∵△ODP中OD边上的高h＝，∴S△ODP＝OD•h∴﹣t2+t＝×2×方程无解②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧∴PE＝y P﹣y E＝t2﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE＝PE•x P﹣PE•（x P﹣x D）＝PE（x P﹣x P+x D）＝PE•x D＝PE＝t2﹣t ∴t2﹣t＝×2×解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6∴P（6，﹣6）综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为．（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L∵KL平分矩形ABCD的面积∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4∴K（m，0），L（2+m，0）连接AC，交KL于点H∵S△ACD＝S四边形ADLK＝S矩形ABCD∴S△AHK＝S△CHL∵AK∥LC∴△AHK∽△CHL∴∴AH＝CH，即点H为AC中点∴H（4，﹣3）也是KL中点∴∴m＝3∴抛物线平移的距离为3个单位长度．【点评】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题，勾股定理，坐标系中求三角形面积，抛物线的平移，相似三角形的判定和应用，中点坐标公式．易错的地方有第（1）题对点D、C、B坐标位置的准确说明，第（3）题在点D左侧不存在满足的P在点D左侧的讨论，第（4）题对KL必过矩形中心的证明．15.（2020年湖南省怀化市）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标,（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值,②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形,③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．【考点】二次函数综合题【分析】（1）求出点A．B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），即可求解, （2）①S△PMN＝PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4，即可求解,②k1k2＝＝＝﹣1，即可求解,③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，即可求解．解：（1）OB＝1，tan∠ABO＝3，则OA＝3，OC＝3，即点A．B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，点P（1，4）,（2）将二次函数与直线l的表达式联立并整理得：x2﹣（2﹣k）x﹣k＝0，设点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2，同理：y1y2＝9﹣4k2，①y＝kx﹣k+3，当x＝1时，y＝3，即点Q（1，3），S△PMN＝2＝PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4，|x2﹣x1|＝，解得：k＝±2,②点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4），则直线PM表达式中的k1值为：，直线PN表达式中的k2值为：，为：k1k2＝＝＝﹣1，故PM⊥PN，即：△PMN恒为直角三角形,③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，设点H坐标为（x，y），则x＝＝1﹣k，y＝（y1+y2）＝（6﹣k2），整理得：y＝﹣2x2+4x+1，即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识等，其中，用韦达定理处理复杂数据，是本题解题的关键．16.（2020年湖南省衡阳市）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．（1）求该抛物线的函数关系表达式，（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值，（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题【分析】（1）将点A．B的坐标代入二次函数表达式，即可求解，（2）设OP＝x，则PB＝3﹣x，由△POE∽△CBP得出比例线段，可表示OE的长，利用二次函数的性质可求出线段OE的最大值，（3）过点M作MH∥y轴交BN于点H，由S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝即可求解．解：（1））∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），把A．B两点坐标代入上式，，解得：，故抛物线函数关系表达式为y＝x2﹣2x﹣3，（2）∵A（﹣1，0），点B（3，0），∴AB＝OA+OB＝1+3＝4，∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，PC⊥BE，∴∠OPE+∠CPB＝90°，∠CPB+∠PCB＝90°，∴∠OPE＝∠PCB，又∵∠EOP＝∠PBC＝90°，∴△POE∽△CBP，∴，设OP＝x，则PB＝3﹣x，∴，∴OE＝，∵0＜x＜3，∴时，线段OE长有最大值，最大值为．