2021届湖南省中考数学复习题 (81)

2021届中考数学一轮复习《平行公理及推论》复习题1．下列语句正确的是（）
A．在所有连接两点的线中，直线最短
B．线段AB是点A与点B的距离
C．三条直线两两相交，必定有三个交点
D．两条不重合的直线，在同一平面内，不平行必相交
【分析】根据线段、相交线和平行线的定义和性质进行判断．
【解答】解：A、应为在所有连接两点的线中，线段最短，错误；
B、应为线段AB是直线AB点A与点B之间的部分，错误；
C、三条直线两两相交，必定有三个交点或一个交点，错误；
D、两条不重合的直线，在同一平面内，不平行必相交，正确．
故选：D．
【点评】熟练掌握公理和概念是解决本题的关键．
1。

2021年九年级中考数学小专题复习：整式的混合运算—化简求值（附答案）1．若x2+4x﹣4＝0，则3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）的值为（）A．﹣6B．6C．18D．302．若x+y＝3且xy＝1，则代数式（1+x）（1+y）的值等于（）A．﹣1B．1C．3D．53．我们知道，同底数幂的乘法法则为a m•a n＝a m+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）•h（2020）的结果是（）A．2k+2020B．2k+1010C．k n+1010D．1022k4．已知a﹣b＝5，ab＝3，则（a+1）（b﹣1）的值为（）A．﹣1B．﹣3C．1D．35．若a为正整数，且x2a＝5，则（2x3a）2÷4x4a的值为（）A．5B．C．25D．106．若a﹣b＝3，ab＝1，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（）A．3B．4C．9D．127．已知m+n＝mn，则（m﹣1）（n﹣1）＝．8．已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是．9．若规定符号的意义是：＝ad﹣bc，则当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为．10．已知x2+2x＝3，则代数式（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+x2的值为．11．已知2m﹣3n＝﹣4，则代数式m（n﹣4）﹣n（m﹣6）的值为．12．已知（a﹣4）（a﹣2）＝3，则（a﹣4）2+（a﹣2）2的值为．13．若x2+4x﹣4＝0，则2（x﹣2）2﹣4（x+1）（x﹣1）的值为．14．对于任意实数，规定的意义是＝ad﹣bc．则当x2﹣3x+1＝0时，＝．15．当2x2+3x+1＝0时，代数式（x﹣2）2+x（x+5）+2x﹣8的值为．16．如果x2+3x＝2020，那么代数式x（2x+1）﹣（x﹣1）2的值为．17．若x2﹣2x﹣6＝0，则（x﹣3）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣2x2的值为．18．若m是方程x2+x﹣3＝0的一个根，则代数式（m+1）2+（m+1）（m﹣1）的值为．19．先化简，再求值：（3x+2）（3x﹣2）﹣5x（x﹣1）﹣（2x﹣1）2，其中x＝﹣．20．化简，求值：当|x﹣2|+（y+1）2＝0时，求[（3x+2y）（3x﹣2y）+（2y+x）（2y﹣3x）]÷4x的值．21．化简求值：[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x，其中x＝﹣2，y＝．22．化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a＝﹣2，b＝．23．先化简，再求值：（x+2y）（x﹣2y）+（20xy3﹣8x2y2）÷4xy，其中x＝2018，y＝2019．24．化简求值：（﹣3xy）2（x2+xy﹣y2）﹣3x2y2（3x2+3xy+y2），其中x＝﹣，y＝﹣．25．先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a＝﹣．参考答案1．解：∵x2+4x﹣4＝0，即x2+4x＝4，∴原式＝3（x2﹣4x+4）﹣6（x2﹣1）＝3x2﹣12x+12﹣6x2+6＝﹣3x2﹣12x+18＝﹣3（x2+4x）+18＝﹣12+18＝6．故选：B．2．解：（1+x）（1+y）＝x+y+xy+1，则当x+y＝3，xy＝1时，原式＝3+1+1＝5．故选：D．3．解：∵h（2）＝k（k≠0），h（m+n）＝h（m）•h（n），∴h（2n）•h（2020）＝h（）•h（）＝•＝k n•k1010＝k n+1010，故选：C．4．解：原式＝ab﹣a+b﹣1＝ab﹣（a﹣b）﹣1，把a﹣b＝5，ab＝3代入得：原式＝3﹣5﹣1＝﹣3，故选：B．5．解：（2x3a）2÷4x4a＝4x6a÷4x4a＝x2a，当x2a＝5时，原式＝x2a＝5．故选：A．6．解：a3b﹣2a3b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2将a﹣b＝3，ab＝1代入，原式＝1×32＝9，故选：C．7．解：（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1，∵m+n＝mn，∴（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1＝1，故答案为1．8．解：∵x＝2y+3，∴x﹣2y＝3，则代数式4x﹣8y+9＝4（x﹣2y）+9＝4×3+9＝21．故答案为：21．9．解：由题意可得，＝m2（m﹣2）﹣（m﹣3）（1﹣2m）＝m3﹣7m+3，∵m2﹣2m﹣3＝0，解得：m1＝﹣1，m2＝3，将m1＝﹣1，m2＝3代入m2﹣2m﹣3＝0，等式两边成立，故m1＝﹣1，m2＝3都是方程的解，当m＝﹣1时，m3﹣7m+3＝﹣1+7+3＝9，当m＝3时，m3﹣7m+3＝27﹣21+3＝9．所以当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为9．故答案为：9．10．解：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+x2，＝x2+2x+1﹣（x2﹣4）+x2，＝x2+2x+5，∵x2+2x＝3∴原式＝3+5＝8．故答案为：8．11．解：当2m﹣3n＝﹣4时，∴原式＝mn﹣4m﹣mn+6n＝﹣4m+6n＝﹣2（2m﹣3n）＝﹣2×（﹣4）＝8故答案为：812．解：∵（a﹣4）（a﹣2）＝3，∴[（a﹣4）﹣（a﹣2）]2＝（a﹣4）2﹣2（a﹣4）（a﹣2）+（a﹣2）2＝（a﹣4）2+（a﹣2）2﹣2×3＝4，∴（a﹣4）2+（a﹣2）2＝10．故答案为：10．13．解：∵x2+4x﹣4＝0，∴x2+4x＝4，∴2（x﹣2）2﹣4（x+1）（x﹣1）＝2x2﹣8x+8﹣4x2+4＝﹣2x2﹣8x+12＝﹣2（x2+4x）+12＝﹣2×4+12＝4，故答案为：4．14．解：根据题意得：（x+1）（x﹣1）﹣3x（x﹣2）＝x2﹣1﹣3x2+6x＝﹣2x2+6x﹣1＝﹣2（x2﹣3x）﹣1，∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，原式＝﹣2×（﹣1）﹣1＝1，故答案为：1．15．解：原式＝x2﹣4x+4+x2+5x+2x﹣8＝2x2+3x﹣4，当2x2+3x+1＝0，即2x2+3x＝﹣1时，原式＝﹣1﹣4＝﹣5．故答案为：﹣516．解：x（2x+1）﹣（x﹣1）2＝2x2+x﹣x2+2x﹣1＝x2+3x﹣1，∵x2+3x＝2020，∴原式＝2020﹣1＝2019，故答案为：2019．17．解：∵x2﹣2x﹣6＝0，∴x2﹣2x＝6，∴（x﹣3）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣2x2＝x2﹣6x+9+4x2﹣1﹣2x2＝3x2﹣6x+8＝3（x2﹣2x）+8＝3×6+8＝26，故答案为：26．18．解：∵m是方程x2+x﹣3＝0的一个根，∴m2+m﹣3＝0，∴m2+m＝3，∴（m+1）2+（m+1）（m﹣1）＝m2+2m+1+m2﹣1＝2m2+2m＝2×3＝6，故答案为：6．19．解：原式＝9x2﹣4﹣（5x2﹣5x）﹣（4x2﹣4x+1）＝9x2﹣4﹣5x2+5x﹣4x2+4x﹣1＝9x﹣5，当时，原式＝＝﹣3﹣5＝﹣8．20．解：∵|x﹣2|+（y+1）2＝0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，解得，x＝2，y＝﹣1，∴[（3x+2y）（3x﹣2y）+（2y+x）（2y﹣3x）]÷4x＝（9x2﹣4y2+4y2﹣6xy+2xy﹣3x2）÷4x＝（6x2﹣4xy）÷4x＝1.5x﹣y＝1.5×2﹣（﹣1）＝3+1＝4．21．解：[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x＝（x2+4xy+4y2﹣3x2﹣2xy+y2﹣5y2）÷2x＝（﹣2x2+2xy）÷2x＝y﹣x，当x＝﹣2，y＝时，原式＝﹣（﹣2）＝．22．解：原式＝a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2＝4ab，当a＝﹣2，b＝时，原式＝﹣4．23．解：原式＝x2﹣4y2+5y2﹣2xy＝x2﹣2xy+y2，＝（x﹣y）2，当x＝2018，y＝2019时，原式＝（2018﹣2019）2＝（﹣1）2＝1．24．解：原式＝9x2y2（x2+xy﹣y2）﹣3x2y2（3x2+3xy+y2）＝9x4y2+9x3y3﹣9x2y4﹣9x4y2﹣9x3y3﹣3x2y4＝﹣12x2y4，当x＝﹣，y＝﹣时，原式＝﹣12××＝﹣108．25．解：原式＝a2+6a+9﹣（a2﹣1）﹣4a﹣8＝2a+2将a＝﹣代入原式＝2×（﹣）+2＝1。

2021年中考数学一轮复习：轴对称与中心对称专项练习题一、选择题1. 如图所示电视台的台标中，是中心对称图形的是()2. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()3. 如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点中心对称，则这个点是()A．O1B．O2C．O3D．O44. 如图，线段AB与A'B'(AB=A'B')不关于直线l成轴对称的是()5. 如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE，连接DE，过点A的直线GH与DE平行．若∠C＝40°，则∠GAD的度数为()A．40°B．45°C．55°D．70°6. 如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1:以点C为圆心，CA长为半径画弧①;步骤2:以点B为圆心，BA长为半径画弧②，交弧①于点D;步骤3:连接AD，交BC的延长线于点H.则下列叙述正确的是()A.BH垂直平分线段ADB.AC平分∠BADC.S△ABC=BC·AHD.AB=AD7. 把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形(如图0)的对应点所具有的性质是()A.对应点所连线段与对称轴垂直B.对应点所连线段被对称轴平分C.对应点所连线段都相等D.对应点所连线段互相平行8. 如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是()A.B.C.6 D.3二、填空题9. 将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB=10 cm ，则AC= cm .10. 等腰三角形的两边长分别为6 cm ，13 cm ，其周长为________ cm .11. 如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为 .12. 已知点P (x ，y )的坐标满足等式(x －2)2＋|y －1|＝0，且点P 与点P ′关于y 轴对称，则点P ′的坐标为________．13. 画图:试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格.根据上表，猜想正n 边形有 条对称轴.14. (2019•黄冈)如图，AC BD ，在AB 的同侧，288AC BD AB ===，，，点M为AB 的中点，若120CMD ∠=︒，则CD 的最大值是__________．三、解答题15. 已知:如图，AB=AC，DB=DC，点E在直线AD上.求证:EB=EC.16. 如图，DF为△ABC的边BC的垂直平分线，F为垂足，DF交△ABC的外角平分线AD于点D，DE⊥AB于点E，且AB>AC，连接BD，CD.求证:(1)∠DBE=∠DCA;(2)BE=AC+AE.17. 如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．18. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF ＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M 处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长．答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】C3. 【答案】A[解析] 如图，连接HC和DE交于点O1.4. 【答案】A[解析] 选项A中，A'B'是由线段AB平移得到的，所以线段AB与A'B'不关于直线l成轴对称.5. 【答案】C[解析] ∵AC＝CB，∠C＝40°，∴∠BAC＝∠B＝12(180°－40°)＝70°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝12(180°－70°)＝55°.∵GH∥DE，∴∠GAD＝∠ADE＝55°.6. 【答案】A[解析] 如图，连接CD，BD.∵CA=CD，BA=BD，∴点C，B都在线段AD的垂直平分线上.∴BH垂直平分线段AD.故选A.7. 【答案】B[解析] 连接BB'交对称轴于点O，过点B作BM⊥对称轴，垂足为M，过点B'作B'N⊥对称轴，垂足为N，由轴对称的性质及平移的性质可得BM=B'N.又因为∠BOM=∠B'ON，∠BMO=∠B'NO=90°，所以△BOM≌△B'ON.所以OB=OB'.同理其他对应点也有这样的结论.8. 【答案】D[解析]分别以OB，OA为对称轴作点P的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，P1P2，P1P2交射线OA，OB于点M，N，则此时△PMN的周长有最小值，△PMN的周长=PN+PM+MN=P1N+P2M+MN=P1P2，根据轴对称的性质可知OP1=OP2=OP=，∠P1OP2=120°，∴∠OP1M=30°，过点O作MN的垂线段，垂足为Q，在Rt△OP1Q中，可知P1Q=，所以P1P2=2P1Q=3，故△PMN周长的最小值为3.二、填空题9. 【答案】10[解析]如图，∵矩形的对边平行，∴∠1=∠ACB，由翻折变换的性质，得∠1=∠ABC，∴∠ABC=∠ACB，∴AC=AB，∵AB=10 cm，∴AC=10 cm.故答案为10.10. 【答案】32[解析] 由题意知，应分两种情况：(1)当腰长为6 cm时，三角形的三边长为6 cm，6 cm，13 cm，6＋6＜13，不能构成三角形；(2)当腰长为13 cm时，三角形的三边长为6 cm，13 cm，13 cm，能构成三角形，周长＝2×13＋6＝32(cm)．11. 【答案】12[解析]∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=×6×8=24.∵点O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=×24=12.12. 【答案】(－2，1)[解析] ∵(x －2)2≥0，|y －1|≥0，又(x －2)2＋|y －1|＝0，∴x－2＝0且y －1＝0，即x ＝2，y ＝1.∴点P 的坐标为(2，1)．那么点P 关于y 轴的对称点P′的坐标为(－2，1)．13. 【答案】解:如图.故填3，4，5，6，n.14. 【答案】14【解析】如图，作点A 关于CM 的对称点A'，点B 关于DM 的对称点B'．∵120CMD ∠=︒，∴60AMC DMB ∠+∠=︒， ∴60CMA'DMB'∠+∠=︒， ∴60A'MB'∠=︒， ∵MA'MB'=，∴A'MB'△为等边三角形，∵14CD CA'A'B'B'D CA AM BD ≤++=++=， ∴CD 的最大值为14，故答案为：14．三、解答题15. 【答案】证明:连接BC.∵AB=AC ，DB=DC ，∴直线AD 是线段BC 的垂直平分线. 又∵点E 在直线AD 上，∴EB=EC.16. 【答案】证明:(1)如图，过点D 作DG ⊥CA 交CA 的延长线于点G .∵DF 是BC 的垂直平分线，∴BD=CD.∵AD 是△ABC 的外角平分线，DE ⊥AB ，DG ⊥CA ， ∴DE=DG ，∠DEB=∠DGC=90°. 在Rt △DBE 和Rt △DCG 中，∴Rt △DBE ≌Rt △DCG (HL). ∴∠DBE=∠DCA.(2)∵Rt △DBE ≌Rt △DCG ，∴BE=CG . 在Rt △DEA 和Rt △DGA 中，∴Rt △DEA ≌Rt △DGA (HL). ∴AE=AG .∴BE=CG=AC+AG=AC+AE ， 即BE=AC+AE.17. 【答案】(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝112122OE OC b b ⋅=⨯⨯=．②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入12y x b =-+可知，点D 的坐标为(2b －2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入12y x b =-+可知，点E 的坐标为3(3,)2b -，AE ＝32b -，BE ＝52b -．此时S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b -⨯-----⨯⨯-252b b =-+．(2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形．作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得54m ．所以重叠部分菱形DMEN的面积为54．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图7 18. 【答案】(1)如解图①，∵折叠后点A落在AB边上的点D处，解图①∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴S △AEF ＝S △DEF ，∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF ，∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴14△△AEF ACB S S =， ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AEF ∽△ABC ，∴2△△（）AEF ACB S AE ABS =， ∴214（）=，AE AB 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，即AB ＝42＋32＝5，∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52；(2)①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图②，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ，∴∠CAB ＝∠CEM ，∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形，而AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形，解图②②如解图②，连接AM ，与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ， ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°，∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ，∴EC AC ＝EM AB ，∵AB ＝5，∴445-，x x =解得x ＝209， ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169，在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM ＝（209）2－（169）2＝43，∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S AEMF 菱形＝4S △AOE ＝2OE ·AO ， 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ，∴OE AO ＝CM AC ，∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S AEMF 菱形＝6OE 2，又∵S AEMF 菱形＝AE ·CM ，∴6OE 2＝209×43，解得OE ＝2109，∴EF ＝2OE ＝4109.。

2021年中考数学一轮复习精练+热考题型：几何变换综合题（五）1．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝8，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF＝AB；（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC 的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN＝FN，AB＝8，求BE的长．2．将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点，点B（0，1），点O（0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'．（1）如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，求点A'的坐标；（2）如图②，当P为AB中点时，求A'B的长；（3）当∠BPA'＝30°时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．3．如图，已知正方形ABCD、AEFG边长分别为cm、2cm，将正方形ABCD绕点A旋转，连接BG、DE相交于点H．（1）判断线段BG、DE的数量关系与位置关系，并说明理由．（2）连接FH，在正方形ABCD绕点A旋转过程中，①线段DH的最大值是；②求点H经过路线的长度．4．如图1，已知线段AB的两个端点坐标分别为A（a，1），B（﹣2，b），且满足+＝0．（1）则a＝，b＝；（2）在y轴上是否存在点C，使三角形ABC的面积等于8？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，将线段BA平移得到线段OD，其中B点对应O点，A点对应D点，点P （m，n）是线段OD上任意一点，求证：3n﹣2m＝0．5．矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，点P为AD边上的一点，沿直线BP将△ABP翻折至△EBP（点A落在点E处）．（1）如图1，当点E落在CD边上，则△EBC的面积S△BEC＝；（2）如图2，PE、CD相交于点M，且MD＝ME，求折痕BP的长；（3）如图3，当点P为AD的中点时，连接DE，则图中与∠APB相等的角的个数为．6．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），等边△AOB经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OCD．