即OP＝时，线段OE有最大值．最大值是．（3）存在．如图，过点M作MH∥y轴交BN于点H，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴x＝0，y＝﹣3，∴N点坐标为（0，﹣3），设直线BN的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线BN的解析式为y＝x﹣3，设M（a，a2﹣2a﹣3），则H（a，a﹣3），∴MH＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝＝＝，∵，∴a＝时，△MBN的面积有最大值，最大值是，此时M点的坐标为（）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系．利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．17.（2020年湖南省岳阳市）如图1，△AOB的三个顶点A．O、B分别落在抛物线F1：y＝x2+x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）（1）求点A．B的坐标，（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积，（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A．O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题【分析】（1）把x＝﹣4代入抛物线F1解析式求得y即得到点A坐标，把y＝﹣2代入抛物线F1解析式，解方程并判断大于﹣4的解为点B横坐标．（2）根据旋转90°的性质特点可求点A'、B'坐标（过点作x轴垂线，构造全等得到对应边相等）及OA'的长，用待定系数法求抛物线F2的解析式，进而求得对称轴．设点M纵坐标为m，则能用m表示A'M、OM的长度．因为点A'恰好在以OM为直径的圆上，即∠OA'M为圆周角，等于90°，故能根据勾股定理列得关于m的方程，解方程求得m的值即求得A'M的长，OA'•A'M即求得△OA'M的面积．（3）求直线OB'解析式，与抛物线F2解析式联立方程组，求解即求得点C坐标，发现A'与C纵坐标相同，即A'C∥x轴，故∠OA'C＝135°．以A．O、D为顶点的三角形要与△OA'C相似，则△AOD必须有一角为135°．因为点A（﹣4，﹣4）得直线OA与x轴夹角为45°，所以点D不能在x轴或y轴的负半轴，在x轴或y轴的正半轴时，刚好有∠AOD＝135°．由于∠AOD的两夹边对应关系不明确，故需分两种情况讨论：△AOD∽△OA'C或△DOA∽△OA'C．每种情况下由对应边成比例求得OD的长，即得到点D坐标．解：（1）当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）2+×（﹣4）＝﹣4∴点A坐标为（﹣4，﹣4）当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6∵点A在点B的左侧∴点B坐标为（﹣1，﹣2）（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G ∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°∴∠B'OG＝∠OBE在△B'OG与△OBE中∴△B'OG≌△OBE（AAS）∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1∵点B'在第四象限∴B'（2，﹣1）同理可求得：A'（4，﹣4）∴OA＝OA'＝∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'∴解得：∴抛物线F2解析式为：y＝x2﹣3x+4∴对称轴为直线：x＝﹣＝6∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）∴OM2＝62+m2，A'M2＝（6﹣4）2+（m+4）2＝m2+8m+20∵点A'在以OM为直径的圆上∴∠OA'M＝90°∴OA'2+A'M2＝OM2∴（4）2+m2+8m+20＝36+m2解得：m＝﹣2。

江苏泰州锦元数学工作室 编辑一、选择题1. （湖南长沙3分）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中如图所示，则下列关系式错误的是【 】A ．a ＞0B ．c ＞0C ．b 2﹣4ac ＞0 D ．a+b+c ＞02. （湖南怀化3分）下列函数是二次函数的是【 】A ．y 2x 1=+B ．y 2x 1=-+C ．2y x 2=+D ．1y x 22=-3. （湖南娄底3分）一次函数y=kx+b （k≠0）的图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是【 】A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞24. （湖南邵阳3分）下列四个点中，在反比例函数6yx=-的图象上的是【】A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）5. （湖南湘潭3分）如图，点P（﹣3，2）是反比例函数kyx=（k≠0）的图象上一点，则反比例函数的解析式【】A．