（1）填空：①△AOB沿x轴向右平移得到△OCD，则平移的距离是个单位长度；②△AOB与△OCD关于某直线对称，则对称轴是；③△AOB绕原点O顺时针旋转得到△OCD，则旋转角度可以是度；（2）连接AD，请探索AD与CD的位置关系．7．如图，矩形ABCD中，P为AD上一点．将△ABP沿BP翻折至△EBP，点A与点E重合：（1）如图1，AB＝10，BC＝6，点E落在CD边上，求AP的长；（2）如图2，若AB＝8，BC＝6，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，求AP的长；（3）如图3，若AB＝4．BC＝6，点P是AD的中点，求DE的长．8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，AE＝EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．（1）如图1，点F在△ABC内，求证：CD＝MN；（2）如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；（3）将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC＝a，AF＝b（b＜a），直接写出EN的最大值与最小值．9．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°．（1）如图1，若AB＝5，求BC的长；（2）点D是BC边上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE．①如图2，当点E在AC边上时，求证：CE＝2BD；②如图3，当点E在AC的垂直平分线上时，直接写出的值．10．已知等边三角形△ABC，点D和点B关于直线AC轴对称．点M（不同于点A和点C）在射线CA上，线段DM的垂直平分线交直线BC于点N（1）如图1，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．CE＝5，求BC的长；（2）如图2，若点M在线段AC上，求证：△DMN为等边三角形；（3）连接CD，BM，若＝3，直接写出＝参考答案1．解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4．∵点D是线段BC的中点，∴BD＝DC＝BC＝4，∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，∴∠BED＝90°，∴BE＝BD×cos∠B＝4×cos60°＝4×＝2；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，，∴△MBD≌△NCD，∴BM＝CN，DM＝DN．在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND，∴EM＝FN，∴BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN＝2BM＝2BD×cos60°＝BD＝BC＝AB；（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3．同（1）可得：∠B＝∠ACD＝60°．同（2）可得：BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN．∵DN＝FN，∴DM＝DN＝FN＝EM，∴BE+CF＝BM+EM+CF＝CN+DM+CF＝NF+DM＝2DM＝2BD×sin60°＝BC＝AB，∴（2）中的结论不成立；∵AB＝8，∴BD＝4，∵BE+CF＝BE+NF﹣CN＝BE+DM﹣BM＝BE+BD﹣BD＝AB，∴BE＝2+2．2．解：（1）∵点，点B（0，1），∴OA＝，OB＝1，由折叠的性质得：OA'＝OA＝，∵A'B⊥OB，∴∠A'BO＝90°，在Rt△A'OB中，A'B＝＝，∴点A'的坐标为（，1）；（2）在Rt△ABO中，OA＝，OB＝1，∴AB＝＝2，∵P是AB的中点，∴AP＝BP＝1，OP＝AB＝1，∴OB＝OP＝BP∴△BOP是等边三角形，∴∠BOP＝∠BPO＝60°，∴∠OPA＝180°﹣∠BPO＝120°，由折叠的性质得：∠OPA'＝∠OPA＝120°，PA'＝PA＝1，∴∠BOP+∠OPA'＝180°，∴OB∥PA'，又∵OB＝PA'＝1，∴四边形OPA'B是平行四边形，∴A'B＝OP＝1；（3）设P（x，y），分两种情况：①∵∠BPA'＝30°，∴∠APA'＝150°，连接AA′，延长OP交AA′于E，如图③所示：则∠APE＝75°，∴∠OPB＝75°，∵OA＝，OB＝1，∴AB＝＝＝2，∴∠BAO＝30°，∠OBA＝60°，∵∠BPA'＝30°，∴∠BA′P＝30°，∠OPA′＝105°，∴∠A′OP＝180°﹣30°﹣105°＝45°，∴点A'在y轴上，∴∠A'OP＝∠AOP＝∠AOB＝45°，∴点P在∠AOB的平分线上，设直线AB的解析式为y＝kx+b，把点，点B（0，1）代入得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，∵P（x，y），∴x＝﹣x+1，解得：x＝，∴P（，）；②如图④所示：由折叠的性质得：∠A'＝∠A＝30°，OA'＝OA，∵∠BPA'＝30°，∴∠A'＝∠A＝∠BPA'，∴OA'∥AP，PA'∥OA，∴四边形OAPA'是菱形，∴PA＝OA＝，作PM⊥OA于M，如图④所示：∵∠A＝30°，∴PM＝PA＝，把y＝代入y＝﹣x+1得：＝﹣x+1，解得：x＝，∴P（，）；综上所述：当∠BPA'＝30°时，点P的坐标为（，）或（，）．3．解：DE＝BG，DE⊥BG，理由：如图，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AD＝AB，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG＝90°，∴∠DAE＝∠BAG，在△ADE和△ABG中，，∴△ADE≌△ABG，∴DE＝BG，∠AED＝∠AGB，∵∠AGB+∠AMG＝90°，∴∠AED+∠AMG＝90°，∵∠AMG＝∠EMH，∴∠AED+∠EMH＝90°，∴∠EHG＝90°，∴DE⊥BG；即：DE＝BG，DE⊥BG；（2）①由（1）知，∠EHG＝90°＝∠C，∴点H是正方形ABCD的外接圆上，∴DH是正方形ABCD的外接圆的弦，∴DH最大就是正方形ABCD的外接圆的直径BD＝2cm；故答案为2cm；②如图2，作出正方形AEFG的外接圆，连接OC'，OC，FC，FC'，由（1）知，∠EHG＝90°＝∠EFG，∴点H在正方形AEFG的外接圆⊙O上，点H的运动轨迹是如图2所示的这段弧，（即：点D，B，E在同一条线上时，和点G，D'，B'在同一条线上时，）∴当∠AGH越大，越长，即：GH⊥AB时，∠AGH最大，∵正方形AEFG的边长是2，∴OA＝OB＝，∵AB＝，∴OA＝OB＝AB，∴∠AOB＝60°，同理：∠AOD'＝60°，∴∠BOD'＝∠AOB+∠AOD'＝120°∴点H经过路线的长度为•2π•＝π（cm）．4．解：（1）∵+＝0．∴a+5＝0，b﹣3＝0，∴a＝﹣5，b＝3，故答案：﹣5，3；（2）存在，理由：如图1，延长AB交y轴于E，设C（0，c），∵a＝﹣5，b＝3，∴A（﹣5，1），B（﹣2，3），∴AB的解析式为y＝x+（﹣5≤x≤﹣2），∴E（0，），∴CE＝|c﹣|，∵S△ABC＝8，∴S△ABC＝S△ACE﹣S△BCE＝CE•|x A|﹣CE•|x B|＝CE•（|x A|﹣|x B|）＝×|c﹣|×（5﹣2）＝8，∴|c﹣|＝，∴c＝或c＝﹣，∴C（0，）或（0，﹣1）；（3）∵将线段BA平移得到线段OD，∴OD的解析式为y＝x（﹣3≤x≤0），∵点P（m，n）在线段OD上，∴n＝m，∴3n﹣2m＝0．5．解：（1）由折叠知，BE＝AB＝10，在Rt△BCE中，BC＝8，根据勾股定理得，CE＝6，∴S△BCE＝CE•BC＝24，故答案为24，（2）如图2，当MD＝ME时，设BE交DC与点Q，在△DPM和△EQM中，，∴△DPM≌△EQM∴DP＝EQ DQ＝EP，设AP＝x，则DP＝8﹣x＝EQ DQ＝EP＝AP＝x ∴CQ＝10﹣x BQ＝2+x，在Rt△CBQ中，由勾股定理得：64+（10﹣x）2＝（x+2）2，解得x＝，即AP＝，在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP＝，（3）由折叠知，∠BPE＝∠APB，AP＝PE，∵点P是AD中点，∴AP＝DP，∴PD＝PE，∴∠PDE＝∠PED，∵2∠PDE+∠DPE＝180°，2∠APB+∠DPE＝180°，∴∠PDE＝∠APB，∴∠PDE＝∠PED＝∠BPE＝∠APB，∵∠APB+∠ABP＝90°，∠PBC+∠ABP＝90°，∴∠APB＝∠PBC故答案为4．6．解：（1）△AOB沿x轴向右平移得到△OCD，根据AO＝2可知，平移的距离是2个单位长度；△AOB与△COD关于直线对称，根据线段AC被y轴垂直平分可知，对称轴是y轴；△AOB绕原点O顺时针旋转得到△DOC，根据∠BOC＝180°﹣∠AOB＝120°可知，旋转角度可以是120°；故答案为：2；y轴；120（2）由AO＝DO，∠COD＝60°可得，∠OAD＝∠ODA＝30°，∴∠ADC＝30°+60°＝90°，∴AD⊥CD．7．解：（1）如图1，由折叠可得，AP＝EP，AB＝EB＝10，Rt△BCE中，由勾股定理可得，CE＝8，∴DE＝CD﹣CE＝2，设AP＝EP＝x，则PD＝6﹣x，∵Rt△DEP中，DE2+DP2＝PE2，∴22+（6﹣x）2＝x2，解得x＝，∴AP的长为；（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP＝OG，PD＝GE，∴DG＝EP，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6﹣x，DG＝x，∴CG＝8﹣x，BG＝8﹣（6﹣x）＝2+x，根据勾股定理得：BC2+CG2＝BG2，即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，解得x＝4.8，∴AP＝4.8；（3）解法一：如图3，取DE的中点F，连接PF，则当点P是AD的中点时，DP＝AP＝EP＝3，∴PF⊥DE，∴∠PFE＝∠BEP＝90°，由折叠可得，∠BPE＝∠APE＝∠PEF，BE＝AB＝4，∴△PEF∽△BPE，∴，即，∴PF＝EF，又∵EF2+PF2＝PE2，∴EF2+（EF）2＝32，解得EF＝，∴DE＝；解法二：如图3，过E作GF∥AB，交AD于G，交BC于F，则∠PGE＝∠EFB＝90°，GF＝AB＝4，设GE＝x，则EF＝4﹣x，由折叠可得，∠BEP＝∠A＝90°，AB＝BE＝4，PE＝AP＝AD＝3，∴∠PEG＝∠EBF，∴△PEG∽△EBF，∴＝，即＝，∴PG＝（4﹣x），∵Rt△EGP中，GE2+PG2＝PE2，∴x2+[（4﹣x）]2＝32，解得x1＝0（舍去），x2＝，∴GE＝，GD＝DP﹣PG＝3﹣（4﹣）＝，∴Rt△DEG中，DE＝＝＝，∴DE的长为．8．解：（1）证明：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线．∴CD＝AB．在△ABF中，点M，N分别是边AF，BF的中点，∴MN＝AB，∴CD＝MN．（2）答：CN与EN的数量关系CN＝EN，CN与EN的位置关系CN⊥EN．证明：连接EM，DN，如图．与（1）同理可得CD＝MN，EM＝DN．在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的中线，∴CD⊥AB．在△ABF中，同理可证EM⊥AF．∴∠EMF＝∠CDB＝90°．∵D，M，N分别为边AB，AF，BF的中点，∴DN∥AF，MN∥AB．∴∠FMN＝∠MND，∠BDN＝∠MND．∴∠FMN＝∠BDN．∴∠EMF+∠FMN＝∠CDB+∠BCN．∴∠EMN＝∠NDC．∴△EMN≌△DNC．∵∠1+∠3+∠EMN＝180°，∴∠2+∠3+∠FMN＝90°．∴∠2+∠3+∠DNM＝90°，即∠CNE＝90°．∴CN⊥EN．（3）点N是以点D为圆心，为半径的圆上，在Rt△ABC中，AC＝BC＝a，∴AB＝a，∵CD为AB边上的中线．