3yx=- B．12yx=- C．2y3x=- D．6yx=-6. （湖南益阳4分）抛物线()2y 2x 31=-+的顶点坐标是【 】A ．（3，1）B ．（3，﹣1）C ．（﹣3，1）D ．（﹣3，﹣1）8. （湖南岳阳3分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对于下列结论：①a＜0；②b＜0；③c＞0；④b+2a=0；⑤a+b+c＜0．其中正确的个数是【 】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. （湖南张家界3分）若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是【】A． B． C．D．10. （湖南株洲3分）已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数6yx的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是【】A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y111. （湖南株洲3分）二次函数2y 2x mx 8=++的图象如图所示，则m 的值是【 】A ．－8B ．8C ．±8 D．6∵对称轴为直线mx <022=-⨯，∴m＞0。

2020年中考数学真题分项汇编(湖南专版)专题05 二次函数1. (2020年湖南长沙中考)“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”。

在特定条件下，“可食用率”P 与加工煎炸时间t(单位：分钟)近似满足的函数关系式为：c bt at p ++=2(a≠0，b ，c是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸豆腐的最佳时间为( )A ． 3.50分钟B ． 4.05分钟C ． 3.75分钟D ． 4.25分钟【答案】C【解析】方法一：根据二次函数图像的对称性即可判断出正确答案，首先判断最佳之间为对称轴所对应的t 值。

A 选项，若对称轴为3.50，则3和4关于3.50对称，其p 值应相等，排除A ； B 选项，若对称轴为4.05，则3和5.10关于4.05对称，其P 值相等，且t=5时对应的P 值要大于 3所对应的P 值，根据图像，排除B ；同理，D 也排除；C 选项，若对称轴为3.75，符合图像特征，故选C 。

方法二：设抛物线解析式为二次函数一般形式，将三个点坐标代入，配顶点式，可得答案为C 。

2. (2020年湖南常德中考)二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③4a +b ＝0；④4a ﹣2b +c ＞0．其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】先由抛物线与x 周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x ＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a ＜0，进而判断出b ＞0，再用抛物线与y 轴的交点的位置判断出c ＞0，判断出结论③，最后用x ＝﹣2时，抛物线在x 轴下方，判断出结论④，即可得出结论．解：由图象知，抛物线与x 轴有两个交点，∴方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2﹣4ac ＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x ＝2， ∴﹣ab 2＝2， ∴4a +b ＝0，故②正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a ＜0，∵4a +b ＝0，∴b ＞0，而抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0，故③正确，由图象知，当x ＝﹣2时，y ＜0，∴4a ﹣2b +c ＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B ．3.(2020年湖南湘西中考)已知二次函数2y ax bx c =++图象的对称轴为1x =，其图象如图所示，现有下列结论：①0abc >；②20b a -<；③0a b c -+>；④(),(1)a b n an b n +>+≠；⑤23c b <．正确的是( )A ． ①③B ． ②⑤C ． ③④D ． ④⑤【答案】D 【解析】由图像判断出a<0，b>0，c>0，即可判断①；根据b=-2a 可判断②；根据当x=-1时函数值小于0可判断③；根据当x=1时，y 有最大值，y=a+b+c ，当x=n 时，y=an 2+bn+c 即可判断④；当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0，且b=-2a ，即a=2b -，代入9a+3b+c<0可判断⑤． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴a<0，∵对称轴x=-2b a=1>0，∴b=-2a ，∴b>0， ∵抛物线与y 轴的交点在正半轴， ∴c>0，∴abc<0，①错误；∵b=-2a ， ∴b -2a=-2a -2a=-4a>0，②错误；由图像可得当x=-1时，y=a -b+c<0，③错误；当x=1时，y 有最大值，y=a+b+c ，当x=n 时，y=an 2+bn+c ，a+b+c>an 2+bn+c ，即a+b>n(an+b)，(n≠1)，④正确；当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c<0， ∵b=-2a ，即a=2b -， 代入9a+3b+c<0得9(2b -)+3b+c<0， 32b -+c<0， -3b+2c<0，即2c<3b ，⑤正确；故选：D ．4.(2020年湖南岳阳中考)对于一个函数，自变量x 取c 时，函数值y 等于0，则称c 为这个函数的零点．若关于x 的二次函数210y x x m =--+(0)m ≠有两个不相等的零点1212,()x x x x <，关于x 的方程21020x x m +--=有两个不相等的非零实数根3434,()x x x x <，则下列关系式一定正确的是( )A ． 1301x x <<B ． 131x x >C ． 2401x x <<D ． 241x x >【答案】B【解析】根据根与系数的关系可以求出12,x x ，34,x x 的值，用作差法比较13,x x 的大小关系，24,x x 的大小关系，根据∆可求出m 的取值范围，结合13,x x 的大小关系，24,x x 的大小关系从而得出选项．【详解】解：∵12,x x 是210y x x m =--+(0)m ≠的两个不相等的零点即12,x x 是2100x x m --+=的两个不相等的实数根∴12125x x x x m +=-⎧⎨=-⎩ ∵12x x <解得12x x == ∵方程21020x x m +--=有两个不相等的非零实数根34,x x∴343452x x x x m +=-⎧⎨=--⎩ ∵34x x <解得345522x x ---+==∴(13552x x ---==<0 ∴13x x <∵1502x -=<，3502x --=< ∴131x x >∴(2455022x x -+--==> ∴24x x >而由题意知()10040100420m m +>⎧⎨++>⎩解得25m >-当250m -<<时，240,0x x <<，241x x >； 当03m <<时，240,0x x ><，240x x <； 当m=3时，24x x 无意义； 当3m >时，241x x >， ∴24x x 取值范围不确定， 故选B ．5. (2020年湖南株洲中考)二次函数2y ax bx c =++，若0ab <，20a b ->，点()11,A x y ，()22,B x y 在该二次函数的图象上，其中12x x <，120x x +=，则( )A ． 12y y =-B ． 12y y >C ． 12y y <D ． 1y 、2y 的大小无法确定 【答案】B【解析】首先分析出a,b,x 1的取值范围，然后用含有代数式表示y 1,y 2，再作差法比较y 1,y 2的大小.【详解】解：∵20a b ->，b 2≥0,∴a>0.又∵0ab <，∴b<0∵12x x <，120x x +=，∴21x x =-,x 1<0.∵点()11,A x y ，()22,B x y 在该二次函数2y ax bx c =++的图象上 .∴2111y ax bx c =++，2222211y ax bx c ax bx c =++=-+.∴y 1-y 2=2bx 1>0.∴y 1>y 2.故选：B ．6. (2020年湖南省衡阳市中考)在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)．(1)求这个二次函数的表达式；(2)求当21x -≤≤时，y 的最大值与最小值的差；(3)一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且3a b <<，求m 的取值范围．【答案】(1)2y x x 2=--；(2)254；(3)1m <． 【解析】(1)利用待定系数法将点(1,0)-，(2,0)代入解析式中解方程组即可； (2)根据(1)中函数关系式得到对称轴12x =，从而知在21x -≤≤中，当x=-2时，y 有最大值，当12x =时，y 有最小值，求之相减即可；(3)根据两函数相交可得出x 与m 的函数关系式，根据有两个交点可得出∆>0，根据根与系数的关系可得出a ，b 的值，然后根据3a b <<，整理得出m 的取值范围．【详解】解：(1)∵2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)， ∴10420p q p q -+=⎧⎨++=⎩解得12p q =-⎧⎨=-⎩ ∴2y x x 2=--(2)由(1)得，二次函数对称轴为12x = ∴当21x -≤≤时，y 的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,y 的最小值为21192224⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ∴y 的最大值与最小值的差为925444⎛⎫--=⎪⎝⎭； (3)由题意及(1)得 ()2222y m x m y x x ⎧=-+-⎨=--⎩整理得()()2340x m x m ----= 即()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦∵一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ， ∴()()23440m m ∆=-+->化简得210250m m -+>即()250m -> 解得m≠5∴a ，b 为方程()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦的两个解又∵3a b << ∴a=-1，b=4-m 即4-m>3 ∴m<1综上所述，m 的取值范围为1m <．7. (2020年湖南长沙中考)我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”。