∴CD＝AB＝，∴CN最大＝CD+＝，CN最小＝CD﹣＝由（2）知，EN＝CN，∴EN最大＝，EN最小＝即：EN的最大值为，最小值为．9．解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC于H，则∠AHB＝∠AHC＝90°，在Rt△AHB中，∵AB＝5，∠B＝45°，∴BH＝AB cos B＝5，AH＝AB sin B＝5，在Rt△AHC中，∵∠C＝30°，∴AC＝2AH＝10，CH＝AC cos C＝5，（2）①证明：如图2，过点A作AP⊥AB交BC于P，连接PE，则∠BAP＝90°，∠APB ＝45°，由旋转可得，AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠BAP＝90°＝∠DAE，∴∠BAD＝∠PAE，∵∠B＝∠APB＝45°，∴AB＝AP，在△ABD和△APE中，，∴△ABD≌△APE，∴BD＝PE，∠B＝∠APE＝45°，∴∠EPB＝∠EPC＝90°，∵∠C＝30°，∴CE＝2PE，∴CE＝2BD；②如图3，作AH⊥BC于H，AC的垂直平分线交AC于P，交BC于M，则AP＝PC，在Rt△AHC中，∵∠ACH＝30°，∴AC＝2AH，∴AH＝AP，在Rt△AHD和Rt△APE中，，∴△AHD≌△APE（HL），∴∠DAH＝∠EAP，∵EM⊥AC，PA＝PC，∴MA＝MC，∴∠MAC＝∠MCA＝∠MAH＝30°，∴∠DAM＝∠EAM＝∠DAE＝45°，∴∠DAH＝∠EAP＝15°，∴∠BAD＝∠BAH﹣∠DAH＝30°，如图3，作DK⊥AB于K，设BK＝DK＝a，则AK＝a，AD＝2a，∴＝＝，∵AE＝CE＝AD，∴＝．10．解：（1）如图1，连接CD，∵△ABC是等边三角形，点D和点B关于直线AC轴对称，∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠DCE＝60°，∵DE⊥CE，CE＝5，∴∠CDE＝30°，∴CD＝2CE＝10，∴BC＝10；（2）如图2，过点N作NG⊥CD于G，作NH⊥AC于H，则∠H＝∠DGN＝90°，∵△ABC是等边三角形，点D和点B关于直线AC轴对称，∴∠1＝∠2＝60°，∴∠3＝60°＝∠4，即NC平分∠GCH，∴NG＝NH，∵线段DM的垂直平分线交直线BC于点N，∴NM＝ND，在Rt△MNH和Rt△DNG中，，∴Rt△MNH≌Rt△DNG（HL），∴∠CMQ＝∠NDQ，又∵∠MQC＝∠DQN，∴∠2＝∠5＝60°，∵NM＝ND，∴△DMN为等边三角形；（3）①如图3，当点M在线段AC上时，连接AD，BD，则BD⊥AC，BP＝DP，∵△ACD和△MND都是等边三角形，∴AD＝CD，∠ADM＝∠CDN，MD＝ND，∴△ADM≌△CDN，∴AM＝CN，∵＝3，∴＝，∴＝，∴＝，即＝，∴＝，∴＝；②如图4，当点M在CA延长线上时，连接AD，同理可得，△ADM≌△CDN，∴AM＝CN，∵＝3，∴＝，∴＝，即＝，∴BN＝CN，∴＝1．综上所述，＝或1．故答案为：或1．。

2021年九年级数学中考复习——方程专题：一元二次方程实际应用（二）1．某商场销售一款消毒用湿巾，这款消毒用湿巾的成本价为每包6元，当销售单价定为10元时，每天可售出80包，根据市场行情，现决定降价销售，市场调研反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20包，为使每天这种消毒湿巾的利润达到360元，商场应把这种消毒湿巾降价多少元？12．某商场某型号的计算机2018年销售量为2880台，2020年受疫情影响，年销售量下降为2000台，求销售量的年平均下降率．若每件商品降价2元，则平均每天盈利多少元？（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的盈利为320元？5．深圳市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为81元，平均每天可售出20件．（1）求平均每次降价的百分率；（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？6．为满足市场需求，某工厂决定从2月份起扩大产能，其中2020年1～4月份的产量统计如图所示．求从2月份到4月份的月平均增长率．7．某旅游园区对团队入园购票规定：如团队人数不超过a人，那么这个团队需交200元入园费；若团队人数超过a人，则这个团队除了需交200元入园费外，超过部分游客还要按每人元交入园费．下表是两个旅游团队人数和入园缴费情况：旅游团队名称团队人数（人）入园费用（元）旅游团队180350旅游团队245200根据表格的数据，求某旅游园区对团队入园购票规定的a人是多少？8．某商家将进货单价40元的商品按50元出售，能卖出500件，已知这种商品每涨价0.4元，就会少销售4件．商家为了赚得8000元的利润，每件售价应定为多少？9．如图，要设计一个长为15cm，宽为10cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为5：4，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？10．某汽车4S店销售某种型号的汽车，每辆进货价为15万元，该店经过一段时间的调研发现：当销售价为25万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低1万元时，平均每周能多售出2辆．该4S店要想平均每周的销售利润为96万元，并且使成本尽可能的低，则每辆汽车的定价应为多少万元？参考答案1．解：设这种消毒湿巾降价x元，依题意得：（10﹣x﹣6）（80+×20）＝360．解得x1＝x2＝1．答：商场应把这种消毒湿巾降价1元．2．解：设销售量的年平均下降率为x，依题意可列：2880（1﹣x）2＝2000，解得：x1≈0.2＝20%．x2≈1.8（舍去）．答：销售量的年平均下降率为20%．3．解：设围成的矩形场地一边长为xm，则相邻的另一边长为（20﹣x）m，依题意得：x（20﹣x）＝75，整理得：x2﹣20x+75＝0，解得：x1＝5，x2＝15，当x＝5时，20﹣x＝15；当x＝15时，20﹣x＝5．∴能围成一个面积为75m2的矩形场地，矩形场地相邻的两边长度分别为15m和5m．不能围成一个面积为101m2的矩形场地，理由如下：设围成的矩形场地一边长为ym，则相邻的另一边长为（20﹣y）m，依题意得：y（20﹣y）＝101，整理得：y2﹣20y+101＝0，∵△＝（﹣20）2﹣4×1×101＝﹣4＜0，∴不能围成一个面积为101m2的矩形场地．4．解：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，则平均每天可多售出2×2＝4（件），即平均每天销售数量12+4＝16（件），利润为：18×16＝288．（2）设每件商品降价x元时，该商品每天的销售利润为320元，由题意得：（20﹣x）（12+2x）＝320，整理得：x2﹣14x+40＝0，∴（x﹣4）（x﹣10）＝0，∴x1＝4，x2＝10，∵每件盈利不少于15元，∴x2＝10应舍去．答：每件商品降价4元时，该商品每天的销售利润为320元．5．解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：100（1﹣a）2＝81，解得：a＝1.9（舍）或a＝0.1＝10%，答：每次下降的百分率为10%；（2）设每件应降价x元，根据题意，得（81﹣x）（20+2x）＝2940，解得：x1＝60，x2＝11，∵尽快减少库存，∴x＝60，答：若商场每天要盈利2940元，每件应降价60元．6．解：设2月份到4月份的月平均增长率为x，根据题意可得方程：150（1+x）2＝384，解方程，得x1＝0.6，x2＝﹣2.6（不合题意，舍去）．答：从2月份到4月份的月平均增长率为60%．7．解：由旅游团队2得：a≥45，由旅游团队1得：（80﹣a）+200＝350，解得：a1＝50，a2＝30（不合题意，舍去），答：某旅游园区对团队入园购票规定的a人是50人．8．解：设售价应定为x元/个，则每个的销售利润为（x﹣40）元，能卖出500﹣×4＝（1000﹣10x）件，依题意，得：（x﹣40）（1000﹣10x）＝8000，整理得：x2﹣140x+4800＝0，解得：x1＝60，x2＝80．答：售价应定为60元/个或80元/个．9．解：设每个横彩条的宽度为5xcm，则每个竖彩条的宽度为4xcm，依题意得：（15﹣2×5x）（10﹣2×4x）＝15×10×（1﹣），整理得：8x2﹣22x+5＝0，解得：x1＝，x2＝，当x＝时，10﹣2×4x＝﹣10＜0，不合题意，舍去；当x＝时，10﹣2×4x＝8＞0，符合题意，∴5x＝，4x＝1．答：每个横彩条的宽度为cm，每个竖彩条的宽度为1cm．10．解：设每辆汽车的定价应为x元，则每辆的销售利润为（x﹣15）万元，平均每周的销售量为8+2（25﹣x）＝（58﹣2x）辆，依题意得：（x﹣15）（58﹣2x）＝96，整理得：x2﹣44x+483＝0，解得：x1＝21，x2＝23．又∵为使成本尽可能的低，∴x＝23．答：每辆汽车的定价应为23万元．。

中考数学专题训练：《数与式》选择题专项培优（二）1．2020年3月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵6个汉语成语．将超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：+4，0，+5，﹣3，+2，则这5天他共背诵汉语成语（ ） A ．38个B ．36个C ．34个D ．30个2．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动．设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，x n 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数． 给出下列结论：（1）x 3＝3；（2）x 5＝1；（3）x 108＜x 104；（4）x 2007＜x 2008； 其中，正确结论的序号是（ ） A ．（1）、（3） B ．（2）、（3）C ．（1）、（2）、（3）D ．（1）、（2）、（4）3．﹣2020的绝对值是（ ） A ．﹣2020 B ．2020 C ．﹣D ．4．已知a ＝（﹣）67，b ＝（﹣）68，c ＝（﹣）69，判断a 、b 、c 三数的大小关系为下列何者？（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．b ＞c ＞a D ．c ＞b ＞a5．计算+++++……+的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用A ﹣C 表示观测点A 相对观测点C 的高度）根据这次测量的数据，可得观测点A 相对观测点B 的高度是（ ）米．A ﹣C C ﹣D E ﹣D F ﹣E G ﹣FB ﹣G90米 80米﹣60米50米﹣70米40米A．210 B．130 C．390 D．﹣2107．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元一律打八折．如果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价一定为（）A．180元B．202.5元C．180元或202.5元D．180元或200元8．如图，一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的中间对折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀沿5次对折后的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪成（）A．17段B．32段C．33段D．34段9．若（a2+2a+1）2+|1﹣b|＝0，则ab的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．210．如图为阿辉，小燕一起到商店分别买了数杯饮料与在家分饮料的经过．若每杯饮料的价格均相同，则根据图中的对话，判断阿辉买了多少杯饮料（）A．22 B．25 C．47 D．5011．已知地球的表面积约等于5.1亿平方公里，其中水面面积约等于陆地面积的倍，则地球上陆地面积约等于（精确到0.1亿平方公里）（）A．1.5亿平方公里B．2.1亿平方公里C．3.6亿平方公里D．12.5亿平方公里12．我市今年参加中考人数约为42000人，将42000用科学记数法表示为（）A．4.2×104B．0.42×105C．4.2×103D．42×10313．某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒（ns），已知1纳秒＝0.000 000 001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为（）A．1.5×10﹣9秒B．15×10﹣9秒C．1.5×10﹣8秒D．15×10﹣8秒13．今年3月5日，温家宝总理在《政府工作报告》中，讲述了六大民生新亮点，其中之一就是全部免除了西部地区和部分中部地区农村义务教育阶段约52 000 000名学生的学杂费．这个数据保留三个有效数字用科学记数法表示为（）A．5.2×107B．52×108C．5.2×108D．5.20×107 15．上海世博园的占地面积约为5.28km2，它面积的百万分之一相当于（）A．一本数学书的面积B．一块黑板的面积C．一间教室的面积D．一个操场的面积16．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．84 B．336 C．510 D．132617．若与|b+1|互为相反数，则的值为（）A．B．+1 C．﹣1 D．1﹣18．已知9.972＝99.4009，9.982＝99.6004，9.992＝99.8001，求之值的个位数字为何？（）A．0 B．4 C．6 D．819．已知实数x、y满足+|y+3|＝0，则x+y的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣420．如图，某计算机中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．1．：将荧幕显示的数变成它的正平方根，例如：荧幕显示的数为49时，按下后会变成7．2．：将荧幕显示的数变成它的倒数，例如：荧幕显示的数为25时，按下后会变成0.04．3．：将荧幕显示的数变成它的平方，例如：荧幕显示的数为6时，按下后会变成36．若荧幕显示的数为100时，小刘第一下按，第二下按，第三下按，之后以、、的顺序轮流按，则当他按了第100下后荧幕显示的数是多少（）A．0.01 B．0.1 C．10 D．10021．将一组数，，3，2，，…，3，按下面的方式进行排列：，，3，2，；3，，2，3，；…若2的位置记为（1，4），2的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（）A．（5，2）B．（5，3）C．（6，2）D．（6，5）22．若a＝（﹣3）13﹣（﹣3）14，b＝（﹣0.6）12﹣（﹣0.6）14，c＝（﹣1.5）11﹣（﹣1.5）13，则下列有关a、b、c的大小关系，何者正确？（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a23．若＜a＜，则下列结论中正确的是（）A．1＜a＜3 B．1＜a＜4 C．2＜a＜3 D．2＜a＜424．随地震波而来的是地底积蓄已久的能量．因为里氏震级并不像摄氏温度一样是等分性的指标，因此每两级地震所释放的能量也相差巨大．根据里克特在1953年提出的公式计算，每一级地震释放的能量都是次一级地震的倍．这意味着，里氏震级每高出0.1级，就会多释放出0.4125倍的能量（如7.8级比7.7级会多释放出0.4125倍的能量）．那么5月12日下午2时28分四川汶川地区发生的8.0级大地震与5月25日下午4时21分四川青川一带发生的6.4级余震相比，前次所释放的能量约是后次的（）A．22倍B．34倍C．40倍D．251倍25．某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，各基地之间的距离之比a：b：c：d：e＝2：3：4：3：3（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为（）A．甲B．乙C．丙D．丁参考答案1．解：（+4+0+5﹣3+2）+5×6＝38个，∴这5天他共背诵汉语成语38个，故选：A．2．解：依题意得：机器人每5秒完成一个前进和后退，即前5个对应的数是1，2，3，2，1；6～10是2，3，4，3，2．根据此规律即可推导判断．（1）和（2），显然正确；（3）中，108＝5×21+3，故x108＝21+1+1+1＝24，104＝5×20+4，故x104＝20+3﹣1＝22，24＞22，故错误；（4）中，2007＝5×401+2，故x2007＝401+1+1＝403，2008＝401×5+3，故x2008＝401+3＝404，正确．故选：D．3．解：根据绝对值的概念可知：|﹣2020|＝2020，故选：B．4．解：因为a＝（﹣）67，b＝（﹣）68，c＝（﹣）69，68是偶数，b＞0，﹣＞﹣1，∴c＞a，所以b＞c＞a，故选：C．5．解：原式＝++++…+＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故选：B．6．解：由表中数据可知：A﹣C＝90①，C﹣D＝80②，D﹣E＝60③，E﹣F＝﹣50④，F﹣G＝70⑤，G﹣B＝﹣40⑥，①+②+③+…+⑥，得：（A﹣C）+（C﹣D）+（D﹣E）+（E﹣F）+（F﹣G）+（G﹣B）＝A﹣B＝90+80+60﹣50+70﹣40＝210．∴观测点A相对观测点B的高度是210米．故选：A．7．解：∵200×0.9＝180，200×0.8＝160，160＜162＜180，∴一次性购书付款162元，可能有两种情况．162÷0.9＝180元；162÷0.8＝202.5元．故王明所购书的原价一定为180元或202.5元．故选：C．8．解：根据题意分析可得：连续对折5次后，共25段即32段；故剪刀沿对折5次后的绳子的中间将绳子剪断，有两端的两个线段长度是，其余的长度是，∵+×31＝1，∴共有31+2＝33段．故选：C．9．解：由题意得，a2+2a+1＝0，1﹣b＝0，解得，a＝﹣1，b＝1，则ab＝﹣1，故选：B．10．解：根据题意得：[（1000+120）﹣（2000﹣1120）]÷6＝40，880÷40＝22（杯），则阿辉买了22杯饮料，故选：A．11．解：29÷（71+29）＝0.29，5.1×0.29≈1.5亿平方公里．故选A．12．解：将42000用科学记数法表示为：4.2×104．故选：A．13．解：所用时间＝15×0.000 000 001＝1.5×10﹣8．故选：C．14．解：52 000 000＝5.20×107．故选：D．15．解：5.28×＝5.28×10﹣6km2＝5.28m2．故选：B．16．解：1×73+3×72+2×7+6＝510，故选：C．17．解：∵与|b+1|互为相反数，∴+|b+1|＝0，∴a+＝0且b+1＝0，∴a＝﹣，b＝﹣1，∴＝+1．故选：B．18．解：∵9.972＝99.4009，9.982＝99.6004，9.992＝99.8001，∴＜＜，∴9.98＜＜9.99，∴998＜＜999，即其个位数字为8．故选：D．19．解：∵+|y+3|＝0，∴x﹣1＝0，y+3＝0；∴x＝1，y＝﹣3，∴原式＝1+（﹣3）＝﹣2故选：A．20．解：根据题意得：＝10，＝0.1，0.12＝0.01，＝0.1，＝10，102＝100，100÷6＝16…4，则第100次为0.1．故选：B．21．解：3＝，3得被开方数是的被开方数的30倍，3在第六行的第5个，即（6，5）是（6，2）故选：C．22．解：∵a﹣b＝（﹣3）13﹣（﹣3）14﹣（﹣0.6）12+（﹣0.6）14＝﹣313﹣314﹣12+14＜0，∴a＜b，∵c﹣b＝（﹣1.5）11﹣（﹣1.5）13﹣（﹣0.6）12+（﹣0.6）14＝（﹣1.5）11+1.513﹣0.612+0.614＞0，∴c＞b，∴c＞b＞a．故选：D．23．解：∵1＜2，3＜4，又∵＜a＜，∴1＜a＜4，故选：B．24．解：依题意得（）1.6＝≈251．故选：D．25．解：∵甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，设甲基地的产量为4x吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为5x吨、4x吨、2x吨，∵各基地之间的距离之比a：b：c：d：e＝2：3：4：3：3，设a＝2y千米，则b、c、d、e分别为3y千米、4y千米、3y千米、3y千米，设运输的运费每吨为z元/千米，①设在甲处建总仓库，则运费最少为：（5x×2y+4x×3y+2x×3y）z＝28xyz；②设在乙处建总仓库，∵a+d＝5y，b+c＝7y，∴a+d＜b+c，则运费最少为：（4x×2y+4x×3y+2x×5y）z＝30xyz；③设在丙处建总仓库，则运费最少为：（4x×3y+5x×3y+2x×4y）z＝35xyz；④设在丁处建总仓库，则运费最少为：（4x×3y+5x×5y+4x×4y）z＝53xyz；由以上可得建在甲处最合适，故选：A．。

2021届中考数学一轮复习《平行公理及推论》复习题
1．下列说法正确的是（）
A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【分析】根据对顶角的定义，平行线的定义，平行公理和垂线的性质分别进行判断，即可求出答案．
【解答】A、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，还要看这两个角的位置关系，所以错误；
B、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
C、如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角不一定相等，应强调是两直线平行，是
错误的；
D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确；
故选：D．
【点评】此题考查了平行公理及推论，用到的知识点是对顶角的定义，平行线的定义，平行公理和垂线的性质，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键，是一道基础题．
1。

2021中考数学复习专题【实际问题与二次函数】拓展训练一．选择题1．已知关于x的二次三项式（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m的值恒为正，则m的取值范围是（）A．且m≠B．m＞﹣1C．﹣1＜m＜D．＜m＜12．某工厂2017年产品的产量为a吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2019年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（）A．y＝a（1﹣x）2B．y＝C．y＝a（1+x）2D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（）A．S＝B．S＝C．S＝D．S＝4．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y＝x2+6x（0≤x≤4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（）A．1米B．2米C．5米D．6米5．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y 辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）26．已知函数y＝+x，下列结论中正确的是（）A．有最大值B．有最小值C．有最大值D．有最小值7．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．3或5B．﹣1或1C．﹣1或5D．3或18．关于二次函数y＝x2+4x﹣7的最大（小）值，叙述正确的是（）A．当x＝2时，函数有最大值B．当x＝2时，函数有最小值C．当x＝﹣1时，函数有最大值D．当x＝﹣2时，函数有最小值9．当a，b为实数，二次函数y＝a（x﹣1）2+b的最小值为﹣1时有（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a≥b10．