2020中考数学 压轴专题 函数的图象与性质专题（含答案）1. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数y =mx ＋5(m ≠0)的图象与反比例函数y =足为点M ．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△OAM 的面积S ；(3)在y 轴上求一点P ,使PA ＋PB 的值最小并求出此时点P 的坐标．第1题图将B (4,1)代入y =mx ＋5得:1=4m ＋5,△m =－1,△y =－x ＋5；(3)如解图,作点A 关于y 轴的对称点N ,则N (－1,4)．连接BN 交y 轴于点P ,点P 即为所求．设直线BN的关系式为y=kx＋b,第1题解图第2题图△A(4,0),令x=0,则y=3,△等腰Rt△ABC中,△BAC=90°,(2)△如解图,连接PO,△P(a,1),△△S△ABP=S△ABC,第2题解图3.如图△,在直角坐标系中,点A的坐标为(0,12),经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B(m,n).(1)若m=9,n=3,求直线l1和l2的解析式；(2)将△BAO绕点B顺时针旋转180°得△BFE,如图△,连接AE,OF.△证明:四边形OFEA是平行四边形；△若四边形OFEA是正方形,求m和n的值．第3题解图4.如图,在△ABC中,点A(4,0),点B在x轴上,点C在第四象限且横坐标为2,直线l1:y=－3x＋3经过点B,C；直线l2经过点C,与x轴交于点P(点P在点B 右侧),设点P的横坐标为m．(2)若P是AB的中点,求m的值；(3)当S△PBC=3时,求直线l2的解析式．第4题图解:(1)(1,0),(2,－3)；【解法提示】△y=－3x＋3经过点B,C,点B在x轴上,点C横坐标为2,△B(1,0),C(2,－3).(2)△P 是AB 中点,(3)△S△PBC =3,△PB =2,△P (3,0),设直线l 2的解析式为y =kx ＋b ,则有3=02=3k b k b ++-⎧⎨⎩, 解得=3=9k b -⎧⎨⎩,△直线l 2的解析式为y =3x －9．5. 如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(4,0),点B 的坐标为(0,4),点M 是线段AB 上任意一点(A ,B 两点除外)．(1)求直线AB 的解析式；(2)过点M 分别作MC △OA 于点C ,MD △OB 于点D ,当点M 在AB 上运动时,你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；(3)当点M 把线段AB 分成的两部分的比为1:3时,请求出点M 的坐标．第5题图解:(1)设直线AB 的解析式为y=kx ＋b ,由题意可得4=0=4k bb+⎧⎨⎩,解得=1=4kb-⎧⎨⎩,△AB的解析式为y=－x＋4；(2)不发生变化．理由:设M点的坐标为(x,－x＋4),则MD=|x|=x,MC=|－x＋4|=－x＋4,△四边形OCMD的周长=2(MD＋MC)=2[x＋(－x＋4)]=8,△四边形OCMD的周长不发生变化；(3)△DM△x轴,则点M的横坐标为1,此时纵坐标=－x＋4=－1＋4=3,△M(1,3)；则点M的横坐标为3,此时纵坐标=－x＋4=－3＋4=1,△M(3,1),综上可知,点M的坐标为(1,3)或(3,1)．6.如图,已知一次函数y=2x－4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,点P在该函数的图象上,P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2．(1)当P为线段AB的中点时,求d1＋d2的值；(2)直接写出d1＋d2的范围,并求当d1＋d2=3时点P的坐标；(3)若在线段AB上存在无数个P点,使d1＋ad2=4(a为常数),求a的值．解:(1)对于一次函数y=2x－4,令x=0,得到y=－4；令y=0,得到x=2,△A(2,0),B(0,－4),△P为AB的中点,△P(1,－2),△d1＋d2=3；(2)d1＋d2≥2；设P(m,2m－4),△d1＋d2=|m|＋|2m－4|,当0≤m≤2时,d1＋d2=m＋4－2m=4－m=3,解得m=1,此时P1(1,－2)；当m＞2时,d1＋d2=m＋2m－4=3,当m＜0时,不存在,(3)设P(m,2m－4),△d1=|2m－4|,d2=|m|,△P在线段AB上,△0≤m≤2,△d1=4－2m,d2=m,△d1＋ad2=4,△4－2m＋am=4,即(a－2)m=0,△有无数个点,△a=2．7.M,N,高为3的等边三角形ABC,边BC在x轴上,将此三角形沿着x轴的正方向平移,在平移过程中,得到△A1B1C1,当点B1与原点重合时,解答下列问题:(1)求出点A1的坐标,并判断点A1是否在直线l上；(2)求出边A1C1所在直线的解析式；(3)在坐标平面内找一点P,使得以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形,求出P点的坐标．