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（）A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52）B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）二．填空题21．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h（单位：m）与水流喷出时间t （单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是s．22．正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为．23．若P是抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的最高点，则点P的坐标是．24．铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣x2+x+，铅球推出后最大高度是m，铅球落地时的水平距离是m．25．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．三．解答题31．如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，建立平面直角坐标系，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）求水流落地点B离墙的距离OB．32．小明将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度y（m）与它的飞行时间x（s）满足二次函数关系，y与x的几组对应值如下表所示：x（s）00.51 1.52…y（m）08.751518.7520…（Ⅰ）求y关于x的函数解析式（不要求写x的取值范围）；（Ⅱ）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．33．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏50米．（1）不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少时，长方形的面积最大？（2）若墙体长度为20米，问长方形面积最大是多少？34．某超市购进一批牛肉销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这批牛肉32千克的钱，现在可买33千克．（1）现在实际购进这批牛肉每千克多少元？（2）若这批牛肉的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．求y与x之间的函数关系式；（3）这批牛肉的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝销售收入﹣进货金额）35．如图，在直角三角形ABC中，直角边AC＝6cm，BC＝8cm，设P，Q分别为AB，BC上的动点，点P自点A沿AB方向向点B作匀速移动且速度为每秒2cm，同时点Q自点B沿BC方向向点C 作匀速移动且速度为每秒1cm．当P点到达B点时，Q点就停止移动，设P，Q移动的时间t秒．（1）写出△PBQ的面积S（cm2）与时间t（s）之间的函数表达式，并写出t的取值范围．（2）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？参考答案一．选择题1．解：设y＝（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m，∵二次三项式（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m的值恒为正，∴（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m＞0且2m﹣1≠0，∴在函数y＝（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m中，m+1＞0且△＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m+1）•m＜0且2m﹣1≠0，解得，m＞且m≠，故选：A．2．解：根据题意，得：y关于x的函数关系式为y＝a（1+x）2，故选：C．3．解：∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴a2+b2＝c2，∵Rt△ABC的面积S，∴S＝ab，∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，∴c2+4S＝25，∴S＝．故选：A．4．解：方法一：根据题意，得y＝x2+6x（0≤x≤4），＝﹣（x﹣2）2+6所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．方法二：因为对称轴x＝＝2，所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．故选：B．5．解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，则y＝a（1+x）2．故选：B．6．解：设＝t，则6﹣x＝t2，即x＝6﹣t2，y＝t+6﹣t2＝﹣（t﹣）2+，所以当t＝时，y有最大值．故选：A．7．解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5，解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5，解得：h＝5或h＝1（舍）．综上，h的值为﹣1或5，故选：C．8．解：原式可化为y＝x2+4x+4﹣11＝（x+2）2﹣11，由于二次项系数1＞0，故当x＝﹣2时，函数有最小值﹣11．故选：D．9．解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2+b的最小值为﹣1，∴a＞0，b＝﹣1，∴a＞b．故选：C．10．解：y关于x的函数表达式为：y＝（50+2﹣x）x＝﹣x2+26x（2≤x＜52）．故选：A．二．填空题21．解：∵h＝30t﹣5t2，∴当h＝0时，t＝0或t＝6，∴水流从喷出至回落到水池所需要的时间是：6﹣0＝6，故答案为：6．22．解：由正方形边长3，边长增加x，增加后的边长为（x+3），则面积增加y＝（x+3）2﹣32＝x2+6x+9﹣9＝x2+6x．故应填：y＝x2+6x．23．解：抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的最高点P的坐标为（2，1）．故答案为（2，1）．24．解：∵y＝﹣x2+x+，∴y＝﹣（x﹣4）2+3因为﹣＜0所以当x＝4时，y有最大值为3．所以铅球推出后最大高度是3m．令y＝0，即0＝﹣（x﹣4）2+3解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去）所以铅球落地时的水平距离是10m．故答案为3、10．25．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．三．解答题31．解：（1）根据题意，得A（0，9），顶点M（1，12），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+12，把A（0，9）代入，得a＝﹣3，所以抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+12＝﹣3x2+6x+9．答：抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．（2）当y＝0时，0＝﹣3x2+6x+9解得x1＝3，x2＝﹣1所以B（3，0）．答：水流落地点B离墙的距离OB为3米．32．解：（Ⅰ）∵x＝0时，y＝0，∴设y与x之间的函数关系式为y＝ax2+bx（a≠0），∵x＝1时，y＝15；x＝2时，y＝20，∴，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x2+20x；（Ⅱ）y＝﹣5x2+20x＝﹣5（x﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m．33．解：（1）设AB＝x，则BC＝50﹣2x，长方形面积为y 得：y＝x（50﹣2x）＝﹣2x2+50x，＝﹣2（x﹣）2+，＝，当x＝时，y最大值BC＝50﹣2×＝25，答：当AB＝米，BC＝25米时，面积最大是平方米；（2）若墙体长度是20米，则BC≤20，AB≥15，在函数y＝﹣2x2+50x中，a＝﹣2＜0，当x＞时，y随x的增大而减小，＝300，所以当x＝15时，y最大值答：面积最大为300平方米．34．解：（1）设现在实际购进这种牛肉每千克a元，则原来购进这种牛肉每千克（a+2）元，由题意，得32（a+2）＝33a，解得a＝64．答：现在实际购进这种牛肉每千克64元；（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（70，140），（80，40）代入，得，解得，故y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+840；（3）设这种牛肉的销售单价为x元时，所获利润为w元，则w＝（x﹣64）y＝（x﹣64）（﹣10x+840）＝﹣10x2+1480x﹣53760＝﹣10（x﹣74）2+1000，所以当x＝74时，w有最大值1000．答：将这种牛肉的销售单价定为74元时，能获得最大利润，最大利润是1000元．35．解：（1）∵Rt△ABC中直角边AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∴BP＝10﹣2t，BQ＝t．如图1，过点P作PH⊥BC，垂足为H，∵AC⊥BC，∴△BPH∽△ABC，∴＝，即＝，解得PH＝6﹣t，∴S＝BQ•PH＝t•（6﹣t）＝﹣t2+3t（0＜t≤5）；（2）①当BP＝BQ时，10﹣2t＝t，解得t＝秒；②如图2，当BQ＝PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，∵BQ＝PQ，QE⊥BD，∴BE＝BP＝（10﹣2t）＝5﹣t，∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠QEB＝90°，∴△BQE∽△BAC，∴＝，即＝，解得t＝秒；③如图3，当BP＝PQ时，作PF⊥BC，垂足为F，∵BP＝PQ，PF⊥BC，∴BF＝BQ＝t．∵∠B＝∠B，∠PFB＝∠C＝90°，∴△BPF∽△BAC，∴＝，即＝，解得t＝秒．∴当t＝秒，t＝秒，t＝秒时，均使△PBQ为等腰三角形．。

图形的性质——命题与证明2一．选择题（共9小题）1．下列命题中，假命题是（）A．对顶角相等B．三角形两边的和小于第三边C．菱形的四条边都相等D．多边形的外角和等于360°2．下列命题中，不正确的是（）A．n边形的内角和等于（n﹣2）•180°B．两组对边分别相等的四边形是矩形C．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3．下列命题中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等4．下列四个命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B．对角线垂直相等的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．四边都相等的四边形是正方形5．下列命题：①对角线相等且垂直的四边形是正方形；②平分弦的直径必垂直于弦；③相等的圆心角所对的弧一定相等；④买彩票中奖概率是，则买4张彩票一定一张会中奖；⑤真命题的逆命题一定是真命题，其中正确的命题个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．说明命题“如果a，b，c是△ABC的三边，那么长为a﹣1，b﹣1，c﹣1的三条线段能构成三角形”是假命题的反例可以是（）A．a=2，b=2，c=3 B．a=2，b=2，c=2 C．a=3，b=3，c=4 D．a=3，b=4，c=5 7．已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则a+b＞0；②若a=b，则a2=b2；③角的平分线上的点到角的两边的距离相等；④矩形的对角线相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8下列命题是真命题的是（）①若ac＞bc，则a＞b；②抛物线y=x2﹣2x﹣3与坐标轴有2个不同交点；③对角线相等的菱形是正方形；④过三点可以作一个圆．A．①②③B．②③ C．③D．③④9．已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则ab＞0；②直径是弦；③若，则a＞0；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二．填空题（共7小题）10．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中真命题的是_________ ．（填写所有真命题的序号）11．写出定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：_________ ．12．把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式：_________ ．13．下列命题中，其逆命题成立的是_________ ．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．14．下列命题①不相交的直线是平行线；②同位角相等；③矩形的对角线相等且互相平分；④平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；⑤同圆中同弦所对的圆周角相等．其中错误的序号是_________ ．15．在命题“同位角相等，两直线平行”中，题设是：_________ ．16．已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题：_________ ．三．解答题（共5小题）17．如图，现有以下3句话：①AB∥CD，②∠B=∠C．③∠E=∠F．请以其中2句话为条件，第三句话为结论构造命题．（1）你构造的是哪几个命题？（2）你构造的命题是真命题还是假命题？请加以证明．18．如图，在△ADF与△CBE中，点A，E，F，C在同一直线上，现给出下列四个论断：①AE=CF；②AD=CB；③∠B=∠D；④AD∥BC．请你选择其中三个作为条件，余下的一个作为结论，构成一个命题．请问：（1）在所有构成的命题中有假命题吗？若有，请写出它的条件和结论（用序号表示）；若没有，请说明理由；（2）在所有构成的真命题中，任意选择一个加以证明．19．把命题改写成”如果…那么…”的形式．（1）对顶角相等．（2）两直线平行，同位角相等．（3）等角的余角相等．20．对于同一平面的三条直线，给出下列5个论断，①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c．以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题．解：已知：_________ ；结论_________ ；理由：_________ ．21．将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式．（1）能被2整除的数也能被4整除；（2）相等的两个角是对顶角；（3）若xy=0，则x=0；（4）角平分线上的点到这个角两边的距离相等．图形的性质——命题与证明2参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．下列命题中，假命题是（）A．对顶角相等 B．三角形两边的和小于第三边C．菱形的四条边都相等 D．多边形的外角和等于360°考点：命题与定理．分析：分别利用对顶角的性质、三角形的三边关系、菱形的性质及多边形的外角和对四个选项分别判断后即可确定正确的选项．解答：解：A、对顶角相等，正确，是真命题；B、三角形的两边之和大于第三边，错误，是假命题；C、菱形的四条边都相等，正确，是真命题；D、多边形的外角和为360°，正确，为真命题，故选：B．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟知对顶角的性质、三角形的三边关系、菱形的性质及多边形的外角和定理，属于基础知识，难度较小．2．下列命题中，不正确的是（）A．n边形的内角和等于（n﹣2）•180°B．两组对边分别相等的四边形是矩形C．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半考点：命题与定理．分析：利用多边形的内角和定理、矩形的判定、垂径定理及直角三角形的性质逐一判断后即可确定正确的选项．解答：解：A、n边形的内角和等于（n﹣2）•180°，故A选项正确；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；C、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，故C选项正确；D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故D选项正确，故选B．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的内角和定理、矩形的判定、垂径定理及直角三角形的性质，难度不大．3．下列命题中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等考点：命题与定理．分析：根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据角平分线的性质对D进行判断．解答：解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项的说法正确；B、菱形的对角线互相垂直平分，所以B选项的说法正确；C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C选项的说法错误；D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D选项的说法正确．故选：C．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．4．下列四个命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B．对角线垂直相等的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．四边都相等的四边形是正方形考点：命题与定理．分析：根据菱形、矩形、等腰梯形的判定与性质分别判断得出即可．解答：解：A、根据菱形的判定方法，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故此选项错误；B、两条对角线相等且互相垂直的四边形有可能是等腰梯形，故此选项错误；C、根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故此选项正确；D、根据四边都相等的四边形是菱形，故此选项错误．故选：C．点评：此题主要考查了菱形、矩形的判定等知识，熟练掌握其性质是解题关键．5．下列命题：①对角线相等且垂直的四边形是正方形；②平分弦的直径必垂直于弦；③相等的圆心角所对的弧一定相等；④买彩票中奖概率是，则买4张彩票一定一张会中奖；⑤真命题的逆命题一定是真命题，其中正确的命题个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：命题与定理．专题：常规题型．分析：根据正方形的判定方法对①进行判断；根据垂径定理对②进行判断；根据圆心角、弦和弧的关系对③进行判断；根据概率的意义对④进行判断；利用反例对⑤进行判断．解答：解：对角线互相平分、相等且垂直的四边形是正方形，所以①错误；平分弦（非直径）的直径必垂直于弦，所以②错误；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧一定相等，所以③错误；买彩票中奖概率是，则中奖的机会为，但不是买4张彩票一定一张会中奖，所以④错误；真命题的逆命题不一定是真命题，如对顶角相等，所以⑤错误．故选A．点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．6．说明命题“如果a，b，c是△ABC的三边，那么长为a﹣1，b﹣1，c﹣1的三条线段能构成三角形”是假命题的反例可以是（）A．a=2，b=2，c=3 B．a=2，b=2，c=2 C．a=3，b=3，c=4 D．a=3，b=4，c=5考点：命题与定理；三角形三边关系．分析：举例能使得两边之和小于或等于第三边即可得到反例．解答：解：当a=2，b=2，c=3时，a﹣1=1，b﹣1=1，c﹣1=2，此时：1+1=2，所以不能构成三角形，故选A．点评：本题考查了命题与定理及三角形的三边关系，举反例是判定命题为假命题的一个方法．7．已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则a+b＞0；②若a=b，则a2=b2；③角的平分线上的点到角的两边的距离相等；④矩形的对角线相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：命题与定理．分析：分别利用不等式的性质以及角平分线的性质和矩形的判定和性质分析得出即可．解答：解：①若a＞0，b＞0，则a+b＞0，原命题正确，逆命题：如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0不一定正确，故不合题意；②若a=b，则a2=b2，原命题正确，逆命题：如果a2=b2，那么a=b不一定正确，故不合题意；③角的平分线上的点到角的两边的距离相等，原命题正确，逆命题也正确，符合题意；④矩形的对角线相等，原命题正确，逆命题不正确，故不合题意．其中原命题与逆命题均为真命题的个数有1个．故选：A．点评：此题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关定理与判定方法是解题关键．8．下列命题是真命题的是（）①若ac＞bc，则a＞b；②抛物线y=x2﹣2x﹣3与坐标轴有2个不同交点；③对角线相等的菱形是正方形；④过三点可以作一个圆．A．①②③B．②③C．③D．③④考点：命题与定理．分析：根据不等式的性质对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点问题对②进行判断；根据正方形的判定方法对③进行判断；根据确定圆的条件对④进行判断．解答：解：若ac＞bc，c＞0，则a＞b，所以①错误；由于△=4﹣4×（﹣3）＞0，则抛物线y=x2﹣2x﹣3与坐标轴有2个不同交点，所以②正确；对角线相等的菱形是正方形，所以③正确；过不共线的三点可以作一个圆，所以④错误．故选B．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．9．已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则ab＞0；②直径是弦；③若，则a＞0；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A． 4 B．3 C．2 D．1考点：命题与定理．分析：利用等式的性质、弦的定义、绝对值的意义及线段垂直平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项．解答：解：①若a＞0，b＞0，则ab＞0中原命题正确，逆命题错误；②直径是弦，原命题正确，逆命题错误；③若，则a＞0，原命题与逆命题均错误；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，原命题与逆命题均正确．故选D．