第7题图解:(1)如解图,作A1H△x轴于H．在Rt△A1OH中,△A1H=3,△A1OH=60°,由解图可知,当以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形时,P1 (3第7题解图8.如图,在平面直角坐标系xoy中,平行四边形ABCO的顶点A,B的坐标分别是A(3,0),B(0,2).(1)求点C的坐标及直线AB的解析式；(2)动点P在直线23y x=上运动.△当PB=PC时,求出P点的坐标；△将直线23y x=怎样平移,能将平行四边形ABCO的面积平分？并求出此时它与直线AB交点Q的坐标；(3)在x轴上是否存在两点M、N(M在N左侧),使MN=1,且CM＋MN＋BN的值最小？若存在,求出M、N两点的坐标,并求出这个最小值；若不存在,请说明理由.第8题图解:(1)△四边形ABCO是平行四边形,△CB△OA,CB=OA=3,△点C的坐标为(－3,2),设直线AB的解析式为y=kx＋b,代入A(3,0),B(0,2)得032k bb=+⎧⎨=⎩,解得232kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩,△223y x=-+；(2)△当PB=PC时,P点在BC的垂直平分线上,即直线x=－32上,又△点P在直线23y x=上,△23()132y=⨯-=-,△P点的坐标为(－32,－1)；△若将平行四边形ABCO的面积平分,则直线必过平行四边形ABCO对角线的交点,即过点(0,1),△将直线23y x=向上平移1个单位即可,此时直线的解析式为213y x=+,联立方程组223213y xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,解得3432xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,△它与直线AB 的交点Q 的坐标为(34,32)； (3)存在.如解图,将点 C 向右平移1个单位长度得C ',作C '关于x 轴的对称点C '',连接C ''B ,交 x 轴于点 N ,将 N 点向左平移1个单位得M ,M 、N 即为所求作的点. 由题意可知,点C '(－2,2),△以点C '关于x 轴的对称点C ''(－2,－2),设直线C ''B 的解析式为y kx b =+,代入C ''(－2,－2),B (0,2)得222k bb -=-+⎧⎨=⎩,解得22k b =⎧⎨=⎩ , △22yx =+,△点 N 的坐标为(－1,0),点 M 的坐标为(－2,0), △CM ＋MN ＋BN 的最小值即为C ''B ＋MN1+=1+.第8题解图9. 如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,直角三角形OBD 的直角顶点D 在(1)求图象经过点B 的反比例函数的解析式；(2)点E 是(1)中反比例函数图象上一点,连接BE 、DE ,若BE =DE ,求四边形OBED 的面积．第9题图△BD =2OD ,△OD =2,BD =4,△B (2,4),(2)如解图,作EF △BD 于点F ,由BD △x 轴, △△EFD =△ODF ,△EF △x 轴, △BE =DE ,EF △BD 于点F ,△x =4,△E (4,2),EF =2,第9题解图10.于点B,平行于x轴的直线y=n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M,交AB于点N,连接BM．(1)求m的值和反比例函数的表达式；(2)直线y=n沿y轴方向平移,当n为何值时,△BMN的面积最大？第10题图解:(1)△直线y=2x＋6经过点A(1,m),△m=2×1＋6=8,△A(1,8),△k=8,△n=3时,△BMN的面积最大．11.点,且A点的橫坐标为1．(1)求一次函数的函数表达式；(2)当y1＞y2时,求x的取值范围；(3)已知反比例函数在第一象限的图象上有一点C橫坐标为3,求△ABC的面积．第11题图将点A(1,6)代入y1=x＋m,得:1＋m=6,解得m=5,则一次函数解析式为y1=x＋5；则点A (1,6)、点B (－6,－1),由图象可知y 1＞y 2时－6＜x ＜0或x ＞1；则点C (3,2),如解图,连接AC ,BC ,则AD =2、CD =4、BE =9、CE =3,第11题解图12. B (m ,n )(m ＞1),过点B 作y 轴的垂线,垂足为点C ． (1)求该反比例函数解析式；(2)当△ABC 面积为2时,求点B 的坐标；(3)P 为线段AB 上一动点(P 不与A 、B 重合),在(2)的情况下,直线y =ax －1与线段AB 交于点P ,直接写出a 的取值范围．第12题图△k=1×2=2,△mn=2,(3)将A(1,2)代入y=ax－1中,2=a－1,解得a=3；△直线y=ax－1与线段AB交于点P,P为线段AB上一动点(P不与点A、B重合),第13题图解:(1)根据题意得点B的横坐标为0,点A的纵坐标为0,△B(0,6),A(－8,0),△OA=8,OB=6,△CB平分△ABO,CD△AB,CO△BO,△CD=CO,△BC=BC,△Rt△BCD△Rt△BCO,△BD=BO=6,△AD=AB－BD=4,△△ADC=△AOB=90°,△CAD=△BAO,△△ACD△△ABO,△AC=5,△OC=OA－AC=3,△C(－3,0),△△EDB=△AOB=90°,BD=BO,△EBD=△ABO,△△EBD△△ABO,△BE=AB=10,△OE=BE－OB=4,△E(0,－4),设直线CE的解析式为y=kx－4,△－3k－4=0,解得(2)存在.第13题解图。