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出该命题的逆命题并判断真假．二．填空题（共7小题）10．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中真命题的是①②④．（填写所有真命题的序号）考点：命题与定理；平行线的判定与性质．专题：推理填空题．分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．解答：解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，故①正确；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命题，故②正确；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，故③错误；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命题，故④正确．故答案为：①②④．点评：本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，难度适中．11．写出定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．考点：命题与定理．分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半，故其逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．解答：解：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．点评：本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．12．把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式：如果三角形三边长a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．考点：命题与定理；勾股定理．分析：命题都能写成“如果…，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，题设和结论互换后就是原命题的逆命题．解答：解：逆命题为：三角形三边长a，b，c，满足a2+b2=c2，这个三角形是直角三角形，逆命题改写成“如果…，那么…”的形式：如果三角形三边长a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，故答案为：如果三角形三边长a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．点评：本题考查把命题写成“如果…，那么…”的形式以及逆命题的概念，难度适中．13．下列命题中，其逆命题成立的是①④．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．考点：命题与定理；实数的运算；角的概念；平行线的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．专题：推理填空题．分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．解答：解：①两直线平行，同旁内角互补，正确；②如果两个角相等，那么它们是直角，错误；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，错误；④如果一个三角形是直角三角形，c为斜边，则a2+b2=c2，正确．故答案为①④．点评：本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，难度适中．14．下列命题①不相交的直线是平行线；②同位角相等；③矩形的对角线相等且互相平分；④平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；⑤同圆中同弦所对的圆周角相等．其中错误的序号是①②④⑤．考点：命题与定理；同位角、内错角、同旁内角；平行线；平行四边形的性质；矩形的性质；圆周角定理；轴对称图形；中心对称图形．专题：应用题．分析：根据平行的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，圆周角的性质来判断所给选项是否正确即可．解答：解：①在同一平面内，不相交的直线是平行线，故本选项错误，②两直线平行，同位角相等，故本选项错误，③矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确，④平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故本选项错误，⑤同弦对应的圆周角中，在弦的同侧时，两圆周角相等，在两侧时两圆周角互补，故本选项错误，故答案为①②④⑤．点评：本题主要考查了综合利用相关性质和判定，难度适中．15．在命题“同位角相等，两直线平行”中，题设是：同位角相等．考点：命题与定理．专题：应用题．分析：由命题的题设的定义进行解答．命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．解答：解：命题中，已知的事项是“同位角相等”，所以“同位角相等”是命题的题设部分．故答案为同位角相等．点评：本题主要考查命题的基本概念与组成，比较简单．注意命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．16．已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题：如果一个平行四边形是菱形，那么这个平行四边形的两条对角线互相垂直．考点：命题与定理．专题：压轴题．分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．解答：解：命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”的逆命题是“如果一个平行四边形是菱形，那么这个平行四边形的两条对角线互相垂直”．点评：本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．三．解答题（共5小题）17．如图，现有以下3句话：①AB∥CD，②∠B=∠C．③∠E=∠F．请以其中2句话为条件，第三句话为结论构造命题．（1）你构造的是哪几个命题？（2）你构造的命题是真命题还是假命题？请加以证明．考点：命题与定理；平行线的判定与性质．专题：常规题型．分析：（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题；（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假．解答：解：（1）由①②得到③；由①③得到②；由②③得到①；（2）∵AB∥CD，∴∠B=∠CDF，∵∠B=∠C，∴∠C=∠CDF，∴CE∥BF，∴∠E=∠F，所以由①②得到③为真命题；∵AB∥CD，∴∠B=∠CDF，∵∠E=∠F，∴CE∥BF，∴∠C=∠CDF，∴∠B=∠C，所以由①③得到②为真命题；∵∠E=∠F，∴CE∥BF，∴∠C=∠CDF，∵∠B=∠C，∴∠B=∠CDF，∴AB∥CD，所以由②③得到①为真命题．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．18．如图，在△ADF与△CBE中，点A，E，F，C在同一直线上，现给出下列四个论断：①AE=CF；②AD=CB；③∠B=∠D；④AD∥BC．请你选择其中三个作为条件，余下的一个作为结论，构成一个命题．请问：（1）在所有构成的命题中有假命题吗？若有，请写出它的条件和结论（用序号表示）；若没有，请说明理由；（2）在所有构成的真命题中，任意选择一个加以证明．考点：命题与定理．专题：证明题；开放型．分析：（1）结合题意和图形，可知构成的命题中有假命题；（2）本题答案不唯一，可以用条件①③④作为已知；②作为结论，构造命题，再结合图形进行证明．解答：解：（1）假命题为：条件①②③；结论④．（2）（答案不唯一）已知条件①③④；结论②已知AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=CB证明：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF．∴AF=EC．∵AD∥BC，∴∠A=∠C．又∵∠B=∠D，∴△ADF≌△EBC（AAS）．∴AD=CB．点评：主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．19．把命题改写成”如果…那么…”的形式．（1）对顶角相等．（2）两直线平行，同位角相等．（3）等角的余角相等．考点：命题与定理．分析：找出原命题的条件和结论即可得出答案．解答：解：（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（2）如果两直线平行，那么同位角相等；（3）如果两个角同为等角的余角，那么这两个角相等．点评：本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．20．对于同一平面的三条直线，给出下列5个论断，①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c．以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题．解：已知：①②；结论④；理由：平行于同一条直线的两直线平行．考点：命题与定理；垂线；平行线的判定与性质．分析：利用平行线的判定方法可由①②得到④组成一个真命题．解答：解：若a∥b，b∥c，则a∥c．理由为平行于同一条直线的两直线平行．故答案为①②，④，平行于同一条直线的两直线平行．点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．21．将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式．（1）能被2整除的数也能被4整除；（2）相等的两个角是对顶角；（3）若xy=0，则x=0；（4）角平分线上的点到这个角两边的距离相等．考点：命题与定理．分析：把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．解答：解：（1）如果一个数能被2整除，那么这个数也能被4整除；（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；（3）如果xy=0，那么x=0；（4）如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．。

2021届中考数学一轮复习《同位角、内错角、同旁内角》复习题1．如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2与∠B是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠A与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是①②③（只填序号）．
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义，结合图形逐个判断即可．
【解答】解：∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①符合题意；
∠2与∠B是直线CD、直线BC，被直线AB所截的一对同位角，因此②符合题意；
∠A与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③符合题意，∠A与∠ACB是直线AB、直线BC，被直线AC所截的一对同旁内角，因此④不符合题意，
故答案为：①②③．
【点评】考查同位角、内错角、同旁内角的意义，理清哪两条直线被第三条直线所截，形成的角进行判断是关键．
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